PARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL 2. 31 Calcular:
i. ii. iii.
9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800
2. 32 Calcular.
i. ii. iii. iv.
16 16 15 15(14)!
16! 14! 14! 11! 8! 10! 10! 13!
,
11 11 ! 8)!
, ,
= (16) (15) =240
14 14 ! 14 12 14 13 13 12(11)!
10 8! 10 9 98 (10)!
12 =14 1413 13 12= 2184
=10 109 9 =90
13 11 13 12 12 11(10)!
11 =13 1312 12 11=1716
2.33 Simplificar.
i. ii. iii. iv.
+1 +1! ! ! −2 ! −1 !
=
+1 −1 −2 +1 − 1 − 2…1
=
−2 −1 − 1− 2…1 − − − −2 2 !
=
+2 +2! − +1 +1! −−1 −−1!
=
−2 − 2! −1 − 1!
=
+1 +1 ! !
=n+1
= n (n-1) = n 2-n =
1
+2 +2 +1 +1 −1 − 1 ! +1 +1 +2 +2 − +1 −−1 +1− − −− 1 ! −−1 −−1!
= (n-r) (n-r+1)
PERMUTACIONES 2.34
i.
¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? R =26x25x10xx9x8= 468000
ii.
Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. R = 26x25x9x8x7= 327600
2.35
De A a B hay 6 caminos y de B a C 4.
i. ii.
¿De cuantas maneras se puede puede ir de A a C pasando por B? R = 6x4= 24
iii.
¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el
¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? r = 4x24=576 mismo camino más de una vez? R = 24x3x5=360
2.36
Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie
trineo) si uno de tres debe manejar. 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120 1 persona. 5x4x3x2x1=120
R = 3x5x4x3x2x1=360. 2.37 i.
Hallar el numero de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila.
5!=5x4x3x2x1=120 formas de sentarse. ii.
¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de otra?
2!x3! = 48 maneras
2.40 ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?
R=
8! 4!2!2!
=
8 7 6 5 4! 4! 4! 2! 2! 2!
=
8 7 6 5 2!2!
=
8 7 6 5 4
= 420
2.42 i.
Hallar el número de maneras maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden pueden sentar en una fila si los hombres y las mujeres deben quedar alternados.
H = niños y M= niñas 4Hx4Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 576 4Mx4Hx3Mx3Hx2Mx2Hx1Mx1H = 576 576 + 576 = 1152 ii.
Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sientan siempre junto a una niña determinada.
7C1 =7 1H 7Hx3Mx3Hx2MX2HX1MX1H = 252 1M 7Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 252 252 + 252 = 504 iii.
Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente pero los dos niños mencionados no quedan en sillas adyacentes.
R = 1152-504 = 648 2.44 Una urna contiene diez bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas. i.
De tamaño tres con sustituciones
10X10X10=1000 Formas de tomar tres pelotas ii.
De tamaño tres sin sustituciones
10x9x8=720. iii.
De tamaño cuatro con sustitución
10X10X10X10=10000 Formas de tomar una pelota. iv.
De tamaño cinco sin sustitución
10x9x8x7x6=30240 formas de tomar cinco pelotas. 2.45 hallar el numero de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeño de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.
5!x4!x3!x3!=103,680 formas de colocar los libros.
2.55 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. i.
¿de cantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4?
12C4=495 formas de escoger un comité. ii.
¿Cuántos comités contaran con una niña por lo l o menos?
12C4=495 9C4=126 12C4-9C4=495-126=369. iii.
¿Cuántos tendrán una niña exactamente?
3x9C3=252. 2.56 Una señora tiene 11 1 1 amigos de confianza. i.
¿de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer?
11C5=462 maneras. ii.
¿de cuantas maneras si dos son casados y no asiste uno sin el otro?
9C3+9C5=210 formas. iii.
¿de cuantas maneras si dos de ellos ell os no la van bien y no asisten juntos?
9C5+2x9C4=378 formas. 2.57 hay 10 puntos A,B… en un plano, en una misma línea no hay 3 :
i.
¿Cuántas líneas forman los puntos?
10C2=45 formas. ii.
¿Cuántas líneas no pasan por A o B?
8C2=28 formas. iii.
¿Cuántos triángulos determinan los puntos?
10C3=120 formas. iv.
¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A?
9C2=36 formas. v.
¿Cuántos triángulos contiene el lado AB? R=8
2.58 Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. i.
¿Cuántas maneras de escoger tiene?
13C10=286 ii.
¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?
11C8=165 maneras. iii.
¿Cuántas, si una de las dos dos primeras es obligatoria? obligatoria?
2x11C9=110 formas. iv.
¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras?
5C3=10 8C7=8 5C3x8C7=80 formas. v.
¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las 5 primeras?
5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C5=276 5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C 5=276 formas. 2.59 A una persona se le reparte una mano de “póker” (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De cuantas maneras puede recibir. i.
Una escalera flor?
4x10=40 formas. ii.
Un “póker”?
13x43=559 formas. iii.
Una escalera?
10x 45-40=10200 formas iv.
Un par de ases?
4C2x12C3x43=84480 formas. v.
Un par cualquiera (dos cartas iguales)?
13x4C2x12C3x43=1098240 2.60 El alfabeto inglés tiene 26 letras de las cuales c uales 5 son vocales. i.
¿Cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes, se pueden formar?
21C3x5C2x5!=1596000 ii.
¿Cuántas de estas contienen la letra b?
20C2x5C2x5!=228000 formas. iii.
¿Cuántas contienen la b y contienen c?
19C1x5C2x5!=22800 formas. iv.
¿Cuántas empiezan por b y contienen c?
19C1x5C2x4!=4560 formas. v.
¿Cuántas empiezan por b y terminan por c?
19x5C2x3!=1140 formas. vi.
¿Cuántas contienen las letras a y b?
4C1x20C2x5!=91200 formas.
PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS 2.61 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños? 9! 3!3!3!
=1680
2.62 ¿De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos?
1680/3!=280. 2.63 ¿De cuántas maneras se puede dividir 10 estudiantes en tres equipos?
10C4x5C2=2100. 2.64 ¿Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución? 12! 3!3!3!3!
= 369600.
2.65 ¿De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de5, 4 y 3 miembros respectivamente? 12! 5!4!3!
=27720.
2.66 ¿De Cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un estudiante por lo menos?
2n-1-1 2.67 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3 hombres y los otros de 2? 14!
x
1
3!3!2!2!2!2! 2!4!
=3153150.
DIAGRAMAS DE ARBOL 2.68 Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de |a, b, c, d|.
2.70 Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane dos juegos seguidos o un total de cuatro c uatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede suceder el juego.
4P2= 12+(juegos ganados seguidos)=14 formas.
2.71 U n hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha. Se tiene después de 5 pasos si avanza 3 o se corre -2. C onstruir el diagrama de árbol para descubrir todas las trayectorias posibles que puede seguir.
Existen 20 maneras de cómo puede suceder el juego, como se muestra en el diagrama.
PARTE 2
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS 3.25Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:
A
B
i. Suceda A o no B
(A u BC)
ii. Ni A ni B sucedan
(A u B) C 3.26 Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:
A
B
C
i. Sucede exactamente uno de los tres eventos
A n (B u C) C ii. Suceden por lo menos dos de los eventos
(A u B) u C iii. Ninguno de los eventos sucede
(A u B u C) C
iv. Sucede A o B pero no C
(A u B) u C C 3.27 Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de 10 y un dado. i. Escribir el espacio muestral apropiado
S={AA1,AA2,AA3,AA4,AA5,AA6,AS1,AS2,AS3,AS4,AS5,AS6,SA1,SA2,SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6,} ii. Expresar explícitamente los eventos siguientes: A= {que aparezcan dos caras y un numero primo}. B= {que aparezca un dos}, C= {que aparezca exactamente una cara o un numero primo}. a) Primos: 1, 2, 3,5 A= {SS1, SS2, SS3, SS5} b) B= {AA2, AS2, SA2, SS2} c) C= {AS1, AS2, AS3, AS5, SA1, SA2, SA3, SA5}
iii. Exprese explícitamente el evento en que (a) A y B sucedan, (b) suceda solamente B, (c) suceda B o C.
a) A n B= {SS2} b) B-(A U C)= {AA2} c) B u C= {SS2, AA2, AS2, SA2, AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}
ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD 3.28 ¿Cuáles funsiones definen un espacio de probabilidad de S= {a1, a2, a3}?
i. ii. iii. iv.
P(a1)=1/4, P(a2)=1/3, P(a3)=1/2 NO VALIDO P(a1)=2/3, P(a2)=-1/3, P(a3)=2/3 NO VALIDO P(a1)=1/6, P(a2)=1/8, P(a3)=1/2 SI VALIDO P(a1)=0, P(a2)=1/8, P(a3)=2/8 SI VALIDO
3.29 Sea P una función de probabilidad de S= {a1, a2, a3}. Hallar P (a1) si
i. ii. iii. iv.
P(a2)=1/3 y P(a3)=1/4 P(a1)=2 P(a2) y P(a3)=1/4 P({a2,a3})=2 P(a1) P(a3) =2 P(a2) y P(a2)=3 P(a1)
P(a1)=5/12 P(a1)=1/2 P(a1)=1/8 P(a1)=1/10
3.30 Se carga una moneda de manera que la posición de salir cara sea tres veces la de salir sello. Hallar P (H) y P (T).
P (H)= 3/4 P (T)=1/4 3.31 Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. hallar la probabilidad de que gane B o C.
P(A u B)= 3/5 3.34 En una carrera de natación la ventaja de que gane A es dos a tres y la ventaja de que B gane es de uno a cuatro. Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la carrera. P(A u B)= 3/5 La ventaja es 3 a 2 ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE 3.37 De las 10 niñas de una clase. 3 tienen ti enen ojos azules, si se escogen dos niñas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que:
S=10C2=45 i. Las dos tengan ojos azules?
3C2= 3 parejas P(Ñ=2)=3C2/10C2=1/15=6.66%
ii. Ninguna tenga ojos azules?
7C2=21 P(A=0)= 7C2 / 10C2 = 7/15 = 46.6%
iii. Una por lo menos tenga los l os ojos azules?
P(A>=1)= 7/15+1/15 = 8/15
3.40 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, hallar la probabilidad de: i. Seleccionar tres niños.
10C3=120 P(O=3)10C3/16C3=120/560=6/28=3/14
ii. Seleccionar exactamente dos niños
10C2*6C1=270 (PO=2)=10C2*6C1/16C3=270/560=27/56
iii. Seleccionar por lo menos un niño
P(O>=1)=27/56+3/14+15/56=27/28
iv. Seleccionar exactamente 2 niñas
6C2*10C1=150 P(A=2)=6C2*10C1/16C3=150/560=15/56
3.42 De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante:
i. Estudie francés y español
F n E = {20}
p (F n E) = 20/120 = 10/60 = 5/30 = 1/6
ii. No estudie francés ni español
(F u E) C = {30}
P (F u E) C = 1-P 8 (F u E) = 11 - 3/4=1/4
3.43 3 niños y 3 niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que i. Las tres niñas se sienten juntas
1/5 ii. Los niños y las niñas se sienten alternados
1/10
PARTE 3 ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 3.36 sean a y b eventos. Encuentre Encuentre una expresión y dibuje dibuje el diagrama de ven para el evento donde: a) Ocurra a o no b.
(AUB)C b) Ni a ni b sucedan. (AUB)C 3.37 sean a, b y c eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama diagrama de ven para el evento: a) Ocurra a o c, pero no ocurra b. (A u B) u CC b) Ocurra exactamente uno de los tres eventos. A ∩ (B u C) C c) Ninguno de los eventos ocurra. (A u B u C) C d) Al menos dos de los eventos ocurran. (A u B) u C
3.38. Se lanza una moneda moneda de un centavo, una de diez y un dado. dado. Describa el espacio muestral muestral S apropiado apropiado y encuentre n(s). S {AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, AS1, AS2, AS3, AS4, AS5, AS6, SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}. n(S)=24.
3.39 para el espacio S en el problema 3.38 exprese explícitamente los eventos eventos siguientes. A. {aparecen dos caras y un número par}. B.
A= {AA2, AA4, AA6}. ]
C. {que aparezca un numero dos}. B = {AA2, AS2, SA2, SS2}.
D. {exactamente una cara y un número impar}. C = {AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}.
3.40 para los eventos a, b, c en el problema problema 3.39exprese 3.39exprese explícitamente el evento: evento: a) A y B. (A ∩ B) = {SS2}.
b) Solamente B B - (A ∩ C) = {AA2}.
c) B y C. (B ∩ C)= AS2, SA2}.
d) A pero no B. (A u BC) = {AA4, AA6}.
Espacios equiprobables finitos. 3.41 determine la probabilidad probabilidad de cada evento: evento: a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar.
A=
3 ú 6
ú
b) Que al lanzar cuatro monedas equilibradas aparezcan 1 cara o mas.
4 * 4= 16
15 16
formas
c) Que al lanzar 2 dados equilibrados equilibrados ambos números números excedan de cuatro.
6*6=36
4 36
formas
d) Que aparezca aparezca exactamente un 6 al lanzar lanzar 2 dados equilibrados. equilibrados. =
formas
e) Que aparezca una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente de un naipe de 52 cartas.
3.44 hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen escogen dos partes al azar. Encuentre la probabilidad de que uno sea tornillo y la otra otra tuerca.
Formas, porque ambos tienen la misma probabilidad, ya que son la misma cantidad de 3, en la
caja y suman 6, pero se descuenta 1, debido a que es el que se puede sacar al azar. 3.45 una caja contiene dos medias blancas, blancas, dos medias azules, y dos medias rojas. Se sacan 2 medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean sean pareja (del mismo color). 2+2+2= 6
6C2=15
=
3.46 de 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando estudiando español español y 20 están están estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el estudiante este estudiando: a) Francés y español. F ∩ E= {20} P (F ∩ E)=
20 120
=
10 60
=
1 6
b) Francés o español. F u E = {90}
c) Ni francés ni español. (F u E) c = {30}=
1 4
P (F u E)’=1 – P – P (F u E) = 1- =
1 4
d) Solamente español. F – F – (F (F ∩ E)= F- E= {40}=
1 3
e) Exactamente uno de los dos idiomas. 3.47 de diez niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. azules. Dos de las niñas se escogen escogen al azar. Encuentre la probabilidad de que: a) Ambas tengan ojos azules. 3C2 =3 pareas.
b) Ninguna tenga ojos azules. 7C2= 21 parejas. P (A=0)=
7 2
10 10 2
21
=
45
=
7 15
= 0.466 = 46.6%.
c) Al menos una una tenga ojos azules. azules. P (P ≥ 1 )=
7 15
1
8
= = = = 0.533 = 53.3 % 5 15
d) Exactamente una tenga ojos ojos azules. 3C2 * 7= 21 pareas. P (A=1)=
3 2 7 7 2 21 10 10 2
= = 47
7 15
= 0.466=46.6%
3.48 hay 10 estudiantes estudiantes en una clase. Selecciona Selecciona un comité comité de tres de la clase. Encuentre Encuentre la probabilidad de que: a) A pertenezca al comité.
b) B pertenezca al comité.
c) A y b pertenezca al comité. A+B= 2
d) A o B pertenezca al comité.
ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS 3.49 ¿Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S = {a1, a2, a3} en un espacio de probabilidad? (a) P (a1) =0.3 P (a2) = 0.4, P (a3) = 0.5 (b) P (a1) = 0.7 P (a2) = -0.2, P (a3) = 0.5 (c) P (a1) = 0.3 P (a2) = 0.2 P (a3) = 0.5 (d) P (a1) = 0.3, P (a2) = 0, P (a3) = 0.7 3.50 Se ha alterado el peso de una moneda de manera que la probabilidad de que salga cara es tres veces mayor que la probabilidad de que salga sello. Encuentre P (H) y P (T). 3
P (H)=
4
3.51 Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.7 P (B) = 0.5, y P (A n B) = 0.4. Encuentre la probabilidad de que: (a) no ocurra A. P (A)’ = 1 – P (A) = 1-0.7= 0.3.
(b) ocurra A o B. P (A u B)= P (A)+ P (B)- P (A∩B). = 0.7+ 0.5 - 0.4. = 0.8
(C) ocurra A pero no ocurra B. P (A) – P – P (A∩B)= 0.7- 0.4 = 0.3.
(d) no ocurra A ni B. P (A u B)’= 11 - P (A u B) =1- 0.8 = 0.2
3.52 Considere la siguiente distribución de probabilidad:
.
.
.
.
.
.
Considere los siguientes eventos: A = {número par, B = {2, 3, 4, 5} C = {1, 2} Encuentre: (a) P (A),
(b) P (B),
(c) P (C),
(d) P (Ø),
c
(e) P (B n C )
3.54 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle: (a) P (A n B),
(b) P (A u C),
(c) P (B n C),
c
(d) P (A ),
c
(e) P (B n C ).
3.54 Hay tres estudiantes A, B, C en una competencia de de natación, A y B tienen la misma probabilidad de ganar y cada uno tiene el doble de probabilidad de ganar que C. Encuentre la probabilidad de que (a) B gane
(b) C gane
(c) B o C gane
3.55 Sea P una función de probabilidad en S = {a1, a2, a3}. Encuentre P (a1) si (a) P (a1) = 0.3, P (a 3) = 0.5; (b) P (a1) = 2 P (a2) y P (a3) = 0.7; (c) P ({a2, a3}) = 2P (a1); (d) P (a3) = 2P (a2) = 3P (a1)
MIGUEL ANGEL RUIZ RAMIREZ 2° A ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
