1 CAPIT APITUL ULO O 4.6 4.6 2 LEY LEY UNIF UNIFOR ORME ME DISCR DISCRET ETA A EJERCICIO 4: 4 :6 : 1 pag134 pag 134
Un reloj automático registra la hora a la cual llegan los empleados de una o…cina, o…cina, en horas horas y minuto minutoss comple completos tos.. Una persona persona puede puede atrasarse hasta 59 minutos luego de la hora pre…jada para entrar, caso contrario se le considera como falta. Por cada minuto de atraso se le cobra una multa de 50 centavos. Si los tiempos de atraso se consideran aleatorios: a)¿Cúanto esperará una persona que se le descuente por un día que se atrasó? b)Si en la o…cina hay 8 personas, que se atrasaron 2 veces al mes cada una, ¿cúanto sera el descuento global esperado a estos empleados de la o…cina? Planteamiento del problema Datos: Variable aleatoria: X numero de personas atrazadas la variable aleatoria n : minutos de atraso m : dinero por atraso d : dias por atraso s=h : s=h : numero personas Hallar E ( E (X ) =?
Como Tabla de distribución: Dist Distrribuc ibucio ion n Nottacio No acion n E(X) Var(X) Fun. un. de dens densid idad ad n+1 n2 +1 Uniforme discreta U ( U (n) f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) = n1 2 2 Solucion: 59+1 a)E ( E (X ) = n+1 = 30 minutos 2 = 2 m = 30 0:50 = 15: 15:0 dolares de atraso de una persona por día. b)mT = d m mT = 2 15 = 30 dólares ms=h=8 s=h=8 = 8 30 = 240 dólares Conclusión: Cúanto esperará una persona que se le descuente por un día que se atra atrasó só es 15: 15:0 dolares de atraso de una persona por día. Si en la o…cina hay 8 personas, que se atrasaron 2 veces al mes cada una, ¿cúanto sera el descuento global esperado a estos empleados de la o…cina es de 240 dólares EJERCICIO 4: 4 :6 : 2
pag135 pag 135
Para el servicio de transporte entre dos ciudades hay 10 buses, de los cuales 5 son de tipo normal(costo de pasaje 2 dólares) y son 1
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
5 de tipo tipo espec especia iall (cost (costoo del del pasaje pasaje 3 dóla dólare res) s).. Una Una perso persona na tien tienee que viajar entre las dos ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de la semana, y para transportarse toma el primer bus que aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cúanto espera gastar esta persona en la semana? Planteamiento del problema. DATOS: n : numero de buses x : costo de viaje($/día) BN : bus normal BE : bus especial G: gasto semanal de transporte n = 10 BN : 5 costo de pasajes: $2 BN : 5 costo de pasajes: $3
Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Uniforme discreta
Nottacio No acion n
E(X) n+1 2
U ( U (n)
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
Resolusión del problema x P ( P (x)
4
5
6
1 1 1 2(2) = 4
2 12 ( 12 ) = 21
1 1 1 2(2) = 4
P ( P (BN ) BN ) = P ( P (BE ) BE ) =
=1
5 1 = 10 2 5 1 = 10 2
G = 5X
E (G) = E (5X (5X ) = 5(E 5(E (X )) )) = 5(5) = 25[$=semana 25[$ =semana]] 1 1 1 E (X ) = 4( ) + 5( ) + 6( ) = 5[$=d 5[$ =d{a] {a] 4 2 4
Conclusión: En la semana espera gastar 25 dólares. EJERCICIO 4: 4 :6 : 3
pag136 pag 136
En una escuela primaria se registró el número de palabras por minuto que leían los estudiantes, encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable aleatoria que describe el número de palabras leídas está uniformemente distribuida. a)Halle la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras: 2
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
5 de tipo tipo espec especia iall (cost (costoo del del pasaje pasaje 3 dóla dólare res) s).. Una Una perso persona na tien tienee que viajar entre las dos ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de la semana, y para transportarse toma el primer bus que aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cúanto espera gastar esta persona en la semana? Planteamiento del problema. DATOS: n : numero de buses x : costo de viaje($/día) BN : bus normal BE : bus especial G: gasto semanal de transporte n = 10 BN : 5 costo de pasajes: $2 BN : 5 costo de pasajes: $3
Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Uniforme discreta
Nottacio No acion n
E(X) n+1 2
U ( U (n)
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
Resolusión del problema x P ( P (x)
4
5
6
1 1 1 2(2) = 4
2 12 ( 12 ) = 21
1 1 1 2(2) = 4
P ( P (BN ) BN ) = P ( P (BE ) BE ) =
=1
5 1 = 10 2 5 1 = 10 2
G = 5X
E (G) = E (5X (5X ) = 5(E 5(E (X )) )) = 5(5) = 25[$=semana 25[$ =semana]] 1 1 1 E (X ) = 4( ) + 5( ) + 6( ) = 5[$=d 5[$ =d{a] {a] 4 2 4
Conclusión: En la semana espera gastar 25 dólares. EJERCICIO 4: 4 :6 : 3
pag136 pag 136
En una escuela primaria se registró el número de palabras por minuto que leían los estudiantes, encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable aleatoria que describe el número de palabras leídas está uniformemente distribuida. a)Halle la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras: 2
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
b)Determine el número de palabras que se esperaría lea un estudiante seleccionado al azar. Planteamiento del problema Datos: Datos: Variable aleatoria: X Número de palabra leida Espacio muestral = f80:::: 80::::139 139g n : es el número de palabras n = n = 59 Hallar P (X = = 100) =? a)P ( b)E (X ) =? Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Nottacio No acion n E(X) Var(X) Fun. un. de dens densid idad ad n+1 n2 +1 Uniforme discreta U ( U (n) f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) = n1 2 2 Resolución del problema. a) P =
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
casosfavorables 139 100 39 = = = 0: 0 :66 casoposibles 59 59
b) E(X) =
59 + 1 = 30 30 + 80 = 110 2
Conclusión: El numer numeroo de palabras palabras que que espera espera leer leer es de 110 por minut minuto. o. EJERCICIO 4: 4 :6 : 4
pag135 pag 135
Sea X una variable aleatoria que sigue una ley uniforme sobre {-1,0,1}. Calcule 1. Planteamiento del problema Datos X ! f1; 0; 1g Hallar a) E (X k ) para k=1,2,... b) V ar( ar(X k ) Como Dist Distrribuc ibucio ion n Nottacio No acion n E(X) n+1 Uniforme discreta U ( U (n) 2 Resolucion Resolucion del problema. problema. n E (X ) = pk xk P ( P (X = k) k ) = n1 a) E (
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
P
k=1
k
k
E (X ) = ( 1)
1 1 1 ( 1)k 1 ( 1)k + 1 k k ( ) + (0) ( ) + (1) ( ) = + = 3 3 3 3 3 3
3
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
V ar(X k ) = E (X 2k )
(E (X k ))2
Conclusión i) ii)
V ar(X k ) = 32 V ar(X k ) = 32
94 = 922 k es par 0 = 3 k es impar
3 LEY HIPERGEOMÉTRICA: EJERCICIO 4:6 : 5 pag135
Una variable X tiene distribucióN HIPERGEOMÉTRICA H (7; 4; 5). Calcule: a)P (X = 3); b)la esperanza utulizando la de…nición y verifíquela empleando la fórmula de E (x); c)la varianza de X . PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Datos: n = 4 N = 7 r = 5
Hallar a)P (X = 3) =? b)E (X ) =? c)V (X ) =? Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema a)
b)
rn N
3 4
5 3 7 4 3 7
r N (1
nr )
C = C C P (X = 3) = E (X ) =
c) V (X ) =
5 (1 7
2 3
3 4 3 7
5(4) 20 = = 2: 8571 7 7
54 ) = 285 = 0:17857
Conclusión: 4
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
E (X ) = 2: 8571 V (X ) = 0:17857 EJERCICIO 4:6 : 6
pag135
En una linea de control de calidad se revisan 10 articulos, determinándose que hay 3 que no cumplen con las especi…caciones. Si se escogen al azar dos artículos, identi…que los parámetros de la ley y halle la esperanza de la variable aleatoria X , que describe el número de peizas correctas entre las dos escogidas. Planteamiwento del problema. 1.Datos: Variable aleatoria X - número de peiza correcta entre la escogida. N = 10 n = 3 r = 2
Hallar E (X ) =?
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema. E (X ) =
rn N
r N (1
nr )
2(3) = 0:6 10
Conclusión E (X ) = 0:6 EJERCICIO 4:6 : 7
pag135
Para llenar 4 vacantes de contador se presentan 10 personas, 7 hombres y 3 mujeres. Salen seleccionados 3 hombres y 1 mujer. Las mujeres acusan al empleador de descriminación sexual, por lo que le llevan a juicio. Si el juez supone que la seleccion fue al azar, ¿puede decirse que existió discriminación al hacer la elección? Planteamiento del problema Datos n = 7 N = 10 r = 4
Hallar 5
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
P (X = 5) =?
Como Tabla de distribución: Distribucion Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema. 5 7
rn N
4 3 10 7 5 10
r N (1
nr )
C C C = C = C C P (X = 3) = 5 7
1 3
3
5 10
5 7 5 10
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
= 0:5
Conclusión: Por o tanto no existe descriminación porque la probabilidad es alta. EJERCICIO 4:6 : 8
pag135
El examen de graduación de los abogados consta de 50 temas. La forma de examinar es la siguiente: por sorteo se eligen 6 temas de los que hay que contestar 3 para aprobar. Si el estudiante solo ha estudiado 30 temas: a) ¿Cual es la probabilidad de los 6 temas sepa contestar correctamente a 3? Datos variable aleatoria: Z ! N umero de tema para aprobar Número total de temas (N ) : 50 Número de temas estudiado (n) : 30 Número por sorteo de temas (r) : 6 a) Número de temas para aprobar (k) : 3 b) Número de temas para aprobar (k) : f 3; 4; 5; 6g Hallar: La probabilidad de los 6 temas sepa contestar correctamente a 3 Como Distribucion Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
rn N
Hipergeométrica H (N;n;r) Planteamiento del problema
r N (1
r n)
rk C nk C N n P (Z = K ) = r C N
a) 63 3 3 3 C 30 C 50 30 = C 30 C 20 = 2204 = 0:29126 P (Z = 3) = 6 6 C 50 C 50 7567
b) 63 64 65 66 3 4 5 6 C 30 C 50 30 C 30 C 5030 C 30 C 5030 C 30 C 5030 P (Z = (3; 4; 5; 6)) = + + + = 0:83566 6 6 6 6 C 50 C 50 C 50 C 50
6
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
Conclusión P (Z = 3) = 0:29126 P (Z = 0:83566 EJERCICIO 4:6 : 9
pag135
Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra 3 cuentas de una lista de 8 cuentas por cobrar. Calcule la probabilidad de que el auditor encuentre por lo menos una cuenta vencida. si hay: a) 2 cuentas vencidas entre las 8 selecionadas b) 4 cuentas vencidas Planteamiento del problema. Datos N = 8 n = 6 r = 3
Hallar 2 cuentas vencidas entre las 8 selecionadasllar 4 cuentas vencidas. 7 cuentas vencidas. Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) (k )( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
H (N;n;r)
rn N
r N (1
nr )
Resolución del problema. 3
2
C 2 C 6C 3 8 C 63 C 22 1) = 1
P (X
> 1) = 1
P (X
>
C 83
P (X
> 2) = 1
P (X
> 2) =
b) 7
9 14
6! 3!3!
2!2!0!
8! 3!5!
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
1
2
C 4 C 4C 3 8 4! 4! 4 1) = 1 1!3! 2!2! =
P (X
> 1) = 1
P (X
>
P (X
> 1) =
4 7
8! 3!5!
7
c) C 11 C 72 C 83
1! 7! 5 1!0! 2!5! 1) = 1 =
P (X
> 1) = 1
P (X
>
P (X
> 1) =
5 8
8! 3!5!
8
Conclusión P (X > 2) =
9 14
P (X > 1) =
4 7
P (X > 1) =
5 8
EJERCICIO 4:6 : 10 pag135
Una empresa renta autos, a los que no les da el mantenimiento debido, por lo que algunos funcionan mal. Un día tienen disponibles 8 autos para ser rentados, de los cuales 3 funcionaba mal. Ese día se rentaron 4 autos, calcule la probabilidad que: a) Ningún cliente reciba un auto que funcione mal b) Por lo menos un cliente reciba un auto que funcione mal c) Tres clientes reciban autos que funcionen mal Planteamiento del problema Datos: Variable aleatoria X ~ numero de personas a las que se le rentara el auto N : numero total de autos N = 8 n : numero de autos que funcionan mal n = 3 r : numero de autos que funcionan bien r = 4 k : numero de personas Hallar a)P (X = 0) b)P (X 1) c)P (X = 3) 8
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den.
Fun. de dist.
P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Hipergeométrica H (N;n;r) Resoluciòn del problema. a)
rn N
3 0
r N (1
nr )
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
5 4
1 = 14 P (X = 0) = 8 4
b) P (X
1)
= P (X = 0) + P (X = 1) =
(X = 1) =
c)
3 1
1 3 1 3 13 + = + = = 0:92857 14 7 2 7 14
5 3
3 = 7 = 0:42857 8 4
P (X = 3) =
1 2 5 + = 14 7 14
Conclusión 1 P (X = 0) = 14 P (X 1) = 0:92857 5 P (X = 3) = 14
4 LEYES DE BERNOULLI Y BINOMIAL: EJERCICIO 4:6 : 11 pag136.
Una variable aleatoria X tiene distribución Bin(4,0.2)
Planteamiento del problema. Datos: X tiene distribución Bin(4,0.2) Bin(4; 0:2)
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) (k )( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
H (N;n;r)
rn N
Hallar
9
r N (1
nr )
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
a) c) P (X = 2) b) d) P (X 2) Resoluciòn del problema.
P (X 2) E (X )
e)
V ar(X )
P (X = k) = C nk pk q nk P (X P (X P (X P (X P (X
= = = = =
0) 1) 2) 3) 4)
(0:2)0 (0:8)40 = 0:4096 (0:2)1 (0:8)41 = 0; 4096 (0:2)2 (0:8)42 = 0; 1536 (0:2)3 (0:8)43 = 0; 0256 (0:2)4 (0:8)44 = 0; 0016
= C 40 = C 41 = C 42 = C 43 = C 44
a) P (X = 2) = 0; 1536
b) P (X
2) = P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) = 0:1536+0:0256+0:0016 = 0:1808
c) P (X
2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = 0:4096+0:4096+0:1536 = 0:9728
d) E (X ) = np = 4 0:2 = 0:8
e)
V ar(X ) = npq = 4 0:2 0:8 = 0:64
Conclusión
P (X = 2) = 0; 1536 P (X 2) = 0:1808 P (X 2) = 0:9728 E (X ) = 0:8 V ar(X ) = 0:64 EJERCICIO 4:6 : 12 pag136
Una maquina llena las cajas de palillos de fósforo. En una proporción del 10% la maquina no llena la maquina por completo. Se toma al azar 25 cajas de fósforos, Calcule la probabilidad de que no haya mas de dos cajas incompletas. 1. Planteamiento del problema. Datos.
10
Bin(25; 0:1)
Probabilidad de exito o fracaso = 0:1 Número de experimentos = 25 X = probabilidad de cajas incompletas Hallar Calcule la probabilidad de que no haya mas de dos cajas incompletas. Como. Distribucion Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema.
rn N
r N (1
r n)
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
P (X = k) = C nk pk q nk n P r(X 2) = pk q nk k 25 25 25 P r(X 2) = p2 q 252 + p1 q 251 + p0 q 250 2 1 0 25 25 25 P r(X 2) = 0:12 0:9252 + 0:11 0:9251 + 0:10 0:9250 2 1 0 25 = 0:12 0:9252 = 0:26589 2 25 = 0:11 0:9251 = 0:19942 1 25 = 0:10 0:9250 = 7: 1790 102 0 = 0:26589 + 0:19942 + 7: 1790 102 = 0:5371
Conclusión. P r(X 2) = 0:5371: EJERCICIO 4:6 : 13 pag136.
Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un politico y el resto es desfavorable. Si se eligen 6 personas al azar, se desea saber. 1. Planteamiento del problema. Datos. Bin(6; 0:8)
Probabilidad de persona desfavorable = 0:8 Número de experimentos = 6 Hallar 11
P (X = 6) P (X = 4)
Como: Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
rn r r Hipergeométrica H (N;n;r) N N (1 n ) Resolusion del problema. X = probabilidad de 6 personas desfavorables
P (X = k) = C nk pk n P r(X = 6) = k 6 P r(X = 6) = 6 6 = 0:86 6
n k
q p q
k
n k
p6 q 6
6
0:266 = 0:26214
Probabilidad de persona favorable = 0:2 Número de experimentos = 6 X = probabilidad de 4 de 6 personas favorables P (X = k) = C nk pk n P r(X = 4) = k 6 P r(X = 4) = 4 6 = 0:24 4
n k
q p q
k
n k
p4 q 6
4
0:864 = 0:01536
Conclusión P (X = 6) = 0:26214 P (X = 4) = 0:01536 EJERCICIO 4:6 : 14 pag136.
Una determinada raza de perros tienen cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0.55,se pide calcular : a) La probabilidad de que en una camada 2 exactamente sean hembras b) La probabilidad de que en una camada al menos 2 sean hembras 12
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
Distribucion
Binomial
Notacion
E(X)
Fun. de den.
Var(X)
Función de dist.
nP (X = k) = pk (1 p)n k ; k = 0; 1; :::; n
Bin(n; p)
np
npq
k
Plantamiento del problema Datos: X : Variable aleatoria << numero de hembras en cada camada >> k : numero de hembras probabilidad de que 1 sea macho
k
k) = P P (xi)
F ( X
i=1
p = 0; 55
probabilidad de que ninguno sea macho P (X = 0) = 1
p = q
= 1 0:55 = 0:45 q = 0:45
La probabilidad se calcula mediante: Distribucion binomial Hallar a)P (X = 2) b)P (X 2 Como: Distribucion Notacion E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
rn N
H (N;n;r)
r N (1
P (X = k) = C nk = pk q nk
r n)
k = 0; 1;:::;n
Resolución del problema. a) P (X = 2) = C 42 (0:55)2 (0:45)42 =
4! (0:55)2 (0:45)2 = 0:36754 2!(4 2)!
b) P (X
2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = 0:367 54+0:200 48+0:0410062 = 0:60903 P (X = 0) = C 40 (0:55)0 (0:45)40 = 0:0410062 P (X = 1) = C 41 (0:55)1 (0:45)41 = 0:20048
Conclusión: 13
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
a)P (X = 2) = 0:36754 b)P (X 2) = 0:60903
EJERCICIO 4:6 : 16 pag136.
En una instalación militar que dispone de 5 radares , la probabilidad de que un solo radar descubra a un avión de combate es de 0,7 a) ¿Cuál es la probabilidad que sean exactamente 4 radares los que descubren el avión? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno los descubra? c) ¿De cuántos radares debe constar la instalación para asegurarse en detectar aviones al menos en un 98% de las veces? Planteamiento del problema. Datos variable aleatoria X : número de aviones que descubre el radar n = 5 p = 0; 7
Hallar a) P (X = 4) b) P (X 1) c) P (X = k) Como Distribucion Binomial
Notacion
E(X)
Bin(n; p)
np
Var(X)
npq
Funcion de densidad P (X = k) k k = C n p (1 p)nk ; k = 0; 1;:::;n
Mediante la distribución binomial : Bin(n; p) ; P (X = k) = C nk pk (1 p)nk Resolusión del problema a) P (X = 4) =
5 4
(0:7)4 (0:3)1 = 0:36015
b)
1) = 1 P (X < 1) = 1 [P (X = 0)] = 1 (C 50(0:7)0(0:3)50) = 0:99757
P (X
Conclusión a)La probabilidad de que exactamente sean 4 radares es: 0; 36 b) La probabilidad de que al menos uno lo descubra es: 0; 99 EJERCICIO 4:6 : 17 pag136. EJERCICIO 4:6 : 18 pag137.
Supóngase que la tasa de infección de una enfermedad contagiosa es del 25%. En una o…cina hay 10 personas que se vacunaron contra la enfermedad y ninguna persona se contagió. 14
Func. de dist. F (X
k) P = P (x ) k
i
i=1
a) Determine la probabilidad de que ninguna persona se hubiera contagiado a pesar de que no se hubiera vacunado. b) De este resultado ¿Deduce usted que la vacuna es efectiva? Planteamiento del problema. Datos. p = 0:25 q = 0:75 n = 10
Hallar P (X = 0)
Deduce usted que la vacuna es efectiva. Como Distribucion Notacion E(X) Var(X) Binomial
Funcion de densidad P (X = k) p)nk ; k = 0; 1;:::;n
= C nk pk (1 Bin(n; p)
np
npq
0 P (X = 0) = C 10 (0:25)0 (0:75)100 = 5: 6314
102 0:05631
b) Si, porque la probabilidad de que alguien se contagie es muy baja. Conclusión. P (X = 0)
F (X
k) P = P (x ) k
i
i=1
Resolución del problema. a)
Func. de dist.
0:05631
Si, porque la probabilidad de que alguien se contagie es muy baja. EJERCICIO 4:6 : 19 pag137. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es de 0.3. Calcule la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso: Los siete …nalicen la carrera; 1. (a) Al menos dos acaben la carrera; (b) ¿De cuántos alumnos ha de constar una promoción para asegurarse de que al menos uno culmine su carrera, con una probabilidad del 99%?: Planteamiento del problema. Datos Z: hh número de estudiantes que …nalizen la carrera ii con Z Bin(7;0:3) Hallar a) los siete …nalicen la carrera; b) Al menos dos acaben la carrera;
15
Como Distribucion Binomial
Notacion
E(X)
Bin(n; p)
np
Var(X)
npq
Funcion de densidad P (X = k) p)nk ; k = 0; 1;:::;n
= C nk pk (1
F (X
k) P = P (x ) k
i
i=1
Resolución del problema. a) 7 P r(Z = 7) = C (0; 3)7 (0; 7)77 7 = 1(0; 0002187 1) = 0; 0002187
b) 1 P r(0
Func. de dist.
Z 2 Z 2) = P r(Z = 0) + P r(Z = 1) + P r(Z = 2)
0 1 2 = C (0; 3)0 (0; 7)7 + C (0; 3)1 (0; 7)71 + C (0; 3)2 (0; 7)72 7 7 7 = 0; 64706
Conclusión. P r(Z = 7) = 0; 0002187 P r(0 Z 2) = 0; 64706
EJERCICIO 4:6 : 20 pag137.
En un estudio medio ambiental se determinó que la presencia de mercurio en el agua envenena al 25% de los peces en 24 horas. Para con…rmar el resultado se colocaron 16 peces en un tanque con agua contaminada. Calcule la probabilidad de que en 24 horas: a) sobrevivan exactamente 10 peces; b) sobrevivan por lo menos 12 peces c) sobrevivan cuando mucho 2 peces; d) Calcule el númro de peces que se espera sobrevivan e) Calcule la varianza del número de sobrevivientes Planteamiento del problema. Datos: Variable aleatoria: X Número de peces vivos en un tanque con agua contaminada. n : es el número de pruebas. n = 16 k : es el número de éxitos. k = 10 p : es la probabilidad de éxito. p = 0; 25 q : es la probabilidad de fracaso. q = 0; 75 16
Hallar a)P (X = 10) =? b)P (X 2) =? c)E (X ) =? d)V (X ) =? Como Distribucion Notacion
Binomial
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) = n k p (1 p)nk k ; k = 0; 1; :::; n
Bin(n; p)
np
npq
Función de dist.
i=1
Resolución del problema. a) P (x = 10) =
16
10 = 0; 00136
(0; 25)10 (0; 75)1610
b) P (X
2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 16 16 16 = (0; 25)0 (0; 75)16 + (0; 25)1 (0; 75)161 + (0; 25)2 (0; 75)162 0 1 2 = 0; 197110
k
k) = P P (xi)
F ( X
c) E (X ) = (16)(0; 25) = 4
d) V (X ) = (16)(0; 25)(0; 75) = 3:
e) V ar(X ) = npq = 4 0:2 0:8 = 0:64
Conclusión
P (x = 10) = 0; 00136 P (X 2) = 0; 197110 E (X ) == 4 V (X ) = 3: V ar(X ) = 0:64 EJERCICIO 4:6 : 21 pag137.
Una compania petrolera va a perforar 29 pozos , cada uno de ellos tiene la probabilidad de 0.1 de producir petròleo de manera rentable. A la compañia le cuesta 100 dólares para perforar cada pozo. Un pozo comercial extrae petróleo por un valor de 5 millones de dólares . Calcule 1. a) La ganancia que espera obtener la compañia por los pozos. 17
b) La desviación estandar de valor de la ganancia. Planteaminento del problema Datos: n K pi c
= = = =
29 7 0:1 100
Hallar ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite corectamente su diálogo en la sexta vez?. Resolución del problema. Como Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) x
B(n; p)
f (x) =
n k
k
n k
p (q )
F (x) =
X p (q ) n k
k
n k
k=0
Resolución del problema. P (X = P (X =
n 7) = p (q ) k 10 7) = (0:3) (0:7) 7 10 k
n k
7
3
(0:3)7 (0:7)3 7 P (X = 7) = 0:2362: P (X = 7) =
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:274: EJERCICIO 4:6 : 22 pag137.
Una línea aérea, habiendo observado que el 5% de las personas que hacen reservación no se presentan para el vuelo, vende 100 boletos para un avión que tiene 95 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al momento del vuelo, haya un asiento disponible para cada pasajero?. Planteamiento Datos. X Variable aleatoria discreta; asientos disponibles para cada pasajero n = 100; número total de boletos p = 5% q = 95%
18
np
Hallar P (X
95) =?
Como
P (X = k) = C nk pk q nk P (X 95) = 1 P (X > 95)
Resolusión del problema P (X
95)
= = 1
=
1 P (X > 95) [P (X = 96) + P (X = 97) + P (X = 98) + P (X = 99) + P (X = 100)] 100 1 C k pk q nk
=
Conclusión P (X
95) = 1
1 100
k=96
k=96
n
k k 100k 100 (0:05) (0:95)
P C
k=96
k k 100k 100 (0:05) (0:95)
P C
EJERCICIO 4:6 : 23
100
P
pag137.
En un examen se plantea 10 preguntas a las que deban responderse verdadadero o falso. un alumno aprobara el examen si al menos 7 respuestas son acertadas. ¿ que probabiidad de aprobar tiene un estudiante que responda al azar ¿ y cuando uno se sabe que el 30% de la asignatura. 1. Datos: n K p q
= = = =
10 7 0:3 0:7
Hallar ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite corectamente su diálogo en la sexta vez?. Resolución del problema. Como Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) x
B(n; p)
n k
k
n k
p (q ) f (x) =
2. Resolución del problema.
19
X p (q ) F (x) = n k
k=0
k
n k
np
P (X = P (X =
n 7) = p (q ) k 10 7) = (0:3) (0:7) 7 10 k
n k
7
3
(0:3)7 (0:7)3
P (X = 7) =
7 P (X = 7) = 0:2362:
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362:
5 LEYES GEOMÉTRICAS Y BINOMIAL NEGATIVA. EJERCICIO 4:6 : 24 pag137.
Cuando se graba un comercial de televisión, la probabibildad de que un actor recite correctamente el diálogo de tu tema es de 0.3. 1. Datos: Hallar ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite corectamente su diálogo en la sexta vez?. Resolución del problema. Como Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) G( p) BN (r; p)
f (k) = P [X = k] = (1 p)k 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
x
F (x) = i=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362: EJERCICIO 4:6 : 25
pag137.
En un examen el profesor realiza varias preguntas a un estudiante. La probabilidad de que el estudiante responda correctamente a cualquier pregunta es igual a 0.9. El profesor interrumpe el examen apenas el estudiante mani…esta el desconocimiento de la pregunta hecha. Hallar 20
1 p r p
a) Formar la ley de distribución de la variable aleatoria que describe el número de preguntas que realiza el profesor. b) Hallar el número esperado de preguntas que ha realizado el profesor. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
x i=0 (1
P F (x) =
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
Resolución del problema. X 1 2 3 a) P 0.1 0.09 0.081
k
k1
(0:1) (0:9)
i
si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
f alla p = %negativo r1 C k1 pr q kr 1 (0:1)1 (0:9)11 = 0:1 P (X = 1) = C 11 1 1 (0:1)1 (0:9)21 = 0:09 P (X = 2) = C 21 1 1 (0:1)1 (0:9)31 = 0:081 P (X = 3) = C 31 1 1 = 10:0 b) E (X ) = pr = 0:1 EJERCICIO 4:6 : 26 pag138.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
f (x) p)k
p) p
r = primera
Va
1 p r p
La probabilidad de que un tirador haga blanco en un solo disparo es igual a 0.2. Al tirador se le entregan cartuchos hasta tanto no yerre el tiro. a)Forme la ley de distribución que describe el número de cartuchos utilizados. b)¿Cúantos cartuchos se espera que utilice el tirador? Datos P = 0:2
a) Según la fórmula de Probabilidad Pr(X=k)=p(1-p) k- 1 , k=1,2 , , ,n. se calcula la siguiente ley de distribución. P (X = 1) = 0:2(1 P (X = 2) = 0:2(1 P (X = 3) = 0:2(1 P (X = 4) = 0:2(1 P (X = k) = 0:2(1
0:2)0 = 0:2 0:2)2= 0:2(0:8) = 0:16 0:2)3 = 0:2(0:64) = 0:128 0:2)k=1 0:2(0:512) k=10:102 0:2) = 0:2(0:8) = 0:2(0:8)k1
En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos. X 1 2 3 4 ::::::: p 0:2 0:16 0:128 0:102 ::::::
b) La esperanza de la variable aleatoria "número de cartuchos" está dada por : E (X ) =
Por los tanto se espera que en 5 tiros el tirador falle. EJERCICIO 4:6 : 27 pag138.
21
1 p
=
1 0:2
=5
k 0:2(0:8)k- 1
::::::: :::::::
En un examen, en el que se realiza preguntas sucesivas, para aprobar hay que constastar correctamente a las 10 preguntas. suponiendo que el alumno sepa el 80% de las respuestas. 1. Datos: X : preguntas sucesivas que se toma a un aluno para que apruebe el examen. r p q k
= = = =
10 0:8 0:2 12
Hallar ¿ Cual es la probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 r kr P (X = k) = kr 1 P (q )
Resolución del problema.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
P (X = 12): P (X =
r 1 12): = P (q ) k1 9 r
P (X = 12): =
k r
(0:8)10 (0; 2)2
11 P (X = 12): = 0:2362:
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362: EJERCICIO 4:6 : 28 pag138.
Una jugadora de tenis gana el 33% de los partidos que realizan. Ella jugará en un torneo mientras no sea elimidada por perder el partido. 1. Datos: p = 0:33 q = 0:67
Hallar 22
1 p r p
a) Halle la probabilidad de que sea eliminada en el segundo partido. b) Si para ganar el torneo se debe ganar 5 partidos consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugadora pierda pierda en la …nal del torneo. c) Cuantos partidos espera que llegue a jugar en el torneo. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
Resolución del problema.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
1 p r p
P (X = 2) P (X = 2) = (0:67)2 (0:33) P (X = 2) = 0:2211
Conclusiòn. Halle la probabilidad de que sea eliminada en el segundo partido es 0:2211 Si para ganar el torneo se debe ganar 5 partidos consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugadora pierda pierda en la …nal del torneo es 0:007946 Cuantos partidos espera que llegue a jugar en el torneo es 3 partidos. EJERCICIO 4:6 : 29 pag138.
Una marca de refresco tiene impresas, en cada una de las tapas, una de las …guras de los 4 jinetes del apocalisis y quien reuna completa ganara un premio. Si un comprador cree que hay igual al número de …guras de cada unos de los personajes en la promoción. ¿ Cuantos refrescos ha de esperar comprar para ganar el premio?. 1. Datos: BN (33:32; 4)
Hallar Cuantos refrescos ha de esperar comprar para ganar el premio. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
23
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
1 p r p
Resolución del problema. BN (33:32; 4) 33 4 E (x) = 8:33 E (x) =
Conclusiòn. E (X ) = 8:33; es decir 9 refrescos. EJERCICIO 4:6 : 30 pag138.
Un pájaro de cierta especie come gusanos de una población muy grande, estos gusanos pueden comer, a su vez, de una planta venenosa, de manera que si el pájaro como un gusano envenenado deja de comer gusanos ese día, suponiendo que el 33%de la población de gusanos come de la planta venenosa, hallas el número medio de gusanos comidos por un pájaro en un día. Tabla función de distribución: Distribucion Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Geométrica
G ( p)
1 p p2
1 p
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1.Datos: Variable aleatoria: X Número gusanos p : es la probabilidad de éxito. p = 0; 33 2.Buscar: E (X ) =?
3.Solución: 1 E (X ) = p1 = 0:33 = 3: 0303 al menos tres gusanos por día. EJERCICIO 4:6 : 31 pag138.
Un lepidopterista solo esta interesado en los ejemplares de una clase mariposa que constituyen el 15% de todas la mariposas de la zona. Halle la probabilidad de que esta persona tenga que casar 8 mariposas de las que no le interesan antes encontrar: 1. Datos: X : Mariposas de las clase deseada. p = 0:15 q = 0:85 k = 8
Hallar 24
Func. de dist. ; F (X )=
X
k 1
P q p
k=1
a) Un ejemplar de la clase deseada. b) Tres ejemplares de la clase deseada. Como Distribucion Notacion Geométrica
G ( p)
E(X) 1 p
Funcion de densidad
Var(X)
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1 p p2
p)k1
7
P (X = 8) = (0:15) (0:85) P (X = 8) = 0:4087
Conclusiòn. Un ejemplar de la clase deseada es 0:4087 Tres ejemplares de la clase deseada 0:03564 EJERCICIO 4:6 : 32 pag138. En una fabrica, el departamento de control de calidad, revisa los lotes de pieas que entran, de acuerdo con el siguiente criterio: se van extrayendo piezas sucesivamente y el lote es rechazado si se encuentra la primera pieza defectuosa antes de la vigesima extraccion. Si conocemos que el 2% de las piezas son defectuosas, ¿cual es la probabilidad de que un lote sea defectuoso? 1 lote = 20 piezas entonces nuemro de intentos antes de obtener una pieza defectuosa k=19 1 1 Exito ; pieza defectuos 50 49 0 Fracaso ; pieza buena 50
1 1 18 P (X = 19) = 50 (1 50 ) 0; 13902 EJERCICIO 4:6 : 33 pag138.
En una fábrica se examinan las piezas que salen de una determinada máquina. Supongase que si en una hora salen mas de 5 piezas defectuosas es de 0.2 y es la misma para todas la piezas fabricadas; 1. Datos. n = 5 p = 0:2 q = 0:8
Hallar: 25
; F (X )=
X
k 1
P q p
k=1
Resolución del problema. P (X = k) = p (1
Func. de dist.
La probabilidad de que se tenga recalibrar la máquina cuando se ha inspeccionado 20 piezas. La probabilidad de que se recalibrar la máquina sin haber producido ninguna pieza buena. Como Distribucion Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Geométrica
G ( p)
1 p
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1 p p2
Func. de dist. ;
k 1
P q p
k=1
Resolución del problema. P (X = k) = p (1
X
F (X )=
p)k1
EJERCICIO 4:6 : 34 pag138.
Se sabe que aproximadamente, el 20% de los usuarios de windows no cierran el programa adecuadamante. supongase que el windows esta instalado en una computadora pública que es utilizada aleatoriamente por personas que actúan independientemente una de otras. 1. Datos q : los usuarios de windows no cierran el programa adecuadamante X: Usuario que cieran windows adecuadamente p = 0:80 q = 0:20
Hallar ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer usuario seal el primero que cierra adecuadamente el windows?. Como: Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) G( p)
f (k) = P [X = k] = (1
p)k
F (x) =
x i=0 (1
P
p)i p
si x > 0
Resolucion del problema: P (X = 3) = p( p)2 = (0:80) (0:20) = 0:032
Conclusión La probabilidad de que el tercer usuario seal el primero que cierra adecuadamente el windows es de 0:032: 26
1 p
6 LEYES POISSON. EJERCICIO 4:6 : 35 pag139.
Sea Y una variable aleatoria que sigue una distribuciòn de poisson de media = 2: calcule
1. Datos: = 2
Hallar a) P (Y = 4) b) P (Y <= 4) c)
P (Y > 4)
Como Notación
Función de densidad
f (x)
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
k
e k!
P ()
p(x; ) =
k
" k!
Resolucion del problema. P (Y = 4) P (Y P (Y P (Y
24 "2 4! 16" 2 = 4) = 24 = 4) = 0:0902 = 4) =
P (Y <= 4) P (Y P (Y P (Y P (Y
4) = P (Y = 0) + P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) + P (Y = 4) 20 "2 2 1 "2 2 2 "2 2 3 "2 2 4 "2 4) = + + + + 0! 1! 2! 3! 4! 1 2 2 4 2 4) = 2 + 2 + 2 + + " " " 3 "2 3 "2 = 4) = 0:9473
P (Y > 4) P (Y P (Y
> 4) = 1 0:9473) > 4) = 0:0527
EJERCICIO 4:6 : 36 pag139.
El promedio de las llamadas que reciben una central telefonica en un minuto es de 1.5. Halle la probabilidad de que en 4 minutos se reciban. 27
Va
1. Datos: = 1:5 t = 4 t = 6
Hallar: a) 3 llamadas. b) menos de 3 llamadas. Como: Notación
Función de densidad
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
f (x)
k e k!
P ()
p(x; ) =
Resolucion del problema. 3 llamadas. P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) =
e6 63 3! e 6 63 6 3 6 6 e6 216 6 e6 0:89235
Menos de 3 llamadas. P (X P (X P (X P (X P (X
< 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) e 6 60 e 6 61 e 6 62 3) = + + 0! 1! 2! 1 6 18 3) = + + e6 e6 e6 25 3) = e6 3) = 0:06197
Conclusion :
28
k " k!
Va
3 llamadas. es 0:89235 Menos de 3 llamadas. es 0:06197 EJERCICIO 4:6 : 37 pag139.
Suponga que el número de pacientes que ingresan a la sala de emergencia de un hospital en la noche del viernes tiene una distribución de Poisson con media igual a 4.Evalue las probabilidades de que: 1. Datos: X: Número de pacientes que ingresan a la sala de emergencia de un hospital E (X ) = = 4
Hallar: (a) Durante una noche haya exactamente haya 2 personas en la sala de emergencia. (b) Durante la noche aya mas de 3 personas. Como: Dist.
Notacion
Poisson
P ()
E(X)
Var(X)
Funcion de densidad P (X = k) =
e
k k! ;
k = 0; :::; n
Resolución del problema. P (X = 3) e4 42 P (X = 2) = 2! 8 P (X = 2) = 4 e P (X = 2) = 0:1465 P (X > 3) P (X P (X
> 3) = 1 > 3) = 1
P (X 3) [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 3) + P (X = 3)] e4 40 e 4 42 e 4 41 e 4 43 3) = 1 [ + + + ] 0! 2! 1! 3! 1 4 4 32 3) = 1 [ 4 + 4 + 4 + ] e e e 3 e4 9 32 3) = 1 [ 4 + ] e 3 e4
P (X
>
P (X
>
P (X
>
P (X
> 3) = 0:5653
Conclusión: Durante una noche haya exactamente haya 2 personas en la sala de emergencia es 0:1465 29
Func. de dist. F (X ) =
X
P
k=0
e
k k!
1. (a) Durante la noche aya mas de 3 personas es 0:5653 EJERCICIO 4:6 : 38 pag139.Problema 38.
En un hotel, el promedio de pedidos de servicio a la habitación es igual 2 cada media hora. Allá la probabilidad de que en una hora se reciban: a) 3 pedidos b) menos de 3 pedidos c) no menos de 3 pedidos Dist. Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Poisson
P ()
P (X = k) =
e
k
k!
X
; k = 0; :::; n
Plantamiento del Problema Datos: X : es la variable << numero de servicio a la habitacion >> . X P (2) t : intervalo de tiempo de servivio a la habitación. ; t = 2 k : numero de eventos que pueden suceder en un cierto tiempo. : promedio de pedidos de servivio a la habitacion ; = 2 Resolución: Mediante la probabilidad de Poisson P () ; P (X = k) = e k!(t) ; k = t
k
0; 1; 2;:::;n 2(2) x(2x2)3 a)P (X = 3) = e = 0:19536 3! b)P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 2(2) 2(2) 2(2) x(2x2)0 x(2x2)0 (2x2)2 =e +e + e = 0:01831+0:07326+ 0! 1! 2! 0:1465 = 0:23810 c)P (X 3) = 1 P (X < 3) = 1 0:23810 = 0:7619 EJERCICIO 4:6 : 39 pag139.
Una fábrica de gaseosas recibió 100 botellas vacías. La probabilidad de que al transportarlas resulte una botella rota es de 0.03. Halle la probabilidad de que la fábrica reciba rotas: a) Exactamente dos botellas b) Más de dos. c) Por lo menos una. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Datos Variable aleatoria X Número de botellas rotas. n : número de pruebas n = 100 p : probabilidad de éxito p = 0; 3 Hallar =? P (X = 2) =? P (x > 2) =? P (X 1) =?
30
Func. de dist. F (X ) =
P
k=0
k k!
e
Como: Dist. Poisson
Notacion P ()
E(X)
Var(X)
Funcion de densidad P (X = k) =
k k! ;
e
k = 0; :::; n
Func. de dist. F (X ) =
X
P
k=0
Resolucion del problema. Mediante la distribución de Poisson P () ; P (X = k) = e k! Por aproximación a la binomial cuando n es relativamente grande ( n 30) y p pequeño ( p 0:05), poniendo = np(Teorema de aproximación
k k!
e
k
= np = 100 0:03 = 3:0 2 a) P (X = 2) = e 3 32! = 29 e3 = 0:22404 b)P (X > 2) = 1 P (X 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = 0 1 1 (e3 30! + e3 31! + 29 e3 ) = 0:57681 0 c) P (X 1) = 1 [P (X = 0)] = 1 e3 30! = 0:9502
Conclusion: a)La probabilidad de que resulten dos botellas rotas es de 0:22404 b)La probabilidad de que resulten mas de dos botellas rotas es de 0:57681 c)La probabilidad de que resulten al menos una botella rota es de 0:9502 EJERCICIO 4:6 : 40 pag139.
Se supone que el número de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria X con Distribución de Poisson de parámetro = 0:5 a) ¿Cuál es la probabilidad de que 1mm3 de agua del estanque no hay ninguna bacteria? b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm3 de agua en cada tubo). ¿Qué distribución sigue la variable Y: número de tubos de ensayo, entre los 40 que no contienen bacterias? c) Si sabemos que en un tubo hoy bacterias, ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres? Tabla función de distribución: Dist. Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Poisson
P ()
P (X = k) =
e
k k! ;
1.Datos: Variable aleatoria: X número de bacterias por mm 3 = 0:5
2.Buscar: P (X = 0) P (X 20)
3.Solución: ( 0 5) (0:5)0 = 0:60653 a)P (X = 0) = e 0! ( 0 5) (0:5)0 = 0:60653 + 0:303 27 = 0:9098 b)P (X = 0) = e 0! c)P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
:
:
= 0:60653 + 0:30327 + 7: 5816
31
102 = 0:98562
Func. de dist. X
k = 0; :::; n
F (X ) =
P
k=0
e
k k!
P (X = 1) = P (X = 2) =
e(
0:5)
(0:5)1 = 0:30327 1! 0:5) (0:5)2 = 7: 5816 102 2!
e(
EJERCICIO 4:6 : 41 pag139.
Una planta enbotelladora de refrescos tiene una máquina vieja para llenar las botellas. La máquina produce una ganancia de 100 dólares por el dia de trabajo ; sin embargo, se descompone un promedio de dos veces cada 10 días: si Y representa el número de descomponturas durante el funcionamiento de la máquina, se expresa por t es el número de días que trabajo la máquina. La ganacia generada por la máquina se expresa por G = 100t 50Y 2 : Determine la ganacia esperada en los 10 días de trabajo. EJERCICIO 4:6 : 42 pag139. En una población el 1 por ciento de la población sufre daltonismo, ¿ cuál es la probabilidad de que entre 100 personas. 1. Datos: X: población que sufre daltonismo n p
= = = =
100 0:01 np 1
Hallar: a) ninguna padesca de daltonismo. b) dos a mas lo padescan Como: Dist. Poisson
Notacion P ()
E(X)
Var(X)
Funcion de densidad P (X = k) =
Resolucion del problema. P (X = 0) P (X = P (X = P (X = P (X = P(X
2) 32
e k 0) = k! e1 10 0) = 0! 1 0) = 1 e 0) = 0:3678
k k! ;
e
k = 0; :::; n
Func. de dist. F (X ) =
X
P
k=0
k k!
e
P(X P(X
2) = 1 2) = 1
P (X < 2) [P (X = 0) + P (X = 1)] e1 10 e 1 11 0) = 1 [ + ] 0! 1! 1 1 0) = 1 [ 1 + 1 ] e e 2 0) = 1 [ 1 ] e
P (X = P (X = P (X =
(X = 0) = 0:2644
Conclución. ninguna padesca de daltonismo es 0:3678 dos a mas lo padescan es 0:2644: EJERCICIO 4:6 : 43 pag140
En un bosque de cedro el número de árboles con plaga por hectarea Y tiene una distribución de Poisson P(10). Los árboles con plaga se trata con insecticida a un costo de 3 dólares por árbol; además de un costo …jo, por uso de equipo y transporte , igual a 50 dólares. 1. Datos: Y : El número de árboles con plaga por hectarea. = 10
Hallar El valor esperado y la desviación estandar del costo C de fumigar 5 hectáreas de bosque. Como: Dist. Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Poisson
P ()
Resolucion del problema Conclusción. E (C ) = 200 dólares. (C ) = 47:43 dólares. EJERCICIO 4:6 : 44 pag140:
33
P (X = k) =
k k! ;
e
k = 0; :::; n
Func. de dist. F (X ) =
X
P
k=0
k k!
e
Para el control control de calidad calidad de disco para computado computadora ra se emplea un dispositivo electronico electronico que cuenta el número número de bytes defectuosos. defectuosos. Una marca de discos de computadoras tiene un promedio de 0.1 bytes de fectuosos por disco. Calcule el procentaje de disco que: 1. Datos: X: Números de discos defecutuosos. = 0:1
Hallar: No tiene defecto Tiene algún defecto. Como: Dist Dist.. No Nota taci cion on Poisson
P ( ( )
E(X)
Var(X)
Funcio ncion n de dens densid idad ad P ( P (X = k) k ) =
k k! ;
e
k = 0; :: :::; n
Resolucion Resolucion del problema. problema. P ( P (X = 0) e0:1 0:10 0! 1 P ( P (X = 0) = 0:1 e P ( P (X = 0) = 0:9048 P ( P (X = 0) =
P ( P (X
1) P ( P (X P ( P (X P ( P (X P ( P (X P ( P (X
1) = 1 1) = 1
[P ( P (X < 1)] [P ( P (X = = 0)] 1 1) = 1 0:1 e 1) = 1 0:9048 1) = 0; 0952
Conclusción. No tiene defecto un 90: 90 :48% Tiene algún defecto 9: 9 :52% EJERCICIO 4:6 : 44 pag140 pag 140::
El número de automoviles que llegan a un estacionamiento, que tiene una capacidad capacidad de 12 autos es una variab variable le aleatoria aleatoria que sigue una ley de Poisson Poisson , con un promedio 4 por hora. Si al inicio del día el estacinamiento esta vacio. 34
Func. nc. de dist dist.. F (X ( X ) =
X
P
k=0
k k!
e
1. Datos: X : Número de automoviles que llegan a un estacionamiento = 4 n = 12 = 32
Hallar Cuál es la probabilidad de que llene durate la primera hora. Calcule Calcule la probabili probabilidad dad de que llegue llegue menos de 30 vehicul vehiculos os en un turno de 8 horas. Como: Dist Dist.. No Nota taci cion on E(X) Var(X) Funcio ncion n de dens densid idad ad Poisson
P ( ( )
P ( P (X = k) k ) =
e
k
k!
; k = 0; :: :::; n
P ( P (X < 30)
P ( P (X P ( P (X
< 30) = P ( P (X = = 0) + P ( P (X = = 1) + ::::::::::: + P ( P (X = = 29) 32 0 32 1 32 2 e 32 e 32 e 32 e 32 320 < 30) = + + + :::::::::::: + 0! 1! 2! 29! < 30) = 0:338
Conclusión. Cuál Cuál es la prob probab abil ilid idad ad de que llene llene durat duratee la prime primera ra hora. hora.
es de
0:0006415
Calcule Calcule la probabili probabilidad dad de que llegue llegue menos de 30 vehicul vehiculos os en un turno de 8 horas horas es de de 0: 0 :338 EJERCICIO 4:6 : 46 pag140 pag 140::
En un estudio de un inventario inventario se determino determino que un promedio, la demanda demanda por un un artí artícu culo lo en par parti ticu cula larr en una una bodeg bodegaa era era de 5 vec veces es.. ¿Cuá ¿Cuáll es la probabilidad que un determinado determinado día este este artículo sea requerido. requerido. 1. Datos: X : Estudio de un inventario. = 5
Hallar A mas de 4 veces 35
F (X ( X ) =
X
P
k=0
Resolucion Resolucion del problema problema P ( P (X
Func. nc. de dist dist.. k k!
e
Ni una sola vez. Como: Dist Dist.. No Nota taci cion on Poisson
P ( ( )
E(X)
Var(X)
Funcio ncion n de dens densid idad ad P ( P (X = k) k ) =
k k! ;
e
k = 0; :: :::; n
Func. nc. de dist dist.. F (X ( X ) =
Resolucion Resolucion del problema problema P ( P (X > 4) P ( P (X
> 4) = 1
P ( P (X 4) 4) = 1 [P ( P (X = = 0) + P ( P (X = = 1) + P ( P (X = = 2) + P ( P (X = = 3) + P ( P (X = = 4)] e5 50 e 5 51 e 5 52 e 5 53 e 5 54 4) = 1 [ + + + + ] 0! 1! 2! 3! 4! e5 50 e 5 51 e 5 52 e 5 53 e 5 54 4) = 1 [ + + + + ] 1 1 2 6 24 4) = 1 [0: [0:44]
P ( P (X
>
P ( P (X
>
P ( P (X
>
P ( P (X P ( P (X
> > 4) = 0:56
P ( P (X = 0) e5 50 0! 1 P ( P (X = 0) = 5 e P ( P (X = 0) = 0:0674 P ( P (X = 0) =
Conclusión. A mas de 4 veces es 0:56 Ni una sola vez es 0:0674 EJERCICIO 4:6 : 47 pag140 pag 140::
Si hay en promedio un 1% de zurdos, ¿Cuál es la probabilidad de tener por lo menos 4 zurdos entre 200 personas? Solución: Solución: Distribución de Poisson P ( P (X = = k) k ) =
e
k k!
; k = 0; 1; 2;:::
En este caso tenemos: De…nimos la variable aleatoria: X :númer númeroo de zurdos zurdos entre entre un grupo de 200 personas n = 200
36
X
P
k=0
k k!
e
p = 0:01 = np = 200 0:01 = 2 P (X 4) = 1 P (X 3) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] 2 0 2 1 2 2 2 3 = 1 [ e 0!2 + e 1!2 + e 2!2 + e 3!2 ] 2 = 1 19 3 e
t 0:142876 EJERCICIO 4:6 : 48 pag140:
En una investigación de mercado se determinó que el 2 por ciento de la población toma regularmente una marca de yogourt .Se escogio una muestra de 300 personas , determine la probabalidad. DATOS El 2 % de 300= 6 toman un yogourt de la misma marca = 6
FORMULAS %t k k!
(Distribuci n de Poison)
RESOLUCIÓN a)Exactamente 5 personas tomen yogourt de esa persona %t k %6(1) (6)5 %6 7774 %6 324 = = = = 0; 161 k! 5! 120 5
b)a lo más tiene tres personas Pr (X 3) = Pr (X = 3) + Pr (X = 2) + Pr (X = 1) + Pr (X = 0) %t k %6(1) (6)3 % 6(1) (6)2 % 6(1) (6)1 % 6(1) (6)0 = + + + k! 3! 2! 1! 0! 6(1) 6(1) 6(1) 1 6(1) % 216 % (36) % (6) % (6)0 = + + + 6 2 1 0! = 0; 08923 + 0; 04462 + 0; 01487 = 0; 151198
c)al menos tomen cinco personas Pr (X
5)
= 1 =
Pr (X = 4) + Pr (X 3) % 6(1) (6)4 1 + 0; 151198 4! 6(1)
% 1 54 + 0; 151198 1 0; 1338 + 0; 15198
= 1
= = 0; 71422
37
P (X = 0) =
5
exp
(5)0
0; 00673
0!
EJERCICIO 4:6 : 49 pag140:
La tasa mensual de suicidios es de 4 por un millón de personas. En una ciudad de 500000 habitantes, halle la probabilidad de que: a) en un mes dado, hayan menos de 5 suicidios; b) ¿Será sorprendente que durante un año, al menos en 2 meses ocurran más de 4 suicidios? Solución: a) Distribución de Poisson P (X = k) =
e
k k!
; k = 0; 1; 2;:::
En este caso tenemos: De…nimos la variable aleatoria: X : numero de suicidios en un mes Si por millón de habitantes se tiene 4 suicidios por mes, en 500000 habitantes se reduce a la mitad por mes, así: = 2 P (X < 5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) e
t
2 0 2 0!
=
+
e
2 1 2 1!
+
e
2 2 2 2!
+
e
2 3 2 3!
+
e
2 4 2 4!
0:94734
b) En este caso dependemos del tiempo, es conveniente usar: t
(t)k k!
P (X = k) = t = 2
e
= 2 P (X > 4) = 1 P (X 4) = 1 P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 = 1 [ e 0!(22) + e 1!(22) + e 2!(22) + e 3!(22) + 2 2 (22)4 ] 4! = 1 103 e4
e
t
3
0; 37116
Entonces, la probabilidad que durante un año, al menos en 2 meses ocurran más de 4 suicidios es del 37.11% lo cual es un valor relativamente moderado. EJERCICIO 4:6 : 50 pag140:
38
En estudios demográ…cos sobre matrimonios que tienen algún tipo de plani…cación familiar, el número X de hijos por matrimonio es igual a 2, salvo ciertas desviaciones debidas al azar. Se ha comprobado que, o bien: X = 2 (Y + 1) donde Y es una variable de Bernoulli de parámetro p = 0:3, y esto ocurre con probabilidad p = 21 (pues se cumple en el 50% de los matrimonios), o bien es: X = 2 + Z donde Z sigue una distribución de Poisson de parámetro ; y esto también ocurre con probabilidad p = 21 Hallar: a) el valor de sabiendo que E(X) = 2 b) la probabilidad de que un matrimonio tenga 1 o 2 hijos. a) X = 2 + Z E (X ) = E (2 + Z ) 2 = E (2) + E (Z ) 2=2+ = 0
b) De…nimos la variable aleatoria Y que sigue una ley de Bernoulli
1; si es exito; p Y = 0; si es fracaso; q P (Y = 1) = 0:3 P (Y = 0) = q = 1 p = 1 0:3 = 0:7
Un matrimonio tenga un hijo: P (X = 1) = 2
(P (Y = 1) + 1) = 2 (0:3 + 1) = 0:7
Un matrimonio tenga dos hijos: P (X = 2) = 2
(P (Y = 0) + 1) = 2 (0:7 + 1) = 0:3
(Chapter head:)Capitulo 4.10
7 LEY UNIFORME EJERCICIO 4:10 : 1 pag 151:
Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme sobre [-3,1].Calcule: a)P (X = 0); b)P (X < 0); e)Halle un valor de t tal que P (X > t) = 31
39
Dist.
Not.
Uni. Cont.
Función de Densidad
U (a; b)
f (x) = [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b] 1
Resolución: 1 a)P (X = 0) = 1+3 = 41 b)P (X < 0) = 03 14 dx =
2 2
Función de Dist.
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
3 4
R
EJERCICIO 4:10 : 2 pag 151:.
Realice el ejercicio anterior considerando que X ~U [3; 2]. Dist. Not. Función de Densidad Función de Dist. Uni. Cont.
U (a; b)
f (x) = 1 ; si x [a; b] ba 0; si x = [a; b]
2 2
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
¿Qué quiero? a)P (X = 0) =? b)(X < 0) =? c) P r(jX j < 1) =? d)P r(X > t) = 13 Resolucion 1 = 51 a)P (X = 0) = 2+3 b)(X < 0) = 03 15 dx = 53 c) P r(jX j < 1) = P r(jX j < 1) = P r(1 < X < 1) = 11 15 dx = d) P r(X > t) = 13 = P r(X < t) = t2 15 dx = 52 51 ( 13 ) = 31
R
R
R
2 5
EJERCICIO 4:10 : 3 pag 151:
Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto. entonces es1la funcion de distribucion f (x) =
entonces
60 ; si
x [0;60] 0; si x = [0;60]
2 2
25
Z
25) = 601 dx = 60x j250 = 6025 = 125 1 5 P (X 25) = 12 P (X
EJERCICIO 4:10 : 4 pag 151:
Los autobuses de cierta línea salen con horario estricto cada cinco minutos. Halle la probabilidad de que un pasajero que llega a la parada tenga que esperar al autobús menos de tres minutos. 40
Dist.
Not.
Uni. Cont.
U (a; b)
Función de Densidad
f (x) = [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b] 1
DATOS: a = o b = 5 f (x) =
2 2
Función de Dist.
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
1 5
Sea X “tiempo de espera hasta llegada de bus” X ~U [0; 5] SOLUCIÓN: P r(X < 3) =
fafa¤aa
3 1 dx = 53 0 5
R
EJERCICIO 4:10 : 6 pag 152:
Supóngase que Ia velocidad de los autos en un sector de una carretera sigue una ley uniforme entre 60 Km/h y 120 km/h. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto: a) tenga una velocidad de 80 km/h?; b) tenga una velocidad menor que 95 km/h?; c) tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100 km/h? TABLA DE DISTRIBUCIÓN: Dist. Not. Función de Densidad Función de Dist. E(X) Uni. Cont.
U (a; b)
f (x) = 1 [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b]
DATOS:
2 2
a = 60 b = 120 X ~U [60; 120]
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
¿Qué quiero? a)P (X = 80) =? b)P (X < 95) =? c)P (X < 70) =? SOLUCIÓN 1 a)P (X = 80) = 1201(60) = 60 95 1 7 b)P (X < 95) = 60 60 dx = 12 70 1 1 c)P (X < 70) = 60 60 dx = 6
R R
EJERCICIO 4:10 : 7 pag 152:
El diámetro, x de un circulo se mide aproximadamente 5 x 6. Considerando el diámetro como una magnitud aleatoria X distribuida uniformemente en el intervalo (5; 6). Halle: a) la probabilidad de que el diametro sea mayor a 5:8 cm ; b) la esperanza matemática y la varianza del área del círculo. 41
a+b 2
Var(X) (ba)2 12
}
Datos: * Variable aleatoria X X : diámetro de un círculo * El díametro mide aproximadamente 5 x 6: * La variable aleatoria X sigue una funcíon de distribución uniforme (U ) de parámetros [5; 6] * X U [5; 6] Resultados a obtener: a) Probabilidad de que el diametro sea mayor a 5:8 cm: b) La esperanza matemática y la varianza del área del círculo. ¿Cómo lo hago? *Pr(x > k) = k1 f (x) dx Desarrollo
R
Función de Distribución 1; si x 2 [5; 6] f (x) = f 0; si x 2= [5; 6] 6 a)Pr(x > 5:8) = 5:8 dx = x[65:8 = (6 5:8) = 0:2 b) De…nimos una nueva variable aleatoria , Y , como el área de un círculo. Área de un circulo segun los parámetros de la variable aleatoria X; de…ne los parámetro de Y .
R
2
a1 = a4 = 25 4 b2 b2 = 4 = 9
La variable aleatoria Y sigue una funcíon de distribución uniforme (U ) de parámetros [ 25 4 ; 9] Y
U [ 25 4 ; 9] 25
a+b 4 +9 = 61 2 = 2 8 25 2 (9 4 )2 ar(Y ) = (b12a) = 12
E (Y ) =
V = EJERCICIO 4:10 : 1 pag 151:
121 2 192
6:223
Una llamada telefónica llegó a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado. TABLA DE DISTRIBUCIÓN Dist. Not. Función de Densidad Función de Dist. E(X) Uni. Cont.
U (a; b)
f (x) = 1 [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b]
2 2
42
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
a+b 2
Var(X) (ba)2 12
DATOS: a = 0 b = 70 X ~U [0; 60]
¿Qué quiero? a)P (X > 15) =? SOLUCIÓN 60 1 a)P (X > 15) = 15 60 dx =
R
3 4
= 0:75 EJERCICIO 4:10 : 9 pag 153:
A partir de las 12:00 de la noche un centro de cómputo trabaja dos horas y para una. Una persona llama al centro un momento aleatorio entre las 12:00 y las 05:00 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro esté trabajando cuando llama la persona? TABLA DE DISTRIBUCIÓN Dist. Not. Función de Densidad Función de Dist. E(X) Uni. Cont.
U (a; b)
f (x) = [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b] 1
2 2
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
a+b 2
DATOS: X : Variable aleatoria tiempo que la persona puede llamar al centro de computo X U [a; b] [a; b] : intervalo entre 12 y 5 horas o entre 0 y 5 horas Solución: Función densidad 1
f (x) = Entonces: f (x) =
ba ;
0;
1 5;
0;
si x [a; b] si x = [a; b]
2 2 0x5
si caso contrario:
La probabilidad de que llame al centro entre las 12 y 5 horas después de 2 horas laborales y esperara 1 hora de descanso. La persona llamara a 12:00 a menos que llame 2:00 o después de 3:00. Entonces, la probabilidad de que el centro de cómputo este trabajando cuando llama la persona es: P [(0 2 2 5 + 5 =
x 2) o (3 x 5)] = R 02 15 dx + R 35 15 dx = 51 (2 0) + 51 (5 3) 4 5
=
= 0; 8
EJERCICIO 4:10 : 10 pag 153:
En una práctica de precisión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una línea de un kilómetro de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una distancia menor que setenta y cinco metros del centro. Calcule la probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea.
43
Var(X) (ba)2 12
Dist. Uni. Cont.
Not. U (a; b)
Función de Densidad
f (x) = [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b] 1
8< :
2 2
DATOS:
Función de Dist.
X ~u[0; 1000]
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
RESOLUCION: P (425 < X < 575) =
1 1 3 574 1000 dx = 1000 x 425 = 20
j
8 LEY EXPONENCIAL. EJERCICIO 4:10 : 11 pag 153:
Escriba las funciones de densidad y distribución y los valores de la esperanza y varianza para las variables aeatorias que siguen una ley exponencial: a)E (6); b)E (3); c)E (0:5); Tabla función de distribución: Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. Fun. de dist. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! F (x) = k e k! 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DATOS: a)E (6); b)E (3); c)E (0:5); ¿Qué quiero? a)E (6) =? b)E (3) =? c)E (0:5) =? Solución: 6 6 6 a)E (6) => P (X = k) = e6 6k! ; F (x) = k e k! 3 3 3 b)E (3) => P (X = k) = e3 3k! ; F (x) = e k k! 0:5 0:5 0:5 0:5 0:5 c)E (0:5) => P (X = k) = e e k k! ; F (x) = k! k
k
P P
k
k
EJERCICIO 4:10 : 12 pag 153:
P
k
k
P
k
Se prueban dos elementos que trabajan independientemente. El tiempo de trabajo del primer elemento tiene distribución E (0:02) y el segundo elemento E (0:05). Halle la probabilidad de que en el tiempo de duración t = 6 horas: 1. a) ambos elementos fallen; (a) ambos elementos no fallen; 44
k
(b) solo falle un elemento; (c) falle por lo menos un elemento. Tabla función de distribución: Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DATOS(Qué tenemos) E (0:02) y E (0:05); Función de la Distribución Exponencial t = 6; tiempo de duración. RESULTADOS(Qué queremos) COMO
k
0; f (x) = e 0;;
Fun. de dist. F (x) =
k
x < 0 x 0 x < 0 F (x) = x 1 e ; x 0 P (X = k) = F (X ) x
DESARROLLO a)Para E (0:02)
0; x < 0 1 ex; x 0 P (X 6) = F (t) = 1 e(6)(0:02) = 1 e0:12 = 0:1137 Para (0:05) 0; x < 0 F (t) = x 1 e ; x 0 P (X 6) = F (t) = 1 e(6)(0:05) = 1 e0:3 = 0:2592 P = 0:1137 + 0:2592 = 0:3729 F (t) =
E
b)Se puede calcular por: 1
" probabilidad ambos f allen" = 1 0:3729 = 0:6271
c)Lo calcularemos del siguiente modo: Probabilidad que falle A + Probabilidad que falle B 0:1137 + (1 0:2592) = 0:8545 (6)(0:02) (6(0:02))1 d)P = e = 0:10643 1 EJERCICIO 4:10 : 13 pag 152:.
La duración (en minutos) de las llamadas telefónicas de larga distancia desde Quito es una variable aleatoria con densidad f (t) =
0;
si t 0 ce ;si t › 0 t
3
Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada dure: 45
k k!
P e
a) menos de 3 minutos b) más de 6 minutos c) entre 3 y 6 minutos d) Calcule la esperanza de la variable aleatoria e interprete su signi…cado Tabla función de distribución: Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. Fun. de dist. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! F (x) = k e k! 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1. DATOS: variable aleatoria : duración de la llamada k
P
c =? 2
Z
t
a) ce 3 dt =?
0
Z 1
t
b) ce 3 dt =?
6 6
Z
t
c) ce 3 dt =?
3
d) E(X) =? 2. ¿CÓMO LO HAGO? Mediante la distribución exponencial "() ; P (X = k) =
ce
t
ce
dt = 1
3
0
Z 1
c e
t
dt = 1
3
0
t
3ce1 j10 dt = 1 ! 3ce
1
3
c =
3
3
0
dt + 3ce 3 = 1
= 0:33333
2
a)
Z
1 3e
t
3
dt = : 1
0
Z 1
t
b) ce 3 dt = e
e1 = 0:63212 t
3
6 6
Z
t
c) ce 3 dt = e
3 1 E(X) = 3
j16 = e
t
3
j63 = e
1
6 3
3
+e
+e
3 3
6 3
=
d)
46
t
0
3. 1 SOLUCIÓN
Z
Z 1
= e2 = 0:13534
e2 + e1 = 0:23254
3
dt
k
CONCLUSIÓN: El valar de C es 0:33333 a)La probabilidad de que una llamada dure menos de 3 minutos es 0:63212 b)La probabilidad de que una llamada dure mas de 6 minutos es 0:13534 c)La probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos es 0:23254 EJERCICIO 4:10 : 14 pag 153. La caducidad, en años, de cierto tipo de reactivo químico utilizado en histopatología tiene una distribución exponencial con parámetro 4. a) Halle el tiempo esperado de caducidad b) calcule la probabilidad de que en un frasco de ese reactivo sea considerado caduco en el primer año luego de producido; c) Si en un laboratorio se compraron 4 frasco de ese reactivo, cuál es la probabilidad de que luego de un año solo uno sea utilizable. TABLA DE DISTRIBUCIÓN Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. Fun. de dist. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! F (x) = k e k! 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: DATOS: k
= 4 x_ : tiempo de caducidad
BUSCAR: a)E (4) =? b)F (1) =? c)P (X = 3) =? SOLUCIÓN:
, si x < 0 ,si x 0 , si x < 0 F (X ) = 4x , si x 0 1e 1 a)E (4) = 4 = 0:25 años 1 12 meses 0:25 x => x = 3 meses
0 F (X ) = 1 0 e
x
b)F (1) = 1 e4(3) = 1 e12 = 0:99 4 c)P (X = 3) = e 6(64) = 0:19537
EJERCICIO 4:10 : 15 pag 153:.
1. Datos f (x) =
1 60 e
0
60
t
Si x 0 si x < 0
Hallar Como 47
P
k
Notación
Función de densidad
f (x)
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
ex
"()
1
1
ex
Resolución del problema. Conclusión. EJERCICIO 4:10 : 16 pag 154:
Suponga que la duración, en minutos, de una conversación telefónica sigue una ley exponencial E ( 15 ). Encuentre la probabilidad de que Ia duración de una conversación telefónica: a) exceda los 5 min; b) dure entre 3 y 6 min; c) dure menos de 3 min; TABLA DE DISTRIBUCIÓN Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. Fun. de dist. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! F (x) = k e k! 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: DATOS: k
P
= 51 x_ : tiempo de conversación
BUSCAR: a)P (X > 5) =? b)P (3 < X < 6) =? c)P (X < 3) =? SOLUCIÓN: , si x < 0 0 F (X ) = x ,si x 0 e a)P (X > 5) = 1 P (X 5) = 1 05 ex = 1 05 15 e 5 = 0:368 3 6 b)P (3 < X < 6) = 36 15 e 5 = e 5 e 5 = 0:24762 3 c)P (X < 3) = 03 15 e 5 = 1 e 5 = 0:45119
R
R
X
R
R
X
X
EJERCICIO 4:10 : 17 pag 154:
17. La duracion de unos neumaticos de una marca determinada sigue una ley exponencial cuyo promedio es 30(unos miles de kilometro) Calcule la probabilidad: a) mas de 30 mil kilometros b) mas de 30 mil kilometros, dado que a durado 15 mi kilometros Sabemos que: F (x) =
0; si x < 0 x e ; si x
1 x = 30 e = e = 0:03 X = V ariable Aleaoria
0
48
k
a) mas de 30 mil kilometros k 30 P (X = 30) = 1 exp P (X = 30) 0; 5934
30(0:03)
1
=1
exp1
0:9
b) mas de 30 mil kilometros, dado que a durado 15 mi kilometros k > 30 15(0:03) P (X = 15) + P (X = 30) = 1 exp 1 +1 P (X = 15) + P (X = 30) 0:95580
exp1
0:9
=2
exp1 exp1 0:45
0:9
EJERCICIO 4:10 : 19 pag 154:
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos sigue una ley exponencial de media 2:4. Calcule la probabilidad de que un sismo sea. a) Mayor que 3 grados en la escala Richter. b) Entre 2 y 3 grados en la escala de Richter. c) El sismo producido en la India el 30 de septiembre de 1993 tuvo la intensidad de 6:4 grados, ¿Cuál es la probabilidad de que un sismo supere esta intensidad? Dist. Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. Fun. de dist. 1 1 Exp. "() P (X = k) = e k! F (x) = k e k! 2 Planteamiento del problema Datos: k
P
"() = 2:4 n = 2; 3; 6:4
Resultados Calcular la probabilidad de un sismo sea. a) Mayor que 3 grados en la escala Richter. b) Entre 2 y 3 grados en la escala de Richter. c) El sismo producido en la India el 30 de septiembre de 1993 tuvo la intensidad de 6:4 grados, ¿Cuál es la probabilidad de que un sismo supere esta intensidad? Como Distribucion Exponencial si x < 0; f (x) = 0; e si x 0; e ; donde es una constante positiva. Se denota como X "(): Funcion de distribucion correspondiente es si x < 0 F (x) = 0; si x 0 1 ex Resultado del Problema a) E (x) = 2:4 1 = 1 = 2:4 si x < 0; F (x) = 0; si x 0; 1 e x=2:4 P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 F (3) = 0:2865
49
k
b) P (2 X 3) = P (X 2) P (X 3) = (e2=2:4 ) + ( 1 e3=2:4 ) 1 =
0:14809 c) Pr(X > 2:4 + 6:4 X > 2:4) = = 0:069483
j
Pr(X>8:8) Pr(X>2:4)
F (8:8) = 11 F (2:4) = 6: 9483
102
Respuesta a) Mayor que 3 grados en la escala Richter. P (X > 3) = 0:2865 b) Entre 2 y 3 grados en la escala de Richter. P (2 X 3) = 0:14809 c) El sismo producido en la India el 30 de septiembre de 1993 tuvo la intensidad de 6:4 grados, ¿Cuál es la probabilidad de que un sismo supere esta
intensidad? P (X > 2:4 + 6:4 X > 2:4) = 0:069483 EJERCICIO 4:10 : 20 pag 154:
j
El tiempo de reparacion de unas computadoras tiene una distribucion aproximadamente exponencial con media de 22 minutos a) Halle la probablilidad de que el tiempo de reparacion sea menor que diez minutos b) El costo de reparacion es de 20 dolares por cada media hora o fraccion ¿Cual es la probabilidad de que la reparacion cueste 40 dolares? c) Para efectuar una programacion ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparacion para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparacion mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1? 8.0.1 Planteamiento del problema
8.1 ¿Que tengo ? Datos =
1 22
8.2 ¿Que quiero? Calcular la probabilidad de que: a) P (X < 10) b) P (30 X 60) c) P (X > t)
8.3 ¿como lo hago? Dist. Exp.
Notacion "()
E(X) 1
Var(X) 1 2
50
Fun. de den. k P (X = k) = e k!
Fun. de dist. F (x) =
k
k k!
P e
8.4 Solución: Consideramos la variable aleatoria X :que representa el tiempo de reparacion de las computadoras.Como 1 1 E (X ) = 22 = 1 ;entonces = 22 ) y X v "( 22 su funcion de densidad es: 1 f (x) = 22 e X 10 1 a) P (X < 10) = 0 22 e 22 dx X = e 22 10 0 5 11 =1 e = 0:36 X 60 1 22 dx b)P (30 X 60) = 30 22 e X = e 22 60 30 30 15 11 = e + e 11
X
22
; x > 0
R
j
R
j
= 0:19033
c) Representamos por t con ( t >0) al tiempo asignado a una reparacion debe veri…carse: P (X > t) = 0:1
es decir
X dx = e 22 1 t t = e 22 = 0:1 y esto se cumple para t = 22 log(0:1) = 50:657
R 1 t
1 22 e
X
22
j
51 minutos
8.4.1 Conclusion: La probablilidad de que el tiempo de reparacion sea menor que diez minutos es de 0.36 La probabilidad de que la reparacion cueste 40 dolares es de 0.190 El tiempo que se debe asignar a cada reparacion para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparacion sea solo de 0.1 es de 51 minutos EJERCICIO 4:10 : 21 pag 154:
Una re…nadora e azucar tiene cinco plantas de proceso, y todas reciben azucar blanca y a granel. La cantidad de azucar que puede procesar en un dia se puede representar mediante una ley exponencial con promedio de 3(medidas de tonelada), para cada una de las cinco plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcule la probabilidad de que exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de 4 toneladas en un dia determinado. Planteamiento del problema Datos 51
X : La cantidad que puede procesar una planta en un dia determinado.
Plantas de proceso= 5 Ley exponencial con promedio = 3 toneladas Resultado (Que queremos) a) Calcule la probabilidad de que en exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de 4 toneladas p(x > 4)
Como lo hago Distribucion Exponencial Distribucion Binomial Solucion F (x)
1 x 3 3e
x > 0 0 otros
1
¡ p(x > 4) 41 13 e 3 dx 1 ¡ p(x > 4) 13 41 e 3 dx = 0:26
R R
Utilizamos la distribucion Biniomial p = 0:26 q = 0:74 n = 5 k = 2 P (k) = C kn pk (q )(nk) P (k) = C 25 (0:26)2 (0:74)(52) P (k) = 0:27
Conclusion La probabilidad de que en exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de4toneladas es 27%
9 LEY NORMAL. EJERCICIO 4:10 : 24 :pag 155
Usando la tabla de la ley Normal estandar, determinar: a) P (Z < 0:83) P (Z < 0:83) < 0:7967 b) P (Z < 1:27) P (Z < 1:27) < 0:1020 c) P (Z > 0:83)
52
P (Z > 0:83) > 0:7967 d) P (Z > 1:27) P (Z > 1:27) > 0:1020 e) P (0:47 < Z < 1:08) P (0:47 < Z < 1:08) = 0:6808 < Z < 0:8599 = 0:6808 + 0:8599 = 1: 5407 f) P ( 1:39 < Z < 1:39) P ( 1:39 < Z < 1:39) = 0:023 < Z < 0:9177 = 0:023 + 0:9177 = 0:9407 g) P (Z > z 1 ) = 0:06 Aproximando z1 = 1:55 h) P (0:90 < Z < z 1 ) P (0:90 < Z < z 1 ) = 0:1841 < Z < 0:06 = 0:1841 + 0:06 = 0:2441 EJERCICIO 4:10 : 25 pag 155:
Dada la variable aleatoria X, distribuida normalmente con media 18 y desviación estándar 2:5 1. Datos X : sigue una distribución normal = 18 = 2; 5
Hallar Como Notación
Función de densidad 1
1 p e 2 ( 2 2
N (; 2 )
x
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
f (x) )
R
Resolución del problema. P (X < 15) P (X
< 15) = F (15) = =
15 18 2; 5
1:2 = 0:1151
P (X < x 1 ) P (X P (X
< <
! x1 x1
= =
x1 ) = F (x1 ) = x1 18 x1 ) = 2; 5 x1 18 = 0; 76 2; 5 ( 0; 76)(2; 5) + 18 16:1
53
2
x (t 22) dt 1 (x; ; ) = p 2 e 1
u 2
1
P (X < x 1) 1
P (X
< =
! x1 x1
= =
x 18 x )= 1 2;x5 18 0; 1816 = 1 x 18 2; 5 1
1
1
12; 5 = 0:91 0:91 (2:5) + 18 1
20:28
Conclusión. EJERCICIO 4:10 : 26 :pag 155
Se tiene una variable aleatoria Y con media 5 y varianza 16 a). Escriba su función de densidad. b). Halle las probabilidades: P (Y < 6); P (Y > 4) y P ( jY j < 3) :
9.1 Planteamiento del Problema
DATOS Y : variable aleatoria continua que sigue una distribución normal = 5 V ar (Y ) = 16 = 1; 2; 3; 4; 5; 6
f
g
¿QUÉ QUIERO? a). Escriba su función de densidad. b). P (Y < 6); P (Y > 4) y P ( jY j < 3)
¿CÓMO VOY A HACERLO? Distribución Normal
Notación Función de Distribución N (; )
F (x) =
9.2 Resolución del Problema a).
54
p 1 2
x
(t
R 1 e
) 2 =2
Función de Densidad 2
dt
f (x) =
2 p 1 e(x ) =2 2
Esper 2
E (X )
V ar(Y ) = 16 = V ar(Y ) = 16 = 4 Entonces: Y v N (5; 4) 2 f (x) = 4p 12 e(x 5) =32
p
p
b). 6 5 4
6 5 4
= = (0:25) = 0:5987 P (Y > 4) = 1 P (Y 4) = 1 = 1 (0:25) P (Y < 6) =
4 5 4
= 1 0:4013 = 0:5987 P ( Y < 3) = P ( 3 < Y < 3) = F (3) F ( 3) 5 = 3 345 4 = ( 0:5) ( 2:0) = 0:3085 0:0228 = 0:2857
j j
9.3 Conclusiones 2 a). La función de densidad f (x) = 4p 12 e(x 5) =32
b).
P (Y < 6) = 0:5987 P (Y > 4) = 0:5987 P ( Y < 3) = 0:2857
j j
EJERCICIO 4:10 : 27 :pag 155
Una variable aleatoria Z está distribuida normalmente, Z N(1,16). Calcule: a) Pr(Z < 0) b) Pr(Z 3) c) Pr( jZ j < 3) d) Pr( jZ j > 2)
s
9.3.1 Planteamiento del problema: Datos: Z N(1,16) La variable aleatoria continua sigue una ley de distribucion normal con : Media o valor esperado = 1 Desviacion tipica 2 = 16 s
Resultado: a) Pr(Z < 0) b) Pr(Z 3) c) Pr( jZ j < 3) d) Pr( jZ j > 2) 55
Como: F (x) = (
x
);
Tabla de distribucion Normal
Resolucion: a) Pr(Z < 0) = F (0) 0
Pr(Z < 0) = (
1)
4 Pr(Z < 0) = ( 0:25); por valor de la tabla tenemos Pr(Z < 0) = 0:4013
b) Pr(Z 3) = 1 Pr(Z < 3) Pr(Z
3) = 1 F (3) 31 Pr(Z 3) = 1 ( ) 4 Pr(Z 3) = 1 (0:5); por valor de la tabla tenemos Pr(Z 3) = 1 0:6915 Pr(Z 3) = 0:3085 c) Pr( jZ j < 3) = Pr(3 < Z < 3) Pr(jZ j < 3) = F (3) F (3) 31 3 1 ) Pr(jZ j < 3) = ( ) ( 4 4 Pr(jZ j < 3) = (0:5) (1); por valor de la tabla tenemos Pr(jZ j < 3) = (0:6915) (0:1587) Pr(jZ j < 3) = 0:5328
Observacion: el resultado del inciso c, no coincide con la respuesta del libro sin embargo se veri…co este resultado con una calculadora de probabilidad normal en linea. link calculadora normal: http://www.ugr.es/~jsalinas/normal.htm d) Pr( jZ j > 2) = 1 Pr(jZ j 2) Pr( Z > 2) = 1
j j Pr( 2 21 Z 2)2 1 Pr(jZ j > 2) = 1 ( ) ( ) 4 4 Pr(jZ j > 2) = 1 [(0:25) (0:75)] ; por valor de la tabla tenemos Pr(jZ j > 2) = 1 (0:5987 0:2266) Pr(jZ j > 2) = 1 (0:3721) Pr(jZ j > 2) = 0:627
EJERCICIO 4:10 : 28 pag 155
Se experimenta con un medicamento que produce variacion en el peso de las personas que los toman. Pruebas de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la variacion del peso sigue una distribucion gaussiana de media 2 kg y desviacion estandar de 1.25 kg. Determine la probabilidad de que una persona; a) haya aumentado al menos 1 kg; b) haya rebajado de peso; c) haya aumentado menos de 3 kg.
56
9.4 Planteamiento del problema 9.4.1 Datos :espacio muestral
Variable aleatoria X : peso de una persona Desviacion estandar = 1:25 Media = 2 P (X 1) P (X = 0) P (0 < X < 3)
9.4.2 Buscar probabilidad de P (X 1), P (X < 1), P (X < 3) 9.4.3 Procedimiento P () = 1
F (x) = ( x )
9.5 Resolución del problema P (X
1) = 1 P (X < 1)
1. (a)
= 1 F (1) 2 ) = 1 ( 11:25 = 1 ( 0:8) = 1 0:2119 = 0:7881
(b) P (X = 0) = P (X = 0) = F (0) 02 = ( 1:25 ) = ( 1:6) = 0:0548
(c) P (0 < X < 3) = F (3) F (0)
32 2 ) = ( 1:25 ) ( 01:25 = (0:8) ( 1:6) = 0:7881 0:0548 = 0:7333
57
9.6 Respuesta 1. (a) P (X 1) = 0:7881 (b) P (X = 0) = 0:0548 (c) P (0 < X < 3) = 0:7333 EJERCICIO 4:10 : 29 :pag 155
La compañía aérea Helios sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación estándar 5 minutos. Calcule la probabilidad de que: a) Un vuelo no tenga retraso. b) El próximo vuelo llegue con no más de 12 minutos de retreso. c) El próximo vuelo llegue con más de 15 minutos de retraso. Planteamiento del problema Datos = 10 = 5
Resultados Calcular la probabilidad de que: a) Un vuelo no tenga retraso. b) El próximo vuelo llegue con no más de 12 minutos de retreso. c) El próximo vuelo llegue con más de 15 minutos de retraso. Como Distribucion normal 2 2
1 f (x) = p 2 e(x) =2 ; x ( ; ) donde es un valor real cualquiera y es positivo. A tal variable aleatoria se notará como X N (; 2 ): F (x) = ( x )
2 1 1
Resultado del Problema a) P (X = 0) = F (0) = ( 0510 ) = 0:02275 b)P (X 12) = F (12) = ( 125 10 ) = (0:4) = 0:65542 c)P (X > 15) = 1 P (X 15) = 1 F (15) = 0:15866 Respuesta a) P (X = 0) = 0:02275 b)P (X 12) = 0:65542 c)P (X > 15) = 0:15866 EJERCICIO 4:10 : 30 :pag 156
La Cruz Roja ha determinado que tiempo necesario para que una de sus ambulancias llegue al sitio donde hay una emergancia se distribuye segun una variable normal de media 17 min y desviacion estandar 3 min. a) Calcule la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 12 min y 21 min; b) ¿Para que valores del tiempo t, la probabilidad de que la ambulancia emplee mas de t minutos en llegar es del 5%? 58
9.6.1 Plantamiento del Problema Datos X la variable aleatoria continua sigue una ley de distribucion normal. XN(17,9) X={tiempo necesario para que una de sus ambulancias llegue al sitio donde hay una emergancia} con: media () = 17 desviacion estandar()=3 Queremos saber la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 12 min y 21 min; Pr(12 < X < 21) queremos saber el tiempo que tarda en llegar a cierto sitio sea del 5%. Pr(X > t) = 0:05
Formulas a utilizar
F (x) = ( x ) Pr(X < K ) = F (K )
Resolucion del problema a) Pr(12 < X < 21) = F (21) F (12) 17 17 = ( 21 ( 12 3 ) 3 ) = ( 43 ) ( 35 ) = (1:33) ( 1:66)por valor de la tabla tenemos = 0:9082 0:0485 = 0:8597 b) Pr(X > t) = 0:05 1 Pr(X < t) = 0:05 1 ( t317 ) = 0:05 1 0:05 = ( t317 ) 0:95 = ( t317 )por valor de la tabla tenemos t17 3 = 1:64 t = 1:64 3 + 17 t = 4: 92 + 17 = 21: 92 t 22
Conclusion La probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 12 min y 21 min es de 0:8597: El tiempo que tarda en llegar a cierto sitio sea del 5% es de 22 min. EJERCICIO 4:10 : 31 :pag 156
Los errores de medicion de peso de una balanza obedecen a una ley normal con desviacion estandar 20 mg y esperanza 0 mg. Halle la probabilidad de que tres mediciones independientes, el error de por lo menos unas de ellas no sea mayor en valor absoluto de 4 mg. entonces se la función de distribución
59
f (x) =
entonces
1 20 ; si 19 20 ; si x
x [0;0:2] = [ 0:4; 0:4]
2 2
20
Z
20)+P (X 2 20)+P (X 3 20) = 3 201 dx = 203 limn!1 R n20dx = 1 3 3 3 20 lim x j = lim (20 n) = ( 1) = 0:15 n !1 n !1 n 20 20 20 Utilizando la Tabla de le Normal P (X 20) = 0:4404 1 f (x) = p 40 e dx = 0:31445 P (X 1
x2
2
40
EJERCICIO 4:10 : 32 :pag 156
Se aplicó una prueba de ‡uidez verbal a 500 alumnos en Educación Básica. Se supone que las pumtuaciones se distribuyen segun una normal de media 80 y desviación estandar 12. a) ¿Qué puntuación separa el 25% de los alumnos con menos ‡uidez verbal? b) ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 45% de los alumnos con mayor ‡uidez verbal? c) ¿Cuantos alumnos tienen una ‡uidez menor a 76 puntos?
9.7 Planteamiento del problema. 9.7.1 ¿Qué tengo?(Datos) T :"Puntuación de un alumno en un examen" = 80 = 12 T v N (; ), la variable aleatoria T sigue una ley de distribución Normal, de parametros = 80 y = 12
9.7.2 ¿Qué quiero? a) P (T < x) = 0:25 ; x =? b) P (T > x) = 0:45 ; x =? c) P (T < 76) =? 9.7.3 ¿Como lo hago? a) P (T < x) = F (x) =
x
b) P (T > x) = 1 P (T < x) c) P (T < 76) = F (76)
Nota: En todos los casosnos ayudaresmos de la tabla de la Distribusión Normal Estandar
60
9.7.4 Resolución del problema a) P (T < x) = 0:25 P (T < x) = F (x) =
x 80 12
= 0:25
Guiandonos en la tabla podemos observar que (0:67) = 0:2514 que es el que mas se aproxima a 0:25 x80 12
= 0:67 x = ( 0:67 12) + 80 = 71: 96
72
b) P (T > x) = 0:45 P (T > x) = 1 P (T < x) = 1 F (x) = 1 0:45 = 0:55
F (x) = 0:45
Guiandonos en la tabla podemos observar que (0:13) = 0:5514 que es el que mas se aproxima a 0:55 x80 12
= 0:13 x = (0:13 12) + 80 = 81: 56
c) P (T < 76) = F (76) =
7680 12
= (0:33) = 0:37
Como el 37% de los alumnos tienen una una ‡uidez menor a 76 Calculamos el 37% de 500 na : numero de alumnos que tienen una ‡uidez menor a 76 na = 0:37
500 = 185:0
9.7.5 Concluciones a) El 25% de los alumnos con menor ‡uidez verbal obtiene puntuaciones inferiores a 72 b) El 45% de los alumnos con mayor ‡uidez verbal obtiene puntuaciones superiores a 81:56 c) El número de alumnos qu tiene una ‡uidez menor a 76 son: 185 alumnos EJERCICIO 4:10 : 33 :pag 156
El perímetro craneal de los hombre, medido en cm, es una variable aleatoria normal N (60; 4) 1. (a) ¿Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16; 6% de sus paisanos "tengan más cabeza que él"? (b) ¿Y cuánto para que el 25; 5% tenga menos? 61
Planteamento del problema: Datos: = 60 = 2
Busco: 1. (a) k =? nP r(X > k) = 0; 166 (b) k =? nP r(X k) = 0; 255
Cómo: t 1 1 ( )2 dt * N (; 2 ) = p 2 1 e 2 * Z = X * Tablas de aproximación de la distribución normal Resolución: t
R
1. (a) P r(X > k) = 0; 166 1 P r(X k) = 0; 166 1 ( k260 ) = 0; 166 ( k260 ) = 1 0; 166 ( k260 ) = 0; 834 ( k260 ) = (0; 97) k60 = 0; 97 2 k = (0; 97)2 + 60 k = 1; 94 + 60 k = 61; 94 62
R: El perímetro craneal que debe tener un hombre para que el 16; 6% de sus paisanos "tengan más cabeza que él es de 62cm 1.
b. Pr(X k) = 0; 252
( k260 ) = ( 0; 67) k60 = 0; 67 2
k = ( 0; 67)2 + 60 k = 60 1; 34 k = 58; 66 58; 7
R: El perímetro craneal que debe tener un hombre para que el 25; 5% de sus paisanos "tengan menos cabeza que él es de 58; 7cm PROBLEMA 34 34. Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Se sabe que la ley de distribución del C.I. es normal con media 0:95 y desviación estándar 0:22. En una población con 2600 personas se desea saber: a) ¿Cuántas tendrán un C.I. superior a 1:3? b)¿Cuántas tendrán un C.I. inferior a 0:77? c)¿Cuántas tendrán un C.I entre 0:8y 1:15? 62
9.8 ¿Qué tengo? X v N (; ), la variable aleatoria X sigue una ley de distribución Normal, de parametros: Media o valor esperado = 0:95 Desviacion estandar = 0:22 ¿Qué quiero? a)Pr(X > 1:3) =? b)Pr(X < 0:77) =? c) Pr(0:8 < X < 1; 15) =?
Como lo hago F (x) = (
a)Pr(X Pr(X Pr(X b)Pr(X Pr(X Pr(X c) Pr(0:8 Pr(0:8 Pr(0:8 Pr(0:8
x
);
Distribucion Normal
> 1:3) = F (1:3) 1:3 0:95 > 1:3) = 1 ( ); por valor de la tabla tenemos 0:22 > 1:3) = 45 < 0:77) = F (0:77) 0:77 0:95 < 0:77) = ( ); por valor de la tabla tenemos 0:22 < 0:77) = 537 < X < 1; 15) = F (1:5) F (0:8) 1:15 0:95 0:8 0:95 < X < 1; 15) = ( ) ( ) 0:22 0:22 < X < 1; 15) = (0:90) ( 0:68); por valor de la tabla tenemos < X < 1; 15) = 4:84
EJERCICIO 4:10 : 35 :pag 156
Se va a contruir un marco para montar una puerta ¿que altura minima ha de tener el marco para que el 1% de la poblacion tenga riesgo de chocar su cabeza al atravezarla, si la estatura de la poblacion esta distribuida normalmente, con media = 1; 72m y varianza 2 , con = 12cm ? Datos: x - altura del marco N (; 2 ) = N (1; 72;122 ) La variable aleatoria X esta de…nida por la ley de distribución normal. Hallar: P (x < h) = 0; 01
63
Desarrollo: Se tiene que:
1;72 P (x < h) = ( h12 ) = 0; 01
En la tabla de la ley normal, se encuentra que (0; 03) = 0; 01 es decir, se cumple que: h1;72 12
= 0; 03
entonces:
h = 0; 03(12) + 1; 72 h = 2; 08m EJERCICIO 4:10 : 36 :pag 156
La estatura de la población masculina está normalmente distribuida con = 167 cm y = 3 cm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre tenga una estatura: (i) mayor que 167 cm? (ii) mayor que 170 cm? (iii) entre 161 y 173 cm? b) En una muesta aleatoria de cuatro hombres ¿Cuál es la probabilidad de que: (i) todos tengan estatura mayor que 170 cm? (ii) dos tengan estatura menor que la media (y dos mayor que la media)? 9.8.1 Planteamiento del problema: Datos: Media o valor esperado = 167 Desviacion estandar = 3 Resultado: a) (i) Pr(X > 167) = 0; 5 (ii) Pr(X > 170) = 0; 1587 (iii) Pr(161 < X < 173) = 0; 9544 b) (i) Pr(Y = 4) = 0; 0006 (ii) Pr(Y = 2) = 0; 375 Como: F (x) = (
x
);
Tabla de distribucion Normal
Resolucion: a) (i) Pr(X > 167) = 1 Pr(X > 167) Pr(X > 167) = 1
F (167) 167 167 Pr(X > 167) = 1 ( ) 3 Pr(X > 167) = 1 (0); por valor de la tabla tenemos 64
Pr(X > 167) = 0:5
(ii) Pr(X > 170) = 1 Pr(X > 170) Pr(X > 170) = 1
F (170) 170 167 Pr(X > 170) = 1 ( ) 3 Pr(X > 170) = 1 (1); por valor de la tabla tenemos Pr(X > 170) = 0; 1587
(iii) Pr(161 < X < 173) = F (173) F (161)
167 ) ( 161 167 ) 3 3 Pr(161 < X < 173) = (2) (2) Pr(161 < X < 173) = 0; 9772 0; 0228 Pr(161 < X < 173) = (
173
Pr(161 < X < 173) = 0; 9544
(b) (i) Pr(Y = 4) = (0; 1587)4 = 0; 0006 (ii) Pr(Y = 2) = C 42 (0; 5)4
Pr(Y = 2) = 2!(44!2)! (0; 5)4 Pr(Y = 2) = 6:(0; 5)4 Pr(Y = 2) = 0; 375
EJERCICIO 4:10 : 37 :pag 156
El peso de las fundas de papas fritas producidas por una fabrica sigue una distribución normal con una media 12.8 onzas y desviación estandar 0.6 onzas 1. a)¿Que proporcion de las fundas pesan más de 12 onzas? b)¿Qué proporción de las fundas pesan entre 13 y 14 onzas? c)Determine el peso tal que el 12.5% de las fundas pesen más que ese peso. d)Si el fabricante desea mantener la media en 12.8 onzas pero ajusta la desviacion estandar tala que solo el 1% de las fundas pese menos de 12 onzas ¿Cuál debe ser el valor de la desviación estandar? Datos. X: sigue una distribución normal de parametros ; = 12:8 2 = 0:6 = 0:77
Hallar 65
Como Notación
Función de densidad 1 p e 2 2
N (; 2 )
f (x)
1 x u 2 ) 2(
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
R
Resolución del problema.
P (X > 12) P (X
> 12) = 1 P (X 12) = 1 F (12) 12 12:8 = 1 0; 77 = 1 ( 1; 04) = 1 01492 = 0; 88508
P (13 < X < 14) P (13 < X < 14) = F (14) 14 P (13 < X < 14) = P (13 < X < 14) =
F (13) 13 12:8 12:8 0; 77 0; 77 14 12:8 13 12:8
0; 77 P (13 < X < 14) = (1:56) (0; 26) P (13 < X < 14) = 0:9406 0:6026 P (13 < X < 14) = 0:338
0; 77
Conclusión EJERCICIO 4:10 : 38 :pag 156
La estatura de la población masculina y femenina siguen leyes de distribución normal. La masculina tiene u1 = 1:67m y 1 = 12cm y la femenina u2 = 1:55my 2 = 10cm: Se tiene una pareja en la cual el varón mide 1:70m y la mujer 1:60m. Comparativamente, ¿Cuál de los dos es mas alto respecto a los miembros de su sexo? 1:67 ) Varón: F (x) = ( 1:700:12 = (0:25) = 0:5987 1:55 ) Mujer: F (x) = ( 1:600:10 = (0:5) = 0:6915
R: La mujer es mas alta. 66
2
x (t 22) dt 1 (x; ; ) = p 2 1 e
EJERCICIO 4:10 : 39 :pag 156
Los conductores que se fabrican para utilizar en las computadoras deben tener resistencias que varian entre 0:12 y 0:14 ohm. Las medidas de las resistencias que producen una compañia siguen una ley de distribucion normal de media 0:13 ohm y desviacion estandar 0:005 ohm. a)¿Que porcentaje de la poblacion de la compañia cumple con las especi…caciones? b) Si se usan cuatro de esos conductores en una computadora, ¿cual es la probabilidad de que los cuatro cumplan con las especi…caciones? Planteamiento del problema Datos = 0:13 = 0:005
Resultados a)¿Que porcentaje de la poblacion de la compañia cumple con las especi…caciones? b) Si se usan cuatro de esos conductores en una computadora, ¿cual es la probabilidad de que los cuatro cumplan con las especi…caciones? Como Distribucion normal 2 2
1 f (x) = p 2 e(x) =2 ; x ( ; ) donde es un valor real cualquiera y es positivo. A tal variable aleatoria se notará como X N (; 2 ): F (x) = ( x )
2 1 1
Resultado del Problema 0:13 0:120:13 a)P (0:12 X 0:14) = F (0:14) F (0:12) = ( 0:14 0:005 ) ( 0:005 )
= 0:9545 = 95:45% 0:13 ) = 0:83 b)P (X = 4) = F (4) = ( 40:005
Respuesta a) P (0:12 X 0:14) = 95:45% b) P (X = 4) = 0:83
12(4) = 48 EJERCICIO 4:10 : 40 :pag 157
Los tiempos de la primera avería de una máquina de cierta marca tienen una distribución gaussiana con un promedio de 1500 horas de uso y desviación estándar de 200 horas. a) ¿Que fracción de esas maquinas fallarán antes de 1000 horas? b) ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presente el 5% de las averías dentro del tiempo de garantía?
67
9.9 Planteamiento del problema. 9.9.1 ¿Qué tengo?(Datos) X : Tiempo de la primera avería de una maquina = 1500 = 200 X v N (; ), la variable aleatoria X sigue una ley de distribución Normal, de parametros = 1500 y = 200
9.9.2 ¿Qué quiero? a) P (X < 1000) =? b) P (X < t) = ? 9.9.3 ¿Como lo hago? a) P (X < x) = F (x) = b) P (X < t) = t
x
Nota: En todos los casos nos ayudaresmos de la tabla de la Distribución Normal Estandar 9.9.4 Resolución del problema a) X v N (1500; 200) 1500 P (X < t) = t200 = (0:5)
Guiandonos en la tabla podemos observar que (0:5) = 0:6915 1500 = 0:6915 ! t = 0:69 200 + 1500 = 1561h se sigue t200
9.9.5 Concluciones a) La fracción de las maquinas que fallaran antes de 1000 horas es de 0:0062 b) El tiempo de garantia es de 1560 si se presenta el 5% de averías EJERCICIO 4:10 : 41 :pag 156
El promedio de las cali…caciones de los estudiantes universitarios se distribuye normalmente con media 5.4 y desviación estándar igual a 0.5 puntos. a)¿Qué porcentaje de los estudiantes tienen un promedio de cali…caciones superior a 6? b) Si los estudiantes que tienen un promedio inferior o igual a 4.9 abandonan la universidad, ¿Qué porcentaje de los alumnos decertará? c) Se seleccionan al azar tres estudiantes, ¿ Cuál es la probabilidad de que los tres tengan un promedio de cali…caciones superior a 6?
68
Datos (que tengo) Variable aleatoria X : promedio de cali…cación de un estudiante media u = 5:4 desviación estandar = 0:5 varianza 2 = 0:25 Qué quiero a) Pr(X > 6) b) Pr(X 4:9) c) Pr(X > 6) = 3 Cómo lo hago Distribución Normal X N (u; 2 ) Ley Normal Estandar F (x) = ( x u ) Distribución de Poisson Pr(X = k) = Solución a) Pr(X > 6)
e
k
k!
Pr(X > 6) = 1 Pr(X 6) = 1 F (x) = 1 F (6) u =1 ( x ) 5:4 =1 ( 6 0:5 ) =1 ( 0:6 0:5 ) = 1 [(1:2)] = 1 0:8849 = 0:1151 Pr(X > 6) = 11:51%
b) Pr(X 4:9) Pr(X
4:9) = F (x)xu
= ( ) 5:4 ) = ( 4:90:5 0:5 = ( 0:5 ) = ( 1) = 0:1587 4:9) = 15:87%
Pr(X
c) Pr(X > 6) = 3 Pr(X > 6) = 1 Pr(X 6) = 1 [Pr(X = 0) + Pr(X = 1) + Pr(X = 2) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4) + Pr(X = 5) + Pr(X = 6)] e 3 30 e 3 31 e 3 32 e 3 33 e 3 34 e 3 35 e 3 36 =1 + + + + + + 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! = 1 [0:0497870 + 0:14936 + 0:224041 + 0:224041 + 0:168031 + 0:1008188 + 0:0504094] = 1 0:9610882067
h
69
i
= 0:038911 EJERCICIO 4:10 : 42 :pag 157
En el grupo etnico A, la estatura de las personas (en cm) sigue una distribucion N (165; 25); en el grupo etnico B sigue una N (170; 25) y en el grupo C una N (175;25). Los tres grupos etnicos son muy numerosos. a) Si elegimos una persona del grupo A, ¿cual es la probabilidad de que mida mas de 160 cm? b) Si elegimos 10 personas al azar del grupo etnico A, independientemente unas de otras, ¿cual es la probabilidad de que 5 de ellas midan mas de 160 cm? c) En una ciudad, el 50% de la poblacion pertenece a la etnia A, el 20% pertenece a la B y el 30% restantes a la C. Si elegimos una persona al azar en esta ciudad y mide mas de 172 cm, ¿cual es la probabilidad de que pertenezca al grupo etnico C? d) Si elegimos 10 personas al azar del grupo B, independientemente unas de otras, ¿cual es la probablidad de que al menos 5 midan mas de 172 cm?
9.10 Planteamiento del problema 9.10.1 Datos : Espacio muestral
Variable aleatoria X : Estatura de una persona A = N (165;25) B = N (170; 25) C = N (175;25)
( 2 )1 = 25 ( 2 )2 = 25 (2 )3 = 25
1 = 165 2 = 170 3 = 175
1 = 5 2 = 5 3 = 5
9.10.2 Buscar 1. Probabilidad de P (X > 160) 2. P (X > 160) si se eligen 10 personas al azar del grupo A 3. Probabilidad de pertenecer al grupo etnico C 4. P (X > 172) si se eligen 10 personas al azar del grupo B 9.10.3 Procedimiento F (x) = ( x )
9.11 Resolución del problema 1. (a) P (X > 160) = 1 P (X 160) =1
F (160)
70
165 = 1 ( 160 ) 5 = 1 ( 1) = 1 0:1587 = 0:8413
1. (a) p =
5 10
= 21 P (X > 160) = 1
P (X = 171:5)
= 1 ( 176:55165 ) = 1 (2: 3) = 1 0:9893 = 0:0107
1. (a) a = total de personas en A b = total de personas en B c = total de persona en C ( a5165 ) = 0:05 a165 = 1:64 5
a = 173:2 50 a = 8660 ( b5170 ) = 0:02 b170 = 2:05 5 b = 172:05 20 b = 3441 ( c5175 ) = 0:03 c165 = 1:88 5 c = 184:4 30 c = 5532 T = 17633 P (X > 172) = 1
1 P (X = 17633 ) 175 = 1 ( ) 5 35 = 1 ( 100 ) = 1 (3:5) = 1 0:3632 1 17633
= 0:6368 (b) P (X > 172) = 1 P (X = 178:6) = 1 ( 178:65175 ) = 1 (0:72) = 1 0:7642 = 0:2358
9.12 Respuesta 1.
P (X > 160) = 0:8413
(a) P (X > 160) = 0:0107 71
(b) P (X > 172) = 0:6368 (c) P (X > 172) = 0:2358 EJERCICIO 4:10 : 43 :pag 156
Un procesador de alimentos envasa café en pequeños tarros. Los pesos de los tarros están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 0; 3 onzas. Si el 5% de los tarros pesa más de 12; 492 onzas, ¿cuál es el peso medio de los tarros? Planteamento del problema: Datos: = 0; 3 P r(X > 12; 492) = 0; 05
Busco:
=?
Cómo: t 1 1 ( )2 dt * N (; 2 ) = p 2 1 e 2 * Z = X * Tablas de aproximación de la distribución normal Resolución: t
R
P r(X > 12; 492) = 0; 05 1-P r(X 12; 492) = 0; 05 ) = 1 0; 05 ( 120;3 ) = 0; 95 ( 120;3 ) = (1; 65) ( 120;3 12 0;3 = 1; 65 = 12 (1; 65)(0; 3) = 12 0; 495 = 11; 505 12
R: El peso medio de los tarros es de 12 onzas EJERCICIO 4:10 : 44 :pag 156
La anchura en mm de una población de coleopteros sigue una distribusión N (; 2 ). Se estima que el 77% de la población mide menos de 12mm y que el 84% mide más de 7 mm. Halle los parámetros de la ley.
9.13 Planteamiento del problema. 9.13.1 ¿Qué tengo?(Datos) X :"Anchura de un coleoptero" P (X < 12) = 0:77 P (X > 7) = 0:84 X v N (; ), la variable aleatoria X sigue una ley de distribución Normal
72
9.13.2 ¿Qué quiero? =? =?
9.13.3 ¿Como lo hago? P (X < x) = F (x) = x P (X > x) = 1 P (T < x)
Nota: En todos los casosnos ayudaremos de la tabla de la Distribusión Normal Estandar 9.13.4 Resolución del problema
P (X < 12) = F (12) = 12 = 0:77 = 0:84 ) P (X > 7) = 1 P (X < 7) = 1 F (7) = 0:84 ) 1 7
7
= 0:16
Guiandonos en la tabla podemos observar que (0:99) = 0; 1611 y (0:74) = 0:77 de esto sigue que: 7 = 0:99 12 = 0:74
) 7 = 0:99 ) 12 = 0:74
Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos que: = 9; 9 = 3
9.13.5 Conclución La distribusión normal que sigue la varialbe aleatoria X esta dada por X v N (9:9; 3), EJERCICIO 4:10 : 45 :pag 156
En una empresa las edades de los trabajadores disminuye normalmente con media de 50 años y una desviación estándar de 5 años. a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene entre 50 y 52.5 años? b) ¿Cuál es la probabilidad que un trabajador cualquiera no sea mayor a 45 años? c) ¿Cuál es la probabilidad que un trabajador tenga entre 41 y 58 años? d) El 20% de los trabajadores están bajo cierta edad ¿Cuál es esa edad? a) P (50 x 52:5) = F (52:5) F (50)
50 = ( 52:5550 ) ( 50 5 ) = (0:5) (0) = 0:6915 0:5000 = 0:1915
R: El porcentaje de los trabajadores tiene entre 50 y 52.5 años es 19%. b)P (x 45) = F (45) 73
