Probab i Lida Des

Estadística y Probabilidad

F ( z )  P ( Z  z )  f ( z ) 

1 2



t



e



t 2

2

dt

siendo la representación gráfica de esta función

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada o estandarizada.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)



No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(z) es simétrica respecto del eje OY



Tiene un máximo en este eje e igual a:



Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

 

1 2

Cálculo de probabilidades usando la Distribución Normal estándar : 1° Caso: Dado el evento, encontrar una probabilidad: Sea X una variable aleatoria con distribución normal con media 10 y varianza 4, calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (Note que µ = 10 y σ2 = 4 y σ = 2)

a. b. c. d. e. f. g.

P(X<13.5) P(X< 9.5) P(10.5 < X < 14.5) P(8 < X < 12) P(6 < X < 14) P(|X-µ| < 2) P(|X-µ| < 4)

Manuel Hurtado Sánchez

75


h. P(|X-µ| < 6) DESARROLLO X   13.5  10  a. P ( X  13.5)  P     2   

 P Z  1.75

= 0.959941 X   9.5  10  b. P ( X  9.5)  P     2   

 P Z   0.25

= 0.401294 Si no se tiene una tabla de la normal estándar para valores negativos de Z, se puede aprovechar la simetría de la distribución del siguiente modo:  P Z   0.25

 1  P Z  0.25

= 1 – 0.598706 = 0.401294 10.5  10 X   14.5  10  c. P (10.5  X  14.5)  P      2 2   

 P 0.25  Z  2.25  P  Z  2.25  P (Z  0.25)

= 0.987776 - 0.598706 = 0.389069 8  10 X   12  10  d. P (8  X  12)  P      2    2

 P  1  Z  1

 P  Z  1  P (Z  1)

= 0.841345 - 0.158655 = 0.682689 6  10 X   14  10  e. P (6  X  14)  P      2    2

 P  2  Z  2  P  Z  2  P (Z  2)

= 0.977250 - 0.022750 Manuel Hurtado Sánchez

76


= 0.954500  X   2    f. P (| X   | 2)  P   2  

 P  Z  1  P  Z  1  P (Z  1)

= 0.841345 - 0.158655 = 0.682689  X   4    g. P (| X   | 4)  P   2  

 P  Z  2  P  Z  2  P (Z  2)

= 0.977250 - 0.022750 = 0.954500 h.

 X   6    2   

P (| X   | 6)  P 

 P  Z  3  P  Z  3  P (Z  3)

= 0.998650 - 0.001350 = 0.997300

2° Caso: Dado la probabilidad, encontrar los límites del evento: Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) : Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal con media n p y varianza n p q . Esto es: tal que n  

Si

y

p  0.5

con

Y, por tanto la variable Z



X  np npq


es una N (0 , 1)

 Teorema de Moivre

77

np  5

entonces

Estadística y Probabilidad Probabilidad

Un espacio muestral puede ser discreto o continuo. Se dice que es discreto cuando está formado por un conjunto finito (o infinito contable) de elementos; en cambio se dice que es continuo cuando está formado con un conjunto infinito no numerable de elementos. Los espacios muestrales discretos suelen construirse con la técnica del diagrama del árbol. Ejemplo de espacios muestrales: 1. Para el experimento del lanzamiento de una moneda. Si estamos interesados en el lado de la moneda que queda hacia arriba, el espacio muestral será: Ω = { C , S }, donde C = cara; S = Sello

2. Para el experimento experiment o del lanzamiento de dos dados. Si estamos interesados en el número que queda hacia arriba en cada dado, el espacio muestral será: 1,1 2,1  3,1   1,2,3,4,5,62  1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6   4,1 5,1  6,1

1,2 1,3 2,2

1,4 1,5

2,3 2,4

2,5

1,6  2,6



3,2 3,3 3,4 3,5 3,6  4,2 4,3



4,6  5,2 5,3 5,4 5,5 5,6  6,2

4,4 4,5

6,3 6,4



6,5 6,6  

Note aquí, que el espacio muestral tiene 6x6=36 elementos, es decir 36 pares ordenados en los que el primer número representa el número de puntos del 1° dado y el segundo número representa el número de puntos del 2° dado. 3. Para el experimento experimento de contar imperfecciones imperfecciones en un metro de tela. Aquí Aquí el interés ya está establecido, el espacio muestral será: Ω = { 0, 1, 2, 3, …… }

4. Para el experimento experimento de inspeccionar inspeccionar la calidad calidad de un producto. producto. Aquí el interés será si el producto es bueno o malo. Ω = { B , M } ; donde B = Bueno ; M = Malo

Manuel Hurtado Hurtado Sánchez Sánchez

3


Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique

gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular. Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad agregando o restando 0.5 según convenga para un evento específico, tal como se puede apreciar en los siguientes gráficos.


78


MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES. La distribución de la variable Z se encuentra tabulada


79


a. Aplicaciones de la distribución normal

Ejemplos: Los niveles de rendimiento de un proceso productivo diario se distribuyen normalmente con  = 200 y  = 20. Si de esta población se selecciona un día al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un valor entre 170 y 230?


80


p(170 < x < 230) = ?  Se transforman o estandarizan los valores de x i en términos de z. 

z170



z230



170  200 20 230  200 20

 1.5

 1.5

Luego: p(170 < x <230) = p (-1.50 < z < 1.50)=?.  De la tabla: p(-1.50 < z < 1.50) = 0.0668 + 0.9332 = 0.8664  La probabilidad de que en un día seleccionado al azar el nivel de rendimiento del proceso productivo este entre 170 y 230, es de 0.8664 


81


4. Probabilidad de un evento: Es un número real comprendido entre cero y uno [0 , 1], que expresa una medida del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento, antes que este ocurra. Existen dos enfoques para obtener la probabilidad de un evento, uno ob jetivo y otro subjetivo.

4.1. Enfoque Objetivo: En este enfoque la probabilidad de un evento puede entenderse como una medida real del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento antes que este ocurra. El enfoque objetivo se suele utilizar en aquellas situaciones en donde es posible que un experimento aleatorio pueda ser repetido muchas veces bajo las mismas condiciones, tal como ocurre en los juegos del azar o en fenómenos de Ingeniería En este enfoque, la probabilidad de un evento depende de la naturaleza del experimento aleatorio, por lo tanto tiene un único valor el cual debe ser calculado. Aquí podemos distinguir nuevamente dos clases de probabilidad, la probabilidad matemática o de Laplace y la probabilidad por frecuencia relativa 4.1.1. Probabilidad matemática o de Laplace: Esta probabilidad se basa en un modelo razonable del sistema que se estudia mediante un experimento aleatorio. Esta probabilidad se aplica en aquellas situaciones en que cada uno de los elementos del espacio muestral son equiprobables, es decir tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, cuando lanzamos una moneda legal, la probabilidad de obtener una cara es la misma que la probabilidad de obtener un sello [ P(C) = P(S) = 0.5 ], o cuando lanzamos lanzamos un dado legal, también tenemos que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados resultados es la misma, así: [ P(1) = P(2) P(2) = … = P(6) = 1/6 ].

La probabilidad matemática o de Laplace, de un evento A, se define como el cociente entre número de casos “igualmente probables” favorable a la ocurrencia de ese evento y el número todos de casos “igualmente probables”. P ( A)



N º de casos igualmente probables probables favor favorable abless al evento A

P ( A)



N ( A)

N º total de casos igualmente probables probables N ()

Nota: Tenga presente que una posibilidad no es una probabilidad, la probabilidad es una medida de la posibilidad.


8


Ejemplo 1. Considere que lanzamos un dado legal sobre una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior un número mayor de cuatro puntos?. El espacio muestral es: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A Si el dado es legal, es decir físicamente simétrico y equilibrado, entonces cada uno de estos resultados deben ser igualmente probables o equiprobables, por lo que debemos tener: P (1)  P (2)  P (3)  P (4)  P (5)  P (6)



1 6

Sea el evento A = Sale un número número mayor que 4, entonces los los elementos de dicho dicho evento son: son: A = {5, 6}, por lo que su su probabilidad será: P ( A)



N ( A) N ()



2  0.333 333 6

que lanzamos dos dados legales sobre Ejemplo 2. Considere que una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior, números cuya suma sea menor que cinco puntos?. Es espacio muestral y el evento de interés de muestran a continuación: A (1,1) (2,1)  (3,1)    (4,1) (5,1)  (6,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(1,6) 

  (3,6)   (4,6)  (5,6)  (6,6)   (2,6)

En este caso nuevamente cada uno de los elementos del espacio muestral son equiprobables P (1,1)  P (1,2)  P (1,3)    P (6,6)



1 36

Sea el evento A = la suma de puntos es menor que cinco A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} P ( A)




N ( A) N ()



6  0.1666 36

9


4.1.2. Probabilidad por frecuencia relativa: Esta probabilidad se basa en el modelo conceptual de la repetición de un experimento aleatorio. Aquí la probabilidad de un evento se interpreta como el valor límite de la la proporción de veces en que aparece el evento en n repeticiones del experimento aleatorio, cuando n tiende tiende a ser muy grande ( n →∞ ) P ( A)

 Lim

n( A) n

n

 k

Ejemplo: Considere que en una gran encuesta a 2000 personas adultas se preguntó entre otras cosas por el estado civil, encontrando la siguiente distribución de frecuencias. Tabla N° Estado civil de 2000 personas adultas de la ciudad de Lambayeque. Diciembre del 2011 Estado Civil (Ai) Soltero Casado Conviviente Divorciado Separado Viudo Total (n)

N° de personas (ni) N (Ai)

Proporción de personas (pi) Probabilidad: P(Ai)

680

0.34

720

0.36

340

0.17

60

0.03

140

0.07

60

0.03

2000

1

Aquí, debido a que el tamaño de muestra es suficientemente grande ( n  0 ), las frecuencias frecuencias relativas relativas pueden pueden ser ser consideradas como probabilidades, es decir que, si de la población de referencia seleccionamos aleatoriamente una persona adulta, la probabilidad que sea soltera será 0.34, así sucesivamente.

4.2. Enfoque subjetivo: En este enfoque, la probabilidad de un evento puede interpretarse como el grado de creencia de que ocurra el evento. Aquí puede suceder que personas diferentes no duden en asignar probabilidades diferentes al mismo evento. Así por ejemplo la probabilidad de que un negocio sea exitoso para el sujeto A podría ser igual a 0.25; en cambio para el sujeto B este mismo evento podría tener una probabilidad igual a 0.40; incluso podría variar en una misma persona, de un tiempo a otro, dependiendo de su estado de ánimo u optimismo para emprender un nuevo negocio. En todos los casos dichas probabilidades serían igualmente lícitas, puesto que son sus creencias. Este enfoque suele ser utilizado en situaciones en que el experimento aleatorio no es posible repetirlo muchas veces bajo las mismas condiciones, tal como ocurre en los fenómenos sociales en donde no se puede repetir la historia.


10


5. Axiomas de probabilidad Los axiomas de probabilidad son premisas que no requieren demostración; pero que sobre las cuales se construye la l a teoría de probabilidades. i. La probabilidad de un evento evento es un número real no no negativo: P ( A)  0 ii. La probabilidad del espacio muestral muestral es igual a uno. uno. P ()  1 iii. Si A1, A2, A3, …. Es una sucesión finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes de un mismo espacio muestral, entonces: P ( A1  A2  A3  . . . )  P ( A1 )  P ( A2 )  . . .

6. Algunas reglas de probabilidad En base a los tres axiomas de probabilidad, se pueden deducir muchas reglas que tienen aplicaciones aplicaciones importantes.

i. Si A y A’ son eventos eventos complementarios complementarios en un espacio muestral muestral Ω: P ( A' )  1  P ( A)

ii. La probabilidad del del evento imposible siempre siempre es cero: P ()  0 Ω

ɸ

iii. Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tal que que A  B , entonces: P ( A)  P ( B)

iv. Si A y B son dos eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces: P ( A  B)  P ( A)  P ( B)  P ( A  B)


11


v. Si A, B y C son tres eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces: P ( A  B  C )  P ( A)  P ( B)  P (C )  P ( A  B)  P ( A  C )  P ( B  C )  P ( A  B  C )

Esta regla podría ser extendida a la reunión de más de tres eventos usando el mismo razonamiento.

Ejemplo 1. En la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia escogida aleatoriamente para una encuesta por muestreo tenga un aparato de TV con tecnología LED, un aparato de TV con tecnología LCD, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambos aparatos? Solución Sea: A = La familia tiene un televisor con tecnología LED B = La familia tiene un televisor con tecnología LCD Entonces tenemos: P(A∩B) = 0.29 P(A) = 0.86 P(B) = 0.35 P ( A  B)  P ( A)  P ( B)  P ( A  B) = 0.86 + 0.35 - 0.29 = 0.92

Ejemplo 2. Cerca de la llegada al desvío por vía de evitamiento norte de la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado al costado de la pista, tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es de 0.38 de que un camión parado en esta zona tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado al costado de la pista tendrá los frenos defectuosos y los neumáticos muy gastados?. Solución Sea: A = El camión tiene frenos defectuosos B = El camión tiene los neumáticos muy gastados Entonces tenemos: P(A) = 0.23 P(B) = 0.24 P(AυB) = 0.38


12


Sabemos que P ( A  B)  P ( A)  P ( B)  P ( A  B) entonces debemos tener que P ( A  B)  P ( A)  P ( B)  P ( A  B) = 0.23 + 0.24 - 0.38 = 0.09

Ejemplo 3. Si una persona acude con su dentista, supongamos que la probabilidad de que le limpie la dentadura es de 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es 0.24, la probabilidad de que se le extraiga un diente es 0.21 , la probabilidad de que se le limpie la dentadura y le tape una caries es 0.08, la probabilidad de que le limpie la dentadura y le extraiga un diente es 0.11, la probabilidad de que le tape una caries y le saque un diente es 0.07 y la probabilidad de que le limpie la dentadura, le tape una caries y le saque un diente es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que acude con su dentista se le haga por lo menos uno de estos tres procedimientos? Solución Sea: A = Limpieza de dentadura B = Tapar caries C = Extraer un diente Entonces tenemos: P(A) = 0.44

P(B) = 0.24

P(C) = 0.21

P(A∩B) = 0.08

P(A∩C) = 0.11

P(B∩C) = 0.07

P(A∩B∩C) = 0.03

Sabemos que: P ( A  B  C )  P ( A)  P ( B)  P (C )  P ( A  B)  P ( A  C )  P ( B  C )  P ( A  B  C )

= 0.44 + 0.24 + 0.21 - 0.08

- 0.11

-

0.07

+ 0.03

= 0.66

7. Probabilidad condicional Dados dos eventos A y B con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B, expresada como P(A/B), representa la fracción de veces que ocurre A sabiendo que ha ocurrido B. Su cálculo corresponde al cociente entre la probabilidad de que ocurra A y B (ambos) y probabilidad de que ocurra B. P ( A  B) P ( A / B)  P ( B)

Esto significa que el suceso B ocurrirá una fracción P(B) veces y, asimismo A y B (ambos) ocurrirá una fracción P ( A  B) de las veces. El cociente P ( A  B) / P ( B) indica la proporción de veces que cuando ocurre B, ocurre también A. Esto es, Si ignoramos las veces en que B no ocurre, y consideramos solo aquellas en que ocurre, el cociente P ( A  B) / P ( B) corresponde a la fracción de veces que A también sucederá. Esto es precisamente lo que significa la probabilidad condicional de A dado B.


13


La probabilidad condicional de A dado B también podría ser entendida como la probabilidad de A en un nuevo espacio muestral reducido dado por B A

B

A∩B Ω

En cambio aquí, el evento B funciona como un espacio muestral reducido P(A/B) = # (A∩B) / # (B)

Aquí, las probabilidades P(A), P(B) y P(A∩B) están definidas sobre el espacio muestral Ω. P(A/B) = P(A∩B) / P(B)

En efecto, es fácil probar que las dos expresiones que aparecen en la figura anterior son equivalentes. # ( A  B) P ( A / B) 

P ( A  B) P ( B)



# () # ( B)



# ( A  B) # ( B)

# ()

Ejemplo 1: Consideremos el lanzamiento de tres monedas, en donde el espacio muestral es: Ω = { ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}

Donde: P(ccc) = P(ccs) = P(csc) = ….. = P(sss) = 1/8

¿Cuál es la probabilidad de que la primera moneda sea cara? Naturalmente esta probabilidad es ½, lo que podemos establecer de manera más formal establecer como P(cara en la primera moneda)= P( ccc, ccs, csc, css ) =4/8 = ½. Pero consideremos que sabemos que en dos de las tres monedas ha salido cara. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que la primera moneda sea cara?. La cuestión es que ha cambiado nuestra información disponible, es decir nuestro nivel de ignorancia, y en consecuencia habrán cambiado las probabilidades correspondientes. De hecho, si sabemos que dos de las tres


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monedas han salido cara los resultados posibles son ccs, csc y scc. Dado que los tres resultados son(en este caso) equiprobables, y puesto que solo en los dos primeros la moneda es cara, podemos concluir que: si sabemos que en dos de las tres monedas ha salido cara, entonces la probabilidad de que la primera moneda sea cara es 2/3. Más exactamente, hemos calculado una probabilidad condicional. Esto es, hemos determinado que bajo la condición de que sabemos que dos de las tres monedas han salido cara, la probabilidad condicionada de que la primera sea cara es 2/3, lo que matemáticamente se expresa como: P(cara en la primera moneda | cara en dos monedas) =2/3. La barra vertical | establece “bajo la condición” o “dado que”.

En este ejemplo, A es el suceso de que la primera moneda sea cara, mientras que B es el suceso de que haya salido cara en dos monedas. Por tanto en términos matemáticos, A= {ccc, ccs, csc, css}, B= {ccs, csc, scc } y A ∩B ={ccs. csc}. En consecuencia se ha calculado: P ( A / B) 

P ( A  B) P ( B)



P (ccs, csc) P ccs, csc, scc



2/8  2 / 3. 3/ 8

Por otra parte, y de forma análoga, podemos calcular P(cruz en la primera moneda | cara en dos monedas) =1/3. Vemos por tanto que condicionar un suceso (como es el caso de “cara en la primera moneda”) o bien disminuirla (como en “cruz en la primera m oneda”).

Ejemplo 2: Considere que se dispone la siguiente información relacionada con el comportamiento de un gran número de clientes: Intención de Decisión: compra algo Total comprar algo Si (B) No Si (A) 1100 100 1200 No 500 800 1300 Total 1600 900 2500 Sea Los eventos: A = El cliente visita el establecimiento comercial con la intención de comprar algo B = El cliente que visita el establecimiento comercial compra algo (lo que estaba buscando) Considerando la probabilidad como una frecuencia relativa, podemos calcular la probabilidad de a dado B del siguiente modo:


15


P ( A) 

# ( A) 1200   0.48 # () 2500

P ( B) 

# ( B) 1600   0.64 # () 2500

P ( A  B) 

P ( A / B) 

# ( A  B) 1100   0.44 # () 2500

P ( A  B) P ( B)



0.44  0.6875 0.64

Es exactamente lo mismo cuando consideramos al evento B como un espacio muestra reducido, en el cual, en el cual calculamos la misma probabilidad: P ( A / B) 

# ( A  B) 1100   0.6875 # ( B) 1600

Finalmente note que la definición de P(B/A) conduce inmediatamente a la fórmula del producto P ( A  B)  P ( A) P ( B / A).

Esto nos permite calcular la probabilidad conjunta de A y B conociendo la probabilidad de A y la probabilidad condicional de B dado A. La probabilidad condicional nos permite expresar el teorema “ley de la probabilidad total, versión no condicionada”, de una forma diferente y algunas veces más útil.

8. Regla de la multiplicación i. Para dos eventos: Supongamos que A y B, son dos eventos cualquiera del mismo espacio muestral Ω, P ( A  B)  P ( A) P ( B / A)

ii. Para varios eventos: Supongamos que A 1, A 2, …, Ak, son k eventos cualquiera del mismo espacio muestral Ω, P ( A1  A2  A3  ...  Ak )  P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1  A2 )... P ( Ak / A1  ...  Ak 1 )

Ejemplo 1: Si seleccionamos aleatoriamente dos personas en sucesión de un con junto de 240 personas de los cuales 15 tienen presión alta, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta?


16


Solución: Si suponemos probabilidades iguales para cada selección (que es lo que queremos decir al seleccionar aleatoriamente personas), la probabilidad de que la primera persona tenga presión alta es 15/240, y la probabilidad de que la segunda persona también tenga presión alta dado que la primera persona tenía presión alta es 14/239. Así la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta es 15/240.14/239 = 7/1912 = 0.003661 También lo podemos presentar del siguiente modo: Sea: A1 = La primera persona seleccionada tiene presión alta A2 = La segunda persona seleccionada tiene presión alta A1∩A2 =Ambas personas seleccionadas tienen presión alta P(A1∩A2) = P(A1)P(A2/A1) = (15/240).(14/239) = 0.003661 Esto supone que estamos muestreando sin reemplazo; esto es la primera persona seleccionada no se regresa a la población antes de que de seleccionar la segunda persona.

Ejemplo 2: Encuentre las probabilidades de sacar aleatoriamente dos ases de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego, si muestreamos a) Sin reemplazo; b) Con reemplazo. Solución: a) Si la primera carta no se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad de sacar dos ases en sucesión es 4 3 1 . . 52 51 121

b) Si la primera carta se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad correspondiente es 4

.

4

52 52

.

1 169

Ejemplo3: Una caja de vacunas contiene 20 vacunas, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan tres vacunas aleatoriamente y se sa-


17


can de la caja en sucesión sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres vacunas estén defectuosas?

Solución: Si A es el evento de que el primer fusible este defectuoso, B es el evento de que el segundo fusible este defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible sea defectuoso, entonces P(A)=5/20, P(B|A)=4/19, P(C|A∩B)=3/18 y la sustitución en la formula nos da : P ( A  B  C ) 

5 4 3 . . 20 19 18



1 114

9. Eventos independientes Si A y B son dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral Ω,

entonces decimos que estos dos eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de cualquiera de los dos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Con símbolos, dos eventos A y B son independientes si, P ( B / A)  P ( B) o en forma equivalente P ( A / B)  P ( A) , siempre que las probabilidades condicionales existan, es decir que P ( A)  0 y también P ( B)  0 . Si esta igualdad lo remplazamos en la regla de multiplicación para dos eventos, obtenemos que: P ( A  B)  P ( A) P ( B / A)  P ( A). P ( B) Por lo que finalmente podemos decir que, dos eventos A y B son independientes si y solo si: P ( A  B)  P ( A). P ( B) Generalizando para k eventos, tenemos que los eventos A 1, A2, …, Ak, son independientes si y sólo si la probabilidad de la intersección de cualquiera 2, 3, … , o k de estos eventos es igual al producto de sus probabilidades respectivas. Para tres eventos A, B y C, por ejemplo, la independencia requiere que: P ( A  B)  P ( A). P ( B) P ( A  C )  P ( A). P (C ) P ( B  C )  P ( B). P (C ) P ( A  B  C )  P ( A). P ( B) P (C ) Cada una de las tres ecuaciones anteriores se cumplen, pero no la ecuación P ( A  B  C )  P ( A). P ( B) P (C ) . En este caso los sucesos A,B y C son independientes parejas, pero no en conjunto. Finalmente los eventos A 1, A2, …, Ak, son Conjuntamente Independientes si y sólo si Manuel Hurtado Sánchez

18


P ( A1  A2  A3  ....  Ak )  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( Ak )

Ejemplo La figura muestra un diagrama de Venn con probabilidades asignadas a sus diversas regiones. A

B

¼

1/4

¼ 1/4 C

Verifique que A y B son independientes, que A y C son independientes que B y C son independientes pero que A, B y C no son independientes. Solución: Como se puede ver en el diagrama, P(A)=P(B)=P(C) =1/2, P(A∩B)= P(A∩C)= P(B∩C)= ¼ y P(A∩B∩C) =1/4. Así, 1  P ( A  B) 4 1 P ( A). P (C )   P ( A  C ) 4 1 P ( B). P (C )   P ( B  C ) 4

P ( A). P ( B) 

Pero 1  P ( A  B  C ) 8 A propósito del ejemplo anterior se le puede dar una interpretación “real” al P ( A). P ( B). P (C ) 

considerar un cuarto grande que tiene tres interruptores separados que controlan las luces del techo. Estas luces estarán encendidas cuando los tres interruptores estén “hacia arriba” y por tanto también cuando uno de los interruptores este “hacia arriba” y los otros dos estén “hacia abajo”. Si A es el evento que el primer interruptor este “hacia arriba”, B es el evento que el segundo interruptor este “hacia arriba” y C es el even to de que el tercer interruptor este “hacia arriba”, el diagrama de Venn de la figura ante-

rior muestra un posible conjunto de probabilidades asociado con que los interruptores estén “hacia arriba” o “hacia abajo” cuando las luces del t echo estén están prendidas. Ejemplo: Encuentre las probabilidades de obtener: Manuel Hurtado Sánchez

19


a) Tres caras en tres lanzamientos aleatorios de una moneda balanceada; b) Cuatro, seis y después otro número en cinco lanzamientos aleatorios de un dado balanceado. Solución: a) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos: 1 1 1 1 . .  2 2 2 8

b) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos: 1 1 1 1 5 5 . . . .  6 6 6 6 6 7776

Ejemplo: Supongamos que tiramos un dado equilibrado de seis caras y una moneda también equilibrada. Podemos expresarlo como: Ω={1c,2c,3c,4c,5c,6c,1s,2s,3s,4s,5s,6s}.

Si A es el suceso correspondiente a que aparezca un 5 a tirar el dado y B a que la moneda caiga como cruz, entonces P(A)=P({5c,5s}) = 2/12 = 1/6, y P(B)=P({1s,2s,3s,4s,5s,6s})= 6/12 =1/2. Además P(A∩B) = P({5s}) = ½,

que es igual a (1/6)(1/2). De ahí que en este caso A y B sean independientes.

10. Probabilidad total i. Para dos eventos: Para cualquier par de eventos A y B de un mismo espacio muestral Ω, entonces: P ( B)  P ( B  A)  P ( B  A' )

ii. Para varios eventos: Supongamos que A 1, A2, …, Ak, constituye una partición del espacio muestral Ω, es decir que Ai  A j    i  j y


20


n

 Ai   , entonces:

P ( B)  P ( B  A1 )  P ( B  A2 )  ...  P ( B  Ak ) ,

o

i1

también se puede expresar como: P ( B) 

k

 P ( A ) P ( B / A ) j

j

j 1

Ejemplo 1: Una clase está formada por un 60% de chicas y 40% de chicos. Supongamos que el 30% de las chicas y el 20% de los chicos llevan el pelo largo. Si se escoge un alumno de la clase al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado lleve el pelo largo? Para resolverlo, llamemos A1 al conjunto de chicas y A2 al conjunto de chicos, con lo cual  A1 , A2  es una partición de la clase. Llamemos además B al conjunto de todos los alumnos con pelo largo. Nos interesa calcular P(B), que por el teorema ley de probabilidad total resulta: P ( B)  P ( A1 ) P ( B / A1 )  P ( A2 ) P ( B / A2 )  (0.6)(0.3)  (0.4)(0.2)  0.26 ,

es decir, existe un 26% de probabilidad de que el alumno seleccionado al azar lleve el pelo largo.

Ejemplo 2 : La terminación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habrá una huelga, 0.85 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 de que el trabajo de construcción termine a tiempo si hay huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajo de construcción termine a tiempo? Solución: Si B es el evento de que el trabajo de construcción se terminara a tiempo y A es el evento de que habrá una huelga, se nos dan P(A) = 0.60, P(B|A')=0.85 y P(B/A)=0.35. Nos valemos de que A∩B y A ∩B son mutuamente excluyentes y de la forma alternativa de la regla de multiplicación, podemos escribir:


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P ( B)  P ( A  B)  ( A'B)

 P ( A  B)  P ( A' B)  P ( A) P ( B / A)  P ( A' ) P ( B / A' )

Entonces al sustituir los valores numéricos dados obtenemos: P ( B)  (0.60)(0.35)  (1  0.60)(0.85)

 0.55

Ejemplo 3: Los miembros de una empresa de consultoría rentan automóviles de tres agencias de renta de automóviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3. Si 9% automóviles de la agencia 1 necesita una afinación, 20% de los autos dela agencia 2 necesita una afinación, y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado, entregado una fiesta necesite una afinación?

Solución: Si B es el evento de que un automóvil necesita una afinación y A1, A2 y B3 son los eventos de que el automóvil venga de las agencias1, 2 ó 3, tene P ( A1 )  0.60, P ( A2 )  0.30, P ( B | A1 )  0.09, mos P ( A3 )  0.10, P ( B | A2 )  0.20 y P ( B | A3 )  0.06 . Al sustituir esos valores en la fórmula del teorema anterior obtenemos: P ( B)  (0.60)(0.09)  (0.30)(0.20)  (0.10)(0.06)  0.12

Así 12% de los automóviles rentadas entregados a esta empresa necesitaran una afinación. Con respecto al ejemplo precedente, supongamos que nos interesa la siguiente pregunta: si un automóvil rentado entregado a la empresa de consultoría necesita una afinación, ¿Cuál es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2? Para responder a preguntas de esta clase, necesitamos el siguiente teorema, llamado el teorema de Bayes.


22


11. Teorema de Bayes. Sea  A1 , A2 , .... , An  una partición del espacio muestral Ω, es decir que   in1 Ai , además Ai  Aj   ,  i  j . Entonces si B es un evento cualquiera con P ( B)  0 , se verifica que: P ( Ai / B) 

P ( Ai  B)

 i  1, 2, 3, .... , n

P ( B)

o también: P ( Ai / B) 

P ( Ai ) P ( B / Ai ) k

 P ( A ) P ( B / A ) j

j

j 1

Demostramos el cálculo: P ( A) P ( A) P ( A  B) P ( A  B) P ( B / A)    P ( A | B) P ( B) P ( B) P ( A) P ( B)

Conduce al resultado anterior. Las aplicaciones estándar de la fórmula del producto, la ley de probabilidad total y el teorema de Bayes corresponden a sistemas de dos etapas. La respuesta de este tipo de sistemas puede considerarse que ocurre en dos etapas. En general se conocen las probabilidades relativas a la primera etapa y las probabilidades condicionales para la segunda etapa. La fórmula del producto se utiliza para calcular probabilidades conjuntas de ambas etapas, la ley de la probabilidad total para calcular probabilidades de la segunda etapa, y el Teorema de Bayes para calcular probabilidades de la primera etapa habiendo ocurrido alguno de los sucesos de la segunda etapa.

Ejemplo 1. Supongamos que un artículo es manufacturado por tres fábricas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen igual número de artículos (durante un período de producción dado). Se sabe también que la primera Manuel Hurtado Sánchez

23


y la segunda producen 2% de defectuosos, y la tercera produce 4% de defectuosos. Se colocan juntos todos los artículos producidos en una fila y se escoge uno al azar, el cual resulta ser defectuoso. ¿Cuál será la probabilidad de que lo haya producido la primera fábrica?. Este es un caso típico de aplicación del teorema de Bayes. Usando la notación anterior necesitamos calcular P(A 1/B), lo cual lo podemos obtener usando el teorema de Bayes: P ( A1 / B) 

P ( A1 ) P ( B / A1 ) k 3

 P ( A ) P ( B / A ) j 1

j

j

El teorema de Bayes también es conocido como la fórmula para la proba”. Puesto que las Ai son una partición del espacio bilidad de las “causas muestral, uno y solo uno de los eventos Ai ocurre (esto es, uno de los sucesos Ai debe ocurrir y solamente uno). Por lo tanto la fórmula anterior nos da la probabilidad de una Ai particular (esto es una “causa ”), dado que el suceso B ha ocurrido. Para aplicar este teorema debemos conocer las P( Ai) y las P( B/Ai). Para nuestro ejemplo, los cálculos son presentados en el siguiente cuadro:

P ( A1 / B)




0.02  0.5  0.40 0.02  0.5  0.02  0.25  0.04  0.25

24


Laboratorio 1: 1. Un juego electrónico contiene tres componentes en un circuito del tipo serie paralelo de la siguiente figura. En un momento dado cualquiera, cada componente puede estar en operación o no, y el juego funcionará solo si hay un circuito ininterrumpido de P a Q. Sea A el evento de que el juego funcionará; Sea B el evento de que el juego funcionará aunque el componente X no esté en operación; y sea C el evento de que el juego funcionará aunque el componente Y no esté en operación. Use la notación en la cual (0,0,1) por ejemplo, denota que el componente Z está en operación pero los componentes X y Y no lo están. a. Enumere lo elementos del espacio muestral Ω y también los eleme ntos de los eventos A, B y C. b. Determine qué pares de eventos A y B, A y C o B y C son mutuamente excluyentes.

P

X

Z

Q

Y

2. En un grupo de 200 estudiantes universitarios, 138 están matriculados en un curso de Psicología, 115 están inscritos en un curso de sociología y 91 están inscritos en ambos cursos. ¿Cuántos de estos estudiantes no están inscritos en ninguno de los cursos?. 3. Explique por qué hay un error en cada una de las siguientes declaraciones: a) La probabilidad de que Jean apruebe el examen de la barra de abogados es 0.66 y la probabilidad de que no lo pase es 0.34. b) La probabilidad de que el equipo de casa gane un juego de futbol venidero es 0.77, la probabilidad de que se empate el juego es 0.08 y la probabilidad de que gane o empate el juego es 0.95. c) Las probabilidades de que una secretaria cometa 0, 1, 2, 3, 4, 5 o más errores al mecanografiar un informe son, respectivamente, 0.12, 0.25, 0.36, 0.14, 0.09 y 0.07. d) Las probabilidades de que un banco reciba 0, 1, 2, 3 o más cheques malos en un día dado son, respectivamente, 0.08, 0.21, 0.29 y 0.40. 4. De los 78 doctores del personal de un hospital, 64 tienen seguro contra tratamiento erróneo, 36 son cirujanos y 34 de los cirujanos tienen seguro contra tratamiento erróneo. Si uno de estos doctores se escoge al azar para representar al personal del hospital en una convención de la A.M.A. (esto es, cada doctor tiene una probabilidad de

1 de ser selec78

cionado), ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado no sea un cirujano y no tenga seguro contra tratamiento erróneo?


25


5. Una profesora de biología tiene dos asistentes graduados que la ayudan con su investigación. La probabilidad de que el mayor de los asistentes se ausente en un día dado es 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos se ausente en un día dado e 0.05 y la probabilidad de que ambos se ausenten en un día dado es 0.02. Encuentre las probabilidades de que a) Cualquiera o ambos de los asistentes graduados esté ausente en cualquier día dado; b) Al menos uno de los dos asistentes graduados no esté ausente en cualquier día dado; c) Sólo uno de los dos asistentes graduados esté ausente en cualquier día dado. 6. hay noventa aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estación de televisión. Algunos son egresados de la universidad y algunos no, algunos de ellos tienen al menos tres años de experiencia y algunos no la tienen, el análisis exacto es: Formación Egresados de la No Egresados de la Experiencia Universidad universidad Al menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años de experiencia 36 27 Si el orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio, G es el evento que el primer aspirante entrevistado sea un egresado de la universidad, y T es el evento de que el primer aspirante entrevistado tenga al menos tres años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades directamente de los asientos y de los reglones y columnas de la tabla: a) P (G  T ); b) P (G  T ); c) P (G T ); d) P (G T ´). 7. La probabilidad de sobrevivir a una cierta operación de trasplante es 0.55. si un paciente sobrevive la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante en menos de un mes es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva a estas etapas crít icas? 8. Los registros médicos muestran que una entre diez personas en una cierta ciudad tiene deficiencia tiroidea. Si se escogen aleatoriamente 12 personas en esta ciudad y se les hace un análisis, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga una deficiencia tiroidea? 9. Si 5 de los diez camiones repartidores de una compañía no satisfacen los estándares de emisión y tres de ellos se seleccionan para una inspección, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los camiones seleccionados satisfará los estándares de emisión? Manuel Hurtado Sánchez

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10. Una tienda departamental que factura a sus clientes una vez al mes ha encontrado que si un cliente paga oportunamente en un mes, la probabilidad es 0.90 de que él o ella pague también oportunamente el siguiente mes-, sin embargo, si un cliente no paga oportunamente en un mes, la probabilidad de que él o ella pague oportunamente el mes siguiente es solamente 0.40. a) ¿Cuál es la oportunidad de que un cliente que paga oportunamente en un mes también pagara oportunamente los tres meses siguientes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que no paga oportunamente en un mes tampoco pagara oportunamente los siguientes dos meses y después haga un pago oportuno al mes siguiente de ello? 11. Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administración son por salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de prestaciones. También 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huelgas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿cuál es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administración se resuelva sin una huelga? 12. En una cierta comunidad, 8% de todos los adultos mayores de 50 años tienen diabetes. Si un servicio de salud en esta ciudad diagnostica correctamente a 95% de las personas con diabetes como enfermas de diabetes e incorrectamente diagnostica a 2% de todas las personas sin diabetes como enfermas de diabetes, encuentre la probabilidad de que a) El servicio de salud comunitario diagnosticara a un adulto mayor de 50 años como enfermo de diabetes b) Una persona mayor de 50 diagnosticada con diabetes por el servicio de salud realmente tenga la enfermedad.


27


2° UNIDAD:

VARIABLES ALEATORIAS

1. Variables aleatorias discretas: Definición 1: Se dice que X es una variable aleatoria discreta unidimensional si es una variable que toma solo un conjunto finito o infinito numerable de valores del eje X . Supongamos que X toma únicamente los valores x1, x2 ,..., xn ,... con probabilidades p( x1 ), p( x2 ), ..., p( xn ),... y supongamos que A es cualquier subconjunto de los puntos x1, x2 ,..., xn ,... . La probabilidad P ( A) del suceso A (probabilidad de que x esté en A) se define como: P ( A) 

 p( x)

 p( x)Representa la suma de f(x) para aquellos valores A

Donde

A

x i que pertenecen a A.

Así por ejemplo:  

P(X=2) quiere decir probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea igual a 2 P(3
Definición 2: Sea  un experimento aleatorio y  el espacio muestral asociado con el experimento. Una función X que asigna a cada uno de los elementos s   , un número real X ( s) se llama Variable aleatoria.  = Espacio muestral de 

Rx = Valores posibles de X

X

X ( s) = Valor de la variable

S (Recorrido o Rango de X)

Ejemplo. Sea el experimento aleatorio  = Lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular, entonces el espacio muestral debe ser   ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss, considere también que la variable aleatoria X = Número de caras al lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular, entonces el Rango o conjunto de valores que podría tomar esta variable será: R X  0,1,2,3

 = Espacio muestral

X

Rx = Valores posibles de X 3 X (ccs)  2 1 0

CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS


28


2. Función de Probabilidades Llamaremos a p( x) función de probabilidades o función de cuantía por tratarse de una variable discreta, siempre que cumpla con las dos condiciones siguientes: , i  1,2,3,4,....

i) p( xi )  0 ii)

 p( x )  1 i

Como ejemplo consideremos el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas legales sobre una superficie regular, y definamos la variable X = Número de caras al lanzar cuatro monedas legales sobre una superficie regular, por lo tanto X debe tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. Para determinar la función de cuantía f ( x) debemos observar que el número de formas en que pueden caer las cuatro monedas es #   número de posibilidades

número de repeticiones

 24  16

Donde: Número de posibilidades = Número de caras de una moneda = 2 Número de repeticiones = Número de monedas lanzadas o en forma equivalente número de veces que se lanza una misma moneda.  4  El número de formas en que pueden aparecer x caras es   ; por lo tan x  to:  4    x x  0,1,2,3,4 p( x)    ; 24

Se puede verificar que:  4    x i) p( x)     0 24

ii)

4

4

x  0

x  0

 p( x)  


 4     x   1 24

29


 4    x Por lo que concluimos que p( x)   4  es una función de cuantía. 2

A menudo, la distribución de probabilidades de X se suele representar por el rango y su función de cuantía, es decir que, la distribución de la variable X de nuestro ejemplo se puede representar así: Rango: R X  0,1,2,3,4 X

~  4    x Función de cuantía: p( x)   4  2

Podemos calcular los valores de la función de cuantía para cada uno de los valores de X:

Para x  0 :

Para x  1 :

Para x  2 :

Para x  3 :

Para x  4 :


 4    0  4   4  4! 1        1 entonces p(0)   4    0.0625 2 16  x   0  0!4!  4    1  4   4  4! 4  4 entonces p(0)   4    0.25       2 16  x   1  1!3!  4    2  4   4  4! 6        6 entonces p(2)   4    0.375 2 16  2   2  2!2!  4    3  4   4  4! 4        4 entonces p(3)   4    0.25 2 16  x   3  3!1!  4    4  4   4  4! 1        1 entonces p(4)   4    0.0625 2 16  x   4  4!0!

30


Si lo escribimos en una tabla, debemos tener: Número de caras X

Probabilidad P(X)

0 1 2 3 4

0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

Total

1

Y al graficarlo tenemos:

Conviene resaltar que p( x) da las frecuencias relativas con que se presenta cada uno de los valores de x . Así, si suponemos que las cuatro monedas se lanzan un gran número de veces, debemos esperar que no aparezcan caras ( x  0 ) en 116 aproximadamente de las tiradas; esperamos que aparezca una cara ( x  1 ) en la cuarta parte aproximadamente de las tiradas, y así sucesivamente. Decimos aproximadamente porque ya estamos familiarizados con las fluctuaciones que acompañan los sucesos aleatorios. Los resultados de un experimento real de lanzamientos de 4 monedas pueden verse en la siguiente tabla. Se lanzaron 4 monedas 160 veces, contando el número de caras aparecidas en cada prueba.


31


Resultado del lanzamiento de 4 monedas 160 veces Número de Probabilidad Ocurrencias caras X P(X) efectivas

Ocurrencias esperadas

0 1 2 3 4

0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

6 41 56 45 12

10 40 60 40 10

Total

1

160

160

Conocida la función de cuantía de una variable aleatoria x , podemos dar respuesta a cualquier cuestión probabilística relativa a x . Así por ejemplo, para la variable X = Número de caras al lanzar de las 4 monedas, la probabilidad de obtener 2 caras es:  4    2 6  0.375 P ( x  2)  p(2)     24

16

La probabilidad de que el número de caras sea inferior a 3 es  4   4   4        2 0 1 2 1 4 6 11 P ( x  3)   p( x)  p(0)  p(1)  p(2)   4    4    4       0.6875 2

x0

2

2

16 16 16

16

La probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 3, ambos inclusive es, P (1  x  3) 

3

 x1

 4   4   4        1 2 3 4 6 4 14     0.875 p( x)  p(1)  p(2)  p(3)   4    4    4   2

2

2

16 16 16

16

Supongamos que deseamos calcular la probabilidad condicional de que un número de caras sea menor que tres cuando se sabe que dicho número es menor que cuatro. Sea A el suceso “aparecen menos de tres caras”, es

decir, A   x : x  0,1,2 Sea B el suceso “aparecen menos de cuatro caras”; esto es, B   x : x  0,1,2,3

Deseamos calcula P(A/B). Por definición de probabilidad condicional, P ( A  B) P ( A / B)  P ( B)

Ahora bien: A  B   x : x  0,1,2

Luego


32


 4     x 11 p( x)  x  0    2

P ( A  B) 

2



24

x  0

16

También  4 

3

P ( B) 

3

 p( x) 

x  0

  x 

x  0

2

4



15 16

De donde: P ( A / B)  P ( x  3 / x  4) 

11/ 16 11  15 / 16 15

La interpretación frecuencial es la siguiente: Supongamos que cuatro monedas ideales se lanzan un gran número de veces y se registra el número de caras de cada tirada solamente en los casos en que aparecen menos de cuatro caras. La fracción de estos casos (donde aparecen menos de cuatro caras) en que aparecen menos de tres caras será aproximadamente 11/15. 3. Distribuciones acumulativas: A menudo es necesario calcular probabilidades del tipo P ( x  3) , P (1  x  3) , etc. En estos casos es conveniente definir una nueva función, llamada Función de distribución acumulativa. Para una función de cuantía f ( xi ) , i  1,2,..., la distribución acumulativa F ( x) se define por F ( x)   p( xi ) xi  x

Donde la suma para todos los valores de i tales que xi  x . Es fácil ver que F ( x)  P ( X  x) Y que P (a  X  b)  F (b)  F (a) Por consiguiente, puede demostrarse que para una variable aleatoria discreta es posible obtener la distribución acumulativa a partir de la función de densidad, y viceversa.

Propiedades: Una función de distribución tiene las siguientes propiedades: i) F ()  0 , F ()  1 ii) Monótona no decreciente. En variables discretas crece por saltos. iii) Continua por la derecha

Ejemplo: Para el caso de la variable aleatoria X = Número de caras al lanzar 4 monedas legales:


33


La función de distribución obtenida a partir de la función de cuantía es F ( x)   p( xi ) xi  x

 p( x )  0 Para 0≤ x < 1 : F ( x)   p( x )  p(0)  0.0625 Para 1≤ x < 2 : F ( x)   p( x )  p(0)  p(1)  0.3125 Para 2≤ x < 3 : F ( x)   p( x )  p(0)  p(1)  p(2)  0.6875 Para x < 0 : F ( x) 

i

xi  x  0

i

xi  x 1

i

xi  x 2

i

xi  x3

Para 3≤ x < 4 : F ( x) 

 p( x )  p(0)  p(1)  p(2)  p(3)  0.9375 i

xi  x  4

p( x )  p(0)  p(1)  p(2)  p(3)  p(4)  1   

Para x ≥ 4 : F ( x) 

xi  x 4

i

Función de cuantía Número de caras x

Función de Distribución

Probabilidad P(x)

x

F(x) = P(X ≤ x)

0 1 2 3 4

0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

x < 0 0 ≤ x < 1 1 ≤ x < 2 2 ≤ x < 3 3 ≤ x < 4

0 0.0625 0.3125 0.6875 0.9375

Total

1

x ≥ 4

1

Cuyos gráficos son:


34


1. Determine si la función puede servir como distribución de probabilidades de una variable aleatoria con el rango dado a. p( x)  x  2 para x = 1, 2, 3, 4, 5. 5

b.

p( x) 

x 2

para x = 0, 1, 2, 3, 4.

30

2. Construya un gráfico de barras de probabilidad para cada una de las siguientes funciones de cuantía  2  4     x  3  x   p( x)   6     3 

a.

b.

Para x = 0, 1, 2.

 5  x 5 x p( x)   0.2  0.8  x  

Para x = 0,1, 2, 3, 4, 5.

3. Una moneda está alterada para que las caras sean doblemente probables que los sellos. Para tres lanzamientos independientes de la moneda, encuentre: a. La función de cuantía de X = número total de caras b. La probabilidad de obtener a lo más dos caras c. La probabilidad de obtener más de dos caras

4. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la función de cuantía de la suma de los dos números que aparecen en la cara superior de los dados?. 5. En una ciudad de 5000 adultos, se pregunta a una muestra de 10, cuál es su opinión sobre una propuesta de proyecto municipal; se obtienen 6 respuestas a favor del proyecto y 4 en contra. Si en realidad los adultos estuvieran divididos en dos grupos iguales respecto a dicha propuesta, ¿Cuál sería la probabilidad de obtener una mayoría de 6 o más, en una muestra de tamaño 10? 6. Un distribuidor de semillas ha determinado a partir de numerosos ensayos que el 5% de un grupo grande de semillas no germina; vende las semillas en paquetes de 100, garantizando la germinación del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete dado no cumpla la garantía? 7. Se trata de utilizar un proceso de fabricación para la obtención de conmutadores con un porcentaje de defectuosos no superior a 1%. Se comprueba el proceso cada hora, ensayando 10 conmutadores elegidos aleatoriamente entre los obtenidos en una hora. Si fallan uno o más de los 10, se detiene el proceso y se procede a un examen cuidadoso. Si la probabilidad real de producir un conmutador defectuoso es 0.01, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso sea examinado sin que sea necesario en un caso determinado? 8. Una compañía de seguros halla que el 0.005% de la población fallece cada año de un cierto tipo de accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10 000 asegurados contra tales accidentes en una año dado?.


35


4. Valores esperados y momentos de Variables aleatorias discretas 1) Valor esperado de una variable aleatoria: El valor esperado de una variable aleatoria o de cualquier función de una variable aleatoria es un número real -que puede o no ser un posible valor de la variable aleatoria- al cual tienden los valores de dicha variable en el largo plazo, y representa el centro de masa la distribución de dicha variable. Se obtiene hallando el valor medio de la función para todos los valores posibles de la variable. La definición matemática del valor esperado es:

Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía p(x). El valor esperado de X, E(X) es

E ( x) 

 xp( x) x

Esta cantidad se define como el valor esperado solo si p(x) es absolutamente convergente. Si no lo es, decimos que el valore esperado de X no existe.

Ejemplo Considere el experimento aleatorio:

 = Lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular Con el espacio muestral Ω = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}

Se define la variable aleatoria X = Número de caras. El rango de esta variable es: Rx = {0, 1, 2, 3} Y su función de cuantía correspondiente será:  3  1 3 p( x )      x  2 

Esta función genera las siguientes probabilidades


36


E ( x) 

 x p( x )  0  0.125  1 0.375  2  0.375  3  0.125  1.5 i

i

x

Distribución de probabiliadades del número de caras al lanzar tres moenedas 0.4 0.3

d a d i l i b a b o r P

0.2 0.1 0 0

1

E(x)=1.5

2

3

Número de caras

En algunas ocasiones podríamos estar interesados en el valor esperado de alguna función de la variable aleatoria X, en lugar del correspondiente a la propia X. Así por ejemplo podemos estar interesados en el valor esperado de 2X, o de X 2+1, etc.

Teorema: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía p(x). El valor esperado de una función u de la variable aleatoria X es

E [u( x)] 

u( x) p( x) x

De nuevo observamos que esta cantidad se definen como valor esperado solo si p(x) es absolutamente convergente. La misma observación debe hacerse para todos los valores esperados de las variables aleatorias y no volveremos a repetir en lo sucesivo.

Ejemplo 1: Considere que Ud. decide comprar un boleto por un valor de 1 nuevo sol para participar en el siguiente juego, “ Se lanza un dado legal sobre una su perficie regular, si sale un 6, entonces gana 20 nuevos soles, caso contrario pierde el valor de la apuesta” . Cuál será su


37

ganancia esperada?


Solución Considerando la variable aleatoria X = número de puntos de la cara superior de un dado legal, lanzado sobre una superficie regular, entonces su función de cuantía será: 1/6

para todo X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

0

en otro caso

p(x) =

La función ganancia es: 20

si x = 6

-1

en otro caso ( x = {1≤ x ≤ 5})

g(x) = El valor esperado de la función ganancia es:

E ( g ( x )) 

6

 g ( x) p( x)  20  p( x  6)  (1) p(1  x  5) x 1

E ( g ( x ))  20 

1 5  1 6 6



15 6

 2.5 nuevos soles

Propiedades del valor esperado.

a)

E [c]  c donde

b) E [c

c es una constante

 u( x )]  c  E [u( x )]

c) E [c.u ( x )]  c. E [u ( x )] d) De (b) y (c) se deduce que: E [a e)

 b.u( x )]  a  b. E [u( x )]

E [u( x)  v( x)]  E [u( x)] 


38

E [v( x)]


1. Suponga que el valor esperado del salario de una clase de trabajadores, del sector de construcción civil, durante el mes de abril del 2013, fue de 800 nuevos soles, El gobierno central decreta un incremento de 75 nuevos soles a partir del mes de mayo, ¿Cuál será el nuevo valor esperado del salario dicho sector de trabajadores para el mes de mayo? 2. Suponga que en una gran empresa, el valor esperado del salario de los varones es de 2400 n. s., y de las mujeres es de 1800 n. s., durante el mes de julio del 2011, el gobierno central decreta un incremento de 75. Sabiendo que el 60% de los trabajadores son varones, ¿Cuál es el valor esperado del salario de todos los trabajadores de dicha empresa? 3. En el mes de enero, el promedio de salarios de los empleados de una empresa era 2400 n.s.; en el mes de febrero, la empresa consideró un incremento del 25% en el número de empleados y con un salario igual al 80% del promedio de los salarios de los antiguos empleados. En el mes de marzo, la empresa hizo efectivo un aumento del 5% en el salario de cada uno de los empleados, más una asignación de 200 n.s. por escolaridad. Hallar el sueldo promedio de los salarios de los empleados en el mes de marzo. 4. Se venden 30000 billetes de lotería, a un nuevo sol cada uno, para un sorteo de un coche de 4000 nuevos, ¿Cuál es la ganancia esperada de una persona que compre uno de estos billetes? 5. La probabilidad de que un suceso ocurra es y la de que no ocurra

. En una sola prueba, ¿Cuáles son la media y la varianza de X , siendo este el número de aciertos? 6. Si se realizan n pruebas independientes del experimento descrito en el ejercicio 4, y X es el número total de aciertos, ¿Cuáles son la media y varianza de X?


39


5. Variables Aleatorias Continuas Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de cierto intervalo o colección de intervalos sobre el eje X , el plano X 1, X 2, espacio X 1, X 2, X 3, etc., sin la restricción de que aquellos sean número aislados. Variable aleatoria continua unidimensional: Se dice que X es una variable aleatoria continua unidimensional, si existe una función f tal que satisface dos condiciones: f(x) ≥ 0 para todo    x   Para cualquier suceso A se cumple que P(A) = P( x esté en A) =

i) ii)

 f ( x)dx A

Donde

f ( x) se denomina función de densidad de X, y diremos a veces

que “ X se distribuye según f ( x) ” o que “ f ( x ) es la distribución de X ”.

Los sucesos que consideraremos en este curso serán un intervalo o una colección de un número finito de intervalos no superpuestos. Así por ejemplo, sea:

A1

  x : 3  x  2 ,

A2

  x : 2  x  4

El suceso “ A1 o A2 “ es :

A1  A2   x : 3  x  4

El suceso “A 1 no ocurre” es:

A1  B1  B2

  x :   x  3 B2   x : 2  x   A2” es: A1  A2   x : 2  x  2

Donde: B1 El suceso “ A1 y

B1 -5

-4

-3

-2

A1

B2

A2 -1

0

1

2

3

4

5 En lo que sigue del curso supondremos que las variables aleatorias continuas tienen función de densidad también continua, salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos. Definamos A por A   x : a  x  b . Para una variable aleatoria continua X, la función de densidad f(x).


40


b





P (a  X  b)  P ( A)  f ( x)dx  f ( x)dx a

A

b

Como

 f ( x)dx toma el mismo valor, ya sea el intervalo abierto, cerraa

do, o abierto a la derecha o a la izquierda, tenemos

P (a  X  b)  P (a  X  b)  P (a  X  b)  P (a  X  b)

Así, la integral en un punto es 0; por lo tanto P ( X  a )  0 para cualquier número a . Si A no es un intervalo simple sino la unión de un número finito de interva A  A1  A2  ...  Ak donde los no superpuestos, es decir que

Ai  Aj   para todo i  j , y donde Ai   x : ai  x  bi  , resulta que. P ( A)  P ( A1  A2  ...  Ak )  f ( x)dx



A

  f ( x)dx   f ( x)dx  ....   f ( x)dx A1

A2

Ak

b1

b2

bk

a1

a2

ak

  f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx Da la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté comprendido entre a1

y

b1 , a2

y

b2 …. O entre ak y bk . En esencia,

esto establece que la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria pertenezca a un conjunto Manuel Hurtado Sánchez

A es 41

el área comprendida entre

y f(x)

el eje X


sobre el conjunto. La función de densidad f(x) puede obtenerse mediante un proceso empírico ajustando una curva sobre un histograma de frecuencias o a trasvés de un razonamiento lógico. Si el suceso A es todo el eje X, P(A) debe ser igual a 1, y se tiene que







f ( x)  1

Por lo tanto, cualquier función f puede servir como función de densidad de una variable aleatoria X si satisface las condiciones: 

i)



ii)

f ( x)  0



f ( x)  1

  x  

Naturalmente, en un problema particular de aplicación, se elegirá f de tal forma que, para todo a y b (a < b)

P (a  X  b) 

b

 f ( x)dx a

Represente la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X se halle comprendido entre a y b. Cualquier función positiva en un dominio elegido arbitrariamente puede considerarse como una función de densidad de una variable aleatoria, siempre que la función esté multiplicada por una constante que haga que su integral sea igual a uno. Así por ejemplo, la siguiente función es una función de densidad:

f ( x)  0 3  2 X  18

x  2

2  x  4

=0


x ≥ 4

42


Verificación de las propiedades: i)

El valor de la función es positivo o cero

ii)

La integral en todo el recorrido es igual a 1.







f ( x) 



2

0dx 





4

2

3  2 x dx  18





4

0dx

 0 1 0 = 1 Además la probabilidad de que el valor de la variable caiga por ejemplo en el intervalo 2 < X < 3 es:

P (2  X  3) 


3



2

3  2 x 4 dx  18 9

43


6. Valores esperados de variables aleatorias continuas 1) Valores esperados: El valor esperado de una variable aleatoria o de cualquier función de una variable aleatoria es un número real -que puede o no ser un posible valor de la variable aleatoria- al cual tienden los valores de dicha variable en el largo plazo, y representa el centro de masa la distribución de dicha variable. Se obtiene hallando el valor medio de la función para todos los valores posibles de la variable. La definición matemática del valor esperado es:

Definición: Sea X una variable aleatoria continua con densidad f(x). el valor esperado de X, E(X) es

E ( x) 







xf ( x)dx

Esta cantidad se define como el valor esperado solo si es absolutamente convergente. Si no lo son, decimos que el valor esperado de X no existe.

Ejemplo Consideremos la variable aleatoria X cuya función de densidad está dada por: f ( x) 

1 5  x  4

Para todo 2 < X < 4

Entonces su valor esperado será:

1 1 E ( x )  xf ( x )dx  x. 5  x dx  2  4 4



E ( x ) 





1 4 1 5 xdx  4 2 4



4



4

2

4

x 2 dx

4

1  x 2  1  x3    5     4  2 2 4  3  2


44

4

 5 x  x dx 2

2


1  42 22  1  43 23    5       4  2 2  4  3 3  1 12  1  56    5     4  2  4  3 




17 6

 2.8333

45


Laboratorio N° 4 1.

La densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X esta dada por:

f ( x) 

1 5

Para 2 < x < 7

0

En cualquier otra parte

a) Dibuje su gráfica y verifique que el área total bajo la curva (arriba del eje x) es igual a 1. b) Encuentre P(3 < x < 5) 2.

La cantidad real de café(en gramos) en un frasco de 230 gramos que llena cierta maquina es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad esta dad por

f ( z ) 

0

Para x ≤227.5

1 5 0

Para 227.5 < x< 232.5 Para x≥ 232.5

Encuentre las probabilidades de que un frasco de 230 gramos que llene esta máquina tendrá a) Cuando mucho 228.65 gramos de café b) Cualquier cantidad entre 229.34 y 231.66 gramos de café c) Al menos 229.85 gramos de café 3.

El número de minutos que en vuelo de Phoenix a Tucson se adelanta o se atrasa es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad esta dad por: f ( x) 

1 (36  x 2 ) 288 0

Para -6 < x < 6 En cualquier otra parte

Donde los valores negativos son indicativos de que un vuelo llega adelantado y los valores positivos son indicativos de que llega con retraso. Encuentre las probabilidades de uno de estos vuelos llegara:


46


a) Al menos 2 minutos adelantado, b) Al menos 1 retrasado, c) Cualquier tiempo entre 1 y 3 minutos adelantado, e) Exactamente 5 minutos de retrasa 4.

La vida en el anaquel (en horas) de un alimento empacado perecedero es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad esta dad por:

Para x > 0

20000 3 100 x    f ( x) 

0

En cualquier parte

Encuentre las probabilidades que uno de estos paquetes tendrá una vida en el anaquel de: a) La menos 200 horas b) A lo más 100 horas c) Cualquier tiempo entre 80 y 120 horas 5.

En una cierta ciudad el consumo diario de agua(en millones de litros) es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por:  x

f ( x) 

1 xe 3 9 0

Para x > 0 En cualquier otra parte

¿Cuáles son las probabilidades de que en un día dado a) El consumo de agua en esta ciudad no sea mayor de 6 millones de litros b) El abastecimiento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de esta ciudad es 9 millones de litros? 6.

La duración de vida total (en años) de perros de cinco años de edad de una cierta raza es una variable aleatoria cuya función de distribución está dada por: Para x ≤5

0 f ( x)  1  25 x 2

Para x > 5

Encuentre las probabilidades de que un perro como esos de cinco años de edad vivirá a) Más allá de los 10 años,


b) Menos de 8 años y c)Entre 12 y 15 años

47


3° UNIDAD:

DISTRIBUCIONES ESPECIALES

1. La distribución Binomial: Sea  un experimento aleatorio de Bernoulli, es decir que tiene las siguientes características: i. Solo admite dos resultados posibles, el suceso E = Éxito y el suceso F = Fracaso ii. Ambos resultados o sucesos son independientes iii. La probabilidad de obtener un éxito P(E) = p se mantiene constante en cualquier ejecución del experimento aleatorio, donde 0≤ p ≤ 1

Definimos la variable de Bernoulli x como 1 : Éxito (E) xi  0 : Fracaso (F) Y su función de cuantía será: p si xi  1 P ( xi )  q si xi  0

para todo

0≤ p ≤ 1

para todo q = 1 – p

y

p+q=1

Con lo cual es fácil notar que el valor esperado de esta variable es E ( xi )  p y su varianza V ( xi )  pq Si el experimento  se puede repetir n –veces, (n ≥ 2) y definimos la variable aleatoria: X  x1  x2  ...  xn 

n

x i 1

i

Es decir que: X = Número de éxitos en las n-repeticiones del experimento de Bernoulli  . Esta variable así definida es discreta y se llama vari able aleator ia Bi nomial , la cual sigue la ley de probabil idades Bi nomi al , caracterizada por: Rango de la variable X: R X  0, 1, 2, 3, .... , n 0  p 1

X ~  n  Función de cuantía: P ( X  x)  p( x)    p x q n x  x 

donde

q  1  p

Esta distribución se suele denotar como: X ~ B(n, p) donde n y p son conocidos como los parámetros de la distribución binomial y vienen a ser n = número de veces que repite el experimento de Bernoulli  y p es la probabilidad de éxito en cada repetición dicho experimento.


48


Valor esperado: E(X) = np La varianza:

V(X) = npq

La forma de la función de cuantía depende del valor de p. Así por ejemplo para una Binomial con n=20 y tres valores de p=0.2, 0.5 y 0.8, tenemos que la función de cuantía es P(X = x) X

B(10, 0.20)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.107374182 0.268435456 0.301989888 0.201326592 0.088080384 0.026424115 0.005505024 0.000786432 7.3728E-05 4.096E-06

10 Σ

P(X = x)

B(10, 0.50)

B(10, 0.80)

0.000976563 0.009765625 0.043945313 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.043945313 0.009765625

1.024E-07 0.000004096 7.3728E-05 0.000786432 0.005505024 0.026424115 0.088080384 0.201326592 0.301989888 0.268435456

1.024E-07 0.000976563

0.107374182

1

1

Cuyas gráficas son:


P(X = x)

49

1


Ejemplo. Sea el experimento aleatorio  = Lanzar una moneda legal tres veces sobre una superficie regular , y deseamos estudiar la variable aleatoria X = Número de caras en dicho experimento.

El experimento de Bernoulli básico es  = Lanzar una moneda legal , en donde los posibles resultados son Ω = {C , S}, donde C = cara y S = Sello. En este espacio muestral, definimos la variable aleatoria de Bernoulli 1 : Cara (Éxito)

xi  0 : Sello (Fracaso) Con P(C) = P(X=1) = 0.5 = p y

P(S) = P(X=0) = 0.5 = 1 - p

Como el experimento aleatorio  se repite tres veces, el espacio muestral debe ser

  ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss  c, s3 ,

Entonces la variable aleatoria X = Número de caras al lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular se puede expresar como:

X  x1  x2  x3 

3

 x i 1

i

donde, cada xi

puede ser 0 ó 1, por lo que el

rango de esta variable será: R X  0, 1, 2, 3

La función de cuantía es: Rango de la variable X: R X  0, 1, 2, 3 X ~  3  Función de cuantía: P ( X  x)  p( x)   0.5 x  (1  0.5)3 x  x 


50


Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades:

Ejemplo 2:Una Agencia de Turismo, informa que un puente elevadizo en particular en su ruta, queda levantado bloqueando el tránsito de autos 20% del tiempo. Ud. Ha de pasar un auto por dicha ruta una vez al día en los próximos 7 días, y desea predecir el número de los mismos en que el puente estará en la posición elevada, cuando Ud. se acerque. a. Esta situación se adapta al modelo Binomial de probabilidades?. Explique por qué. b. Calcule la probabilidad de que el puente se halle levantado cada vez que Ud. se acerque. c. Cuál es la probabilidad de que esté en posición elevada exactamente en tres de sus siete viajes? d. Calcule la probabilidad de que esté elevado exactamente una vez. e. Calcule la probabilidad para todos los valores de la variable y grafíquelo.

f. Determine el valor esperado y desviación estándar del número de días en que encuentra el puente elevado.

SOLUCIÓN a). El experimento de Bernoulli básico es  = Transitar en auto una vez al día en la ruta en la cual existe un puente elevadizo , en donde los posibles resultados son Ω = {Elevado, Posición normal}. En este espacio muestral, definimos la

variable aleatoria de Bernoulli. 1 : Puente elevado (Éxito=E)

xi

 0

: Puente no elevado (Fracaso=F)

Con P(E) = P(X=1) = 0.2 = p y P(F) = P(X=0) = 0.8 = 1 – p = q Como el experimento aleatorio  se repite siete veces, el espacio muestral debe ser    E , F  , Entonces la variable aleatoria X = Número de días a la semana que encuentra el auto encuentra el puente elevado se puede expresar como: 7


51


X  x1  . . .  x7 

7

 x i 1

donde cada xi

i

puede ser 0 ó 1, por lo que

el rango de esta variable será: R X  0, 1, . . . , 7 Esta variable seguirá una distribución Binomial B(7, 0.2), cuya función de cuantía es: Rango de la variable X: R X  0, 1, . . . , 7 X

~  7  Función de cuantía: P ( X  x)  p( x)     0.2 x  0.8 7  x  x 

 7  b) P ( X  7)  p(7)     0.2 7  0.8 77  0.000013  7   7  c) P ( X  3)  p(3)     0.2 3  0.8 73  0.114688  3 

e) Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades: P(X = x) X

P(X ≤ x)

B(7, 0.20)

0 1 2 3 4 5 6 7

F(x)

0.209715 0.367002 0.275251 0.114688 0.028672 0.004301 0.000358 0.000013

0.209715 0.576717 0.851968 0.966656 0.995328 0.999629 0.999987 1

1

Σ

B(7, 0.20) 0.400000 0.300000 0.200000 0.100000 0.000000 0

1

2

3

4

5

6

7

f) E(x) = n.p = 7 x 0.2 = 1.4 veces DE ( x)  npq  7  0.2  0.8  1.12  1.0583

La Distribución Binomial también aparece cuando de un lote o población finita de N elementos, de los cuales A de estos elementos poseen una cua Manuel Hurtado Sánchez

52


lidad específica en estudio y el resto (N –A) no lo poseen, se seleccionan n elementos usando un muestreo con reemplazo, tal que n < A. En este contexto se define la variable aleatoria X = Número de elementos en la muestra que poseen la cualidad específica en estudio . Esta variable sigue una Distribución Binomial con parámetros n y p, donde n es el tamaño de muestra y p es la probabilidad de obtener un elemento que tenga la cualidad en estudio en cualquier extracción de los elementos de la muestra, usando un muestreo con reemplazo (p = A/N). M.C.R. Muestreo con

Muestra (n)

Reempla-

X = Número de elementos en la muestra que poseen la cualidad específica en estudio

Población (N) A = N° de elementos en la pobla-

~ B(n, p)

ción que tienen la cualidad en estu-

Donde

p = A/N

Nota: Si el muestreo fuera sin reemplazo pero se tiene la fracción de muestreo f 

n 0 N

(en la práctica se considera que la fracción de

n  0.05 ) entonces se puede con N siderar que variable aleatoria X = Número de elementos en la muestra que po seen la cualidad específica en estudio, se distribuye aproximadamente como f 

muestreo tiende a cero cuando

una Binomial con parámetros n y p, donde se asume que p permanece aproximadamente constante debido a que la fracción de muestreo es menor al 5% ( f < 0.05).

Ejemplo 3: Un fabricante de marcos de ventana sabe por larga experiencia que el 10% de la producción tendrá algún tipo de defecto que requerirá un ligero reajuste. a) ¿Cuál es el número esperado de marcos defectuosos en la muestra? b). ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos de ventana, de un lote de 500: i. Ninguno necesite arreglo? ii. Por lo menos 1 requerirá arreglo? iii. Más de 2 requerirá arreglo? iv. Elabore una gráfica de la función de cuantía. SOLUCIÓN Población N = 500 Muestra sin reemplazo n = 20 Fracción de muestreo f = n/N = 20/500 = 0.04 < 0.05 Probabilidad de obtener un marco defectuoso p = 0.10

(Asumimos constante de-

bido a que la fracción de muestreo f < 0.05).

Variable aleatoria: X = Número de marcos defectuosos en la muestra Manuel Hurtado Sánchez

53


La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), Rango Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …., 20}

X ~

 20  20 x x P ( X )  p( x)   0.1 .0.9  x  a) Número esperado de defectuosos en la muestra: E(x) = n.p = 20 x 0.1 = 2

b) i. ii. iii.

 20  0.10 .0.9200  0. 920  0.12157665  0 

P ( X  0)  p(0)  

P ( X  1)  1  P ( X  0)  1  0.12157665  0.87842335 P ( X  3)  1  P ( X  2)  1  0.67692681  0.32307317

P ( X  3)  1   P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2)



P ( X  3)  1  0.121576655  0.270170344  0.285179807  P ( X  3)  1  0.676926805   0.323073195

Distribución B(20, 0.1) B(20, 0.10) X

X ≤2

X≥3

P(X = x)

0

0.121576655

0.121576655

1

0.270170344

0.391746998

2

0.285179807

0.676926805

3

0.190119871

0.867046677

4

0.089778828

0.956825505

5

0.031921361

0.988746866

6

0.008867045

0.997613911

7

0.001970454

0.999584365

8

0.000355776

0.999940141

9

5.27076E-05

0.999992849

10

6.44204E-06

0.999999291

11

6.50711E-07

0.999999942

12

5.4226E-08

0.999999996

13

3.70776E-09

1

14

2.05987E-10

1

15

9.15496E-12

1

16

3.1788E-13

1

17

8.3106E-15

1

18

1.539E-16

1

19

1.8E-18

1

20

1E-20

1

Total


P(X ≤ x)

1

54

P(X ≤ 2)

P(X ≥ 3) = 1-P(X ≤ 2) = 1 –0.676926805 = 0.323073195


2. La distribución Hipergeométrica: Sea N una población finita formada por un número pequeño de individuos, objetos o medidas, de los cuales una parte A de estos elementos tienen una cualidad que estamos interesados en estudiar. Considere que de esta población se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazamiento tamaño n. M.S.R. Muestreo Sin Reemplazo

Muestra (n)

X = Número de elementos en la muestra que poseen la cualidad específica en estudio

Población (N) A = N° de elementos en la población

~ Hipergeométrica:

que tienen la cualidad en estudio

Variable aleatoria: X = Número de elementos en la muestra La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), X

~

Rango: Rx = {Máx{0, n-(N- A)}, …., Mín{n, A} }  A  N  A      x n x  Función de cuantía P ( X  x)  p( x)     N     n 

Valor Esperado: E ( X )  Varianza:

nA N

 N  n  nA  A   1   N 1    N  N 

V ( X )  

Desviación estándar: DE  X   V  X 


55


Ejemplo1 Un profesor tiene 15 preguntas de opción múltiple referente a distribuciones probabilísticas. Cuatro de estas interrogantes se relacionan con la distribución hipergeométrica. Cuál es la probabilidad de que al menos una de tales preguntas sobre la distribución hipergeométrica, aparezca en el examen de 5 preguntas del próximo lunes?. Cuál es el número esperado y desviación estándar del número de preguntas sobre la distribución hipergeométrica SOLUCIÓN N = 15 A = 4 n=5 X = Número de preguntas relacionadas con la distribución hipergeométrica La distribución de X es:

X

RX: {0, 1, 2, 3, 4=A}

~

 4  11     x 5 x   P ( X  x)  p( x)     15     5  Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ? P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)  4  15  4 

   0 5 0    1  0.1538  0.8462 P ( X  1)  1     15     5 

E ( X ) 

nA N



5 4 15

DE  X   V  X  



4 3

 1.33

44  15  5  5  4  1 4   0.6984127  0.8357        15 1 15 15 63    

Ejemplo 2. Considere que una población consiste de 15 artículos, 10 de los cuales son aceptables. Se selecciona una muestra de 4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean aceptables? c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno sea aceptable?


56


SOLUCIÓN N = 15 A = 10 n=4 X = Número de artículos aceptables en la muestra La distribución de X es:

X

~

RX: {0, 1, 2, 3, 4 = n}  10  15  10     x  4  x   P ( X  x)  p( x)   15     4 

a) Se pregunta por: P(X = 3) = ?  10  15  10     3  4  3   P ( X  3)   0.4396  15     4 

b) Se pregunta por: P(X = 4) = ?  10  15  10     4  4  4    0.1538 P ( X  4)   15     4 

c) Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ? P(X ≥ 1) = 1- P(X = 0)

 10  15  10     0  4  0    1  0.0037  0.9963 P ( X  1)  1  P ( X  0)  1   15     4 

Ejemplo 3. Una florería tiene 15 camiones de reparto que se utilizan principalmente para entregar flores y arreglos florales en su ámbito de influencia. Suponga que 6 de los 15 vehículos tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco camiones al azar para probarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los vehículos examinados tengan frenos defectuosos?.


57


SOLUCIÓN N = 15 A = 6 n=5 X = Número de vehículos con defectos en los frenos. La distribución de X es:

X

RX: {0, 1, 2, 3, 4, 5 = n}

~

 6  15  6     x 5 x   P ( X  x)  p( x)     15     5  Se pregunta por P(X = 2 ) = ?  6  15  6   6  9         2 5 2    2  3   0.41958 P ( X  2)  p(2)     15   15      5    5 

3. La distribución de Poisson: Sea una variable aleatoria X = Número de ocurrencias por unidad de medición (minuto, hora, centímetro, metro cuadrado, etc,) de la cual se conoce la tasa media de ocurrencias por unidad denotada por λ, la cual se mantiene constante d urante el período de estudio. Esta variable sigue una distribución de Poisson, la cual debe su nombre a su creador, el Matemático Francés Simenon Poisson (1781 –1840). La distribución de Poisson tiene como parámetro a la tasa media de ocurrencias λ, y mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo o espacio. La distribución de Poisson tiene los siguientes supuestos para su aplicación: La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio. La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de otro intervalo cualquiera.

 



Dados estos supuestos, la distribución puede expresarse como: X

~

Rango: Rx = {0, 1, 2, 3, 4, …. } Función de cuantía P ( X  x)  p( x) 

e   x x!

X : Número de veces que ocurre el evento  : Número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio

(o tasa promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio) e  2.71828 Base del logaritmo natural


58


Valor esperado: E[x] = λ Varianza : V[x] = λ La forma de esta distribución va cambiando con el valor de su parámetro λ X

P(X: λ =0.8)

P(X: λ=2.5)

P(X: λ=5)

P(X: λ=10)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0.44933 0.35946 0.14379 0.03834 0.00767 0.00123 0.00016 0.00002

0.082084999 0.205212497 0.256515621 0.213763017 0.133601886 0.066800943 0.027833726 0.009940617 0.003106443 0.000862901 0.000215725 4.90285E-05

0.006737947 0.033689735 0.084224337 0.140373896 0.17546737 0.17546737 0.146222808 0.104444863 0.065278039 0.036265577 0.018132789 0.008242177 0.00343424 0.001320862 0.000471736 0.000157245 4.91392E-05

4.53999E-05 0.000453999 0.002269996 0.007566655 0.018916637 0.037833275 0.063055458 0.090079226 0.112599032 0.125110036 0.125110036 0.113736396 0.09478033 0.072907946 0.052077104 0.03471807 0.021698794 0.012763996 0.007091109 0.003732163 0.001866081 0.00088861 0.000403914 0.000175615 7.31728E-05

La distribución de probabilidades Poisson a menudo proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad para el número “X” de eventos

poco comunes que se presentan en el espacio, tiempo, volumen o cualquier otra dimensión, donde λ es el valor promedio de “X”. Así tenemos

que, esta distribución proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad del número X de accidentes automovilísticos, industriales u Manuel Hurtado Sánchez

59


otra clase de accidentes que ocurren en cierta unidad de tiempo. El número de llamadas telefónicas que atiende un conmutador en un intervalo, el número de partículas radioactivas que se desintegran en cierto período, el número de errores que una mecanógrafa comete en una cartilla, el número de vehículos que doblan en un sentido específico en una bifurcación de la vía rápida en un intervalo de 10 minutos, son otros ejemplos de variables aleatorias con una distribución aproximada a la de Poisson.

Ejemplo 1: Supongamos que estamos interesados en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en cualquier hora dada) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 80 0 clientes han entrado al negocio. Por lo tanto λ = 10 clientes por hora. SOLUCIÓN X = Número de clientes por hora que ingresan al negocio. E[X] = λ = 10 clientes por hora

La distribución puede expresarse como: X ~

Rango: Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. } e1010 x Función de cuantía P ( X  x)  p( x)  x!

e10105 P ( X  5)  p(5)   0.0378 5!

Otros cálculos

P ( X  5) 

5



x  0

e

10

105  0.067085 5!

P  X  5  1  P ( X  5)  1  0.067085  0.93915 P 7  X  14  P ( X  14)  P  X  6  0.91654  0.13014  0.78640

Ejemplo 2. Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con el municipio para hacer mantenimiento a las vías del centro de la ciudad. Las vías recientemente pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por Km., después de haber sido utilizadas durante un año. Si el municipio sigue con esta compañía de pavimentación, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten tres defectos en cualquier kilómetro de vía después de haber tenido tráfico un año?.


60


SOLUCIÓN X = Número de defectos por kilómetro de vía. E[X] = λ = 2 defectos por kilómetro

La distribución puede expresarse como: Rango: Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. }

X ~

Función de cuantía P ( X  x)  p( x)  P ( X  3)  p(3) 

e2 23

3!

e2 2 x x!

 0.1804

Nota: Si lo que se desea es conocer la probabilidad de que ocurran X eventos en un intervalo de tiempo “t”, múltiplo del intervalo unitario de referencia de λ, entonces la función de cuantía se modifica en su parámetro por λt, que-

dando de la siguiente manera. X = Número de eventos por un intervalo de tiempo “t”. E[X] = λt

La distribución puede expresarse como: Rango: Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. }

X ~

e t ( t ) x Función de cuantía P ( X  x)  p( x)  x!

Ejemplo 3. Suponga que en el ejemplo anterior sobre los defectos de pavimentación, deseamos calcular la probabilidad de que se presenten cinco defectos en un intervalo de tres kilómetros de vía después de haber tenido tráfico un año.

SOLUCIÓN X = Número de defectos por cada tres kilómetros de vía. E[X] = λt = 2x3 =6 defectos por cada tres kilómetros La distribución puede expresarse como: X

~

Rango: Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. } e23  (2  3) x e6 6 x Función de cuantía P ( X  x)  p( x)   x! x!

P ( X  5)  p(5) 


e5 65

5!

 0.16062

61


4.

Propiedades de la distribución de Poisson: a. Si X es una variable con distribución de Poisson con parámetro λ y Y es otra variable también con distribución de Poisson pero

con parámetro µ, entonces la suma de estas variables generan una nueva variable Z = X + Y con la misma distribución de Poisson, pero con parámetro dado por (λ + µ).

X

: Z = X + Y

:

Y:

b. Sea Z una variable aleatoria con distribución de probabilidades Poisson con parámetro λ. Sea “p” una probabilidad de que la v ariable Z adquiera un atributo particular y “(1 -p)” es la probabilidad

de que no lo adquiera, entonces se generan dos variables X y Y con la misma distribución de Poisson cada una de ellas, pero con parámetros (pλ) y (1-p)λ respectivamente.

Estas dos características son conocidas como la propiedad de reproducción de la distribución de Poisson.

X ~ P( Z

~

Y ~ P( (1-


62


Ejemplo: El siguiente gráfico se muestra un flujo de tráfico en una zona urbana, en donde el número de vehículos que pasan por un punto dado en un intervalo de tiempo unitario sigue una distribución de Poisson con sus correspondientes parámetros en cada una de los sectores de las vías. Estos parámetros son deducidos usando la propiedad de reproductividad de la Distribución de Poisson.

5.

Aproximación de la distribución de Poisson a la Binomial:

Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n y p, es decir que X  Bn, p  . Cuando n   y np

p  0

tal que el producto

se mantiene constante, el cual lo denotamos por  , es decir que

  np ;

entonces la distribución Binomial Bn, p

puede ser suficiente-

mente bien aproximada por la distribución de Poisson con parámetro   np . p  0

en la práctica se considera que n   cuando

n  30 y

que

cuando p  0.05 . A continuación se muestra dos ejemplos de la

aproximación Poisson a la Binomial. La única ventaja de usar la distribución de Poisson en lugar de la Binomial es por facilidad de cómputo.


63


λ = 50*0.02= 1

X

B(50, 0.02)

P(λ=1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.364170 0.371602 0.185801 0.060670 0.014548 0.002732 0.000418 0.000054 0.000006 0.000001 0.000000

0.367879 0.367879 0.183940 0.061313 0.015328 0.003066 0.000511 0.000073 0.000009 0.000001 0.000000

λ = 200*0.03= 6


X

B(200, 0.03)

P(λ=6)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0.002261 0.013987 0.043043 0.087860 0.133828 0.162250 0.163086 0.139788 0.104301 0.068817 0.040652 0.021716 0.010578 0.004731 0.001955 0.000750 0.000268 0.000090 0.000028

0.002479 0.014873 0.044618 0.089235 0.133853 0.160623 0.160623 0.137677 0.103258 0.068838 0.041303 0.022529 0.011264 0.005199 0.002228 0.000891 0.000334 0.000118 0.000039

64


19 20

0.000008 0.000002

0.000012 0.000004

Por lo tanto es fácil deducir que para las condiciones especificadas anteriormente de una distribución Binomial, podría utilizarse la Distribución de Poisson como una distribución aproximada, con la cual se obtendrán probabilidades suficientemente próximas a su valor verdadero Binomial.

Ejemplo: Un vendedor de productos electrónicos espera que el 2% de las unidades vendidas fallen durante el período de garantía. Se hace un seguimiento de 500 unidades independientes para determinar su desempeño durante el tiempo de garantía. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las unidades fallen durante el período de garantía? b) Cuál es el número esperado de unidades que fallan durante el período de garantía? c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen más de dos unidades durante el período de garantía?

SOLUCIÓN X = Número de unidades que fallan en periodo de garantía. n = 500 : Número de unidades en el período de garantía p = 0.02 : Probabilidad de que una unidad falle en el período de g arantía


65


La distribución verdadera de X ~ B(500, 0.02), Como n   y

p  0

,

Entonces se puede usar la distribución de Poisson como una distribución aproximada, así: X ~ Poisson con   np  500  0.02  10 Por lo tanto: a)

e10  (10)0 P ( X  0)   0.000045 0!

El valor de esta probabilidad con su distribución verdadera es  500  (0.02)0 (0.98)500  0.000041  0 

P ( X  0)  

La ventaja de usar la distribución aproximada es solamente por facilidad de cómputo. b) c)

E  X     np  500  0.02  10 P ( X  2)  1  P  X  2  1 

2



x  0

e10  (10) x x!

P ( X  2)  1  0.000045  0.000454  0.002270  P ( X  2)  1  0.002769 

P ( X  2)  0.997231


66


Laboratorio 5

1. En una encuesta sobre corretaje reporta que el 30% de los inversionistas individuales ha utilizado a un corredor de descuento; esto es, uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra seleccionada al azar de nueve inversionistas, ¿Cuál es la probabilidad de que: a. Exactamente dos de los individuos de la muestra hayan empleado a un corredor de descuento? b. Exactamente cuatro de ellos hayan utilizado a un corredor de este tipo?. c. Entre tres y cinco individuos inclusive hayan utilizado a un corredor de este tipo? d. Más de cinco individuos hayan utilizado un corredor de este tipo? 2. Un estudiante debe obtener por lo menos el 60% de respuestas correctas en un examen con 18 preguntas diseñadas cada con dos alternativas de verdadero o falso. Si el estudiante lanza una moneda para determinar la respuesta a cada pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante pase? 3. Como subgerente de una empresa de materias primas Ud. debe contratar a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen título universitario. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que Ud. contrate tengan título universitario? 4. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados a Japón a estudiar un nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente? 5. A un conmutador de la oficina principal de una empresa llegan llamadas a un promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distri-


67


bución de Poisson. Si el operador está distraído por un minuto, cuál es la probabilidad que el número de llamadas no respondidas sea: a. ¿Cero?, b) ¿por lo menos una? Y c)¿Entre tres y cinco inclusive?

6. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presentan una tasa de defectuosos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a los distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de tres salgan defectuosos supera el 0.3, Ud. planea vender en su lugar, camisetas Gratefull Dead. ¿Cuál artículo agregará ud. al inventario? 7. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Lima que tiene tres defectos por cada 100 partes. Ud. está en el mercado para comprar 150 partes pero no aceptará una probabilidad de más de 0.50 de que más de dos partes sean defectuosas. ¿Ud. le comprará a dicho proveedor? 8. La cantidad promedio de automóviles que pasan por un túnel es de uno cada periodo de 2 minutos. El paso de muchos vehículos en un período breve hace que sea peligroso recorrerlo. Determine la probabilidad de que el número de automóviles que pasan por allí durante un período de 2 minutos sea superior a tres. 9. Un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en una sola entrevista con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se acerca a 100 posibles clientes, ¿cuál es la probabilidad de hacer por lo menos una venta?


68


6. La distribución Exponencial: La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que: 

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t , hasta que ello ocurra en un instante t f, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son: 





El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C 14; El tiempo que puede transcurrir para la llegada de un cliente a una estación de servicio como por ejemplo, Tiempo entre llegadas de buses a un grifo de gasolina. En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos llegadas de clientes a una ventanilla.

Concretando, si una v.a. continua T distribuida a lo largo de función de densidad es

, es tal que su

f (T )   e T para todo   0 y T  0 Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro

, T  Exp( ) .

Un cálculo inmediato nos dice que si x > 0,

F ( x)  P ( X  x)  Manuel Hurtado Sánchez

x



0

x

 e  t dt  e  t ]  1  e  x

69

0


luego la función de distribución es:

Valor esperado: E(X):

E (T ) 

Varianza V(X): V (T ) 

1 

1  2

1. Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de empresas individuales de res ponsabilidad limitada (EIRL) sigue una distribución exponencial con una media o valor esperado igual a: E(T) = 16 años. a. ¿Cuál es la probabilidad de que a una de estas empresas tenga un tiempo de vida menor a 20 años? b. Si la empresa lleva funcionando normalmente 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que función menos de 25 años? Solución: Sea T la variable aleatoria que

mide la duración de la empresa. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar


70


Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria". Ejem 2: Considerando que en el proceso de llegadas de pasajeros a un parade-

ro de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 4 minutos, encontrar la probabilidad de que: a) No lleguen pasajeros en un intervalo de 5 minutos b) No lleguen pasajeros en un intervalo de 8 minutos Ejem. 3 Considerando que en el proceso de llegadas de buses a un paradero

de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 5 minutos. a) Encuentre la probabilidad de que no lleguen buses en un intervalo de 8 minutos b) Suponga que Ud. llega al paradero justo cuando acaba de salir el último bus y al preguntar al controlador de la empresa de buses, éste le informa que el valor esperado de tiempo entre llegada de buses es de 5 minutos. Ud. se forma una expectativa que el próximo bus tardará 5 minutos en llegar al paradero y si no llega en este tiempo Ud. empieza a mortificarse. ¿Cuál es la probabilidad que se sienta mortificado? c) Con relación a la parte (b), ¿Cuál es el tiempo entre llegadas de buses, que debe indicar el controlador de la empresa, a los pasajeros que como Ud. llegan justo cuando acaba se salir el último bus, para que solo el 10% de pasajeros se puedan sentir mortificados?


71


7. Distribución Normal 1. Distribución normal o campana de Gauss-Laplace

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal 







  

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plan-

tas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, diámetros, perímetros,... ) Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

FUNCIÓN DE DENSIDAD El modelo de la función de densidad que corresponde a la distribución normal viene dado por la fórmula de Gauss: f ( x) 

1

 2



e

 x   2 2 2

Donde:

  media

  3.14159265 ...

  Desviacion estándar

e  2.718281828 ...

 2  Varianza

x  var iable

aleatoria

La representación gráfica de esta función de densidad es:


72


Propiedades de la función de densidad Normal i. Rango de X: Conjunto de los números reales 1  :    ,    2  Dos puntos de inflexión: en X     y X     Es asíntota El eje horizontal X Simétrica respecto a la media  Numéricamente coinciden   Me  Mo Aproximadamente: P (     X     )  0.6827

ii. La función de densidad tiene un máximo en iii. iv. v. vi. vii.

P (   2  X    2 )

 0.9545

P (   3  X    3 )

 0.9973

viii. Monotonía: creciente ( ,  ) , decreciente (  , ) ix. Es siempre positiva f ( x)  0 La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su varianza y la representamos así N( μ, σ2). Para cada valor de μ y σ2 tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N(μ, σ2) representa una familia de distribuciones normales.


73


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN La función de distribución está definida por: P ( X  x)  F ( x) 

x



  

1 2



e

t   2 2 2

dt

Tiene las siguientes propiedades de la función de distribución: 1. F(x) es continua 2. F(x) es monótona no decreciente. 3. F(-∞) = 0 y F(+∞) = 1

F(x) es el área sombreada de esta gráfica

TIPIFICACIÓN ESTANDARIZACIÓN X   y 0 sigue también una distribución normal pero con   0 y   1 , es decir N (0,1)

Si la variable X es N (  ,  ) entonces la variable tipificada de X es Z 

Por tanto su función de densidad es z 2

f ( z ) 

1 2 e 2

;

   z  

y su función de distribución es


74


1° UNIDAD:

PROBABILIDADES

1. Experimento aleatorio [ ξ ]: Es cualquier realización que puede presentarse de distintas maneras, pero que en el momento de su realización se presenta de una única forma. También podemos decir que un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.

Ejemplos. ξ1 : Lanzar una moneda ξ2 : Lanzar un dado ξ3 : Contar las imperfecciones de un metro de tela. ξ4 : Inspeccionar la calidad de un producto ξ5 : Resultado de una operación financiera ξ6 : Observar si una persona que pasa delante de un establecimiento comercial decide ingresar a éste . ξ7 : Observar si una persona que ingresó a un establecimiento comercial compró algo. ξ8 : Observar la velocidad de lectura de un estudiante ξ9 : Medir la presión arterial de un paciente ξ10 : Medir la temperatura de un paciente En todos estos ejemplos, es fácil darnos cuenta, que si los experimentos se repiten varias veces se pueden obtener resultados diferentes, incluso en el último ejemplo siempre habrá la posibilidad de observar cambios en las mediciones aun cuando sean muy pequeños, estos siempre estarán presentes. En algunos casos los cambios en las mediciones podrían ser tan pequeños que fácilmente se pueden considerar como despreciables, en cambio en otros casos los cambios podrían ser tan fuertes al grado que las conclusiones del experimento no son muy evidentes.

2. Espacio muestral [ Ω ] . En un conjunto matemático, cuyos resultados están asociados a cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, mediante la relación epiyectiva, es decir que, Cada resultado del experimento aleatorio está asociado con un único elemento del espacio muestral y





Cada elemento del espacio espacio muestral está asociado con al menos un resultado posible del experimento experimento aleatorio.


2


5. Para el experimento experiment o del resultado de una operación financiera. Aquí el interés será si el que hace la operación financiera, gana, solo recupera su inversión o pierde: Ω = { G, R , P } ; donde G = Gana ; R = Recupera ; P = Pierde

6. Para el experimento experiment o de observar si una persona que pasa frente a un establecimiento comercial, decide entrar o no ha dicho establecimiento. Aquí el interés será si la persona entra o no entra al establecimiento comercial: Ω = { E , NE } ; donde E = Entra ; NE = No entra

7. Para el experimento experiment o de observar si una persona que ingresó a un establecimiento comercial, decide comprar algo o no. Aquí el interés será si la persona compra algo o no compra: Ω = { C , NC } ; donde C = Compra algo ; NC = No compra algo

8. Para el experimento experimento de observar observar la velocidad de lectura lectura de un estudiante. estudiante. Aquí el interés es el número de palabras leídas por minuto, el espacio muestral será: Ω = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, ….. } = Conjunto de los números naturales

9. Para el experimento experimento de de medir la presión arterial arterial de un un paciente. Aquí Aquí el interés serán dos número correspondientes a la presión diastólica y a la presión sistólica medidos en milímetros de mercurio: Ω = { Ps / Pd ϵ N}; donde Pd = Presión diastólica diastólica (mmHg) Ps = Presión sistóli-

ca (mmHg) N = Conjunto de los números Naturales

10. Para el experimento de medir la temperatura de un paciente. Aquí el interés será conocer la temperatura del paciente: Ω = { T / T ϵ R}; donde T = Temperatura del paciente (grados centígrados)

R = Conjunto de los números reales

3. Evento [ A ]: Definimos como evento a cualquier subconjunto del espacio muestral, incluido el mismo espacio muestral Ω y el conjunto vacío Φ. Los eventos pueden ser expresados por extensión o por compresión.

Ejemplo 1: En el espacio muestral del experimento de lanzar dos dados legales podemos definir los siguientes eventos : A1 = Sale el mismo número en ambos dados : Notación por compresión compresión A1 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} : Notación por extensión extensión A2 = Sale un 6 en el primer dado : Notación por compresión compresión A2 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} : Notación por extensión extensión A3 = La suma de puntos es menor que cinco : Notación por compresión compresión A3 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} : Notación por extensión extensión Manuel Hurtado Hurtado Sánchez Sánchez

4


A2

(1,1) (2,1)  (3,1)    (4,1) (5,1)  (6,1)

A1 (1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(1,6) 

  (3,6)   (4,6)  (5,6)  (6,6)   (2,6)

A3

Ejemplo 2: Para el experimento de medir la temperatura de un paciente, podemos definir los siguientes eventos: E1 = Tiene una temperatura menor a 37 °C E1 = {X / 0 ≤ X < 37} E2 = Tiene una temperatura entre 36 y 38 °C inclusive E2 = {X / 36 ≤ X ≤ 38} E3 = Tiene una temperatura superior a 38 °C E3 = {X / X > 38} Recordemos que el espacio muestral es

Ω = { X / X ϵ R+} ; donde X = Temperatura corporal de un paciente (°C),

R+ = Conjunto de los números reales positivos

E2 E1 0

E3 36 37

38

Ejemplo 3: Para el experimento de disparar a un blanco tres veces y si solo nos interesa si el disparo da o no en el blanco, el espacio muestral será el siguiente: Ω = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) }

Donde: 0 y 1 representen una falla y un acierto respectivamente.


5


El diagrama del árbol para construir el espacio muestral será: 1° Tiro

o 0

2| Tiro

1

o 0

3° Tiro

o 1

0

o 0

O

o 0

1 O

o 1

o

1

0

o

o

o 1

0

o

o

1

o

Podemos definir los eventos: M = La persona no acierta en el blanco tres veces seguidas

M = { (0,0,0) } N = La persona acertará una vez y fallará en dos ocasiones

N = { (0,0,1), (0,1,0), (10,0) }

3.1. Eventos especiales: Evento cierto  : Es aquel que cuando se realiza el experimento aleatorio, éste siempre ocurre, y viene a ser el mismo espacio muestral

Evento imposible  : Es aquel que cuando se realiza el experimento aleatorio, éste nunca puede ocurrir, y viene a ser el conjunto vacío, el cual no tiene elementos.

3.2. Operaciones con eventos: En muchas situaciones interesan eventos que en realidad son combinaciones de dos o más eventos, formados al tomar uniones, intersecciones y complementos; de aquí la necesidad de estudiar las operaciones que se pueden hacer con eventos. Como ya hemos dicho, que un evento es un subconjunto del espacio muestral y siendo el espacio muestral un conjunto asociado a todos los elementos del experimento aleatorio, es fácil deducir que existe un isomorfismo entre teoría de eventos y teoría de conjuntos, es decir que todo lo que se cumple en conjuntos, se cumple también en eventos. Así podemos convenir en la siguiente manera de leer los eventos y representarlos usando diagramas de venn:

A

Ocurre el evento A

A’

No ocurre el evento A


6

A


A  B

Ocurre el evento A o el evento B

A  B

Ocurre el evento A y el evento B

A  B  

Los eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes

A  B

El evento A está contenido en el evento B

Ejemplo 1: Sea Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 },

A = {1, 3, 5, 7}, B = {6, 7, 8,

9}, C = {2, 4, 8}, y D = {1, 5, 9}. Los elementos que corresponden a los siguientes eventos usando el siguiente diagrama ven serán.

a. A  B = { 7 } b. ( A' B)  C = { 8 } c. B'C = { 1, 2, 3, 4, 5 } d. ( B'C )  D = {1, 5 } e. A'C = {2, 4, 8 } f.

( A'C )  D = ɸ


7


4. Probabilidad de un evento: Es un número real comprendido entre cero y uno [0 , 1], que expresa una medida del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento, antes que este ocurra. Existen dos enfoques para obtener la probabilidad de un evento, uno ob jetivo y otro subjetivo.

4.1. Enfoque Objetivo: En este enfoque la probabilidad de un evento puede entenderse como una medida real del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento antes que este ocurra. El enfoque objetivo se suele utilizar en aquellas situaciones en donde es posible que un experimento aleatorio pueda ser repetido muchas veces bajo las mismas condiciones, tal como ocurre en los juegos del azar o en fenómenos de Ingeniería En este enfoque, la probabilidad de un evento depende de la naturaleza del experimento aleatorio, por lo tanto tiene un único valor el cual debe ser calculado. Aquí podemos distinguir nuevamente dos clases de probabilidad, la probabilidad matemática o de Laplace y la probabilidad por frecuencia relativa 4.1.1. Probabilidad matemática o de Laplace: Esta probabilidad se basa en un modelo razonable del sistema que se estudia mediante un experimento aleatorio. Esta probabilidad se aplica en aquellas situaciones en que cada uno de los elementos del espacio muestral son equiprobables, es decir tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, cuando lanzamos una moneda legal, la probabilidad de obtener una cara es la misma que la probabilidad de obtener un sello [ P(C) = P(S) = 0.5 ], o cuando lanzamos lanzamos un dado legal, también tenemos que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados resultados es la misma, así: [ P(1) = P(2) P(2) = … = P(6) = 1/6 ].

La probabilidad matemática o de Laplace, de un evento A, se define como el cociente entre número de casos “igualmente probables” favorable a la ocurrencia de ese evento y el número todos de casos “igualmente probables”. P ( A)



N º de casos igualmente probables probables favor favorable abless al evento A

P ( A)



N ( A)

N º total de casos igualmente probables probables N ()

Nota: Tenga presente que una posibilidad no es una probabilidad, la probabilidad es una medida de la posibilidad.


8

Probab i Lida Des

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