B Curso MatLab

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Escuela Universitaria Politécnica Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica

Curso de iniciación a MATLAB

c

Tercera Edición

´ Oscar Angulo Torga Eduardo Cuesta Montero César Gutiérrez Vaquero Mar´ıa del Carmen Mart´ınez Mart´ınez

Índice general 1. Introducci´ on

6

1.1. Presentación del curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Entorno Linux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Encuesta inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. Entorno de trabajo

7

2.1. Matlab Desktop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3. Aritm´ etica elemental

8

3.1. Edición en la l´ınea de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2. Aritmética elemental escalar (real y compleja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2.1. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2.2. N´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2.3. Constantes predefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2.4. Inf y NaN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4. Funciones matem´ aticas y formatos de salida

10

4.1. Funciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Formatos de salida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5. Aritm´ etica matricial

12

5.1. Vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2. Operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.3. Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

´ Indice general 6. Generaci´ on autom´ atica de datos y asignaci´ on de variables

14

6.1. Generación automática de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2. Asignación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.3. Selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.4. Gestión de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.5. Entorno de trabajo (Matlab Desktop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7. Operadores l´ ogicos

18

7.1. Operadores lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8. Editor de texto. Ficheros .m

20

8.1. Editor de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8.2. Ficheros ∗.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9. Lectura y escritura sin formato en fichero

22

9.1. Lectura y escritura sin formato en fichero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 10.Estructura de selecci´ on

24

10.1. Estructura if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11.Estructura iterativa while

27

11.1. Estructura iterativa while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 11.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 12.Estructura iterativa for

28

12.1. Estructura iterativa for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 13.Funciones

30

13.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 13.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 14.Programaci´ on modular

32

14.1. Programación modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

2

´ Indice general 14.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 15.Escritura con formato en fichero

35

15.1. Escritura con formato en fichero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 15.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 16.Lectura de fichero con formato

38

16.1. Lectura de fichero con formato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 16.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 17.Librer´ıas generales

40

17.1. Librer´ıas asociadas con la utilización de matrices y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 17.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 18.Primeros gr´ aficos bidimensionales

48

18.1. Comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 18.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 19.Dibujo de funciones

50

19.1. Comando fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 19.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 20.Modificadores de los gr´ aficos bidimensionales

51

20.1. Opciones de los comandos plot y fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 20.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 21.Control de gr´ aficos bidimensionales

53

21.1. Control de gráficos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 21.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 22.Control de la ventana gr´ afica bidimensional

57

22.1. Control de la ventana gráfica bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 22.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 23.Gr´ aficos con n´ umeros complejos y en escalas logar´ıtmicas

59

23.1. Gráficos con n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 23.2. Gráficos en escalas logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

3

´ Indice general 24.Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos

62

24.1. Entrada de datos tabulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 24.2. Descripción y exploración gráfica de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 24.3. Descripción anal´ıtica de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 24.4. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 24.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 25.Primeros gr´ aficos tridimensionales

68

25.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 26.Dibujo de mallados

69

26.1. Dibujo de mallados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 26.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 27.Control de la ventana y de los gr´ aficos tridimensionales 27.1. Control de gráficos tridimensionales

71

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

27.2. Control de la ventana gráfica tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 27.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 28.Dibujo de poli´ edros y de l´ıneas de contorno

73

28.1. Dibujo de poliédros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 28.2. Dibujo de l´ıneas de contorno

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

28.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 29.Librer´ıas relacionadas con gr´ aficos bidimensionales y tridimensionales

75

29.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 30.Copia de la ventana gr´ afica y encuesta final

77

30.1. Copia de la ventana gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 30.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 31.Estructura de selecci´ on case

78

31.1. Estructura de selección case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 31.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 32.Debugger

80

32.1. Opciones del debugger de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 32.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


4

´ Indice general 33.Creaci´ on de librer´ıas

83

33.1. Programación modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 33.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 34.Estad´ıstica Descriptiva

85

34.1. Lectura y escritura en formato tabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 34.2. Tabulación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 34.3. Medidas de localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 34.4. Medidas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 34.5. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 34.6. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 34.7. Representaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 34.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 35.Modelos de Probabilidad

92

35.1. Modelos de probabilidad implementados en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 35.2. Función de Densidad/Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 35.3. Función de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 35.4. Inversa de la Función de Distribución (percentiles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 35.5. N´ umeros aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 35.6. Media y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 35.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 36.Estimaci´ on de Par´ ametros y Contraste de Hip´ otesis

95

36.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 37.Modelos de Regresi´ on y An´ alisis de la Varianza

98

37.1. Modelos de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 37.2. Análisis de la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 37.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 38.Encuesta final


101

5

Hora 1

Introducci´ on 1.1.

Presentaci´ on del curso

1.2.

Entorno Linux

1.3.

Encuesta inicial

6

Hora 2

Entorno de trabajo 2.1.

Matlab Desktop

Junto a la barra de menus caracter´ıstica de cualquier aplicación “Windows” distinguimos Command Window Command History Current Directory

2.2. 1.

−→ Ventana de comandos. −→ Historial de comandos. −→ Directorio actual.

Ejercicios Modifica el entorno original para que aparezca: ´ Unicamente la ventana de comandos. La Ventana de comandos y los comandos ejecutados en sesiones anteriores. La ventana de comandos y el directorio de trabajo. Prueba otras posibilidades y escoge la que más se adec´ ue a tu forma de trabajo.

2. Crea un directorio de trabajo con tu nombre.

7

Hora 3

Aritm´ etica elemental 3.1.

Edici´ on en la l´ınea de comandos ↑

↓

−→ Historial de comandos ejecutados.

← →

−→ Permiten el desplazamiento horizontal en la l´ınea de comandos.

. . . +[ENTER] clc

−→ Continuación de comando en la l´ınea siguiente.

−→ Borra el contenido de la pantalla y coloca el cursor en la primera l´ınea.

[Esc]

−→ Borra la l´ınea.

%

−→ Todo lo que aparece detrás del s´ımbolo % y en la misma l´ınea se considera un comentario. Ej.: % Esto es un comentario , ;

−→ Separa instrucciones. Ej.: 2+3, cos(pi) −→ Evita la salida de resultados por pantalla.

En, en

−→ Notación cient´ıfica. Ej.: E4,E-8,e5

[Ctrl]+[c]

3.2.

−→ Detiene la ejecución de cualquier comando o función.

Aritm´ etica elemental escalar (real y compleja)

3.2.1.

Operaciones

+, −, ∗, /, \,ˆ

−→ Suma, resta, multiplicación, división, división inversa y potenciación (real o com-

pleja).

8

3 Aritm´ etica elemental

3.2.2.

N´ umeros complejos

Asignación

3.2.3.

Constantes predefinidas

pi

−→ N´ umero π.

i, j

−→ Unidad imaginaria.

eps

3.2.4.

´ −→ Epsilon de la máquina.

Inf y NaN

Inf, inf

−→ Representa el infinito.

NaN, nan

3.3.

−→ Ej.: z=2-3i, z=-4+7j, z=2+2*i

−→ “Not a Number” (indeterminación).

Ejercicios

Realiza las siguientes operaciones y observa el resultado: 1.

1+2

14.

1/inf

27.

1−2·i·2+4·i

2.

% 1+2

15.

5 · inf

28.

(1 − 24 · i)/(2 + 4 · i)

3.

1 + (2 · 4);

16.

inf/inf

29.

(1 − 24 · i)\(2 + 44 · i)

4.

1+2·4

17.

inf · inf

30.

(i − 2 · i)(2+4·i)

5.

(1 + 2) · 4

18.

nan · 0

31.

2E − 2 · 3E8

6.

(1 + 2)4

19.

nan · 1

32.

2, 34 · 3

7.

1 + (2 · 4)

20.

nan · inf

33.

2,34 · 3

8.

4/2

21.

23

34.

eps

9.

4\2;

22.

23 + 2

35.

eps + 1

10.

3 · 2\4

23.

23 · 2

36.

1/(0 + eps)

11.

3 · (2\4)

24. i2 , i3 , i4 , i0

37.

(0 + eps)/(0 + eps)

38.

(pi + eps)/pi

12. (3 · 2)\4

25.

1−2·i+2+4·i

13. 1/0

26.

(1 − 2 · i) · (2 + 4 · i)


9

Hora 4

Funciones matem´ aticas y formatos de salida 4.1.

Funciones matem´ aticas sin, cos, asin, acos, sqrt, log, . . .

−→ Seno, coseno, arcoseno, arcocoseno, ra´ız cuadrada, logaritmo

neperiano,... Ej.: cos(pi) iniciales + [TAB]

−→ MATLAB ofrece un sencillo asistente para recordar la sintaxis de sus funciones. Concretamente, la orden iniciales + [TAB] devuelve todas las funciones disponibles cuyo nombre comienza con iniciales. Este procedimiento no es sensible a may´ usculas y min´ usculas. Ej.: Conto + [TAB]

4.2.

Formatos de salida de datos format, format short format short e

−→ Formato corto con mantisa y exponente. Ej.: 7.6923e-002

format short g format long

−→ “Mejor” formato fijo o punto flotante con cinco d´ıgitos. Ej.: 0.076923

−→ Formato largo. Ej.: 0.07692307692308

format long e format long g format rat

−→ Formato corto. Ej.: 0.0769

−→ Formato largo con mantisa y exponente. Ej.: 7.692307692307693e-002 −→ “Mejor” formato fijo o punto flotante con quince d´ıgitos. Ej.: 0.0769230769230769

−→ Formato racional. Ej.: 1/13

format compact

−→ Salida por pantalla de forma “compacta”, es decir, ocupando menos espacio.

10

4 Funciones matem´ aticas y formatos de salida

4.3.

Ejercicios 1 33 ,

√

3, π 2 ,

1.

Utiliza los diferentes formatos de salida presentados para escribir los siguientes n´ umeros: 0,5 (1 − i) .

2.

Eval´ ua las siguientes funciones en los puntos indicados (utiliza la ayuda para encontrar la expresi´ on de cada función): a) f (x) = cos x en x = π, π 2 , i, π · i b) f (x) = log x en x = 10, i, 1 + i, 0 c) f (x) = log10 x en x = 102 , 0, eps, 1, −1 √ d ) f (x) = x en x = 16, −1, 1 + i e) f (x) = sin x en x = π, 1 + i, inf f ) f (x) = csc x en x = π/2, π, i g) f (x) = csc x en x = π, π/2, i h) f (x) = sin x/x en x = 0, eps, inf

3.

Calcula log 3. Comprueba que en formato racional log 3 = 11996/3051. Realiza la diferencia log 3 − 11996/3051. ¿El resultado es cero? ¿Porqué?

4.

MATLAB dispone de la función rand para generar n´ umeros aleatoriamente en el intervalo (0,1) abierto. a)

Encuentra el nombre de una funci´ on que calcule el máximo de un conjunto de datos sabiendo que empieza por max. Utiliza la ayuda para eliminar “candidatos”.

b)

Combina la función rand con la obtenida en el apartado anterior para obtener el m´ aximo de 100000 n´ umeros previamente generados por ti al azar del intervalo (0,1).

c)

¿Es cierto realmente que los n´ umeros generados son menores estrictamente que 1?


11

Hora 5

Aritm´ etica matricial 5.1.

Vectores y matrices Vector

−→ Los vectores se introducen entre corchetes y los elementos están separados por espacios o comas. Ej.: [1 2 3] Matriz

−→ Las matrices se introducen por filas. Los elementos de una misma fila están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por pulsaciones de [ENTER] o por “;”. Ej.: [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

5.2.

Operaciones matriciales +, −, ∗,ˆ, .0 , 0 , inv(·), /, \, det(A)

−→ Suma, resta, producto, potenciación, traspuesta, traspuesta y conjugada, inversa, división, división inversa y determinante de una matriz. .∗, .ˆ, ./, .\

−→ Producto, potenciaci´ on, división y división inversa elemento a elemento (se emplean los anteriores precedidos por un punto).

5.3.

Funciones matriciales sin, cos, asin, acos, sqrt, log, . . .

−→ Seno, coseno, arcoseno, arcocoseno, ra´ız cuadrada, logaritmo neperiano,.... Ej.: cos([1 2; 3 4])

5.4.

Ejercicios

Realiza, si es posible, las siguientes operaciones y observa el resultado: 

   1 2 1 2 1 1     1.  1 2 1  +  1 1 1  1 2 1 3 1 1

12

5 Aritm´ etica matricial 

   1 2 1 1 1     2.  1 2 1  +  1 1  1 2 1 1 1     1 2 1 1 1     3.  1 2 1  ∗  2 1  1 2 1 1 1     2 1 1 1 2 1     4.  1 2 1  ∗  2 1 1  1 1 1 1 2 1     2 1 1 1 2 1     5.  1 2 1  . ∗  2 1 1  1 2 1 1 1 1   1 2 1   6.  2 1 1 ˆ2 1 1 1   1 2 1   7.  2 1 1  .ˆ 2 1 1 1   1 2   8.  −1 1 ˆ2 1 1   1 2   9.  −1 1  .ˆ 2 1 1     1 2 1 2     10.  1 1  ˆ  1 1  1 1 1 1     1 2 1 2     11.  1 1  .ˆ  1 1  1 1 1 1   1 2   12. sqrt  1 1  1 1   1 2   13.  1 1  .ˆ ( 21 ) 1 1   1 2   14.  1 1 ˆ(−2) 1 1



 1 2   15.  1 1  .ˆ (−1) 1 1   1 2 1   16. inv  2 1 1  1 1 1   1 2 1   17.  2 1 1 ˆ(−1) 1 1 1   0 1   18. log  2 1  1 1   2 1   19. 1/  1 1  1 1   2 1   20. 1 ./  1 1  1 1 ! 1 1 21. 1 ./ 0 1 ! eps 1 ./ 22. sin 1 eps ! eps 1 23. sin / 1 eps ! eps 1 24. sin \ 1 eps ! eps 1 25. sin .\ 1 eps

eps 1 1 eps

!

eps 1 1 eps

!

eps 1 1 eps

!

eps 1 1 eps

!

π 2 ])

26.

sin([1 π

27.

cos([0

28.

log([1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9])

π 4

; π 1])


13

Hora 6

Generaci´ on autom´ atica de datos y asignaci´ on de variables 6.1.

Generaci´ on autom´ atica de datos eye(n, m), eye(n)

−→ Matriz unidad de tama˜ no n × m (tama˜ no n × n respectivamente).

zeros(n, m), zeros(n) ones(n, m), ones(n)

−→ Matriz nula de tama˜ no n × m (tama˜ no n × n respectivamente). −→ Matriz de unos de tama˜ no n × m (tama˜ no n × n respectivamente).

rand(n, m), rand(n)

−→ Matriz de n´ umeros aleatorios entre 0 y 1 con distribución uniforme y tama˜ no n × m (tama˜ no n × n respectivamente). randn(n, m), randn(n)

−→ Matriz de n´ umeros aleatorios con distribución N (0, 1) y tama˜ no n × m (tama˜ no n × n respectivamente). magic(n)

−→ Matriz “mágica” de tama˜ no n × n.

linspace(x1, x2, n) n:h:k

−→ Vector con n componentes equiespaciadas entre x1 y x2.

−→ Secuencia de n´ umeros desde n hasta k con incremento h (el incremento puede ser

negativo). n:k

−→ Secuencia de n´ umeros desde n hasta k con incremento 1.

diag(vector)

6.2.

−→ Matriz diagonal cuyos elementos diagonales son las componentes de vector.

Asignaci´ on de variables Para guardar cualquier tipo de dato (n´ umero, vector, matriz, cadena de caracteres, etc.) es necesario asignarle a una variable que lo almacena. De esta manera podremos utilizarlo cuantas veces queramos a lo largo de la sesión de trabajo. Ej.: a=1; v=[1 2 3]; A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; d=’Hola’ 14

6 Generaci´ on autom´ atica de datos y asignaci´ on de variables input

−→ Permite la introducción ‘interactiva’ de datos a través del teclado. Ej.: X=input(’Introduce una matriz’)

6.3.

Selecci´ on Acceso a sus elementos

−→ Se accede a los elementos de una matriz poniendo los ´ındices de referencia entre paréntesis, separados por coma. Se accede a los elementos de un vector poniendo el ´ındice de referencia entre paréntesis. Ej.: A(2,3), v(2), A(1:4,3) [

]

−→ Permite seleccionar varias filas o columnas. Ej.: A([1 3 5],2), A(3,[3 1])

:

−→ Selecciona filas o columnas completas. Ej.: A(:,3), A(1:4,:), A(:,[2 4]), A(1:3,2:4), A(:)

6.4.

Gesti´ on de variables clear who

−→ Elimina las variables residentes en el “espacio de trabajo”. −→ Visualiza las variables residentes en el espacio de trabajo.

whos

−→ Visualiza las variables residentes en el espacio de trabajo con información adicional (tama˜ no, espacio f´ısico y tipo). ans

6.5.

−→ Almacena el resultado de la u ´ltima operación.

Entorno de trabajo (Matlab Desktop) Workspace

6.6. 1.

−→ Espacio de variables.

Ejercicios Teclea las siguientes secuencias de comandos y explica los resultados obtenidos. x=3;x y=3+5;y x=2;y=3;x=y;x,y x=2;y=3;y=x;x,y x=y=z x==y

2.

Asigna a las variables v1, v2 y v3 los vectores (1, 2, 3), (−1, 0, −3) y (1, 1, 1, 1) ejecutando los siguientes comandos:


15

6 Generaci´ on autom´ atica de datos y asignaci´ on de variables v1=input(’Teclea el vector [1 2 3]\n’) v2=input(’Teclea el vector [-1 0 -3]\n’) v3=input(’Teclea el vector [1 1 1 1]\n’) Realiza, si es posible, las siguientes operaciones: 1. v1 + 2

11. v1 ∗ v3

2. v1 + v2

12. v1. ∗ v3

3. v1 + v3

13. v1.0 ∗ v2

4. 2 ∗ v1

14. v1 ∗ v2.0

5. v1 ∗ v2

15. log(v1), sin(v2)

6. v1 ∗ v2t

16. 2.ˆv1

7. v1 . ∗ v2t

17. v1.ˆ2

8. v1t ∗ v2

18. sin(v2 )/v2

9. v1t . ∗ v2

19. sin(v2 )./v2

10. v1. ∗ v2 3.

20. sin(v2 + eps)./(v2 + eps)

Asigna a las variables A1, A2 y A3 las matrices 1 2 4 5

! ,

1 2 2 1

!



 −1 4   ,  5 −1  . 1 7

Realiza, si es posible, las siguientes operaciones: 1. A1 + 2

13. ones(6). ∗ eye(6)

2. 2 ∗ A1

14. rand(5), rand(5), rand(5)

3. A1 + A2

15. A = magic(3)

4. A2 ∗ A1

16. sum(A)

5. A1 ∗ A3

17. sum(At )

6. A3 ∗ A1

18. sum(A(:, 2)), sum(A(:, 3)), sum(A(2, :))

7. A1. ∗ A2

19. Utiliza la ayuda para calcular el determinante y la traza de la matriz A2.

8. log(A3) 9. A1−1 10. ones(6) ∗ ones(6, 1) 11. ones(6) ∗ ones(1, 6) 12. ones(6) ∗ eye(6) 4.

20. Enumera las variables que residen en el espacio de trabajo. 21. Vac´ıa el espacio de trabajo. 22. Enumera las variables que residen ahora en el espacio de trabajo.

Declara los vectores v1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10], v2=[1 3 5 7 9] y v3=[2 4 8 16 32 48] de distintas maneras. ¿Cuál es la más sencilla?.


16

6 Generaci´ on autom´ atica de datos y asignaci´ on de variables 5.

Realiza las siguientes operaciones sobre la matriz A = magic(10) y observa los resultados obtenidos: 1. A(1, 2 : 3) 2. A(2 : 4, 2) 3. A(1 : 3, 4 : 5) 4. A([1, 3, 5, 7, 9], [1, 3, 5, 7, 9]) 5. A(4 : end, 1) 6. A(4 : end, 1 + 2 : 4) 7. A(4 : end, (1 + 2) : 4)


17

Hora 7

Operadores l´ ogicos 7.1.

Operadores l´ ogicos <, >, <=, >=, ==, ˜=

−→ “Menor que”, “mayor que”, “menor o igual que”, “mayor o igual que”, “igual que”, “distinto que”. Ej.: 0=false, 1=true &, |, ˜, xor

7.2. 1.

−→ Operadores lógicos “y”, “o”, “no”, “o excluyente”. Ej.: 0=false, 1=true

Ejercicios Ejecuta las siguientes operaciones y observa el resultado: 1. 2 < 3

8. eye(2)==

2. 3 < 2

1 0 0 1

!

9. eye(2)˜=ones(2)

3. 2 > 3

10. A = 1 : 3; B = 5 : 7;

4. 3 > 2

A >= 4

5. 1 == 2

B >= 4

6. [1 2 3] == [3 2 1] ! ! 1 2 1 2 7. == 3 4 3 5

A >= 4 & B >= 4 A >= 4 | B >= 4

2. Expresa las siguientes condiciones utilizando comandos y operadores de MATLAB. 1. n es un n´ umero mayor o igual que 4 y menor que 8. 2. n es un n´ umero mayor o igual que 4 o menor que 8. 3. n es un n´ umero mayor o igual que 4 y distinto de 10. 4. n es n´ umero par. 5. n es un n´ umero par entre 500 y 1010 (ambos incluidos).

18

7 Operadores l´ ogicos

3.

Sean A =

1 2 1 1

! ,B=

0 0 1 1

! ,C=

1 0 1 0

! . Realiza las siguientes operaciones:

1. A + B

7. xor(A, B)

2. A + ˜B

8. A&B

3. A. ∗ B

9. A&B + C

4. A. ∗ (˜B)

10. A + B&C

5. (A <= B) + C

11. D = A&B. ¿Qué tipo de dato es D?

6. A|B

12. D = A&B + C. ¿Qué tipo de dato es D?


19

Hora 8

Editor de texto. Ficheros .m 8.1.

Editor de texto Matlab editor

−→ Crea y edita ficheros .m.

• Utilidades del editor. • Utilidades del entorno del editor. • Utilidades del entorno de trabajo respecto al editor. • Barras.

8.2.

Ficheros ∗.m ∗.m

−→ Ficheros de texto que contienen código MATLAB. Se ejecutan:

• desde la ventana Command Window escribiendo el nombre del fichero (sin extensión), o bien • desde la ventana Current Directory eligiendo la opción Run que aparece al hacer click con el bot´ on derecho del rat´ on sobre el fichero.

8.3.

Ejercicios

1.

Ejecuta el fichero Entorno01.m y corrige el error abriéndole desde el mensaje de error rese˜ nado en la ventana de comandos.

2.

Ejecuta la siguiente serie de comandos x=rand(3,1); y=rand(3,1); z=x+y.^2; hist(z); A continuación ejecuta x=randn(3,1); y Ejecuta de nuevo el resto de comandos. Copialos y pegalos en un nuevo fichero de texto. 20

8 Editor de texto. Ficheros .m Grabalos en un fichero .m . 3.

Ejecuta Entorno03.m Busca los distintos espacios de variables en un problema con distintas funciones.

4.

Abre el fichero Entorno01.m Evalua una selección Pon comentarios en las l´ıneas. Edita en el fichero


21

Hora 9

Lectura y escritura sin formato en fichero 9.1.

Lectura y escritura sin formato en fichero

disp(A)

−→ Muestra tablas de caracteres por pantalla. Ej.: A=[’hola ’,’adios’]; disp(A) input

−→ Lectura de datos desde el teclado. Ej.: z=input(’El valor de la variable z es:\n’) save

−→ Copia variables del espacio de trabajo en un fichero. Ej.: save % Copia en el fichero matlab.mat todas las variables del espacio de trabajo. save datos % Copia en el fichero datos.mat todas las variables del espacio de trabajo. save datos X Y % Copia en el fichero datos.mat las variables X e Y del espacio de % trabajo. save datos U V -append % Incorpora al fichero datos.mat las variables U y V del % espacio de trabajo. NOTA: sobreescribe. save data.txt -ascii % Copia con formato ascii en el fichero data.txt todas las % variables del espacio de trabajo. save data.txt X Y -ascii % Copia con formato ascii en el fichero data.txt las % variables X e Y del espacio de trabajo. load

−→ Copia en el espacio de trabajo las variables o datos contenidos en un fichero. Ej.: load % Copia en el espacio de trabajo las variables contenidas en el fichero % matlab.mat load datos % Copia en el espacio de trabajo las variables contenidas % en el fichero datos.mat 22

9 Lectura y escritura sin formato en fichero

load datos X Y % Copia en el espacio de trabajo las variables X e Y contenidas en % en el fichero datos.mat load data.txt % Copia en el espacio de trabajo los datos contenidos en el % fichero con formato ascii data.txt y en la variable data. diary

−→ Guarda en un fichero de texto la secuencia de comandos ejecutados a los largo de la sesi´ on.

Ej.: diary nombre.txt . . . diary off

9.2.

Ejercicios

Realiza las siguientes operaciones: 1. Guarda en el fichero de texto sesion.txt toda la secuencia de comandos que realices para resolver este ejercicio. 2.

Genera un vector v con los n primeros n´ umeros m´ ultiplos de tres (n debe introducirse por teclado).

3.

Graba el vector v en un fichero prueba.mat.

4.

Borra el espacio de trabajo. Comprueba que lo has hecho.

5.

Calcula v*8.

6.

Calcula la matriz mágica A de tama˜ no 5.

7.

A˜ nade en el fichero prueba.mat la matriz A.

8.


9.

Calcula el determinante de la matriz A.

10.

A˜ nade el vector v = (1, 2, 3) en el fichero prueba.mat.

11.


12.

Carga el fichero prueba.mat y comprueba cuáles son sus variables.

13.

Observa la secuencia de comandos que has realizado durante la resolución de este ejercicio.


23

Hora 10

Estructura de selecci´ on 10.1.

Estructura if if condición lógica .. . % secuencia de comandos end

Ej.: if n>0 & n<2 % si n>0 y n<2 entonces haz... disp(’Estas en el intervalo’) end

if condición lógica .. . % secuencia de comandos else .. . % secuencia de comandos por defecto end Ej.: if n>0 & n<2 % si n>0 y n<2 entonces haz... disp(’Estas en el intervalo’) else % en caso contrario haz... disp(’No estas en el intervalo’) end

24

10 Estructura de selecci´ on if primera condición lógica .. . % secuencia de comandos (bloque I) elseif segunda condición lógica .. . % secuencia de comandos (bloque II) elseif tercera condición lógica .. . % secuencia de comandos (bloque III) else .. . % secuencia de comandos por defecto (bloque IV) end Ej.: if abs(x)<2 % Si el valor absoluto de x es menor que 2 haz disp(’La variable x esta acotada’) elseif x>-3 % Si no es asi y si x>-3 haz disp(’La variable no esta acotada’) end

10.2.

Ejercicios

1. Edita un fichero de comandos que te permita calcular la media de un conjunto de datos almacenados dentro de una matriz A. 2. Escribe un fichero de comandos que transforme pesetas en euros (1 euro =166.386 pesetas). 3. Escribe un fichero de comandos que calcule una matriz aleatoria n × n con n´ umeros naturales entre 1 y 10. 4.

Edita un fichero de comandos que permita seleccionar de un n´ umero natural de dos d´ıgitos la cifra de las unidades y la cifra de las decenas.

5.

Escribe un fichero de comandos que te permita averiguar si un n´ umero n es divisible por 13.

6.

Edita un fichero de comandos que elimine la primera columna de una matriz A cuando todos los elementos de dicha columna sean cero.

7.

Escribe un fichero de comandos para evaluar la siguiente función:   x+y si x ≥ 0, y ≥ 0,    x + y2 si x ≥ 0, y < 0, f (x, y) = 2  x +y si x < 0, y ≥ 0,    2 x + y 2 si x < 0, y < 0. Utiliza el comando input para la lectura de datos.

8.

Escribe un fichero de comandos que permita obtener el valor absoluto de un n´ umero almacenado en la variable x.

9.

Escribe un fichero de comandos para calcular los valores m´ınimo y máximo de tres n´ umeros almacenados en un vector de dimensión tres llamado datos e introducidos con el comando input.


25

10 Estructura de selecci´ on 10.

Construye un fichero de comandos que simule la extracción al azar de una carta en una baraja espa˜ nola. Ejecuta dicho fichero dos veces. ¿Qué cartas obtienes?


26

Hora 11

Estructura iterativa while 11.1.

Estructura iterativa while

while condición lógica .. . % secuencia de comandos end

n=1; while prod(1:n)<1e100 n=n+1; disp(’Nos llegamos en’),n end

11.2. 1.

Ejercicios

Escribe un fichero de comandos para encontrar el menor entero no negativo n tal que 2n > 100π sin utilizar la función logar´ıtmica.

2. Edita un fichero de comandos que permita calcular el factorial de un n´ umero leido mediante el comando input y guardado en la variable n. 3. Escribe un fichero de comandos que simule el experimento aleatorio consistente en extraer al azar cartas de una baraja espa˜ nola hasta la aparición del primer as. Ejecuta el fichero de comandos una vez y escribe la secuencia de resultados obtenidos. 4. Escribe un fichero de comandos que simule el juego de las 7 y media. 5. Edita un fichero de comandos que simule un juego de dados entre dos jugadores en el que gana quien primero llega a sumar 21 en sucesivas tiradas alternas entre ambos jugadores. 6. Modifica el fichero anterior para conocer si gana el jugador que comienza el juego. Repite 1000 veces el juego y, a partir de los resultados obtenidos, decide si es mejor empezar el juego, o por el contrario, es mejor que empiece el adversario. 7. Edita un fichero de comandos que simule el experimento aleatorio consistente en lanzar sucesivamente un dado hasta obtener 10 doses. Ejecuta el fichero anterior e indica cuántas tiradas has necesitado y en cuáles has obtenido un dos. 27

Hora 12

Estructura iterativa for 12.1.

Estructura iterativa for

f or contador .. . % secuencia de comandos end −→ El contador puede ser n = 1 : 1 : 10 ó n = [1 Ej.: for n=1:1:10 y(n)=n^2; x(n)=2*y(n); end

% % % %

y,x

% Muestra por pantalla los vectores declarados.

12.2.

6

3,2

8]

Cuenta desde 1 hasta 10 de 1 en 1. Declara un vector cuyas componentes son de la forma n^2. Declara un vector cuyas componentes son de la forma 2*y_n. Fin del bucle.

Ejercicios

1. Edita un fichero de comandos que permita calcular el factorial de un n´ umero guardado en la variable n. 2. Escribe la tabla de multiplicar de un n´ umero entero positivo le´ıdo a través del teclado. 3. Escribe un fichero de comandos que calcule la suma de los n primeros n´ umeros naturales. 4. Se definen los n´ umeros triangulares como los obtenidos de sumar los n´ umeros naturales sucesivos: 1, 2, 3, . . ., es decir, los primeros n´ umeros triangulares son: 1, 3, 6, . . .. Escribir un programa que muestre por pantalla los n primeros n´ umeros triangulares. 5. Escribe un fichero de comandos que permita introducir a través del teclado un n´ umero natural n y que muestre los n primeros n´ umeros pares. 6. Escribe un fichero de comandos que permita introducir a través del teclado un n´ umero natural n y que muestre los n primeros n´ umeros impares. 7. Edita un fichero de comandos para averiguar si un n´ umero almacenado en la variable n e introducido a través del teclado es primo. 28

12 Estructura iterativa for 8.

Escribe un fichero de comandos que compruebe si una matriz es mágica.


29

Hora 13

Funciones 13.1.

Funciones

function [salida1,. . . ,salidaN]=nombre(entrada1,. . . ,entradaM)

−→ Primera l´ınea de la funci´ on nom-

bre.m 1. Se guarda como un fichero de texto nombre.m cuyo nombre “suele” coincidir con el de la funci´ on. 2. Desde la propia función se puede hacer llamadas a otras funciones o incluso a ella misma (lo que se conoce como recursividad). 3. Las variables usadas en cada función toman un valor local. Por tanto, una variable con el mismo nombre en una función y en el programa principal mantiene el valor que tome en cada uno de los contextos. Ej.: % Calcula una aproximacion al numero e utilizando el polinomio de Taylor. m=input(’Da el numero de sumandos \n’); x=0; for n=1:1:m x=x+1/mifactorial(n); % Llamada a nuestra funcion mifactorial end x donde la función mifactorial viene definida por function [k]=mifactorial(n) if (floor(n)==n)&(n>0) k=1; for m=2:1:n k=k*m; end end

30

13 Funciones

13.2.

Ejercicios

1.

Programa una función llamada stat1 que calcule sobre un conjunto de datos almacenados en un vector llamado datos su media y el n´ umero de datos.

2.

Programa una función que calcule el máximo y el m´ınimo de dos n´ umeros y util´ızala para obtener el máximo y el m´ınimo de tres n´ umeros.

3.

a)

Programa una función que simule el lanzamiento de un dado. Utiliza el comando rand(’state’,sum(100*clok)).

4.

b)

Programa una función que simule el resultado de n tiradas aleatorias de un dado.

c)

Ejecuta el programa anterior para n = 1000 y cuenta el n´ umero de veces que aparece cada resultado mediante un programa.

d)

Crea una función que simule el resultado de sumar la tirada de tres dados.

e)

Crea un programa que devuelva el máximo valor que se obtiene al repetir el experimento anterior dos veces.

Crea una función con los programas realizados en los ejercicios 3, 4 y 10 de la hora estructura de selección que simule el resultado obtenido al extraer n cartas de una baraja espa˜ nola. El argumento de entrada es n y la salida debe ser un vector de la siguiente forma (As de copas, Sota de bastos,....).


31

Hora 14

Programaci´ on modular 14.1.

Programaci´ on modular

La programación modular responde a la idea “divide y vencer´ as”. En efecto, la implementaci´ on de cualquier tarea, por muy compleja que ésta sea, es abordable si la fraccionamos en otras más simples y f´ aciles de programar. Con esta forma de actuar se consiguen además varios objetivos fundamentales de la programación: Disponer de un catálogo de funciones preparadas para su utilización sobre cualquier otro programa. Elaborar códigos sencillos, fáciles de entender y modificar posteriormente. Simplificar la escritura del programa y, por ende, evitar errores sintácticos. Desarrollar programas incrementalmente. De esta forma siempre se construye sobre algo que ya ha sido comprobado y que funciona. Si aparece alg´ un error, lo más probable es que se deba a lo u ´ltimo que se ha a˜ nadido, y su b´ usqueda está acotada y es mucho más sencilla. Como recomendaciones generales para la programación sobre cualquier lenguaje debemos se˜ nalar: 1. Crear un programa principal que act´ ue como distribuidor del conjunto de funciones utilizadas. 2. Pensar bien las cosas (sobre una hoja de papel en blanco mejor que sobre la pantalla del PC) siempre es rentable, porque disminuye el tiempo de depuración y eliminación de errores. 3. Escribir el código de un modo claro y ordenado, introduciendo comentarios, utilizando l´ıneas en blanco para separar distintas partes del programa, sangrando las l´ıneas para ver claramente el rango de las bifurcaciones y bucles, utilizando nombres de variables que recuerden el significado de la magnitud que almacenan, etc. Particularmente, para la programación con MATLAB, cabe se˜ nalar la importancia de “vectorizar” los algoritmos de cálculo, es decir, de realizarlos con vectores y matrices y no con variables escalares dentro de bucles.

14.2.

Ejercicios

1. Elabora un programa que simule la hora de salida y la hora de llegada de un autob´ us de l´ınea de 40 plazas. El viaje sigue las siguientes pautas: 32

14.2 Programaci´ on modular El autob´ us siempre llega a la estación de origen a las 15.00 horas. El autob´ us no sale hasta que esté completo. Todos los viajeros se encuentran en la parada antes de la llegada del autob´ us. El autob´ us solo tiene una puerta de subida. Cada viajero tarda en subir un tiempo aleatorio entre 20 sg. y 2 minutos. El tiempo que emplea el autob´ us en recorrer el trayecto entre el origen y el destino es aleatorio entre 2 horas 24 minutos y 3 horas. Se pide encontrar la hora de salida y la hora de llegada en 100 viajes. ¿Cuál es la hora media de llegada del autob´ us en esos 100 viajes? Indicaciones: a)

Construir una función n=numeroaleatorio(a,b) que devuelva un n´ umero aleatorio (no necesariamente entero), n, entre a y b. Utiliza la función rand.

b)

Construir una función t=subidaviajero que devuelva el tiempo que tarda en subir un viajero. Utiliza la función numeroaleatorio.

c) Construir una función t=duracionviaje que devuelva el tiempo que el autob´ us tarda en recorrer el trayecto. Utiliza la función numeroaleatorio. 2.

Considera que el autob´ us del ejercicio anterior realiza cinco paradas intermedias. Además de las pautas anteriores se a˜ naden las siguientes: El tiempo que el autob´ us emplea en recorrer el trayecto entre dos paradas consecutivas es un n´ umero aleatorio entre 25 y 37 minutos. En cada una de ellas se pueden bajar un n´ umero aleatorio de viajeros entre 0 y el n´ umero total de los que permanecen en el autob´ us. El tiempo de bajada de cada viajero del autob´ us es idéntico al de subida. El autob´ us sólo tiene una puerta de bajada. De esta forma, el tiempo de bajada de cada viajero es la suma del tiempo que tardan él y todos lo viajeros que bajan antes que él. Aparece un tiempo adicional para recoger el equipaje, que es un n´ umero aleatorio inferior a 2 minutos 30 sg. para cada viajero. El autob´ us sale de la parada cuando todos los viajeros han recogido su equipaje. Se pide encontrar la hora de salida y la hora de llegada en 100 viajes. ¿Cuál es la hora media de llegada del autob´ us en esos 100 viajes? ¿Cuál es el n´ umero medio de viajeros que se bajan en la segunda parada en esos 100 viajes? Indicaciones: a)

Modifica la función t=duracionviaje para que devuelva el tiempo que el autob´ us tarda en recorrer cada tramo.

b)

Construir una función t=numeroviajero(a) que devuelva el n´ umero de viajeros que bajan en cada parada. Modifica la función numeroaleatorio para que devuelva un n´ umero natural entre 0 y a. Se debe tener en cuenta que el n´ umero de viajeros en el autob´ us disminuye en cada parada.

c) Construir una función t=bajadaviajero que devuelva el tiempo que tarda en bajar un viajero. Utiliza la función numeroaleatorio. d)

Construir una función t=recogidaequipaje que devuelva el tiempo que un viajero tarda en recoger el equipaje. Utiliza la función numeroaleatorio.


33

14.2 Programaci´ on modular e)

3.

Para contabilizar el tiempo de salida utiliza un vector de dimensión el n´ umero de viajeros que abandonan el autob´ us que almacenará el tiempo que tarda cada uno de ellos en abandonar la parada (bajar del autob´ us + recoger el equipaje). El tiempo de salida es el máximo de estos valores.

Considera que en el viaje del ejercicio anterior los viajeros no se encuentran en la parada a la hora de salida. Adem´ as de las pautas anteriores se a˜ naden las siguientes: Cada viajero sube al autob´ us en orden de llegada a la parada. El n´ umero de viajeros que llegan tarde es aleatorio. El retraso de cada uno de ellos es aleatorio entre 1 sg. y 30 minutos. Hay que tener en cuenta que los viajeros con retraso pueden subir directamente o, en caso contrario, deben esperar su turno. Se pide encontrar la hora de salida y la hora de llegada en 100 viajes. ¿Cuál es la hora media de llegada del autob´ us en esos 100 viajes? ¿Cuál es el n´ umero medio de viajeros que se bajan en la segunda parada en esos 100 viajes? ¿Cuál es el n´ umero medio de viajeros impuntuales en esos 100 viajes? Indicaciones: a)

Utiliza la función n=numeroviajero para determinar la cantidad de viajeros impuntuales.

b)

Construir una función t=tiemporetrasos(n) que devuelva un vector t de n componentes con los tiempos de retraso de los viajeros impuntuales (n). Para ello modifica adecuadamente la funci´ on t=bajadaviajero.

c) Para contabilizar el tiempo de subida de los viajeros impuntuales hay comparar su retraso con el tiempo que tardan en subir los viajeros anteriores. Es conveniente (necesario) ordenar el vector de tiempos de retraso.


34

Hora 15

Escritura con formato en fichero 15.1.

Escritura con formato en fichero

nombre=fopen(’nombre-fichero’,permisos)

−→ Abre el fichero en el que vamos a guardar los datos.

• nombre Es el identificador que MATLAB utilizará posteriormente para reconocer el fichero. • nombre-fichero Es el nombre que tiene el fichero en nuestro directorio. • permisos Es ’r’ −→ ’w’ −→ ’a’ −→ ’r+’ −→ ’w+’ −→ ’a+’ −→

un cadena de caracteres que indica la operación que se va a realizar con el fichero: Lectura. Escritura (se crea si es necesario). A˜ nadir a un fichero ya existente (se crea si es necesario). Lectura y escritura. Trunca el fichero o lo crea para lectura o escritura. Lectura y a˜ nadir a un fichero ya existente (se crea si es necesario).

fclose(nombre)

−→ Cierra el fichero abierto cuyo identificador es nombre. En caso de que se produzca alg´ un error al cerrar el fichero MATLAB devolverá el valor −1 y si no es as´ı devolverá 0. fprintf(nombre,format,datos)

−→ Escribe el valor de una o varias variables en el fichero con el identificador nombre abierto previamente. El fichero debe cerrarse al finalizar esta operación. El formato de escritura de los datos se indica en el campo format utilizando parámetros como: • % para formatos numéricos. Sus opciones son: d entero, f real, e exponencial, s cadena de caracteres, etc. • \n provoca un salto de l´ınea. Ej.: t=0:1:10 y=t.^2

% Crea un vector con los datos 0,1,2,3,...,10. % Crea un vector con los datos 0,1,4,9,...,100.

nombre=fopen(’parabola.dat’,’w’)

x=[t;y];

% Abre el fichero llamado parabola.dat para escribir % en el (w)

% Crea la matriz de datos que vamos a escribir en 35

15 Escritura con formato en fichero % el fichero. fprintf(nombre,’%1.1f

fclose(nombre)

15.2.

% 2.6e’,x) % % % % % %

Escribe en el fichero los datos con el siguiente formato: La primera columna [un entero].[un decimal] La segunda [dos enteros].[6 decimales en modo exponencial]. Manda los datos al fichero nombre.

Ejercicios

1. Ejecuta el comando fid=fopen(’noexiste.txt’,’r’) y explica el resultado que obtienes. 2. Utiliza fprintf para escribir en el fichero noexiste.txt (sin crearlo previamente) la cadena de caracteres Prueba de escritura en el fichero noexiste.txt sin crearlo previamente. Una vez finalizada esta operación observa el contenido de dicho fichero. 3. Escribe el n´ umero π con 25 cifras decimales en el fichero de texto pi.txt. 4. Utiliza fprintf para escribir en la primera l´ınea del fichero sucesion.txt (sin crearlo previamente) la secuencia 1:1:10 (usa el formato ’%1d\t’). Una vez finalizada esta operación observa el contenido de dicho fichero. 5. Utiliza fprintf para a˜ nadir al fichero sucesion.txt (sin borrar su contenido previo) la secuencia 11:1:20, de forma que cada uno de los n´ umeros que la compone ocupe un renglón distinto (para ello modifica el formato ’%1d\n’). Una vez finalizada esta operación observa el contenido de dicho fichero. 6. Utiliza fprintf para escribir en el fichero sucesion.txt (borrando su contenido previo) la matriz rand(3,10). Los datos escritos deben conservar su estructura original (usa para ello el formato ’%1.4f %1.4f %1.4f\n’. Una vez finalizada esta operación observa el contenido de dicho fichero. 7. Genera una matriz mágica de tama˜ no 6 y escribe su contenido en un fichero de texto llamado salida.txt. 8. Genera una matriz con 10 filas y 4 columnas formada por n´ umeros aleatorios y escribe su contenido en un fichero de texto llamado salida.txt. Utiliza para ello una cifra decimal en las columnas impares y 4 cifras decimales en las columnas pares. 9. Crea una función con las siguientes caracter´ısticas: a)

Solicita que el usuario introduzca por teclado una M, una R, o un cero si su escritor favorito es, respectivamente, Miguel de Cervantes, Juan Ramón Jiménez o ninguno de los dos.

b)

Escriba en el fichero escritor.dat: “En un lugar de la Mancha...” si ha elegido a Cervantes. “Platero es suave...” si prefiere a Juan Ramón Jiménez. “A ti lo que te gustan son las Matem´ aticas”, en otro caso.

10.

Crea una función que: a)

Pida un n´ umero n para ser introducido a través del teclado.

b)

Genere n valores con la función rand y calcule su media.


36

15 Escritura con formato en fichero c) Escriba los valores generados y la media en un fichero llamado salida.txt, con formato ascii. 11.

Crea una función para gestionar los salarios de una empresa. Para ello: a)

Debe pedir el n´ umero de registros que se van a introducir.

b)

Almacena el nombre, el primer apellido y el salario para cada trabajador.

c)

Escribe los datos recogidos ordenados en orden creciente respecto al salario que reciben en el fichero salida.txt, con formato ascii.

d)

Además, los u ´ltimos dos renglones del archivo salida.txt deben contener la siguiente información: 1)

El menor salario es ???????.

2)

El mayor salario es ???????.


37

Hora 16

Lectura de fichero con formato 16.1.

Lectura de fichero con formato

fscanf(nombre,format,tama˜ no)

−→ Lee el valor de una variable en un fichero que ha sido abierto con fopen y que tiene por identificador nombre. • nombre es el identificador del fichero. • format puede ser %d, %f, %e, %c, %s, etc. • tama~ no es un argumento optativo que permite limitar el n´ umero de datos leidos. El valor que puede tomar este argumento es uno de los siguientes: N −→ Lee un vector de hasta N componentes. inf −→ Lee datos hasta el final del fichero. [N,M] −→ Lee una matriz de tama˜ no N x M por columnas (M puede se inf). Ej.: nombre=fopen(’parabola.dat’,’r’)

z=fscanf(nombre,11) % % % % % fclose(nombre)

16.2.

% Abre el fichero llamado parabola.dat % para leer de el (r)

Lee del fichero parabola.dat los datos con el siguiente formato: La primera columna real La segunda modo exponencial Hasta 11 datos.

% Cierra el fichero identificado mediante nombre

Ejercicios

1. Realiza las siguientes operaciones: a)

Genera los vectores w1 = (3, 5, 6, 7, 9) y w2 con los 3 primeros n´ umeros m´ ultiplos de 11.

b)

Graba en el fichero datos.txt con formato ascii las variables w1 y w2 anteriores.

c)


38

16 Lectura de fichero con formato d)

Carga el fichero datos.txt y comprueba cuáles son sus variables.

2.

Utiliza fscanf para leer y guardar las dos primeras columnas del fichero sucesion.txt. en la variable U. Comprueba que la operación se ha realizado correctamente visualizando el contenido de U.

3.

El fichero secuencia.dat contiene una sucesión de n´ umeros enteros positivos o cero. Crea una funci´ on que lea dicha secuencia, invierta los valores positivos y sustituya los ceros por la cadena no inversible. Escribe los resultados obtenidos en el fichero secuencia.dat, debajo de la sucesión original.

4.

El fichero quiniela.txt contiene los 15 resultados de una quiniela (1, X ó 2) almacenados a raz´ on de un signo por l´ınea y separados por retorno de carro. Elabora una función que lea dichos resultados, contabilice el n´ umero n de empates, y escriba en el fichero resultados.dat y por pantalla el mensaje: La quiniela arroja n empates.

5.

Lee el fichero nombresnumeros.txt y sustituye la columna correspondiente al DNI por una columna que contenga el NIF.

6.

Lee el fichero nombre.txt y guarda sus registros en la variable nombre.

7.

Lee el fichero apellido.txt y guarda sus registros en la variable apellido.

8.

Lee el fichero edad.txt y guarda sus registros en la variable edad.

9.

Considera la variable edad anterior y clasifica a sus individuos en “jóvenes” si tienen menos de 18 a˜ nos y en “adultos” si tienen más de 18 a˜ nos. Almacena los resultados en la variable situacion.

10.

Guarda las variables nombre, apellido, edad y situacion en el fichero listado.txt con el siguiente formato: Andrés Pérez ∗ ∗ ∗ 46 ∗ ∗ ∗ ADULTO


39

Hora 17

Librer´ıas generales 17.1.

Librer´ıas asociadas con la utilizaci´ on de matrices y funciones

OPS: operadores. union(A,B)

−→ A ∪ B. Se ordena el resultado. Ej.: A=[1 2 4];B=[1 2 3];C=union(A,B) C = 1 2 3 4 unique(A)

−→ Devuelve un vector cuyas componentes son las de A ordenadas y sin valores repetidos.

Ej.: unique([3 4 1 4 -2]) ans = -2 1 3

4

intersect(A,B)

−→ A ∩ B. Se ordena el resultado. Ej.: A=[4 3 2 1];B=[2 2 3];C=intersect(A,B) C = 2 3 setdiff(A,B)

−→ A − B. Se ordena el resultado. Ej.: A=[1 2 4];B=[1 2 3];C=setdiff(A,B) C = 4 setxor(A,B)

−→ A ∪ B − A ∩ B. Se ordena el resultado. Ej.: A=[-5 6 2 1 4 6 1];B=[1 3 5 5 6];setxor(A,B) ans = -5 2 3 4 5 ismember(x,A)

−→ Función lógica que devuelve 1 si x ∈ A y 0 si x ∈ / A. Ej.:

40

17 Librer´ıas generales A=[-5 6 2 1 4 6 1];ismember([-5 6 -2],A),ismember(4,A) ans = 1 1 0 ans = 1 ELMAT: manipulación de matrices. size(A)

−→ Tama˜ no de la matriz A. Ej.: A=[1 2; 3 4;5 6];A,size(A) A = 1 2 3 4 5 6 ans = 3 2 length(A)

−→ Longitud del vector v. Ej.: A=[1 2 3 4 5 6];length(A) ans = 6 isempty(A)

−→ Función lógica que devuelve 1 si la matriz A es vac´ıa y 0 si no lo es. Ej.: A=[];isempty(A) ans = 1 A=[1 2;3 4];isempty(A) ans = 0 isequal(A,B)

−→ Función lógica que devuelve 1 si las matrices A y B son iguales y 0 si no lo son.

Ej.: A=[1 2;3 4];B=[1 3;2 4];isequal(A,B) ans = 0 A=[1 2;3 4];B=[1 2;3 4];isequal(A,B) ans = 1 isnumeric(A)

−→ Función lógica que devuelve 1 si la variable A es numerica y 0 si no lo es. Ej.: A=[1 2;3 4];B=’caracteres’;isnumeric(A),isnumeric(B) ans = 1 ans = 0 islogical(A)

−→ Función lógica que devuelve 1 si la variable A es lógica y 0 si no lo es. Ej.:


41

17 Librer´ıas generales islogical([1 0]) ans = 0 A=-2==1;islogical(A) ans = 1 reshape(A,m,n)

−→ Crea una matriz de m filas y n columnas a partir de los elementos de A. Si A es una matriz, sus elementos se distribuyen por columnas. Ej.: A=[1 2 3;4 5 6] A = 1 2 3 4 5 6 reshape(A,6,1),reshape(A,1,6) ans = 1 4 2 5 3 6 ans = 1 4 2 5 3 6 reshape(A,3,2) ans = 1 5 4 3 2 6

tril(A),triu(A)

−→ “Se˜ nalan” los elementos que forman las matrizes triangular inferior y superior de A respectivamente haciendo cero el resto. Ej.: A A = 1 2 3 4 5 6 tril(A),triu(A) ans = 1 0 0 4 5 0 ans = 1 2 3 0 5 6 fliplr(A),flipud(A)

−→ Reordena las componentes de la matriz A simetricamente en las columnas (left-right) y en las filas (up-down) respectivamente. Ej.: A=[1 2;3 4;5 6] Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

42

17 Librer´ıas generales A = 1 2 3 4 5 6 fliplr(A),flipud(A) ans = 2 1 4 3 6 5 ans = 5 6 3 4 1 2 rot90(A)

−→ Reordena las componentes de la matriz A mediante un giro de 90 grados en sentido antihorario. Ej.: A=[1 2;3 4;5 6],rot90(A) A = 1 2 3 4 5 6 ans = 2 4 6 1 3 5 find(A)

−→ Localiza los elementos no nulos de A. Ej.: A=[1 2;0 3;5 0],[I,J]=find(A) A = 1 2 0 3 5 0 I = 1 3 1 2 J = 1 1 2 2 ELFUN: funciones matemáticas elementales. fix(x)

−→ Redondea las componentes de x hacia cero. Ej.: fix([-3.8,3.8]) ans = -3 3 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

43

17 Librer´ıas generales floor(x)

−→ Redondea las componentes de x hacia −∞. Ej.: floor([-3.8,3.8]) ans = -4 3 ceil(x)

−→ Redondea las componentes de x hacia ∞. Ej.: ceil([-3.8,3.8]) ans = -3 4 round(x)

−→ Redondea las componentes de x hacia el entero más proximo. Ej.: round([-3.8,3.8]) ans = -4 4 rem(x,y)

−→ Proporciona los restos que resultan al dividir las componentes de x entre las componentes correspondientes de y. Ej.: rem([6,8,-8],[3,3,3]) ans = 0 2 -2 sign(A)

−→ Devuelve el signo de las componentes de A. Ej.: sign([6,-8;1 2]) ans = 1 -1 1 1 factor(x)

−→ Realiza la factorización como producto de n´ umeros primos del n´ umero x. Ej.: factor(1356) ans = 2 2 3 113 isprime(x)

−→ Función lógica que devuelve 1 en las componentes de x que son n´ umeros primos y 0 en las que no lo son. Ej.: isprime([1356,17]) ans = 0 1 primes(n)

−→ Devuelve un vector con los n´ umeros primos menores o iguales que n. Ej.: primes(17) ans = 2 3 5 7 11 13 17 gcd(x,y),lcd(x,y)

−→ Obtiene el máximo com´ un divisor y el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de x, y respectivamente. Cuando x, y son vectores los cálculos se hacen entre las componentes de x e y que ocupan la misma posición. Ej.: Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

44

17 Librer´ıas generales gcd([120,213],[64,10]),lcm([12,2],[10,3]) ans = 8 1 ans = 60 6 rats(x)

−→ Aproximación racional de las componentes de x. Ej.: rats([12.23,pi]) ans = 1223/100 355/113 355/113 ans = 3.1416 perms(x)

−→ Obtiene todas las permutaciones posibles con las componentes de x. Ej.: perms([1 2 3]) ans = 3 2 1 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 2 3 factorial(n)

−→ 1 · 2 · 3 · · · (n − 2)(n − 1)n Ej.: factorial(5) ans = 120 ! nchoosek n −→ N´ umero combinatorio Ej.: k nchoosek(6,4) ans = 15 cart2sph(x)

−→ Transforma coordenadas cartesianas en coordenadas esféricas. Ej.: [TH,PHI,R]=cart2sph([1,-4],[2,5],[3,2]) TH = 1.1071 2.2455 PHI = 0.9303 0.3027 R = 3.7417 6.7082 sph2cart(x)

−→ Transforma coordenadas esféricas en coordenadas cartesianas. Ej.:


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17 Librer´ıas generales [X, Y, Z]=sph2cart([1.1071,2.2455],[0.9303,0.3027],[3.7417,6.7082]) X = 1.0001 -3.9999 Y = 1.9999 5.0002 Z = 3.0001 1.9997 cart2pol(x)

−→ Transforma coordenadas cartesianas en coordenadas polares (cil´ındricas). Ej.: [TH,R,Z]=cart2pol([1,-4],[2,5],[3,2]) TH = 1.1071 2.2455 R = 2.2361 6.4031 Z = 3 2 pol2cart(x)

−→ Transforma coordenadas polares (plano) y cil´ındricas (espacio) en coordendas carte-

sianas. Ej.: [X,Y,Z]=pol2cart([1.1071,2.2455],[2.2361,6.4031],[3,2]) X = 1.0001 -3.9998 Y = 2.0000 5.0001 Z = 3 2 DATAFUN: análisis de datos. sort(A)

−→ Ordena las componentes de la matriz A por columnas. Ej.: sort([12 -3 6 7 1 0 pi]) ans = -3.0000 0 1.0000 3.1416 6.0000 7.0000 12.0000 magic(3),sort(magic(3)) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ans = 3 1 2 4 5 6 8 9 7 sortrows(A)

−→ Ordena las filas de la matriz A leyendo sus elementos de izquiera a derecha. Ej.: magic(3),sortrows(magic(3)) ans = 8 1 6 3 5 7 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

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17 Librer´ıas generales 4 9 2 ans = 3 5 7 4 9 2 8 1 6 A=[1 2 3 3; 1 2 3 1; 1 2 3 2],sortrows(A) A = 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 2 ans = 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 sum(A)

−→ Suma las componentes de A por columnas. Ej.: A=[1 2;3 4],sum(A) A = 1 2 3 4 ans = 4 6 prod(A)

−→ Multiplica las componentes de A por columnas. Ej.: A=[1 2;3 4],prod(A) A = 1 2 3 4 ans = 3 8

17.2.

Ejercicios

Comprueba los ejemplos introducidos en la sección anterior y explica los resultados obtenidos.


47

Hora 18

Primeros gr´ aficos bidimensionales 18.1.

Comando plot

plot(x)

−→ Dibuja los pares de puntos (i, xi ) unidos por segmentos (xi representa las componentes del vector x). Ej.: x=[-4 -2 0 1 3 5]; [ENTER] plot(x); [ENTER] plot(x,y)

−→ Dibuja los pares de puntos (xi , yi ) unidos por segmentos (xi e yi representan las componentes de los vectores x e y respectivamente). Ej.: x=[-4 -2 0 1 3 5]; [ENTER] y=[16 4 0 1 9 25]; [ENTER] plot(x,y); [ENTER] plot(z)

−→ Dibuja en el plano complejo los pares de puntos (Re(zi ), Im(zi )) unidos por segmentos (zi representa las componentes del vector z). Ej.: z=[1 2+i 3 2-i 3-2*i]; [ENTER] plot(z); [ENTER] plot(A)

−→ Para cada j dibuja los pares de puntos (i, aij ) unidos por segmentos (aij representa las componentes de la matriz A) . En la misma gráfica, cada poligonal se dibuja con un color y con un tipo de l´ınea diferente. Ej.: A=[1 1 0.5; 2 4 -0.5; 3 9 0.5; 4 16 -0.5; 5 25 0.5]; [ENTER] plot(A); [ENTER] plot(x,A)

−→ Independientemente de que x sea un vector fila o columna, ejecuta plot(x,y) donde y es una fila o columna de A. Para la elección de la fila y columna se tiene en cuenta la coincidencia de dimensiones. En la misma gráfica, cada l´ınea se dibuja con un color y con un tipo de l´ınea diferente. Ej.: x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4]; [ENTER] A=[1 1 0.5; 2 4 -0.5; 3 9 0.5; 4 16 -0.5; 5 25 0.5]; [ENTER] plot(x,A); [ENTER]

48

18.2 Primeros gr´ aficos bidimensionales I plot(A,x)

−→ En las mismas condiciones que el caso anterior dibuja los pares ordenados siendo x el valor de las ordenadas. Ej.: x=0:0.1:2; [ENTER] A=[sin(pi*x); 0.5+0.5*x]; [ENTER] plot(A,x); [ENTER] plot(A,B)

−→ Ejecuta plot(x,y), donde x es una columna de A e y es una columna de B. En la misma gr´ afica, cada poligonal se dibuja con un color y con un tipo de l´ınea diferente.

18.2.

Ejercicios

1.

Dibuja la función sin(1/x) entre -1 y 1.

2.

Crea una función que:

3.

a)

Simula n lanzamientos de una moneda mediante el comando rand (n es un valor que debe introducir el usuario como argumento de la función).

b)

Guarde en el espacio de trabajo los resultados obtenidos en la variable datos.

c)

Calcule con qué frecuencia va apareciendo el resultado cara en los sucesivos lanzamientos.

d)

Represente graficamente dichas frecuencias frente al n´ umero de lanzamientos.

e)

Muestre por pantalla la u ´ltima frecuencia obtenida.

f)

Env´ıe al fichero de texto resultados.dat los resultados obtenidos en los n lanzamientos (emplea las palabras cara y cruz).

Representa el recinto del plano R2 x ≥ 0, y ≥ 0, (x − 1)3 + y ≤ 0 y su imagen por la función f = (f1 , f2 ) donde f1 (x, y) = −3x − 2y + 3 y f2 (x, y) = −x − 3y + 1.


49

Hora 19

Dibujo de funciones 19.1.

Comando fplot

fplot(’fcn’, lim)

−→ Dibuja el gráfico de la función especificada en la cadena fcn (puede ser un fichero de comandos) en los intervalos de abcisas y ordenadas determinados por lim. Ej.: fplot(’sin(x^2)’, [0 10]) [ENTER] fplot(’sin(x^2)’, [0 10 -1.5 0.5]) [ENTER]

19.2.

Ejercicios

Dibuja las siguientes funciones en los dominios especificados: 2

1. f (x) = xe−x en [−2, 2]. √ 2. f (x) = x2 − 1 en [−3, 3, −1, 3]. 3. f (x) = x2 sin( x1 ) en [−2, 2]. 4. f (x) = x2 sin( x1 ) en [−0,1, 0,1].

50

Hora 20

Modificadores de los gr´ aficos bidimensionales 20.1.

Opciones de los comandos plot y fplot

plot(x,y,cad)

−→ Dibuja la gráfica de abcisas x y ordenadas y con las opciones de estilo dadas por cad1 (MATLAB utiliza por defecto una l´ınea azul continua sin marcadores). fplot(’fcn’, lim,cad)

−→ Dibuja la gráfica de la función fcn con el estilo de l´ıneas cad.

plot(x1,y1,cad1, x2,y2,cad2,...)

−→ Dibuja la gráfica de abcisas x1 y ordenadas y1 con las opciones de estilo dadas por cad1, la gráfica de abcisas x2 y ordenadas y2 con las opciones de estilo dadas por cad2 y as´ı con el resto de ternas. Si se omiten las opciones de estilo, MATLAB escoge el color y estilo para cada gr´ afico. 1 cad

es una variable carácter de a lo sumo tres parámetros elegidos de las siguientes columnas sin importar el orden. Afecta a los estilos de l´ıneas y colores.

. * x o + s d p h v < > ^

1

Marcadores punto estrella cruz c´ırculo más cuadrado rombo pentágono hexágono triángulo abajo triángulo izquierda triángulo derecha triángulo arriba

--. :

Ver tabla

51

L´ıneas sólida discont´ınua punto-raya punteada

y g m b c w r k

Colores amarillo verde magenta azul cyan blanco rojo negro

20.2 Modificadores de los gr´ aficos bidimensionales Ej.: n=50; a=0; b=3; x=linspace(a,b,n); e1=exp(-x.^2); e2=(x.^2).*exp(-x.^2); e3=x.*exp(-x.^2); e4=exp(-x); plot(x,e1,’+-g’,x,e2,’*:k’,x,e3,’o-.y’,x,e4,’x’);

20.2.

% Asignamos valores a las variables

% Construimos el vector x % y los vectores de abcisas

% Dibujamos las graficas

Ejercicios

1.

Dibuja un cuadrado de vértices {(1, 1), (1, 4), (4, 4), (4, 1)} y sus diagonales. Emplea un estilo distinto para cada uno de los lados y diagonales.

2.

Una granja familiar cr´ıa conejos, terneros y cerdos. Los siguientes vectores describen el n´ umero de unidades de cada caba˜ na nacidos durante cada uno de los meses de 1999 en la granja: conejos = (1, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 20, 22, 23) terneros = (1, 2, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 2) cerdos = (12, 10, 1, 8, 11, 11, 1, 4, 3, 1, 5, 7) Dibuja los vectores anteriores en un mismo gráfico diferenciándolos entre s´ı.

Considera el vector v=-10:-1. Dibujas las potencias v 1 , v 2 y v 3 diferenciándolas entre s´ı. √ √ 4. Considera el vector v=1:10. Dibujas las potencias v 1 , v y 3 v diferenciándolas entre s´ı.

3.


52

Hora 21

Control de gr´ aficos bidimensionales 21.1.

Control de gr´ aficos bidimensionales

axis

−→ Devuelve los l´ımites del dibujo actual en un vector fila. Para gráficos de dos dimensiones tiene los elementos [xmin xmax ymin ymax ] y para gráficos de tres dimensiones [xmin xmax ymin ymax zmin zmax ]. axis(v)

−→ Establece la escala de los ejes conforme al vector v que será [xmin xmax ymin ymax ] en dos dimensiones o [xmin xmax ymin ymax zmin zmax ] en tres dimensiones. axis(axis)

−→ Bloquea la escala actual cuando se a˜ naden dibujos posteriores a uno que se ha mantenido con el comando hold. axis(cad)

−→ Establece la escala de los ejes con diferentes resultados dependiendo de la cadena cad

utilizada: ’auto’ Vuelve a la escala automática. ’equal’ Da la misma escala en ambos ejes. ’ij’ Intercambia la parte positiva y negativa del eje y. ’xy’ Deshace el anterior. ’image’ Igual que equal pero se ajusta al dibujo. ’square’ Modifica la ventana gráfica para hacer que la caja del dibujo sea cuadrada. ’normal’ Modifica la ventana gráfica para que la caja del dibujo vuelva al tama˜ no habitual. ’off’ No se muestran los ejes. ’on’ Deshace el comando anterior. grid on grid off

−→ Dibuja una red en la ventana gráfica. −→ Borra la red de la ventana gráfica. Ej.:

53

21 Control de gr´ aficos bidimensionales t=0:0.2:2*pi+0.2; [ENTER] x=sin(t); [ENTER] y=cos(t); [ENTER] subplot(3,1,1); [ENTER] plot(x,y,’-’); [ENTER] subplot(3,1,2); [ENTER] plot(x,y,’-’); [ENTER] axis square; [ENTER] subplot(3,1,3); [ENTER] plot(x,y,’-’); [ENTER] axis normal; [ENTER] grid; [ENTER] axis([-2 2 -3 3]); [ENTER] title(txt)

% Parametro para el angulo

−→ Escribe la variable cadena txt centrada en la cabezera del gráfico (t´ıtulo).

xlabel(txt), ylabel(txt)

−→ Escribe la variable cadena txt como una etiqueta junto al eje x e y respecti-

vamente. text(x,y,txt)

−→ Escribe la variable cadena txt en la posición (x, y) de la ventana gráfica. Las coordenadas x e y están proporcionadas en las mismas unidades en las que está dibujado el gráfico. Si x e y son vectores, la variable cadena se escribe en todos los pares de puntos (xi , yi ). Si txt es un vector con varias cadenas con el mismo n´ umero de filas que x e y, se escribe una de ellas en cada una de las posiciones. Se puede elegir el tama˜ no y tipo de letra empleado. gtext(txt)

−→ Escribe la variable cadena txt en la posición de la ventana gráfica que elija el usuario mediante el ratón. legend(st1,st2, ...)

−→ Escribe en un peque˜ no recuadro, las variables cadenas st1, st2, etc, al lado de los estilos de linea utilizados en cada una de las gráficas. Este peque˜ no recuadro puede moverse mediante el rat´ on. legend(l1,st1, l2,st2, ...) legend off

−→ Escribe una leyenda especificando los estilos de l´ınea.

−→ Elimina la leyenda del dibujo actual.

[x,y]=ginput

−→ Lee las coordenadas en las que se sit´ ua el ratón dentro de la ventana gráfica. Al ejecutar este comando aparece un cursor que se maneja con el ratón (o con las teclas de desplazamiento vertical y horizontal). Presionado una tecla o un botón del ratón se env´ıan las coordenadas a MATLAB que las almacena en los vectores x e y. El proceso termina cuando se presiona la tecla [RETURN]. [x,y]=ginput(n)

−→ Lee n coordenadas de la ventana gráfica.

waitforbuttonpress

−→ Detiene el dibujo de gráficos hasta que se presiona una tecla o un botón del rat´ on.

Ej.: n=figure; % nueva ventana grafica; disp(’Para dibujar una poligonal en la figura:’); disp(’presiona el boton izqdo para empezar,’); Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

54

21 Control de gr´ aficos bidimensionales disp(’Para parar presiona el boton dcho’); [x,y,t]=ginput(1); plot(x,y,’o’) xx=x;yy=y; hold; axis([0 1 0 1]);

% superponer el grafico y se establecen % los ejes

while t~=3 [x,y,t]=ginput(1); plot(x,y,’o’) xx=[xx x]; yy=[yy y]; end clf; line(xx,yy); disp(’Aprieta en la figura cuando este terminado’) waitforbuttonpress delete(n);

21.2. 1.

Ejercicios

Dibuja en un mismo gráfico las funciones f1 (x) = x2 , f2 (x) = 1,1x2 y f3 (x) = 1,2x2 . Utiliza para el eje y una escala adecuada que te permita distinguir las tres funciones anteriores. Repite el apartado anterior usando para ello el comando zoom. Identifica sobre la gráfica cada una de las funciones representadas de dos maneras distintas:

2.

a)

A˜ nade al lado de cada curva una etiqueta que describa la función que representa.

b)

Incorpora una leyenda que identifique la función con el tipo de l´ınea utilizada para su representación.

Ejecuta la siguiente función: function y=particle(n) % Camino aleatorio. Una particula empieza en el origen, y se mueve % aleatoriamente hacia otra direccion en cada paso. x=cumsum(rand(n,1)-0.5); % Valores aleatorios de x y=cumsum(rand(n,1)-0.5); % Valores aleatorios de y clf; plot(x,y); hold on; plot(x(1),y(1),’o’,x(n),y(n),’o’); axs=axis; scale=axs(2)-axs(1);


55

21 Control de gr´ aficos bidimensionales

text(x(1)+scale/30,y(1),’Inicio’); hold off; xlabel(’x’); Completa el gráfico resultante con las siguientes operaciones: a) A˜ nade el t´ıtulo “Camino aleatorio”. b) Escribe bajo el eje y: “Eje de ordenadas”. c) Identifica el u ´ltimo punto dibujado con la etiqueta “FIN”. d ) Obtén las coordenadas de los puntos correspondientes al máximo y al m´ınimo de la gráfica. Para ello act´ ua de las siguientes dos formas: 1) Incorpora al gráfico una red que te permita aproximar adecuadamente dichas coordenadas. 2) Utiliza el comando ginput. e)

Sustituye x=cumsum(rand(n,1)-0.5) por x=rand(n,1)-0.5 e y=cumsum(rand(n,1)-0.5) por y=rand(n,1)-0.5. Observa los resultados obtenidos.

f ) Acude a la ayuda de MATLAB y justifica tu anterior respuesta. 3. Busca en la ayuda el comando fill y util´ızalo para dibujar un triángulo de vértices {(0, 2), (1, 0), (−1, 0)} coloreado en rojo y sobre él un cuadrado de vértices {(0, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 0)}. 4.

Modifica el gráfico obtenido en el ejercicio 2 de la hora 20 “Modificadores de los gráficos bidimensionales” incluyendo: a) El t´ıtulo ”Rendimiento anual de la granja b) En el eje de abcisas el nombre de cada mes al que hacen referencia los datos. c) Una leyenda que indique el tipo de animal al que corresponde cada poligonal.

5.

Modifica el gráfico obtenido en el ejercicios 3 de la hora 20 “Modificadores de los gráficos bidimensionales” para que incluya: a)

El t´ıtulo “Potencias sucesivas”

b)

Una leyenda que indique el valor del exponente utizado en cada una de las potencias representadas.

6. Modifica el gráfico obtenido en el ejercicios 4 de la hora 20 “Modificadores de los gráficos bidimesionales” para que incluya: a)

El t´ıtulo “Potencias sucesivas”

b)

Una leyenda que indique el valor del exponente utizado en cada una de las potencias representadas.


56

Hora 22

Control de la ventana gr´ afica bidimensional 22.1. figure(n) clf

Control de la ventana gr´ afica bidimensional −→ Permite mostrar la ventana gráfica actual y crear nuevas ventanas gráficas.

−→ Borra el contenido la u ´ltima ventana gráfica utilizada.

delete(n)

−→ Cierra la ventana gráfica n.

hold on

−→ Permite superponer gráficos en una misma ventana hasta que se desactiva la opci´ on con el comando hold off. hold off

−→ Desactiva la opción hold on.

ishold

−→ Es un comando lógico que devuelve 1 si para el actual gráfico está activada la opción hold on ´ 0 en caso contrario. o subplot(m,n,p)

−→ Divide la ventana gráfica en subventanas distribuidas en m filas y n columnas y hace que la subventana p sea la actual. Las ventanas se numeran de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Ej.: x=linspace(-10,10,1000); [ENTER] y11=(-x).*sin(x); [ENTER] y12=(-x).*cos(x)-sin(x); [ENTER] y21=diff(y11)./(x(2)-x(1)); [ENTER] y22=(y21-y12(1:999))./norm(y12); [ENTER] subplot(2,2,1); plot(x,y11); [ENTER] subplot(2,2,2); plot(x,y12); [ENTER] subplot(2,2,3); plot(x(1:999),y21); [ENTER] subplot(2,2,4); plot(x(1:999),y22); [ENTER] zoom on

−→ Permite ampliar la ventana con el botón izquierdo del ratón y reducirla con el botón derecho. También permite seleccionar el área que queremos ampliar.

57

22 Control de la ventana gr´ afica bidimensionales zoom off zoom out

22.2.

−→ Desactiva el comando anterior. −→ Recupera el tama˜ no inicial.

Ejercicios

1.

Dibuja las funciones fk (x) = xk para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en siete gráficas distintas dentro de una misma ventana con −5 ≤ x ≤ 5. Escribe sobre cada gráfica un t´ıtulo que la identifique.

2.

Realiza el ejercicio 3 de la hora 20 Modificadores de los gráficos bidimensionales empleando el comando hold.

3.

Con los datos del ejercicio 2 de la hora 20 Control de gráficos bidimensionales y empleando el comando figure realiza cuatro gráficas en cuatro ventanas distintas para representar: a)

El n´ umero de terneros nacidos en la granja durante cada uno de los meses de 1999.

b)

El n´ umero de conejos nacidos en la granja durante cada uno de los meses de 1999.

c)

El n´ umero de cerdos nacidos en la granja durante cada uno de los meses de 1999.

d)

El n´ umero total de animales nacidos en la granja durante cada uno de los meses de 1999.

A˜ nade un t´ıtulo y nombra los ejes convenientemente en cada uno de los gráficos indicados. 4.

Repite el ejercicio anterior incluyendo los 4 gráficos representados en un misma ventana dividida en cuatro zonas.

5.

Ejecuta el siguiente programa y observa los resultados. M=moviein(17); x=[-2*pi:.1:2*pi]’; for j=1:17 y=sin(x+j*pi/8); plot(x,y); M(:,j)=getframe; end movie(M,2,50)


58

Hora 23

Gr´ aficos con n´ umeros complejos y en escalas logar´ıtmicas 23.1.

Gr´ aficos con n´ umeros complejos

polar(θ,r)

−→ Dibuja n´ umeros complejos a partir de sus coordenadas polares. Los elementos del vector θ son los ángulos en radianes, y los elementos del vector r son las distancias al origen. pol2cart(θ,r)

−→ Convierte las coordenadas polares dadas por los vectores θ y r en coordenadas carte-

sianas. Ej.: r = linspace(0,2); [ENTER] theta = linspace(0,10*pi); [ENTER] [x,y] = pol2cart(theta,r); [ENTER] z = x+i*y; [ENTER] plot(z); [ENTER] cart2pol(x, y)

−→ Convierte las coordenadas cartesianas dadas por los vectores x e y en coordenadas

polares. quiver(x,y)

−→ Dibuja una flecha para cada par de coordenadas (xi , yi ). Muestra el argumento y la magnitud del n´ umero complejo que tiene ese par de coordenadas reales. quiver(x,y,dx,dy)

−→ Dibuja una flecha para cada par de coordenadas (xi , yi ) con el argumento y magnitud dados por (dxi , dyi ). quiver(x,y, ...,s)

−→ El parámetro s indica la escala con la que se dibujan las flechas, que por defecto

toma el valor 1. feather(Z)

−→ Dibuja flechas mostrando las magnitudes y argumentos de los elementos de la matriz compleja Z. Estas flechas parten de puntos equidistantes del eje x. compass(Z)

−→ Como feather pero en este caso todas las flechas tienen como origen el origen de coor-

denadas.

59

23 Gr´ aficos con n´ umeros complejos y en escalas logar´ıtmicas rose(v,n)

−→ Dibuja un histograma de ángulos, es decir, un histograma circular mostrando la frecuencia de los ángulos dados en el vector v; utilizando n intervalos. En el caso de no especificar n, el valor por defecto es 36. Ej.: Z=[1+i 2-i 3-5*i; -4+3*i 5-5*i i ;-1-i 3+3*i -1]; [ENTER] clf; [ENTER] subplot(2,2,1); quiver(real(Z),imag(Z)); title(’quiver’); [ENTER] subplot(2,2,2); feather(Z); title(’feather’); [ENTER] subplot(2,2,3); compass(Z); title(’compass’); [ENTER] subplot(2,2,4); rose(angle(Z(:))); title(’rose’); [ENTER]

23.2.

Gr´ aficos en escalas logar´ıtmicas

semilogx(x,y)

−→ Utiliza coordenadas logar´ıtmicas en el eje x. El resultado es el mismo que utilizar plot(log10(x),y) pero no produce ning´ un error si tenemos que calcular log10 0. semilogy(x,y)

−→ Act´ ua como el comando anterior, pero esta vez la escala logar´ıtmica está en el eje y.

loglog(x,y)

−→ Dibuja ambos ejes en escala logar´ıtmica. Ej.: x=linspace(0,7); [ENTER] y=exp(x); [ENTER] subplot(2,1,1); plot(x,y); [ENTER] subplot(2,1,2); semilogy(x,y); [ENTER]

23.3. 1.

Ejercicios

Dibuja las siguientes funciones en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas. 5

θ a) r = ecos θ − 2 cos(4θ) + sen( 12 ).

b) r = 4θ. c) r = 2(1 + cos θ). d ) r = cosθ, r = cos(2θ), r = cos(3θ) y r = cos(4θ) en una misma gráfica. e) r = 2(1 + cos(2θ)) y r = 2(1 + cos(3θ)) en una misma ventana y en gráficas distintas. 2. Dibuja el sector circular limitado por las circunferencias x2 + y 2 = 9 y r = 5 y los ángulos θ = θ = 3π umeros complejos. 7 usando n´

π 4

y

4π 6π 8π 3. Dibuja los pentágonos cuyos vértices están sobre la circunferencia unidad en los ángulos θ = 2π 5 , 5 , 5 , 5 , 10π 3π 5π 7π 9π 11π angulos θ = 5 , 5 , 5 , 5 , 5 . Traza los segmentos que unen cada vértice con el origen 5 y en los ´ de coordenadas.

4. El fichero poblacion.txt describe el n´ umero de habitantes empadronados en ciertos municipios de Castilla y Leon. Utiliza un histograma (función hist) para representar los datos almacenados en la variable habitantes.


60

23 Gr´ aficos con n´ umeros complejos y en escalas logar´ıtmicas Transforma la variable habitantes mediante la función log y guarda el resultado en la variable loghabitantes. Representa los datos almacenados en la variable loghabitantes con un histograma. Emplea una cuadr´ıcula (grid) que facilite la visualización de las coordenadas en el gráfico.


61

Hora 24

Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos 24.1.

Entrada de datos tabulados

tblread(datos.txt)

−→ Lee los datos almacenados en el fichero datos.txt interpretando los nombres de las variables (primera fila) y los nombres de los individuos (primera columna). Permite distintos caracteres como delimitadores de campos (espacios en blanco, coma, punto y coma, etc.) Ej.: [datos, nombresvariables, nombresindividuos] = tblread(’Demog.tex’); datos, nombresvariables, nombresindividuos

24.2.

Descripci´ on y exploraci´ on gr´ afica de datos

boxplot(A)

−→ Dibuja un boxplot con los datos almacenados en cada una de las columnas de A (uno por columna). Ej.: A=normrnd(0,1,10,2);boxplot(A) lsline

−→ A˜ nade a un scatterplot la recta que mejor ajusta los puntos representados en el sentido de m´ınimos cuadrados. Ej.: X=linspace(1,20,100);Y=3+(2.*X)+normrnd(0,3,1,100);plot(X,Y,’.’); lsline;coef=polyfit(X,Y,1) coef = 2.0053 2.9622 refline(m,c)

−→ A˜ nade la recta y = mx + c a la figura activa. Sin argumentos equivale a lsline. Ej.: X=linspace(1,20,100);Y=3+(2.*X)+normrnd(0,3,1,100);plot(X,Y,’r.’); refline; refline(4,5);

62

24 Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos

24.3.

Descripci´ on anal´ıtica de datos

tabulate(x)

−→ Obtiene la tabla de distribución de frecuencias de x. El argumento x debe ser un vector de n´ umeros naturales. Ej.: r = unidrnd(10,5,1) r = 5 4 4 9 8 tabulate(r) Value Count Percent 1 0 0.00% 2 0 0.00% 3 0 0.00% 4 2 40.00% 5 1 20.00% 6 0 0.00% 7 0 0.00% 8 1 20.00% 9 1 20.00% nanmin(A), nanmax(A)

−→ Calculan, respectivamente, el m´ınimo y el máximo de los datos que ocupan cada una de las columnas (variables) de la matriz A. Los datos “missing” se omiten. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 9 8 9 10 1 7 8 8 9 4 nanmin(r),nanmax(r) ans = 1 4 ans = 9 10 range(A)

−→ Calcula el rango de los datos que ocupan cada una de las columnas (variables) de la matriz

A. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 1 3 3 5 4 9 9 2 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

63

24 Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos 4 range(r) ans = 8

6

7

median(A)

−→ Calcula la mediana de los datos que ocupan cada una de las columnas (variables) de la matriz A. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 10 3 8 8 8 10 3 7 2 6 median(r) ans = 8 7 iqr(A)

−→ Calcula el rango intercuart´ılico de los datos que ocupan cada una de las columnas (variables) de la matriz A. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 5 10 3 2 1 1 3 4 2 7 iqr(r) ans = 1.7500 6.0000 prdtile(A,p)

−→ Calcula los percentiles designados en p (en porcentaje) para cada una de las columnas (variables) de A. El resultado es una matriz cuya fila i-ésima contiene los percentiles del p(i) % de cada una de las columnas de A. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 6 8 5 7 9 1 9 2 5 5 prctile(r,[25;50;75]) ans = 5.0000 1.7500 6.0000 5.0000 9.0000 7.2500


64

24 Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos nansum(A), nanmean(A), nanmedian(A), nanstd(A)

−→ Calculan, respectivamente, la suma, la media aritmética, la mediana y la (cuasi) desviación estándar de los datos que ocupan cada una de las columnas (variables) de la matriz A. Los datos “missing” se omiten. Ej.: r = unidrnd(10,5,2) r = 9 2 4 5 1 1 8 5 10 9 nansum(r),nanmean(r),nanmedian(r),nanstd(r) ans = 32 22 ans = 6.4000 4.4000 ans = 8 5 ans = 3.7815 3.1305 cov(A)

−→ Calcula la matriz de covarianzas asociada con las columnas (variables) de A. Ej.: X=unifrnd(2,10,1,100);Y=normrnd(0,3,1,100); cov([X;Y]’) ans = 4.9814 -0.5150 -0.5150 11.6290 corrcoef(A)

−→ Calcula la matriz de correlaciones asociada con las columnas (variables) de A. Ej.: X=unifrnd(2,10,1,100);Y=2.*X+normrnd(0,2,1,100); corrcoef([X;Y]’) ans = 1.0000 0.9371 0.9371 1.0000

24.4.

Distribuciones de probabilidad

binopdf(x,n,p)

−→ Calcula las probabilidades de una distribución binomial de parámetros n y p en los sucesos (componentes) de x. Ej.: binopdf(0:6,6,0.75) ans = 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780 binocdf(x,n,p)

−→ Evalua la función de distribución de una distribución binomial de parámetros n y p en cada una de las componentes de x. Ej.: Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

65

24 Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos binocdf(0:6,6,0.75) ans = 0.0002 0.0046

0.0376

0.1694

0.4661

0.8220

1.0000

binoinv(x,n,p)

−→ Evalua la inversa de la función de distribución (percentiles) de una distribuci´ on binomial de parámetros n y p en cada una de las componentes de x. Ej.: binoinv(0:0.2:1,6,0.75) ans = 0 4 4 5 5 6 binornd(n,p,m,k)

−→ Calcula una matriz m×k formada por n´ umeros aleatorios generados a partir de una distribución binomial de parámetros n y p. Ej.: binornd(10,0.8,3,3) ans = 8 10 6 6 9 10 7 9 9 binostat(n,p)

−→ Calcula la esperanza y la varianza de una distribución binomial de parámetros n y p.

Ej.: [esperanza,varianza]=binostat(100,0.7) esperanza = 70 varianza = 21.0000 exppdf(x,mu)

−→ Calcula la función de densidad de una distribución exponencial de parámetro (esperanza) mu en cada una de las componentes de x. Ej.: y=exppdf(1:0.1:100,2);plot(1:0.1:100,y) expcdf(x,mu)

−→ Evalua la función de distribución de una distribución exponencial de parámetro mu en cada una de las componentes de x. Ej.: expcdf(1:10,2) ans = Columns 1 through 7 0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 Columns 8 through 10 0.9817 0.9889 0.9933 expinv(x,mu)

−→ Evalua la inversa de la función de distribución (percentiles) de una distribuci´ on exponencial de parámetro mu en cada una de las componentes de x. Ej.: expinv(0:0.1:0.9,2) ans = Columns 1 through 7 0 0.2107 0.4463 0.7133 1.0217 1.3863 1.8326 Columns 8 through 10 2.4079 3.2189 4.6052 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

66

24 Librer´ıas con funciones y gr´ aficos estad´ısticos exprnd(mu,m,k)

−→ Calcula una matriz m×k formada por n´ umeros aleatorios generados a partir de una distribución exponencial de parámetro mu. Ej.: exprnd(2,3,3) ans = 0.1126 11.5185 3.4466 0.9779 0.4539 1.2720 0.4894 0.8869 3.0397 expstat(mu)

−→ Calcula la esperanza y la varianza de una distribución exponencial de parámetro mu.

Ej.: [esperanza,varianza]=expstat(2) esperanza = 2 varianza = 4

24.5.

Ejercicios

1.

Comprueba los ejemplos introducidos en la sección anterior y explica los resultados obtenidos.

2.

Utiliza las funciones normpdf, normcdf norminv y normrnd para resolver las siguientes cuestiones: a) Dibuja en un mismo gráfico las funciones de densidad correspondientes a las distribuciones normales N (5, 1), N (5, 10) y N (10, 1). b)

Tabula la función de distribución de una distribución normal estándar para los valores z = 0, 0,01, 0,02, . . . , 3,98, 3,99, 4.

c)

Tabula los percentiles de una distribución N (1, 3) correspondientes a las probabilidades p = 0,01, 0,1, 0,2, . . . , 0,9, 0,99.

d ) Genera un muestra de tama˜ no 100 de una distribución normal estándar y contabiliza mediante un diagrama de caja los valores outliers obtenidos.


67

Hora 25

Primeros gr´ aficos tridimensionales plot3(x1,y1,z1,cad)

−→ Dibuja un gráfico 3-D que pasa por las coordenadas de los vectores x1, y1, z1. La selección del estilo de l´ınea es opcional y se elige con cad1 Ej.: x=[245,972,167,165];y=[23,45,24,362];z=[1,2 3,4]; plot3(x,y,z,’ro--’); plot3(X,Y,Z)

−→ Dibuja gráficos para cada columna de las matrices X, Y y Z, que deben tener el mismo

tama˜ no.

25.1.

Ejercicios

1.

Dibuja en el espacio tridimensional una circunferencia que esté contenida dentro del plano XY. Sugerencia: trabaja en dos dimensiones y a˜ nade una tercera coordenada nula.

2.

Modifica convenientemente el ejercicio 2 de la hora 21 para construir un camino aleatorio en tres dimensiones.

3.

Genera 120 n´ umeros aleatorios entre 0 y 100. Considera que los valores obtenidos simulan el n´ umero de ganadores mensuales de premios millonarios durante los u ´ltimos 10 a˜ nos. Asigna a cada dato el mes y el a˜ no correspondiente y representa los valores obtenidos mediante un dibujo en tres dimensiones.

1

Ver tabla de la secci´ on 20.1, p´ agina 51.

68

Hora 26

Dibujo de mallados 26.1.

Dibujo de mallados

[U,V]=meshgrid(x,y)

−→ Comando que obtiene una red adecuada para dibujar gráficas tridimensionales a partir de los vectores x e y. Ej.: x=[1 2]; y=[3 4]; [x,y]=meshgrid(x,y) [U,V,W]=meshgrid(x,y,z)

−→ Obtiene una red tridimensional.

mesh(Z)

−→ Dibuja la matriz Z como tercera coordenada sobre una red rectangular y conecta los puntos adyacentes creando una superficie. Ej.: subplot(2,1,1); x=-1:.1:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; mesh(z); subplot(2,1,2); mesh(z); hidden off; mesh(U,V,Z)

−→ Dibuja la matriz Z sobre los nodos de la red formada por U y V. Ej.: U=4:8;V=1:3;Z=3*ones(3,5); mesh(U,V,Z); surf(X,Y,Z)

−→ Dibuja la superficie especificada por X e Y, que toma los valores de Z. Si no se especifica la red, se dibuja en una red uniforme. [X,Y,Z]=cylinder(r,n)

−→ Devuelve las coordenadas correspondientes a la superficie de un cilindro o un cono. Los radios del cilindro se toman del vector r, que contienen los radios en n puntos equidistantes en el eje del cilindro. Si no se especifica n, se utiliza n = 20. [X,Y,Z]=sphere(n)

−→ Devuelve n coordenadas igualmente espaciadas sobre una esfera unidad. Ej.: 69

26 Dibujo de mallados [X,Y,Z]=sphere(20); surf(X,Y,Z);

26.2. 1.

Ejercicios

Dibuja la superficie definida por las siguientes funciones: f (x, y) = sin(x) sin(y), (x, y) ∈ [0, π] × [0, π]. f (x, y) = x − 0,5x3 + 0,2y 2 + 1, (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3]. √ sin( x2 +y 2 ) , (x, y) ∈ [−8, 8] × [−8, 8]. f (x, y) = x2 +y 2

2.

Dibuja una superficie semejante a una chimenea de una central térmica (hiperboloide hiperb´ olico).

3.

Dibujar dos circunferencias intersecadas.

4.

Dibujar los cinco aros ol´ımpicos.

5.

Repite el ejercicio 3 de la hora 25 guiándote con las siguientes indicaciones: a)

Guarda los datos simulados en una matriz 10×12 (logicamente, las filas hacen referencia al a˜ no y las columnas al mes).

b)

Utiliza el comando meshgrid y construye una red de referencia.

c)

Emplea los comandos mesh y surf para obtener la representación gráfica solicitada.

¿Qué diferencias observas respecto al dibujo realizado con el comando plot3?


70

Hora 27

Control de la ventana y de los gr´ aficos tridimensionales 27.1. axis

Control de gr´ aficos tridimensionales

−→ Idéntico al utilizado con gráficos bidimensionales.

title, xlabel, ylabel, zlabel, text, gtext, legend, ginput, grid, . . .

−→ Idénticos a los utilizados con gr´ aficos bidimensionales (gtext y ginput sólo funcionan en determinadas versiones). hidden on, hidden off

−→ Mantiene las l´ıneas posteriores ocultas o no dependiendo que utilicemos on u

off.

27.2.

Control de la ventana gr´ afica tridimensional

hold, subplot, . . .

−→ Idénticos a los utilizados con gráficos bidimensionales (gtext y

view(v,h)

−→ Establece el punto de vista de la gráfica. El escalar v determina el ángulo azimutal y el escalar h el ańgulo de elevación. [v,h]=view

−→ Devuelve el punto de vista actual mediante el ángulo azimutal y el ángulo de elevaci´ on.

view(r)

−→ Sit´ ua el punto de vista en la posición r=[x y z]. Ej.: subplot(2,1,1); X1=[0 1 0];Y1=[0 0 1]; Z1=[1 0 0]; X2=[0 0 0];Y2=[0 1 0]; Z2=[1 0 0]; X3=[0 1 0];Y3=[0 0 0]; Z3=[1 0 0]; X4=[1 0 0];Y4=[0 1 0]; Z4=[0 0 0]; fill3(X1,Y1,Z1,’r’,X2,Y2,Z2,’b’,X3,Y3,Z3,’g’,X4,Y4,Z4,’y’); grid; subplot(2,1,2); fill3(X1,Y1,Z1,’r’,X2,Y2,Z2,’b’,X3,Y3,Z3,’g’,X4,Y4,Z4,’y’); grid; 71

27 Control de la ventana y de los gr´ aficos tridimensionales view(196,30);

27.3. 1.

Ejercicios

A˜ nade las siguientes caracter´ısticas al camino aleatorio tridimensional construido en el ejercicio 2 de la hora 25: T´ıtulo: “Camino aleatorio en el espacio”. Los ejes están etiquetados por la expresiones “eje x”, “eje y” y “eje z”. Los puntos inicial y final del camino están se˜ nalados con las etiquetas “comienzo” y “final” respectivamente. Utiliza el comando gtext para aproximar las coordenadas del punto más alto.

2.

Dibuja, en el plano, la circunferencia x2 +y 2 = 1. Posteriormente a˜ nade el comando view([1,0.6,0.35]). ¿Qué observas?

3.

A˜ nade las siguientes caracter´ısticas a la representación realizada en el ejercicio 3 de la hora 25:

4.

5.

a)

Etiqueta los ejes con “a˜ nos”, “meses” y “acertantes” seg´ un corresponda.

b)

Titula la representación mediante “Comando plot3”.

A˜ nade las siguientes caracter´ısticas a la representación realizada en el ejercicio 5 de la hora 26: a)

Etiqueta los ejes con “a˜ nos”, “meses” y “acertantes” seg´ un corresponda.

b)

Titula las representaciones mediante “Comando mesh” y “Comando surf” seg´ un corresponda.

Realiza las siguientes operaciones: a)

Obtén 120 datos aleatorios como en el ejercicio 3 de la hora 25. Almacenalos en el vector v y en una matriz A de tama˜ no 10×12.

b)

Divide la pantalla gráfica en cuatro zonas mediante el comando subplot.

c) En la primera zona representa el resultado del ejercicio 3 anterior. d)

En la segunda zona representa el resultado del ejercicio 3 anterior, pero utilizando marcadores distintos para los puntos representados.

e)

En la tercera zona representa uno de los gráficos representados en el ejercicio 4 anterior.

f)

En la cuarta zona representa el otro dibujo obtenido en el ejercicio 4 anterior.


72

Hora 28

Dibujo de poli´ edros y de l´ıneas de contorno 28.1.

Dibujo de poli´ edros

fill3(x,y,z,c)

−→ Dibuja el poliedro con vértices dados por los vectores x,y,z. El poliedro se rellena con el color dado por c.

28.2.

Dibujo de l´ıneas de contorno

C=contour(x,y,Z,n), C=contour(x,y,Z,v)

−→ Dibuja las curvas de nivel de la matriz Z en n niveles especificados en el vector v sobre la red determinada por los puntos x, y. Si no se concreta n se dibujan 10 niveles. Si se omite la red x, y, entonces MATLAB emplea una red uniforme. C es la matriz de contorno. clabel(C)

−→ Escribe los valores de los niveles que representan las curvas de nivel. Las posiciones son aleatorias. C es la matriz de contorno. Se pueden especificar los niveles, con un vector v. Ej.: r=10:-0.1:0; [X,Y,Z]=cylinder(r,100); v=linspace(0,1,15); C=contour(X,Y,Z,v); clabel(C); meshc(U,V,Z) surfc(U,V,Z)

−→ Act´ ua igual que mesh, incluyendo las curvas de nivel bajo el gráfico. −→ Act´ ua igual que surf, incluyendo las curvas de nivel bajo el gráfico. Ej.:

x=-8:0.5:8; y=x; [XX,YY]=meshgrid(x,y); r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps; z=sin(r)./r; subplot(2,1,1); 73

28 Dibujo de poli´ edros y de l´ıneas de contorno meshc(z); title(’sin(r)/r)’); subplot(2,1,2); surfc(z); title(’sin(r)/r)’);

28.3. 1.

Ejercicios

Sea la superficie definida mediante la ecuación z = x2 /4 − y 2 /9. Se pide: a) Dibujar la superficie en la red determinada por las abcisas x = −10 : 1 : 10 y las ordenadas y = −20 : 1 : 20 empleando el comando surf. b)

Dibujar las curvas de nivel asociadas a los valores v = −50 : 5 : 50.

c)

Representar los dos gráficos anteriores, uno encima del otro.

d)

Representar los dos gráficos anteriores en la misma ventana utilizando el comando surfc.

e)

Dibujar la superficie en la red determinada por las abcisas x = −10 : 0,5 : 10 y las ordenadas y = −20 : 0,5 : 20 empleando el comando mesh.

f ) Representar la superficie con el comando meshc.


74

Hora 29

Librer´ıas relacionadas con gr´ aficos bidimensionales y tridimensionales SPECGRAPH: gráficos especiales. area(X)

−→ Dibuja las sumas acumuladas de las distintas columnas que forman la matriz X y colorea las áreas situadas entre las gráficas representadas. Ej.: X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 area(X),grid bar(X)

−→ Representa el diagrama de barras asociado con las frecuencias contenidas en X. Se considera que los valores de una misma fila hacen referencia a la misma categor´ıa. Ej.: X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; bar(X) barh(X)

−→ Igual que el anterior. La u ńica diferencia es que las barras se representan horizontal-

mente. Ej.: X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; barh(X) bar3(X)

−→ Representa el diagrama de barras tridimensional asociado con las frecuencias contenidas en X. Se considera que los valores de una misma fila hacen referencia a la misma categor´ıa. Ej.: X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; bar3(X) bar3h(X)

−→ Igual que el anterior. La u ńica diferencia es que las barras se representan horizontalmente. Ej.: X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; bar3h(X)

75

29 Librer´ıas relacionadas con gr´ aficos bidimensionales y tridimensionales pareto(x,e)

−→ Dibuja un diagrama de Pareto con las frecuencias descritas en el vector x y las etiquetas contenidas en el vector e. Ej.: x=[3;14;1;7]; tiposdefallo=[’ desgaste ’;’ rotura ’;’desencaje ’;’dilatacion’]; pareto(x,tiposdefallo) pie(x,e)

−→ Dibuja un diagrama de sectores con las frecuencias descritas en el vector x y las etiquetas contenidas en el vector e. Ej.: pie([2 4 3 5],{’North’,’South’,’East’,’West’}) pie3(x,d,e)

−→ Dibuja un diagrama de sectores con las frecuencias descritas en el vector x y las etiquetas contenidas en el vector e. Las componentes del vector d indican si los correspondientes sectores se separan del centro del c´ırculo (valor 1) o no (valor 0). Ej.: pie3([2 4 3 5],[0 1 1 0],{’North’,’South’,’East’,’West’}) plotmatrix(X)

−→ Dibuja scatterplots para cada par de columnas de la matriz X. En la diagonal representa histogramas relativos a los datos contenidos en las correspondientes columnas de la matriz X. Ej.: x = randn(50,3); Y = x*[-1 2 1;2 0 1;1 -2 3;]’; plotmatrix(Y,’*r’) stem()

−→ Act´ ua como la función plot(). La u ńica diferencia es que se representa la proyecci´ on ortogonal sobre el eje de abscisas de cada uno de los puntos dibujados. Ej.: x=linspace(0,5,20);y=exp(-x); stem(y) stem3()

−→ Act´ ua como la función plot3(). La u ńica diferencia es que se representa la proyecci´ on ortogonal sobre el plano XY de cada uno de los puntos dibujados. Ej.: x = linspace(0,1,10);y=x./2;z=sin(x)+cos(y); stem3(x,y,z,’fill’) scatter(x,y,s,c)

−→ Dibuja c´ırculos coloreados en las coordenadas especificadas a través de las componentes de los vectores x e y. El vector (o escalar) s determina el tama˜ no de dichos c´ırculos y c contiene el color (o colores) de cada uno de ellos. Ej.: x = linspace(0,1,10);y=normrnd(2,3,1,10); scatter(x,y,15,’r’) scatter3(x,y,z,s,c)

−→ Igual que el anterior, pero en el espacio. Ej.: x = linspace(0,1,50);y=x;[u,v]=meshgrid(x,y);z=normrnd(2,3,2500,1); scatter3(u(:),v(:),z,1) stairs()

−→ Act´ ua como la función plot(). La u ńica diferencia es que los puntos representados se unen “en escalera”. Ej.: x=-10:1:10;y=x.^2;stairs(x,y)

29.1.

Ejercicios

Comprueba los ejemplos introducidos en la sección anterior y explica los resultados obtenidos. Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

76

Hora 30

Copia de la ventana gr´ afica y encuesta final 30.1.

Copia de la ventana gr´ afica

print nombre

−→ Env´ıa el contenido de la ventana gráfica activa a un fichero llamado nombre.ps. Si no se especifica ning´ un fichero, entonces el gráfico se imprime. Ej.: x=-pi:0.1:pi; y=sin(x); plot(x,y); print dibujo; print -djpeg nombre

−→ Env´ıa el contenido de la ventana gráfica activa a un archivo con formato jpg

llamado nombre. print -dbitmap nombre

−→ Env´ıa el contenido de la ventana gráfica activa a un archivo con formato bmp

llamado nombre. orient cadena

−→ Establece la orientación que utiliza MATLAB antes de imprimir con el comando print. Si cadena es landscape se imprime en apaisado. Si es portrait se imprime en vertical. Si es tall se imprime en vertical y a una escala que llena el papel. Si no se especifica devuelve la orientación actual en una cadena.

30.2.

Ejercicios

1. Recupera las representaciones realizadas en el ejercicio 1 de la hora 28 y resuelve las siguientes cuestiones. a) Grabar la ventana gráfica obtenida en el apartado (1d ) en el fichero pilardel.ps con formato postscript. Abrir el fichero anterior con el VisorPS. b) Grabar la ventana gráfica obtenida en el apartado (1d ) en el fichero pilardel.ps con formato postscript apaisado. Abrir el fichero anterior con el VisorPS. c) Grabar la ventana gráfica obtenida en el apartado (1f ) en el fichero castillo.jpg con formato jpg. Abrir el fichero anterior con el programa Image Viewer.

77

Hora 31

Estructura de selecci´ on case 31.1.

Estructura de selecci´ on case

switch expresión case valor de la expresión .. . % secuencia de comandos case valor de la expresión .. . % secuencia de comandos case valor de la expresión .. . % secuencia de comandos otherwise .. . % secuencia de comandos end Ej.: function f = f(X,N) switch N case 1 f = X^1; disp(’Potencia primera’) case 2 f = X^2; disp(’Potencia segunda’) case 1.5 f = X^1.5; disp(’Raiz cuadrada’) otherwise f = 0; disp(’No es ningun caso de los anteriores’) end

78

31 Estructura de selecci´ on case

31.2. 1.

Ejercicios

Definir una base de funciones llamada f.m que tome los siguientes valores a) f1 (x) = sin(x2 + log(|x|)) b) f2 (x) =

x3 − 3x2 + 2x − 1 x2 + 2

c) f3 (x) =

100 X

xj

j=0

d) f4 (x) =

100 Y

xj

j=1

(Desarrollar la función de manera que pueda realizar todas operaciones vectorialmente). Usando esta función, desarrollar un programa que dibuje cada una de las funciones anteriores en una sola ventana (cada una de las funciones en una subventana de las cuatro en las que dividiremos la ventana principal) 2. Definir una función fac.m que devuelva lo siguiente: 1 si n = 0 1 is n = 1 n! si n ≥ 2 un mensaje de error si n < 0 o no es entero. (Recomendación: combinar la estructura case con la la estructura if ) 3.

Para encontrar los términos de las soluciones de las recurrencias (1) yn+3 − 5yn+2 + 3yn+1 − yn = n, n ≥ 0, 2 (2) 5yn+3 + (yn+1 ) − log(yn ) = sin(n), n ≥ 0, (3) nyn yn+3 + yn+2 yn+1 = 1, n ≥ 0, con y0 = 1, y1 = 2 e y2 = 3 se propone desarrollar una base de recurrencias, similar a lo que se ha hecho en el primer ejercicio, y una función llamada recurrencia.m que nos permita calcular el término n−ésimo de la recurrencia seleccionada (podemos suponer que el usuario da valores enteros y positivos al argumento de la función).


79

Hora 32

Debugger 32.1. dbstop dbclear dbcont dbdown dbmex

Opciones del debugger de MATLAB −→ Permite fijar un punto de interrupción (breakpoint) en el programa. −→ Permite borrar un punto de interrupción fijado previamente. −→ Continua la ejecución del programa bajo las condiciones fijadas previamente. −→ Cambia el entorno del espacio de trabajo. −→ Permite la posibilidad de realizar una depuración (debugging) de ficheros MEX.

dbstack

−→ Muestra la localización completa del programa que se está ejecutando junto con la l´ınea en la que se ha interrumpido el programa. dbstatus −→ Muestra un listado de los puntos de interrupción que hemos fijado. dbstep −→ Ejecuta una o varias l´ıneas de comandos hasta el siguiente punto de interrupción. dbtype −→ Muestra en ventana el fichero *.m que se está ejecutando con las l´ıneas numeradas. dbup −→ Cambia el entorno del espacio de trabajo. dbquit −→ Termina la ejecución del programa en modo debugger.

Algunas de estas funciones se pueden manejar desde la barra de herramientas o bien desde las opciones de men´ u mediante las teclas siguientes: dbstop dbclear dbcont dbstep

−→ F8 o desde las opciones de men´ u. −→ F8 o desde las opciones de men´ u. −→ F5 . −→ F6 .

dbquit

−→ (Desde las opciones de men´ u). Step by step In−→ F7 .

80

32 Debugger Step by step Out−→ Shift + F7 . Stop if error −→ Interrumpe el programa si encuentra un error (desde las opciones de men´ u). Stop if warning−→ Interrumpe el programa si encuentra un mensaje de atención (desde las opciones de men´ u). Stop if NaN or Inf −→ Interrumpe el programa si aparece una indeterminación matemática o un infinito (desde las opciones de men´ u). Step by step Out−→ Interrumpe el programa en cualquiera de los casos anteriores (desde las opciones de men´ u).

32.2.

Ejercicios

Determinar con la ayuda del debugger por que las funciones prg1.m, prg2.m y prg2.m no devuelven resultado alguno (Observar que en la u ´ltima l´ınea de cada una de ellas deber´ıa de mostrar el resultado de los cálculos). Utilizar, además, los warning para detener el programa cuando se produzca alg´ un error en la ejecución.

function prg1=prg1(N) K=10*N; J=-1; while K < 10000 J=J+1; U(J)=factorial(N); for M=1:1:U(J) U(J)=U(J)+prg2(M)+M; X=prg3(U(J)); end; end; prg1=U+X

% Salida de datos

function prg2=prg2(X) for J=-3:1:3 X=X/J; end; for J=1:1:100 U=sin(J); J=J-1; end; Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

81

32 Debugger

prg2=X/2

% Salida de datos

function prg3=prg3(X) for J=X:1:-3 prg3=X/J; end; X

% Salida de datos


82

Hora 33

Creaci´ on de librer´ıas 33.1.

Programaci´ on modular Function 1

Function 2

Function 3

···

Function N

Main program

Crear librer´ıa−→ File/Set path [Add folder] (desde las opciones de men´ u). Eliminar librer´ıa−→ File/Set path [remove] (desde las opciones de men´ u).

33.2.

Ejercicio

Problema: Sea una matriz A, 4 × 4, de ceros. Se pretende encontrar una distribución de 7 unos en A de modo que al eliminar 2 filas y 2 columnas cualesquiera siempre quede alg´ un uno (se puede demostrar que con menos de 7 esto no es posible pero con 7 s´ı). Se pide programar una función que nos permita encontrar las distribuciones de 7 unos en la matriz A que resuelvan el problema anterior. Para ello, vamos a partir de ciertas premisas que razonablemente se pueden suponer: En cada una de las filas y cada una de las columnas no puede haber más de 2 unos. Puede haber otras distribuciones que resuelvan el problema y que no verifiquen la premisa anterior. El algoritmo que se pretende implementar no es nesariamente óptimo, tampoco es lo que se pretende en este ejercicio. Para ello vamos estructurar la programación de la función pedida como sigue Funci´ on distribuciones.m

Función matval.m

Pr. principal: pr.m

donde cada función se describe a continuación: 83

Nota 1.

Partiendo de la matriz

   U (:, :, 1) =  

1 1 1 1

1 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

    

almacenar en las sucesivas U (:, :, J) todas las posibles distribuciones de unos manteniendo en cada fila el n´ umero de unos que hay en U (:, :, 1). Datos de entrada de la función distribuciones.m: Ninguno. Datos de salida de distribuciones.m: U −→ la matriz con las posibles distribuciones de unos. M −→ el n´ umero de matrices que han resultado 2.

Programar una función matval.m que permita reconocer si una matriz es solución del problema o no. Datos de entrada de la función matval.M: A −→ matriz 4 × 4 de unos y ceros. Datos de salida de matval.m: A −→ si la matriz es solución del problema y la matriz idénticamente cero, A = 0, si no es soluci´ on del problema.

3.

Programar una función con el nombre de pr.m que llamando a las anteriores encuentre todas las posibles soluciones del problema planteado, mostrando por pantalla las que efectivamente sean soluci´ on del problema.

4.

Crear una librer´ıa propia con las funciones programadas en los ejercicios anteriores en un subdirectorio de la cuenta propia de cada uno llamado ejercicio. Probar a situarse en el directorio raiz propio (bajo MATLAB) y comprobar que se ha creado apropiadamente la librer´ıa ejecutado la funci´ on desde all´ı.

NOTA: las funciones resaltadas con mediante

están disponibles en el paquete base de MATLAB y las resaltadas

sólo están disponibles en la tolboox stats de MATLAB.


84

Hora 34

Estad´ıstica Descriptiva 34.1.

Lectura y escritura en formato tabular

[datos,var,indiv]=tblread

→ Permite la lectura de datos almacenados en un fichero externo en forma tabular. Los ficheros con este formato presentan tres caracter´ısticas: 1.

La primera fila almacena los nombres de las variables.

2.

La primera columna contiene los nombres o ´ındices de los individuos o casos considerados.

3.

Los campos se separan mediante un carácter delimitador de los mismos.

La ejecución de esta función abre la ventana open (para que el usuario seleccione el nombre del fichero tabular que quiere leer) y devuelve tres variables: datos, que contiene los registros de cada par individuovariable, var, con los nombres de las variables e indv, con los nombres de los individuos o casos registrados en el fichero. Esta función admite dos argumentos opcionales, uno para especificar directamente el nombre del archivo de lectura y otro para indicar el delimitador empleado en dicho fichero (MATLAB asume por defecto que el delimitador utilizado es un espacio en blanco). Se aceptan los siguientes caracteres como delimitadores de campos: ’ ’, ’\t’, ’,’, ’;’, ’!’, o sus correpondientes nombres: ’space’, ’tab’, ’comma’, ’semi’, ’bar’. tblwrite(datos,var,indiv)

→ Permite la escritura de datos en un fichero externo en forma tabular. La ejecución de esta función abre una ventana save (para que el usuario seleccione el nombre del fichero que quiere crear) y construye un archivo tabular con var como nombre de las variables (primera fila), indiv como nombre de los individuos o casos (primera columna) y con datos como matriz de registros de cada par individuo-variable. Esta función admite dos argumentos opcionales, uno para especificar directamente el nombre del archivo de lectura y otro para indicar el delimitador empleado en dicho fichero (MATLAB asume por defecto que el delimitador utilizado es un espacio en blanco). Se aceptan los siguientes caracteres como delimitadores de campos: ’ ’, ’\t’, ’,’, ’;’, ’!’, o sus correpondientes nombres: ’space’, ’tab’, ’comma’, ’semi’, ’bar’.

85

34 Estad´ıstica Descriptiva

34.2.

Tabulaci´ on de datos

tabla=tabulate(v)

→ Obtiene la tabla de distribución de frecuencias de v. El argumento debe ser un vector de n´ umeros naturales. [tabla, χ2 , p]=crosstab(v1,v2)

→ Toma dos vectores de n´ umeros naturales y calcula su tabulaci´ on cruzada. El elemento (i, j) de tabla contiene la frecuencia de aparición del par (i, j). Esta función admite dos argumentos de salida adicionales que almacenan el estad´ıstico χ2 y el p-valor del contraste de independencia correspondiente.

34.3.

Medidas de localizaci´ on

v=mean(X) → Media aritmética. v=nanmean(X)

→ Se diferencia de la anterior en que prescinde de los valores nan.

v=median(X) → Mediana. v=nanmedian(X)


v=trimmean(X,p)

→ Media recortada. El porcentaje de recorte se indica con el escalar p ∈ [0, 100]. La media se calcula prescindiendo del p2 % de los datos menores y mayores. v=geomean(X) v=harmmean(X)

→ Media geométrica. → Media armónica.

NOTAS sobre éstas medidas: 1.

Se calculan sobre cada una de las columnas de X.

2.

Admiten como argumento un vector.

34.4.

Medidas de orden

[Y,v]=min(X) → M´ınimo. El vector v contiene los ´ındices correspondientes a los valores m´ınimos encontrados. Si se alcanza varias veces en una misma columna entonces solo muestra el primero. X=min(X1,X2) → Compara las matrices X1 y X2 elemento a elemento y devuelve el m´ınimo encontrado en cada comparación. [Y,v]=max(X) → Máximo. El vector v contiene los ´ındices correspondientes a los valores máximos encontrados. Si se alcanza varias veces en una misma columna entonces solo muestra el primero. X=max(X1,X2) → Compara las matrices X1 y X2 elemento a elemento y devuelve el máximo encontrado en cada comparación.


86

34 Estad´ıstica Descriptiva Y=prctile(X,p)

→ Calcula los percentiles indicados en el vector p en cada una de las columnas de la matriz X. Concretamente, la i-ésima fila de Y contiene el p(i) percentil de cada una de las columnas de X. Las componentes de p pertenecen al intervalo [0, 100].

34.5.

Medidas de dispersi´ on

v=var(X) → Obtiene un vector fila cuyas componentes son la cuasivarianza muestral de cada una de las columnas de X. v=var(X,1) → Obtiene un vector fila cuyas componentes son la varianza muestral de cada una de las columnas de X. v=std(X) → Vector fila con la cuasidesviación estándar muestral de las columnas de X. v=nanstd(X)


v=std(X,1) → Vector fila con la desviación estándar muestral de las columnas de X. v=range(X) v=iqr(X) v=mad(X)

34.6.

→ Recorrido.

→ Rango intercuart´ılico → Desviación absoluta media

Otras funciones

[X2,v]=sortrows(X1) → Ordena las filas de X1 en orden ascendente tomando como referencia las componentes de la primera columna de X1 y en caso de empate, las siguientes columnas en el orden natural. v es un vector de ´ındices que describe cómo se ha realizado la ordenación. [X2,v2]=sortrows(X1,v1) → Ordena las filas de X1 en orden ascendente tomando como referencia las componentes de la columna de X1 indicada en el primer ´ındice del vector v1 y en caso de empate, las siguientes columnas indicadas en v1. v2 es un vector de ´ındices que describe cómo se ha realizado la ordenaci´ on. [X2,I]=sort(X1) → Ordena de modo creciente cada una de las columnas de X1. La matriz I describe la ordenación realizada en cada columna. cumsum → Suma acumulada. [medias,dem,freq] = grpstats(X,niveles,α)

→ niveles es un vector columna con n´ umeros naturales que indica la población o grupo al que pertenece cada una de las filas de X. Esta función almacena en medias la media de cada columna de X y en cada una de las poblaciones consideradas. La variable dem contiene el error estándar de cada una de las medias calculadas. freq guarda las frecuencias de cada grupo en cada una de las columna de X. Finalmente, si se indica un nivel de confianza α entonces la función representa los intervalos de confianza de nivel 1 − α correspondientes a cada columna y población. v=skewness(X)

→ Asimetr´ıa.


87

34 Estad´ıstica Descriptiva v=kurtosis(X)

→ Kurtosis (sin referencia a la normal).

v=moment(X,c)

→ Calcula el momento respecto de la media de orden c en cada una de las columnas

de X. X2=cov(X1)

→ Matriz de covarianzas de X1. Se emplea como cociente a n − 1. Para utilizar el cociente n es necesario incluir el argumento 1. X=cov(v1,v2)

→ Matriz de covarianzas de [v1(:) v2(:)]. Se emplea como cociente a n − 1. Para utilizar el cociente n es necesario incluir el argumento 1. X2=corrcoef(X1)

34.7.

→ Matriz de correlaciones de X1.

Representaciones gr´ aficas

pie(x,sep,etiq) → Representa el diagrama de sectores de los datos almacenados en x. El argumento sep es un vector de ceros y unos. Si sep(i)=0 entonces el sector correspondiente a la frecuencia x(i) tiene el vértice en el centro. Si sep(i)=1 entonces el sector correspondiente a la frecuencia x(i) tiene el vértice separado ligeramente del centro. La variable etiq es un argumento opcional que contiene las etiquetas de las categor´ıas representadas. pie3((x,sep,etiq)) → Diagrama de sectores tridimensional. Sus argumentos son análogos a los anteriores. stem(...) → Representa un diagrama de barras. Concretamente: stem(X): Representa un diagrama de barras para cada una de las filas de X. stem(X,Y): Representa los pares (X(i,j),Y(i,j)) mediante un diagrama de barras. stem(...,’relleno’): El argumento opcional ’relleno’ especifica el color utilizado. stem3 → Diagrama de barras tridimensional. Sus argumentos y el resultado que producen son an´ alogos a los anteriores. bar(...) → Diagrama de rectángulos. Sus argumentos y el resultado que producen son: 1. bar(v): Representa un rectángulo para cada componente de v. El rectángulo i-ésimo tiene altura v(i). 2. bar(X): Representa un grupo de size(X,2) rectángulos para cada fila de X. 3. bar(x,v), bar(x,X): Se diferencia de las representaciones anteriores en que los rectángulos se locacilizan en las abcisas especificadas en x. 4. barh(...): Se diferencia de las representaciones anteriores en que los rectángulos se dibujan horizontalmente. Las funciones anteriores admiten tres argumentos opcionales: bar(...,anchura,’estilo’,aspecto). anchura establece la separación de los rectángulos dentro de cada grupo. Con anchura=1 se elimina dicha separación. El valor por defecto es 0.8. ’estilo’ determina el modo en el que se dibujan los rect´ angulos dentro de los grupos y sus valores pueden ser ’stack’ (para representaciones apiladas) y ’group’ (para Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

88

34 Estad´ıstica Descriptiva representaciones sin apilar). Finalmente, aspecto incide sobre los colores, el estilo y la anchura de l´ınea utilizados, etc. bar3(...),bar3h(...) → Diagrama de rectángulos tridimensional. Sus argumentos y el resultado que producen son análogos a los anteriores. ’estilo’ admite el argumento adicional ’detached’ para producir la representación espacial habitual. pareto(v,nombres) → Dibuja un diagrama de Pareto. La variable nombres contiene las nombres de las categor´ıas que se quieren representar y la variable v almacena las frecuencias de cada una de ellas. hist(...) → Histograma. Sus argumentos y el resultado que producen es: hist(v): Dibuja el histograma resultante de un agrupamiento en 10 clases iguales que se extienden entre los valores m´ınimo y máximo de v. hist(v,x): Dibuja el histograma resultante de un agrupamiento en length(x) clases centradas en los elementos de x. hist(v,n): Dibuja el histograma resultante de un agrupamiento en n clases iguales que se extienden entre los valores m´ınimo y máximo de v. [v,agrup]=hist(...): v contienen las frecuencias de cada clase y agrup los centros de dichas clases. La función hist admite una matriz como argumento. En este caso la función se eval´ ua en cada columna y los resultados se dibujan por grupos en cada clase del agrupamiento empleado. [v2,ind]=histc(v1,limites) → Realiza el agrupamiento determinado por la partición [limites(k),limites(k+1)) (la u ´ltima clase es termina en limites(end)). v2 contiene la frecuencia de cada clase e ind los indices que localizan la clase a la que pertenece cada elemento de v1. El histograma se representa mediante bar(v1,n,’histc’). stairs(X) → Dibuja un gráfico “en escalera” para cada una de las columnas de X. stairs(X1,X2) → Se diferencia del anterior en que la matriz X2 explicita las abcisas. scatter(x,y,s,c,’filled’) → Representa la nube determinada por los puntos de coordenadas (x(i),y(i)). s y c son argumentos opcionales que indican el tama˜ no y el color de los puntos representados. ’filled’ se utiliza para rellenar dichos puntos. scatter3(x,y,z,s,c,’filled’) → Scatterplot tridimensional. Sus argumentos y el resultado que producen son an´ alogos a los anteriores. plotmatrix(X1,X2) → Representa la nube de puntos determinada por cada par de columnas X1(:,i),X2(:,j). plotmatrix(Y) coincide con plotmatrix(Y,Y) excepto en que la diagonal se sustituye por hist(Y(:,i)). boxplot(X,notch,’simb’,vert,lb)

→ Diagrama de caja. Sus argumentos son:

X: matriz de datos. Se representa un diagrama de caja para cada columna de X. notch=0 es el valor por defecto y representa una caja rectángular. Con notch=1 se dibuja la caja con “muesca”. ’simb’ contiene el s´ımbolo utilizado para representar los datos outliers. Por defecto toma el valor ’simb’=’+’. Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

89

34 Estad´ıstica Descriptiva vert=1 es el valor por defecto y representa cajas verticales. Con vert=0 se dibujan cajas horizontales. lb determina la longitud de los “bigotes” en unidades del rango intercuart´ılico. lb=1.5 es el valor por defecto. gline(fig)

→ Dibuja interactivamente una recta en la ventana gráfica fig. gline() hace referencia a la ventana gráfica activa. refline(a,b) lsline

→ A˜ nade la recta y = ax + b a la figura actual.

→ A˜ nade la recta de ajuste m´ınimo cuadrática a un Scatterplot.

normplot(X)

→ Representa el plot de normalidad de cada una de las columnas de X.

qqplot(X,Y,pvec)

→ Representa el plot cuantil-cuantil para los pares de muestras X(:,j),Y(:,j). El argumento opcional pvect se utiliza para especificar los percentiles empleados en la representación. refcurve(p)

→ A˜ nade a la figura actual la gráfica del polinomio p. Para especificar dicho polinomio se utiliza un vector cuyas componentes son los coeficientes del mismo comenzando con el asociado a la potencia de mayor grado. errorbar(X,Y,L,U,simbol) → Representa los puntos (X(i,j),Y(i,j)) y prolongaciones verticales determinadas por los puntos (X(i,j),X(i,j)-L(i,j)) y (X(i,j),X(i,j)+U(i,j)). simbol es una cadena que controla el tipo de l´ınea, el s´ımbolo y el color de las barras de error dibujadas. Los argumentos X, U y simbol se pueden suprimir.

34.8.

Ejercicios

1.

Importar el fichero de datos Demog.tex.

2.

a)

Crea una función para averiguar si una muestra de datos contiene valores at´ıpicos, siguiendo el criterio utilizado en el Box-plot.

b)

Construye una función que devuelva La media y la desviación estándar de los datos si en la muestra no existen outliers o La mediana y el rango intercuart´ılico de los datos si en la muestra hay outliers.

3. Crea una función que construya una tabla de percentiles con dos columnas. La primera debe contener el porcentaje de cada uno de ellos y la segunda el percentil correspondiente. 4.

He aqu´ı datos de 8 escuelas de secundaria sobre el consumo de tabaco entre los estudiantes y entre sus padres:

Los dos padres fuman Sólo uno de los padres fuma Ninguno de los padres fuma

Estudiantes fumadores 400 416 188

Estudiantes no fumadores 1380 1823 1168


90

34 Estad´ıstica Descriptiva Representa estos datos en un diagrama de barras. A˜ nade t´ıtulo y una leyenda con el nombre de las categor´ıas representadas. 5.

Representa los siguientes datos en un histograma: 12, 14, 7, 8, 11, 1, 6, 8, 7, 3, 7, 7, 13, 4, 13, 11, 13, 11, 5, −3000 Utiliza las siguientes clases:(−∞, 0], (0, 3], (3, 10], (10, 14].

6.

Construye una función que realize la tabla de distribución de frecuencias de un conjunto de n´ umeros naturales. Dicha tabla debe contener las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.


91

Hora 35

Modelos de Probabilidad 35.1.

Modelos de probabilidad implementados en MATLAB

MATLAB tiene implementadas las siguientes distribuciones de probabilidad (entre paréntesis se muestra una sintaxis equivalente o abreviada): Beta (beta)

Binomial (bino)

Chisquare (chi2)

Exponential (exp)

F (f)

Gamma (gam)

Geometric (geo)

Hipergeometric (hyge)

Lognormal (logn)

Negative Binomial (nbin)

Noncentral F (ncf)

Noncentral t (nct)

Noncentral Chi-square (ncx2)

Normal (norm)

Poisson (poiss)

Rayleigh (rayl)

T (t)

Uniform (unif)

Discrete Uniform (unid)

Weibull (weib)

Para cada una de ellas MATLAB calcula la función de densidad o probabilidad (seg´ un que el modelo sea continuo o discreto), su media y varianza, la función de distribución, la inversa de la función de distribuci´ on (percentiles) y genera n´ umeros pseudoaleatorios.

35.2.

Funci´ on de Densidad/Probabilidad

Y = pdf(’nombre’,X,A1,A2,A3)

→ Calcula las ordenadas de la función de densidad/probabilidad del modelo ’nombre’ con los parámetros especificados en las matrices A1, A2 y A3 (dependiendo de la distribuci´ on algunos de estos parámetros pueden ser innecesarios) en las abcisas especificadas como elementos de la matriz 92

35 Modelos de Probabilidad X. Los argumentos X, A1, A2 y A3 deben tener todos el mismo tama˜ no excepto valores escalares (que funcionan como matrices constantes con el mismo tama˜ no que el resto de los argumentos).

35.3.

Funci´ on de Distribuci´ on

Y = cdf(’nombre’,X,A1,A2,A3)

→ Calcula las ordenadas de la función de distribución del modelo ’nombre’ siguiendo las pautas descritas anteriormente.

35.4.

Inversa de la Funci´ on de Distribuci´ on (percentiles)

Y = icdf(’nombre’,X,A1,A2,A3)

→ Calcula los percentiles del modelo ’nombre’ siguiendo las pautas

descritas inicialmente.

35.5.

N´ umeros aleatorios

Y = random(’nombre’,A1,A2,A3,m,n)

→ Genera a partir de la distribución ’nombre’ una matriz de tama˜ no m × n con n´ umeros aleatorios siguiendo las pautas descritas inicialmente. Los parámetros m y n son opcionales y su valor por defecto es 1. Y = mvnrnd(µ,SIGMA,n)

→ Genera a partir de una distribución normal multivariante con vector de medias µ y matriz de covarianzas SIGMA una matriz de n´ umeros aleatorios con n filas.

35.6.

Media y varianza

Las funciones que calculan la media y la varianza de los modelos de probabilidad descritos inicialmente se construyen a˜ nadiendo la cadena stat al nombre abreviado del modelo (salvo poiss, que pierde una s): [mu,sigma]=betastat(A,B)

[mu,sigma]=binostat(N,P)

[mu,sigma]=chi2stat(NU)

[mu,sigma]=expstat(MU)

[mu,sigma]=fstat(V1,V2)

[mu,sigma]=gamstat(A,B)

[mu,sigma]=geostat(P)

[mu,sigma]=hygestat(M,K,N)

[mu,sigma]=lognstat(MU,SIGMA)

[mu,sigma]=nbinstat(R,P)

[mu,sigma]=ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

[mu,sigma]=nctstat(NU,DELTA)

[mu,sigma]=ncx2stat(NU,DELTA)

[mu,sigma]=normstat(MU,SIGMA)

[mu,sigma]=poisstat(MU)

[mu,sigma]=raylstat(B)

[mu,sigma]=tstat(NU)

[mu,sigma]=unifstat(A,B)

[mu,sigma]=unidstat(N)

[mu,sigma]=weibstat(A,B)


93

35 Modelos de Probabilidad

35.7.

Ejercicios

1.

Aproximar mediante simulación p(log |X| + X 3 ∈ (−1, 2)) siendo X una variable aleatoria con distribución N(1, 2).

2.

Comprobar gráficamente la aproximación de una distribución B(100, 0,5) a una distribución N(50, 5) representando simultáneamente sus funciones de probabilidad y densidad.

3.

Representar gráficamente la función de densidad de una distribución de Weibull de parámetros A=1 y B=2.

4.

Crea una función que simule n´ umeros pseudoaleatorios seg´ un la distribución de probabilidad dada por la siguiente función de densidad: 1 f (x) = λe−λ|x| , 2

−∞ < x < ∞.

5. Ejecuta las siguientes demos: disttool.m y randtool.m.


94

Hora 36

Estimaci´ on de Par´ ametros y Contraste de Hip´ otesis [sol,pvalor,IC] = ztest(muestra,µ0 ,σ,α,tipo)

→ Test sobre la media µ de una población N(µ, σ) con σ

conocido. Los argumentos de esta función son: 1. muestra: vector de datos. 2. µ0 : hipótesis nula. 3. σ: desviación estándar de la población considerada. 4. α: nivel del test. 5. tipo: indica si la hipótesis alternativa es µ < µ0 (tipo=-1), µ > µ0 (tipo=1) y µ 6= µ0 (tipo=0). α y tipo son opcionales. Por defecto se utiliza α = 0,05 y tipo=0. Los argumentos de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar µ = µ0 (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). 2. pvalor: p-valor del test. 3. IC: Intervalo de confianza para µ de nivel 1 − α. [sol,pvalor] = ttest(muestra,µ0 ,α,tipo)

→ Test sobre la media µ de una población N(µ, σ) con σ desconocido. Los argumentos de esta función son: 1. muestra: vector de datos. 2. µ0 : hipótesis nula. 3. α: nivel del test. 4. tipo: indica si la hipótesis alternativa es µ < µ0 (tipo=-1), µ > µ0 (tipo=1) y µ 6= µ0 (tipo=0).

95

36 Estimaci´ on de par´ ametros y Contraste de Hip´ otesis µ0 , α y tipo son opcionales. Por defecto se utiliza µ0 = 0, α = 0,05 y tipo=0. Los argumentos de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar µ = µ0 (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). 2. pvalor: p-valor del test. [sol,pvalor,IC] = ttest2(muestra1,muestra2,α,tipo)

→ Test sobre la igualdad medias µ1 = µ2 de dos poblaciones normales, N(µ1 , σ1 ) y N(µ2 , σ2 ), con σ1 = σ2 desconocido. Los argumentos de esta funci´ on son: 1. muestra1: vector de datos extraidos de la población N(µ1 , σ1 ). 2. muestra2: vector de datos extraidos de la población N(µ2 , σ2 ). 3. α: nivel del test. 4. tipo: indica si la hipótesis alternativa es µ1 < µ2 (tipo=-1), y µ1 6= µ2 (tipo=0) y µ1 > µ2 (tipo=1). α y tipo son opcionales. Por defecto se utiliza α = 0,05 y tipo=0. Las variables de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar µ1 = µ2 (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). 2. pvalor: p-valor del test. 3. IC: Intervalo de confianza para µ1 − µ2 de nivel 1 − α. [pvalor,sol] = signtest(muestra1,muestra2,α)

→ Test de los signos sobre la igualdad de medianas de dos poblaciones pareadas. Si muestra2 es una constante m entonces la función realiza el test de los signos para constrastar si la mediana de la población muestreada en muestra 1 es m. Los argumentos de esta función son: 1. muestra1: vector de datos extraidos de la población 1. 2. muestra2: vector de datos extraidos de la población 2 o constante. 3. α: nivel del test. Los argumentos de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar la igualdad de medianas (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). El resultado es análogo si muestra2 es constante. 2. pvalor: p-valor del test. [pvalor,sol] = signrank(muestra1,muestra2,α)

→ Test de los rangos sobre la igualdad de medianas de dos poblaciones pareadas. Los argumentos de esta función son: Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica. Universidad de Valladolid.

96

36 Estimaci´ on de par´ ametros y Contraste de Hip´ otesis 1. muestra1: vector de datos extraidos de la población 1. 2. muestra2: vector de datos extraidos de la población 2. 3. α: nivel del test. Los argumentos de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar la igualdad de medianas (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). 2. pvalor: p-valor del test. [pvalor,sol] = ranksum(muestra1,muestra2,α)

→ Test de la suma de rangos de Wilcoxon sobre la igualdad de medianas de dos poblaciones independientes. Los argumentos de esta función son: 1. muestra1: vector de datos extraidos de la población 1. 2. muestra2: vector de datos extraidos de la población 2. 3. α: nivel del test. Los argumentos de salida son: 1. sol: indica si el resultado del test es rechazar la igualdad de medianas (sol=1) o, por el contrario, si el test no es significativo (sol=0). 2. pvalor: p-valor del test.

36.1.

Ejercicios

1. Programa una función que calcule el intervalo de confianza para una proporción. 2. Programa una función que implemente el F-test de una muestra. 3. Obtén 20 intervalos de confianza para la media de una población normal de niveles α = 0,01 , 0,02 , . . . , 0,19 , 0,20 a partir de una muestra de tama˜ no n. Guárdalos en un fichero externo en forma tabular llamando LI y LU a los extremos inferior y superior de los mismos. Etiqueta cada uno de ellos con el ´ındice de orden correspondiente. Representa gráficamente los intervalos obtenidos.


97

Hora 37

Modelos de Regresi´ on y An´ alisis de la Varianza 37.1.

Modelos de regresi´ on

ˆ βint,ˆ ˆ ε,ˆ [β, εint,stats] =regress(y,X,α)

→ Regresión lineal m´ ultiple. regress resuelve el modelo lineal

y = Xβ + ε donde: y es un vector columna n × 1 de observaciones. X es una matriz n × p de regresores. β es un vector columna p × 1 de parámetros. ε es un vector columna n × 1 de perturbaciones aleatorias. Se asume que ε ∼ N(0, σIn ). ˆ βint, ˆ La función calcula las variables β, εˆ, εînt y stats. ˆ estimación de los parámetros del modelo. β: ˆ βint: intervalo de confianza de nivel (1 − α)100 % para los parámetros contenidos en β. εˆ: residuales de la regresión. εînt: intervalo de confianza de nivel (1 − α)100 % para los residuales de la regresión. stats: contiene los estádisticos R2 , F y el p-valor de la regresión. El argumento α es opcional. Por defecto se considera α = 0,05. regstats(y,X,’modelo’)

→ GUI para la validación y diagnóstico del modelo lineal ajustado. El argumento ’modelo’ es opcional. Por defecto se considera el modelo lineal con término constante. Otras opciones son: ’interaction’: incluye el término constante, los trminos lineales y los productos cruzados. ’quadratic’: incluye las interacciones y los términos cuadráticos. 98

37 An´ alisis de la Varianza y Modelos de Regresi´ on ’purequadratic’: incluye el término constante y los trminos lineales y cuadráticos. regstats proporciona la siguiente información: Matrices Q y R de la descomposición X=QR. ˆ Coeficientes de la regression β. ˆ Covarianzas entre los coeficientes de regresión β. Valores ajustados de la respuesta y ˆ. Residuales εˆ. Error cudrático medio. Leverages. Matriz ”Hat”. Residuales estandarizados y “estudentizados”. Distancia de Cook. El error cuadrático medio cuando se elimina una observación Los coeficientes de la regresión cuando se elimina una observación. DFBETAS, DFFIT, DFFIT escalados mediante el error estándar y DFCOV. D = x2fx(X,’model’)

→ Transforma una matriz de regresores en una matriz de dise˜ no para un modelo lineal aditivo con término constante. ’model’ puede ser interaction’, ’quadratic’, ’purequadratic’ (con el mismo significado que en la funci´ on regstats) o bien una matriz de terminos que referencian en sus filas a los regresores contenidos en X y en las columnas a los exponentes correspondientes a dichos regresores en el modelo final. stepwise(X,y,modelo,α)

→ Entorno interactivo para la regresión stepwise. stepwise(X,y) ajusta un modelo de regresi´ on de y sobre las columnas de X. Se muestran tres ventanas gráficas para controlar interactivamente la incorporación o eliminación de términos en el modelo. La función admite dos argiumentos opcionales: el vector modelo, que contiene los ´ındices de las columnas de X que serán incluidos en el modelo incial, y α, que indica el nivel de confianza empleado en el proceso stepwise. Por defecto se considera el modelo completo y α = 1 − (1 − 0,025)(1/p) siendo p el n´ umero de columnas de X. Este nivel de confianza corresponde al Método de Bonferroni. Los coeficientes de la regresión se representan con un c´ırculo verde. Los términos del modelo que son significativos se representan mediante l´ıneas solidas y los que no lo son a través de l´ıneas punetadas. Un “Click” sobre las l´ıneas de los intervalos de confianza permite conocer el estado de los coeficientes del modelo. Si la l´ınea es verde, entonces el término está en el modelo. Si es roja, no lo está. Se utiliza Export para enviar variables al espacio de trabajo del usuario.


99

37 An´ alisis de la Varianza y Modelos de Regresi´ on

37.2.

An´ alisis de la varianza

p = anova1(X)

→ Análisis de la varianza balanceado de un factor. Su argumento X es una matriz en cuyas columnas se situan los datos correspondientes a cada grupo. El resultado es el p-valor para el contraste de igualdad de medias. La función devuelve la tabla ANOVA y los diagramas de caja de cada grupo. p = anova1(X,grupo)

→ Análisis de la varianza (no necesariamente balanceado) de un factor. Sus argumentos son los vectores x y grupo. x contiene las frecuencias de los grupos. grupo identifica el grupo de cada elemento de x. Las componentes de grupo son n´ umeros naturales con valor m´ınimo 1 y valor m´ aximo el n´ umero de poblaciones o grupos comparados. La función devuelve la tabla ANOVA y los diagramas de caja de cada grupo. p = anova2(X,rep)

→ Análisis de la varianza balanceado de dos factores. Su argumento X es una matriz cuyas columnas corresponden a los niveles de un factor y cuyas filas hacen referencia a los niveles del otro factor y a las repeticiones rep de cada grupo. El resultado es el p-valor para el contraste de igualdad de medias. La función devuelve la tabla ANOVA. D = dummyvar(grupo)

→ Genera una matriz de dise˜ no con columnas 0-1. grupo es una matriz cuyas columnas hacen referencia a factores y contienen n´ umeros naturales que indican el grupo al que pertenecen los elementos de cada fila de un determinado vector columna respuesta. D tiene una columna para cada valor diferente en las columnas de la matriz grupo.

37.3.

Ejercicios

1.

El fichero hald.mat contiene los datos recogidos en un estudio sobre el calor producido por varias mezclas de cementos. Cada mezcla contiene cuatro ingredientes distintos y el calor desprendido depende de la cantidad de cada ingrediente presente en la mezcla. Ajusta un modelo de regresión a estos datos.

2.

Para detectar la presencia de insectos da˜ ninos en los campos de cultivo, se sit´ ua en estos campos láminas de plástico que contienen un material pegajoso en su superficie y se examinan los insectos capturados en las láminas. Unos investigadores situaron 24 láminas, seis de cada color, ubicadas al azar en un campo de avena y determinaron el n´ umero de insectos capturados: Color de la l´ amina Azul Verde Blanco Amarillo

16 37 21 45

Insectos capturados 11 20 21 14 32 20 29 37 12 14 17 13 59 48 46 38

7 32 20 47

¿Qué colores atraen más a los insectos?


100

Hora 38

Encuesta final

101

B Curso MatLab

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