PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA INVESTIGADORES Curso básico

FACULTAD DE INGENIERÍA. PROGRAMA INGENIERÍA DE SISTEMAS

mean

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA INVESTIGADORES Curso básico Héctor José Pabón Ángel MSc.

2010

UNIVERSIDAD

~1~ DE CUNDINAMARCA SECCIONAL UBATÉ

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA INVESTIGADORES

POR:

HÉCTOR JOSÉ PABÓN ÁNGEL MSc.

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA SECCIONAL UBATÉ PROGRAMA DE INGENIERÍA 2010 2

CONTENIDO Pág. 8 8 8 9 9 11 11 14 17 21 23 24 27 29 30

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14

ELEMENTOS DE MATLAB® INTRODUCCIÓN ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON MATLAB® LOS NÚMEROS EN MATLAB® Y LOS FORMATOS NUMÉRICOS OPERACIONES ARITMÉTICAS FUNCIONES MATEMÁTICAS DE MATLAB® VECTORES MATRICES CREACIÓN DE MATRICES ESPECIALES OPERACIONES CON MATRICES CADENAS DE IMPRESIÓN SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES GRAFICACIÓN CON MATLAB® SUBPLOT DEFINICIÓN DE FUNCIONES

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.13.1 2.13.2 2.13.3 2.14 2.14.1 2.14.2 2.14.3 2.14.4

PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN ESPACIO MUESTRAL EVENTO COMBINATORIA PROBABILIDAD DE UN EVENTO PROBABILIDAD CONDICIONAL EVENTOS INDEPENDIENTES VARIABLES ALETAORIAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD ESPERANZA MATEMÁTICA VARIANZA DISTRIBUCIONES DISCRETAS Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson DISTRIBUCIONES CONTINUAS Distribución normal Distribución 2 (o JI-cuadrado) Distribución t de Student Distribución F

32 32 32 32 33 34 36 37 37 38 40 41 43 45 45 47 48 50 50 57 58 59

3. 3.1 3.1.1 3.1.2

ANÁLISIS ESTADÍSTICO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Estadígrafos de posición Estadígrafos de dispersión

61 61 66 66

4. 4.1 4.2

TEORÍA DE MUESTREO INFERENCIA ESTADÍSTICA PRUEBA DE HIPÓTESIS

72 75 75 3

5. 5.1 5.2 5.3

AJUSTES DE CURVAS Y REGRESIÓN INTRODUCCIÓN REGRESIÓN LINEAL SIMPLE DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN APÉNDICE 1 APÉNDICE 2 APÉNDICE 3 APÉNDICE 4 GLOSARIO BIBLIOGRAFÍA FUENTES DE INFORMACIÓN ELECTRÓNICA

4

88 88 88 89 98 99 100 101 103 108 111

LISTA DE FIGURAS Pág. FIGURA 1.1 FIGURA 1.2 FIGURA 1.3 FIGURA 1.4 FIGURA 1.5

Gráfica de la función y = ex+10 Gráfica de malla para la superficie Z = -3X + Y Gráfica de la superficie z = Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función

27 28 28 29 30

subplot

FIGURA 1.6 FIGURA 2.1 FIGURA 2.2 FIGURA 2.3 FIGURA 2.4 FIGURA 2.5 FIGURA 2.6 FIGURA 2.7 FIGURA 2.8 FIGURA 2.9 FIGURA 2.10 FIGURA 2.11 FIGURA 2.12

Gráfica de la función f(x) = ex 2x/(1 + x3) (a) Diagrama de Venn de eventos mutuamente excluyentes (b) (disyuntos) Diagrama de Venn de la variable aleatoria X del ejemplo 2.7 Histograma de probabilidad Distribución acumulada discreta Distribución de Poisson con Función de densidad de la variable aleatoria normal X con = 0 y =1 Distribuciones normales con = -3, = 0 y = 3 y constante Distribuciones normales con igual media 0 y varianzas diferentes Histograma del ejemplo 2.27 Histograma del ejemplo 2.28 Función de distribución acumulada para la curva normal Distribución 2 con 2, 4, 6 y 8 grados de libertad con azul, verde, rojo, azul claro, respectivamente

FIGURA 2.13 FIGURA 2.14 FIGURA 3.1 FIGURA 3.2 FIGURA 3.3 FIGURA 3.4 FIGURA 3.5 FIGURA 3.6 FIGURA 3.7 FIGURA 3.8 FIGURA 3.9 FIGURA 3.10 FIGURA 5.1 FIGURA 5.2 FIGURA 5.3 FIGURA 5.4 FIGURA 5.5 FIGURA 5.6 FIGURA 5.7 FIGURA 5.8

31 33 38 39 39 48 50 51 52 52 53 57 58 59

grados de libertad Distribuciones F con 8 y 12 grados de libertad (azul), y 12 y 24 grados de libertad (verde) Gráfico de sectores (pie) Histograma de frecuencias con seis clases del ejemplo 3.2 Diagrama de barras verticales Diagrama de barras horizontales Gráfico de racimo Polígono de frecuencias (rojo) Histograma y curva normal Histograma y curva normal Asimetrías Curtosis No existe relación entre los vectores de datos x e y Relación lineal positiva Relación lineal negativa Relación curvilínea Línea recta de ajuste por mínimos cuadrados Ajuste lineal y cuadrático Regresión lineal para la data del ejemplo 5.1 y límite de confianza de y Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones de la línea que aparece adecuada en la figura anterior 5

60 64 64 64 65 65 65 67 69 69 70 89 89 90 90 91 92 94 94

FIGURA 5.9 FIGURA 5.10

Recta de regresión estimada de las notas de Matemática I respecto al puntaje de ingreso a la universidad Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones

6

95 96

LISTA DE TABLAS Pág. TABLA 2.1 Datos de estudiantes de la Universidad X TABLA 3.1 Clases vs frecuencias TABLA 5.1 Data de la variable independiente x, y la variable dependiente y

7

36 64 93

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA INVESTIGADORES ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

1. ELEMENTOS DE MATLAB® 1.1 INTRODUCCIÓN En esta sección se discutirán algunos tópicos de programación con MATLAB®. El nombre de MATLAB® Matrix Laboratory ® es un paquete para computación numérica extremadamente potente. Con MATLAB® se pueden dar comandos directos, como una calculadora de mano o se pueden escribir programas. MATLAB® existe como un programa de aplicación primaria con una librería bastante Toolbox standard Toolbox de MATLAB®, contienen una librería amplia para resolver muchos problemas prácticos de estadística, tales como interpolación, regresión, medidas de tendencia central, medidas de dispersión, inferencia estadística, graficación, entre otros muchos temas. MATLAB® es un paquete de software matemático basado en matrices. Está altamente optimizado y es un sistema muy confiable. Muchas tareas numéricas pueden ser expresadas en forma concisa en el lenguaje del álgebra lineal sin mucha dificultad como ocurriría en otro lenguaje de programación no optimizado para matemáticas. 1.2 ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON MATLAB® El prompt >> está dado por el sistema y se requiere dar para ejecutar un comando MATLAB® Es posible incluir comentarios en el espacio de trabajo de MATLAB® después de la sentencia, para indicar que es un comentario.

%

Ejemplo 1.1 >>% este es un comentario que no es ejecutable.

Ejemplo 1.2 Para buscar ayuda en un tópico específico, se puede escribir: >>help format %busca ayuda sobre format

Un punto y coma colocado al final de una expresión hace que la ejecución del comando no sea visible al usuario. Sin el punto y coma, se muestra el resultado de la ejecución.

8

Ejemplo 1.3 Uso del punto y coma. >>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; % no muestra la matriz >>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] % muestra la matriz

1.3 LOS NÚMEROS EN MATLAB® Y LOS FORMATOS NUMÉRICOS Las variables numéricas son almacenadas en MATLAB® en doble precisión, formato de punto flotante. Es posible forzar algunas variables a otros tipos, pero no de una manera fácil y esta capacidad no es necesaria por ahora. Por defecto, la salida a la pantalla es de cuatro dígitos a la derecha del punto decimal. Ejemplo 1.4 Para determinar el formato de salida de pantalla, se usa el comando format, así: >>format short >>pi ans = 3.1416 >>format long % formato con 14 cifras decimales >>pi ans = 3.14159265358979 >>format short e >>pi ans = 3.1416e + 000

Como parte de su sintaxis y su semántica, MATLAB® está previsto para dar valores excepcionales. Más infinito (+ ) está representado por Inf, menos infinito (- ) por inf, NAN (not a number). Estos valores excepcionales se encuentran a menudo a través de cálculos en MATLAB®. 1.4 OPERACIONES ARITMÉTICAS La aritmética en MATLAB® sigue las reglas y uso de los símbolos de la computación estándar para los signos de las operaciones aritméticas. 9

Símbolo

Efecto

+ * / ^

Adición o suma Substracción o resta Multiplicación o producto División Potencia Conjugada transpuesta Constantes

pi, e

En el presente contexto se considerarán estas operaciones como operaciones aritméticas con escalares. Ejemplo 1.5 >>(4-2+3*pi)/2 ans = 5.7124 >>a=2; >>b=sin(a); >>2*b^2 ans = 1.6537

Las operaciones aritméticas con MATLAB® son mucho más potentes que éstas del ejemplo 1.5, como se verá más adelante. Hay algunas operaciones aritméticas que requieren gran cuidado. El orden en el cual la multiplicación y la división se especifican es especialmente importante. Ejemplo 1.6 El orden de ejecución de las operaciones siguen un orden estricto de acuerdo a la prioridad establecida por MATLAB® >>a=2; >>b=3; >>c=4;

Aquí, ante la ausencia de paréntesis, las dos operaciones se ejecutan de izquierda a derecha como sigue: 10

>>a/b*c ans = 2.6667

Las operaciones aritméticas ejecutadas es equivalente a (a/b)*c, que es diferente a: a/(b*c) >> a/(b*c) ans = 0.1667

1.5 FUNCIONES MATEMÁTICAS DE MATLAB® Todas las funciones matemáticas estándar, llamadas funciones elementales que se necesitan en este curso están disponibles en MATLAB® usando sus nombres matemáticos usuales. Símbolo

Efecto

abs(x)

Valor absoluto

sqrt(x)

Raíz cuadrada

sin(x)

Función seno

cos(x)

Función coseno

tan(x)

Función tangente

log(x)

Función logaritmo natural

exp(x)

Función exponencial

atan(x)

Función tangente inversa

acos(x)

Función coseno inversa

asin(x)

Función seno inversa

cosh(x)

Función coseno hiperbólico

sinh(x)

Función seno hiperbólico

Nótese que las funciones trigonométricas su argumento debe estar en radianes (o número puro) y no en grados. Ejemplo 1.7 Calcular cos(pi/3)

11

>> cos(pi/3) ans = 0.5000

Como se dijo antes, las variables aparecen como escalares. De hecho, todas las variables en MATLAB® son arreglos. Un aspecto importante de MATLAB® es que se trabaja muy eficientemente con arreglos y las tareas principales son mejor trabajadas con arreglos. 1.6 VECTORES En MATLAB® la palabra vector puede ser realmente interpretada como una lista de números. Estrictamente, podría ser una lista de otros objetos no numéricos, pero por ahora, decir esto es más que suficiente y llena las expectativas del curso. Hay dos clases básicas de vectores en MATLAB®: vector fila y vector columna.

Ejemplo 1.8 Definir un vector fila y un vector columna >> x=[1 2 3 4 5] %define el vector x x= 1

2

3

4

5

>> y=[1;2;3;4;5] %define el vector columna y y= 1 2 3 4 5 >> x(3) %muestra el tercer elemento del vector x ans = 3 >> y(5) %muestra el quinto elemento del vector columna ans = 5 >> z=x(4)+3*x(2)+y(5) z = 15 12

Los dos puntos tienen un especial y potente rol. Básicamente, permite una forma fácil de definir un vector de números igualmente espaciados. Hay dos formas básicas de definir un vector en MATLAB® con esta la notación, utilizando los dos puntos. La primera se hace con dos argumentos separados por dos puntos, como sigue: Ejemplo 1.9 Definir un vector x con elementos igualmente espaciados por una unidad. >> x=-2:4 %crea un vector que empieza con -2 y termina con 4 con incrementos de a 1 x= -2

-1

0

1

2

3

4

La segunda es con tres argumentos separados por dos veces los dos puntos y tiene el efecto de especificar el valor inicial : espaciamiento : valor final. Ejemplo 1.10 Definir un vector

espaciando igualmente sus elementos con incrementos

de 0.5 >> y=-2:0.5:4 %crea un vector que empieza con -2 y termina con 4 con incrementos de a 0.5 y= -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 3.0000

3.5000

0

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

4.0000

Ejemplo 1.11 También se puede utilizar la notación con dos puntos como sigue: >> z=x(2:6) %crea el vector z con los elementos desde x(2) hasta x(6) z= -1

0

1

2

3

>> w=y(2:6) %crea el vector w con los elementos desde y(2) hasta y(6) w= -1.5000 -1.0000 -0.5000

0

0.5000

MATLAB® tiene otros dos comandos para definir vectores de una manera adecuada. La primera se llama función linspace, que se usa para especificar un vector con un número dado de elementos igualmente espaciados entre un punto inicial y un punto final. Ejemplo 1.12 Definir un vector

en un intervalo dado con

elementos.

>> x=linspace(1,2,5) %crea el vector x con 5 elementos en el intervalo [1,2] 13

x= 1.0000

1.2500

1.5000

1.7500

En el ejemplo 1.12, el vector

2.0000

tiene 5 elementos acomodados entre 1 y 2, igualmente

espaciados. El otro comando es llamado función logspace, que es similar a la función linspace, excepto que los elementos crecen igualmente espaciados en forma logarítmica, y también valor inicial

según 10

valor final

y 10

.

Ejemplo 1.13 Definir un vector

en forma logarítmica con

elementos

>> x=logspace(1,5,5) x= 10

100

1000

10000

100000

Ejemplo 1.14 Se pueden usar vectores con MATLAB® para generar tablas de valores de funciones. >> x=linspace(0,1,11);%crea el vector x con 11 valores entre 0 y 1 >> y=cos(x);%crea el vector y con los 11 valores de cos(x) >> [x',y']%escribe los dos vectores x, y como columnas ans = 0

1.0000

0.1000

0.9950

0.2000

0.9801

0.3000

0.9553

0.4000

0.9211

0.5000

0.8776

0.6000

0.8253

0.7000

0.7648

0.8000

0.6967

0.9000

0.6216

1.0000

0.5403

14

Nótese que se utilizó el apóstrofe para transponer los vectores, es decir, para convertir las filas en columnas. Ejemplo 1.15 Otra forma de usar los dos puntos es como sigue: >> y=sqrt(4+2*(0:0.3:2.4)') y= 2.0000 2.1448 2.2804 2.4083 2.5298 2.6458 2.7568 2.8636 2.9665

1.7 MATRICES Una matriz es un arreglo bidimensional de valores numéricos que obedecen las reglas del álgebra lineal. Para entrar una matriz, se listan todos los elementos de la matriz de la primera fila separados por espacios en blanco o comas, separando la primera fila de la segunda por punto y coma y así sucesivamente hasta la última fila, encerrando todos los elementos con corchetes. Para entrar una matriz de 3x4 de números se procede así: Ejemplo 1.16 Definir una matriz numérica de dimensión 3x4. >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;8 10 11 12]%crea la matriz A de tres filas y 4 columnas A= 1

2

3

4

5

6

7

8

8

10

11

12

Ejemplo 1.17 Si se quiere convertir un vector fila, en vector columna, se procede: >> [1 2 3] %el ap strofe transpone el vector 15

ans =

1 2 3

Ejemplo 1.18 Los elementos de las matrices se pueden manipular de muchas maneras. >> A A= 1

2

3

4

5

6

7

8

8

10

11

12

>> A(2,3)%escribe el elemento localizado en la segunda fila y tercera columna ans = 7

Ejemplo 1.19 Se puede seleccionar una submatriz, de la siguiente forma: >> A([1 2 3],[1 2 3]) ans = 1

2

3

5

6

7

8

10

11

>> A([1:3],[1:3]) ans = 1

2

3

5

6

7

8

10

11

Ejemplo 1.20 Se puede borrar un elemento o un grupo de elementos de un vector o una matriz, asignando a esos elementos la matriz nula (cero), [ ]. >> x=[1 2 3 4 5 6]; 16

>> x(4)=[ ] x= 1

2

3

5

6

>> A(:,1)=[ ] A= 2

3

4

6

7

8

10

11

12

Ejemplo 1.21 Para intercambiar dos filas de una matriz A, se digita el siguiente script: >> B=A([3 2 1]) B= 10

6

2

>> B=A([3 2 1],:) B= 10

11

12

6

7

8

2

3

4

2

3

4

6

7

8

10

11

12

>> A A=

Ejemplo 1.22 Para cambiar la segunda fila de una matriz A de 3x3 a [2 2 2], se ejecuta el siguiente script: >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A= 1

2

3

4

5

6

7

8

9 17

>> A(2,:)=[2 2 2] A= 1

2

3

2

2

2

7

8

9

Ejemplo 1.23 ejecuta el siguiente script:

se

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A= 1

2

3

4

5

6

7

8

9

>> A(:,2)=[1 1 1] A= 1

1

3

4

1

6

7

1

9

1.8 CREACIÓN DE MATRICES ESPECIALES Hay muchas funciones incorporadas en MATLAB® que se utilizan para crear vectores y matrices especiales. Se tienen ejemplos como: Ejemplo 1.24 Crear la matriz cero. >> A=zeros(2,3)%crea la matriz A de 2 filas y tres columnas de ceros A= 0

0

0

0

0

0

>> A=zeros(3)%crea la matriz cuadrada A de ceros de orden 3

A= 0

0

0

0

0

0 18

0

0

0

Ejemplo 1.25 Crear una matriz de unos >> A=ones(2,3) A= 1

1

1

1

1

1

>> A=ones(3) A= 1

1

1

1

1

1

1

1

1

>> A=ones(2,3)' A= 1

1

1

1

1

1

Ejemplo 1.26 Crear la matriz identidad >> I3=eye(3) I3 = 1

0

0

0

1

0

0

0

1

>> I5=eye(5) I5 = 1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1 19

Ejemplo 1.27 Crear una matriz diagonal >> x=[1 2 3]; >> A=diag(x) A= 1

0

0

0

2

0

0

0

3

>> A=diag([4 5 6]) A=

4

0

0

0

5

0

0

0

6

Ejemplo 1.28 Para extraer la diagonal de una matriz almacenada en memoria, se usa el nombre de la función diag, pero poniendo como entrada una matriz y presentando como salida alternativa un vector. >> A=diag([1 2 3]) A= 1

0

0

0

2

0

0

0

3

>> u=diag(A) u= 1 2 3

Ejemplo 1.29 Crear la función length y la función size, la cual se usa para determinar el número de elementos de un vector o una matriz. Estas funciones son muy útiles cuando

20

se trata de matrices de tamaño desconocido o tamaño variable especialmente cuando se escriben bucles (loops). >> x=1:10 %crea el vector x de enteros entre 1 y 10 x= 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>> length(x)%proporciona el n mero de elementos del vector x ans = 10

Ejemplo 1.30 Ahora se define el comando size, el cual retorna dos valores, correspondientes a las filas y columnas de la matriz en cuestión, donde el primer número corresponde a las filas y el segundo a las columnas. >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8] A= 1

2

3

4

5

6

7

8

>> size(A) ans = 2

4

>> size(A') ans = 4

2

Ejemplo 1.31 Crear la matriz de raíces cuadradas de una matriz A, usando la función sqrt para obtener una matriz B cuyos elementos son las raíces cuadradas de los elementos de la matriz A. >> A A= 1

2

3

4

5

6

7

8

>> B=sqrt(A) B= 21

1.0000

1.4142

1.7321

2.0000

2.2361

2.4495

2.6458

2.8284

Ejemplo 1.32 Crear una matriz triangular superior de una matriz dada A, usando la función triu >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A= 1

2

3

4

5

6

7

8

9

>> U=triu(A) U= 1

2

3

0

5

6

0

0

9

>> U=triu(A,1) U= 0

2

3

0

0

6

0

0

0

>> U=triu(A,2) U= 0

0

3

0

0

0

0

0

0

Ejemplo 1.33 Crear una matriz triangular inferior, usando la función tril >> U=tril(A) U= 1

0

0

4

5

0 22

7

8

9

>> U=tril(A,-1) U= 0

0

0

4

0

0

7

8

0

>> U=tril(A,-2) U= 0

0

0

0

0

0

7

0

0

Ejemplo 1.34 Crear una matriz aleatoria nxn usando la función rand >> R=rand(3) %siempre va a salir una matriz diferente por ser aleatoria R= 0.8147

0.9134

0.2785

0.9058

0.6324

0.5469

0.1270

0.0975

0.9575

>> R=rand(2) %siempre va a salir una matriz diferente por ser aleatoria R= 0.9649

0.9706

0.1576

0.9572

1.9 OPERACIONES CON MATRICES Las operaciones básicas con matrices son la adición, substracción y multiplicación. Cuando dos matrices tienen el mismo tamaño, se pueden sumar y restar. También se puede multiplicar una matriz por escalar. Ejemplo 1.35 >> A=[-1 2 5 0; 1 -2 4 2; 1 2 3 4] A= 23

-1

2

5

0

1

-2

4

2

1

2

3

4

>> B=[0 1 0 1; 2 -1 -4 3; 2 1 4 1] B= 0

1

0

2 -1

-4

2

1

1 3

4

1

>> A+B ans = -1

3

5

1

3

-3

0

5

3

3

7

5

-1

1

5

-1

-1

-1

8

-1

-1

1 -1

3

>> A-B ans =

>> 2*A-3*B ans = -2

1

10

-3

-4

-1 20

-5

-4

1

5

-6

>> B=B' %

se hace B igual a B transpuesta por

B= 0

2

2

1

-1

1

0

-4

4

1

3

1

>> B*A % a. ans = 24

4

0

14

12

-1

6

4

2

0

16 -4

8

3

-2

20 10

>> A*B %en general A*B es diferente de B*A ans = 2 -24

20

0

-6

18

6

0

20

Ejemplo 1.36 Matemáticamente la operación de división de matrices no está definida, mas sin embargo se pueden realizar algunas operaciones adicionales como sigue: >> a=[1 2 3]; >> b=[2 -1 4]; >> c=a./b c= 0.5000 -2.0000

0.7500

>> c=a.*b c= 2

-2

12

>> c=a.^2 c= 1

4

9

>> c=a.^a c= 1

4

27

>> c=a.^b c= 1.0000

0.5000 81.0000

>> B=B' B= 0

1

0

1 25

2 -1 2

-4

1

3

4

1

>> C=A.*B C= 0

2

0

0

2

2 -16

6

2

2

4

12

>> C=C.^(1/2) C= 0

1.4142

0

0

1.4142

1.4142

0.0000 + 4.0000i 2.4495

1.4142

1.4142

3.4641

2.0000

1.10 CADENAS DE IMPRESIÓN Las cadenas son matrices cuyos elementos son caracteres. En aplicaciones más avanzadas tales como computación simbólica, la manipulación de cadenas es un tópico muy importante. Para el presente propósito, sin embargo, se necesitarán algunas herramientas limitadas al manejo elemental de tales cadenas. Ejemplo 1.37 >> nombre=' Hector'; >> apellido=' Pabon'; >> apellido=apellido' apellido = P a b o n

Ejemplo 1.38 Las matrices tipo string también pueden ser creadas como sigue: >> nombres=['Hector';'Pabon '] %las dos cadenas deben ser de la misma longitud, o completarse con blancos 26

nombres = Hector Pabon

Ejemplo 1.39 La función disp toma únicamente un argumento, el cual puede ser ambos, o una matriz de caracteres o una matriz numérica. >> x=0:0.5:2*pi; >> y=cos(x); >> disp([x' y']) 0

1.0000

0.5000

0.8776

1.0000

0.5403

1.5000

0.0707

2.0000 -0.4161 2.5000 -0.8011 3.0000 -0.9900 3.5000 -0.9365 4.0000 -0.6536 4.5000 -0.2108 5.0000

0.2837

5.5000

0.7087

6.0000

0.9602

Ejemplo 1.40 Se pueden imprimir cadenas más complicadas con la función fprintf. Esta es esencial en los comandos de programación C, que se usan para obtener un amplio rango de especificaciones de impresión. >> fprintf('Mi nombre es: \n Hector Pabon \n') %donde \ Mi nombre es: Hector Pabon

Ejemplo 1.41 La función fprintf tiene especificaciones del número de dígitos en el display 27

>> raiz2=fprintf('La raiz cuadrada de 2 es: %1.6f',(sqrt(2))) La raiz cuadrada de 2 es: 1.414214 >> raiz2=fprintf('La raiz cuadrada de 2 es: %1.6e',(sqrt(2))) La raiz cuadrada de 2 es: 1.414214e+000

1.11 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma: Ax = b, se puede ejecutar un comando de MATLAB®, de la siguiente manera: >>x = A\b % con A como una matriz no singular.

Ejemplo 1.42 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

>> A=[1 1 1;2 3 1;1 -1 -2]; %matriz de los coeficientes de las variables >> b=[2;3;-6]; %matriz de los terminos independientes >> x=A\b x= -1 1 2

Hay un pequeño número de funciones que pueden ser mencionadas a continuación: Ejemplo 1.43 Reducir una matriz A a la forma escalonada reducida por filas. >> rref(A) ans = 1

0

0

0

1

0

0

0

1

Ejemplo 1.44 Encontrar el determinante de una matriz A, usando la función det. >> det(A) ans = -5 28

Ejemplo 1.45 Encontrar el rango de una matriz, usando la función Rank. >> rank(A) ans = 3

Ejemplo 1.46 Encontrar la inversa de una matriz A no singular, usando la función inv. >> format rat %formato de la forma p/q >> inv(A) ans =

1

-1/5

2/5

-1

3/5

-1/5

1

-2/5

-1/5

Ejemplo 1.47 Encontrar la matriz aumentada [A b], la cual es una combinación de coeficientes de la matriz A y el lado derecho es el vector b del sistema lineal Ax = b. >> C=[A b] %escribe la matriz aumentada del sistema de ecuac. lineales C= 1

1

1

2

2

3

1

3

1

-1

-2

-6

>> rref(C) %lleva a la forma escalonada reducida por filas ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-1 1 2

Ejemplo 1.48 Descomposición LU de una matriz A, utilizando la función lu. >> [L,U]=lu(A) L= 1/2

1/5

1

1

0

0

1/2

1

0 29

U= 2

3

1

0

-5/2

-5/2

0

0

1

>> L*U ans = 1

1

1

2

3

1

1

-1

-2

1

1

1

2

3

1

1

-1

-2

>> A A=

Las raíces de un polinomio p(x) se pueden hallar utilizando la función roots, como roots(p). Ejemplo 1.49 Hallar las raíces del polinomio p(x) = 3x2 + 5x -6 >> p=[3 5 -6]; >> r=roots(p) r= -2.4748 0.8081

La función polyval se utiliza para evaluar un polinomio pn(x) en un punto particular x. Ejemplo 1.50 Hallar el valor de la función polinómica p3(x) = x3 dado x = 1.5 >> coef=[1 0 -2 12]; >> sol=polyval(coef,1.5) sol = 12.3750 30

2x + 12, en el punto

1.12 GRAFICACIÓN CON MATLAB® Con MATLAB® se pueden realizar gráficas de 2 o 3 dimensiones de curvas y superficies. El comando plot se utiliza para generar gráficos de funciones bidimensionales. Primero se divide el intervalo en subintervalos de igual anchura. Luego se entra la expresión para la variable dependiente y en términos de la variable independiente x, y finalmente se crea el gráfico. Ejemplo 1.51 >> x=-2:0.1:2; >> y=exp(x)+10; >> plot(x,y) >> plot(x,y),grid %grid permite hacer las rejillas o cuadriculado

FIGURA 1.1 Gráfica de la función y = ex+10

Por defecto, la función plot conecta los puntos por medio de segmentos de línea sólida. Otras posibilidades que se pueden usar para cambiar la apariencia de la gráfica son: >> plot(x,y,'o'),grid >> plot(x,y,'*'),grid >> plot(x,y,'x'),grid >> plot(x,y,'.'),grid >> plot(x,y,'+'),grid 31

>> plot(x,y,'-'),grid >> plot(x,y,'.-'),grid >> plot(x,y,'o-'),grid >> x=-2:0.1:2;% crea una malla para los ejes x , y >> y=x; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z= -3*X+Y; >> mesh(X,Y,Z)

FIGURA 1.2 Gráfica de malla para la superficie Z = -3X + Y

Ejemplo 1.52 Para crear una superficie de z = >> x=linspace(-5,5,20); >> y=linspace(-5,5,20); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> R=sqrt(X.^2+Y.^2+1)+eps; % este

evita la divisi

>> Z=sin(R)./R; >> surf(X,Y,Z)

FIGURA 1.3 Gráfica de la superficie z =

32

en el dominio de -

1.13 SUBPLOT Muchas veces es conveniente colocar más de una figura en una misma ventana. Esto es posible con el comando gráfico llamado función subplot, lo cual se puede hacer como se muestra a continuación: Ejemplo 1.53 >> x=-2:0.1:2; >> y=x; >> [X,Y]=meshgrid(x,y); >> Z=2+(X.^2+Y.^2); >> subplot(2,2,1); mesh(x,y,Z); title('meshplot'); >> subplot(2,2,2); surf(x,y,Z); title('surfplot'); >> subplot(2,2,3); surfc(x,y,Z); title('surfcplot'); >> subplot(2,2,4); surfl(x,y,Z); title('surflplot');

FIGURA 1.4 Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot

33

>> x=linspace(-2*pi,2*pi); >> subplot(2,2,1); >> plot(x,cos(x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(x)') >> subplot(2,2,2); >> plot(x,cos(2*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(2x)') >> subplot(2,2,3); >> plot(x,cos(3*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(3x)') >> subplot(2,2,4); >> plot(x,cos(4*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(4x)')

FIGURA 1.5 Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot

34

1.14 DEFINICIÓN DE FUNCIONES La sintaxis para definir funciones desde el editor de MATLAB®, tiene la siguiente forma: function = nombre_funcion(entrada de argumentos)

Ejemplo 1.54 Para definir la función f(x) = ex >> x=(0:0.2:2); >> fx=fn2(x); >> [x',fx'] %genera la siguiente tabla: ans = 0

1.0000

0.2000

0.8246

0.4000

0.7399

0.6000

0.8353

0.8000

1.1673

1.0000

1.7183

1.2000

2.4404

1.4000

3.3073

1.6000

4.3251

1.8000

5.5227

2.0000

6.9446 35

2x/(1 + x3), se escribe:

Correspondiente al siguiente gráfico: >>plot(x,y)

FIGURA 1.6 Gráfica de la función f(x) = ex

36

2x/(1 + x3)

2. PROBABILIDAD 2.1 INTRODUCCIÓN La probabilidad está asociada con muchas tendencias en eventos aleatorios naturales que siguen una cierta regularidad si el proceso se repite un suficiente número de veces. Por ejemplo, se puede considerar el evento del lanzamiento de una moneda no cargada. Si el experimento se repite un número suficiente de veces, en forma continua en un gran número de ensayos, se puede esperar que se logren el mismo número de caras que de sellos. Intuitivamente se puede decir que la probabilidad de obtener una cara es la misma que la de obtener un sello en una moneda justa (no cargada) y que ésta es de 0.5 o del 50%. 2.2 ESPACIO MUESTRAL Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se le llama espacio muestral y generalmente se representa con la letra S. A cada resultado en un espacio muestral se llama elemento o punto del espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar una moneda el conjunto muestral S está conformado por dos elementos: cara y sello. Ejemplo 2.1 En un experimento de lanzar un dado cúbico (seis caras) el espacio muestral está conformado por los puntos muestrales: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2.3 EVENTO En cualquier experimento el hecho de que ocurra cierta circunstancia se llama evento, por ejemplo al lanzar un dado corriente, un evento puede ser el hecho de obtener un número par, en cuyo caso está conformado por tres puntos muestrales: A = {2, 4, 6} Matemáticamente se puede definir un evento A como un subconjunto de un espacio muestral S. También se puede definir el complemento de un evento A con respecto a S como el conjunto de todos los elementos de S que no pertenecen a A y se denota como: A . En el ejemplo 2.1, el complemento está conformado por A = {1, 3, 5} La intersección de dos eventos A1 y A2, se representa con los símbolos A1 A2, y es el evento que contiene todos los elementos comunes que pertenecen a A1 y A2. Dos eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes o disyuntos si A1 A2 = , es decir, cuando no hay puntos muestrales comunes. 37

FIGURA 2.1 (a) Diagrama de Venn de eventos mutuamente excluyentes (disyuntos)

A2

A1

(b) Eventos que no son mutuamente excluyentes

A2

A1

La unión de dos eventos A1 y A2 se representa con el símbolo A1 A2 y es el evento que abarca a todos los elementos de A1 o A2 o a ambos. 2.4 COMBINATORIA Una combinación es el número posible de seleccionar r objetos de un total de n elementos, sin importar el orden. (1)

Ejemplo 2.2 Con MATLAB® se pueden generar combinaciones de un conjunto de n elementos tomados en partes de r elementos. Para el caso de un conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5}, tomando subconjuntos de a dos elementos, se procede de la siguiente forma: >> v=[1 2 3 4 5] >> c2=combnk(v,2) c2 = 4

5

3

5

3

4 38

2

5

2

4

2

3

1

5

1

4

1

3

1

2

>> c4=combnk(v,4) c4 = 1

2

3

4

1

2

3

5

1

2

4

5

1

3

4

5

2

3

4

5

Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Desde luego que aquí sí importa el orden. Si se tienen tres letras diferentes como X = {v, e, a}, permutadas todas tres aparecen palabras diferentes como VEA, AVE, EVA , que son palabras completamente diferentes. (2)

>> v=['e' 'v' 'a']; >> perms(v) ans = ave aev vae vea eva eav >> perms(0:2)%crea un vector con componentes 0, 1 y 2 y los permuta 39

ans = 2

1

0

2

0

1

1

2

0

1

0

2

0

1

2

0

2

1

2.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A. Así que: P( ) = 0 ; P(S) = 1 ; P(Ak , (3) Para una población consistente de K posibles resultados, solamente una de los cuales puede ocurrir, para cada ensayo del experimento, se puede deducir la siguiente relación: P(A1) + P(A2) + P(A3

k)

= 1,

(4)

Ejemplo 2.3 Se lanza un dado (cúbico) una vez, ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número par? Solución. El espacio muestral para este experimento es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A representa el evento de que caiga un número par, A = {2, 4, 6}, entonces la probabilidad de A es, P(A)=número de casos favorables/número de casos posibles = n/N = 3/6 = 0.5 = 50%. Si A1 y A2 son dos eventos cualesquiera se tiene que: P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)

P(A1

A2)

(5)

Pero si A1 y A2 son mutuamente excluyentes se tiene que: P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)

(6)

Ejemplo 2.4 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al lanzar un dado un número par o un número mayor que 3? Solución. El espacio muestral es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el evento A 1 = {2, 4, 6} y A2 = {4, 5, 6}. A1 A2 = {4} por tanto P(A1 U A2) = 3/6 + 3/6 que no son mutuamente excluyentes. 40

1/6 = 5/6, utilizando (2) para sucesos

Ejemplo 2.5. Se lanza un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos u 11 puntos? Solución. El espacio muestral para este caso es: S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3), (6,4),(6,5),(6,6)} P(A1) = P({(4,6),(5,5),(6,4)} = 3/36 P(A2) = P({(5,6),(6,5)}) = 2/36 Por tanto, P(A1UA2) = 3/36 + 2/36 = 5/36, aplicando (3), ya que A1 y A2 son mutuamente excluyentes. Ahora, si A1 y A2 son eventos complementarios, se tiene que: P(A1) + P(A ) = 1

(7)

Ejemplo 2.6 Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número múltiplo de 3? Solución. La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es: P({3,6}) = 2/6 = 1/3. Por tanto, la probabilidad de no obtener un número múltiplo de 3 es: 1 - P({3,6}) = 1 - 1/3 = 2/3 aplicando (4). Ejemplo 2.7 Al lanzar tres monedas, se quiere determinar la probabilidad de obtener exactamente dos caras. Solución. El espacio muestral es: S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}. La probabilidad P({ccs, csc, scc}) = 3/8 2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional de A2 dado A1, que se denota por P(A2|A1), se define como: P(A2|A1) = P(A1 A2) / P(A1), si P(A) > 0; De (5), se puede obtener: P(A1 A2) = P(A1) P(A2|A1);

(8) (9)

Ejemplo 2.8. Se tiene la siguiente tabla de estudiantes de la Universidad X TABLA 2.1. Datos de estudiantes de la Universidad X 41

ESTUDIANTES DE

ESTUDIANTES DE

TOTAL

70 90 160

80 60 140

150 150 300

HOMBRES MUJERES TOTAL

Se va a seleccionar un estudiante al azar para ser becado. Los eventos son: H: seleccionar a un hombre I: seleccionar a un estudiante de ingeniería P(I) = 160/300 = 16/30 P(H

I) = 70/300 = 7/30

P(H | I) =

= 7/16, según (5)

Visto directamente desde la tabla 2.1 se obtiene el mismo resultado: P(H 7/16

|

I) = 70/160 =

2.7 EVENTOS INDEPENDIENTES Dados dos eventos A1 y A2, se dice que estos eventos son independientes siempre que: P(A1|A2) = P(A1), lo cual significa que la ocurrencia de A2 no incide en la ocurrencia de A1 Dicho de otra forma: dos eventos A1 y A2 son independientes sí y solo si: P(A2|A1) = P(A2)

y

P(A1|A2) = P(A1)

(10)

De otra forma A1 y A2 son dependientes. Ejemplo 2.9 Suponga que se tiene una tula con 20 balotas, de las cuales 15 son rojas y 5 azules. Se seleccionan dos balotas al azar una después de otra, sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos balotas azules? Solución. Sea A1 el evento de obtener una balota azul en la primera extracción y A 2 el evento de obtener una balota azul en la segunda extracción. P(A 1 A2) es la probabilidad de obtener una balota azul en la primera extracción y otra balota azul en la segunda extracción. P(A2|A1), es la probabilidad de obtener una balota azul en la segunda extracción, dado que la primera extracción fue también una balota azul (sin reemplazamiento). Según (6) se tiene: P(A1 A2) = P(A1) P(A2|A1) = (5/20)(4/19) = 1/19 = 5.26% aproximadamente. Dos eventos son independientes sí y solo si P(A1 A2) = P(A1) P(A2); 42

2.8 VARIABLES ALETAORIAS Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Ejemplo 2.10 Se tienen tres monedas. Se lanzan todas tres simultáneamente. El espacio muestral es S = {ccc, ccs, csc, scc, ssc, scs, css, sss}, como en el ejemplo 2.7 Se define ahora variable aleatoria como una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. En el ejemplo 2.7, si se asocia el número de caras para cada elemento del espacio muestral, se tiene:

FIGURA 2.2 Diagrama de Venn de la variable aleatoria X del ejemplo 2.7 S X

0

ccc ccs csc scc ssc scs css sss

1 2 3

Se ve en la figura 2.2 que, la variable aleatoria X tiene como elementos X={0, 1, 2, 3}. Si un espacio muestral S posee un número finito de posibilidades o un número infinito con tantos elementos como números enteros positivos existen, se llama entonces, espacio muestral discreto. Si el anterior no fuese el caso, es decir, si S contiene un número infinito de posibilidades con tantos elementos como números reales existen en un segmento de línea, se llama espacio muestral continuo. 2.9 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD El conjunto de parejas ordenadas (x, f(x)) es una función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, si se cumple que para cada valor posible de x: f(x)

0

=1 P(X = x) = f(x) 43

Según el ejemplo 2.10, f(x)

0, ya que f(0) = 1/8, f(1) = 3/8, f(2) = 3/8, f(3) = 1/8.

>> x=[1/8 3/8 3/8 1/8]; >> y=[0 1 2 3] >> bar(y,x, r )

Se ve también claramente que

= 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1

FIGURA 2.3 Histograma de probabilidad

La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria X con distribución de probabilidad f(x) es: , para - < x < Según el ejemplo 2.10 FIGURA 2.4 Distribución acumulada discreta

44

(

)

>> x=[1/8 4/8 7/8 8/8]; >> y=[0 1 2 3]; >> bar(y,x,'g')

2.10 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD La probabilidad de una función aleatoria continua tiene algunas particularidades a tener en cuenta, como por ejemplo que P(X=x) para un valor particular x de la variable aleatoria X es cero, por tanto se toman intervalos para poder calcular su probabilidad. Si se desea calcular la probabilidad de que un estudiante de Ingeniería de la Universidad de Cundinamarca Seccional Ubaté tenga un índice de masa corporal1 de 20, la variable aleatoria se sabe que es continua y P(x=20) = 0, por propiedades de la integral definida. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua se define como sigue: P(a < x < b) =

(12)

Una función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los , si cumple las siguientes condiciones: f(x)

0, para cada x =1

P(a < x < b) =

1

Índice de masa corporal es igual a: peso(kg)/altura2 (m)

45

La distribución acumulada F(x) de una VAC X (variable aleatoria continua X) con función de densidad f(x) es: para - < x <

(13)

Como consecuencia de la anterior definición se puede anotar que: P(a < X < b) = F(b) - F(a)

(14)

Ejemplo 2.11 Para la función de densidad definida como sigue: ,

-1 < x < 2

f(x) = 0,

para cualquier otro valor en

Hallar: a) P(-1 < X < 2); b) P(-1 < X < 1); c) P(1 < X 2) Solución. Se utiliza el método de Simpson para calcular la integral de f(x), como ya se definió anteriormente. function SN=simpsonR(fn,a,b,n) %Regla trapezoidal compuesta h=(b-a)/n; s=(feval(fn,a)+feval(fn,b)); for k=1:2:n-1 s=s+4*feval(fn,a+k*h); end; for k=2:2:n-2 s=s+2*feval(fn,a+k*h); function y=fn(x) y=(1/3)*x.^2; a)>> simpsonR('fn',-1,2,10) ans = 1 b)>> simpsonR('fn',-1,1,10) 46

ans = 0.2222 c)>> simpsonR('fn',1,2,10) ans = 0.7778

2.11 ESPERANZA MATEMÁTICA Sea X una VA con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es: = E(X) = = E(X) =

; para X discreta ; para X continua

(15) (16)

Ejemplo 2.12. Al lanzar un dado (cúbico), la VAD se anota en la siguiente tabla, lo mismo que sus valores de probabilidad: X P(X = x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

E(X) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) = 21/6 = 3.5 Lo anterior se interpreta como que si se lanza un dado un gran número de veces y luego se promedia los distintos puntajes que se han obtenido entonces la media tiende a 3.5 Ejemplo 2.13 Supóngase que la variable aleatoria X se representa por el número de puntos que marca un dado corriente y la nueva VA como Y = 2x, los valores de esta variable son: {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Los valores de probabilidad asociados son: Y P(Y = y)

2 1/6

4 1/6

6 1/6

8 1/6

10 1/6

12 1/6

E(Y) = 2(1/6) + 4(1/6) + 6(1/6) + 8(1/6) + 10(1/6) + 12(1/6) = 42/6 = 7 E(X) = 3.5 implica 2E(X) = 2(3.5) = 7 = E(2X) Ejemplo 2.14 Calcular E(X

3).

Solución. Aquí se tiene que E(X valor esperado.

3) = E(X)

Propiedades del valor esperado:

47

E(3) = 3.5

3 = 0.5, por propiedades del

E(c) = c E(cX) = cE(X) E(X + c) = E(X) + c E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) Ejemplo 2.15 Sea X la VAC que define la vida en horas de cierta bombilla doméstica. La función de densidad de probabilidad es: ,

x > 100

f(x) = 0,

para cualquier otro valor en

= E(X) =

= = -20000(1/x)|

=

=

=

=

= 200 horas

Si se quiere integrar utilizando el método de Simpson, se procede así: >> SN=simpsonR('fn',100,100000,1000000) SN = 1.0 function y=fn(x) y=20000/x^3;

Como se ve, f(x) cumple con la condición para la cual el área bajo la curva es 1. function y=fn(x) >> SN=simpsonR('fn',100,100000,1000000) SN = 199.8

Que es aproximadamente 200 horas como se calculó manualmente para esta integral definida que es realmente fácil de calcular. 2.12 VARIANZA

48

Sea X una VA con distribución de probabilidad f(x) y media , la varianza de X, para X discreta es: 2 = E[(X - )2] = (17) Si X es continua se tiene: 2

= E[(X - )2] =

La raíz cuadrada de la varianza

2

(18)

se denomina desviación estándar de X.

Ejemplo 2.16 Hallar la varianza para la VAD del Solución. Como ya se sabe en el ejemplo 2.12,

del ejemplo 2.12. = 3.5.

2

= E[(X - )2] = (1 - 3.5)²(1/6) + (2 - 3.5)²(1/6) + (3 - 3.5)²(1/6) + (4 - 3.5)²(1/6) + (5 3.5)²(1/6) + (6 - 3.5)²(1/6) = 2.9167 La desviación estándar es:

= 1.7078

>> E=((1-3.5)^2)/6 + ((2-3.5)^2)/6 +((3-3.5)^2)/6 +((4-3.5)^2)/6 +((5-3.5)^2)/6 +((6-3.5)^2)/6 E= 2.9167 >> s=sqrt(E) s= 1.7078

Ejemplo 2.17 La demanda mensual de un cierto artículo en una cadena de hipermercados es una VAC que tiene densidad de probabilidad: 2(2x-1),

1
f(x) = 0, = E(X) = E(X2) =

para cualquier otro valor en =

= 2[

-

] = 5/3

= 17/6

Por tanto, teniendo en cuenta que la varianza también se puede escribir como: 2

Se obtiene: 17/8

(5/3)2 = 17/6

= E(X2) -

2

25/9 = 1/18 49

(19)

function y=fn(x) y=2*(x 1); ----------------------------->> SN=simpsonR('fn',1,2,10) SN = 1

Ahora se calcula function y=fn(x) y=2*(x*(x 1)); >> SN=simpsonR('fn',1,2,10) SN = 5/3

Ahora se calcula E(X2) >> SN=simpsonR('fn',1,2,10) SN = 17/6 >> s2=17/6 - (5/3)^2 s2 = 1/18

2.13 DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2.13.1 Distribución binomial. Si p es la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso, entonces la probabilidad P de que obtengan x éxitos en n ensayos, es el término del desarrollo binomial de (p + q)n, así: P(X=x) =

px qn-x

x,

(20)

Ejemplo 2.18 La probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se gradúe es de 0.6. Calcular la probabilidad de que 20 estudiantes que ingresan: 1. Ninguno se gradúe 50

2. Que se gradúen la mitad 3. Que se gradúen todos Solución. Se tiene que n = 20, p = 0.6 y por tanto q = 0.4, pues p + q = 1. Para n grande como en este caso es conveniente utilizar MATLAB® para agilizar los cálculos. 1. Que ninguno se gradúe >> p=binopdf(0,20,0.6) p= 1.0995e-008

Lo que es lo mismo que p = 1.0995 x 10-8 = 0.000000010995 un valor cercano a 0 2. Que se gradúen 10 >> p=binopdf(10,20,0.6) p= 0.1171

La probabilidad de que se gradúen la mitad dada en porcentaje es 11.71% 3. Que se gradúen todos los 20 >> p=binopdf(20,20,0.6) p= 3.6562e-005

Que es un valor bastante pequeño: p = 3.6562x10-5 = 0.000036562 Ejemplo 2.19 Encontrar la probabilidad de que diez personas que se encuentran en una reunión un sábado, a lo más 2 hayan nacido en este mismo día de la semana. Solución. El trabajo más dispendioso del cálculo de probabilidades es cuando estas son acumuladas como en el presente ejemplo. En los libros aparecen al final, tablas que permiten solucionar el problema pero con algunas limitaciones, por lo incompletas y dispendiosa la forma de encontrarlas. En Se tiene que p = 1/7, q = 6/7, x = 0, 1, 2, 3, 4. 51

>> p=binocdf(2,10,1/7) p= 0.8384

Ejemplo 2.20 Encontrar la probabilidad de que diez personas que se encuentran en una reunión un sábado, por lo menos 2 hayan nacido en este mismo día de la semana. Solución. Se tiene que p = 1/7, q = 6/7, x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. >> p = 1-binocdf(1,10,1/7) %se calcula la probabilidad complementaria p= 0.4292

O también utilizando la forma larga que es poco funcional, pero que sirve como prueba: >> y = binopdf(2,10,1/7) + binopdf(3,10,1/7) + binopdf(4,10,1/7) + binopdf(5,10,1/7) + binopdf(6,10,1/7) + binopdf(7,10,1/7) + binopdf(8,10,1/7) + binopdf(9,10,1/7) + binopdf(10,10,1/7) y= 0.4292

n = 20 y p = 0.3, se procede de la siguiente manera: >> p=binocdf(7,20,0.3) p= 0.7723

Ejemplo 2.21 De 100 monedas que son extraídas de una alcancía y puestas sobre una mesa, ¿Cuál es la probabilidad de que entre 50 y 70 monedas inclusive se encuentren mostrando cara? Solución. >> p=binocdf(70,100,0.5)- binocdf(49,100,0.5) %se supone p=0.5 p= 0.5398

La media y la varianza de la distribución binomial b(x; n, p) son: 52

= np

y

2

= npq

(21)

Ejemplo 2.22 Encuentre la media y la varianza del ejemplo 2.21 Solución. n = 100; p = ½ ; q = ½ = np = 100(1/2) = 50 = npq = 100(1/2)(1/2) = 25

2

2.13.2 Distribución hipergeométrica. La distribución de probabilidad aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de m artículos de los que k se denominan éxito y m-k fracaso, es:

h(x, m, n, k) =

,

x

(22)

Esta distribución se aplica cuando de un grupo de m artículos, de los cuales k tienen cierta característica, son tomados n artículos, para saber el número de los seleccionados que tienen la característica mencionada x. Ejemplo 2.23 Se tienen 200 artículos de los cuales 50 son defectuosos. Si son tomados 10 artículos al azar, calcular la probabilidad de que salgan: a) exactamente cinco defectuosos b) cinco o menos defectuosos. Solución. m = 200; k = 50; n = 10. Con MATLAB se utiliza el siguiente comando: h = hygepdf(x, m, k, n) a) Para p(x = 5) >> h=hygepdf(5,200,50,10)%m = 200; k = 50; n = 10. h= 0.0558

b)

5)

Se utiliza el siguiente comando: hc = hygecdf(x, m, k, n) >> hc = hygecdf(5,200,50,10) hc = 0.9829

2.13.3 Distribución de Poisson. En una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de 50, y p, la probabilidad de éxito de un evento, se acerca a 0, mientras 53

que q la probabilidad de fracaso se aproxima a 1 de tal manera que el producto np = , es menor o igual a 5, debe utilizarse la distribución de Poisson. También puede considerarse el caso cuando p es bastante grande cercana a 1 y también > 5. En estos dos casos se puede aplicar esta distribución. P(x = k) = e

-

k

/ k!

(23)

Donde e es la base de los logaritmos naturales e = 2.71828182, casos favorables.

= np, k = número de

La distribución de Poisson es utilizada en las líneas de espera, número de bacterias en un cultivo, insectos por unidad de superficie, número de fallas de una máquina por unidad de tiempo, entre otras. FIGURA 2.5 Distribución de Poisson con

>> p0=poisspdf(0,2) p0 =

0.1353


0.2707


0.2707


0.1804


0.0902


0.0361 54

=2y k


0.0120


0.0034

>> p8=poisspdf(8,2) p8 = 8.5927e-004 >> p9=poisspdf(9,2) p9 = 1.9095e-004 >> p10=poisspdf(10,2) p10 = 3.8190e-005 >> k=0:10 k=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>> p=[p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10]; >> plot(k,p,'o',k,p,'*'),grid

Ejemplo 2.24 Si la probabilidad de que una persona se contagie debido a la aplicación de una vacuna es de una en diez mil. ¿Cuál es la probabilidad de que se contagien con el virus de la vacuna exactamente 5 personas en una población de 20,000 vacunados? ¿Cuál es la probabilidad de que se contagien menos de 5 personas en la misma población? Solución.

= np = 20000(1/10000) = 2

a) Exactamente 5 personas >> p=poisspdf(5,2) p= 0.0361 >> p=poisscdf(5,2) p= 0.9834

b) Cinco o menos de 5 personas >> p=poisscdf(5,2) p= 55

0.9834

Ejemplo 2.25 Durante un experimento en un laboratorio de física, el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado? Solución. k = 6;

= 4;

>> p4=poisspdf(6,4) p4 = 0.1042

La media y la varianza de la distribución de Poisson p(k, ) tienen el valor . 2.14 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 2.14.1 Distribución normal. La función de densidad de la variable aleatoria normal X (VAN), con media y varianza 2 es: y = n(x, , ) =

e-(x-

)/2 ²

(24)

Propiedades de la curva normal La moda, ocurre donde la curva tiene el máximo, es decir en x = La curva es simétrica con respecto al eje vertical El eje de las abscisas es asíntota horizontal El área bajo la curva es igual a 1 En las variables continuas, no tiene sentido referirse a probabilidades de la forma p(x = k), de manera que sólo se tratarán probabilidades acumuladas. Con MATLAB© la función y = normcdf(k, , ) calcula p(x < k) con media estándar Ejemplo 2.26 Calcular p(x < 20) con

= 25, y,

y desviación

=3

>> y=normcdf(20,25,3) y= 0.0478

FIGURA 2.6 Función de densidad de la variable aleatoria normal X con

56

=0y

=1

>> nu=0; >> ro=1; >> x=linspace(-2.5,2.5,100); >> y=(1/(sqrt(2*pi)*ro)*exp(-(x-nu).^2)/2*ro^2); >> plot(x,y)

Una variable aleatoria continua (VAC) X que tiene su gráfica en forma de campana como la figura 2.6 se llama variable aleatoria normal (VAN). La función matemática correspondiente a la figura 2.6 con f(x) = f(x) depende de dos parámetros:

2

=1y

= 0, es:

e-(x-

)/2 ²

y

que son la varianza y la media, respectivamente.

(25)

>> nu=-3;sigma=2; >> y1=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> nu=0;sigma=2; >> y2=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> nu=3;sigma=2; >> y3=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> plot(x,y1,x,y2,x,y3)

FIGURA 2.7 Distribuciones normales con

57

= -3,

=0y

=3y

constante

>> nu=0;sigma=1; >> x=linspace(-2.5,2.5,100); >> y1=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> nu=0;sigma=2; >> y2=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> nu=0;sigma=4; >> y3=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2); >> plot(x,y1,x,y2,x,y3)

FIGURA 2.8 Distribuciones normales con igual media 0 y varianzas diferentes

Ejemplo 2.27 Para una distribución binomial con n = 5 y p = 0.5 calcular la distribución de probabilidades para la variable aleatoria X. 58

Solución. >> x=0:5 x=

0

1

2

3

4

5

>> p=binopdf(0:5,5,0.5) p=

0.0313

0.1562

0.3125

0.3125

0.1562

0.0313

>> bar(x,p)

FIGURA 2.9 Histograma del ejemplo 2.27

Ejemplo 2.28 Para una distribución binomial con n = 10 y p = 0.3 calcular la distribución de probabilidades para la variable aleatoria X. Solución. FIGURA 2.10 Histograma del ejemplo 2.28

>> x=0:10 59

x= 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>> p=binopdf(0:10,10,0.3) p= 0.0282

0.1211 0.2335 0.2668

0.2001

0.1029

0.0368

0.0090 0.0014 0.0001

0.0000 >> bar(x,p,'r')

Ejemplo 2.29 Calcular la probabilidad de obtener 4, 5 o 6 caras en 9 lanzamientos de una moneda, mediante aproximación binomial y mediante la normal. Solución. p = 0.5; q = 0.5; n = 9;

= np = 9(0.5) = 4.5;

=

=

= 1.5

>> p=binopdf(4,9,0.5)+binopdf(5,9,0.5)+binopdf(6,9,0.5) cuadro a cuadro p= 0.6563 >> p=binocdf(6.5,9,0.5)-binocdf(3.5,9,0.5)

p= 0.6562

Ahora se calcula un valor aproximado utilizando la normal: >> y=normcdf(6.5,4.5,1.5)-normcdf(3.5,4.5,1.5) intervalo y= 0.6563

Observe que utilizando MATLAB© no es necesario normalizar 2, como se acostumbra de manera regular. La distribución de una VAN con media 0 y varianza 1 se llama distribución normal estándar.

2

Z = (x - )/

60

Ejemplo 2.30 Hallar el área bajo la curva normal: Z = -1.20 y Z = 2.40 Solución. >> y=normcdf(2.4,0,1)-normcdf(-1.2,0,1)% como Z est normalizada, se tiene que la media es 0 y la desviaci n

es 1

y= 0.8767

Ejemplo 2.31 Calcular el área bajo la curva normal, a la izquierda de Z = -1.78 Solución. >> y=normcdf(-1.78,0,1) y= 0.0375

Ejemplo 2.32 Calcular el área bajo la curva normal, a la derecha de Z = 1.78 Solución. >> y=1-normcdf(1.78,0,1) y= 0.0375

Ejemplo 2.33 Las estaturas de los varones de la Universidad de Cundinamarca se encuentran distribuidas normalmente con media 170 cm. y desviación estándar 4 cm. Calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga una estatura superior a 1.72 cm? b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tendrá una estatura entre 160 cm. y 170 cm?

Solución. a) Probabilidad de que un estudiante tenga una estatura superior a 172 cm. >> y=1-normcdf(172,170,4) y= 0.3085 61

En términos de porcentaje: 30.85% de los estudiantes miden más de 172 cm. b) Porcentaje de estudiantes que miden entre 160 cm y 170 cm. >> y=normcdf(170,170,4)- normcdf(160,170,4) y= 0.4938

En términos de porcentaje, el 49.38% de los estudiantes miden entre 160 cm y 170 cm. Ejemplo 2.34 En una distribución binomial de frecuencias, donde p = 0.2, encontrar la probabilidad de obtener al menos 10 éxitos en 50 experimentos. Solución. p = 0.2; q =0.8; n =50;

= np = 50(0.2) = 10;

>> yc=normcdf(10.5,10,2.8284)%c

=

=

=2.8284

normal

yc = 0.5702 >> yc=binocdf(10,50,0.2)%c yc = 0.5836

Ejemplo 2.35 Si una distribución normal tiene = 20 y = 3, encuentre la probabilidad de que una variable, seleccionada al azar, sea mayor de 30 o menor de 15. Solución. >> y30=normcdf(30,21,3) y30 = 0.9987 >> y15=normcdf(15,21,3) y15 = 0.0228 >> p=1-(y30-y15) p= 0.0241

Expresado en porcentaje: p = 2.41% 62

Ejemplo 2.36 Se analizó una muestra de cinco bebidas gaseosas de un mismo sabor y una misma marca y se encontró que su contenido de agua era, en mililitros: 20, 19, 22, 18, 22. Obtener el intervalo de confianza al 0.95, para estimar el contenido medio de agua de todas las gaseosas de este tipo. Solución. >> [mediamuestral,destipicamuestral,interconfianza]=normfit(x,0.05) mediamuestral = 20.2000 destipicamuestral = 1.7889 interconfianza = 17.9788 22.4212

Interconfianza (17.9788, 22.4212) representa el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional. >> [mediamuestral, destipicamuestral, interconfianza]=normfit(x,0.01) mediamuestral = 20.2000 destipicamuestral = 1.7889 interconfianza = 16.5167 23.8833

Ahora, Interconfianza (16.5167, 23.8833) representa el intervalo de confianza al 99% para la media poblacional. Si se desea calcular el intervalo de confianza al 95% de los valores de una distribución normal (0, 1), la solución consiste en calcular los valores de la inversa de una normal en los puntos 0.025 y 0.975, así: >> x=norminv([0.025 0.975],0,1) %intervalo de confianza al 95 por ciento x= -1.9600

1.9600 63

>> x=norminv([0.01 0.99],0,1) %intervalo de confianza al 99 por ciento x= -2.3263

2.3263

>> x=norminv([0.1 0.9],0,1 %intervalo de confianza al 90 por ciento) x= -1.2816

1.2816

Más adelante se resolverá este mismo ejemplo, utilizando la distribución t-student para comparar los resultados obtenidos. FIGURA 2.11 Función de distribución acumulada para la curva normal

2.14.2 Distribución 2 (o JI-cuadrado). Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución 2, con grados de libertad, si su función de densidad está definida como: f(x) =

f(x) = 0, en cualquier otro caso, donde

x

/2

e-x/2, x > 0;

(26)

es un entero positivo.

La función 2, de distribución acumulada p = chi2cdf(x,v) en MATLAB® es la función que devuelve la probabilidad acumulada p con v grados de libertad con valores en x. Ejemplo 2.37 Hallar la probabilidad para x = 2, con una función de distribución acumulada 2 y 3 grados de libertad, luego hacer el proceso inverso, es decir, calcular x dado p. Solución. >> v=3; 64

>> x=2; >> p=chi2cdf(x,v) %calcula la probabilidad acumulada de chi-cuadrado con x=2 y =3 grados de libertad p= 0.4276 >> x=chi2inv(p,v) %calcula el valor de x con la probabilidad calculada p, y 3 grados de libertad x= 2.0000

Esta función de probabilidad es muy importante en la inferencia estadística. Es un concepto importante en la prueba de hipótesis y en la estimación estadística. Los problemas con distribuciones de muestreo, análisis de varianza y estadística no paramétrica exigen un importante uso de 2. La media y la varianza de la distribución FIGURA 2.12 Distribución

2

2

son:

= ,y

2

=2

con 2, 4, 6 y 8 grados de libertad con azul, verde, rojo, azul claro, respectivamente

>> x=0:0.1:16;%dominio en el intervalo [0, 16] >> p2=chi2pdf(0:0.1:16,2);%recorrido con 2 grados de libertad >> p4=chi2pdf(0:0.1:16,4);%recorrido con 4 grados de libertad >> p6=chi2pdf(0:0.1:16,6);%recorrido con 6 grados de libertad >> p8=chi2pdf(0:0.1:16,8);%recorrido con 8 grados de libertad >> plot(x,p2,x,p4,x,p6,x,p8)

65

2.14.3 Distribución t de Student. Se utiliza en las pruebas de hipótesis, cuando se conoce la desviación estándar poblacional , no importa el tamaño de la muestra ya sea pequeña o grande. Una muestra es pequeña cuando n es menor o igual que 30 y se considera grande cuando n es mayor que 30. Cuando se desconoce la desviación estándar poblacional , ésta se puede reemplazar por la desviación estándar muestral s, siempre que la muestra sea grande, de acuerdo a las consideraciones anteriores. cuando no se le ha hecho ninguna corrección. Generalmente es menor que , por lo tanto se hace necesario hacerle algunas correcciones en su cálculo, con el fin de convertirla en un buen estimador de , como se verá más adelante. Estas y otras consideraciones se tendrán en cuenta más tarde para el estudio de la inferencia estadística, en su debido momento. con v grados de libertad está dada por:

h(t) =

(1+t2/v)-(v+1)/2 , - < t <

FIGURA 2.13

(27) de

libertad

>> x=-5:0.1:5; >> t1=tpdf(x,1); >> t2=tpdf(x,2); >> t3=tpdf(x,5); 66

>> t4=tpdf(x,100); >> plot(x,t1,x,t2,x,t3,x,t4)

2.14.4 Distribución F. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones 2 con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la VA, F =

, está dada por: [( 1 + 2)/2]( 1/ 2) 1/2 f 1/2 1 h(f) = ------------------------- -------------------- , (28) ( 1+ 2) /2 ( 1/2) ( 2/2) (1 + 1f/ 2) 0 en cualquier otro caso, 0 < f <

(28) se denomina distribución F con v1 y v2 grados de libertad. FIGURA 2.14 Distribuciones F con 8 y 12 grados de libertad (azul), y 12 y 24 grados de libertad (verde)

>> x=0:0.01:4; >> y1=fpdf(0:0.01:4,8,12); >> y2=fpdf(0:0.01:4,12,24); >> plot(x,y1,x,y2)

La distribución F se utiliza para el caso de dos muestras para obtener inferencias acerca de las varianzas de población. A menudo se encuentra la situación en que se requiere la comparación entre dos varianzas de población; es decir, determinar si la variabilidad de una población difiere de la otra. La distribución F se utiliza para estos casos. Este tema se tratará más adelante, cuando se trabaje inferencia estadística. 67

68

3. ANÁLISIS ESTADÍSTICO 3.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Una de las etapas más importantes en el proceso de investigación se relaciona con la sistematización y análisis de la información y se denomina esta etapa como análisis estadístico de la información, y es una disciplina que se define como la ciencia de la recolección, análisis, interpretación y presentación de información que puede expresarse en forma numérica3. Dada una serie de datos, se puede dibujar un histograma y calcular las medidas de tendencia central: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica y las medidas de dispersión como: rango, varianza, desviación estándar, desviación media, etc4. La estadística como disciplina no debe confundirse con el concepto de estadística, se refiere pues a algunas medidas calculadas con respecto a una muestra como la media aritmética muestral o la desviación estándar muestral. La primera es el proceso necesario para manejar y analizar información (data) con el fin de apoyar de manera sistemática al investigador, para que identifique las leyes que guían o regulan los fenómenos o problemas estudiados. Una estadística es una característica o un resultado numérico a partir de una muestra de elementos. Relacionado con el concepto de una estadística se encuentra el de parámetro (poblacional), que es el valor de una característica de una población total o Universo y ya no de una muestra de la misma5. La muestra se refiere a un subconjunto de elementos tomados del universo o población que a su vez incluye a todos los elementos6. Ejemplo 3.1 Dados los siguientes datos de notas de un grupo de 10 estudiantes en determinada asignatura, hallar la tabla de frecuencia absoluta y la frecuencia en porcentajes. Solución. >> x=[4.5 3.0 3.0 4.0 2.5 5.0 3.5 4.0 3.5 3.5];%data

3

VÉLEZ B. Eduardo. Análisis de la información. ICFES. Módulo 4. pp. 9. ARBOLEDA Q. Dairon y ÁLVAREZ J. Rafael. MATLAB®. Aplicaciones a las Matemáticas Básicas. Universidad de Medellín. pp. 30. 5 VÉLEZ B. Eduardo. Op.Cit. pp.10. 6 IBID. pp. 11. 4

69

>> x=sort(x)%ordena el vector ascendentemente x= 2.5000

3.0000

3.0000

3.5000

3.5000

3.5000

4.0000

4.0000

4.5000

5.0000

>> tabla=tabulate(x) tabla = 2.5000

1.0000 10.0000

3.0000

2.0000 20.0000

3.5000

3.0000 30.0000

4.0000

2.0000 20.0000

4.5000

1.0000 10.0000

5.0000

1.0000 10.0000

>> tabulate(x) Value Count Percent 2.5

1

10.00%

3

2

20.00%

3.5

3

30.00%

4

2

20.00%

4.5

1

10.00%

5

1

10.00%

Ejemplo 3.2 Dada la siguiente serie de datos, calcular las medidas de tendencia central y de dispersión, además hacer la representación de datos agrupados. Dado un examen de matemáticas de 60 estudiantes de dos cursos paralelos de la misma asignatura, obtuvieron las siguientes calificaciones: 40, 33, 28, 25, 11, 21, 22, 17, 22, 19, 17, 16, 28, 26, 20, 15, 21, 20, 19, 24, 10, 29, 23, 34, 24, 33, 26, 14, 13, 18, 28, 23, 28, 21, 29, 24, 11, 31, 25, 18, 25, 26, 20, 34, 22,30, 27, 32, 35, 39, 18, 29, 16, 37, 28, 29, 10, 34, 29, 38 Solución. function d=dataset11 d=[40 33 28 25 11 21 22 17 22 19 17 16 28 26 20 15 21 20 19 24 10 29 23 34 24 33 26 14 13 18 28 23 28 21 29 24 11 31 25 18 25 26 20 34 22 30 27 32 35 39 18 29 16 37 28 29 10 34 29 38];

70

>>data=dataset11;

y los guarda en data

>> max(data)

de data

ans = 40 >> min(data)

de data

ans = 10 >> sum(data) %obtiene la suma de todos los elementos del vector data ans = 1464 >> data=sort(data) % ordena

en forma ascendente

data = Columns 1 through 34 10 10

11

11

13

14

15

21

22

22

22

23

23

24

24

28

29

29

29

21

16 16

17

17

18

24

25

25

18 25

18 26

19 26

19

20 20

20

21

34

34

35

26

Columns 37 through 60 27

28

28

28

37

38

39

40

28

29

29

>> tabulate(data) Value Count Percent 10

2

3.33%

11

2

3.33%

12

0

0.00%

13

1

1.67%

14

1

1.67%

15

1

1.67%

16

2

3.33%

17

2

3.33%

18

3

5.00%

19

2

3.33%

20

3

5.00% 71

30

31

32

33

33

34

21

3

5.00%

22

3

5.00%

23

2

3.33%

24

3

5.00%

25

3

5.00%

26

3

5.00%

27

1

1.67%

28

5

8.33%

29

5

8.33%

30

1

1.67%

31

1

1.67%

32

1

1.67%

33

2

3.33%

34

3

5.00%

35

1

1.67%

36

0

0.00%

37

1

1.67%

38

1

1.67%

39

1

1.67%

40

1

1.67%

TABLA 3.1 Clases vs frecuencias Clases

Clase 1

Clase 2

Clase 3

Clase 4

Clase 5

Clase 6

Intervalos Frecuencia

10-15 7

16-20 12

21-25 14

26-30 15

31-35 8

36-40 4

>> y=[7 12 14 15 8 4]; % y es el vector de frecuencias de las 6 clases >> pie(y) % hace el gr fico de sectores

FIGURA 3.1 Gráfico de sectores (pie)

72

FIGURA 3.2 Histograma de frecuencias de con seis clases

Código:

FIGURA 3.3 Diagrama de barras verticales

Código:

>> hist(data,6)%histograma con seis clases

>> bar(y,'g') %diagrama de barras verticales

FIGURA 3.4 Diagrama de barras horizontales

Código:

FIGURA 3.5 Gráfico de racimo

Código: 73

>> barh(y,'r')%diagrama de barras horizontales

>> stem(y,'r')%gr fico de racimo

Ahora se escribe el script para un histograma con distribución acumulada, así: >> data=dataset10; n=length(data); b=80:20:240; nn=hist(data,b); maxn=max(nn); cs=cumsum(nn*maxn/n); bar(b,nn,0.95,'y') axis([70,250,0,maxn]) >> box off >> hold on >> plot(b,cs,'k-s')

FIGURA 3.6 Histograma de nueve clases, distribución acumulada de los datos dataset10

3.1.1 Estadígrafos de posición >> xmedia=mean(data) %calcula la media aritm tica xmedia = 24.4000 >> xmedian=median(data)%calcula la mediana 74

xmedian = 24.5000 >> xgeomed=geomean(data)%calcula la media geom trica xgeomed = 23.1568 >> xarmedia=harmmean(data) %calcula la media arm nica xarmedia = 21.7846 >> xmoda=mode(data) moda = 28

Media Aritmética

Mediana

Media Geométrica

Media Armónica

Posición de la mediana:

Fuente: MAGRAB, Edward B. et al.

Moda Md = xi Si ni = Max{ fj } j

ATLAB®.

3.1.2 Estadígrafos de dispersión >> xmad=mad(data)%calcula la desviaci n media absoluta xmad = 6.1000 >> xrango=range(data)%calcula el rango = max(data)-min(data) rango = 30 >> xstd=std(data) %calcula la desviaci n est ndar xstd = 7.4815 >> xcvar= var(data) %calcula la cuasivarianza xcvar = 55.9729 >> xvar1=var(data,1)%calcula la varianza Xvar1= 75

55.0400 >> riq=iqr(data) %rango intercuart lico q3-q1 riq =

10

Desviación Media Absoluta

Cuasivarianza

Varianza

Desviación Estándar Muestral

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

FIGURA 3.7 Polígono de frecuencias (rojo)

>> marcas=[8 13 18 23 28 33 38 43]; %marcas de clase >> y=[0 7 12 14 15 8 4 0]; % frecuencias >> hold on; bar(marcas,y); plot(marcas,y,'r')

Ejemplo 3.3 Con el mismo vector de datos, calcular: rango intercuartílico, cuartiles 1, 2 y 3, percentiles 10, 25, 50 y 80, coeficiente de asimetría, kurtosis, momento de orden 2 centrado en el origen, e interpretar los resultados. Solución. >> q1=quantile(data, 0.25)% calcula el cuartil 1 q1 = 19 76

>> q2=quantile(data,0.50) % mcalcula el cuartil 2 q2 = 24.5000 >> q3=quantile(data, 0.75)% calcula el cuartil 3 q3 = 29

El cuartil 1, indica que una cuarta parte de los estudiantes tienen notas por debajo de 19 El cuartil 2, indica que la mitad de los estudiantes tienen notas por debajo de 24.5. Nótese que el cuartil dos, corresponde a la mediana. El cuartil 3, muestra que las tres cuartas partes de los estudiantes tienen notas por debajo de 29. El rango intercuartílico corresponde a la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1, o sea, el 50% de estudiantes están en ese rango, entre 19 y 29. >> percentiles=prctile(data, [10 20 25 50 75 90]) %calcula los percentiles 10, 20, 25, 50, 75, y 90 percentiles = 14.5000 18.0000 19.0000 24.5000 29.0000 34.0000

El resultado anterior muestra: p10 = 14.5 p20 = 18.0 p25 = 19.0 p50 = 24.5 p75 = 29.0 p80 = 34.0 de 34.

El 10% de los estudiantes tienen notas por debajo de 14.5 El 20% de los estudiantes tienen notas por debajo de 18.0 Observe que es el mismo cuartil 1 Observe que es la mediana, el cuartil 2 y el percentil 50 Observe que es el cuartil 3 El percentil 80 indica que el 80% de los estudiantes tienen notas por debajo

>> coefasimetria = skewness(data)% calcula el coeficiente de asimetr a coefasimetria = 0.0186

El coeficiente sesgo o de asimetría es un número que mediante su signo se puede determinar si los datos tienen distribución simétrica o sesgada.

77

El coeficiente de sesgo o de asimetría, se interpreta del siguiente modo7: Si es igual a cero, entonces los datos se distribuyen de manera simétrica. Si es mayor que cero, entonces los datos son sesgados a la derecha. Si es menor que cero, entonces los datos son sesgados a la izquierda. Para el caso de estudio, los datos son sesgados ligeramente a la derecha, como se ilustra en la figura 3.8, mostrado a continuación. FIGURA 3.8 Histograma y curva normal

>> histfit(data);colormap([1 1 0]) >> k=kurtosis(data) k= 2.3859

FIGURA 3.9 Asimetrías

7

CHAO L. Lincoln. Estadística para las ciencias administrativas. McGraw Hill Latinoamericana. Bogotá, 1993. pp. 64-65

78

Fuente: http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm

El coeficiente k de curtosis se interpreta de la siguiente manera8: Si k = 3 implica que los datos presentan forma de una normal estandarizada (ver polígono de frecuencias y la curva normal). Si k > 3 implica que los datos se presentan más empinados que los de la normal estandarizada. Si k < 3 entonces los datos se presentan más aplanados que los de la curva normal, como es el caso de estudio: k = 2.3859. >> moment(data,2)% momento de orden 2 ans = 55.0400 >> s2=var(data,1)% calcula la varianza S2 = 55.0400

Obsérvese que el momento de orden 2 es la misma varianza. FIGURA 3.10 Curtosis Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platicúrtica

Coeficiente de variación. También es una medida relativa de dispersión. Determina el grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a su media aritmética. Si se ha realizado un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes, y se quiere comparar resultados, no se puede acudir a la desviación estándar para ver la mayor o

8

CHAO L. Lincoln. Op Cit. pp. 65-66

79

menor homogeneidad de los datos, sino a otro parámetro: el coeficiente de variación el cual se define como el cociente entre la desviación estándar y la media aritmética. CV = Ejemplo 3.4 En una exposición de ganado se estudia un conjunto de vacas con una media de 500 kilos y una desviación estándar de 50 kilos. Y se observa también un conjunto de ovejas con una media de 40 kilos y una desviación estándar de 10 kilos. ¿Qué grupo de animales es más homogéneo? Solución. Un razonamiento falso sería decir que el conjunto de ovejas es más homogéneo porque su desviación estándar es más pequeña, pero si se calcula el coeficiente de variación para ambos se notará que no es así: CVV = 50/500 = 0.1 = 10% CVO = 10/40 = 0.25 = 25% Por tanto, es más homogéneo el conjunto de las vacas9. Ejemplo 3.5 Quince estudiantes del grupo A de matemática I obtuvieron las siguientes notas definitivas al final del periodo: 25 34 26 45 23 36 29 32 33 44 31 30 35 40 20 y el grupo B de 20 estudiantes obtuvo las siguientes notas: 36 45 23 37 39 44 39 20 20 29 39 46 28 30 35 36 28 29 40 38 de la misma asignatura. El docente desea averiguar cuál de estos dos grupos es más homogéneo (más parejo), teniendo en cuenta las notas definitivas obtenidas. Solución >> x=[25 34 26 45 23 36 29 32 33 44 31 30 35 40 20]; >> y=[36 45 23 37 39 44 39 20 20 29 39 46 28 30 35 36 28 29 40 38]; >> stdx=std(x) stdx = 7.2230 >> stdy=std(y) stdy = 7.8168 >> xmedia=mean(x) xmedia = 32.2000 >> ymedia=mean(y)

9

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm

80

ymedia = 34.0500 >> CV1=std(x)/mean(x) CV1 = 0.2243 >> CV2=std(y)/mean(y) CV2 = 0.2296

Promedio aritmético del grupo 1 es: 32 Promedio aritmético del grupo 2 es: 34 Coeficiente de variación del grupo 1 es 22.43% Coeficiente de variación del grupo 2 es 22.96% Se puede observar que: el grupo 1 tiene un promedio más bajo que el grupo 2, pero el grupo 1 es más homogéneo que el grupo 2.

81

4. TEORÍA DE MUESTREO Tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales, la mayoría del conocimiento existente se debe a experiencias basadas en inferencias a partir de la observación y del análisis de un número limitado de eventos.10 De la calidad y representatividad que ese número limitado de eventos (muestra) tenga, dependerá la bondad o el defecto (la precisión o el error) del conocimiento generado y, precisamente por esto, es relevante identificar cómo se debe seleccionar una buena muestra11. El primer paso para lograrlo, es tener claridad de que un muestreo es un proceso por medio del cual se seleccionan probabilísticamente elementos de un universo o población con la finalidad de estimar, con un determinado grado de precisión, algunas características de la población en su totalidad12. De manera que, la lógica del muestreo consiste en estimar parámetros de la población a partir de estadísticos obtenidos de una muestra, aun cuando nunca se pueda afirmar con absoluta seguridad cuáles son esos parámetros. Esto, que aparentemente es un problema, realmente no lo es, ya que en la práctica lo importante es asegurar que el parámetro se encuentre dentro de cierto rango y esto lo permite la denominada teoría de la estimación que identifica la precisión de las estimaciones; es decir, identifica la probabilidad de que el valor real del parámetro se encuentre dentro de unos límites especificados13. Es necesario es entender que la teoría del muestreo permite estimar tamaños adecuados de muestra, indispensables para obtener una estimación con cierto grado de precisión. Para lograrlo, es necesario definir qué es un intervalo de confianza, qué es un grado de de significancia y qué es una distribución muestral. El grado de confianza se refiere a la probabilidad de que el valor real de un parámetro, se encuentre dentro de los límites especificados en la estimación que se quiere calcular14. El intervalo de confianza corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se espera que esté el parámetro con cierto grado de confianza o con riesgo de error conocido; para ello es necesario determinar primero la estimación puntual.

Cuando de una población de tamaño N se toman, por ejemplo, muestras de tamaño n un número infinito de veces, la distribución de cualquier estadístico calculado, por ejemplo de

10

VÉLEZ, Eduardo B. El Análisis de la Información. ICFES, Módulo 4. Serie Aprender a Investigar. Bogotá D.C. 1990. pp. 80. 11 Ibid. pp. 80 12 Ibid. pp. 81 13 Ibid. pp. 81 14 Ibid. pp. 81

82

su media aritmética, recibe el nombre de distribución de muestreo. Esto es importante, porque la distribución de muestreo de muchos estadísticos se aproxima a la curva normal y así se puede estudiarlos de manera adecuada15. Un intervalo de confianza permite verificar las hipótesis planteadas acerca de parámetros poblacionales. Existe intervalos de confianza bilaterales y unilaterales. En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada. La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de equivocarse se llama nivel de significancia y se simboliza como . Generalmente, se construyen intervalos con confianza 1- = 95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con = 10% o = 1% Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución normal estándar cumple: p(-1.96 < z < 1.96) = 0.95 Luego, si una variable x tiene distribución N( , ), entonces el 95% de las veces se cumple: Despejando

en la ecuación se tiene: x - 1.96

El resultado es un intervalo que incluye a el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo de confianza al 95% para la media cuando la variable x es normal y es conocido16. En cuanto a definición de población, el concepto de población o universo en estadística, va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población, se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes. También, una población es un conjunto de todos los elementos que se están estudiando, acerca de los cuales se intenta sacar conclusiones17. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc). Las características de la población se resumen en valores llamados parámetros.

15

VÉLEZ, Eduardo B. Op Cit. pp. 82 http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM 17 http://www.scribd.com/doc/5181091/Estadistica-y-poblacio-y-muestra 16

83

En cuanto a la muestra, la mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la población, porque de esta manera ahorra un gran esfuerzo. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman estadígrafos o estadísticos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los parámetros poblacionales18. A continuación se muestra la sintaxis de MATLAB con respecto a algunas funciones o comandos relativos a los conceptos examinados anteriormente.

SINTAXIS MATLAB® normfit19 [muhat,sigmahat] = normfit(data) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data,alpha) [...] = normfit(data,alpha,censoring) [...] = normfit(data,alpha,censoring,freq) [...] = normfit(data,alpha,censoring,freq,options

Descripción >>[muhat,sigmahat] = normfit(data) %devuelve el estimativo de la media

>>[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data) % devuelve el intervalo de confianza al 95% para los

s estimados de la m

respectivamente. La primera fila de

s arreglos

y

contiene las cotas inferiores de los intervalos de

confianza para , la segunda fila contiene las cotas superiores. La primera fila de contiene las cotas inferiores de los intervalos de confianza para , y la segunda fila contiene las cotas superiores. >>[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(datos,alpha) % devuelve el intervalo de confianza al 100(1 - alfa)%

stimado, donde alfa es un valor en el intervalo o rango [0 1],

18

http://www.scribd.com/doc/15268123/Conceptos-Basicos-de-Estadistica-I 1984-2008 The MathWorks, Inc. MATLAB®

19

84

,

especificando el ancho del intervalo de confianza. Por defecto, alfa es 0.05, lo cual corresponde a un intervalo de confianza del 95%.

Ejemplo 4.1 El contenido de siete contenedores similares de un ácido son 9.8, 10.2 10.4, 9.8, 10, 10.2, 9.6 litros. Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone que la distribución es aproximadamente normal. Solución. >> x=[9.8, 10.2 10.4, 9.8, 10, 10.2, 9.6 ]; %datos >>alfa=0.05 %alfa por defecto es 0.05 >>[muhat,sigmahat,muci]=normfit(x,alfa) % n-1

y muci: intervalo de confianza al 95%

muhat = 10 sigmahat = 0.2828 muci = 9.7384 10.2616

El intervalo en cuestión es: 9.7384 <

< 10.2616

4.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental basándose en información incompleta (de una parte de la población). La inferencia estadística es una parte de la Estadística que permite generar modelos probabilísticos a partir de un conjunto de observaciones. Del conjunto se observaciones que van a ser analizadas, se eligen aleatoriamente sólo unas cuantas, que es lo que se denomina muestra, y a partir de dicha muestra se estiman los parámetros del modelo, y se contrastan las hipótesis establecidas, con el objeto de determinar si el modelo probabilístico es el adecuado al problema real que se ha planteado. La utilidad de la inferencia estadística, consiste en que si el modelo se considera adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la realización de las previsiones convenientes. La inferencia estadística, parte de un conjunto de observaciones de una variable, y a partir de estos da infiere modelo probabilístico; por tanto, la inferencia 85

estadística es la consecuencia de la investigación empírica, cuando se está llevando a cabo, y como consecuencia de la ciencia teórica, cuando se están generando estimadores, o métodos, con tal o cual característica para casos particulares. La inferencia estadística es, en consecuencia, un planteamiento inductivo20. 4.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS En ingeniería e investigación hay muchas situaciones donde uno tiene aceptar o negar una hipótesis acerca de un parámetro. Una hipótesis estadística puede considerarse como una aseveración sobre los parámetros de una o más poblaciones. Una población es la totalidad de las observaciones de la cual se ocupa el investigador en el problema. Una muestra es un subconjunto de una población. Desde que se utilizan distribuciones de probabilidad para representar poblaciones, una hipótesis estadística puede considerarse como una aseveración sobre la distribución estadística de la población21. Por ejemplo, supóngase que se tiene un parámetro que ha sido obtenido de n muestras de una población, y se está interesado en determinar si este parámetro es igual a o. El procedimiento para la prueba de hipótesis requiere: Formular una hipótesis, llamada hipótesis nula, Ho La forma de prueba estadística apropiada, q o. Seleccionar un nivel de confianza (tener en cuenta que: 100(1- )% es el nivel de confianza para ). Comparar la prueba estadística para un valor que corresponde a la magnitud de la prueba que se puede esperar que ocurra naturalmente, q. Basado en las respectivas magnitudes de qo y q, la hipótesis nula tiene dos posibilidades, ser aceptada o rechazada. Si la hipótesis nula es rechazada, entonces se acepta la hipótesis alternativa, la cual se denota como H1. Hay tres casos posibles a considerar: Ho : Ha :

=

o o

Ho : Ha :

= >

o o

Ho : Ha :

= <

o o

Existen dos tipos de errores que se pueden cometer en la prueba de hipótesis: Error tipo I : Rechazar la hipótesis nula Ho cuando es verdadera. Error tipo II : Aceptar la hipótesis nula Ho cuando es falsa; esto es, cuando realmente 1.

20 21

http://www.mitecnologico.com/Main/InferenciaEstadistica

86

=

SINTAXIS MATLAB® ttest

22

h = ttest(x) h = ttest(x,m) h = ttest(x,y) h = ttest(...,alfa) h = ttest(...,alfa,tail) h = ttest(...,alfa,tail,dim) [h,p] = ttest(...) [h,p,ci] = ttest(...) [h,p,ci,stats] = ttest(...)

Descripción >>h =ttest(x) % varianza desconocida, frente a la h = 0, indica un error al rechazar la h h=ttest(x,m) y varianza desconocida, frente a la alternativa de que la media no sea

.

h=ttest(x,y) es la diferencia x-

rmal con media

0 y varianza desconocida, frente a la alternativa de que la media no sea 0. Se debe tener en

a) %ejecuta la prueba en (100*alfa)% nivel de significancia. Por defecto, cuando no se especifica alfa, esta es de 0.05. h=ttest(

22

,alfa,tail)

1984-2008 The MathWorks, Inc. MATLAB®

87

m). Se realiza por defecto, cuando la cola no se especifica. (prueba de dos colas). m) (prueba de cola derecha) m) (prueba de cola izquierda) h ttest(

,alfa,cola,dim)

-y para una prueba de par

de variables. Usar [] para pasar por defecto valores predeterminados para m, alfa, o tail. [h,p] = ttest

o la

t= Donde m) es la media poblacional hipotética, s es la desviación estándar muestral, y n es el tamaño de la muestra. Bajo la hipótesis nula, la prueba estadística tendrá una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad. [h,p,ci]=ttest(...) % retorna un intervalo de confianza de 100*(1

alpha)% de la media poblacional

o de la diferencia de medias poblacionales para una prueba apareada. [h,p,ci,stats]=ttest(...) %devuelve la estructura

con los siguientes campos:

tstat : Valor de la prueba estadística. df : Grados de libertad de la prueba. sd : Desviación estándar muestral.

Para probar la veracidad o no de una hipótesis acerca de la media poblacional, el MATLAB® asume la distribución normal cuando es conocida la media poblacional y la distribución t-student cuando no se conoce . Según esto, se utilizan las funciones ztest o ttest para comprobar la hipótesis nula. La forma de utilizar estas funciones se hace de la siguiente manera: Ejemplo 4.1 Considérese los datos de dataFci. Se quiere determinar si existe alguna diferencia estadísticamente significativa entre las medias de estas muestras con un 95% de confianza. Así, la hipótesis es: Ho: 1 = 2 H1: 2 Solución. Se usa ttest2 para determinar la validez de esta hipótesis. La función ttest2 es: [h,p,ci]=ttest2(x1, x2, alfa) 88

Donde x1 y x2 son los datos, alfa = , h = 0 si Ho y h = 1 si H1, p = p-valor; esto es: p = 2*(1-tcdf(t0,n-1)) Para un intervalo de confianza de dos colas; t0 = to está definido en la cuarta columna del caso 4, y ci(1) = l y ci(2) = u son los límites de confianza inferior y superior, respectivamente. Así, el script es: >> [x1,x2]=dataFci; >> [h,p,ci]=ttest2(x1,x2,0.05) h= 0 p= 0.6775 ci = -0.7819

1.1724

Ejecutando el anterior script, se obtiene h = 0; esto es, que no se puede rechazar la hipótesis nula, p = 0.6645, ci(1) = -0.7550, y ci(2) = 1.1855 son los límites de confianza inferior y superior, respectivamente, de la diferencia entre las medias. Basado en el valor de p, se ve que están solamente 100(1-0.6445)=35.55% de confianza Basado en el valor de p, se ve que se está a sólo 100(1-0.6445) = 35.55% de confianza en que existe una diferencia estadísticamente significativa entre los medios, el cual es sustancialmente inferior al valor deseado de nivel de confianza del 95%. Por tanto, la hipótesis nula no puede ser rechazada. Ejemplo 4.2 El vendedor de cierta marca de automóvil afirma que el kilometraje medio del modelo XW es de 45.425 Km por galón de gasolina. Un ente gubernamental de Pesas y Medidas, cree que el vendedor está generando falsas expectativas a los clientes. Nueve automóviles de este modelo son sometidos a prueba con un galón de gasolina y dan el siguiente resultado de kilómetros recorridos: 45.425 Km 41.640 Km 37.854 Km 39.747 Km 43.532 Km 41.640 Km 47.318 Km 37.854 Km 39.747 Km. ¿Se rechazará o se aceptará la afirmación del vendedor? Utilizar un nivel de significancia de 0.01 ( = 1%). Solución. Ho = 45.425 Km/galón 89

Ha

45.425 Km/galón

Formato: [h,sig,ci] = ttest(x, , , tail) Entrada: x : data (si es menor que 30 se utiliza t-student como en este caso) : media poblacional (44.425 Km/galón) : significancia (0.01) both right left

0

> <

0 0

Salida: Si h = 0, entonces se acepta la hipótesis nula. Si h = 1, entonces se rechaza la hipótesis nula. ci : intervalo de confianza sig : significancia >> x= [45.425 41.640 37.854 39.747 43.532 41.640 47.318 37.854 39.747];

h= 1 sig = 0.0085 ci = 37.9730 45.3064

h = 1, significa que debe rechazarse la hipótesis nula, es decir, que lo que afirma el vendedor no es creíble bajo una certeza del 99% sig = 0.0085 es menor que 0.01 o 1% , luego se rechaza la hipótesis nula. ci = [37.9730 Km/galón , 45.3064 Km/galón] es el intervalo en el que puede desempeñarse el carro, respecto al kilometraje que afirma el vendedor del automóvil XW, con una significancia del 1% Como la media poblacional es 45.425 km, no cae dentro del intervalo de confianza 0.99 = 99% = (1- ), es así que se rechaza la hipótesis nula. 90

Ejemplo 4.3 Probar la hipótesis de que la distancia media requerida para poder frenar un automóvil que va a 20 Km/h es de 25 metros. Con base en una muestra de 100 conductores se obtiene que la distancia media es 27.3 metros, con una desviación estándar de s = 2.1 metros. Utilizar un nivel de significación de 5%. Solución. Entrada: x: vector de 100 distancias con media 27.3 = 0.05 s = 2.5761 m = 25 Ho : = 25 Ha : 25 function d=dataset12 d=[30 30 28 26 26 24 22 30 31 29 29 26 28 26 30 25 31 30 29 26 30 29 23 34 24 30 26 24 23 28 28 23 28 31 27 24 31 28 25 28 25 26 30 24 27 30 27 32 35 29 28 29 26 27 28 29 30 24 29 28 25 24 26 30 29 28 24 28 30 23 26 27 25 24 27 29 30 24 25 28 28 28 30 26 27 25 24 25 31 26 24 30 27 28 25 26 24 27 26 28]; >> data=dataset12; >> sigma=2.1; >> alfa=0.05; >> m=25;

Salida: >> h = ztest(data,m,sigma,alfa,'both') h= 1

Como h = 1, se rechaza la hipótesis nula, es decir, que la distancia media requerida para frenar es diferente de 25 metros, a un nivel de significancia del 5%. SINTAXIS MATLAB ztest

23

23

The MathWorks, Inc. MATLAB® 1984-2008.

91

h = ztest(x,m,sigma) h = ztest(...,alpha) h = ztest(...,alpha,tail) h = ztest(...,alpha,tail,dim) [h,p] = ztest(...) [h,p,ci] = ztest(...) [h,p,ci,zval] = ztest(...) Descripción h = ztest(x,m,sigma) Ejecuta una prueba de hipótesis z (normal), donde la data proviene de una distribución con media m, y que devuelve el resultado de la prueba en términos de h. Cuando h = 0 indica que la m 5%. Los datos se supone que provienen de una distribución normal con desviación estándar sigma. h=ztest(...,alpha) %Ejecuta una prueba de nivel de significancia del (100*alfa)%. Por defecto, cuando no se especifica alfa da por sentado que alfa es 5% o 0.05. h=ztest(...,alpha,tail) %Ejecuta la prueba contra la alternativa especificada por la string Hay tres opciones para la string tail both especifica.

m (prueba de dos colas). Esto es por defecto, cuando la cola no se

'right' : La media es más grande que m (prueba de cola derecha). 'left' : La media es más pequeña que m (prueba de cola izquierda). La cola debe ser una cadena simple, incluso cuando x es una matriz o un arreglo n-dimensional. >>h=ztest(...,alpha,cola,dim) %

dim de x. Usar [] para pasar por

>>[h,p] = ztest(...) %devuelve el valor p de la prueba. El valor de p es la probabilidad, bajo la .

z= Donde es la media muestral, es la media poblacional hipotética, es la desviación estándar, y n es el tamaño de la muestra. Bajo la hipótesis nula, la prueba estadística tendrá una distribución normal estandarizada N(0,1). 92

[h,p,ci]=ztest(...) % devuelve un intervalo de confianza 100*(1

alfa)% de la media poblacional

[h,p,ci,zval]=ztest(...) % devuelve el valor de l

Ejemplo 4.3 De una población con distribución normal, constituida por 500 fichas que se encuentran en un archivador, se extrajo una muestra de 16 observaciones como sigue: 56 45 46 37 56 41 43 36 45 56 49 62 43 60 49 72 56. Se sabe que la desviación estándar poblacional =10, pero es desconocida la media poblacional ( = 50 verdadera). Cometiendo un riesgo = 0.05 (nivel de significancia 5%), probar la hipótesis de que la media poblacional sea igual a: (a) 40, (b) 49, (c) 50, (d) 51 y (e) 60. Solución. (a) Ho : Ha :

= 40 40

= 0.05 = 10 >> x=[56 45 46

37

56

41

43

36

45

56

49 62 43 60 49 72 56];

>> m=40; >> sigma=10; >> alfa=0.05; >> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both') % h= 1

Como h = 1 se rechaza la hipótesis nula, es decir, que no es cierto que (b) Ho : = 49 H1 : 49 = 0.05 = 10 >> m=49; >> sigma=10; >> alfa=0.05; >> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both') h= 0 93

= 40.

Como se sabe h = 0 significa que se acepta que aceptando algo falso que es un error tipo II. (c) Ho : H1 :

= 49 y

verdadera es 50, se está

= 49 49

>> m=50; >> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both') h= 0

Aquí se acepta la hipótesis nula Ho = 50, lo cual es verdadero y no se está cometiendo ningún error. (d) Ho : H1 :

= 51 51


Se acepta la hipótesis nula, por lo tanto se está cometiendo un error de tipo II porque se sabe que la media poblacional verdadera es 50. (e) Ho : H1 :

= 60 60


Como h = 1, se rechaza la hipótesis nula y por tanto no se comete ningún error, ya que se rechaza algo falso. Ejemplo 4.4 Encuentre el intervalo de confianza para la media muestral al 95% de nivel de confianza, según los datos dados en dataset10. 94

Solución. Si se tiene el nivel de confianza del 95%, entonces el programa para determinar el intervalo de confianza de la media es: function d=dataset10 d=[105 160 157 190 199 121 160 172 156 110 97 196 151 76 115 120 150 171 229 133 245 221 175 101 193 181 181 237 158 123 163 154 201 142 167 160 168 170 148 146 207 228 183 149 171 194 158 180 150 169 134 131 153 200 163 184 208 167 118 158 218 180 174 186 87 165 133 176 143 135 199 178 154 174 176 145 135 158 141 149]; clc disp([' ']) meen=mean(dataset10); L=length(dataset10); q=std(dataset10)*tinv(0.975,L-1)/sqrt(L); disp([' ']) disp([' Media muestral = ' num2str(meen)]) disp([' ']) disp(' Intervalo de confianza para la media muestral al 95% de nivel de confianza: ') disp([' ']) disp([' ' num2str(meen-q) ' <= Media muestral <= ' num2str(meen+q)]) disp([' '])

Considere los datos en dataset10. Se quiere saber si existe una diferencia estadísticamente significativa entre la muestra y un valor promedio de 168 ( 0 = 168) en un 95% de nivel de confianza. Así, la hipótesis es: Ho: H1:

= 168 168

Se usa ttest para determinar la validez de la hipótesis. [h,p,ci]=ttest(data,mucero,alfa)

Donde data son los datos, mucero =

0,

alfa = , h = 0 si Ho y h = 1 si H1, p = valor de p;

esto es:

95

p = 2*(1-tcdf(t0,n-1)); >> [h,p,ci]=ttest(dataset10,168,0.05) h= 0 p= 0.1614 ci = 155.1466 170.1784

Así, en el presente caso, tras la ejecución, se encuentra que h = 0; es decir, no se puede rechazar la hipótesis nula, p = 0.1614, ci(1) = 155.1466, y ci(2)=170.1784. Se observa que = 162.6625 dado atrás y que el intervalo de confianza para el valor de 168 en el 95% de nivel de confianza es . Siendo que el valor hipotético de 168 para la media está dentro de este intervalo de confianza, se debe esperar que la hipótesis nula no sea rechazada. De hecho, basado en su p-valor, se ve que se está a sólo 100(1-0.1614) = 83,9% de confianza, que es menos que el nivel de confianza del 95% deseado. Ahora, si se ejecuta: >> [h,p,ci]=ttest(dataset10,175,0.05) h= 1 p= 0.0016 ci = 155.1466 170.1784

Se obtiene h = 1; esto es, se puede rechazar la hipótesis nula y aceptar H1; p = 0.0016, ci(1) = 155.1466, y ci(2) = 170.1784. En otras palabras, se puede tener 100(1-0.0016) = 99.84% de confianza que la media de los datos en dataset10 son diferentes del valor de la media de 175.

Ejemplo 4.5 Determinar el intervalo de confianza para la razón de varianzas muestrales al 95% de nivel de confianza. Solución. Se consideran los datos almacenados en function [set1,set2]=dataFci 96

, para desarrollar el ejemplo:

set1=[41.60 41.28 42.34 41.95 41.86 42.18 41.72 42.26 41.81 42.04]; set2=[39.72 42.59 41.88 42.00 40.22 41.07 41.90 44.29]; clc disp([' ']) [data1,data2]=dataFci; r=var(data1)/var(data2); L1=length(data1); L2=length(data2); q2=r*finv(.975,L2-1,L1-1); q1=r/finv(.975,L1-1,L2-1); disp([' ']) disp(['Razon de varianzas muestrales = ' num2str(r)]) disp([' ']) disp('Intervalo de confianza para la razon de varianzas muestrales al 95% de nivel de confianza: ') disp([' ']) disp(['' num2str(q1) ' <= Razon de la varianza muestral <= ' num2str(q2)]) disp([' '])

Después de la ejecución se obtiene: Razon de varianzas muestrales = 0.051599

Intervalo de confianza para la razon de varianzas muestrales al 95% de nivel de confianza:

0.010698 <= Razon de la varianza muestral <= 0.21656

Ejemplo 4.6 Considere los datos de dataFci. Se quiere saber si existe alguna diferencia estadísticamente significativa entre las variaciones de estas muestras con un 95% de confianza. Así, la hipótesis es: Ho :

=

H1 : La prueba estadística es: fo =

97

y el criterio de rechazo de la hipótesis nula es bien f0 > f /2,n1-1,n2-1 ,Or, f0 < f1- /2,n1-1,n2-1 Solución. Se usa vartest2 para determinar la validez de esta hipótesis; esto es, [h,p,ci] = vartest2(x1,x2,alfa)

Donde x1 y x2 son los datos, alfa = , h = 0 si Ho, y h = 1 si H1, p = valor de p, esto es: p=2*(1-fcdf(f0,n1,n2)) para un intervalo de confianza de dos colas; f0 = f 0, y ci(1) = l y ci(2) = u son los límites de confianza superior e inferior, respectivamente. El script es: >> [x1,x2]=dataFci; >> [h,p,ci]=vartest2(x1,x2,0.05) h= 1 p= 6.5379e-005 ci = 0.0083

0.1674

Al ejecutar el anterior script, se encontró que h = 1; o sea, se niega la hipótesis nula, p = 6.5379 x 10-5, ci(1) = 0.0083, y ci(2) = 0.1674 que son los límites de confianza inferior y superior, respectivamente en relación a las varianzas. Con base en el valor de p, se observa que hay 100(1 - 6.5379 x 10-5) = 99.993 % de confianza que hay diferencia estadísticamente significativa en sus varianzas.

98

5. AJUSTES DE CURVAS Y REGRESIÓN 5.1 INTRODUCCIÓN Todas las fases científicas, y prácticas de ingeniería y servicios humanos implican la obtención, procesamiento, e interpretación de datos. La puesta de datos experimentales a una ecuación matemática se llama regresión. La regresión puede tener diferentes adjetivos, según la forma matemática que se utilice para el ajuste y el número de variables utilizada. Por ejemplo, la regresión lineal consiste en utilizar una línea recta, o ecuación lineal para el ajuste requerido. Otro ejemplo puede ser, regresión múltiple que implica una función de más de una variable independiente. La regresión y correlación son las dos herramientas estadísticas más poderosas y versátiles que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes de investigación. Se dice que una variable depende de la otra, o como en este caso, que y depende de x, donde x e y son dos variables cualesquiera. Esto se puede escribir como: y = f(x). Se lee: y es función de x. 5.2 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El primer caso a considerar es el de un conjunto de datos bidimensionales (puntos en el plano) en el que se selecciona la "mejor" línea recta o ecuación lineal que se ajuste, a los datos correspondientes del problema. Esta recta podrá tener o no tener sentido para los datos correspondientes, ello dependerá de su comportamiento en la realidad. Si esta relación es evidente desde una simple inspección en que la variación es drásticamente diferente de la de una ecuación lineal, el procedimiento puede dar resultados que tienen muy poco sentido. Sin embargo, si la tendencia general de los datos parece aproximarse a una línea recta, el procedimiento puede arrojar resultados significativos. En el caso expuesto,

es la variable dependiente y

es la variable independiente. Es

importante en su momento identificar cuál es la variable dependiente y cuál la independiente. La variable dependiente es la variable que se desea explicar o predecir. A la variable independiente se le denomina también como variable explicativa. Se debe diferenciar entre regresión simple y regresión múltiple. En la regresión simple, se establece que y es función de una sola variable independiente. A veces se le llama regresión bivariada porque intervienen dos variables. En un modelo de regresión múltiple, y es función de dos o más variables independientes y se nota: y = f(x1, x2, x3 n) donde hay n variables independientes.

99

Es necesario también hacer distinción entre regresión lineal y regresión curvilínea (no lineal). En el caso de la regresión lineal, la relación se representa mediante una línea recta y en el caso de regresión curvilínea obviamente mediante una curva. Si x e y se relacionan linealmente entonces a medida que x cambia, y cambia en forma constante. Si existe una relación curvilínea y cambiará en cantidades diferentes a medida que cambia x. 5.3 DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN A simple vista se puede observar que en la figura 5.1 no existe relación alguna entre las dos variables. FIGURA 5.1 No existe relación entre los vectores de datos x e y

En la figura 5.2, la línea recta ajusta bien los datos FIGURA 5.2 Relación lineal positiva

100

En la figura 5.3, la recta tiene una pendiente negativa y proporciona un buen ajuste. FIGURA 5.3 Relación lineal negativa

En la figura 5.4, los puntos de los datos sugieren una relación curvilínea FIGURA 5.4 Relación curvilínea

El modelo más elemental de regresión es aquel donde los puntos tienden a formar una línea recta en el diagrama de dispersión. En este caso, la ecuación de regresión lineal simple está dada por: y= x+ donde

es la pendiente de la recta dada.

La siguiente función calcula los coeficientes de regresión y y el error cuadrático en el ajuste de los puntos con respecto a la recta. La función de regresión es: f(x) = x + 101

function [a,b]=linefit(x,y) n=length(x); S1=sum(x); S2=sum(y); S3=sum(x.*x); S4=sum(x.*y); a=(n*S4-S1*S2)/(n*S3-(S1)^2); b=(S3*S2-S4*S1)/(n*S3-(S1)^2); for k=1:n p1=a+b*x(k); Error(k)=abs(p1-y(k)); end Error=sum(Error.*Error)

Se entran primero los vectores x e y que deben ser de la misma dimensión y luego desde el área de trabajo se llama de la siguiente manera: >> x=[1 2 3 4 5]; >> y=[1 5 7 8 10] >> [a b]=linefit(x,y) Error = 147.9000 a= 2.1000 b= -0.1000 >> z=a+b.*x; >> plot(x,y,'*',x,z),grid >> z=a.*x+b; >> plot(x,y,'*',x,z),grid

FIGURA 5.5 Línea recta de ajuste por mínimos cuadrados

102

>> polyfit(x,y,1) ans = 2.1000 -0.1000 >> x=[-3 -2 -1 0 1 2 3]; >> y=[8 5 2 0 1 3 10]; >> polyfit(x,y,1)%interpolaci

n de MATLAB

ans = 0.0357

4.1429

>> [a b]=linefit(x,y)

n lineal con la funci n creada

Error = 673.2232 a= 0.0357 b= 4.1429 >> z1=a.*x+b; >> polyfit(x,y,2) %interpolaci n cuadr tica con la funci n de MATLAB ans = 0.9643

0.0357

0.2857

>> z2=0.9643*x.^2+0.0357*x+0.2857

tica

z2 = 8.8573

4.0715

1.2143

0.2857

1.2857

4.2143 103

9.0715

>> plot(x,y,'*',x,z1,x,z2), grid

La función p=poly(r) da los coeficientes del polinomio p cuyas raíces son el vector r. La función polyfit(x,y,n) da los coeficientes del polinomio de grado n que se ajusta a los puntos (x,y) FIGURA 5.6. Ajuste lineal y cuadrático

Ejemplo 5.1 Considere los datos dados de la tabla 5.1. Estos datos son colocados en un archivo M de función llamado DataRegress1. Nótese sin embargo, que estos datos no están ordenados. Siendo que esto es un inconveniente cuando llega el momento de graficarlos con una línea recta conectada, se ordenan pues los datos en forma ascendente. Ninguno, ni polyfit ni polyconf requieren del ordenamiento. TABLA 5.1 Data de la variable independiente x, y la variable dependiente y x : 2.38 2.44 2.70 2.98 3.32 3.12 2.14 2.86 3.50 3.20 2.78 2.70 2.36 2.42 2.62 2.80 2.92 3.04 3.26 2.30

y : 51.11 50.63 51.82 52.97 54.47 53.33 49.90 51.99 55.81 52.93 52.87 52.36 51.38 50.87 51.02 51.29 52.73 52.81 53.59 49.77

function [x,y]=DataRegress1 xx=[2.38 2.44 2.70 2.98 3.32 3.12 2.14 2.86 3.50 3.20 2.78 2.70 2.36 2.42 2.62 2.80 2.92 3.04 3.26 2.30]; yy=[51.11 50.63 51.82 52.97 54.47 53.33 49.90 51.99 55.81 52.93 52.87 52.36 51.38 50.87 104

51.02 51.29 52.73 52.81 53.59 49.77]; [x,index]=sort(xx); %los datos se ordenan pero deben preservarse las parejas y=yy(index); %lo anterior se logra de esta manera >> [x,y]=DataRegress1; >> [c,s]=polyfit(x,y,1); >> [yhat,w]=polyconf(c,x,s,0.005); >> syy=sum(y.^2)-length(x)*mean(y)^2; >> sse=syy-c(1)*(sum(x.*y)-length(x)*mean(x)*mean(y)); >> plot(x,yhat,'k-',x,yhat-w,'k--',x,yhat+w,'k--',x,y,'ks',[x;x],[yhat;y],'k-') >> legend('Linea de regresion','95% intervalo de confianza de y','Location','SouthEast') >> axis([2,3.6,48,57]) >> xlabel('x(Entrada)') >> ylabel('y(Respuesta')) >> coefdet=(1-sse/syy) coefdet = 0.8774

El coeficiente de determinación está cerca de 1, lo cual refleja una correlación buena. Se sabe que el coeficiente de determinación toma valores en el intervalo [-1,1]. Si el valor es 1 existe una relación lineal positiva perfecta. Si es 0 indica que entre las dos variables no existe relación lineal alguna (porque puede haber curvilínea). Si fuera negativa indica que entre x e y existe una correlación lineal negativa perfecta.

FIGURA 5.7 Regresión lineal para la data del ejemplo 5.7 y límite de confianza de y

105

FIGURA 5.8 Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones de la línea que aparece adecuada en la figura anterior.

Ahora, se continúa adelante para investigar las desviaciones. Primero se calculan las desviaciones y luego se grafica utilizando normplot para determinar si están normalmente distribuidas. El script es: >> [x,y]=DataRegress1; >> normplot(y-polyval(polyfit(x,y,1),x)) 106

Siendo que las desviaciones están muy cerca de la línea que representa la distribución normal, se puede decir que las desviaciones están muy cercanamente distribuidas de forma normal, por lo tanto, el modelo es adecuado. Ejemplo 5.2 Una muestra de 10 estudiantes que ingresaron a la universidad con los siguientes puntajes: 39, 43, 21, 64, 57, 47, 28, 75, 34, 52 sobre 100 obtuvieron las siguientes notas en matemática I: 65, 78, 52, 82, 92, 89, 73, 98, 56, 75, respectivamente. Solución. function [x,y]=DataRegress2 xx=[39 43 21 64 57 47 28 75 34 52]; yy=[65 78 52 82 92 89 73 98 56 75]; [x,index]=sort(xx); %los datos se ordenan pero deben preservarse las parejas y=yy(index); %lo anterior se logra de esta manera >> [x,y]=DataRegress2; >> [c,s]=polyfit(x,y,1); >> [yhat,w]=polyconf(c,x,s,0.005); >> syy=sum(y.^2)-length(x)*mean(y)^2; >> sse=syy-c(1)*(sum(x.*y)-length(x)*mean(x)*mean(y)); >> plot(x,yhat,'k-',x,yhat-w,'k--',x,yhat+w,'k--',x,y,'ks',[x;x],[yhat;y],'k-') >> legend('Linea de regresion','95% intervalo de confianza de y','Location','SouthEast') >> axis([15,80,10,140]) >> xlabel('x(Examen de Entrada)') >> ylabel('y(Def. Matematica I)') >> coefdet=(1coefdet = 0.7052

El coeficiente de determinación, muestra una buena relación lineal positiva entre las variables, porque está próximo a 1. Para el caso en cuestión, muestra que el puntaje obtenido por los estudiantes al ingresar a la universidad, se ha visto reflejado en las notas de matemática I. Ahora, se se observan las desviaciones. Primero se calculan las desviaciones y luego se grafica utilizando normplot para determinar si están normalmente distribuidas. Ver figura 5.10. El script es: 107

>> [x,y]=DataRegress2; >> normplot(y-polyval(polyfit(x,y,1),x))

FIGURA 5.9 Recta de regresión estimada de las notas de Matemática I respecto al puntaje de ingreso a la universidad

FIGURA 5.10 Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones

108

Los datos se adaptan bien con los puntos de la normal.

(Curso II) 6. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 7. SERIES DE TIEMPO 8. ANÁLISIS DE VARIANZA 9. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

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APÉNDICE 1 >> theta1=linspace(-2.0*pi,2.0*pi,35); >> theta2=linspace(-2.0*pi,2.0*pi,35); >> [T1,T2]=meshgrid(theta1,theta2); >> F=T2.^2/2-cos(T1); >> meshc(T1,T2,F) >> axis([-2.0*pi,2.0*pi,-2.0*pi,2.0*pi,-5,20]) >> xlabel('\theta_1') >> ylabel('F(\theta_1,\theta_2)')

110

APÉNDICE 2 >> t=linspace(0,2*pi); >>fill(t,sin(t),'m') >>hold on >>fill(t,0.5*sin(2*t),'y') >>axis off

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APÉNDICE 3 >> x=linspace(0,6,100); >> hc=plot(x,cos(x),'k-'); >> hold on >> hch=plot(x,1./cosh(x),'k--'); >> hcl=plot([4.73,4.73],[-1,1],'k'); >> [a,b]=legend('cos(x)','1/cosh(x)','location','SouthWest'); >> xlabel('\it\bfx','FontSize',14,'FontName','Times') >> ylabel('Value of function','FontSize',14) >> ylabel('Valor de la funcion','FontSize',14) >> title('\bfMuestra la interseccion de las dos curvas','FontName','Courier','FontSize',14)

>> text(4.8,-0.1,'\itx \rm= 4.73','FontName','Times','FontSize',12) >> set(hc,'LineWidth',4) >> set(hch,'LineWidth',2.5) >> set(hcl,'LineWidth',0.25,'color','g') >> set(gca,'FontSize',14,'LineWidth',1.5) >> set(b(1),'FontSize',10)

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113

APÉNDICE 4 Modelo de Solución de problemas con MATLAB® Se usan globos metereológicos para obtener datos de temperatura y presión a diferentes alturas en la atmósfera. El globo se eleva porque la densidad del helio en su interior es menor que la del aire que rodea al globo. Al subir el globo, el aire circundante se vuelve menos denso, y el ascenso se va frenando hasta que el globo alcanza un punto de equilibrio. Durante el día, la luz del Sol calienta el helio atrapado dentro del globo; el helio se expande y se vuelve menos denso, y el globo sube más. Durante la noche, en cambio, el helio del globo se enfría y se vuelve más denso, y el globo desciende a una altura menor. El día siguiente, el Sol calienta el helio otra vez, y el globo sube. Este proceso genera una serie de mediciones de altura con el transcurso del tiempo que se pueden aproximar con una ecuación polinómica. Suponga que el siguiente polinomio representa la altura en metros durante las primeras 48 horas después del lanzamiento de un globo metereológico: h(t) = -0.12t4 + 12t3

380t2 + 4100t + 220

donde las unidades de t son horas. Genere curvas para la altura, velocidad y aceleración de este globo usando unidades de metros, m/s y m/s 2. Además, determine y exhiba la altura máxima y su hora correspondiente. Planteamiento del problema Usando el polinomio dado, determine la velocidad y aceleración que corresponden a la información de altura. Grafique la altura, velocidad y aceleración. Además calcule la altura máxima y su hora correspondiente. Descripción de entradas/salidas El siguiente diagrama de E/S muestra que el programa no tiene entradas externas. La salida consiste en las curvas y la altura máxima con su correspondiente tiempo.

* Gráfica de valores de altura No hay datos externos de entrada

* Gráfica de valores de velocidad * Gráfica de valores de aceleración

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Ejemplo a mano Solamente se necesita calcular la velocidad y la aceleración derivando a mano la función polinómica dada de la altitud. Los datos se graficarán y se determinará el valor máximo. No obstante, es importante señalar que, al ser horas las unidades de t, se necesita convertir m/h en m/s sustituyendo el tiempo en horas por el tiempo en segundos. Solución con MATLAB® %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %polinomico para la altura de un globo metereologico. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% t=linspace(0,48,480); altitud=-0.12*t.^4+12*t.^3-380*t.^2+4100*t+220; velocidad=-0.48*t.^3+36*t.^2-760*t+4100; aceleracion=-1.44*t.^2+72*t-760; % subplot(2,1,1),plot(t,altitud),title('Altura del globo') xlabel('t, horas'),ylabel('metros'),grid,pause subplot(2,1,1),plot(t,velocidad/3600),title('Velocidad del globo') ylabel ('m/seg'),grid subplot(2,1,2),plot(t,aceleracion/(3600*60)),title('Aceleracion del globo'),xlabel('t, horas') ylabel('metros/seg^2'),grid % clc maxima_altitud=max(altitud) for i=1:length(altitud) if altitud(i)==maxima_altitud, t(i), break, end end clc fprintf('La altura

en metros es: %8.2f El tiempo en segundos es: %6.2f

\n',maxima_altitud,t(i))

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GLOSARIO ANÁLISIS DE CORRELACIÓN. Es el conjunto de técnicas estadísticas empleado para medir la intensidad de la asociación entre dos o más variables. El principal objetivo del análisis de correlación consiste en determinar qué tan intensa es la relación entre dos o más variables. Normalmente, el primer paso es mostrar los datos en un diagrama de dispersión. ANÁLISIS DE REGRESIÓN. Es una técnica estadística para el modelamiento e investiga las relaciones entre dos o más variables. El modelo de regresión lineal simple tiene únicamente una variable independiente24. Es la técnica empleada para desarrollar la ecuación y dar las estimaciones. ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE. Consiste en estimar una variable dependiente, utilizando dos o más variables independientes. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LA INFORMACIÓN. Disciplina que se define como la ciencia de la recolección, análisis, interpretación y presentación de información que puede expresarse en forma numérica. COEFICIENTE DE CONFIANZA. Es la probabilidad de que un intervalo de confianza contenga el parámetro que se estima.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. Describe la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables de nivel de intervalo. Es la medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde -1 hasta 1, indicando que mientras más cercano a 1 sea el valor del coeficiente de correlación, en cualquier dirección, más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más cercano a 0 sea el coeficiente de correlación indicará más débil esta asociación entre ambas variables. Si es igual a 0 se concluirá que no existe relación lineal alguna entre ambas variables. COVARIANZA. La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. DESVIACIÓN ESTÁNDAR. Se define como la raíz cuadrada de la varianza o como la desviación cuadrática media.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN. Es aquel gráfico que representa la relación entre dos variables.

24

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ECUACIÓN DE REGRESIÓN. Es una ecuación que define la relación lineal entre dos 1x1

+b2x2 + b3x3

ECUACIÓN DE REGRESIÓN MÚLTIPLE. La forma general de la ecuación de regresión múltiple con dos variables independientes es: = a + b1x1 + b2x2 x1 y x2 Variables independientes a

Coordenada del punto de intersección con el eje y

b1

Coeficiente de regresión (es la variación neta en y por cada unidad de variación en x1)

b2

Coeficiente de regresión (es el cambio neto en y para cada cambio unitario en x2)

ESTADÍSTICA. La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, 25 representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población . ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población. ESTADÍSTICA INFERENCIAL. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población 26 llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población . ESTADÍSTICO. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros. ESTIMADOR. Un estimador puntual utiliza un número único o valor para localizar una estimación del parámetro. Un intervalo de confianza denota un rango dentro del cual puede encontrarse el parámetro, y el nivel de confianza que el intervalo contiene del parámetro. ESTIMADORES Y ESTIMACIONES. Un estimador es el proceso mediante el cual se obtiene la estimación. Una estimación es el resultado numérico del estimador. Se dice que un buen estimador debe ser: Insesgado, es decir, que no tenga sesgo o error, cuando el valor del estimador es igual al del parámetro. Consistente, o sea, que al aumentar el tamaño de la muestra, converge en probabilidad al parámetro que se estima.

25 26

http://www.scribd.com/doc/15268123/Conceptos-Basicos-de-Estadistica-I http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm

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Eficiente, es decir, que el estimador tiene la menor varianza entre todos los estimadores posibles. Suficiente, o sea, cuando incluye toda la información que la muestra puede proporcionar 27 acerca del parámetro . ESTIMADOR INSESGADO. Un estimador es insesgado si la media de su distribución muestral es igual al parámetro correspondiente. ESTIMADOR EFICIENTE. Dado un estimador insesgado, el estimador más eficiente es aquel que tenga la varianza más pequeña. ESTIMADOR CONSISTENTE. Un estimador es consistente si, a medida que n aumenta, el valor del estadístico se aproxima al parámetro. ESTIMADOR SUFICIENTE. Un estimador es suficiente si ningún otro estimador puede proporcionar más información sobre el parámetro. GRADO DE CONFIANZA. Se refiere a la probabilidad de que el valor real de un parámetro, se encuentre dentro de los límites especificados en la estimación que se quiere calcular. GRADOS DE LIBERTAD. El número de observaciones menos el número de restricciones impuestas sobre tales observaciones. GRÁFICO DE BARRAS. Son barras horizontales que representan el grado en que ciertas características pueden existir a partir de la observación de casos o elementos. GRÁFICOS CÍRCULARES O DE PASTEL (PIE). Son gráficas circulares divididas en sectores, que representan fracciones del círculo total y que están asociadas con una característica específica. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA. Son gráficos que presentan la información contenida en una distribución de frecuencia. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA. Puede considerarse como la afirmación acerca de una característica ideal de una población sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y que, a la vez, es expresada de tal forma que puede ser rechazada. INTERVALO DE CONFIANZA. Corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se espera que esté el parámetro con cierto grado de confianza o con riesgo de error conocido; para ello es necesario determinar primero la estimación puntual. MEDIANA. Es la observación de la mitad después de que se han colocado la data en una serie ordenada. Se usa en variables medidas en escala ordinal, intervalo o de razón. Si la data está agrupada, la mediana se define como el valor dentro del intervalo que divide la distribución en dos partes iguales.

27

MARTÍNEZ B. Ciro. Op.Cit. pp. 315

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MEDIA ARITMÉTICA. Se le llama también promedio. Es una medida de tendencia central que consiste en la suma de las mediciones divididas por el total del número de mediciones. Se utiliza en variables medidas en escalas de intervalo o de razón. MEDIA GEOMÉTRICA. Proporciona una medida precisa de un cambio porcentual promedio en 28 una serie de números . MEDIDA DE DISPERSIÓN. Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su 29 media . MÉTODO NO PARAMÉTRICO. O de distribución libre, es el análisis estadístico que no depende del conocimiento de la distribución, ni de los parámetros poblacionales. MODA. La moda de una distribución se define como el valor más frecuentemente encontrado, o la mayor frecuencia. Se usa con mediciones en escala nominal, ordinal, de intervalo o de razón. Si se trabaja con datos agrupados la moda se refiere al valor medio del intervalo que contiene la mayor frecuencia. MUESTRA. Es un subconjunto, extraído de la población (mediante técnicas de muestreo), cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población. MUESTREO. Es la técnica utilizada en la selección de una muestra a partir de una población. MUESTREO NO PROBABILÍSTICO. Este tipo de muestreo, puede haber clara influencia de la persona o personas que seleccionan la muestra o simplemente se realiza atendiendo a razones de comodidad. Salvo en situaciones muy concretas, en la que los errores cometidos no son grandes, debido a la homogeneidad de la población, en general no es un tipo de muestreo riguroso y científico, dado que no todos los elementos de la población pueden formar parte de la muestra. Por ejemplo, si se hace una encuesta telefónica por la mañana, las personas que no tienen teléfono o que están trabajando, no podrán formar parte de la muestra. MUESTREO PROBABILÍSTICO. En este tipo de muestreo, todos los individuos de la población pueden formar parte de la muestra, tienen probabilidad positiva de formar parte de la muestra. Por lo tanto es el tipo de muestreo que se debe utilizar en las investigaciones, por ser el más riguroso y científico. M.A.S. Es un muestreo aleatorio simple, donde todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. La selección de la muestre puede realizarse a través de cualquier mecanismo probabilístico en el que todos los elementos tengan las mismas opciones de salir. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. Son las medidas que se obtienen sobre la distribución de probabilidades de la población, tales como la media, la varianza, la proporción, etc. Pueden ser de dos tipos:

28 29

WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGraw-Hill. Bogotá D.C. 2000. pp. 44. WEBSTER, Allen L. Op. Cit. pp. 47.

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PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN. Son datos que representan de forma global a toda la población. Entre ellos se estudian: la media aritmética, la moda y la mediana. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN. Son datos que informan de la concentración o dispersión de los datos respecto de los parámetros de centralización. Por ejemplo el rango, la desviación media, la 30 varianza y la desviación estándar . PERCENTILES. Es una medida de dispersión utilizada para calcular el valor que tiene P % de las mediciones por debajo del percentil P y (100-P %) por encima. POBLACIÓN. Es el conjunto de todos los elementos que son objeto del estudio estadístico. Algunos autores también le llaman Universo. POLÍGONOS DE FRECUENCIA. Son gráficos en la forma de una serie de líneas rectas conectadas entre sí y que unen puntos medios de intervalos a lo largo del eje horizontal.

PRINCIPIO DE MÍNIMOS CUADRADOS. Es la técnica empleada para obtener la ecuación de regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales

PRUEBA DE HIPÓTESIS. Se denomina también prueba de significación que tiene por objeto principal evaluar suposiciones o afirmaciones acerca de los valores estadísticos de la población, denominados parámetros. RANGO. Medida de dispersión que identifica la distancia entre el valor máximo y el menor valor de la distribución. O también se define como la diferencia entre el límite superior e inferior. RANGO INTERCUARTÍLICO. Es otra medida de dispersión y se define como la diferencia entre el cuartil superior y el inferior. 2

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL. Si de una población de tamaño N con media y varianza se obtienen muestras al azar, la distribución de las medias de las muestras seleccionadas será normal. Y más lo será en la medida en que se incremente el número de muestras seleccionadas y 2 31 tendrá una media de y varianza /N .

VARIABLE. Al hacer un estudio de una determinada población, se observa una característica o propiedad de sus elementos. Por ejemplo, con los y las estudiantes de la clase, se puede estudiar el lugar de residencia, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características 32 estudiadas se llama variable estadística . Dependiendo de la característica se pueden distinguir varios tipos de variables: VARIABLE CUALITATIVA. Es aquella característica que no se puede expresar con números y hay que expresarla con palabras. Por ejemplo, el lugar de residencia.

30

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm VÉLEZ, Eduardo B. El Análisis de la Información. ICFES, Módulo 4. Serie Aprender a Investigar. Bogotá D.C. 1990. 32 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm 31

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VARIABLE CUANTITATIVA. Es cualquier característica que se puede expresar con números. Por ejemplo, el número de hermanos o la estatura. Dentro de esta variable se pueden distinguir dos tipos: VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. Es aquella variable que puede tomar únicamente un número finito de valores. Por ejemplo, el número de hermanos. VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA. Es aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo real. Por ejemplo, la estatura.

VARIABLE DEPENDIENTE. Es la variable que se predice o calcula, cuya representación puede ser y. VARIABLE INDEPENDIENTE. Es la variable que proporciona las bases del cálculo, cuya representación puede ser: x1, x2 VARIANZA. El promedio de las observaciones respecto a su media elevados al cuadrado.

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BIBLIOGRAFÍA ARAÚJO, Ulisses F. y SASTRE, Genoveva. El Aprendizaje Basado en Problemas. Una nueva perspectiva de la enseñanza en la universidad. Gedisa Editorial. Barcelona, 2008. ARBOLEDA Q. Dairon y ÁLVAREZ J. Rafael. MATLAB. Aplicaciones a las Matemáticas Básicas. Sello Editorial Universidad de Medellín, 2008. BLAIR, Clifford R. and TAYLOR, Richard A. Bioestadística. Pearson Prentice Hall. México D.F. 2008. BOWERMAN, Bruce L. y otros. Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión. Un enfoque Aplicado. CENGAGE Learning. México, 2007. BROCKWELL, Peter J. and DAVIS, Richard A. Time Series: Theory and Methods. Springer Series in Statistics. Springer. New York, 2006. CHAPMAN, Stephen J. MATLAB® Programming for Engineers. CENGAGE Learning. International Student Edition. Stanford, 2008 CHAO L. Lincoln. Estadística para las Ciencias Administrativas. Mc Graw-Hill. Bogotá D.C. 1998. GIL RODRÍGUEZ, Manuel. Introducción Rápida a MATLAB y SIMULINK PARA CIENCIA E INGENIERÍA. Díaz de Santos. Madrid, 2003. HAIR, ANDERSON et al. Análisis multivariante. Prentice Hall. Madrid, 2000. HANSELMAN, Duane and LITTLEFIELD, Bruce. Mastering MATLAB 7. Pearson Prentice-Hall. New Jersey, 2005. INSTITUTO DE NORMAS TÉCNICAS Y CERTIFICACIÓN. Trabajos escritos: presentación y referencias bibliográficas. ICONTEC. Bogotá D. C. 2009. KREYSZIG, Erwin. Introducción a la Estadística Matemática. Principios y Métodos. Editorial LIMUSA S. A. Méxido D.F. 1990. MILLER, Irwin y FREUND, John E. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall. México D.F. 1990 PÉREZ, César. MATLAB® y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería. Prentice Hall. Madrid, 2002. PÉREZ, César. Econometría de las Series Temporales. Pearson. Prentice Hall. Madrid, 2006. Prentice Hall. New Jersey, 2010. MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro. Estadística y Muestreo. ECOE Ediciones. Bogotá D.C. 2003. 122

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA INVESTIGADORES Curso básico

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