TEMA 7: Inferencia con muestras grandes PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS
1. Supongamos que el tiempo que permanecen los clientes en una tienda de telefonía sigue una distribución normal. normal. Una muestra muestra aleatoria aleatoria de 40 cliente clientess tenía un tiempo tiempo medio de 25 minutos. minutos. Supongamos Supongamos que = 6 minutos. Halle el margen de error y la amplitud del intervalo de con…anza de la media poblacional, , al 95 por ciento. 2. Calcule el margen de error para estimar la media poblacional, , en los casos siguientes: (a) un nivel de con…anza con…anza del 98 por ciento; ciento; n=64; 2 = 144, (b) un nivel de con…anza con…anza del 99 por ciento; ciento; n=120; n=120; 2 = 100: 3. Un director de personal ha observado que históricamente las puntuaciones puntuaciones de los tests de aptitud realizados a los solicitantes de empleo en los niveles de entrada siguen una distribución normal con una desviación típica de 32,4 puntos. Una muestra aleatoria de 9 puntuaciones del grupo actual de solicitantes tenía una puntuación media de 187,9 puntos. (a) Halle el intervalo de con…anza al 80 por ciento de la media poblacional de las puntuaciones del grupo actual de solicitantes. (b) Basándose en estos resultados muestrales, un analista ha hallado para la media poblacional un intervalo de con…anza que va de 165,8 a 210,0 puntos. Halle el nivel de con…anza de este intervalo. 4. En un almacén frigorí…co se sabe que cuando las condiciones ambientales se mantienen controladas el valor de la variable temperatura ( o C), sigue una distribución normal de media = 5. Para comprobar el estado del almacén se tomó una muestra aleatoria de 100 mediciones de temperatura. La media muestral y la cuasidesviación típica son: ¯x=3.8 x=3.8 y ˆs=1,2. s=1,2. Un analista proporci pr oporciona ona el siguiente siguie nte intervalo de con…anza calculado al 95 % para : 2 [-2.5; [-2.5; 4.2]. Para Para cada una de las a…rmaciones a…rmaciones siguient siguientes, es, responde si es verdadera (V) o falsa (F) El intervalo calculado no es correcto, pues debería contener el valor = 5 El intervalo no es correcto pues los intervalos no pueden tener un extremo positivo y otro negativo El intervalo no está bien calculado, pues debería, al menos, estar centrado en 3.8 Como la muestra es grande, el intervalo calculado es correcto El intervalo no está bien calculado, pues es demasiado ancho 5. Una muestra aleatoria extraída de una población con Para n = 144; se pide:
2 = 100; presenta
una media muestral x = 160:
(a) Calcular un intervalo de con…anza del 95% para la media poblacional . (b) Calcular un intervalo de con…anza del 90% para la media poblacional . SOLUCIÓN:
(a) [158:36; 161:63] (b) [158:625; 161:375] 1
6. En una encuesta se pregunta a 10000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo de refrescos semanal, encontrándose una media de 5 botes, con una desviación típica de 2. Hallar un intervalo de con…anza para el consumo medio de toda la población de estudiantes de Bachillerato, al 95%. SOLUCIÓN:
(4:96; 5:04)
7. Con el objeto de determinar la proporción de personas que poseen coche en una provincia determinada se realizó un muestreo aleatorio simple, de tal forma que de los 100 encuestados, 30 de ellos tienen coche. (a) Determinar un intervalo de con…anza para la proporción de la población que poseen coche ( = 0:05): (b) Si se desease estimar dicha proporción con una precisión de 0.02 y un 95% de con…anza, ¿a cuántas personas se debería encuestar? (sep. 99) SOLUCIÓN:
(a) (0:2101; 0:3898) (b) 2017 8. Sea x el consumo unitario de cierto material en un proceso productivo (miligramos por unidad de producto obtenido). Se sabe que x es normal de media y desviación típica = 20 mg. Se toma una muestra aleatoria de 25 observaciones obteniéndose una media muestral del consumo de x = 120 mg: (a) A partir de esta información muestral, estimar mediante un intervalo con un 95% de con…anza el consumo medio de este producto. (b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para que un intervalo del 95% de con…anza tuviese una amplitud de 10mg? (amplitud del intervalo=diferencia entre sus extremos) (junio 02) SOLUCIÓN:
(a) [112:16,127:84] (b)
n ' 62
9. Una cadena de tiendas tiene proyectado abrir un nuevo local en una zona peatonal del centro. La decisión …nal dependerá del trá…co de peatones que circulen por dichas calles. Se sabe que para que el local tenga posibilidades de éxito la calle debe tener un ‡ujo medio de peatones de al menos 2000 peatones/dia durante el horario comercial. Para comprobar si se cumple este requisito se realiza un experimento en dos calles de la zona. El experimento consiste en contar el número de peatones que, en horario comercial, transita en esas dos calles principales. El experimento se prolonga durante una semana. En la calle-1 transitaron durante esa semana 12.600 personas, mientras que por la calle-2 lo hicieron 12880. Si se considera que el número de personas diarias que transita una calle es una variable aleatoria de Poisson, se pide: (a) Realiza un intervalo de con…anza del 95% para el parámetro de la distribución de Poisson de la variable: número de peatones diarios de la calle-1 y de la calle-2 . SOLUCIÓN:
2
(a)
1 2 (1768;1831); 2 2 (1808; 1872)
10. Un fabricante de transistores del tipo BC547B sabe por su información histórica que cuando su producción se mantiene en los niveles de calidad deseables, el valor de la variable X = ganancia en corriente de los transistores (conocida por coe…ciente ; adimensional) sigue una distribución de media 290. Se toma una muestra de este tipo de transistores. El Statgraphics proporciona el siguiente resumen estadístico:
Contestar, justi…cando la respuesta, si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas: (a) El intervalo de con…anza de la media puede no ser válido pues no sabemos si la variable X es normal (b) El intervalo de con…anza de la media es válido pues contiene a la media poblacional (c) La desviación típica poblacional es = 28:24: (d) La desviación típica muestral corregida es s^2X = 28 :24 (e) La media poblacional de X no puede ser 290 (f) Los intervalos de con…anza de nivel 90% serán más estrechos que los mostrados del 95% SOLUCIÓN:
(a) Falso. (b) Falso. (c) Falso. (d) Falso. (e) Falso. (f) Verdadero. 11. El …chero Resistencias1KO.sf3 contiene datos de una muestra de resistencias de valor nominal 1000 Ohmios. Hay datos de dos tipos de resistencias. las resistencias: banda dorada y banda marrón. Las de banda marrón deben tener unos valores más próximos al nominal que los de banda dorada. Se pide: (a) Realiza un contraste de nivel de signi…cación del 5% de que las resistencias de banda marrón proceden de una población de media igual al valor nominal 1000. 3
(b) Realiza un intervalo de con…anza para la media de nivel 95%. (c) Realiza el mismo ejercicio con las resistencias de banda dorada y compara ambos resultados. A continuación se muestra el resumen estadístico de las muestras de ambos tipos de resistencias que ofrece el Statgraphics
SOLUCIÓN:
(a) No podemos rechazar con = 0:05 que la población tenga = 1000: (b) (997:2; 1001; 08) (c) (984:49;993:55) 12. Para estudiar el consumo de energía eléctrica en el mercado eléctrico español se ha obtenido una muestra correspondiente al consumo (en TWh) de los últimos 50 meses. Se ha observado que 21 de estas observaciones tienen un valor menor que 19 (TWh). Con esta información, ¿puedes validar estadísticamente si la proporción en la población de meses con consumo eléctrico inferior a 19 TWh es igual al 40%? Justi…ca la respuesta e indica tus conclusiones. (2 puntos) SOLUCIÓN:
No podemos rechazar que la proporción en la población de meses con consumo eléctrico inferior a 19 TWh es igual al 40%. 13. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes a…rmaciones para intervalos de con…anza de la media de nivel 1 , justi…cando adecuadamente (matemáticamente) la respuesta (a) Dado un ; a menor varianza poblacional mayor será el intervalo. (b) El intervalo contiene a la media muestral con probabilidad (1 ). (c) Dada una amplitud o longitud L de un intervalo, a mayor tamaño muestral mayor nivel de con…anza. SOLUCIÓN: (a) F (b) F (c) V
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14. Una máquina fabrica piezas metálicas de 250 mm. de longitud. Para controlar el proceso de maquinado se mide la longitud de 40 piezas elegidas aleatoriamente. Se teme que el desgaste de la máquina produzca, en la fabricación de estas piezas, una longitud menor que la establecida. Los resultados de las estimaciones realizadas en la muestra fueron; longitud media 248 mm. y cuasi desviación típica 1,5 mm. ¿Ha disminuido la longitud de las piezas? Supóngase válida la hipótesis de normalidad de las longitudes de las piezas. SOLUCIÓN:
Parece que la longitud de las piezas ha disminuido. 15. Sea X el gasto en euros de un estudiante en material de o…cina durante un año. Se pregunta sobre este gasto a 100 estudiantes siendo la media del consumo de 250 euros con una desviación típica de 20 euros. Un histograma de los valores de esta variable muestra una fuerte asimetría positiva. Además, el test de normalidad de la chi-cuadrado rechaza claramente la normalidad de X . En estas condiciones, ¿es posible construir un intervalo de con…anza para la media, y cuál sería? Justi…ca adecuadamente tu respuesta SOLUCIÓN:
f246:08;253:92g
16. Sea x el tiempo en segundos que se tarda en ejecutar una tarea. En el tiempo de ejecución intervienen muchos factores que no pueden ser controlados, por lo que x es una variable aleatoria. Se desea estimar el tiempo medio de ejecución de dicha tarea. Con este …n se ejecuta dicha tarea 250 veces, obteniéndose un tiempo medio, muestral, de ejecución de x = 120 s y una cuasi-desviación típica de 20 s. (a) A partir de esta información muestral, estimar mediante un intervalo con un 95% de con…anza el tiempo medio poblacional . (b) ¿Cuántas veces debemos repetir esta tarea para que un intervalo del 95% de con…anza tuviese una amplitud de 2 s? (amplitud del intervalo=diferencia entre sus extremos) SOLUCIÓN:
(a) [117: 5; 122:48] (b) 1537 17. Un investigador ha preparado un nivel de dosis de droga que según él, inducirá el sueño en el 80% de las personas que sufren de insomnio. Después de examinar la dosis, pensamos que lo dicho por él respecto a la efectividad de la dosis es exagerado. En un intento por refutar su dicho, administramos la dosis prescrita a 100 personas que padecen de insomnio y observamos Y , el número de individuos a quienes la dosis induce el sueño. Deseamos probar la hipótesis H 0 : p = 0:8 contra la alternativa, H 1 : p < 0 :8. Suponga que se usa la región de rechazo y 12. (a) Encuentre el nivel de signi…cación que se estaría utilizando en este contraste. (b) De…na la región de rechazo de la forma y c de modo que 0:01. 18. Si la producción diaria de la máquina de una fábrica tiene más de 10% de artículos defectuosos, es necesario repararla. Una muestra aleatoria de 100 piezas de la producción del día contiene 15 piezas defectuosas y el supervisor decide que la máquina debe ser reparada. ¿La evidencia muestral apoya su decisión? Use una prueba con nivel = 0:01. 5
SOLUCIÓN:
La evidencia muestral no apoya la decisión del supervisor 19. La calibración de una báscula tiene que ser veri…cada pesando 40 veces un patrón de prueba de 10 kg. Suponga que los resultados de diferentes pesadas son independientes entre sí y que el peso en cada ensayo está normalmente distribuido con = 0.200 kg. Sea la lectura de peso promedio verdadero en la báscula. (a) ¿Qué hipótesis deberá poner a prueba? (b) Suponga que la báscula tiene que ser recalibrada bien si x > 10:1 o si x < 9:9. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice la recalibración cuando en realidad no es necesaria? 20. Una empresa ha puesto en marcha un procedimiento de mejora de calidad ya que recibía reclamaciones en el 10% de los servicios prestados. Después de implantar dicho procedimiento han recibido 5 reclamaciones en los 60 servicios prestados. ¿Ha disminuido la proporción de reclamaciones? 21. El peso ideal de los hombres de 1.80 es de 75 kg. Tomamos una muestra de 135 hombres de 1.80 en Piura y se obtiene un peso medio de 73.5 kg con una desviación típica de 5kg. ¿Podemos decir que los piuranos de 1.80 están, por término medio, bajos de peso? 22. En una fábrica dedicada a la producción de tuberías, se decide sustituir una de las máquinas implicadas en el proceso productivo por una de tecnología más avanzada. El objetivo es acelerar el proceso productivo sin que las características del producto …nal se vean alteradas. La máquina se programa para que corte las tuberías en una longitud de 30 cm. Después de un mes de actividad productiva, tras la adquisición de la nueva maquinaria, se tomaron al azar 50 de las tuberías fabricadas durante el último mes y se obtuvieron los siguientes resultados:
X 50
x = 28 cm ;
(xi x )2 = 1000 cm 2
i=1
Se pide: (a) A la vista de estos datos, ¿hay su…ciente evidencia para asegurar que la longitud media actual de las tuberías ha disminuido con respecto al valor programado? (b) Calcula el p-valor asociado al contraste de hipótesis realizado en el apartado anterior e interpreta dicho resultado. (c) Calcula el número mínimo de tuberías que deberíamos seleccionar para obtener un intervalo de con…anza para la media poblacional con una precisión de 0:4 cm y un nivel de con…anza del 95% . SOLUCIÓN:
(a) Los datos muestran que sí hay su…ciente evidencia para rechazar la hipótesis nula H 0 a favor de la alternativa H 1 , con un nivel de signi…cación del 5% . (b) p-valor= 0 :0009: (c)
L 491 tuberías.
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