Prof. RAYMUNDO BAÑOS MORALES Métodos Numéricos
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA NACIONAL DE CIENCIAS BIOLOGICAS PROBLEMARIO DE METODOS NUMERICOS I.- DETERMINACIÓN DE RAICES
1.- Encuentre una aproximación de bisección. 2.9241 418 8 R.- 3 25 2.92
3
25 con
una exactitud de
0.1% por medio del método de
2.- Un problema común de los submarinos es ubicar el punto más cercano a una boya acústica (detector de sonido) en el agua. Suponga que el submarino viaja con una trayectoria parabólica y x 2 y que la boya está ubicada en el punto
1 (2, ) . 2
Si el valor que de x que minimiza la distancia entre el
submarino y la boya es una solución de la ecuación x3 x 1 0 , resuelva la ecuación con un error de 0.1% . R.- La distancia mínima entre el submarino y la boya aproximadamente 0.682327 3.- La velocidad v de caída de un paracaidista está dada por t gm v 1 e m c c
dónde g 9.8 . Para el paracaidista con un coeficiente de fricción c 14 que la velocidad sea de v 35 R.- m 63.64969 kg
m s
en t 7 s , con un error de
k g s
, calcule m de tal forma
0.1% .
4.- La velocidad de despegue de un cohete puede ser calculada por la fórmula m0 v u ln gt m qt 0 0 Donde u es la velocidad a la cual es expulsado el combustible del cohete, m0 es la masa al tiempo t , q es la razón de consumo de combustible y g es la aceleración gravitacional. Si u 2200 m s , m0 160,000 kg , q 2680 Kg s y g 9.8 9.8 m s , calcule el tiempo en el cual v 1000 m s . 25.942 seg. R.- t
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5.- La siguiente ecuación pertenece a la concentración de un químico en un reactor donde se tiene una mezcla completa: c c en (1 e 0.04t ) c 0 e 0 04t
Si la concentración inicial es c0 4 y la concentración de entrada es cen 10 , calcule el tiempo requerido para que c sea el 97% de cen . R.- t 74.8933 6.- Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $20000 al contado y $4000 al año durante 6 años. ¿Qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que relaciona el valor presente P , los pagos anuales A , el número de años n y la tasa de interés i es pi(1 i) n A 1 i n 1 R.- i 5.471% 7.- La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación c 70e1.5t 25e 0.075t
Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9. R.- t 13.622015 8.- Sea T una variable aleatoria con función de distribución acumulada dada por P (T t ) 1 e 0.25t Calcula el valor de t , para que la probabilidad acumulada sea igual a 0.90. R.- t 9.21034 9.- El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo la ecuación de criticalidad (Lamarsh). Suponiendo que se tiene dicha ecuación es: tan(0.1 x) 9.2e x
La solución física indica que es la raíz positiva menor en el intervalo [3,4]. Determínese dicha raíz mínima positiva por el método de Newton. R.- x 3.29292 10.- Resuelva por el método de la secante, falsa posición o bisección la siguiente ecuación: e x x 3 2 x 2 10 x 20 0 con una exactitud de 0.1% . R.- x 1.2032 11.- Hállese una raíz entre 0 y 1 para la ecuación f ( x) 3 x senx e x por el método de falsa posicisión, con valores iniciales x0 0, x1 1. R.- x 0.36042
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Resuelva las siguientes ecuaciones con el método de la bisección, empezando con los valores de a y b indicados, con una exactitud de 0.1% .
y
12.- Si R.- x 3.23583
y
13.- Si R.- x 1.73143
y
14.- Si R.- x 0.50023
Resuelva por el método de Newton-Raphson las siguientes ecuaciones con una exactitud de 0.1% .
15.- Si ln( x) x2 3 R.- x 1.59214 16.- Si e x 2.x 2cos x 6 0 para 1 x 2 R.- x 1.82938 17.- Si ln( x 1) cos( x 1) 0 para 1.3 x 2 R.- x 1.39774 18.- Aplique el método de la secante para obtener soluciones con una exactitud de siguiente problema: e x 3x 2 0 para 0 x 1 y 3 x 5 . R.- x 0.91000 y x 3.73307
0.1% para el
19.- Una reacción química reversible 2 A B C se puede caracterizar por la relación de equilibrio K
C c ,0 x
C a ,0 2 x 2 C b ,0 x
donde el subíndice “0” indica la concentración inicial de cada componente. Si K 0.015 , C a ,0 42 , C b ,0 30 y C c ,0 4 , calcule el valor de x por el método de falsa posición, con valores iniciales
x0 20, x1 25 .
R.- x 24.1283 Encuentre todas las raíces de los siguientes polinomios por el método de Newton-Raphson-Horner: 20.- Si P( x) x5 10x 4 40x3 80x2 79x 30 R.- x 1, x 2, x 3, x 2 i 21.-Si P( x) 2 x 4 3x2 3x 4 R.- x 1.73896, x 1.25488, x 0.242037 0.926245i 22.- Si P( x) x 4 15.2 x3 59.7 x2 81.6x 36 R.- x 0.976615, x 1.24144, x 2.96396, x 10.018
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II.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Encuentre la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de Jacobi. 1.- Si
10 x z 1 4 x 12 y 4 z 8 4 x 4 y 10 z 4
Use x 1,2,0 como condición inicial.
R.-
2.- Si 4 x y 2
x 4 y z 6 y 4 z 2 Use x 0,0,0 como condición inicial.
R.-
3.- Si
4 x 0.5 y z 8 x 10 y z 6
x y 5 z 10 Use x 0,0,0 como condición inicial.
R.-
Encuentre la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de GaussSeidel. 4.- Si
12 x 5 y z 15 x 6 y 4 z 9
2 x 3 y 8z 5 Use x 1,3,2 como condición inicial.
R.-
5.- Si
17 x 2 y 3 z 500
5 x 21y 2 z 200 5 x 5 y 22 z 30 Use x 0,0,0 como condición inicial.
R.-
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6.- Si 2 x y 124
x 2 y z 4 y 2 z 14 Use x 0,0,0 como condición inicial.
R.-
Encuentre una solución de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales por el método de NewtonRaphson: 7.- Si 3 x 2 y 2 0 3 xy 2 x3 1 0 t
Use x 1,1 como condición inicial.
R.-
8.- Si ln( x 2 y 2 ) sen xy ln 2 ln
e x
y
cos xy 0
t
Use x 2,2 como condición inicial.
R.-
Encuentre una solución de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales por el método de NewtonRaphson: 9.- Si 6 x 2 cos( yz ) 1 0 9 y x sen( z ) 1.06 0.9 0 3e xy 60 z 10 3 0 t
Use x 0,0,0 como condición inicial.
R.-
10.- Si x 3 x 2 y xz 6 0
e y z 0 y 2 2 xz 4 t Use x 1, 2,1 como condición inicial. R.e x
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III.- INTERPOLACION
1.- Estime Ln1.2 mediante un polinomio de Taylor de grado cinco y encuentre una cota para el error. R.- y el error es 0.000016
2.- Obtenga el polinomio de Taylor de cuarto grado para f ( x ) ( 1 x ) 2 alrededor de x0 0 y use este polinomio para aproximar f ( 0.05 ) . Encuentre una cota para el error. R.- y el error es 0.000001
3.- Un cuerpo se mueve con una velocidad descrita por la función v(t ) 2t ln(t ) . En donde, t es el tiempo de recorrido a partir de 1 segundo. a).- Aproxima a v(t ) con polinomios de Taylor de tercer grado, con centro en 1. b).- Con el polinomio de Taylor obtenido aproxima la velocidad al cabo de 1.1 seg. c).- Calcula el error absoluto de la aproximación, con el valor real de v(1.1) 0.209682.... R.- a)
b) c)
4.- Para la función f ( x ) Ln( x 1 ) , sean x0 0 , x1 0.6 y x 2 0.9 . Construya polinomios de interpolación de grados 1 a 2 para aproximar f ( 0.45 ) y encuentre una cota para el error. R.- y
5.- Un investigador de bacterias en cierto cultivo ha estado analizando su crecimiento durante un día. Él cuenta las bacterias existentes en diferentes tiempos y anota sus resultados en la siguiente tabla: Tiempo un día 0.00 0.10 0.15 0.45 0.60 0.80 0.90
Cantidad de bacterias 380 446 463 570 685 703 720
Por medio de una interpolación de Lagrange de primer grado aproxima la cantidad de bacterias a las seis horas (es decir, en 0.25) de iniciado el conteo. Redondear el resultado al entero próximo. a).- Plantea la fórmula del método de interpolación de Lagrange de primer grado hacia adelante para este caso. b).- Calcula la aproximación para la cantidad de bacterias a las seis horas de iniciado el conteo. c).- Redondea el resultado al entero próximo. R.- a) b) c) 499 bacterias
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6.- En la siguiente tabla se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio. P (mm Hg) 10 20 40 60 100 200 400 760 T (ºC) 930 988 1050 1088 1142 1316 1223 1418 Calcule la presión de vapor correspondiente a T = 1000 ºC usando un polinomio de Lagrange de tercer grado. R.-
7.- Dada una función en forma tabular, a menudo se desea encontrar un valor de correspondiente a un valor dado de . Este proceso, llamado interpolación inversa, se lleva a cabo en la forma usual, pero intercambiando los papeles de y . Dada la siguiente tabla: 0.0 2.5 5 7.5 10.0 12.5 15.0 10.0 4.97 2.47 1.22 0.61 0.30 0.14 donde es la amplitud de la oscilación de un péndulo largo, en cm y es el tiempo medido en minutos desde que empezó la oscilación. Encuentre por medio de un polinomio de aproximación de Lagrange de segundo grado el valor correspondiente a cm. R.- min 8.- Se sospecha que las elevadas concentraciones de tanina en las hojas de los robles maduros inhiben el crecimiento de las larvas de la polilla invernal (Operohtera bromata l, Geometridae) que tanto daña a los árboles en algunos años. La tabla anexa contiene el peso promedio de dos muestras de larvas, tomadas en los primeros 28 días después del nacimiento. La primera muestra se crío en hojas de robles jóvenes, mientras que la segunda lo hico en hojas maduras del mismo árbol. a) Use la interpolación de Lagrange para aproximar la curva de peso promedio de las muestras. b) Para calcular un peso promedio máximo de cada muestra, determine el máximo del polinomio interpolante. Día Peso promedio de la muestra 1 (mg) Peso promedio de la muestra 2 (mg)
0 6.67
6 17.33
10 42.67
13 37.33
17 30.1
20 29.31
28 28.74
6.67
16.11
18.89
15
10.56
9.44
8.89
9.- Encuentre un polinomio de Lagrange de quinto grado, con los siguientes datos que contienen la concentración de oxigeno disuelto en agua fresca contra temperatura a nivel del mar y aproxime T ( 22 ) . T °C 0 8 16 24 32 40 O 14.62 11.84 9.87 8.42 7.3 6.41 mg/L R.-
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10.- El pH en un reactor varía en forma sinusoidal durante el transcurso de un día. Utilice un polinomio de Lagrange para aproximar P (8) por un polinomio de grado 4. Tiempo (hrs) pH
0 7.3
2 7
4 7.1
5 6.4
7 7.4
8.5 7.2
12 8.9
15 8.8
R.- P 4 (8) 7.25044 11.- Usar interpolación inversa para encontrar una aproximación a la solución de los datos: x x
e
R.-
0.25 1.284025
0.5 1.648721
0.75 2.117
1 2.718281
3 x 2 e x 0 ,
usando
1.25 3.490342
12.- La siguiente tabla muestra la población de los Estados Unidos de América desde 1930 hasta 1980. Año Población ( en miles )
1930 123,203
1940 131,669
1950 150,697
1960 179,323
1970 203,212
1980 226,505
Use el método de diferencias divididas apropiado para aproximar: a) La población en el año 1965 b) La población en el año 2000 R.- a) 223004 b) 231161 13.- Un anemómetro de alambre caliente es un instrumento para medir la velocidad de flujo, midiendo el efecto de enfriamiento del flujo sobre la resistencia de un alambre caliente. Los siguientes datos se obtuvieron en pruebas de calibración. U (ft/s) 4.72 12.49 20.03 28.33 37.47 41.43 48.38 55.06 66.77 59.16 V (volts) 7.18 7.3 7.37 7.42 7.47 7.5 7.53 7.55 7.58 7.56
Construya un polinomio de Newton en diferencias divididas de tercer grado para aproximar la velocidad de flujo para cuando hay una caída de voltaje a través de la resistencia de 7.4 volts y aproxime el error si esto es posible. R.- , con .
14.- Con base en la siguiente tabla de presiones de vapor de la acetona, interpole la temperatura para una presión de 2 atm por un polinomio de Newton en diferencias divididas de tercer grado. Presión Temperatura R.-
1 56.5
5 113
20 181
40 214.5
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15.- En la tabla siguiente se define el voltaje consumido por un arco magnético, , en función de la corriente, . 1 2 3 4 i 120 94 75 62 v
Aproxime el valor de para por medio de un polinomio de Newton de grado 3 y compare calculando el error porcentual. con el valor dado por la fórmula empírica R.- ; y error%=13.39% 16.- Encuentre el polinomio de grado 3 que pasa por los puntos en . R.-
, , y con tangente 1
en los siguientes puntos: 18.- Encuentre el polinomio de Hermite que concuerde con y en los puntos , y si , , , , y . R.- 17.- Encuentre el polinomio de grado menor que interpole a la función , , , y R.-
19.- Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v pies s de un fluido y la caída de presión p mmHg . Los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación v a( p )b que representa estos datos: . 3.83 4.17 4.97 6.06 6.71 7.17 7.51 7.98 8.67 9.39 9.89 v p 30 35.5 50.5 75 92 105 115 130 153.5 180 199.5 R.- v 0.69836(p)0.50045 20.- En la siguiente tabla, R es la resistencia de una bobina en ohms y T es la temperatura de la bobina en ºC. Por mínimos cuadrados determine la mejor recta que represente la función dada.
10.421 10.50
10.939 29.49
11.321 42.70
11.794 60.01
12.242 75.51
12.668 91.05
Además calcule los coeficientes de determinación y correlación. R., y .
21.- En el estudio de la constante de velocidad k de una reacción química a diferentes temperaturas, se obtuvieron los datos
293 8.53
300 19.1 10
320 1.56
340
360
380
400
0.01
0.0522
0.2284
0.8631
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Calcule el factor de frecuencia , la energía de activación y el coeficiente de determinación, asumiendo que los datos experimentales siguen la ley de Arrhenius. , R. y 22.- La tabla da las emisiones (en millones de toneladas métricas) de plomo hacia el medio ambiente en Estados Unidos, en millones de toneladas métricas, desde 1970 hasta 1992. Año Emisiones
1970 1975 1980 1985 1988 1989 1990 1991 1992 199.1 143.8 68.0 18.3 5.9 5.5 5.1 4.5 4.7
Ajuste por una curva exponencial estos datos. (Considere que t =0 corresponde a 1970.) R.-
IV.- DIFERENCIACION NUMERICA
1.- A partir de la siguiente tabla, aproximar en grado y estimar el error, en caso de ser posible.
con un polinomio de Newton de tercer
1.10 1.18 1.30 1.00 1.218283 2.249462 1.272675 1.304726 R.- y el error es 0.216408
1.35 1.317140
1.42 1.333631
1.5 1.351262
2.- En la siguiente tabla t T
0 93.1
1 85.9
2 78.8
3 75.1
4 69.8
5 66.7
T representa la temperatura, en ºC de una salmuera utilizada como refrigerante y t (min) es el tiempo. Encuentre la velocidad de enfriamiento en los tiempos t = 1.0 y t = 4 min con polinomios de Newton de grado dos en diferencias finitas hacia delante y hacia atrás, respectivamente. R.- y
Calcule las aproximaciones y con la fórmula en diferencias centradas para obtener un error de orden , para cada una de las siguientes funciones en el punto especificado, con el
tamaño de h indicado:
en , con y 4.- en , con R.- y 5.- en , con R.- y 3.R.-
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6.- Calcule las aproximaciones y , con la fórmula en diferencias centradas para obtener un error de orden , para la siguiente función:
0.925 0.950 0.975 1.000 0.496772 0.490784 0.485006 0.479426 R.- y
1.025 1.050 1.075 1.100 0.474032 0.468816 0.463767 0.458877
7.- La ecuación de estado de Redlich-Kwong es a P 0.5 v b RT T v( v b ) Donde a 17.19344 y b 0.02211413 para el oxigeno molecular. Si T 373.15 K , se obtiene la siguiente tabla. P ( atm )
V ( l gmol )
Calcule la
dP dV
30.3853 1
27.6836 1.1
25.3862 1.2
23.4412 1.3
cuándo V 1.05 l , con la fórmula en diferencias centradas para obtener un error de
. orden R.- dP 27.017 dV
8.- En una reacción química , la concentración del reactante A es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la concentración de A en gmol / L como función de estas dos variables. T P(kg / cm ) 1 2 8 15 20
273 0.99 0.88 0.62 0.56 0.52
300 0.97 0.82 0.51 0.49 0.44
325 0.96 0.79 0.48 0.46 0.41
360 0.93 0.77 0.45 0.42 0.37
a) Calcule la tasa de cambio de la concentración de A con la temperatura a P = 15 kg / cm2 y T = 300 K, usando un polinomio de Newton de segundo grado. b) Calcule la tasa de cambio de la concentración de A con la presión a P = 2 kg / cm2 y T = 325 K, usando un polinomio de Newton de segundo grado.
evaluada en la presión y temperatura indicada. R.- a) b) Sugerencia: lo que se busca es
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9.- Calcule las aproximaciones y , con la fórmula en diferencias centradas para , para la siguiente función obtener un error de orden
0.925 0.950 0.975 1.000 1.025 1.050 1.075 1.100 0.49677 0.49078 0.48500 0.47942 0.47403 0.46881 0.46376 0.45887 R.- y 10.- Las alturas de las olas (dadas en pies) en el mar abierto dependen sobre todo de la velocidad , del viento (dada en nudos) y del tiempo (dado en horas) que el viento sople a esa velocidad. Así que es una función de y de t, por lo que podemos expresar . Los
oceanógrafos y meteorólogos han llevado a cabo las observaciones y mediciones que se registran en la tabla siguiente. t
5
10
15 20
30 40
50
10
2
2
2
2
2
2
2
15
4
4
5
5
5
5
5
20
5
7
8
8
9
9
9
30
9
13
16 17 18
19 19
40
14 21
25 28 31
33 33
50
19 29
36 40 45
48 50
60
24 37
47 54 62
67 69
La altura de las olas como una función de la velocidad y el tiempo.
a) Calcule y , una con la fórmula en diferencias centradas y la otra mediante la fórmula en diferencias hacia delante con dos términos. ¿En qué casos se puede aplicar una fórmula u otra? b) Encuentre una aproximación afín para la altura de las olas , cuando se aproxima a 30 nudos y está cerca de 20 horas. Úsela para estimar la altura de las olas cuando la velocidad es 32 nudos y el tiempo es de 23 horas. (Es decir, que hay que encontrar la ecuación del plano , a la gráfica de la función que pasa por tangente, el punto (30,20).
R.- a) y b) 19.3 pies
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11.- Los datos de presión-temperatura-volumen para el etano se muestran en la tabla siguiente, donde la temperatura ( ) está en ºC, la presión ( ) en atmósferas y el volumen específico ( ) en moles/litro. P
T
1
2
25 20.14 32.84
4
6
8
9
10
-
-
-
-
-
75 24.95 43.80 68.89
85.95 104.38 118.32 139.23
150 31.89 59.31 106.06 151.38 207.66 246.57 298.02 200 36.44 69.38 130.18 194.53 276.76 332.56
-
250 40.87 79.16 153.59 237.38 345.38
-
-
Con la ecuación del plano tangente, aproxime el valor del volumen específico para una temperatura de 197 ºC y una presión de 6.5 atmósferas. Para el cálculo de las derivadas parciales use diferencias centradas. R.- 210.27 moles/litro 12.- La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es a p 2 v b RT v
donde a=3.6x10 - 6 atm cm 6 /gmol, b=42.8 cm 3 y R = 82.1 atm cm3 / (gmol K). Si T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valores p (atm) 13.782 12.577 11.565 10.704
(cm ) 2000
2200
2400
2600
cuando T = 2350 cm3 con un polinomio de Newton de tercer grado. R.- Calcule
13.- La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es a p 2 v b RT v donde a 3.6 106 atmcm 3 , b 42.0cm3 , R 82.1atmcm 3 / gmol %. Si T =350 ºK se obtiene la tabla
de valores p(atm) v(cm3 )
13.782 2000
12.577 2200
11.515 2400
10.704 2600
12.504 2800
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Calcúlese R.-
p cuando v=2300 cm 3 por la regla de los tres puntos. v
p(2300) 0.00531 v
14.- La distancia D D(t ) a la que viaja un objeto está dada en la siguiente tabla: t 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
D(t) 1.745 2.146 2.575 3.030 3.508
Encuentre la velocidad V (t ) cuando t 1 usando la fórmula de los cinco puntos. R.- V (1) 4.42416 . V.- INTEGRACION NUMERICA
definida en el intervalo [0, 1], como sigue: Aproxime numéricamente utilizando la fórmula de Simpson compuesto de 1/ 3, dividiendo el intervalo de integración en 8 intervalos. R.- 2.- Utilice la fórmula de Simpson compuesta para evaluar dada en la siguiente tabla 1.- Sea la función
x
f x
R.-
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0 0.632351 1.143678 1.375527 1.343770 1.005639 0.283447 -0.876705 -2.430589
Emplee la regla trapezoidal simple para evaluar las siguientes integrales y calcule el error porcentual para evaluar la exactitud de la aproximación. 3.- Si R.-
, con error = 433.3%
Prof. RAYMUNDO BAÑOS MORALES Métodos Numéricos
4.- Si
R.-
, con error = 5.18%
5.- Calcúlese la fuerza F mediante la regla del trapecio compuesto, dividiéndose el intervalo en cinco subintervalos para F
30
0
z
250 z 10 e dz 6 z
R.- F 1038.74 Emplee la regla Simpso n 1/3 simple para evaluar las siguientes integrales y calcule el error porcentual para evaluar la exactitud de la aproximación.
6.- Si R.-
, con error = 75%
7.- Si
R.-
con error = 0.910
8.- 5.- Calcúlese la fuerza F mediante la regla de Simpson compuesto, dividiéndose el intervalo en
cinco subintervalos para F
R.- F 1038.74
30
0
z
250 z 10 e dz 6 z
9.- Calcule el cambio de entropía que sufre un gas ideal a presión constante al cambiar su temperatura de 280 a 430 ºK usando el método de Simpson compuesto de 1/3 si se sabe que
R.-
T(K) 280 310 340 370 400 430 460 CP (cal/mol K) 4.87 5.02 5.16 5.25 5.30 5.37 5.45
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10.- Una partícula de masa m que se mueve a través de un fluido está sujeta a una resistencia viscosa R que es una función de la velocidad v . La relación entre la resistencia R , la velocidad v , y el tiempo t está dada por la ecuación v ( t )
t
m
R(v) dv
v ( t 0 )
Suponga que R( v ) v v para un fluido particular, donde R está dada en newtons y v en metros/segundo. Si m 10 kg y v(0) 10 m s , aproxime el tiempo para que la partícula reduzca su velocidad a v 5 m s , usando el método la regla: a) de Simpson compuesto (n=8) y b) Trapecio compuesto (n=8). R.- a) y b) 2.6269 11.- Encuentre R.- 0.663693
con la fórmula gaussiana de 2 términos.
12.- Encuentre R.- 0.946084
con la fórmula gaussiana de 3 términos.
13.- Encuentre R.- – 0.549393
con la fórmula gaussiana de 2 términos.
14.- Una partícula de masa se mueve a través de un fluido sujeta a una resistencia que es función de la velocidad de . La relación entre la resistencia , la velocidad y el tiempo está dada por la ecuación
kg y m/s, m/s , usando el
Suponga que para un fluido particular. Si aproxime el tiempo requerido para que la partícula reduzca su velocidad a método de cuadratura de Gauss con a) dos puntos y b) tres puntos. R.- a) 11.1527 y b) 11.1832
VI.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Dados los siguientes problemas de valor inicial, use el método de Euler para obtener aproximaciones al valor indicado. Divida el intervalo correspondiente en 5 subintervalos.
con condición inicial aproximar 2.- Sea con condición inicial aproximar R.- 3.- Sea con condición inicial aproximar R.- 1.- Sea R.-
con condición inicial aproximar
4.- Sea R.-
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con condición inicial aproximar
5.- Sea R.-
Dados los siguientes problemas de valor inicial, use el método de Euler Modificado para obtener aproximaciones al valor indicado. Divida el intervalo correspondiente en 5 subintervalos.
con condición inicial aproximar 7.- Sea con condición inicial aproximar R.- 6.- Sea R.-
con condición inicial aproximar
8.- Sea R.-
9.- Sea con condición inicial aproximar R.-
Dados los siguientes problemas de valor inicial, use el método de Taylor de tres términos para obtener aproximaciones al valor indicado. Divida el intervalo correspondiente en 5 subintervalos.
con condición inicial aproximar 11.- Sea con condición inicial aproximar R.- con condición inicial aproximar 12.- Sea R.- 13.- Sea con condición inicial aproximar 10.- Sea R.-
R.-
Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales use el método de Runge – Kutta de cuarto orden, con n = 4, para obtener aproximaciones al valor indicado.
con condición inicial aproximar
14.- Sea R.-
con condición inicial aproximar 16.- Sea con condición inicial aproximar 15.- Sea R.R.-
. use el
17.- Dada la ecuación diferencial con condición inicial método de Runge – Kutta de cuarto orden, con n = 2, para obtener aproximar R.-
18.- Un modelo matemático para el área en cm2 que ocupa una colonia de bacterias esta dado por
cm use el método de Runge – Kutta de cuarto orden, para obtener aproximaciones al . Use .
Si valor R.-
2
