UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA SEGUNDO EXAMEN PARCIAL A DOMICILIO PROBABILIDADES Y VARIABLES ALEATORIAS
ASIGNATURA
: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES ES-241
DOCENTE : Ing. TAPIA TAPIA CALDERON, Guillermo Guillermo B.; Ing. Estadístico Estadístico e informático (Universidad Nacional Agraria La Molina-UNALM, Maestría en ciencias–Mención en Planificación y Gestión Urbana y regional (Facultad de arquitectura, Urbanismo y Artes –SPGSE-FAUA-UNI) ALUMNO
: PILLACA GARCIA, Miguel Ángel
FECHA DE PROPUESTA: jueves 15-DIC- 2013 FECHA DE ENTREGA
: Viernes 20-DIC- 2013
AYACUCHO - PERU
2013
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II EXAMEN PARCIAL-CASA- DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (ES-241) I.
Respecto a las siguientes proposiciones del cálculo de probabilidades, complete en forma apropiada entre paréntesis con (v) si es VERDADERO y con (F) si es FALSO: 1.1. La probabilidad de un evento impos ible es siempre cero…………………….( F ) 1.2. Para dos eventos mutuamente excluyentes A y B se cumple:
…………………………………( V )
1.3. Si P(A) = 0, no necesariamente se cumple A = Ø ………………………..( V ) 1.4. Fenómenos Aleatorios o no determinístico son aquellos cuyo estado final se puede predecir con exactitud a partir del estado inicial………………… …..( V ) 1.5. Si , los eventos A y B son mutuamente independientes. ………………………………………………………………………………..( V ) 1.6. Si los eventos A y B son dependientes………...(V ) 1.7. Los modelos especiales de probabilidad discretos son: Bernoulli, Binomial, Poisson Hipergeométrica, geométrica, Binomial Negativa o Pascal…………(V) 1.8. Los modelos especiales de probabilidad continuos son: Distribución Uniforme, Distribución exponencial, Distribución Normal y Distribución Estándar……(V) 1.9. El teorema de Bayes compara la probabilidad previa (a priori) P(A) con la probabilidad posterior o posteriori P (Ai/B)………………………………….( V ) 1.10. Probabilidad de que ocurra un evento, sabiendo que otro evento ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional o Condicionada………………...( V)
II.
Sean A y B eventos o sucesos tales que:
Hallar: 2.1) 2.2) 2.3) 2.4) Solución:
2.1)
2.2)
2.5) 2.6) 2.7) 2.8)
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̅ ̅ ( )
2.3)
2.4)
2.5)
2.6)
2.7)
2.8)
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III.
En la escuela de Ingeniería Civil – UNSCH, el 25% de los estudiantes se han desmatriculado en Análisis matemático, el 15% se ha desmatriculado en Física II y el 10% se han desmatriculado en Análisis matemático y en Física II. Se elige un estudiante al azar y se pide: 3.1. Si se ha desmatriculado en Física II, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático? 3.2. Si se ha desmatriculado en Análisis Matemático, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Física II? 3.3. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático o Física II? Solución:
} } } } Datos: Sea el espacio muestral
Probabilidades:
F
A
0.25
0.10
0.15
3.1. Si se ha desmatriculado en Física II, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático?
3.2. Si se ha desmatriculado en Análisis Matemático, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Física II?
3.3. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya desmatriculado en Análisis Matemático o Física II?
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IV.
En la ciudad de Trujillo, el porcentaje de personas que leen los periódicos: “El Comercio” (A) =9.8%; “La industria” (B) = 22.9%; “La Republica” (C) = 12.1%; A y B = 5.1% ; A y C = 3.7% ; B y C = 6.0 % ;
A, B y C = 2.4 % 4.1. ¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos A, B y C? 4.2. ¿Cuál es la probabilidad que una persona seleccionada aleatoriamente de esta población sea lector de “El Comercio” (A) y no lo sea de los periódicos “La industria” (B) y “La República” (C). Sugerencia: Teorema Generalizado de la Adición
Solución:
Datos:
4.1. ¿Qué porcentaje de la población lee al menos uno de los periódicos A, B y C?
Lee al menos uno de los periódicos el 32.4% de la población. 4.2.
A
B
C
Observando los diagramas de Venn:
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Análogamente:
Reemplazando (2) y (3) en (1), se tiene:
V.
La urna 1 contiene (X+1) esferas blancas e (Y-1) rojas. La urna 2 contiene “z” esferas blancas y “w” rojas. Se escoge al azar de la urna 2. ¿Cuál es la
probabilidad de que esta esfera sea blanca? Sugerencia: Probabilidad Condicional y Teorema de la Multiplicación de eventos. Solución:
(X+1) Blancas
(Z) Blancas
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VI.
Una Cía. Perforadora de petróleo debe decidir si taladra o no un lugar determinado que la compañía tiene bajo contrata. Por investigaciones geológicas practicadas se sabe que existe una probabilidad de 0.45 que una formación de TIPO I se extienda debajo del lugar prefijado para taladrar, 0.30 de probabilidad que exista una formación de TIPO II y de 0.25 de TIPO III. Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en la formación de TIPO I, en un 40% en la formación de TIPO II, en un 20% en la de TIPO III. Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación de TIPO I. Sugerencia: Aplicar partición de Ω, teoremas de Probabilidad Total y de Bayes. Solución:
Definamos los eventos:
} } }
Probabilidad que una formación se extienda debajo del lugar prefijado para taladrar:
El petróleo se encuentra:
El petróleo no se encontró:
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VII.
En la figura Nº 7.1 se supone que la probabilidad de cada relé (llave) esté cerrado es “p” y que cada relé se abre o se cierra
independientemente de cualquier otro. Encontrar la probabilidad de que la corriente pase de I a D: Sugerencia: Aplicar probabilidad de eventos independientes.
1 2
3 I
D 4
5
6
Reemplazamos con “p” a cada probabilidad:
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES VIII.
Dada la función de cuantía f: TABLA Nº 02 x f(x)
0 0.1
1 0.3
2 0.5
3 0.1
Calcular: Esperanza Matemática E(x); 8.1. 8.2. Variancia o Varianza V(x); Momento cero alrededor del origen ( ). Además, 8.3. 8.4. Momento cero alrededor de la media ( ). Además, 8.5. Momentos factoriales: m0, m1, m2, m3 Sea X una v.a.d o v.a.c. se define el K-ésimo momento factorial de la variable X, y se denota por mk, al número real:
[ ]
Calcular: m0, m1, m2, m3 Solución:
0 1 2 3
∑
0.1 0.3 0.5 0.1
0 0.3 1.0 0.3
0 0.3 2.0 0.9
0 0.3 4.0 2.7
0 0.3 8.0 8.1
0.256 0.108 0.08 0.198
-0.4096 -0.0648 0.032 0.2744
0.655 0.039 0.013 0.384
1.0
1.6
3.2
7.0
16.4
0.64
-0.168
1.091
8.1.
8.2.
8.3.
Esperanza Matemática E(x);
∑ [ ]∑ Variancia o Varianza V(x);
Momento cero alrededor del origen ( ). Además,
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[[ ]] [] [] [ ] ] [ [[]] [[ ]] {
8.4.
Momento cero Primer Momento Segundo Momento Tercer Momento Cuarto Momento
Momento cero alrededor de la media ( ). Además,
Momento cero Primer Momento Segundo Momento
Tercer Momento
Cuarto Momento
8.5.
Momentos factoriales: m0, m1, m2, m3
IX.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dado por:
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.
Calcular el valor de la constante k y la función de densidad específica. Graficar f y F Hallar la Función de Distribución Acumulada F(X). Calcular: ; Calcular la Esperanza Matemática E(x) Hallar la variancia o varianza V(x).
Solución:
9.1.
Calcular el valor de la constante k y la función de densidad específica. Página | 10
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Entonces, la Densidad resultante es:
9.2.
Graficar f y F
f(x) F(x)
0.6 1
0
9.3.
2
X
0.35 0
1
2
X
Hallar la Función de Distribución Acumulada F(X).
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] [ Luego:
Reemplazamos t por x, se tiene:
9.4.
Calcular:
;
9.5.
Calcular la Esperanza Matemática E(x)
Es convergente por lo tanto existe.
9.6.
Hallar la variancia o varianza V(x).
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X.
Para la función de cuantía de la TABLA Nº 02 Sea
; calcular:
10.1 La media teórica de la v.a.d. “y” (Esperanza Matemática de la v.a.d. E(y)) 10.2 La variancia o varianza de la v.a.d. “y” V (y) De la tabla tenemos x f(x) 0 0.1 1 0.3 2 0.5 3 0.1 1
10.1. 10.2.
XI.
x f(x) 0 0.3 1.0 0.3 1.6
x2 f(x) 0 0.3 2.0 0.9 3.2
Hallar:
tiene la función de distribución
⁄ ⁄ ⁄
11.3.
11.4.
la esperanza matemática E(x).
11.1. 11.2.
x4 f(x) 0 0.3 8.0 8.1 16.4
Si la variable aleatoria continua X acumulada F(x) expresada por:
F(X) =
x3 f(x) 0 0.3 4.0 2.7 7.0
Determine su función de cuantía f por:
Solución: 11.1. 11.2.
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UNSCH______________________________________________________________________________________INGENIERÍA CIVIL 11.3. Después de derivar la función F(x) quedaría de la siguiente manera
⁄ ∫ ∫ ∫ ∫ f(x)
½
; 1
-1/2
;x 2
11.4. La Media teórica:
o la esperanza lmatematica E(x).
+
XII.
La producción mínima de una maquina es de 2.000 tornillos y la máxima es de 6.000. si la función de densidad del número de miles de tornillos producidos se pueden representar por:
F(x) =
Determinar la producción esperada Solución:
Sea X la producción esperada Además el límite de producción está comprendido así:
Entonces
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