PROBLEMAS PROPUESTOS EJERCICIO Nº 04
q0
Solución
Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:
q0 M
M' V
V'
Para carga uniforme distribuida se tiene:
V V
3 X 2 2 X 3 q0 2 ( x)dx q0 1 2 3 dx 0 L L
L
L
0
q0 L
2
L
M
2
X q 0 3 ( x)dx q 0 X 1 dx 0 L
L
0
2
M
q 0 L
V ' V '
12 L
0
0
X 2 2 X q0 2 3 dx L L
q0 L
M '
2 L
0
M '
q0 5 ( x)dx
L
X 2 X q0 6 ( x)dx q0 1 dx 0 L L L
q 0 L2
12
Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:
2
q0 L
q0 2
12
q0 L 12
q0 L
q0 L
2
2
EJERCICIO Nº 05
q0
Solución
Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:
q0 M
M' V
V'
Para carga uniforme distribuida se tiene:
V V
L / 2
q0 2 ( x)dx
0
L / 2
0
3 X 2 2 X 3 q0 1 2 3 dx L L
13q0 L 32
M
L / 2
0
q0 3 ( x)dx
L / 2
0
2
X q0 X 1 dx L
2
M
11q 0 L
V ' V '
192 L / 2
0
0
X 2 2 X q0 2 3 dx L L
3q0 L
M '
32 L / 2
0
M '
q0 5 ( x)dx
L / 2
q0 6 ( x)dx
L / 2
0
X 2 X q0 1 dx L L
5q0 L2 192
Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:
2
5q0 L
q0 2
192
11q0 L 192
13q0 L
3q0 L
32
32
EJERCICIO Nº 06 q0
Solución
Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son: q0
M
M' V
Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existe una pendiente: P ( y)
X
V'
q0
P ( y)
L
q0 X L
Para carga uniforme distribuida se tiene:
V V
L
P ( y) ( x)dx 2
0
L
0
q0 X 3 X 2 2 X 3 1 2 3 dx L L L
3q0 L 20
M
L
P ( y) ( x)dx 3
0
L
0
2
q 0 X 2 X 1 dx L L
2
M
q 0 L
V '
30 L
P ( y) ( x)dx 0
5
L
0
q0 X 3 2 X 3 dx L L3
V '
7q0 L
M '
20 L
P ( y) ( x)dx
M '
6
0
L
0
q0 X 3 X 2 1 dx L L
q 0 L2
20
Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera: q0
2
2
q0 L
q0 L
30
20 3q0 L
7 q0 L
20
20
EJERCICIO Nº 07 q0
Solución
Distribuimos la carga uniforme a los largo de la barra (ejes locales), convirtiéndolo en cargas puntuales:
n a s e q
q 0 L
0
q 0L
De donde: sen
H H L 2
2
y
L
cos H
2
2
L
L c o s
a
Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida a los largo de la barra son: N '
M'
V' a e n L s q q 0 0
q0L
L c o s
a
M N
V
Para carga puntual se tiene: 2 2 H L q 0 LH 2 1 N q0 Lsen( ) 1 ( x) 2 2 2 2 H L H L
q0 LH
N 2
H
2
2
L
2 3 2 2 2 2 3 H L H L 2 2 2 2 q0 L 1 V q 0 L cos( ) 2 ( x) 2 3 2 2 2 2 2 2 H L H L H L
2
q0 L
V 2
H
2
2
L
2 H 2 L2 q0 L M q 0 L cos( ) 3 ( x) 2 2 2 H L
2 2 2 H L 1 2 2 2 H L
2
M
q 0 L
8
H 2 L2 q 0 LH 2 N ' q 0 Lsen( ) 4 ( x) 2 2 2 2 H L H L N '
q0 LH 2 H 2 L2
2 2 2 H L 2 2 q 0 L V ' q 0 L cos( ) 5 ( x) 2 2 2 2 2 H L H L
2 2 H L 2 3 2 2 2 H L
2
q0 L
V ' 2
H
2
2
L
2 2 2 H L 2 2 q 0 L M ' q0 L cos( ) 6 ( x) 2 2 2 2 H L H L
2 2 H L 1 2 2 2 H L
2
M '
q 0 L
8
Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera: q0 LH 2
2
H
2
L
2
q0 L 8
a e n q L s
q 0
0
q0L
2
L c o s
2
a
q0 L 2
q0 L
2
H
2
L
8
q0 LH 2
2
H
2
L
2
q0 L 2
2
H
2
L
Para los siguientes ejercicios, selecciones un sistema de coordenadas Q – q y encuentre la expresión de las elásticas horizontal y vertical del elemento BC en términos de las coordenadas q i y las funciones 1 , 2 ,..., características del miembro.
EJERCICIO Nº 08 B
C
A0 I0
A=
A=œ
œ
I0
I0
A
D
Solución
El sistema de coordenadas Q – q es: 1
2
3 4
Para el elemento BC se tiene: u1
v1
1
q1
u2
0
v2
q2
2
q3
0 q4
Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2): L
1 ( x)
1
X
L
1
2 L
1
2
2
3 X 2
2 ( x) 1
2
2 X 3 3
L
L
3
L L 3 2 1 2 2 1 2 3 L
2
L
2
L 2 L L X 2 3 ( x) X 1 1 L 2 8 L L
4 ( x)
X
L
1
2
L
2 2
5 ( x)
X
2
2
L
L L 2 2 X 2 2 1 3 2 3 L L 2 L
L 2 X X 2 6 ( x) 1 L L L
2
L 1 2 L L 8
Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x) u1 1 ( x) u2 4 ( x) u ( x)
1 2
q1
1
2
q3
( ) v1 2 ( x) 1 3 ( x) v2 5 ( x) 2 6 ( x)
v x
u ( x)
L
8
q2
L
8
q4 ( x)
v
' ( x)
2 2 X X X ( x) 1 1 X 1 2 d ( x) L L L 4 X 3 X 2 2 X 3 X 2 2 2 2 ( x) 1 1 L L L L
d
Para x=L/2: 1 q1 ( x ) 4
1
4
q2
EJERCICIO Nº 09 B
A0 I = œ
A0
C
I0
A0 I0
A
D
Solución
El sistema de coordenadas Q – q es: 2
1
3
4
Para el elemento BC se tiene: u1
q1 cos q 2 sen
u2
q 4 cos
v1
q 2 cos q1 sen
v2
q 4 sen
1
q3
2
De acuerdo a la figura 4 u1
v1
1
5
37º :
3 q1
q2
4 5
5
q2
u2
q1
v2
3
q3
5
4 5
q4
3 5
2 0
q4
0
Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2): L
1 ( x)
1
X
L
1
1
2
L
2 2
3 X 2
2 ( x) 1
2
L
2 X 3 3
L
3
L L 3 2 1 2 2 1 2 3 L
L
2
2
L 2 L L X 2 3 ( x) X 1 1 L 2 8 L L
4 ( x)
X
L
2 L
1
2 2
5 ( x)
X
2
2
L
L L 2 2 X 2 2 1 3 2 3 L L 2 L
L 2 X X 2 6 ( x) 1 L L L
2
L 1 2 L L 8
Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x) u ( x) u ( x) 1 1 2 4 u ( x) v( x)
u ( x)
( x)
1 4
3 2 q1 q 2 q 4 2 5 5 5
v1 2 ( x) 1 3 ( x) v2 5 ( x) 2 6 ( x)
1 4
3 L 3 q 2 q1 q3 q 4 2 5 5 8 10
v
' ( x)
2 2 3 X 2 2 X 3 2 X X X ( x) v1 1 2 3 1 X 1 v2 2 3 d ( x) L L L L L
d
6 X 6 X 2 4 X 3 X 2 6 X 6 X 2 1 1 ( x) v1 2 2 v2 2 3 3 L L L L L L Para x=L/2: 3 4 3 1 9 ( x) q4 q 2 q1 q3 2 L 5 5 4 10 L
EJERCICIO Nº 10 C
A0 I = œ
A0 I0
B
A0 I0
A
Solución
El sistema de coordenadas Q – q es: 4
2 3
1
Para el elemento BC se tiene: u1
q1 cos q 2 sen
u2
q 4 cos
v1
q 2 cos q1 sen
v2
1
q3
2
0
De acuerdo a la figura 4 u1
v1
1
5
37º :
3 q1
q2
4 5
5
u2
q1
v2
3
q3
5
4
q2
5
2 0
q4
3 5
q4
q 4 sen
D
Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2): L
1 ( x)
1
X
L
1
1
2
L
2 2
3 X 2
2 ( x) 1
2
L
2 X 3 3
L
3
L L 3 2 1 2 2 1 2 3 L
L
2
2
L 2 L L X 2 3 ( x) X 1 1 L 2 8 L L
4 ( x)
X
L
5 ( x)
X
2 L
2
2
L
1
2
L 2 X 2 3 2 L L
2
L 2 3 2 1 L 2
L 2 X X 2 6 ( x) 1 L L L
2
L 1 2 L L 8
Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x) u ( x) u ( x) 1 1 2 4 u ( x)
1 4
3 2 q1 q 2 q 4 2 5 5 5
( ) v1 2 ( x) 1 3 ( x) v2 5 ( x) 2 6 ( x)
v x
u ( x ) ( x)
1 4
3 L 3 q 2 q1 q3 q 4 2 5 5 8 10
v
' ( x)
2 2 3 X 2 2 X 3 2 X X X ( x) v1 1 2 3 1 X 1 v2 2 3 d ( x) L L L L L
d
6 X 6 X 2 4 X 3 X 2 6 X 6 X 2 1 1 ( x) v1 2 2 v2 2 3 3 L L L L L L Para x=L/2: 3 4 3 1 9 ( x) q4 q 2 q1 q3 2 L 5 5 4 10 L
EJERCICIO Nº 11
Encontrar v(x) en el punto medio (x = 2.5 m) del vano derecho del pórtico en la siguiente figura, donde todos los elementos son totalmente flexibles: 35.4 kg/cm B
C
30x40
25x25
30x25
25x25
A
E
25x25
F
D
Solución
El sistema de coordenadas Q – q es: 2
1
5 3
8 7
4 6
El cálculo del vector de coordenadas generalizadas computación:
9
q, se obtuvieron utilizando un programa de
0.4069752 0.1181176 4 8.759498 x10 0.4152865 q 0.4196969 4 6 . 020483 10 x 0.4336346 0 . 1657211 3.315262103
Para el cálculo de v(x), es necesario encontrar las coordenadas locales del miembro CE: v1
q5
1
q6
v2
2
q8
q9
0.4196969mm.
6.020483 x10
4
rad .
0.1657211mm.
3.31526210 x10 3 rad .
Evaluamos las funciones de forma en X = 2.5 m: 2 ( x) 1
3 X 2 2
2 X 3 3
L
L
1
32.5
3
52
2
22.5
2
0.5m.
53
2
5 2.5 X 3 ( x) X 1 1 0.5m. 2 5 L
5 ( x)
X
2
L
6 ( x)
24 EI
2
X
2
L
2.5 X 1 5 L
2
2.5 1 0.625m. 5
35.4
30 x 403 24 x 217370 x 65 12
1
4.241028 x10 11
cm
3
Luego: X
2 X 2.5 22.5 3 3 0.5m. 5 L 5 2
Por otra parte el factor P 0/24EI es: P 0
2
4
X
2
2
L
3
2 X L
2.5
4
2
2.5 x5
2
3
2 x 2.5 x5
39m
4
12
39 x10
4
mm .
Luego se reemplaza en la siguiente ecuación: v( x)
v1 2 ( x) 1 3 ( x) v2 5 ( x) 2 6 ( x)
( )
( )
v x
v x
0.4196969 x0.5 6.020483 x10
4
P 0
24 EI
X
4
X
2
2
L
2 X 3 L
500 0.1657211 x0.5 3.31526210 x10
x
3
x
625 4.241028 x10
4.319773 mm.
Ésta es la deformación instantánea en el centro del segundo vano, el signo m enos indica que en ese punto el eje de la viga se desplaza hacia abajo.
14
39 10 x
12
EJERCICIO Nº 12
Deducir las ecuaciones correspondientes al momento y cortantes en el nudo inicial de una viga de sección constante con carga trapezoidal. q0
Solución
Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son: q0
M
M' V
V'
Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existen dos pendientes, y una uniforme: Para 0
q0
X
a
P ( y )
P ( y )
q 0 X a
Para L-a
L X
a
q0
q 0 L X
a
Para carga uniforme distribuida se tiene: V
a
q 0 X
2 3 1 3 X 2 X dx a L2 L3
0
L a
a
q 0 1
3 X
2
L2
dx L3
2 X
3
L
L a
q 0 L X
2 3 1 3 X 2 X dx 2 L3 L
a
L a 2
V q 0
M
a
0
q 0 X 2 a
X
2
1 dx L
a 3 2 La 2 L3 M q 0 12 L
L a
a
2
X q 0 X 1 dx L
L
q 0 L X
L a
a
2
X X 1 dx L
