[METODO INVERSO] 31 de mayo de 2012 ÍNDICE
GEIDESIA GEOMETRICA I
1) 2)
3)
4) 5)
INTRODUCCIÓN.OBJETIVOS.a) OBJETIVO GENERAL.b) OBJETIVO ESPECÍFICO.MARCO TEÓRICO.a) Calculo de coordenadas geodésicas b) Problema geodésico inverso
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.BIBLIOGRAFÍA.-
Calculo de Coordenadas Geodésicas 1
[METODO INVERSO] 31 de mayo de 2012 1) INTRODUCCIÓN.-
Fórmula de Puissant Estas fórmulas son llamadas así en honor del matematico, Francés a quien se acreditó su desarrollo. Su derivación está basada sobre una aprmd.mación esférica. Estas fórmulas generalmente están consideradas con precisión de 1 ppm. en 100 km. más aUa de lo cual ellas quiebran hacia abajo rapidamente (40 p. p. m. en 250 kms. cuando 4> = 60°) (Bomford, 1971, p. 134) Por lo tanto, decimos que la fórmula de Puissant es una fórmula de linea "corta". En Geodesia, el cálculo de las coordenadas, distancias y azimutes entre puntos se conoce como los Problemas Geodésicos y dependiendo de los datos y las incógnitas, se los denomina Directo o Inverso.
2) OBJETIVOS.a) OBJETIVO GENERAL.- El propósito de estas notas es dar la teoría y el uso de algunos métodos de cálculo de posición geodésica de puntos sobre un elipsoide de referencia y sobre el terreno. b) OBJETIVO ESPECÍFICO.-Se procede a calcular S entre los puntos en estudio, el acimut directo e inverso de los mismos considerando la esfera tangente a lo largo del paralelo del contacto con la latitud.
3) MARCO TEÓRICO.a)CALCULO DE COORDENADAS GEODESICAS Hace pocos años atrás, la determinación de coordenadas geodésicas se realizaba en base a mensuras de distancias y ángulos sobre la superficie terrestre de cada país, y luego se realizaba la proyección sobre el elipsoide y del proceso matemático se obtenían las coordenadas de los puntos buscados.
En la actualidad,las técnicas de GNSS (Sistemas Satelitales de Navegación Global) como el posicionamiento geodésico con GPS, si bien se vincula en otros puntos de la red geodésica, no es necesario medir distancias y ángulos, sino solamente observaciones de satélites y para tener precisiones geodésicas En Geodesia, el cálculo de las coordenadas, distancias y azimutes entre puntos se conoce como los Problemas Geodésicos y dependiendo de los datos y las incógnitas, se los denomina Directo o Inverso. Observemos con detenimiento la Figura 19, donde tenemos dos puntos sobre el elipsoide, el puntos A de coordenadas (φA;λA) y el punto B, de coordenadas (φB;λB), ambos puntos se encuentran a una distancia S medida sobre el elipsoide y la dirección del punto A al punto B posee un azimut geodésico directo AzAB y de B a A es AzBA. 2
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CÁLCULO DEL AZIMUT INVERSO AZ10 Para calcular el azimut inverso y la convergencia de meridianos, se utiliza la esfera auxiliar tangente a P1 y radio N1.
ΔAz = convergencia de meridiano
Es posible demostrar por trigonometría esférica, aplicando una de las Analogías de Nepper que: A los efectos prácticos sepude trabajar conΔAz= Δλsenφm
b)Problema Geodésico Inverso Se tienen las coordenadas de dos puntos A(φA;λA) B(φB;λB), y se desea calcular la distancia sobre el elipsoide S entre los dos puntos y los azimutes directo e inverso AzABy AzBA. En el caso de una distancia sobre la superficie terrestre es una distancia inclinada, determinada, por ejemplo, en el campo con un electrodistanciómetro o más comúnmente con una estación total, o en el mejor 3
[METODO INVERSO] 31 de mayo de 2012 de los casos la mensura de los puntos se realiza con GPS y en función de los datos y las mediciones u observaciones se tendrán datos e incógnitas.
M é t o d o
d e
P u i s s a n t
Louis Puissant (1769-1843) fue un destacado geógrafo, geodesta y matemático francés que propuso hace dos siglos un método para dar solución a los problemas geodésicos, si bien en la actualidad hay métodos más exactos, la propuesta de Puissant es muy interesante desde el punto de vista didáctico, si bien tiene valides para puntos separados no más de 100 km.
Si suponemos los dos puntos en una posición cualquiera, formarán con uno de los polos un triángulo elipsoidal, ya que los lados del triángulo son líneas geodésicas sobre la superficie del elipsoide y por ello se emplean como figura auxiliar un triángulo esférico y se establece una relación analítica o geométrica entre el triángulo elipsoidal y el esférico. Problema Geodésico Inverso
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[METODO INVERSO] 31 de mayo de 2012 datos las coordenadas geodésicas de dos puntos (φ0; λ0) y (φ1; λ1) y se quiere obtener la distancia S entre los dos puntos, medida sobre el elipsoide, y los azimutes directos AZ01 e inverso AZ10 de la dirección determinada. Cálculo de la distancia Consideramos la esfera auxiliar de radio N0 y centro en n0 , la intersección de este con el eje del elipsoide, tangente al punto P0 y a todo el paralelo que pasa por este punto, Figura 32. Se forma por lo tanto el triángulo esférico auxiliar P0P´1P´S, que tiene algunos parámetros iguales al triángulo elipsódicoP0P1PS :
el lado (90º - φ0) es igual porque corresponde el mismo ángulo (90º - φ0) el ángulo Δλ, es igual porque son los mismos meridianos, es decir que sigue siendo el mismo ángulo diedro. Si bien no son iguales, hasta 100 km se los puede considerar como tal al ángulo azimut AZ01 y el lado S^ El que no se pude considerar igual es el lado (90º - φ1´) Calculamos entonces sobre la esfera el lado S^, para ello aplicamos el Teorema del Coseno de la trigonometría esférica:
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cosS^ = cos (90º - φ0) cos (90º - φ1’)+ sen (90º - φ0) sen (90º - φ1’) cosΔλ Cos S^ = senφ0 senφ1’ + cosφ0 cosφ1’ cosΔλ S^= arcsen (senφ0 senφ1’ + cosφ0 cosφ1’ cosΔλ)
Despejando φ1´ que es la incógnita en S^ , resulta: Φ`1= M Φm(φ1 - φ0) Donde Φm= φ0 + φ1 2 Mφm=
a ( 1-e2)
= Radio de curvatura del meridiano para la latitud φm
(1-e2sen2 φm)3/2 No =
a
=Radio de curvatura del primer vertical para la latitud φ0
(1-e2sen2 φ0 )1/2 6
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Cálculo de los azimutes directo e inverso Aplicando el Teorema del Seno al mismo triángulo esférico (Figura 32), resulta:
Az 10= Az 01 ±180º ± ΔAz
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.-
El resultado es óptimo es que obtuvimos con las fórmulas dePuissant con las que trabajaremos se recomienda prestar atención en la aplicación de los datos y las incógnitas que se tiene
BIBLIOGRAFÍA.-
Curso de geodesia superior
autor. P. S. ZAKATOV
Sakatop Geodesia Geometrica
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EDITORIAL. Mir. Moscú.
