PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROBLEMA 1 (Ejemplo 20-2 – 20-2 – FAUST) FAUST) Una bomba toma agua a 60°F de un gran depósito y la envía al fondo de un tanque abierto situado a 25 pies por encima de la superficie del depósito, a través de un tubo de 3 plg D.I. La entrada de la bomba está localizada 10 pies por debajo de la superficie del agua y el nivel del agua en el tanque es constante a una altura de 160 pies por encima de la superficie del depósito. La bomba suministra 150 gal/min. Si la pérdida total de energía debida a la fricción en el sistema de tuberías es de 35 pie-Ib f /Ib, calcular los caballos de potencia requeridos para el bombeo. El conjunto motorbomba tiene una eficiencia total del 55%.
Solución: La mejor técnica para resolver problemas de este tipo consiste en trazar un diagrama simple con los datos apropiados y marcar los puntos de referencia con respecto a los cuales debe efectuarse el balance de energía. Para demostrar que los puntos de referencia pueden colocarse en cualquier lugar, se usarán varios conjuntos diferentes. El único requerimiento es que se contabilice toda la energía entre los puntos. (a) Los puntos de referencia 1 y 4 - la superficie del agua del recipiente y la superficie del agua en el tanque, respectivamente. Del enunciado del problema: Q' = 0, E4 = E1, z1 = 0, Z4 = 160 pies P1 = P4 = 1 atm V1 = V4 = 1/62.3 = 0.0161 pie 3/lb (fluido incomprensible, isotérmico) ∑F = 35 pie-lbf /lb
puesto que los niveles de líquido permanecen aproximadamente aproxi madamente constantes. Para este problema y la información observada, la ecuación de energía de uso más conveniente y apropiado es:
O la ecuación:
̅ ̅ ∫
Usando la primera ecuación:
El signo negativo indica que el trabajo está siendo realizado por la bomba sobre el fluido. En el argot tradicional, puede decirse que la bomba suministra una carga de 195 pies. El área de sección transversal del tubo (S) es (πD2 )/4 = (3.14/4)(3/12)2 = 0.049 pie2. La velocidad global promedio del fluido en el tubo puede calcularse a partir de la velocidad volumétrica de flujo como sigue:
( )( )( ) ( ) ̅
En consecuencia, la potencia real requerida se determina aplicando las Ecs.
w = velocidad de flujo de masa, lb/s (kg/s)
v = velocidad promedio del fluido, pie/s (m/s) 3
3
p = densidad del fluido, Ib/pie (kg/m )
S = área de sección transversal de flujo, pie 2 (m2) Potencia = (Wf ’)(w) Usando la eficiencia motor-bomba
( )( )() ()
PROBLEMA 2
(Ejemplo 14-1 Punto de operación de un ventilador en un sistema de ventilación – CENGEL) Un sistema de ventilación local (ducto de campana y extracción) se utiliza para extraer el aire y los contaminantes que se producen en una operación de limpieza en seco (Fig. 14-12). El conducto es cilíndrico y está hecho de acero galvanizado con costuras longitudinales y juntas
cada 30 in (0.76 m). El diámetro interior (DI) del conducto es D = 9.06 in (0.230 m) y su longitud total es L = 44.0 ft (13.4 m). Hay cinco codos CD39 a lo largo del tubo. La altura de rugosidad equivalente de este conducto es 0.15 mm, y cada codo tiene un coeficiente de pérdidas menores (locales) de KL = C 0 = 0.21. Observe la notación para el coeficiente de pérdidas menores, se usa por lo general en la industria de la ventilación (ASH-RAE, 2001). Con el fin de asegurar la ventilación adecuada, el gasto volumétrico mínimo necesario por el conducto es V= 600 cfm (pies cúbicos por minuto), es decir, 0.283 m 3/s a 25°C. En los manuales del fabricante, el coeficiente de pérdida en la entrada de la campana es 1.3 con base en la velocidad en el conducto. Cuando el regulador de tiro está totalmente abierto, el coeficiente de pérdida es 1.8. Hay un ventilador centrífugo de diámetros de 9.0 in en la entrada y en la salida. Sus datos de rendimiento se proporcionan en la Tabla 14.1, de acuerdo con el fabricante. Señale el punto de operación de este sistema de ventilación local y trace una gráfica de los incrementos de presión necesarios y disponibles en función del gasto volumétrico. ¿Es adecuado el ventilador seleccionado?
SOLUCIÓN Se estimará el punto de operación para un sistema de ventilación y conductos determinados y se graficarán los incrementos de presión necesarios y disponibles del ventilador en función del gasto volumétrico. Se determinará si el ventilador es adecuado. Hipótesis 1 El flujo es estacionario. 2 La concentración de contaminantes es baja en el aire; las
propiedades del fluido son las del aire. 3 El flujo en la descarga es turbulento y totalmente desarrollado en una tubería con α = 1.05. -5
2
3
Propiedades Para el aire a 25°C, v = 1.562 x 10 m /s y ρ = 1.184 kg/m .
La presión atmosférica normal es Patm = 101.3 kPa.
Análisis Se aplica la ecuación de la energía para el caso estacionario en su forma de las cargas
(1)
Se ignora en el caso de ases
a partir del punto 1 en la región del aire estancado en la habitación hasta el punto 2 en la descarga del conducto: En esta ecuación podría ignorarse la velocidad del aire en el punto 1, ya que se eligió (con inteligencia) lo suficiente lejos de la entrada de la campana de modo que el aire está casi estancado. En el punto 1, P1 es igual a Patm, y en el punto 2, P2 también es igual a Patm, porque la boquilla descarga en el aire del exterior sobre el techo del edificio. Por tanto, los términos de la presión se cancelan y la ecuación se reduce a:
Carga neta necesaria:
(2)
La pérdida de carga total en la ecuación 2 es una combinación de las pérdidas mayores y menores, y depende del gasto volumétrico. Debido que el diámetro del tubo es constante: Pérdida total de carga debido a las irreversibilidades:
(3)
El factor de rugosidad adimensional es ε/D = (0.15 mm)/(230 mm) = 6.52 x 10
-4
El número de
Reynolds del aire que fluye por el conducto es: Número de Reynolds:
̇ ̇
(4)
El número de Reynolds varía con el gasto volumétrico. En el caudal mínimo necesario, la velocidad del aire por el conducto es V = V 2 = 6.81 m/s, y el número de Reynolds es:
√ √ A partir del diagrama de Moody (o de la ecuación de Colebrook), )
(Ec. Colebrook)
Diagrama de Moody con este número de Reynolds y este factor de rugosidad, el factor de fricción es f = 0.0209. La suma de todos los coeficientes de pérdidas menores es: Pérdidas menores:
(5)
Cuando se sustituyen estos valores en el caudal mínimo necesario en la ecuación 2, la carga hidrostática neta necesaria del ventilador para el caudal mínimo es:
(6)
Observe que la carga hidrostática se expresa en unidades de la altura de una columna equivalente del fluido bombeado, que en este caso es aire. Se convierte a una altura de una columna equivalente de agua multiplicándola por el cociente de la densidad del aire a la densidad del agua:
(7)
Se repiten los cálculos con varios valores de gasto volumétrico y se comparan con la carga hidrostática neta disponible del ventilador de la figura 14-13. El punto de operación es a un caudal de alrededor de 650 cfm (pies cúbicos por minuto), en que tanto la carga hidrostática neta requerida como la disponible son iguales a casi 0.83 pulgadas (in) de agua. Se llega a la conclusión que el ventilador seleccionado es más que adecuado para el trabajo.
Discusión El ventilador que se compró es
poco más potente que lo que se necesita, ya que produce un caudal superior al necesario. La diferencia es pequeña y aceptable; la válvula de mariposa del regulador de tiro podría estar parcialmente cerrada para disminuir el caudal a 600 cfm (pies cúbicos por minuto) si es necesario. Por seguridad, es evidente mejor adquirir un ventilador más potente cuando se usa con un sistema para controlar la contaminación del aire.
PROBLEMA 3 (Ejemplo 14-2 Caudal máximo para evitar que se genere cavitación en la bomba – CENGEL) Se utiliza el rotor de 11.25 in de la bomba centrífuga de la serie FI modelo 4 013 de Taco de la figura 14-15 para bombear agua a 25°C desde un depósito cuya superficie está 4 ft por arriba del eje central de la admisión de la bomba (Fig. 14.20). El sistema de tuberías, desde el depósito hasta la bomba, consiste en 10.5 ft de tubo de hierro fundido con un diámetro interior de 4.0 in y con una altura de rugosidad promedio de 0.02 in. Hay varias pérdidas menores: una entrada de bordes agudos ( KL = 0.5), tres codos regulares de 90° embridadas ( KL = 0.3 cada uno) y una válvula de globo embridada totalmente abierta ( KL = 6.0). Estime el gasto volumétrico máximo (en galones por minuto) que pueden bombearse sin que se genere cavitación. Si el agua estuviera más caliente, ¿se incrementaría o disminuiría este caudal máximo? ¿Por qué? Explique cómo podría aumentarse el caudal máximo a la vez que se evita la cavitación.
SOLUCIÓN En el caso de una bomba y un sistema de tuberías dados se estimará el gasto volumétrico máximo que se puede bombear sin que se genere cavitación. También se analizará el efecto de la temperatura del agua y cómo podría incrementarse el caudal máximo. Hipótesis 1 El flujo es estacionario. 2 El líquido es incompresible. 3 El flujo en la entrada de la bomba es turbulento y totalmente desarrollado, con α = 1.05. -4
Propiedades Para el agua a T = 25°C, ρ = 997.0 kg/m3, µ = 8.91x 10 kg/m · s, y Pv = 3.169 kPa. La presión atmosférica estándar es Patm = 101.3 kPa. Análisis Se aplica la ecuación de la energía para el caso de flujo estacionario en la forma de
cargas a lo largo de una línea de corriente desde el punto 1 en la superficie del depósito hasta el punto 2 de la entrada de la bomba:
(1)
En la ecuación 1 se ignoró la velocidad del agua en la superficie del depósito ( V 1 ≈ 0). No hay turbina en el sistema de tubería. Además, aunque hay una bomba en el sistema, no hay bomba entre los puntos 1 y 2; por lo tanto, el término de la carga hidrostática de la bomba también se anula. Se despeja de la ecuación 1 P2/ρg, que es la presión en la entrada de la bomba expresada como una carga:
Carga de presión en la entrada de la bomba :
(2)
Observe que en la ecuación 2 se reconoce que P1 = Patm porque la superficie del depósito está expuesta a presión atmosférica. La carga de aspiración neta positiva disponible en la entrada de la bomba se obtiene de la ecuación siguiente:
Carga de aspiración neta positiva:
Luego de la sustitución de la ecuación 2, se obtiene: NPSH disponible:
Como ya se conocen Patm, Pv y la diferencia de altura, todo lo que falta es determinar la pérdida de carga hidrostática irreversible total en el sistema de tuberías, lo cual depende del gasto volumétrico. Como el diámetro de la tubería es constante: Pérdida de carga hidrostática irreversible :
El resto del problema se resuelve de manera fácil con computadora. Para un caudal específico, se calcula la velocidad V y el número de Reynolds Re. Con Re y la rugosidad conocida de la tubería se utiliza el diagrama de Moody (o la ecuación de Colebrook) para obtener el factor de fricción f . La suma de todos los coeficientes de pérdidas menores es: Pérdidas menores:
(5)
Enseguida se ilustra un cálculo realizado a mano. En V = 400 galones por minuto (0.02523 m3/s), la velocidad promedio del agua en la tubería es:
) ( ̇ ̇
(6)
lo cual da un número de Reynolds Re = ρ VD/µ = 3.538 x 10 5. Con este número de Reynolds y un factor de rugosidad e/ D = 0.005, la ecuación de Colebrook da f = 0.0306. Cuando se sustituyen las propiedades dadas, junto con f , D, L y las ecuaciones 4, 5 y 6 en la ecuación 3, se determina la carga de aspiración neta positiva disponible a este caudal:
( )
(7)
La carga de aspiración neta positiva necesaria se obtiene de la figura 14-15. En el ejemplo, el caudal es de 400 galones por minuto (gpm), la NPSHnecesaria está justo por arriba de 4 ft (pies). Como la NPSH real es mucho más alta que este valor, no hay que preocuparse por la cavitación a este caudal. Se usa EES (o una hoja de cálculo) para determinar NPSH en función del gasto volumétrico; los resultados se grafican en la figura 14-21. Es evidente en esta gráfica que a 25°C, la cavitación se presenta a caudales por encima de alrededor de 600 gpm , cerca de la descarga libre. Si el agua estuviera a más de 25°C, la presión de vapor se incrementaría, disminuiría la viscosidad y la densidad se reduciría ligeramente. Los cálculos se repiten para T = 3 -4 60°C, donde ρ = 983.3 kg/m , µ = 4.67 x 10 kg/m · s, y Pv = 19.94 kg/m · s y Pv = 19.94 kPa. Los resultados también están graficados en la figura 14-21, en la que vemos que el gasto volumétrico máximo sin cavitación disminuye con la temperatura (a casi 555 gpm a 60°C). Este decremento concuerda con la intuición, ya que el agua más caliente ya está más cerca de su temperatura de ebullición. Para terminar, ¿cómo es posible incrementar el caudal máximo? Cualquier modificación que aumente la NPSH disponible ayuda. Puede aumentarse la altura de la superficie del depósito (para que sea mayor la carga hidrostática). También puede reacomodarse la tubería de modo que sólo se necesite un codo, e instalar una válvula esférica en lugar de la válvula de globo (con el fin de disminuir las pérdidas menores). Puede incrementarse el diámetro de la tubería y disminuir la rugosidad de la superficie (para aminorar las pérdidas mayores). En este problema en particular, las pérdidas menores ejercen la influencia más grande, pero en muchos problemas, las pérdidas mayores son más importantes, e incrementar el diámetro de la tubería es más eficaz. Ésta es una razón por la cual muchas bombas centrífugas tienen un diámetro de entrada mayor que el diámetro de salida. Discusión Observe que NPSH necesaria no depende de la temperatura del agua, pero la NPSH
real o disponible disminuye con la temperatura (Fig. 14-21).
PROBLEMA 4 (Problema propuesto 14-12C – CENGEL) La figura P14-12C muestra dos ubicaciones posibles para una bomba de agua en un sistema de tuberías que bombea agua de un depósito inferior a uno superior. ¿Cuál lugar es mejor? ¿Por qué? Solución: Tenemos que elegir qué ubicación de la bomba es mejor y explicar por qué. Análisis Los dos sistemas son idénticos excepto por la ubicación de la bomba (y algunas pequeñas diferencias en el diseño de la tubería). La longitud total de la tubería, número de codos, diferencia de elevación entre las dos superficies libres de depósito, etc son la misma. La opción (a) es mejor porque tiene la bomba a una altura más baja, el aumento de la altura de aspiración neta positiva, y la reducción de la posibilidad de cavitación de la bomba. Además, la longitud del tubo desde el depósito inferior a la entrada de la bomba es más pequeña en la opción (a), y hay un codo menos entre el depósito inferior y la entrada de la bomba, disminuyendo de ese modo la pérdida de carga aguas arriba de la bomba - tanto de que también aumentará el NPSH, y reducir la probabilidad de cavitación.
PROBLEMA 5 (Problema propuesto 14-37I - CENGEL) Una bomba de agua se usa para llevar agua desde un gran depósito a otro que está a mayor altura. Las superficies libres de ambos depósitos están expuestas a la presión atmosférica, como se ilustra en la figura P1437I. Las dimensiones y coeficientes de pérdidas menores aparecen en la figura. El rendimiento de la bomba se aproxima por medio de la expresión Hdisponible = H0 – aV 2 donde la carga al cierre es H0 = 125 pies de columna de agua, el coeficiente es a = 2.50 pies/gpm2, la carga disponible de la bomba Hdisponible está en unidades de pies de columna de agua y la capacidad V está en unidades de galones por minuto (gpm). Estime la capacidad de descarga de la bomba.
z2 – z1 = 22.0 ft (diferencia de elevación) D = 1.20 in (diámetro de tubería) KL, entrada = 0.50 (entrada de la tubería) KL, válvula 1 = 2.0 (válvula 1) KL, válvula 2 = 6.8 (válvula 2) KL, codo = 0.34 (cada codo, hay 3) KL, salida = 1.05 (salida de tubería) L = 124 ft (largo total de la tubería) Ɛ= 0.0011 in (tubería menos densa)
SOLUCIÓN: Para una bomba y sistema dado, hemos de calcular la capacidad. Hipótesis: 1 El agua es incompresible. 2 El flujo es casi constante desde los embalses son grandes. 3 El agua está a temperatura ambiente. 2
Propiedades La viscosidad cinemática de agua a T = 68°F es 1.055 × 10-5 ft /s
Análisis: Aplicamos la ecuación de la energía en forma de head entre la superficie libre del depósito de entrada (1) y la superficie libre del depósito de salida (2),
(1)
Dado que ambas superficies libres están a presión atmosférica, P1 = P2 = Patm, y el primer término en el lado derecho de la ecuación. 1 desvanece. Por otra parte, también ya que no hay flujo, V1 = V2 = 0, y el segundo término se desvanece. No existe una turbina en el volumen de control, por lo que el segundo a último término es cero. Por último, las pérdidas de carga irreversibles están compuestos por tanto las pérdidas mayores y menores, pero el diámetro de la tubería es constante a lo largo. Ecuación 1, por tanto, se reduce a
(2) -4
El factor de rugosidad adimensional es ε / D = 0.0011/1.20 = 9,17 × 10 , y la suma de todos los
coeficientes de pérdidas menores es
El sistema de bomba / tuberías opera en condiciones en que el head de la bomba disponible es igual a la altura del sistema requerido. Por lo tanto, igualamos la expresión dada y Eq. 2 para encontrar el punto de operación,
(3)
donde hemos escrito el caudal volumétrico en términos de velocidad media a través de la tubería, Caudal de volumen en términos de velocidad media:
̇ ̇
(4)
Ecuación 3 es una ecuación implícita para V ya que el factor de fricción de Darcy f es una función del número de Reynolds Re = ρVD / μ = VD / ν, tal como se obtiene a partir de ya sea el
diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook. La solución puede obtenerse por un método iterativo, o a través del uso de un solucionador de ecuación matemática como EEE. El resultado es V = 1,80 pies / s, de la que la tasa de flujo de volumen es V = 6,34 gpm. El número de Reynolds es de 1.67 × 104. Discusión: Verificamos nuestros resultados mediante la comparación Hdisponible (dado) y Hrequerido (Ec. 2) en este tipo de flujo: Hdisponible = 24.4 pies y Hrequerido =24.4 pies.
