UNIVERSIDAD NACIONAL SAN AGUSTÍN FACULTAD DE GEOLOGÍA GEOFÍSICA Y MINAS
MÉTODOS DE MODELIZACIÓN GEOFÍSICA TEMA: PROBLEMA INVERSO DIRECTO ALUMNOS: ALVAREZ PILLCO MIGUEL MAMANI HUAMAN MARLENY ALARCON CERVANTES VICTOR
UN PROBLEMA INVERSO
Es aquel en donde los valores de algunos parámetros del modelo deben ser obtenidos de los datos observados. muchas ramas la ciencia de ElAparece problemaen inverso aparece ende muchas ramasyde lalas ciencia y ciencia y de las matemáticas matemáticas. . matemáticas. matemática s. El problema inverso puede ser formulado como sigue:
Datos → Parámetros del modelo
la Tierra
La transformación de los datos en los parámetros del modelo es el resultado de la interacción de un sistema físico la gravedad, etc
la atmósfera
El problema inverso de la geofísica
Los métodos geofísicos se basan en el estudio de los diferentes campos físicos que se generan o propagan en el interior de la Tierra. Los más importantes son el gravitatorio,el magnético, el electromagnético y el sísmico.
GEOFÍSICA
TOMOGRAFÍA ACÚSTICA ,ETC
Los problemas inversos surgen en disciplinas
sensores remotos
IMAGEN MÉDICA
Formulación general de los problemas directo e inverso
Podemos esquematizar, de forma general, los problemas directo e inverso de la geofísica de la siguiente manera:
Problema directo: modelo{parámetros modelo m} datos (d). Problema inverso: datos (d ) modelo {parámetros modelo m}.
PROBLEMAS INVERSOS LINEALES
Un problema inverso lineal puede ser descrito por: D = G(m) donde G es un operador lineal que describe la relación explícita entre los datos «D», y los parámetros del modelo «M» y es una representación del sistema físico. En el caso de un problema inverso lineal discreto que describa a un sistema lineal, »D» Y «M» son vectores, y el problema puede ser escrito como: D = G(m) donde G es una matriz.
PROBLEMAS INVERSOS NO LINEALES
Una familia de problemas inversos inherentemente más difíciles son los referidos conjuntamente como problemas inversos no lineales. Los problemas inversos no lineales tienen una relación más compleja entre los datos y el modelo, representados por la ecuación: D= G(m). Aquí G es un operador no lineal y no puede ser separado para representar una correspondencia lineal de los parametros del modelo que forman «m» en los datos.
En este tipo de problemas, lo primero que se debe hacer es comprender la estructura del problema y dar una respuesta teórica a las cuestiones de Hadamard (de tal manera que el problema está «solucionado desde el punto de vista teórico»). Una vez hecho esto se sigue con el estudio de la regularización y de las interpretaciones de la evolución de las soluciones con nuevas medidas (probabilísticas o de otro tipo). De ahí que las secciones siguientes correspondientes realmente no se refieren a estos problemas.
DIFERENCIAS ENTRE P.I.L Y P.I.N.L
Mientras que los problemas inversos lineales estaban completamente resueltos desde el punto de vista teórico a finales del siglo XIX, sólo una clase de problemas no lineales lo estaba antes de 1970: el problema espectral inverso y el de la dispersión inversa (en un espacio de una dimensión), tras el trabajo fundamental de la escuela matemática rusa (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko). Los problemas inversos no lineales se estudian también en muchos campos de las ciencias aplicadas (acústica, mecánica, mecánica cuántica, dispersión electromagnética, en ondas radar, sísmicas, en toda clase de procesado de imágenes, etc). Los P.I.N.L. son mas difíciles de tratar y hasta muchos otros son ambiguos (se pueden entender de varios modos), las computadoras nos ayudan en este campo pero con el criterio científico de un profesional.
Cuando un problema es inverso ejemplo elemental
El problema directo es hacer el producto de dos números.
Ejemplo histórico
El problema inverso es la factorización de un numero las leyes de Kepler permitían calcular la orbita de los planetas: solución de un problema directo
Newton resuelve el problema inverso: a partir de las leyes de Kepler interpretadas como resultado de un proceso. Es decir la Ley de la Gravitación Universal.
Localizar masas de mayor o menor densidad que el medio que las rodea
Mide las variaciones en el campo gravimétrico de la Tierra
Se utiliza en exploración petrolera y, como método secundario, en exploración minera.
METODO GRAVIMETRICO
métodos discretos
Adoptan un número Finito de parámetros modelo.
CLASICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE INVERSIÓN
métodos funcionales
Implican algún tipo de función, de forma que los datos y/o las incógnitas se expresan mediante una relación espacial o temporal.
MÉTODO DIRECTO Mediante el algoritmo de Talwani se puede calcular el campo gravitacional de un cuerpo irregular a lo largo de un perfil que corta la estructura perpendicularmente. La sección transversal se aproxima a un polígono con un número finito de vértices y una densidad de masa (Talwani, 1959).
ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT (ALM)
En este algoritmo se determina el error de retropropagación con base en el error cuadrático.
El ALM se puede aplicar utilizando diferentes desarrollos
Ajuste por mínimos cuadrados con información a priori para el problema inverso no lineal. Expansión de orden uno de la serie de Taylor para el problema inverso no lineal, donde el gradiente se aplica a la función teórica (Mirko,2000) •
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FACTOR DE ENTRENAMIENTO
El método de regularización bayesiana, es una generalización del Algoritmo de Levenberg – Marquardt (Tarantola, 1987) usa la matriz de covarianza para los datos y la matriz de covarianza para los parámetros del modelo; se caracteriza por producir una buena pero lenta convergencia
CURVA DE APRENDIZAJE
La curva de aprendizaje se obtiene al graficar el número de iteraciones contra la función estado. Utilizando el factor de entrenamiento Cm, se garantiza una rápida convergencia a una solución óptima y no presenta mínimos ni máximos locales.
VENTAJAS DE ALM
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Este algoritmo se ajusta con información a priori, que regulariza el cálculo de los pesos a través de la penalización de pendientes, rugosidad o derivadas de alto orden en el modelo (términos omitidos). Es útil para la obtención de una solución suavizada (Scales,2001). Ajusta los valores absolutos de las perturbaciones de los parámetros durante sucesivas aproximaciones de Taylor (Meju,1994) Combina la velocidad del algoritmo de Newton con la estabilidad del método de gradiente descendente (Meju, 1994).
ESTADO DE LA INFORMACIÓN Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD
La aproximación bayesiana combina los estados de la información teórica con la información obtenida de medidas (datos) a través de funciones de probabilidad gaussiana. Diferentes configuraciones de los parámetros generan diferentes funciones de probabilidad gaussiana que, agrupadas, definen la densidad de probabilidad asociada a la solución del problema de inversión. En la distribución de densidad de probabilidad se puede definir una frontera razonable límite del conjunto de soluciones que mejor ajusta los datos, permitiendo el reconocimiento de patrones
APLICACIÓN
El ALM fue desarrollado en plataforma Visual Basic y C++, en el cual se puede ver el proceso de entrenamiento, así como la respectiva convergencia a través de cada una de las iteraciones.
PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA
Menke (1989) dice que el problema inverso es simplemente el conjunto de MÉTODOS usados para extraer información útil de nuestro entorno a partir de medidas físicas o datos. La información útil vendrá especificada como valores numéricos de alguna propiedad de este entorno. Estas propiedades también se referirán como método específico (normalmente una teoría matemática o modelo) que relaciona los parámetros con los datos. El problema inverso contrasta con el problema directo, donde se predicen los datos a partir de los parámetros y de un modelo. Normalmente el problema inverso es más difícil de resolver que su correspondiente problema directo.
PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA
La teoría del problema inverso en su sentido más amplio ha sido desarrollada por los investigadores que trabajan con métodos geofísicos. La razón es que dichos investigadores tratan de entender el interior de la Tierra sólo a partir de datos obtenidos desde la superficie. Sin embargo, el problema inverso aparece en muchas otras ramas de las ciencias físicas, como pueden ser la tomografía médica, el procesado de imagen o el ajuste de curvas. En nuestro caso los serán las resistividades o conductividades del suelo, los datos serán las tensiones medidas en la superficie y el modelo queda aún por determinar.
PROBLEMA INVERSO: PROSPECCION ELECTRICA (EJM)
La interpretación de los sondeos eléctricos a fin de determinar las resistividades y espesores de las capas en un medio estratificado ha sido un tema de investigación desde principios de siglo. Hasta la disponibilidad de ordenadores, el intérprete se basaba en los procedimientos de ajuste de curvas. Desde que el problema directo para medios estratificados fue resuelto por medio de la teoría lineal de filtros (Gosh, 1971a, 1971b), han aparecido muchos trabajos que tratan sobre la interpretación automática y numérica (Inman, 1975; Koefoed, 1979; Pous, Marcuello y Queralt, 1987; Zohdy, 1989).
PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA APLICADA
1.- Determinación de la Propiedad Fisica
2.- Obtención de Datos (de la propiedad fisica en un medio).
3.- Determinacion del parámetro.
4.- Interpretacion del parámetro (Cualitativa y Cuantitativa).
CONCLUSION
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El Algoritmo de Levenberg Marquard permite determinar en forma eficiente los parámetros considerados en el problema de inversión. Esta metodología no solamente se puede enfocar a problemas de estimación y optimización, sino que también podría aplicarse en el análisis de las deformaciones corticales a partir de las variaciones del campo gravitacional
El método inverso como aplicación en una rama de la ciencia puede ser a su vez parte de un método directo y viceversa.
BIBLIOGRAFIA •
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ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE UN PROBLEMA INVERSO EN GEOFÍSICA MEDIOAMBIENTAL. APLICACIÓN AL CASO DE LOS SONDEOS ELÉCTRICOS VERTICALES http://petrus.upc.es/wwwdib/tesis/mgasulla/Cap5.pdf http://www.inin.gob.mx/documentos/publicaciones/contridelinin/Cap%C3%ADtul o%2033.pdf
