Pripreme Za Državnu Maturu (Matematika - Osnovna Razina 13) - Trinom

TRINOM d.o.o. ,:=;, pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

1

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

© Trinom d.o.o., D.

Brozović,

prof. matematike, studeni 2013.

Nijedan dio ove skripte ne smije se preslikavati niti umnožavati na bilo koji bez pismenog dopuštenja nakladnika.

način,

Za internu upotrebu.

MATEMATIKA NA DRŽAVNOJ MATURI U RH

OSNOVNA RAZINA

ll. OSNOVE ARITMETIKEI Pojmovi i činjenice koje trebate znati za prve dvije cjeline (osnove aritmetike i algebre): ADICIJA - zbrajanje ALGEBRA - je grana matematike koja se bavi općim brojevima (slovima!), APROKSIMACIJA - približno izračunavanje neke matematičke veličine pomoću drugih, u pravilu jednostavnijih matematičkih veličina, Tako je 3, 14 racionalan broj koji je "dobra" aproksimacija iracionalnog broja TC ARAPSKE BROJKE (znamenke, cifre) - naziv za matematičke znakove 0, 1, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, pomoću kojih se, u dekadskom zapisu, može zapisati svaki prirodan broj. Nastale su u Indiji prije 5. stoljeća. Arapi su ih u srednjem vijeku prenijeli u Europu pa se zato nazivaju arapskima, ARITMETIKA - grana matematike koja se bavi brojevima, ponajviše prirodnim, cijelim i racionalnim, Aritmetika se tradicionalno naziva kraljicom matematike, ASOCIJATIVNOST (združivanje) - važno svojstvo nekih operacija, koje u slučaju operacije zbrajanja realnih brojeva glasi: (a+b)+c=a+(b+c), a u slučaju množenja: (ab)c=a(bc). Operacije oduzimanja i dijeljenja nisu asocijativne, BINOM - dvočlan, algebarski izraz koji se sastoji od dva člana povezana znakom

+ ili - , Tako je

a+ b

binom. U skladu s tim se

(a + by

2 naziva kvadratom binoma, a jednakost (a+b)2 = a 2 +2ab+b formulom za kvadrat binoma, BROJNIK razlomka m jest broj m

n

CIFRA - isto što i znamenka (brojka),

a DIJEUENJE - -

b

=a :b =e

Broj a naziva se djeljenikom (dividendom), broj b djeliteljem (divizorom), a broj e količnikom (kvocijentom),

DISTRIBUTIVNOST - svojstvo dviju operacija koje u slučaju zbrajanja i množenja realnih brojeva glasi: a· (b + e) = a' b + a' e ELEMENT - relacija na skupovima. Da je x element skupa A, označava se oznakom x E A , Pojam je vrlo star, a intuitivno znači da x pripada skupu A. IRACIONALAN BROJ - broj koji nije racionalan, Realan je broj iracionalan ako i samo ako mu decimalni zapis nije periodski. KOMUTATIVNOST - svojstvo računske operacije koje u slučaju zbrajanja realnih brojeva glasi. a + b = b + a, a u slučaju množenja: ab KONSTANTA - veličina u matematici koja se ne mijenja nego ima čvrstu vrijednost. Na primjer u funkciji

j(x) = ax + b, brojevi

Q,

= ba,

b su

konstante (ne mijenjaju se), a x je varijabla (mijenja se), NAJMANJI ZAJEDNiČKI VIŠEKRATNIK dvaju prirodnih brojeva a, b jest najmanji prirodan broj koji je djeljiv i s a i s b, NAJVEĆI ZAJEDNiČKI DJELlTEU (najveća zajednička mjera) dvaju prirodnih brojeva a, b jest najveći prirodan broj s kojim su djeljivi i a i b. NAZIVNIK razlomka!!" je broj b, b OMJER dvaju brojeva a i b je rezultat dijeljenja a:b. OSNOVNI TEOREM ALGEBRE - tvrdnja da algebarska jednadžba stupnja n «općenito» ima n rješenja, Značenje izraza «općenito» jest u tome što je za ispravnost osnovnog teorema algebre potrebno brojiti ne samo realna nego i kompleksna rješenja, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE - tvrdnja da se svaki prirodan broj može na jednoznačan način napisati kao umnožak prostih brojeva (rastaviti na proste faktore),

TRINOM d.o.o.

2

<:o:>

pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

www.trinom.hr

PERIODSKI DECIMALNI BROJ - decimalan broj kod kojega se, od nekog mjesta nadalje, znamenke ponavljaju. Tako je 3,245131313 ... periodski decimalan broj. Kod njega je 3 cijeli dio, 245 neperiodski, 13 periodski dio (skupina znamenaka 13 stalno se ponavlja). Taj se broj krače zapisuje 3,24513. Racionalni brojevi su periodski decimalni brojevi, a iracionalni neperiodski. PI - broj jednak kvocijentu opsega i promjera kružnice (ima oznaku ff).

je iracionalan broj.

ff

POSTOTAK - stoti dio nečega. Označava se oznakom %. Tako pet posto od tristo znači isto što i pet stotnina od tristo tj. _5_. 300 = 15 .

100

PRAVILA DJEUIVOSTI- pravila koja omogućuju brzu provjeru djeljivosti prirodnog broja s nekim drugim prirodnim brojem. Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka paran broj ili O. Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3. Broj je djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4. Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka O ili 5. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i s 2 i s 3. Broj je djeljiv sa 8 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8. Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Broj je djeljiv s 10 ako mu je zadnja znamenka O. Broj je djeljiv sa 25 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 25. PRODUKT -7umnožak-rezultat množenja PROMIL - tisućiti dio nečega, oznaka %0. Tako 7%0 od 200 znači _7_. 200 = 1.4.

1000

PROST BROJ - prirodan broj koji ima

točno

2 djelitelja (brojevi djeljivi samo s brojem 1 i sa samim sobom). Najmanji prost broj je 2.

m RACIONALAN BROJ - količnik (rezultat dijeljenja) - ,cijelog broja m i prirodnog broja

n

n (m se naziva brojnikom, a n nazivnikom).

RACIONALIZACIJA - postupak kojim se neki razlomak koji ima iracionalan nazivnik pretvara u razlomak s racionalnim nazivnikom. RAZMJER (proporcija) - jednakost između dvaju ili više omjera. Tako je a: b = e : d razmjer. RAZMJERNOST (proporcionalnost) - pojam koji se odnosi na međusobnu ovisnost dviju veličina na način da povećanje jedne uzrokuje povećanje druge ili smanjenje jedne uzrokuje smanjenje druge.

RECIPROČNA VRIJEDNOST realnog broja

a"*

°

je realan broj.!., tj. broj a-l (-7inverz).

a

Recipročna vrijednost razlomka!!..

b

je razlomak!!...

a

RELATIVNO PROSTI BROJEVI- prirodni brojevi koji nemaju zajedničkih djelitelja različitih od 1. Tako su 4 i 15 relativno prosti, a 4 i 14 nisu jer su oba djeljiva s 2. SEGMENT je zatvoreni interval. SKUP - osnovni pojam teorije skupova i u aksiomatskoj izgradnji te teorije on se ne definira. Skup čine njegovi elementi. SLOŽEN BROJ - prirodan broj različit od broja 1 koji nije prost.

1.1. Skup realnih brojeva R i njegovi podskupovi N

{1,2,3,4, ...n, ... } .

•

Skup prirodnih brojeva:

•

Skup cijelih brojeva: Z = {... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}.

•

Skup racionalnih brojeva (razlomci i):

=

Q = {: : m,n E Z,n "* O} .

Svi brojevi iz ovoga skupa mogu se zapisati i u decimalnom obliku ako podijelimo brojnik s nazivnikom. Ti će decimalni brojevi uvijek biti periodični! Iza decimalne točke neprekidno će se pojavljivati uvijek ista grupa znamenaka.

2

.

.

Primjer -=0.285714285714285...

7

•

..

122178

1234

1000

•

99000

Skup iracionalnih brojeva. Decimalni broj koji je neperiodičan (iza decimalne točke je beskonačan niz znamenaka u kojem nema periodičnog pojavljivanja iste grupe znamenaka) kao npr ff = 3.141592654 ... ne može se dobiti kao rezultat dijeljena dvaju cijelih brojeva. Svi ne periodični decimalni brojevi čine skup koji zovemo skup iracionalnih brojeva i označavamo s I. Primjeri iracionalnih brojeva su mnogi korijeni i logaritmi kao npr

..".. = n.lfi707!Jfi:12...

3

20

_ = 015

20

12

Primjer 1.23412=---=--+--,

99000

+oc

.

0.1234937 ... 0.1234444 ... 0.1231492 ... 0.1231 0.123 O. 12292929 ... 0.1228345 ... 0.1227227227 ...

.fi,V7,log2 3 ...

o

Skup realnih brojeva: R = Q U I . ~ R (realni brojevi)

I (iracionalni) - u decimalnom prikazu imaju beskonačan neperiodičan zapis

~ Q (racionalni)

- u decimalnom prikazu imaju konačan ili beskonačan periodičan zapis

JIZ gore navedenoga slijedi N e Z e Q e R .J

-0.1228345 ...

-0.1231492 ... -0.1234937...

-0.1227227227 ... -0.12292929 ... -0.123 -0.1231 -0.1234444 ...

t Iracionalni brojevi

t Racionalni brojevi (G) -(lC

~

TRINOM d.o.o.

3


UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

13. Zadatak. (2011-3) Broj TI = 3.1415926 ... zaokružen je na dvije, tri, četiri i pet decimala. U kojem je od tih zaokruživanja načinjena pogrješka? a.3.14 b. 3.142 ~3.1415 d.3.14159

1. Zadatak. (2011-2) Kojemu skupu brojeva pripada broj 3.12 ? a. skupu prirodnih brojeva b. skupu cijelih brojeva €56kupu racionalnih brojeva d. skupu iracionalnih br. 2. Zadatak. (2013-2) Koji od navedenih brojeva ne pripada skupu racionalnih brojeva? 19

c.-

a.-3

'-o

14. Zadatak. (2011-2) Broj TI s Vašega džepnoga računala zaokružite na četiri decimale pa izračunajte vrijednost izraza p 2rrr(r + 30.21) za r 2.154. Rezultat zaokružite na dvije decimale.

d.13.5

4

=

3. Zadatak Samo je jedan od navedenih brojeva racionalan. Koji? a) 0.10100100010000...

b)

-.JO"j

c) 0.4

d)

j;2

15. Zadatak:* Koji je od navedenih brojeva najbliži broju 3?

a)

4. Zadatak:* Koji od brojeva pripada skupu iracionalnih brojeva? a) 4.33

b)

5. Zadatak

Među

-.J16

@ Fs

c) -4/7

b) 3.14

c)

.Jo.8l

d)

2.Ji

®4

cJ 5

~.!.! \J 30

6

12

b) -

7

c) -

7

-1[

ili -3.1415?

3

< ~2

!9·7<~

c. ~ < 1 ~ 2

2

7

7

5

§-- -2

iaI

3

b)--

5')

a) - - -,:' .

d)

2. 10

~

17

~.))-

7

3'

3

3

veći od -~? 5 @ 1 d --

2

c) - -

b) - -

2

3

2

- IrfC~ '~tt

~ 7. 21. Zadatak. (2010-2) Koji je od navedenih brojeva veći od - - I

2

1

manji od-? 3

23

d)~

b) _11

a.-6

10. Zadatak Sljedeće brojeve zapiši u obliku maksimalno

7

3

22. Zadatak Koji je od navedenih brojeva između 4/9 i 9/10? a) 7/18 b) 14/15 c) 7/20 d) 7/15

skraćenog razlomka: 0.125, 2.625, -1.18, 2.3

11. Zadatak. (2010-2) Koji od navedenih brojeva, zaokruživanjem na dvije decimale, daje broj 5.78? a.5.7699 b.5.7731 05.7791 d.5.7866 12. Zadatak. (2010-3) Broj 3.54273 zaokružen je na jednu, dvije, tri i četiri decimale. Koja je od navedenih tvrdnji netočna? a. na jednu decimalu iznosi 3.5 b. na dvije decimale iznosi 3.54 ena tri decimale iznosi 3.542 d. na četiri decimale 3.5427

23. Zadatak Poredaj po

veličini.

1 13 II 7 21 b. -1- - - - - - 1 - - 2' 8' 6' 12' 16

4 14 5 2 7 23 a. - - - - - 5'15'6'3'10'30 24. Zadatak:*

Ma)'{~ je pročitao 3., Ana 2., Pero 2.

/ 3 / II iste knjige. Tko je pročitao najveći dio knjige? a) Marko b) Ana @Pero

i Višnja

6

d) Višnja

DEFINICIJA: )

{x E R, a < x < b} zovemo otvoreni interval i označavamo (a, b) . Prevedeno na hrvatski, (a,b) je oznaka za sve moguće brojeve koji se nalaze između brojeva a i b. Skup

R, a::::; x::::; b} zovemo zatvoreni interval i označavamo [a, b] . Prevedeno na hrvatski, [a, b] je oznaka za sve moguće brojeve koji se nalaze između brojeva a i b Ilklillčujući i brojeve a i b. • Skup {x E R, a < x : : ; b} zovemo poluotvoreni interval i označavamo (a, b]. ' -2,a~-lAOAl /'2 A /1, J b

•

Skup {x

Oni kojima je Uglavnom, IPrimjer

E

čaša

(a,b]

a)

(1,4)

)

uvijek poluprazna ovaj skup zovu poluzatvoreni interval.

je oznaka za sve moguće brojeve koji se nalaze između brojeva a i b uključujući i broj b.

1:1 Skiciraj na brojevnom pravcu sljedeće skupove, odredi njihove najmanje i najveće elemente te ih na kraju međusobno

usporedi (barem neke!) obzirom na relaciju "biti podskup". b)

[1,4)

c){l,4}

d)

(1,00)

e)

(-00,4]

.!. 2

25. Zadatak:* Na brojevnome pravcu prikažite skup svih realnih brojeva x za koje je x < 2.5 .

•

2

d)--

2

20. Zadatak. (2010-3) Koji je od navedenih brojeva \;~L!

-~? 2

c)--

3

I

<

7

5

b.

19. Zadatak. (2010-1) Koji je od navedenih brojeva manji od

+

9. Zadatak :* Kojemu je razlomku jednak mješoviti broj 2~? a) -

parove brojeva: b) 3.723 i 3.722999 d) -2.130777 ... i -2.1307

d) 6

630

30

b. ~

5

8. Zadatak :* Koju vrijednost ima razlomak ~ ?

2.

d) 1.5 3

18. Zadatak. (2012-1) Koja je nejednakost točna?

a. 5 < ~

7. Zadatak. (2012-2) Ako se broj 391 podijeli brojem 37, dobiva se decimalan broj. Koja je znamenka na 104. mjestu iza decimalne točke? a. 4 b. 5 c. 6 d. 7

b)

.,flO

sljedeće

-.Ji ili -1.41?

a.

l 0.11 " r;:; Jl2l } -; 3.14, -,0.1234567, ,,7, - - , 0, lO1!3, Jr 3/ 0.13 . >-- 4 :.== -

al;

c)

3

17. Zadatak:* Koji je broj manji:

6. Zadatak Koliko iracionalnih brojeva sadrži skup

m

4-~

b)

1[

16. Zadatak Usporedi a) 2.7104 i 2.71 c) -5.133 i -5.129

navedenim brojevima jedan je uljez. Koji?

a) 1.41

=

TRINOM d.o.o.

4

~



www.trinom.hr 26. Zadatak. (2011-3) Koja je oznaka za skup svih realnih brojeva od -2 7

30. Zadatak:* Koliko je prirodnih brojeva u intervalu

a. (-oo, -2)

a) 3

većih

b. (-00,-2]

0-2, +(0)

d. [-2,+(0)

[2, 1:] 7

b) 4 \ C ) ) s

d) 6

\/

27. Zadatak. (2011-1) Kojemu intervalu pripada broj lI

3

a. [0,1.5)

d. [3.5,5)

31. Zadatak. (2012-1) Navedite sve cijele brojeve iz [-2,3). -.2~_\.:,O) \\:{./ 7 32. Zadatak. (2013-1) Koliko je cijelih brojeva u intervalu (-2, 3) 7

i 17

a. 3

b. [1.5,2.5)

e. [2.5,3.5)

-!

28. Zadatak:*: Kojemu intervalu pripadaju brojevi

e)

2

[-1,±]

3 7

-

[_.!.2'2.!.]

d)

e) 4

e. 5

@4

d. 6

33. Zadatak. (2012-2) Koji od ponuđenih intervala sadrži točno četiri cijela broja7

~(-10,-5)

(2, 121] 7

29. Zadatak:* Koliko je prirodnih brojeva u intervalu

a) 2 ® 3

3

d) 5

eJ

e. [-1,2)

b. [-2,2]

34. Zadatak:* Koliko cijelih brojeva sadrži zajednički dio zatvorenih intervala prikazanih na brojevnim pravcima na sliei7 a)s @4 e)3 d)2

d. (4,9]

-5

2

------~G~------~~

-3/2

LI

4

Nije predviđeno za osnovnu razinu: DEFINICIJA: • Unija skupova A i B, A u B, je skup koji sadrži točno one elemente koji se nalaze barem u jednom od ta dva skupa. • Presjek skupova A i B, A n B, je skup koji sadrži samo zajedničke elemente ta dva skupa. • Razlika skupova A i B, A\B, je skup koji sadrži samo one elemente skupa A koji nisu istovremeno i u skupu B.

IPrimjer2:lza skupove A i B odredi AuE, AnE, A\B, B\A. b) A

a) A={1,2,4,6,7,8} B={2,4,6,8,10}

= (- 3,4),

1.2.

= [1,5)

B

Računske

e) A

= {1,2,3}, B = [0,3)

d) A

= {0}u(1,21 E = (-2,1]

I

operacije u skupu R

A. ZBRAJANJE I MNOŽENJE 0.25-7' ~

G]zadatak. (2010-3) Koja je vrijednost izraza ad - be ako je a = 3, b = -4, e = -5, d = -67 - '1:, '<,

(g!nadatak. (2010-2) Kolika je vrijednost izraza /

2. Zadatak. Izračunaj

f7"::"

( \,-~-41

a.

[-2-3.(-6)]'[24.(-1)-(-1).(-4)] - \,\\.,'( b. [4.(-4)-4-4.4]-18.(-2) O e. l-2.(-1){1-2[1-2-(1-2).2] d. -2-2{-2-2[-2.(-2)-2]

(-0.2)2 - 1: a. -0.1251

H- [0.25 - G-l)]}.

1

Kolika je vrijednost izraza D

4

b.

6

22

3

+ -S :-S

b._

10: \.9

29

3

19

~

23

zapišite u obliku razlom ka.

7

d.

7

3

2.4) i rezultat

0.1

7: 2-1

4ac7 ~

109

14

2, b =

~3

ie

=~.2

!, '1

8) 3

14. Zadatak :* Koja je vrijednost izraza (

7

2:0.3-- ·0.125 3

15. Zadatak

Izračunajte

4

3-+0.59 a) 25

"-...>

b)* -7 + 5 . 9

-

2S

b)

(~-0.15):4

~.75: 1--1.2 3

3+1.!. 2

1.4

16. Zadatak Koji od navedenih izraza ima vrijednost 07

9. Zadatak Izračunajte

0.05 =

1

4

1

(2.!.+13.'~):14.!.-.!. 3 3 4 3 8

a)*

2

3

1+4.5·-

8. Zadatak Izračunaj

a)

Z

S

3

{-j\ Zadatak. (2011-1) Izračunajte ~. (~-

a-+jj+c

d. 14

~2

3

G-0.04s1

(':,

Odredite broj H= lT'1.

7

714

!

3S

=b

14

-"9 b. -"9 e. "9 (~l~~zadatak. (2010-2) Zadani su brojevi a = . .

D 18

e. 12

(6~ Zadatak. (2012-2) Koja je vrijednost izraza (-3)2 - 4: 0.3 a._

e. -0.0817

a.

3

,~ 13

7

"9

2 ~'f.'Zadatak. (2011-2) Kolika je vrijednost izraza ". 7 a'./ll ~ 16 e. ?. 14 \J 7 S ,

b. -0.0885

; 12.;Zadatak. (2013-2) Zadani su brojevi a = -2, b = - i e =-.

6

"3

(7 .~ + 1.25) zaokružena na četiri deeimale7

'- . . j

\'j

d ) 41

~

""k (2010-1 ) Ko I'k' .. d nost Izraza . \4. Za d ata. I a Je vrije -S - -1 . -2?.

a.

41

e) 16

Q~JZadatak. (2013-2) Koja je vrijednost broja

3. Zadatak :* Izračunajte vrijednost izraza

0.25 -

41

b) - 16

7

1 2 2

(-z)

1+3.(1.5-1) e) 3 0.1-25

b)

a) - ; - - " " " ' - - -

( 3.!. -1).2.5

3 -70 0.06: 0.72

45-(3+4.2:0.1)= -4-22

e)

2-3{3-2-(3-2.(-3)).2-3}-62_ 1- (2 - (3 - 4)) + 2 -

TRINOM d.o.o. ,:=;, pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

5


www.trinom.hr

(~: Zadatak. (2012-2) Energetska vrijednost 100 g kiselog vrhnja

~zadatak. (2011-3) U tablici je prikazano vrijeme polaska,

olaska I trajanje vožnje nekih vlakova. Popunite Vrijednosti kOje nedostaju. Polazak 5:20 i3; ~\ 21:39

Trajanje vožnje 6 sati i 20 minuta 56 minuta

Dolazak 11:40 10:27 4:48

(sljedećega

dana)

"i-h<:::l

,·s.k ~J;'m c~.

!TI\,\""

iznosi 135 kcal. Jedno pakiranje sadrži 200 g kiselog vrhnja. Koliko smo kcal unijeli u organizam ako smo pojeli dvije trećine' pakiranja? d. 203 kcal a. 155 kcal b. 162 kcal @I80 kcal /fs:.2z-adatak. (2012-2) Sir ribanac prodaje se u dvama (.pal \ /-:::~\, /2 c,,~ D. i loe ~" 'c <':,:,;2 ~ ~ 1 'J'::fe.o" / 26) Zadatak. (2013-2) U kutiji se nalazi 12 boca ulja. Obujam '(v'olumen) svake boce je 750 mL. Koliko je najmanje potrebno spremnika obujma 1000 L u koje bismo pretočili ulje iz 500 takvih kutija?

Jo!'f'\

18. Zadatak. (2010-3) Koliko je vremena prošlo od 18. travnja 2010. godine u 9 sati i 15 minuta do 20. travnja 2010. godine u podne? a. 50 sati i 15 minuta @50 sati i 45 minuta c. 51 sat i 15 minuta d. 51 sat i 45 minuta

""I

19. Zadatak. (2011-1) Koliko je vremena prošlo od 11. svibnja u 19 sati i 10 minuta do 12. svibnja iste godine u 8 sati? \')..~ SO /)w:,lj rw.Zadatak. (2013-1) Zrakoplov

polijeće iz Zagreba u 18:43, a u

\

. -

@5

a.3

c.6

d.9

Windhoek slijeće sljedeći dan u 7:54. Na povratku zrakoplov 27. Zadatak. (2011-1) Tomislav je kupio 9 bilježnica. Platio je polijeće iz Windhoeka u 9:47, a u Zagreb slijeće u 21:29. Za novčanicom od 50 kn. Prodavačica mu je vratila 28 kn i 40 lipa. Koliko stoji jedna bilježnica? koliko je odlazak dulji od povratka? Napomena: Zagreb i f.:) Windhoek su u istoj vremenskoj zoni. / }c::Ja 1 h i 17 min b. za 1 h i 22 min ~zadatak :* Tin je kupio 7 bilježnica. Platio je novčanicom od Il:/a 1 h i 29 min d. za 1 h i 43 min 20 kn. Prodavačica mu je vratila 11 kuna i 39 lipa. / a. Koliko stoji jedna bilježnica? \, :2..''::;, Zadatak :* U javnoj garaži parkiranje se naplaćuje prema b. Koliko je najviše bilježnica Tin mogao kupiti za 20 kn? \ ~ ]edećoj tarifi: prvih pola sata 5 kn, drugih pola sata 4 kune i svaki sljedeći započeti sat po 7 kuna. Vozilo je bilo parkirano od 10:35 S ~15 ~9. Z~datak. (2010-3.) Cije.na ulazn~ce na dan igranj~ utakmic.e. do 15:50 h. Koliko je kuna platio parkiranje njegov vlasnik? IznOSI 40 kn. Na dan Igranja utakmice za 600 kn moze se kupiti 5 a. 23 kn b. 30 kn c. 37 kn C?'J44 kn ulaznica manje nego u pretprodaji. Za koliko je kn cijena jedne ':cl ,/h~.'. IS ulaznice viša na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji? - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~"C; ,,', a. 10 kn b. 15 kn c. 20 kn d. 25 kn 22. Zadatak:* Za koliko se vremena pri rotaciji oko svoje osi ~ 'r1 ';. L~30' d k * b" k d · k 45 ? 0'1. 1·,,2,,30<'2a ata: Auto USI A I B na pocet u ra nog vremena ". " v Zem Ija o rene za 0 . . 45 . 6' d 9 .' zajedno kreću s polazne stanice. Autobus A svake 72 minute b. 4 sata I . ata min c. sati . sati k' I . b . .//} ponovno rece s po azne stanice, a auto us B svake 42 minute. ( . Zadatak. (2012-1) Litra Super plus benzina za automobile Nakon koliko će minuta autobusi ponovno krenuti s polazne stoji 8.17 kuna. Koliko će Petar platiti ako je utočio 35.15 litara u stanice zajedno? ..L + _,_ ~ \3 spremnik svojeg automobila? Odgovor: 2.251· kuna ~ lipa =\:L I.{ 'l. Sou.. v

~

~

'1:"')

\..) \L\"-"o'

,:--,

r f '

'J ;:)

e '-(

(l"r'~, rl)

B. POTENCiRANJE Masa Zemlje iznosi 6000000 000 000 000 000 000 tona, a masa Sunca 1985 000 000 000 000 000 000 000 000 tona, dok je masa atoma vodika 0,000 000 000 000 000 000 000 001 674 grama. Zemlja je od Sunca udaljena 149500000000 metara. Ovakvi veliki ili mali brojevi česti su u fizici, kemiji, biologiji i drugdje. Način na koji smo ih zapisali nije baš praktičan jer, osim što zauzima mnogo mjesta, na prvi pogled nije lako procijeniti veličinu tog broja. Razne stvari u matematici imaju predugačak zapis kojeg pomoću različitih oznaka pokušavamo skratiti. Dva najpoznatija primjera su: a)7+7+ 7+7+ 7 kraće zapisujemo 5·7

b) 3·3·3·3·3·3·3·3·3·3 kraće zapisujemo 310 Dakle, an je kraći zapis za produkt n jednakih faktora a pri čemu je a bilo koji realni broj, a J1 E N .

a=a 1 Definicija:

a'a=a 2

ili

općenito

a·a·a· ... ·a·a=a n

a.a.a = a 3

Broj an zovemo potencija, broj a je baza, broj n je eksponent.

n faktora ••••·M••••' . " , . . . ••••

Osim toga vrijedi: aD

!primjer 1:1

= 1, Va;:ft. O

a -n

=-

1

a n'

VnEN, Va

;:ft.

O čime smo omogućili da u eksponentu bude bilo koji cijeli broj.

a) 1 000 000= 10 . 10 . 10 . 1O. 10 . 10 = 10 6 . c) 0.000001 =

IPrimjer 2:1

te

1 1000000

a) 10-4 =_1_

b) 123000000000

1 =_1_=10- 6 10·10·10·10·10·10 10 6 b) 5-3

10000

=

J...3 =_1_ 5

= 123 .10 9

d) 0.0001=_1_= 1 10000 10 ·1 O·10 ·10 c) 0.00003 = _3_ = 3 . 10-5

100000

125

IPrimjer 3:1 Sada možemo one velike brojeve s početka priče kraće zapisivati ovako: •

masa Zemlje je 6.10 21 t

•

masa Sunca je 1.985.10

27

t

•

masa vodika je 1.674.10-24 g.

TRINOM d.o.o.

6

IPrimjer 4:llzračunaj

a) 123.456789.10 3 = 123.456789 ·1000 = 123456.789

b) 0.00123.10 4 =0.00123·10000=12.3

c) 123.456.10-2 = 123.456 = 1.23456 100

d) 0.0123.10-5 = 0.0123 = 0.000000123 100000

1. Zadatak Zapiši u obliku decimalnog broja. a) 5.10-

d)

2

0.05.10-

b)

0.012.10

5

c)

-1001.234.10-

e)

Wzadatak. (2010-1) Ljudsko srce tijekom jednoga dana otkuca oko 100 tisuća puta. Koliko puta otkuca tijekom 70 godina života? 7 tj a. 2.6 . 10 b. 2.6 . 108 ~2.6 . 10 9 d. 2.6 . 1010

3

8.4.10-

\O~

6

;f')Zadatak :* Jedna tableta sadrži 5.2.10 korisnih bakterija. '-Dijete od 10 godina smije pOPiti najvIse dVIJe takve tablete tn puta na dan. Koliko najviše tih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednome danu? a.5.20·l0

b.1.04·10

8

8

c. 1.56.10

l7

kA/Zadatak. (2011-~) U silosu se nalazi 1.2 . 1010 zrna žita. Ako ,0 se četvrtina sa9n~l]e u brašno, a šestina od preostaloga žita proda, koliko je zrna žita ostalo u sil~~ a. 4.5 . 10 9 b. 6.55 . 10 9 10 9 d. 8.55 . 10 9 -f

7

8


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

1

Go:>

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

'\SJl.5 .

d.3.12·10

8

DEKADSKI ZAPIS - pozicijski zapis brojeva zasnovan na sustavu s bazom 10. Nastao je u Indiji vjerojatno u 5. st. 6 9 12 15 milijarda za 10 , Nazivi: milijun za 10 , bilijun za 10 , bilijarda za 10 , 21 24 27 3 trilijarda za 10 , kvadrilijun za 10 , kvadrilijarda za 10 , kvintilijun za 10 °,

5. Zadatak:

Pročitaj sljedeće

a) 98 654000000 c)98765432123000000

brojeve: b) 5 123400432 100 d)9876543210123456000

18 trilijun za 10 , 33 kvintilijarda za 10

7. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 1.49.10 8 km. To je: a) 149 milijardi km c) 149 milijuna km

6. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 4.25 .10 13 km. To je: a) 425 bilijuna km b) 42.5 bilijuna km c) 42.5 milijuna km d) 42.5 milijardi km

b) 14.9 milijardi km d) 14.9 milijuna km

8. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 1.49.1011 m. To je: a) 149 milijardi km c) 149 milijuna km

b) 14.9 milijardi km d) 14.9 milijuna km

IPrimjer 5:1

a) 3 4 .3 5

b) 3

4

:

=

e)3 ·4 =

i) 3 4 .4 5 =

m) 2.3 4 .3 4 =

3 =

f)3 5 :4 5 =

j)3 4 :45=

n)2·3 :3 =

5

5

5

5

+ 45

5

5

4

5

g) 3

4

5

h)3 -4 =

c)3 +3 = d) 3 _3 =

TEOREM: Pravila za

računanje

k) 3

=

4

+ 45

4

n

+

x - x

Potencije ne možemo zbrajati ni oduzimati {

~

n

{ ~=an-m am

~bY mISTE EKSPONENTE' ~

{

m =???

...

osim potpuno jednakih

xn ±yn = ???

MNOŽENJE I DIJEUENJE POTENCIJA istih baza

množenje potencija istih baza: b)

koristeći

am . an

12. Zadatak. (2011-3) Jedna galaksija udaljena je od Zemlje 150 16 6 megaparseka (1 megaparsek =10 parseka, al parsek =3.09,10 metara). Koliko iznosi ta udaljenost izražena u kilometrima? 20 21 A. 4.854'10 km B. 4.635,10 km 22 23 C. 4.635,10 km D. 4.854'10 km

se pravilom za

= a m+n

(_43 .(3_4 )43 )22

10. Zadatak. Napiši u obliku potencije

koristeći

se pravilom za

dijeljenje potencija istih baza: am : an = am-n. 7

2 -.2a. 212

p)2·3 4 _3 4 =

5

za ispitivanje na osnovnoj razini mature.

9. Zadatak. Napiši u obliku potencije

6

4

spotencijama:

Potencije možemo množiti ili dijeliti ako imaju ISTE BAZE

predviđeno

4

4

0)2.3 +3 =

=

1)3 _4 =

nam =a n+m a·

*Nije

4

b.

1011 10

3

.10 6

12

3_ c. _ 5

3 .3

d.

5

a ·a

4

11. Zadatak. (2012-1) Masa elektrona je 9.1094 . 10-31 kg. Koliko je to grama? A. 9.1094 . 10- 34 grama B. 9.1094 . 10- 33 grama 29 D. 9.1094 . 10- 28 grama C. 9.1094' 10- grama

8

13. Zadatak :* Masa Zemlje je 5.976 . 10 24 kilograma. Masa Zemlje jednaka je 3.137 . 10- 3 mase Jupitera. Kolika je masa Jupitera izražena u kilogramima? a. 1.9 . 10 21 b. 1.9 . 10 25 27 d. 1.9 . 10 31 c. 1.9· 10 31 14. Zadatak. (2013-1) Masa elektrona iznosi 9.109,10- kg, a 27 masa protona 1.674.10- kg. Koliko je puta masa protona veća od mase elektrona? a. 184 puta b. 544 puta c. 1838 puta d. 5442 puta

TRINOM d.o.o. pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

7

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333 333

www.trinom.hr

an . an ..... an je potencija (an

Teorem: Produkt m jednakih potencija

r.

,an. a: ·.00· a~ = (an

Pritom vrijedi:

Ovakva se situacija zove potenciranje potencije.

fi

(25

t

a._2 2 .(_2 2 )

c.

16. Zadatak. (2011-2) Čemu je jednak broj (_3 2)3 ?

faktora

b.-3 2 .(-3Y

C.(_23)

2 d.-(-3 )

19. Zadatak. Zapiši kao potenciju:

a)

o.rl

b)

17. Zadatak. (2013-1) Zadani su brojevi K = 3- 2 , L = -r2, M = -3 2 , N = (-3 )2. Što je od navedenoga točno? a. K =L b. K < M c. L> N d. M ct N ~

= a n.m

18. Zadatak. Izračunaj.

15. Zadatak. Napiši u obliku potencije s bazom 2.

b.

r

2 c) -0.001 100·0.1

1

0.Q1-2

8

d)_2S_ S3 .12S 4

ZBRAJANJE I ODUZIMANJE POTENCIJA

16. Primjer:llzračunaj bez modificiranja izraza: 2 2 3 2 a) 10 + 10 =ne može b) 3 + 4 20. Zadatak. (2012-2) Neka je a=

=ne može

2 0 -2 1 +2 2 -2 3 (O

2:2

1)

2

3

'(2:2)

.

a. -24

Koliki je broj a?

Zaključak: Zbrajati (oduzimati) možemo samo potpuno identične potencije:,a

n

+

a:

+ u. +

k članova 4

4

4

4


a) 5 +5 +5 +5 +5


a) 11· x

4

3- 5· x 3+ 2 . x 3- x 3

23. Zadatak :* Svemirska sonda putuje prema planeti udaljenoj 4.10

9

c.O

b.-20

qn =

d. 1

f' an

koeficijent

b.

4 5 +45 +45 +2.4 5

c.

lO-I + 10-2 + 10-3

b)

11.8 3 -5.8 3 +2.8 3 -8 3

c)

7.3 9 +2.3 9

km od Zemlje. Nakon što je prošla četvrtinu puta, izgubila je vezu 9

s bazom na Zemlji. Veza je ponovno uspostavljena na udaljenosti 1.3.10 km od Zemlje. Koliko je kilometara sonda preletjela bez a. 3.10

kontakta s bazom?

8

km

b. 3.10

7

km

c.130km

Zadaci za napredne:

c) I/\Ik' r' o u Izrazu

a -n

= -1

an

. umjesto

r

d.13km

_(~)-4 -(-~J

3

, a pisemo -X do b'lt cemo. .v

Y

2

r

+6·ur

3 2 (8aj3 .(16a- j-3 e. (3:~' r~a'b-' T' bbf.

3

24. Zadatak.

Izračunaj

4- +3{ir

25. Zadatak. Zapiši u obliku potencije.

2

1

a.

s+Gf

2

a.6·2

11

+5·4 6

b.0.1·1O-3 +9·10-4

·3°

C. KORJENOVANJE DEFINICIJA: Ako je a pozitivan realan broj, a n prirodan broj onda je

n-ti korijen iz a, pozitivan broj čija je n-ta potencija jednaka a.

Označava se oznakom rf; . Ako je n neparan, onda postoji n-ti korijen iz negativnih brojeva. Primjeri:

~ = -2,

Napomena:

VS = 2, V625

Pomoću formule

m

x -; =

= 5, dok npr.

V- 625

nije realan broj.

'if? možete prelaziti iz potencija u korijene i obratno. Radite s onim što više volite.

1. Zadatak. (2010-1) Kolika je vrijednost broja 2. Zadatak. (2011-3) Zadani su brojevi a

m3

zaokružena na tri decimale?

= 4 i b = ~.4 Izračunajte broj M =

a.1.760

J + a: 1

b

b.1.763

i zapišite ga na tri decimale.

c.1.764

d.1.770

TRINOM d.o.o.

8

(o>



www.trinom.hr 3. Zadatak.

a)

Sljedeće

korijene zapišite u obliku potencija i u decimalnom obliku:

.fi

c)

4. Zadatak. a)3

Sljedeće

1 2

?fi4

d)~

e)~

f)

V_24

f)

-8 3

gl

v(- ;7

g)

(-2)3

r

potencije zapišite u obliku korijena i u decimalnom obliku: 2 3

b)3

s.Zadatak.Akoje x= ( ~ )

1

c)(-64}3

d)

3

3

(-16}z

e)-9 2

-3

2

-2

-

1

+3.4 2 ·(-5tl +12.(-5t2 +(-5t3 ,kolikoje x 3 :

a) 19/5

b) 21/5

d) 1

c) 23/5

D. APSOLUTNA VRIJEDNOST (MODUL) REALNOG BROJA

lxi = -x,' x>O -. x
SVOJSTVA MODULA:

X

DEFINICIJA:

{

IH =Ixll ~ Ilx-yl=ly-xll

Ako ne razumijete definiciju, evo prijevoda: -ova funkcija pozitivnim brojevima ne radi ništa (prvi red), -negativne brojeve pretvara u njima suprotne (pozitivne) brojeve (drugi red).

1. Zadatak :* Izračunaj

1-1-31 =

Koliko iznosi umnožak brojeva a i c uvećan za broj b ? 100

džepno računalo po potrebi, odredite koji je od navedenih brojeva najveći?

2. Zadatak :*

a,

Rabeći

J8-.Ji

b.14.1·1O-

3 1 d, - - 2 12

1

3. Zadatak. (2013-1) Odredite vrijednost izraza 4. Zadatak :* Zadana su

14-51 3 -(4-5)3

četiri broja: -3 2 , {Ii, 12 -

Koliko je negativnih brojeva a. nijedan b. jedan

među

~

6-2

= V64: ~,

c

a.-

92

c.-

b.20

9

a= 2

4

•

Gr

,b =

W: ~,c =

Koliki je umnožak najmanjeg i a. 9 b. 27 7. Zadatak.

Izračunaj

8. Zadatak.

Izračunaj

d. tri

a.

.J3 + 3

d.36

3

6. Zadatak. (2012-2) Zadana su

3

njima? c. dva

= 1- ~I' 121 + 1.

?

31, -1· e-5).

5. Zadatak. (2012-1) Zadana su tri broja: a = 24 - 2 3

b

Ilx + YI ~ lxi + Iyll

četiri

2· 3

broja. 2

-

2'5, ct =

181'1-~I-l

najvećeg

broja? c, 40

d. 120

1.J3 -1-311· Rješenje je : b. .J3 - 3 c. 3 -.J3

d.

-3-jj

,

(Nastavak u desnom stupcu)

12. OSNOVE ALGEBREI 2.1. Opći brojevi. Algebarske formule. Računske operacije s algebarskim izrazima. binom

(dvočlani

član

izraz):

član

\ a+bI

~

zbroj ili suma

mono m (jednočlani izraz): faktor faktor

Dobro je znati (n E N): -Broj za 3 veći od broja n je n+3. Broj 3 puta

\ a·bI

~

umnožak ili produkt

1. Zadatak. Ako je n prirodan broj, onda broj n(n+1) nema jednu od sljedećih osobina: a) neparan je b) paran je c) pozitivan je d) prirodan je 2. Zadatak Za svaki cijeli broj n, broj 2n+5 je a) pozitivan b) paran c) neparan

točno

d) prost

3. Zadatak Samo jedan od navedenih brojeva nije djeljiv s 5 za svaki n E N . Koji? a) 5n b) 5n-5 c) 3(5n+1O) d) 5n+4 4. Zadatak. (2012-1) Izrazu a + 3b doda se a - 4b . Što je rezultat nakon sređivanja?

udvostručen

izraz

veći

od n je 3n.

-Opći

oblik parnog broja: 2n-2, 2n, 2n+2, 2n+4, .. .

-Opći

oblik nepa rnog broja: 2n-1, 2n+1, 2n+3, .. .

-Opći

oblik broja djeljivog s 3 je 3n.

-Opći

oblik broja koji pri dijeljenju s 3 daje ostatak 2 je 3n+2.

-Opći

oblik broja djeljivog s 8 je 8n.

-Opći

oblik broja koji pri dijeljenju s 8 daje ostatak 1 je 8n+l.

-Opći

oblik broja djeljivog s k je k·n.

Ako izraz A možemo napisati kao umnožak nekoliko faktora, npr. A=a·b·c, tada je on djeljiv sa svakim faktorom a, b, c, ali i s bilo kojim umnoškom njihovih kombinacija npr. djeljiv je s a·c. Ako su cijeli brojevi a i b djeljivi cijelim brojem c, tada su sa c djeljivi i a+b te a-b. Ako a ili b nisu djeljivi brojem c, tada ni a+b i a-b nisu djeljivi s c.

,~

TRINOM d.o.o.

9


UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333 333

www.trinom.hr 5. Zadatak. (2010-2) Koji je rezultat sređivanja izraza x(5 - 2x) + 2X2 - 9 ? a) 2X2 + 3x - 9 b) 4x 2 + 5x - 9 e) 3x - 9 d) 5x - 9 6. Zadatak:* Izračunajte i sredite izraz

Izračunajte

9. Zadatak. (2013-2)

Izračunajte

a. a 3 3 C. a

+ a2 -

(x - 4 X3 + x) .

i sredite izraz (a

+ 2) . (2a +

i sredite a(a - l)(a b. a 3 + a - 2

2a

11. Zadatak. (2010-3) Čemu je, nakon sređivanja, jednak izraz (2x - l)(x - 3)(x + 2) ? a) 2x 3 - 3x 2 - llx + 6 b) 2x 3 - 3x 2 + 13x + 6 2 3 e) 2x - x - llx - 6 d) 2x 3 - 3x 2 + 13x - 6

(x + 1Xx - 2) =

7. Zadatak:* Pomnožite i pojednostavnite izraz 8. Zadatak. (2011-2)

10. Zadatak. (2012-2) Sredite i pojednostavnite izraz (a + 3)(2a - 1) - 3a(a + 1).

+

12. Zadatak. Ako je a = -4

3).

2).

x=

.fi'

rs, izračunaj vrijednost izraza

-y15

2 2 2 l(ax + 8)- (2ax + 13)- (- ax - ax - 6 )j.(ax -1).

2a

-

Razlika kvadrata:

Kvadrat binoma:

x 2 - y2 = (x - y

(x±y)2 =x 2 ±2xy+ y2

f

13. Zadatak :* (2x - 3

x 2 + y2

)2=

(3 + 2x?

+

+4X2

a)

= nema rastava nad R

sljedećih

26. Zadatak :* Koja od realne brojeve a i b?

=

14. Zadatak :* Popuni:(3+ 15. Zadatak :* Izraz

Suma kvadrata:

Xx + y)

tvrdnji nije uvijek točna za

a - b = -(b - a)

b) (a-b)2 =(b-af

e) a 2 _b 2 =(a-b)2

jednak je:

a) 9+6x+2x2

b) 9+l2x+2x2

2 e) 9+6x+4x

d) 9+l2x+4x2

27. Zadatak. (2010-3) Čemu je jednak izraz 4p2 - 9 ? a) (2p - 3)(2p - 3) b) (2p - 3)(2p + 3) e) - (2p

16. Zadatak :* Izraz (3m - 2) 2 jednak je a) 3m2-6m+2

b) 9m2-6m+4

e) 9m 2 -12m+4

d) 3m -12m+2

d) (a+b)2 =(_a_b)2

+ 3)(2p + 3)

d) - (2p - 3)(2p - 3)

(V3 -

28. Zadatak. (2011-1) Koliko je umnožak

2

a.

v3 -

1

b.

v3 + 1

c.4

17. Zadatak. (2013-1) Čemu je, nakon sređivanja, jednak izraz (x-l)2- x -l? 29. Zadatak. (2010-3)Koji je rezultat

(3a+1)2 18. Zadatak. (2010-1) Cemu je jednak izraz -3- ?

2

2

1) . (V3 + 1) ?

d. 8

skraćivanja razlomka~, xy-x

v

3a 2 +6a+1 a)---

za x:;t: O,y:;t: l?

9a 2 +6a+1 b)--9 3a 2 +3a+1 d)---

9

9a 2 +3a+1 e)---

y-x

4-2a 2a-a

19. Zadatak. (2010-2) Čemu je jednak izraz (a 3 a) a 6 + 4a 3 + 4 b) a 6 + 2a 3 + 4 3 5 e) a + 4a + 4 d) a 5 + 2a 3 + 4

2_4

+ 2)2 ?

31. Zadatak. (2012-1j Što je rezultat sređivanja izraza - ; - - za 2y -4y

sve y za koje je izraz definiran? y+2 1 a.b.2y 2y

20. Zadatak. (2011-1) Čemu je jednak izraz (aS - 2)2? a) alO - 4a s + 4 b) alO + 4a s + 4 7 s e) a + 4a + 4 d) a 7 - 4a s + 4

(2 - 4x)2

a) 4-16x 2

b) 4+16x

a) (2x

+ 3)2

b) (2x

24. Zadatak Koji od kvadrat binoma?

+ ~y 2

sljedećih

2 2 a) a b +2ab+1 2 4 e) O.2S·a -2a +1

trinoma nije

+ 3)2

+

a

moguće

+ ~y 2

x-y

a)-x+ 1

2a d.a-2

2a a+2

b.2 - a

34. Zadatak Skrati razlomak

C.-

skraćivanja,

x(X+I)- y(x+I)

b)-yx 2 -1

2

x -1

a2 +6a+9 2 ? a +3a

.

x-y x-l

e)--

zapisati kao

2 b) O.2S·a +a+l 4 2 d) O.2S·a +2a +4

25. Zadatak :* Za sve realne brojeve x i y vrijedi: a) y-x=-(x+y) b) y-x=-(x-y) e) y-x=-(-y-x)

a.2

d) 2(1-2xf

d) (x

y-2 d.2y 2a 2+4a izraza - 2 - za a -4

sve a za koje je izraz definiran?

+ 12x + 18?

e) 2(x

sređivanja

33. Zadatak. (2013-2) Koliko je, nakon

e) (4x-2)2

23. Zadatak :* Čemu je jednak izraz 2X2

Y

32. Zadatak. (2012-2) Sto je rezultat

je jednak izrazu

2

1 C. -

v

21. Zadatak. (2011-3) Koja je jednakost točna za svaki a E ~ ? a. (a - 1)2 + 2a = a 2 - 1 b. (a + 1)2 - 2a = a 2 + 1 2 c. (a - l)(a + 1) = 1 - a d. (a + l)(a + 1) = 1 + a 2 22. Zadatak Izraz

1

d)-y

e)y-1

x

30. Zadatak. (2013-1) Razlomak - - 2 skratite do kraja.

3

3

y

b)-~

all

35. Zadatak :* Skraćivanjem izraza

l-a 2 14-2a

a)--

b) 3a+2

2

9-(a-4)2 14-2a

l-a

b) b-a

ab

a-l 2

~-~ =? a

a-b a)-ab

d)

e)2

36. Zadatak:* Koji je rezultat oduzimanja

d) y-x=-(y-x)

dobivamo:

1

e)--

a-b

b

d)_l_

b-a


10


www.trinom.hr 37. Zadatak. (2011-2) Koliki je rezultat zbrajanja -

1

3-a

3 a)3-2a

2 b)3-a

a+2 e)-a(3-a)

+ -3a2? d)

a+6 --3a(3-a)

44. Zadatak. (2010-2) Koji je rezultat dijeljenja 3a-b 6a J; : b' za a =t= o, b =t= O ? ( hz

+

1)

2

2

J;

1

1

e)2a

d)2b

111

a);

ab

45. Zadatak. (2011-3) Čemu je, nakon sređivanja, jednak izraz X-s x+S) x - - :--akojex=t= +S,x=t= O? (x+S x-s x2-2S a.-l0 b.-20 c.5x d.2x

38. Zadatak :* - - - + - = a) -a+b+c

ac

bc

b) a-b+c

-a-b+c abc

e) a+b-c

abc

abc

d)---

abc

Sx - 2? 39. Zadatak :* Koliki je rezultat oduzimanja l+x 7x-2 3x-2 4x-2 6x-2 e)-a)-d)b)l+x l+x l+x l+x 1+2a

40. Zadatak :* Koliki je rezultat oduzimanja 3 - - - ? a a-l 5a-l a+l d) 5a+l e)-a)b ) a a a a

l

-5 a) 2 a +a-12

a-9

d) _1_

b)-2a -9

a+3

2x 1 42. Zadatak. (2010-1) Koliko je - 2 - - - , za x =t= ±Z? x -4 x-2 1 2x-1 1 a)b)e)x-2 x+2 x+2

43. Zadatak. (2011-1) Koji je rezultat oduzimanja 2(x-2) 3 -- - , z a x =t= ±1? x2-1 x+l 1 1 1 a)b)e)l-x x-l l+x

Izračunaj

46. Zadatak:

3a 2 6a+4 4b

a) 2a-2 _ a+3

2a-6 b

c) - : : - - -

47. Zadatak: a)

2 9a+6

b)-----

3a-9 4a

d) ---::---

2ab-b 2

2a 2 -ab

6

41. Zadatak :* - - - - - = a-3 a 2 -9

b)

3a 2 +2ab

9a 3ab+2b 2

Izračunaj

a-2_~ a 2 - a l-a 2

a-6

--2 +

b)

c)[a-~l·_8 4 4-a 2

4-a

2

2a-a

2

2 . (2x-l)2 x -4x· x 2 -l6

d) l-4x 2

Zadaci za napredne:

x+1 x+--

48. Zadatak. Pojednostavi l

d)x+l

x -l c.l/x+l

b. -1

a.O -1

x -l

+ 1- x(x + 1) d. 1

.... . a- 3 +a-2 l 49. Zadatak: KOJa je vrijednost Izraza -2 :2 a a.--

a -1 a-l c.-a

a_ b._ a-l

l-a

a

?

l-a

d.--

a

2.2. Transformacije formula (Rješavanje jednadžbi!) 1 Zadatak :* Ako je

a)y=-x-3 e) y =x-3

x - y - 3 = O, tada je y jednako: b)y=-x+3 d) y=x+3

6. Zadatak. (2012-1) Koliko je x ako je 1

X

=Z-

2

=1

4

1

A. x = Z - -y C.

~ +~

B. x = 1 --y

2 1

2

-y

D. x

8

1 = 1 --y 8

2. Zadatak :* Ako je 9x + 3y - 4 = O, koliko je y?

l 3

4 3

4 3

a) y=-x-e)

1 4 y=--x+3 3

x

= - -l

d) k

3 = -12 - -a 2 1

2 a) y=--x+2

3 3 e) y=--x+2 2

čemu

je jednako k? 9. Zadatak Iz formule -

= --x 3 = -21 +-a 2

E

y2

l

1

+ 3a 2

e) b = - -

5. Zadatak :* Ako je

1 Q.Q 8. Zadatak Iz F =-.~ odredi: 4;r&" r

+ Zb, koliko je b?

b) b

a) L

L

4 3

4. Zadatak :* Ako je 1 = 3a

a) b

7. Zadatak. Iz formule B = f-l-- odredi:

d) Y =3x--

3. Zadatak. (2010-2) Ako je kx + l = O i x =t= O, a) k = -l + x b) k = -l - x e) k

N·I

b) y=-3x+-

10. Zadatak :* Ako je P a) 1/5

mOJ

b) &"

2

.

= - - odredi:

a) m

2

= 10

i ako je P

b) 5

a·v 2

b) y

= --, tada je

e) 12

a· v:

d) 20

d) b = - - - 3a 2

~ +..L = 1 tada je y jednako: 3

-2

2 b) y=-x-2

3 3 d) y =-x-2 2

11. Zadatak :* Ako je P = a + c . V , tada je v: 2

2P a-c

a) V=--

b) V= 2P

a+c

e) V= a+c

2P

d) V= 2P-a c

12. Zadatak:* Akoje P=6 iakoje p=a+c.v,tadaje a+c: 2 a) 3/v b) 12/v e) 3 - v d) 12 - v

ć;>

TRINOM d.o.o.

11

TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

www.trinom.hr 13. Zadatak. (2010-3) Čemu je jednako a ako je S

= ~2 (a + b) ?

26. Zadatak. Odredite s ako je t = s + r

s-r

l+x 14. Zadatak. (2011-3) Iz jednadžbe =b izrazite x. a a+b+c 15. Zadatak. (2010-1) Ako je s= - 2 - ' čemu je jednako a ? s-b-c

= 2(s - b b+c dIa = 2s+2 b) a

a)a=-2

e) a

= 2s -

b- e

+B =

p

a-2 d)k=-

e)k = a-l 2

p

čemu

2

je jednako s ?

P

b)--B

rrr+B

P-B

d)-

e)-

fTI

fTI-B

3b

18. Zadatak. (2012-2) Koliko je b ako je -

2

fTI

=1-

a?

v

19. Zadatak. (2013-2) Cemu je jednako k ako je m

+ 3p = 2m + 3p

a. k = m

b. k d. k

b.

ht-ms

z

= ht + ms

)

b)h=..!..(~+rl 2 rn

)

I

l (rn d) h="2 S+r)

1 2

2

B.593

C. 604

D.615

29. Zadatak. (2011-3) Mjerenjem je ustanovljeno da visinu učenika i O duljine njegove podlaktice povezuje formula 3v - 20p + 10 gdje je p duljina podlaktice u cm, a v visina učenika u cm. a. Koliko je visok učenik kojemu je podlaktica 26.3 cm?

=

b.

Kolika je duljina podlaktice

učenika

koji je visok 168 cm?

računa

prema formuli IQ

fi

= 100 . -s

označuje

se

i izražava zaokružen na

32. Zadatak :* Formula koja povezuje stupnjeve Celzijeve (0C) sa

22. Zadatak. (2010-3) Zadana je formula (S + g): (100 + p) = S: 100. Koliko je S ako je p g = 864.96? a) 22 143 b) 29 881 e) 32 640 23. Zadatak. Iz formule h = vot +- gt

+

31. Zadatak :* Formulom F = ~ K - 459.67 povezani su s stupnjevi Fahrenheita (OF) sa stupnjevima Kelvina (K). a. Odredite koliko je 200 K izraženo u stupnjevima Fa hren heita? b. Odredite koliko je O oF izraženo u stupnjevima Kelvina?

21. Zadatak. Odredite h iz formule S = rn-(r + 2h) .

2 rn

1

c) 4a=-+5a+2 x

najbliži cijeli broj. Veličina f i oznaka je za mentalnu dob, a s oznaka za starost osobe i obje se mjere u godinama. a. Koliki je kvocijent inteligencije osobe stare 19 godina koja ima mentalnu dob od 22 godine? b. Koliko godina ima osoba koja ima kvocijent inteligencije 120, a mentalnu dob od 18 godina?

h

a)h=..!..(~-rl

A.582

s IQ,

d.z= - -

h

x (riješi jednadžbe).

2bv b) 5u=-3mx

30. Zadatak. (2011-2) Kvocijent inteligencije osobe

+ 6P = 2m + 6 P m

ht+ms

C.z= - -

jednakosti odredi

p broj izrađenih proizvoda, a d dodatak na složenost posla. Koliko je proizvoda izradio Josip ako je dobio 3 417 kuna, a dodatak na složenost posla bio mu je 42 kune?

= 'k2 -3p?

20. Zadatak. (2013-1) Čemu je jednako Z iz formule

s = !!:.(t - z)? m a. z = ht - ms

sljedećih

v

17. Zadatak. (2011-1) Ako je ms

a)-

2x+ 7 1 a) - - = 3 2

(s *- r,t *- l).

28. Zadatak. (2012-2) Naknada za obavljeni dio posla u nekoj d' .. f I' d (p-307)'20 d" ra 10nlcI racuna se prema ormu I n = 1 . 7 6 ' g Je Je

= 2, koliko je K? P,

27. Zadatak: Iz

e)

a 16. Zadatak. (2011-2) Ako je K-l a)k= a+l b)k= a+2 2 2

c. k



stupnjevima Fahrenheita (OF) je

= 2.65 d) 36485

a. b. c.

odredi g.

d.

24. Zadatak. Izrazite a iz izraza p = ab + (a + b)V . 1 25. Zadatak. Odredite Vo iz formule s=vot+-(v-vo)t

e = 5(F -32) .

9 Odredite koliko je 451 oF izraženo.u Celzijevima. Na kojoj se temperaturi Fahrenheitova i Celzijeva skala podudaraju? Iz gornje formule izvedi novu pomoću koje se stupnjevi Celzijusa preračunavaju u stupnjeve Fahrenheita. Na koliko se stupnjeva Fahrenheita voda smrzava, a na koliko vrije?

2

13. FUNKCIJEl Pojmovi i činjenice koje trebate znati za ovu cjelinu: APSCISA - prva koordinata točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Obično se označava slovom x. EKVIVALENTNE JEDNADŽBE - jednadžbe koje imaju jednak skup rješenja. IDENTITET - jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabla koje sudjeluju u toj jednakosti. Identitet se naziva i identičnom jednakosti. Da bi se ukazalo na to da se radi o identitetu, često se umjesto znaka jednakosti = rabi znak identične jednakosti ==. KONSTANTA - veličina u matematici koja se ne mijenja nego ima čvrstu vrijednost. Na primjer u funkciji

j(x) = ax + b, brojevi

Q,

b su

konstante (ne mijenjaju se), a x je varijabla (mijenja se). KOORDINATNI SUSTAV u ravnini - dva brojevna pravca u ravnini koji se sijeku u točki O koja je ishodište oba pravaca. Pravci se nazivaju koordinatnim osima, a točka O ishodištem koordinatnog sustava. Obično se misli na pravokutan (Kartezijev) koordinatni sustav kojemu su koordinatne osi okomite. Horizontalna os je os apscisa - x os, a vertikalna os je os ordinata - y os. KOORDINATNA RAVNINA - ravnina u koju je uveden koordinatni sustav. KORIJEN JEDNADŽBE - isto što i rješenje jednadžbe. ORDINATA - druga koordinata točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Obično se označava slovom y.

TRINOM d.o.o.

12

~



www.trinom.hr PARAMETAR- veličina o

čijim

vrijednostima ovise formule, funkcije ili neki drugi

matematički

objekti. Tako

opća

kvadratna jednadžba

ax 2 + bx + e = O . ovisi o parametrima a *- O, b i c. Drugim riječima, gornjom je jednadžbom zadan skup svih kvadratnih jednadžbi. Ako se zadaju parametri, onda je jednadžba poznata. SKUP VRIJEDNOSTI funkcije f:

A ~ B jest skup

\RV) = {j(x ): x E A}. Ovaj skup je podskup kodomene.

SLIKA funkcije - isto što i skup vrijednosti funkcije.

I

3.1. Koordinatni sustav u ravnini. Neka su A(xI' YI ),B(X2 ,h) bilo koje dvije točke u ravnini. Tada je njihova udaljenost jednaka

TEOREM:

d(A,B) = IABI = ~(X2 - xI)2 + (Y2 - YI)2 1. Zadatak. (2013-1) Koja od navedenih sustava leži na osi apscisa (osi x )? a. (-1,1) b. (0,-3) c. (1,-1) d. (3,0)

točaka

koordinatnoga

3. Zadatak :* Udaljenost točaka S(3,0) i T(O,l) iznosi: a) S

b)

J10

c) 4

d)

fi

4. Zadatak. (2013-2) Kolika je udaljenost točaka K(-2,3) i L(5,1) u koordinatnome sustavu?

2. Zadatak. (2013-2) Odredite sjecišta pravca, prikazanoga na slici, s koordinatnim osima.

a.

m

c. ..J53

b.5

5. Zadatak :* Zadane su točke Zadane

Odgovor: (_ _,_ _ )

broj

6. Zadatak. (2010-1) Karmela i Karlo krenuli su skupa od

A(- 6,-2),B(- 2,1), C(4,S).

točke

Izračunajte

i ( - ,_ _ )

d. 9

ucrtajte u koordinatni sustav. međusobne udaljenosti točaka A, B i C te odredite

IABI + IBCI-IACI

zaokružen na tri decimale.

kuće

.------.,---~-- ŠKOLA

prema školi. Išli su zajedno do mjesta K ucrtanim putem, a onda je Karmela otišla

prečicom

(isprekidana crta), a Karlo okolnim putem

(puna crta). Koordinate na crtežu dane su u metrima. točke

a.

Odredite koordinate

b.

Odredite koliki je ukupni put prešao Karlo od kuće do škole. Odgovor: _ _ _ _ _ _ _ _ m

c.

Za koliko je Karmela prešla kuće

K. Odgovor: K ( - ,___ )

kraći

put od Karla,

hodajući

50-'. KUĆA

od

100

do škole? Odgovor: _ _ _ _ _ _ _ _ m

7. Zadatak. (2010-2) Na timskome radu grupa je dobila zadatak u kartu ucrtati svoj položaj. U tome trenutku nalaze se u točki T (150,-75) . Koordinate njihova položaja dane su u metrima. a. Ucrtajte njihov položaj u kartu i označite ga točkom T . b. Odredite udaljenost točaka A i T i zaokružite je na cijeli broj. c. Iz svojega položaja grupa može doći do položaja A izravno ili preko točke B. Za koliko je dulji put preko točke B ?

.A

(0.25) (25, O)

8. Zadatak :* Opseg jednakostraničnog trokuta ABC, gdje je A(3,6), B(7,2),

c(s + .Ji2,4 + .Ji2), jednak je: a)

·hss

b)

Jl92

c) 24

d) 12

.B

9. Zadatak: Odredi opseg trokuta ABC ako je A(-2,!), B(-2,5) i C(-6,-2). Rezultat zaokružite na dvije decimale. 10. Zadatak: Dužina

AB, A(-3,-1),

B(2,2) podijeljena je točkama

r; ,T2 , T3, T4

11. Zadatak. Na maturi iz matematike kandidati su imali 10 zadataka. Prolaznu su ocjenu dobili svi koji su točno riješili barem pola testa. a. U jednoj rečenici opišite što prikazuje graf. b. Koliko je na ispitu bilo kandidata? c. Objasnite što pokazuju točka B . d. Koliko % kandidata je dobilo ocjenu 1, a koliko S? e. Je li test bio lagan ili težak? Argumentiraj.

na 5 jednakih dijelova. Odredi duljinu

r;T3

1 Broj riješenih zadataka 9

8

D

7

c·

6

B

•

5 4 3 2

•

A

•

1

o .1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

14

Bro' maturanata 20 16 18

~

TRINOM d.o.o.

13


UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333333

www.trinom.hr POL:lh:i:,:i ,\

12. Zadatak. (2012-1) Na dijagramu na osi x prikazane su točke strujnog kruga A, B, e, D, E, F i G, a na osi y prikazani su potencijali u tim točkama izraženi u voltima (V). Napon između dviju točaka strujnog kruga jednak je razlici potencijala promatranih točaka. a. Koliko volti iznosi napon između točaka e iF? Odgovor: V b. Između kojih dviju točaka strujnog kruga je napon jednak 60 V? Odgovor: _ _ _ _ _ _ __

,

-.---~----

..

-.--;-

_____________________ .!. ______

- ---------.--~--: i lO

--

~

- - -- - - - - - -

ll}

~

--~--.

- - -- - -

l_

--1-

T - - - - - -"'1-

•

,[

e

li

r

I>

/'

(i

t(Jl'h- ~lnlJ[)u~ h.rtl~a

13. Zadatak :* Bilježeno je vrijeme potrebno učenicima da odigraju računalnu igricu. Podaci su uneseni u koordinatni sustav na sljedeći način: Točka A označuje da je 20 učenika odigralo igricu do kraja za više od O, a manje od 5 minuta. Točka B označuje da je 25 učenika odigralo igricu do kraja za više od 5, a manje od 15 minuta. Točka e označuje da je 20 učenika odigralo igricu do kraja za više od 15, a manje od 20 minuta i tako dalje.

E

• 55 50

45 D

•

40

35

F

•

30

B

25

•

A

e

•

•

20

15

Pitanja: a. Što označuje točka G? b. Koliko je učenika igralo računalnu igricu? c. Koliki je postotak učenika trebao manje od 5 min da završi igricu?

10

G

•

minute

·5

10

O

broj stanovnika'

15

i

20

25

30

!

i

35

40 45

I

50

l

55

60

i

j

6!

i

·-·-·i·--·-'--·-·i·-·--t--·-t·-·-·-t-·-·-·t--·-·-~-

! ! ! ! i l i --........:·--·-+--·-·-+--·--~---4-------!-·-·-+---!-! ! ! ! ! l ; !

14. Zadatak. (2011-2) Na slici je prikazan približan broj stanovnika nekih hrvatskih županija prema popisu iz 2001. godine. a. Koliko približno stanovnika ima županija s oznakom E? b. Koliko ima županija na slici koje imaju manje od 250000 stanovnika? c. Uočite županiju sa slike s najvećim i onu s najmanjim brojem stanovnika. Za te županije procijenite koliko puta veća županija ima više stanovnika od manje.

-_·+_·_--t-_·_·_J_·--t-----i------r-·-·-r-

i i i i i i i ---r---r--·--j---1----t-----r-·-r

--·-r--·-"1"-·-·-l-·-·t------l------t---·-r-

500000· .-.-.

----- ----"*----.4.-----1--.

:c:~: ==:~i -=:~:f:=:~

l ----

·--.-l-.---~-----j.._

·-----l-:~:~:t=~:-f=

!

'

-----i-----

100 000 -

A

e

8

G

D

H županije

broj

15. Zadatak. (2011-3) Nastavnik je rezultate sljedećim grafom.

učenika

učenj~a. ----I---j----..1.-----I-.--1---- ----L---1--.-J.-..1.----L----l.-

na ispitu prikazao

6·

5·

a.

Koliko je

učenika

4' ··_·1-··-\·_···+··_··1-··- ._..

postiglo 6 bodova?

b.

Koliko je

učenika

c.

Koliki je

prosječan

---.l---j-----L----L---L--- ----.l---t--.J----.L----L---l--

··_·\_·+_·+----\----t--_· ---+--t--- i._+. _.\-----\--

3·

pisalo ispit?

1_._J_____

___

I

broj bodova po

1-

I

··-··j··-t-·· ----t--'-'j-'" .-

I-___ ---- -----~--__+--- .-..~-----~-.-- --

I

' ; "

-··f···_·! i ..- j . ._....._. i ..- ._.. "-T-_.- ----r'i -' . . .-

2· ..

učeniku?

1_____

_-j-._! .---- --..j---- ---- -----~---+-. 1

9

16. Zadatak. (2013-2) Na slici su grafički prikazana vremenska razdoblja u kojima su navedene osobe bile zaposlene.

, Ena

,--

Dragica

a. b,

Koliko je navedenih osoba bilo zaposleno 1990. godine? Odgovor: _ _ _ _ _ _ __ Koliko je godina Ava bila zaposlena dulje od Borisa? Odgovor:

I

FiHp

!

!

r

,

10

11 12 broj bodova

, :

!

:

!

I

.-

Cvita

Boris

god.

: AVlt

,

I

I

!

190tJ.

1920.

1940.

•

1960.

1980,

2000,

2020.

~

TRINOM d.o.o.

14



TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr BROJ LČ'E~"]K-\'

17. Zadatak. (2013-1) Na slici su prikazani rezultati pismenoga ispita u nekoj školi. Pravokutnik na intervalu od 10 do 20 bodova predočuje da su 2 učenika imala više od 10, a manje ili jednako 20 bodova, a primjerice, pravokutnik na intervalu od 40 do 50 bodova predočuje da je 15 učenika imalo više od 40, a manje ili jednako 50 bodova.

45 40

35 31)

a. b.

Koliko je ukupno učenika pisalo ispit? Koliko je najmanje bodova bilo potrebno za pozitivnu ocjenu ako 31 učenik nije dobio pozitivnu ocjenu?

25 20

:

= = = = = = = = = ;::::=

15 10

:

f=

f=

10

20

30

40

50

60

70

80

90

LOO

BODO\1

3.2. Pojam funkcije i njeno zadavanje. Graf funkcije. Ukoliko postoji veza između elemenata dvaju precizno definiranih skupova, tada pod određenim uvjetima tu vezu zovemo funkcijom. Funkcija je zadana ako postoji pravilo po kojem je svakom elementu iz prvog skupa pridružen točno jedan element iz drugog skupa. Prvi skup zovemo područje definicije ili domena (oznaka D), a drugi skup područje vrijednosti funkcije ili kodomena (oznaka K). Tu činjenicu zapisujemo ovako: f: D ~ K . Element skupa D obično označavamo slovom x i zovemo ga argument ili (nezavisna) varijabla funkcije, a element y iz skupa K u koji se x preslikao zovemo vrijednost funkcije za argument x (ili zavisna varijabla) i označavamo ga y = f(x). Skup svih vrijednosti funkcije (skup svih y-a) zovemo slika funkcije i označavamo s SJ. Vrijedi SJ ~ K .

taj

U raznim zadacima elementarne matematike vrlo su česte funkcije kojima je domena ili kodomena skup R. Takve funkcije imaju i posebna imena: Ako je domena skup R, funkciju zovemo funkcija realnog argumenta; Ako je kodomena skup R, funkciju zovemo realna funkcija. Primjer: f: R ~ R,

f(x) = 2x - 3. Za ovu funkciju kažemo da je realna funkcija realnog argumanta.

Funkcije u matematici možemo zadati na 3 načina: • Formulom - najprecizniji i najčešći način zadavanja iz kojeg se lako dobivaju dva preostala; f

Primjer: f(x) = -x +1 =>

x

fix)

2 1

-1

O

1

-1

-2

kA .. domena f un cIJe • •

O

=> ·2

j

·1 -1

slika funkcije Tablicom - ovakav način zadavanja najčešće je posljedica različitih mjerenja čiji se rezultati zapisuju u obliku tablice; Grafički - rijetko se koristi za zadavanje funkcije.

1. Zadatak :* Graf na slici prikazuje kretanje cijene jedne dionice tvrtke "MATA" tijekom nekog radnog dana. Za prikazano razdoblje odredite: a. Koliko je puta tijekom tog radnog dana cijena dionice bila 7 kn? b. Koliko se sati cijena dionice nije mijenjala? c. Od kojeg do kojeg sata je cijena dionice najbrže rasla? d. Koliki je bio najveći mogući gubitak po dionici kupljenoj i prodanoj toga dana? e. Koliki je bio najveći mogući dobitak po dionici kupljenoj i prodanoj toga dana? f. Koliko je na kraju dana zaradila osoba koja je dionicu kupila u 8 h?

"

10 cijena dionice (kn)

~~~i

O

2

3

4

5

6

8

9

10 ii

12 13 14 15 16 17

vrijeme (h)

TRINOM d.o.o. <:v pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

15


www.trinom.hr 120 visina

2. Zadatak :* Graf prikazuje visinu snijega izmjerenoga na Zavižanu tijekom jednog tjedna. a. Kolika je visina snijega na početku mjerenja prikazanih grafom? b. Snijeg je padao u dva navrata. Koliko je centimetara snijega ukupno napadalo u ta dva navrata? c. Napišite kada se visina snijega spustila na lm. d. Opišite riječima što se događa sa snijegom od petka u 6:00 do nedjelje u 6:00. e. Kolika je visina snijega izmjerena u nedjelju u 6:00 sati? f. Kada je prvi put izmjerena visina snijega od 120 cm?

snijega (cm) 100 80 60

40

20 n 6: O

90 85

3. Zadatak :* Ana i Marko rodili su se istoga dana. Na grafu su krivulje koje pokazuju kako se mijenjala visina Ane i Marka u prva 24 mjeseca života. a. Koliko je Ana bila visoka s 23 mjeseca života? b. Koliko je mjeseci imao Marko kada je bio visok 80 cm? c. Za koliko je Marko bio viši od Ane na njihov prvi rođendan? d. U kojem mjesecu života je Marko bio 5 cm viši od Ane?

uto

sri

čet

pet

sub

ned

pon

6:00

6:00

6:00

6:00

6:00

6:00

6:00 mjerenja

vrijeme

\llSU'lil(cm}

Ana

80 75 70

65

40 35 30

25 20

15 10 o

·js

4. Zadatak. (2012-2) Graf prikazuje vezu cijene (u kunama) i (u mjericama).

količine

dob lm eseCl života

O 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

količina u mjericama

jagoda

, - - -1-- - ... - --1- - - - - 1 - - -1--I I I I I l l 1 I I

___

a.

Kolika je cijena 12 mjerica jagoda?

b.

Koliko se mjerica može kupiti za 100 kn?

c.

Svaka mjerica ima masu od 40 dag. Koliko stoji 9 kg jagoda?

~

__ -l _ _ _ _ ;- __

,

~

___ (- __

,

,

,

,

3 ,

Cijena (kn)

5. Zadatak. (2010-3) Na slici je prikazana ovisnost trenutačne brzine gibanja tijela v i vremena t. Brzina je izražena u kilometrima na sat (km/h), a vrijeme u satima (h). a. Koliko je iznosila trenutačna brzina tijela u 1.2 sata nakon početka gibanja? Odgovor: km/h b. Koliko se ukupno minuta gibalo tijelo kojem je graf prikazan na slici? Odgovor: minuta c. Koliko se dugo tijelo gibalo konstantnom (istom) brzinom? Odgovor: sati

6. Zadatak :* Na slici je prikazana ovisnost prijeđenoga puta i potrošenih litara benzina ako se vozilo kreće brzinom 60 km/h, odnosno 90 km/h. a. Koliko je kilometara prešlo vozilo koje je vozilo brzinom od 60 km/h i potrošilo 30 I benzina? b. Koliko je litara benzina potrošilo vozilo koje je vozilo brzinom od 90 km/h i prešlo 300 km? c. Koliko više litara benzina potroši vozilo koje vozi 90 km/h od vozila koje vozi 60 km/h na putu od 375 km?

~4!'

. ........... ,........ . ...........•......... .... _ ...... _... __ ... -

-

400::::

............ -........ .

300 ..

.,.".' ..

200 ........

~

..........;_._.......... .. . ~

100 .--

_.-

lo

......•.

3b :-~~~~~ liIre

TRINOM d.o.o.

16

<:o;>



www.trinom.hr

Zadaci za napredne: 7. Zadatak: Funkcija čiji je graf prikazan na slici, postiže najmanju vrijednost: a. za x = 2 b. za x = -1 c. za x = -2 d. za x a. Kakvog je predznaka vrijednost funkcije za x = -1 ? b. Gdje funkcija ima vrijednost -2? c. Za koje x funkcija ima negativne vrijednosti? d. Na kojem skupu funkcija poprima pozitivne vrijednosti? e. Označi na slici vrijednost funkcije za argument l? f. Gdje funkcija ima vrijednost O? g. Navedi sve nultočke funkcije.

=-4

8. Zadatak. Funkcija je zadana grafom. a. Kakvog je predznaka vrijednost funkcije za x = -1 ? b. Za koje x funkcija ima negativne vrijednosti? c. Na kojem skupu funkcija poprima pozitivne vrijednosti? d. Kolika je vrijednost funkcije za argument l? e. Gdje funkcija ima vrijednost O? f. Gdje funkcija ima najveću vrijednost? g. Koliki je približno maksimum funkcije? h. Koliko puta će funkcija imati vrijednost -1/2?

I

3.3. Linearna funkcija. DEFINICIJA:

Funkciju

j: R ~ R

zadanu formulom

j(x) = kx+ b, k,b E R

zovemo afina ili linearna funkcija.

Graf te funkcije je pravac.

x

1. Zadatak. (2013-2) Za funkciju [ex) = 3x - 2 popunite tablicu:

[ex) 2. Zadatak :* Vrijednosti funkcije

a)

I ;(x) I

-~ I

j(x) = 2. x -

5 prikazane su u:

2

-:

b)

I ;(x) I

-~ I ~~

-2 -8

c)

2 d)

2

=

3. Zadatak. (2010-2) Koja tablica pripada funkciji fex) 2x - 3? a) x fex) b) x fex)

-1

-5

-1

c)

-5

x

fex)

-1

-3

d)

x

fex)

-1

3

2

1

2

1

2

-1

2

-1

3

3

3

-3

3

5

3

-5

I~

4. Zadatak :* Graf linearne funkcije zadane tablicom

v

I~1

",i

c.

5. Zadatak :* Pravcu zadanom tablicom

I ;(x) a) (-2,-3)

b) (-2,-4)

I

~1

c) (-2,-5)

I

~

3

prikazan je na slici:

2

;,j d.

i

pripada

točka:

d) (-2,-6)

4 Y

6. Zadatak :* Koja od navedenih točaka pripada pravcu na slici?

c)

(-1,3) (3,-1) (4,3)

d)

(4,-4)

a)

b)

·4

·3

·2

TRINOM d.o.o. '''> pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

17


www.trinom.hr 7. Zadatak :* U koordinatnom sustavu nacrtajte pravce:

a)* y=-x+l

b)* f(x)=-2x-1

c)f(x)=x-2

d)*y=3x

\.

Napomena: jedan od njih skicirajte u ovu koordinatnu mrežu. Važno je popuniti cijelu mrežu da bi se zadatak priznao!

8. Zadatak. Nacrtajte pravac zadan jednadžbom: a. (2012-2) y = 2x b. (2011-2) Y = -2x + 5. c. (2010-1) 2x + 3y = 6 d. (2011-3) y = -3x + 2 1 = -x + 3. 2

e. (2012-1) y

1

f. (2013-2) Y = --x 2

9. Zadatak. (2013-1) Koja slika prikazuje graf funkcije Yi •

lV

/

V

V

V ~:

"-

I~I

J""!

-x

i

!

I

I

I

I

I

I

r

I

I

l

V

•

l

,, I

I~

B.

" "

I

v

I

I

i"J

VI i oj l ,

'"1'\'

L LI

V

I

Il~1 I o l",

IV

1

I

I_h-J"'!

l

!

I I I I _ _ : _ _ 1. _ _ " _ _ .L_..J_

___ -

I

yi

:

--

I

A.

, ,

~

Y

I~

,,x , ,,-

I

____ I __

I

I

I

~

,I

+ 17

!

I

I""

x

I

:

,

" -~-_~

I

I

(l

+2

ex)

i

I

,

,-

l'

V IV! II

f

, , , , I

I",

I

i ~

i

I

ix

II

C.

D.

1

10. Zadatak :* Na kojoj je slici prikazan pravac y = - x - 27

2

4 Y

4 Y

o 1

2

3

4

·3

-2

-2

o

-~1

1

2

3

4

-3

-2 -3

a.

-3

c.

b.

11. Zadatak :* Koji graf prikazuje funkciju f(x)

= 2x -17

Odredi funkcije kojima pripadaju ostali grafovi.

x. 2

-1

l

\1

:V -2

d.

-2

~

-1

a.

d.

c.

b.

12. Zadatak: (2010-3) Na kojoj je slici prikazan pravac y = ax + b , za koji vrijedi a < O i b > O 7 2

X.

-2

-2

a.

b.

13. Zadatak. (2010-1) Graf funkcije fex) = 2x - 4 siječe os apscisa u A, a os ordinata u točki B. Koje su koordinate točaka A i B 7 a. A(2,O) , B(O,-4) b. A(O,2) , B(-4,O)

točki

c. A(-4,O) , B(O,2)

-2

-1

d. A(O,-4) , B(2,O)

14. Zadatak. (2012-1) Koje dvije istaknute točke na slici desno pripadaju pravcu čija je jednadžba 7x - 8y - 4 = 07 a. točke K i L b. točke L i N c. točke M i K d. točke N i M

-2

d.

c.

,

,

'/;'

,

,

---:----:----:---*-, , , -------,--

I

- - _ ' ____ 1____ 1

\>

2

-2

-1

,

I

TRINOM d.o.o.

18

<:o:>



www.trinom.hr

TEOREM Jednadžba pravca kojem su poznate dvije točke A(XI' YI)' B(X2' Y2) može se dobiti po formuli Y - YI = Y2 - YI X2 -Xl

(x - Xl)

Pri tome razlomak Y2 - YI zovemo koeficijent smjera i označavamo s k. Tada imamo Y - YI = k . (x - Xl) X2 -Xl

15. Zadatak. (2011-3) Napišite jednadžbu pravca koji prolazi A(-2,0) i B(2, 2).

točkama

16. Zadatak. (2013-1) Zadane su točke A( -1,6) i B (2,5) u koordinatnome sustavu. a. Odredite udaljenost između točaka A i B. Rezultat zaokružite na četiri decimale. b. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A i B. 17. Zadatak :* Zadane su točke koeficijent smjera pravca

19. Zadatak :* Napišite eksplicitnu i implicitnu jednadžbu pravca prikazanoga grafom. Izračunajte površinu trokuta kojega pravac zatvara s koordinatnim osima. 20. Zadatak. (2012-1) Linearna funkcija zadana je sljedećom tablicom.

A(-1,2) i B(3, -1). Odredite

određenoga točkama

x

A i B.

1 1

f(x)

18. Zadatak (2011-2) Kako glasi jednadžba pravca prikazanoga na slici?

·2

2 4

Koju vrijednost ima ta funkcija za x

3 7

=8 ?

21. Zadatak :* Zadan je pravac p kojemu je jednadžba

3 y=-x-2. 4

a. b. c.

Nacrtajte pravac p u koordinatnom sustavu. Odredite udaljenost između točaka u kojima pravac p siječe koordinatne osi. Odredite jednadžbu po volji odabranog pravca q koji u točki (2,y) siječe pravac p.

TEOREM Dva su pravca paralelna ako imaju jednake koeficijente smjera. 22. Zadatak :* Jednadžba pravca koji je usporedan s nacrtanim pravcem i prolazi točkom (0,7) je: l a) y=-x-7

24. Zadatak. (2010-3) U koordinatnome sustavu nacrtajte pravac čija je jednadžba y 2x + 3 . NapiŠite jednadžbu pravca koji je s tim pravcem usporedan i koji prolazi točkom T(0,-2).

=

2

b)

c)

d)

25. Zadatak :* Zadan je pravac Y = -...!.x+4. Odredite pravac 2 koji prolazi točkom (4,0) i usporedan je sa zadanim pravcem.

l

y=--x+7 2

-2

y=2x-7 d) y=-2x+7

26. Zadatak. (2011-1) Pravac p prolazi točkom M(l,l) i paralelan je s pravcem koji je određen točkama A( -3,4) i B(5,8). U koordinatnome sustavu nacrtajte pravac p i napišite mu jednadžbu.

23. Zadatak. (2010-2) Nacrtajte pravac čija je jednadžba Y = 3x - 2. NapiŠite jednadžbu pravca koji je s tim pravcem usporedan i koji prolazi

točkom

T(0,-7).

27. Zadatak :* Formulom T(t) = -OAt + 22 prikazana je veza temperature u ledenici i vremena koje je proteklo od njezinoga uključivanja.

a. b.

Pri tom je temperatura T izražena u cC , a vrijeme t u minutama. Kolika je temperatura u ledenici pola sata nakon uključenja? Nakon koliko je minuta poslije uključenja termometar u ledenici izmjerio

°cC ?

28. Zadatak. (2011-2) Telefonski operater naplaćuje mjesečnu naknadu od 20 kuna i svaku minutu poziva po 0.21 kn. a. Koliko iznosi telefonski mjesečni račun obitelji koja je razgovarala telefonom 7 sati i 32 minute? b. Telefonski mjesečni račun neke druge obitelji iznosi 54.23 kn. Koliko su minuta ukupno trajali njihovi razgovori? 29. Zadatak. (2012-1) Radionica tijekom proizvodnje ima mjesečni trošak od 300 kuna i za svaki proizvedeni artikl trošak od 1.50 kuna. a. Koliki je trošak imala radionica ako je jednog mjeseca proizvela 600 artikala? b.

Koliko je najmanje artikala radionica proizvela ako je

mjesečni

trošak radionice bio

veći

od 2900 kuna?

30. Zadatak :* Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu od 55°C. Kad je uključena 10 minuta temperatura će joj biti 87°. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu. a. Odredite linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura pećnice ovisi o vremenu. b. Kolika je temperatura pećnice nakon pola sata? c. Kolač treba staviti u pećnicu kada joj je temperatura između 150° i 180°. U kojem vremenskom intervalu nakon uključenja pećnice treba u nju staviti kolač? Navedite granice intervala zaokružene na cijeli broj minuta.

TRINOM d.o.o. ,o;, pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

19


www.trinom.hr 31. Zadatak. (2010-2) Veza između kilometara i milja dana je formulom y = 1.609x, gdje y a. Koliko je kilometara 12.3 milja? Odgovor: km b. Koliko je milja 100 km? Odgovor: milja

označuje

kilometre, a x milje.

=

32. Zadatak. (2010-3) Veza između litara ( y ) i galona ( x ) dana je formulom y 4.54 . x. a. Koliko je litara 12.5 galona? Odgovor: litara b. Koliko je galona 68 litara? Odgovor: galona 33. Zadatak. (2011-1) Veza između centimetara (y) i incha (x) dana je formulom y a. Koliko je centimetara 40 incha? Odgovor: _ _ _ _ _ _ __ b. Koliko je incha 1 cm? Odgovor: _ _ _ _ _ _ __ 34. Zadatak. (2012-2) Mjera kuta može se izraziti u radijanima i gradima. Veza

= 2.54· x.

među njima dana je formulom g

= 200. r, gdje je g mjera TI

kuta u gradima, a r mjera kuta uradijanima. a. Kolika je mjera kuta od 2 radijana izražena u gradima? Rezultat zaokružite na tri decimale. b.

Koliko je radijana 150 gradi?

35. Zadatak. (2010-1) Riješite jednadžbu 2(x + 1)

+4

36. Zadatak. (2011-1) Riješite jednadžbu 3(2 - x)

= 8x.

x

= ; ex -

39. Zadatak. (2011-2) Riješite jednadžbu ~ (4x 2-x

1

x+1 2

3). 3.

= X-2. 3

x+1 42. Zadatak. (2013-1) Riješite jednadžbu 3(x - 1) - =1 2

43. Zadatak :* Riješite jednadžbu

2y - ~ = 2. (2 +;'y). + 4x = 5x-2 6

44. Zadatak. (2011-3) Riješite jedn. ~ (x - 1) 3

7.

45. Zadatak :* Riješite jednadžbe l 5 b) 5x - - = - - x

a) -5+4(x-2)=19-4x

2

1 4 1 c) - - - - - - = 0

2x-6

x-3

x+5

a. 5

d) (2012-1) -

47. Zadatak. (2013-1) Broj m - 3x =

b) 2x-3 =-2. 2x+1

2

x

2

x 2 -1

=- x

= 2 je rješenje jednadžbe

1

5' Koliki je realan broj m?

a. -29

b. - 29 5

c.

31

5

Sl. Zadatak. (2011-3) PO dolasku na cilj grupa planinara provodila je slobodno vrijeme tako da je trećina grupe otišla na obližnji izvor, četvrtina je igrala društvenu igru, šestina se bavila sportskim aktivnostima, a preostalih 12 planinara sjeli su u krug i zaplakali. Koliko je ukupno bilo planinara? a.45 b.46 c.47 d.48 52. Zadatak. (2012-1) U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan, trećina vrlo dobar, tri desetine dobar, a desetina dovoljan. Dva su učenika dobila negativnu ocjenu. Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan?

2

46. Zadatak :* Riješite jednadžbu

a) (4-xX3+x)=1-(x-3)2

49. Zadatak. (2011-1) Otac je star 52 godine, a njegovi sinovi 24 i 18. Za koliko će god. otac biti star koliko oba njegova sina zajedno? a. 5 b. 7 c. 10 d. 12 SO. Zadatak. (2013-1) Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 poštanskih maraka. a. Ana je sakupila dvostruko više maraka od Dijane, a Dijana trostruko više od Marije. Koliko je maraka sakupila Ana? b. Sestre su svih 1 500 maraka stavile u album koji ima paran broj stranica. Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za 17 maraka, a na svakoj parnoj za 30 maraka. Koliko stranica ima taj album ako im nedostaju još četiri marke da bude popunjen?

2

4x+1 = -3-'

40. Zadatak. (2010-3) Riješite jednadzbu -241. Zadatak. (2012-2) Riješite jednadžbu

3 =-.

+ 1) =

2

v

3

+ 1) -

37. Zadatak. (2013-2) Riješite jednadžbu 5(2x 38. Zadatak. (2010-2) Riješite jednadžbu

= 2- x.

d. 31

PRIMJENA JEDNADŽBI.

b. 6

c. 7

d. 8

53. Zadatak :* Ana, Cvita i Ivan zajedno su igrali novčanu nagradnu igru. Dogovorili su se oko podjele nagrade ukoliko ju osvoje. Ana će dobiti dvije petine nagrade, od ostatka trećinu će dobiti Cvita, a sve ostalo pripada Ivanu. a. Koji će dio nagrade dobiti Cvita? Odgovor napišite u obliku razlomka. b. Koliki postotak nagrade pripada Ivanu?

48. Zadatak. (2011-1) Zbroj broja i njegove polovice za tri je manji od dvostruke vrijednosti broja. Koji je to broj? a. 6 b. 16 c. 20 d. 28

54. Zadatak. (2010-1) Marin je išao kupiti školski pribor. Trećinu novca potrošio je za bilježnice, onda je četvrtinu ostatka potrošio za olovke i na kraju je pola onoga što je ostalo potrošio za sok. Preostalo mu je 18 kn. Koliko je novaca Marin ponio sa sobom? a. 68 kn b. 72 kn c. 90 kn d. 102 kn

SS. Zadatak :* Riješite sustave jednadžbi

57. Zadatak. (2011-1) Kolika je vrijednost nepoznanice x u

4x + 5Y a)

1

1

= 20

b)

y=-x-2 2

{2X + 3Y = 3 4x+y=5

56. Zadatak :* Nepoznanica y iz sustava a.3

b.

X

5X+4Y = 24 c) { -3x+6y = 15 3X+4 Y +5 = O je: { 7x-8y+16=0

c. -1/4

d. -3

==

. d dVb {lOY - 2x + 4 O? sustavu Je na z i y + 2x + 7 O .

{X == 2y +4 2x + T

k (2010-1 ) Izracunajte nepoznanicu x y S8. Za data. V .

•

X

59. Zadatak. (2010-2) U sustavu jednadžbi izračunajte

nepoznanicu y .

{

= ~ + 2y 5

X

2 = -5+ 7y


20


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

{4X = 3 - 4y 60. Zadatak. (2010-3) U sustavu jednadzbi Zx = 5 _ 4y

76. Zadatak. (2010-1) Cijena c iznajmljivanja bungalova na

v

izračunajte

tjedana dana je formulom c = t·

nepoznanicu y .

•

v.

a.11

?

a. 112 kn 351

d. 4Z1

c.iZ

11

y=x-z 62. Zadatak. (2011-2) Riješite sustav {

=7

3X

.

y

a. -6

= y~l

x x + Zy

+9 =

O d. -2

64. Zadatak. (2012-1) Odredite vrijednost nepoznanice x u v

a. x

•

= 3+2a 7

b. x =

1+2a

5

c.

X

= Za - 4 X -

d. x=2a-1

3y = a a'

65. Zadatak. (2012-2) Odredite x iz sustava { 3x + 5y 66. Zadatak:* Koliko rješenja ima sustav jednadžbi Zadatak riješite

d. 639.80 kn

77. Zadatak :* Marija je za sedamnaesti rođendan dobila na dar buket od 17 ruža, bijelih i crvenih. Cijena bijele ruže je 8 kn, a crvene 9 kn. Koliko je u buketu bilo crvenih, a koliko bijelih ruža ako je buket plaćen 142 kn?

79. Zadatak. (2011-1) Na testu inteligencije svaki točan odgovor

{X - 3y = Za rJesenJu sustava Zx + y = 1 •

c. 308.70 kn

kamenčiće za ogrlice. Prvi je dan kupila 56 plavih i 6 žutih, a drugi dan 12 plavih i 37 žutih kamenčića. Oba je dana platila po 400 kn. Za koliko se kn razlikuju cijene plavog i žutog kamenčića? a. za 2.30 kn b. za 2.45 kn c. za 2.60 kn d. za 2.75 kn

?

c. -3

b. -4

b. 224 kn

78. Zadatak. (2012-1) Darija je 2 dana kupovala ukrasne

63. Zadatak. (2011-3) Kolika je vrijednost nepoznanice yu sustavu jednadžbi {

platila 2092 kn, a

Maja za 5 tjedana 3412 kn. Koliki je sigurnosni depozit?

{-ZX++507== 3yy . b.12

TI

+ ct (t je iznos tjednoga najma,

ct je sigurnosni depozit). Martina je za 3 tjedna

61. Zadatak. (2013-1) Kolika je vrijednost nepoznanice yu rJesenJu sustava 3x

TI

=

{Yy=3x = -x + 1 ?

grafički!

vrijedio je 15 bodova, a za netočne odgovore oduzimalo se 5 bodova. Učenik je odgovarao na svih 40 pitanja i osvojio 280 bodova. a. Koliko se najviše bodova moglo osvojiti na testu? b. Na koliko je pitanja učenik točno odgovorio?

80. Zadatak. U toru su smještene koze i ovce. Ukupno ih je 72. Kad bi izašlo 8 ovaca, koza bi bilo tri puta više nego ovaca. Koliko ima koza, a koliko ovaca? Mliječni proizvod dolazi u pakiranju od 330 g ili od 500 g. Trgovac je dobio količinu od 55 550 g toga mliječnoga proizvoda u ukupno 140 pakiranja. Koliko je dobio manjih pakiranja? a. 35 b. 50 c. 70 d. 85

81. Zadatak. (2010-1)

(a + 3)x - 3Y = -1 67. Zadatak :* Sustav {8x+12y=4 mnogo rješenja ako je: b. a=-l

a. a=-5

c. a

=

ima beskonačno

l

d. a

=5

82. Zadatak :* Dnevna potreba pri unosu hrane iznosi 250 g

PRIMJENA SUSTAVA. 68. Zadatak :* (2011-3) Zadana su dva cijela broja od kojih je jedan trostruko veći od drugoga. Njihov je zbroj 168. Kolika je razlika tih brojeva? a.80 b.84 c.106 d.112 69. Zadatak. (2012-2) Ukupni broj maturanata u jednoj školi je 216. Djevojaka je trostruko više nego mladića. Koliko je više djevojaka nego mladića među maturantima te škole? a. 103 b. 108 c. 139 d. 144

70. Zadatak :* Zbroj dvaju cijelih brojeva je 96, a njihova je razlika 60. Jedan od tih brojeva je: a.68 b.73

c.78

d.86

71. Zadatak. (2012-2) Zbroj dvaju brojeva je 3, a njihov umnožak je 1. Koliki je zbroj kvadrata tih dvaju brojeva? a. 6.5 b. 7 c. 7.5 d.8 72. Zadatak. (2011-3) Prije tri godine Lucija i Tamara imale su zajedno 25 godina. Ako Lucija sada ima 17 godina, za koliko će godina Tamara imati 18 godina? a. za dvije b. za tri c. za četiri d. za pet

73. Zadatak. (2011-1) U avionu ima 108 mjesta. Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno. Koliko je putnika u avionu?

74. Zadatak. (2011-2) U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta. Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno. Ako devetinu putnika čine djeca, koliko je odraslih osoba u zrakoplovu? a. 64 b. 76 c.82 d. 88

75. Zadatak :* U košari je 89 kuglica - neke su male, a neke velike. Svaka mala kuglica teži 2 g, a svaka velika 5 g. Ukupna težina kuglica u košari je 256 g. Koliko je malih kuglica u košari? a. 115 b, 63 c. 26 d. 25

ugljikohidrata i 45 g bjelančevina. Kilogram neke hrane A ima 10 g ugljikohidrata i 160 g bjelančevina, dok kilogram neke hrane B ima 220 g ugljikohidrata i 20 g bjelančevina. Nina je pojela najmanju količinu i hrane A i hrane B tako da njezine dnevne potrebe za ugljikohidratima i bjelančevinama budu zadovoljene. Koliko je kilograma hrane B Nina pojela? a. 0.78 kg b. 0.99 kg c. 1.06 kg d. 1.13 kg

83. Zadatak. (2010-1) Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade

više nego nakon njihova poskupljenja od 25%. čokolada

a.

Koliko se

b.

Kolika je cijena jedne

moglo kupiti prije poskupljenja? čokolade

nakon poskupljenja?

84. Zadatak. (2010-2) U dječjoj kasici bile su ukupno 132 kune u kovanicama od 5 kuna, 2 kune i 50 lipa. Kovanica od 2 kune bilo je dvostruko više nego kovanica od 5 kuna, a kovanica od 50 lipa bilo je tri puta više nego kovanica od 2 kune. Koliko je u toj kasici bilo kovanica od 2 kune? a. 22 b. 33 c. 44 d. 55 učenika manje od 4. A. U svaki od tih dvaju razreda stigao je paket s 224 olovke. U 4. A razredu sve su olovke podijeljene i svaki je učenik dobio isti broj olovaka. U 4. B razredu također je svaki učenik dobio isti broj olovaka kao i svaki učenik u 4. A razredu, ali je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno. Koliko je učenika u 4. B razredu? a. 24 b. 25 c.26 d. 27

85. Zadatak. (2010-3) Razred 4. B ima jednoga

86. Zadatak. (2010-2) Cijena jedne ulaznice je za 10 kn viša na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji. Na dan igranja utakmice za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Kolika je cijena ulaznice na dan igranja utakmice? a. 40 kn b. 50 kn c. 60 kn d. 70 kn

TRINOM d.o.o.

21

,~



www.trinom.hr

x-4 2x 95. Zadatak. (2010-2) Riješite nejednadžbu - -

87. Zadatak :* Koji je interval rješenje nejednadžbe 1- 2x < 3 ? a)

(1,+00)

b)

(-00,-1)

(-1,+00)

e)

d)

3

(-00,1)

5

>

° >1

5x-3 _ 3x

96. Zadatak. (2010-1) Riješite nejednadžbu

6

2

88. Zadatak. (2011-2) Koji je skup rješenje nejednadžbe 3x + 5 < x + l? a) (-CXJ, -2) b)(-CXJ,2) e)(-2, +(0) d)(2, +CXJ)

97. Zadatak. (2011-1) Riješite nejednadžbu

89. Zadatak. (2012-2) Riješite nejednadžbu 1 - 7x :2: 2 - 5x.

98. Zadatak. (2011-3) Koji od navedenih brojeva pripada skupu

90. Zadatak. (2013-1) Riješite nejednadžbu 4(2 - x) - x - 7 ::; O.

rješenja nejednadžbe - -

91. Zadatak. (2012-1) Koji je interval skup svih rješenja

a~

ll-x 3

66

nejednadžbe 3x -.!: :2: 2 - x? 2

a. (-CXJ,-;]

b.

[-;,~]

55

b~

x x 1 c) - - - > 0.1

3

a).

d. [;,+CXJ)

b)

b) _ 2x <4

33

0.2

100. Zadatak Odredi

0.3

>

3 - (x

najveći

d~

3-[2. 1; x ]

c) 1- x-3

:::>:

3x

<.:._ 6x+1

4

2

8

cijeli broj x koji je rješenje

nejednadžbe O.lx - 2 _ 0.2x -1 > 1. 2 3

93. Zadatak. (2010-3) Riješite nejednadžbu 5(x+3)+2x
l-x 3

1--~4

1

22

c~

99. Zadatak Riješite nejednadžbe

c. [-~,;]

92. Zadatak :* Riješite nejednadžbe

a) 3.{2+x»2

+ -x-3 >2 4

5x-2 _ 3x < 5 4 -

+ x 2 ).

I

3.4. Kvadratna funkcija. a)

KVADRATNA JEDNADŽBA + bx + c =

v TEOREM: Jednadzbu o bl'k I a ax 2

Pri tome su a,b,c

o zovemo kva d ratna Je. d na dVb . z a, a rJesavamo Je f ormu Iom v

•

= - b ± ~ b 2 - 4ac .

Xl2

,

2a

ER. Zovemo ih koeficijentima jednadžbe; a zovemo vodeći koeficijent, a c slobodni član.

1. Zadatak :* Riješite jednadžbe: a) 2x2 - 2 = O

b) lOx 2 - 3x = O

d) t 2 -t - 2 = O

c) x{x-2)=0

= B.

2. Zadatak. Odredite negativno rješenje jednadžbe:

a. (2011-2) x 2

3. Zadatak. Odredite oba rješenja jednadžbe:

a. (2012-1) 5x = 2x 2 •

4. Zadatak. (2010-1) Riješite kvadratnu jednadžbu x

2

5. Zadatak. (2010-2) Riješite kvadratnu jednadžbu x 2

-

6. Zadatak. (2010-3) Riješite kvadratnu jednadžbu x 2

-

7. Zadatak. (2011-1) Riješite kvadratnu jednadžbu x

2

2..J3 x

-

+2 =

-

2x

e) (2013-1) 36 - 9x - x 2

= 3x

b. (2011-3) 3x 2

-

b. (2012-2) 25

= (x + 4)2

6

= O.

O. U zapisu rješenja rabite ..J3 ne računajući njegovu vrijednost.

VS X + 1 = O . U zapisu rješenja rabite VS ne računajući njegovu vrijednost. 2,[5x + 4 = O. U zapisu rješenja koristite VS ne računajući njegovu vrijednost. 2-17 x + 6 = O. U zapisu rješenja rabite -17 ne računajući njegovu vrijednost.

-

2

8. Zadatak :* Jednadžba 3x + bx - 30 = O ima rješenja x = -2 i x = 5 . Tada je b jednako: a) 9 b) 1/9 c) -1/9 d)-9

9. Zadatak :* Ako je xI = 3 jedno rješenje jednadžbe

2{x - 3m). (x + 5) = O, tada je m jednako:

a)-3

c)l

b)-l

10. Zadatak. (2013-2) Zadana je kvadratna jednadžba mx 2

a. -3

b.-~

5x - (m + 1) = O. Jedno rješenje te jednadžbe je 3. Koje je drugo rješenje?

-

d.~

c.l

2

11. Zadatak. Skup rješenja jednadžbe

d)3

1

x 2 -6x+9

=

2

_1_ je:

x-3

Vb 1 1 2.. 12. Za data k. Je dna dz a - - - - - = - - Ima rJesenJe: v

2x + 1 2x -1

13. Zadatak. (2013-2) Riješite sustav jednadžbi

DEFINICIJA:

•

8x + 1

{;2: 3:X

Odgovor:

2

a. {3}

b. {4}

e. {3,4}

d. {-3,4}

a.O

b. 1

e.O,l

d.0,-2

x 1 = _ _ _ , Yl= _ __

x 2 = _ _ _, Y2

Diskriminanta kvadratne jednadžbe je broj D = b - 4ac. (U gornjoj formuli pojavljuje se ispod korijena).

= _ __

TRINOM d.o.o.

22

~



TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

ll. Primjer.) Riješi slijedeće 3 jednadžbe. a)

x 2 + 3x + 2 = O

b) 2X2

Jednadžba ima 2 realna ako je:

različita

rješenja

+ 4x + 2 = O

Jednadžba nema realna rješenja ako je :

Jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje ako je: 2

14. Zadatak :* Koja od navedenih tvrdnji vrijedi za kvadratnu jednadžbu 4x -12x + 9 = O? a) Jednadžba ima dva (različita) realna rješenja. e) Jednadžba ima samo jedno (dvostruko) realno rješenje. b) Jednadžba nema realnih rješenja. d) Broj 1 je jedno od rješenja jednadžbe. 15. Zadatak. Za koji m E R jednadžba Sx a} m>1/5 b) m<1/5

2

+ 2x + m =

O nema realna rješenja? c) m=1/5

d} ne postoji takav m

16. Zadatak. Zbroj vrijednosti parametra m za koje jednadžba 2x2

+ (m - S)x + 8 = O ima jednaka rješenja iznosi

a) 11

c} - 6

b} 10

d} 13

b) KVADRATNA FUNKCIJA

j: R ---+ R

Funkciju

DEFINICIJA:

zadanu formulom j{x) = ax 2 + bx + e,

17 Zadatak (2010-1) Koja tablica pripada funkciji fex)

a)

b)

= 4x -

a, b, e E R zovemo kvadratna funkcija.

x2 ? e)

x

f(x)

-1

5

2

-4

2

4

2

3

3

3

-3

3

18. Zadatak Skiciraj grafove

sljedećih

x

f(x)

-1

5

x

f(x)

-1

5

d)

x

f(x)

-1

-5

3

2

4

4

3

3

funkcija, odredi ekstremne vrijednosti (minimum ili maksimum) te vrijednosti funkcije za x=-l, X= 2,

2

2

a) j(x)=x -2x-3

b) j(x)=-x +7x-1O

2

e) j(x)=8x +lOx-7

NAPOMENA:

./ Nultočke Xl i X2 funkcije su apscise točaka u kojima graf funkcije siječe X os (os apscisa).

Graf kvadratne funkcije f(x)=a,l+bx+c zovemo parabola.

ODNOSNO

Za koordinate tjemena T također

.. d' Xo

vrije I

xl + x2· = --2I

Yo

= j() Xo

./ Nultočke Xl i X2 su realna rješenja pripadne jednadžbe ax2 +bx+c=O.

y koordinata je vrijednost funkcije u točki x 19. Zadatak (2010-3) Kolika je najmanja vrijednost kvadratne funkcije čiji je graf prikazan na slici? a. -3 b.-2 e. O d.4 20. Zadatak (2011-1) Kolika je najveća vrijednost kvadratne funkcije čiji je graf prikazan na slici? a.O b. 2 e. 3 d.6

J·.

•

··y··r····· I

.•..

'o.

•

...

L··········.··.· •

O~'D

I~ :

.,

21. Zadatak. (2010-2) Luk na slici desno ima jednadžbu y=-O.3X2 + 1.8x, gdje je y udaljenost točke na luku od x-osi izražena u metrima. Kolika je maksimalna visina luka? a.1.7m b.2.3m

2

4

e. 2.7 m

22. Zadatak. (2013-1) Ima li funkcija [ex)

= .:2 x 2 -

d. 3.3 m

+6

3x

minimalnu ili maksimalnu vrijednost i koliko ona iznosi? 3

a. Funkcija ima minimalnu vrijednost i ona iznosi - 2

3

b. Funkcija ima maksimalnu vrijednost i ona iznosi-2

3

e. Funkcija ima minimalnu vrijednost i ona iznosi -

2

3

d. Funkcija ima maksimalnu vrijednost i ona iznosi -

2

TRINOM d.o.o.

23


UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333 333

www.trinom.hr 23. Zadatak :* Odredite koordinate tjemena grafa funkcije

j(x) = x2 + 2x - 8

i sjecišta grafa s koordinatnim osima te

25. Zadatak :* U koordinatnom sustavu prikažite graf funkcije

nacrtajte graf.

j(x) = -(x + lXx -3).

24. Zadatak. Nacrtajte graf funkcije a. (2012-1) y = -x 2 b. (2013-1) [ex) -x 2 + 1. c. (2012-2) y = x 2 - 1 x 2 + 1. d. (2010-2) fex) e. (2010-3) fex) = x 2 + 2

:

1

(Obvezno ucrtajte nultočke i tjeme.) Važno je popuniti cijelu mrežu da bi se zadatak priznao!

=

()

,I

=

26. Zadatak :* Koja slika prikazuje graf funkcije fex) 3 Y

3 Y

2

o

o

2)ex - 4)7

v

o ·1

·1

(\

·2 ·3

e)

b)

27. Zadatak :* Na kojoj je slici prikazan graf funkcije

a)

1 Y

1 Y

2

.,

·1

a)

= ex -

·2 ·3

d)

j(x) = -2(x + 2 Xx -1) 7 Za sve grafove odredi kojim funkcijama pripadaju.

b)

d)

28. Zadatak :* Koja od navedenih slika prikazuje graf funkcije

j(x) = _x 2 - x 7

2 Y

2

-,

2 Y

2

3

3 ·2

-2

a)

e)

b)

29. Zadatak. (2013-2) Na kojoj je slici prikazan graffunkcije [

d)

ex) I

Y

I

\

\ \

\

1"'"-"

"""-

"---

\

l

/

1,,-0 /1 A.

il

i i 1----;"

i

/ I

x

"",i'"

C.

B.

Koji graf prikazuje funkciju fex)

y

I

/

= ax 2 -

! i I

'"

V

/

V

N Vll

x

D.

27

++:. --f---+.+_. I

I r

I

I

I

...

-~.--t..... --~.-~ -!--!! !!! -+-~... --r-;-' 1-I

I

l

I

I

I

TRINOM d.o.o. <=> pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

24


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr 31. Zadatak :* Funkcija

37; Zadatak. Funkcija j(x) == _x 2 + bx + e ima nultočke 1 i 7.

j(x) == ax 2 + e prikazana je grafom na

slici. Koeficijent G jednak je:

a. b. c. d.

·2

.,

Maksimalna vrijednost funkcije je: a) -9 b) 4

-3 -1/3 1/3 3

=

2

39. Zadatak :* Računala u jednoj učionici međusobno su povezana optičkim linijama. Ukupan broj optičkih linija određen

., ·2

je funkcijom

t(n) == n(n - 3) + n gdje je n broj računala u učionici. 2

a)

j(x)==(x+3)2+4

Ako je ukupan broj linija 28, tada je broj računala u a)-8 b)-7 c)7

b)

j(X)== (x+3)2_4

40. Zadatak. Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu.

c)

j(x) == (x -

3)2 + 4 j(x) == (x - 3)2 - 4

Putanja lopte opisana je funkcijom h == -0.0126x2 + 0.635x gdje je h visina lopte iznad zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veličine h i x su izražene u metrima.

d)

nultočku?

y

a)

j(x) == 2(x -1

c)

j(x)== 2(x-1Y-2

b)

j(x)==2(x-1)2 +2

d) j(x)== 2(x-1Xx-2)

34. Zadatak :* Zadana je funkcija a. b.

j(x) == ax 2 + 3x - 4.5 .

Odredite sjecište grafa s V-osi. Najveća vrijednost funkcije je -1 . Odredite

35. Zadatak :* Odredite drugu

j(x) == a(x -

3)2 + 2

nultočku

početka sumraka dana je formulom r(t) == 0.25t 2 - 5t + 30, O:::; t :::; 12 . Uzima se da sumrak počinje u 19:00 sati.

funkcije

ako joj je jedna nultočka -L

a) b) c)

D=O

1\

I

Otvor prema gore jer je a>O

I

Otvor prema dolje jer je a
/\

j(x) == ax 2 + bx + e .

* Za koju od njih vrijedi: G je pozitivno i diskriminanta je negativna? (2012-1) Za koju od njih vrijedi: diskriminanta je negativna, a koeficijent e pozitivan?

a)

b)

c)

43. Zadatak. (2010-1) Na slici je graf funkcije

1 Y

= ax 2 + bx + c. Što od navedenoga vodeći

A. a > 0, D>

< 0, D>

° °

B. a

> 0, D <

D. a

< 0, D <

-1

° °

o

2

a.

b.

c.

a.

b.

c.

d) 44. Zadatak. (2012-2) Na slici je prikazan graf funkcije ax 2 + bx + c. Što vrijedi za f (x) diskriminantu D te koeficijente a ic?

=

o

koeficijent a i za

diskriminantu D?

I

D
/\

42. Zadatak: Na slikama su grafovi funkcija

vrijedi za

)

)

/\ a) b)

Kolika je temperatura bila u 21:00 sat? U koliko je sati temperatura bila minimalna? Koliko je iznosila minimalna temperatura u stakleniku?

\V / \/ V

D>O

d)8

41. Zadatak. Temperatura T (u 0c) u stakleniku t sati nakon

G.

36. Zadatak. Ako graf funkcije !(x)=wt+bx-14 siječe os x u -7/3 i 2, tada je apscisa vrha te parabole a)-1/9 b)-1/8 c)-1/7 d)-1/6 ZAKUUČAK:

učionici:

a) Na kojoj je visini lopta kad je njezina horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 15 m? b) Na kojoj udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pada na zemlju? c) Koju najveću visinu lopta postiže?

33. Zadatak :* Koja od navedenih funkcija nema niti jednu

C. a

d) 23

38. Zadatak. (2011-3) Graf funkcije f(x) ax + bx + c siječe koordinatne osi u A(-3,0); B(0,3); C(2,0). Koja je to funkcija? a. f(x) = 0.5x 2 + 0.5x - 3 b. f(x) = 0.5x 2 - O.5x + 3 2 c. f(x) = -0.5x + 0.5x - 3 d. f(x) = -0.5x 2 - 0.5x + 3

32. Zadatak :* Koju funkciju prikazuje graf na slici desno?

f(x)

c) 9

A. D = 0, a < Oi c < B. D = 0, a > ic> C. D > 0, a < i c < D. D > 0, a > Oi c >

° °

° ° °°

d. d.

I

~~N~

TRINOM d.o.o. ':o> pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

25


www.trinom.hr

J2 (x) = x 2 + 6x + 10 . Jedna je tvrdnja točna. Koja?

45. Zadatak. Zadane su dvije funkcije: JI (X) = 2X2 - 4x + 5

cl zbroj nultočaka jedne funkcije dvostruko je veći od zbroja nultočaka druge

bl jedna funkcija ima, a druga nema nultočke

al niti jedna funkcija nema realnih nultočaka

dl ništa od navedenog nije točno

46. Zadatak. Za funkcija J(x) = x 2 + X + 12 točna je samo jedna tvrdnja. Koja? al ima maksimum u prvom kvadrantu i dvije pozitivne nultočke

bl ima maksimum u prvom kvadrantu i po jednu pozitivnu i negativnu nul-točku

cl ima maksimum u drugom kvadrantu i po jednu pozitivnu i negativnu nul-točku

dl ima graf koji ne siječe os apscisa

47. Zadatak. Graf funkcije J(x) = x 2 + (m + l)x + 100 dodiruje os apscisa ako je a) ml

= -5,

m2 = 4

b) ml

= 5,

m 2 = -4

c) ml

= 3,

m2 =O

d)

ml

=-21,

m2

=19

I

3.5. Eksponencijalna funkcija. Funkciju J: R ~ (O,

DEFINICIJA:

oo)

zadanu formulom J(x) = aX, (o> Oi o ot 1) zovemo eksponencijalna funkcija baze a.

1. Zadatak. (2011-1) Kolika je vrijednost funkcije f(x) a. 100 b. 1000

= 10 2x+1 za x = l? c. 10000

S.94·105-0.25X

2. Zadatak. (2011-3) Zadana je funkcija f(x) = 3. Zadatak. (2012-1) Zadan je broj

ill

27

d. 100000

. Izračunajte f(8) .

= 10k+2. Koliki je broj ...!!!:..., ako je k = -1.3? (Rezultat zaokružite na dvije decimale.) 0.36 a) J(x) = 10

Primjer. Skiciraj grafove funkcija

x

Svojstva eksponencijalne funkcije: 1. Ako je o > l, funkcija je rastuća. To znači: xl

bl j(x) =

< x2

2. Ako je O < a < l, funkcija je padajuća. To znači: 3. Grafovi funkcija 4. Funkcija J(x)

C~

r

c) J(x) = 10

x

+1

J(Xl) < J(X2)' Što je baza veća, graf je strmiji.

q

< x 2 q J(x 1 ) > J(x 2 ). Što je baza manja, graf je strmiji.

Xl

j(x) = aX i j(x) = a-x simetrični su obzirom na y os .

= aX nema nultočaka, os apscisa je asimptota. l

4. Zadatak Skup svih 5. Zadatak. Ako je

nultočaka funkcije J(x) = 10 -:t

X E

je

a.

x

R i 10 + 10 = O onda je x jednak

{O}

a.O

b. {0,-3}

c.0

d.C

b. 1

c. -1

d.0

EKSPONENCIJALNE JEDNADŽBE 6. Zadatak :* Napišite neki

uređeni

par realnih brojeva (a,b) tako

a

14. Zadatak. (2012-2) Za koji realan broj x je 3 . l01+X - 0.3=0?

da bude 10 = b - 3 .

7. Zadatak. (2012-1) Zadan je broj ako je m = 1000?

ill

= 10k+2. Koliki je broj k,

8. Zadatak :* Koja je od navedenih vrijednosti nepoznanica x rješenje jednadžbe lO x + l = 0.1 ?

a. x = -2

b. x = -1

c. x = O

d. x = 1

9. Zadatak. (2013-2) Riješite jednadžbu 10 1 - x = 0.1. 10. Zadatak :* U jednadžbi 100·1 OX = 0.01, nepoznanica x jednaka je: c. -2 d. -1 a. -4 b. -3 11. Zadatak. (2013-1) Odredite broj x tako da vrijedi jednakost 100 x+l = 1000· 10- 2x . 12. Zadatak:* Odredi x iz

x a. 3·10 =300

15. Zadatak:* Rješenje jednadžbe 5· 9X+l = 15 je u intervalu:

a.

b. ..22.=1000 100x

13. Zadatak :* Koje je rješenje jednadžbe 10x - (0.001)2 = O? a. -6 b. -3 c.3 d. 6

(-00,-2]

b. (-2,-1]

c.

(-1,2]

d. (2,00)

16. Zadatak. (2011-3) Ako je 3 . ~; jednako ~ , koliko je a ?

a. O

c. 2

b. 1

17. Zadatak:* Riješi jednadžbu 22x+l

d. 3

= J8

18. Zadatak. Umnožak rješenja jednadžbe 4x2_X+l = 8 x iznosi a) 8

b) 63/8

cl 65/8

d) 17/2 x

2

5

e) 1

x

v4 je

19. Zadatak. Zbroj realnih rješenja jednadžbe 2 a) 2/7 b) 3/7 c) 4/7

-7

20. Zadatak. Riješi jednadžbu 0.lx2+6x+l .10 2x - 1 al nema rješenja b) 7 c) ±2

= 100-2x- 3 •

=

d) 5/7

d) 1,6

21. Zadatak. Odredi x iz

a.

lO-x

1000000

= 0.01- 1

10-1 .1O X

b.

0.001

=10

TRINOM d.o.o.

26


TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

www.trinom.hr

24. Zadatak: Broj bakterija B u nekoj populaciji mijenja se s

Zadaci za napredne:

vremenom t na sljedeći način

22. Zadatak. 1000000 napiši kao potenciju s bazom: a) 0.1 b) 0.01 e) 100 23. Zadatak. Ulaganjem 1000 kn u banku nakon n godina dobiva se 1000

<;;>


.(1 +22)n 100

kn. Koliki je iznos na

računu nakon 5 godina?

u satima a) b) e)

B(t) = 1000.2 31 , gdje je t vrijeme

od početka mjerenja. Koliko je bilo bakterija 40 min nakon početka mjerenja? Koliko je bilo bakterija 1 sat prije početka mjerenja? Nakon koliko je sati bilo 4 096 000 bakterija?

14. MODELIRANJE (PROBLEMSKI ZADACI)I ~.1. OMJERII 1. Zadatak. Omjer 22.: S..!. jednak je:

7

a.21:228

4

b.52:131

d.69:241

e.68:147

9. Zadatak. (2010-1) Omjer šećera i maslaca u

2. Zadatak. Pješak prijeđe 70 m u minuti, a patka 70 km na sat. Kako se odnose njihove brzine? a.1:1 b.1:4 e.3:50 d.4:75

kolač

% sata. Za koje će

vrijeme taj put prijeći auto koji je 7..!. puta brži od bicikla? 2 5. Zadatak. (2012-1) Gustoća naseljenosti nekog područja definira se kao omjer broja stanovnika koji živi na tome području i površine tog područja. a. Površina kopnenog dijela Republike Hrvatske iznosi 56 dijela. Na tome

području

trećinu

kopnenog

živi 2.16 milijuna stanovnika.

Kolika je gustoća naseljenosti Središnje Hrvatske? (Rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.) Odgovor: b.

stanovnika/km

2

Grad ima 310000 stanovnika, a gustoća naseljenosti mu je 2 160 stanovnika/km2. Kolika je površina tog grada? (Rezultat zaokružite na dvije decimale.) Odgovor:

e.

km

2

Grenland s 57 000 stanovnika i površinom od 2 175600 km2 je zemlja s najmanjom

gustoćom

veća

od

gustoće

naseljenosti na

Grenlandu. Koliko je stanovnika na Islandu? 6. Zadatak. (2011-1) Za brojeve a i b vrijedi a : b = 5 : 7. Koliki je broj a ako je b = 9 ? 35

a.9

11

45

e.-

b.2

7. Zadatak. (2013-1) Voda

d.

63

5

7

čini

3

"5

je 4:3. U šećera?

= 3: 4, a + b = 21.

13. Zadatak. (2010-3) Mjera jednoga kuta trokuta iznosi 101°, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 2:5. Kolika je mjera manjega od tih dvaju kutova? a.22°34'17" b. 27°51'49" c. 31°36' d. 39°30' 14. Zadatak. (2012-1) Mjera jednog kuta trokuta iznosi 138°, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 2:5. Kolika je mjera manjeg od tih dvaju kutova? a. 8° b. 12° e. 19° d. 21° 15. Zadatak. (2013-1) U pravokutnome trokutu mjera jednoga šiljastog kuta je sedam puta veća od mjere drugoga šiljastog kuta. Kolika je mjera najmanjega kuta toga trokuta? a. 11°15' b. 12°51' e.22°30' d. 25°42' 16. Zadatak. (2013-2) Mjera jednoga kuta četverokuta iznosi 82°, drugoga kuta 114°, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 1: 2. Kolika je mjera manjega od tih dvaju kutova? a. 41° b.49° e. 54°40' d.65°20'

stanovništva.

Površina Islanda je 103 000 km2, a gustoća naseljenosti mu je 118 puta

kolaču

staviti dag

12. Zadatak. Broj a je za 3 veći od pozitivnoga broja b. Njihov je omjer 5:3. Tada je a jednak: a.3/2 b.9/2 e. 15/2 d. 21/2

b. 72.94 m/min d. 90.28 m/min

542 km2. Središnja Hrvatska zauzima

ćemo

11. Zadatak :* Za brojeve a i b vrijedi a: b Odredite a.

=t

4. Zadatak. Biciklist prijeđe neki put za

smo stavili 15 dag maslaca. Koliko

10. Zadatak. (2010-2) Omjer brašna i šećera u kolaču je 5:2. U kolač smo stavili 150 g šećera. Koliko ćemo staviti grama brašna?

3. Zadatak. (2011-2) Ana je prešla 20 kilometara za 4 sata i 57 minuta. Kolika joj je bila prosječna brzina izražena u metrima u minuti? Napomena: Prosječna brzina računa se prema formuli v ~ gdje je s prijeđeni put, a t vrijeme. a. 67.34 m/min e. 83.76 m/min

8. Zadatak. (2010-3 ) U jednu smjesu kolača ide 28 dag šećera i 86 dag brašna. Koliko treba staviti šećera, a koliko brašna za jednu i pol smjesu kolača?

mase odrasloga

čovjeka.

Koliko

je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase 60 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : lO?

Zadaci za napredne:

17. Zadatak. Ako se tri broja međusobno odnose kao 11:13:105 i ako im je zbroj 14190, tada je najmanji broj jednak: a) 1210 b) 1430 c) 1419 d) 1529 18. Zadatak. Tri osobe uložile su u neki posao ove svote: A 12000 kn, B 90000 kn, e 150000 kn. Ako je ukupna zarada od tog posla 2 100000 kn, osobi e će pripasti dio zarade u iznosu: a) 1160000 kn b) 1150000 kn c) 1 206 000 kn d) 1 250 000 kn

TRINOM d.o.o.

27

~



www.trinom.hr

~.2. PRAVilO TROJNOi 1. Zadatak. PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA

Masa => kilogram

Duljina => metar

1 kg = 1000 g 1 kg = 100 dag

Površina=> metar kvadratni 2

1 m=10 dm 1 m=100em 1 m=1000 mm

1 dag = 10 g 1 g = 1000 mg

1 m =1 m'l m 2 2 1 m =10 dm'10 dm=100 dm 2 2 1 m =100 em'100 em=10000em 2 2 1 m =1000000 mm

1 km=1000 m

Obujam=> metar kubni 3 1 m =1 m'l m'l m 3 1 m =(10 dm)3 1 m 3=(100 em)3 1 m 3=(1000 mm)3 3 3 1 dm = 1 L => 1 em =1 mL

1 t = 1000 kg 2

~Izrazi

u gramima 0.15 dag

~Izrazi

u mm 0.000123 cm

~Izrazi u mm 0.0345 m

~Izrazi

u dekagramima 0.0092 kg

~Izrazi

u cm 0.00987 m

~Izrazi u cm 0.0567 dm

fc.lzrazi u kilogramima 0.123 g

t..lzrazi u m 0.0987 dm

3

2

2

2

J.,..lzrazi u dm 14 mm

2

2

3

1Jzrazi u mm 0.987 dm

3

3

hlzrazi u cm 17 I ~Izrazi u litrama 0.123 m

3

3

.!h (2013-2) Koliko je 132 g/cm izraženo u kg/m ? Odgovor: _ _ _ _ _ _ _ _ kg/m 3 2. Zadatak. (2010-1) Masa 256 jednakih olovaka iznosi 4.24 kg. Kolika je masa 20 takvih olovaka? a. 3.3125 g

b. 33.125 g

15. Zadatak :* Cijena mandarina proporcionalna je njihovoj masi. Dopunite tablicu: Masa 3 kg r---,-~--,----.-~-,

c. 331.25 g

d. 3312.5 g

3. Zadatak. (2011-3) Masa čokolade je 9 unca (oz). Koliko je to dekagrama ako je 1 gram jednak 0.035274 unca? a. 25.5 dag b. 31.7 dag c. 255.1 dag d. 317.2 dag 4. Zadatak. (2010-3) Jedna je obitelj za potrošnju 33 m 3 plina platila 80.32 kn. Koliko će iznositi račun za potrošnju 127 m 3 plina? a. 309.11 kn b. 416.64 kn c. 521.78 kn d. 632.44 kn 5. Zadatak. (2013-2) Koliko košta 7 kg jabuka ako 2.5 kg jabuka košta 18 kn i 50 lp? Odgovor: kn i lp

cijena 16. Zadatak. (2010-1) Sljedeća tablica povezuje duljine izražene

Metar (m) 17. Zadatak. (2013-1) Sljedeća tablica povezuje duljine izražene u inčima i milimetrima. Popunite vrijednosti koje nedostaju. 10 130.5

6. Zadatak :* Filip je platio 3 kg jabuka 16 kuna i 50 lipa. Koliko će platiti za 8 kg jabuka? 7. Zadatak :* Ana je platila 5 kg će platiti za 4 kg naranči.

naranči

42 kune i 50 lipa. Koliko

EURO (€)

3

8. Zadatak :* Za 13 m vode treba platiti 127.27 kn. Koliko treba 3 platiti 10 m vode? 9. Zadatak. (2011-2) Srećko je visok 187 cm. Koliko je to stopa ako 1 stopa iznosi 0.3048 m? a. 4.8271 stopa b. 5.6998 stopa c. 6.1352 stopa d. 7.9413 stopa 10. Zadatak. (2012-1) Američke mjere za tekućinu su bareli i galoni. Veza među njima je: 100 galona =3.1746 barela. a. Koliko je barela 1300 galona? Rj: ___ barela b.

Koliko je galona dvije

trećine

barela? Rj: ___ galona

11. Zadatak. (2013-2) Unča iznosi 28.35 g, a arroba 14.69 kg. a. Koliko je arroba jednako 5 kg? Odgovor: arroba b. Koliko unča ima jedna arroba? Odgovor: unča 12. Zadatak :* U 100 ml sirupa za snižavanje temperature sadržano je 2.4 g paracetamola. Koliko miligrama paracetamola ima u 5 ml sirupa? a. 12 mg b. 24 mg c. 120 mg d. 240 mg 13. Zadatak. Auto s 52 litre goriva može mu je prosječna potrošnja na 100 km? 14. Zadatak. Za litara

isteče

za:

3~ 2

prijeći

560 km. Kolika

sata iz pipe iscuri 273. litre vode. Koliko

a. dvije min

18. Zadatak. (2010-2) Sljedeća tablica povezuje novčane iznose izražene u eurima i kunama. Popunite vrijednosti koje nedostaju.

5

b. 4 min i 20 sek

KUNA (HRK) 19. Zadatak. (2011-1) Tablica povezuje novčane iznose izražene u US dolarima i kunama. Popunite vrijednosti koje nedostaju. US DOLAR ($) KUNA (HRK) 20. Zadatak. (2010-3) Tablica povezuje novčane iznose izražene u različitim valutama. Popunite vrijednosti kOje nedostaju. EURO (€) ŠVICARSKI FRANAK (CHF) BRITANSKA FUNTA (GBP)

1 1.5462

50 22.235157

21. Zadatak. (2011-2) Za lijepljenje 1 m 2 pločica potrebno je 3 kg ljepila u prahu. Ljepilo u prahu miješa se s vodom tako da na količinu od 100 kg ljepila dolazi 261 vode. Koliko ljepila u prahu i 2 vode treba pomiješati za lijepljenje 2.5 m pločica? 22. Zadatak. Kolika je zračna udaljenost između Osijeka i Ploča ako su na zemljovidu mjerila 1:1750000 ta dva grada udaljena 16.5 cm? 23.Zadatak. Dva izvora udaljena su u prirodi 2 km. Kolika će biti njihova udaljenost na topografskoj karti mjerila 1:50000? 24. Zadatak. Udaljenost od 15 cm na zemljovidu odgovara udaljenosti od 180 km u prirodi. Mjerilo zemljovida je: a) 1:120000 b) 1:1200000 e) 1:12 000 d) 1:1200

TRINOM d.o.o.

28

~



www.trinom.hr

~.3. POSTOCII l %=

l WO ( l posto je sinonim za jednu stotninu)

l 1%0=1000

Napomena. Svi se zadaci mogu svesti na oblik p' x pri

(l promil je sinonim za jednu tisućinu)

=y

,

čemu

je x vrijednost (ukupni iznos ili osnovica) od koje računamo postotak, y je postotni iznos, a p postotak pretvoren u decimalni broj.

1. Zadatak. (2012-1) Čemu je jednak broj 0.3825 ako ga zapišemo kao postotak? a. 3.825% b. 38.25% c. 382.5% d. 3 825%

6. Zadatak:* Na telefonskoj kartici od 50 impulsa iskorišteno ih je 82%. Koliko je impulsa neiskorišteno? a. 18 b. 10% c. 9 d. 8%

2. Zadatak. (2011-1) Koliko je 2.7% zapisano kao decimalan broj? a.0.0027 b.0.027 c.0.27 d.2.7

1. Primjer: POVEĆANJE (riješi ovdje) Cipele koštaju 370 kn. Izračunaj novu cijenu nakon poskupljenja od:

!..-, a Petra 77% iste

3. Zadatak:* Ana je pročitala ~, Nina 17

knjige. Tko je

pročitao

najviše, a tko najmanje?

4. Zadatak. (2011-3) Koliko je 16% od 16 ? a.0.01 b. 1.00 c. 2.56 5. Zadatak:* Koliko je: a. 23% od 4 356?

d.3.20

b. 17% od 250?

X

Zaključak.

a. 13%

=> Rješenje:

b. 27%

=> Rješenje:

9

Primjer a. 0.75· x =

2. Primjer: SMANJENJE (riješi ovdje) Cipele koštaju 370 kn. Izračunaj novu cijenu nakon pojeftinjenja od: a. 18%

=> Rješenje:

b. 35%

=> Rješenje:

je smanjen za 25% ili

{

Primjer b.

ovo je 75% od x

7. Zadatak. (2011-3) Nakon unosa podataka na memorijski ključić kapaciteta 8 GB ostalo je na njemu još 34% slobodnoga prostora. Koja je količina podataka izražena u GB na memorijskome ključiću? 8. Zadatak. (2013-1) U 4.a razredu je 32 učenika. Deset učenika toga razreda s najboljim rezultatima postiglo je sljedeće bodove: 82, 84, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 98. Ocjenu odličan dobilo je 12.5 % učenika 4.a razreda. Koliko je najmanje bodova bilo potrebno za ocjenu odličan? 9. Zadatak. (2013-1) Pri izradi vilica nastaje u prosjeku 0.9 % vilica s grješkom. a. Koliko se komada vilica s grješkom očekuje pri izradi 2000 komada vilica? b. Koliko se najmanje komada vilica treba izraditi da bi se dobilo 10 000 vilica bez grješke? 10. Zadatak. (2011-3) Miješano meso dobiva se mljevenjem svinjskoga i goveđega mesa. Ako je udio svinjskoga mesa u miješanome mesu 40%, koliko je svinjskoga mesa u 2 kg miješanoga mesa? 11. Zadatak. (2011-1) Obiteljska primanja u mjesecu svibnju iznosila su 8 750 kuna. Mjesečni troškovi režija iznosili su 24% obiteljskih primanja. Za podmirenje preostalih potreba, u mjesecu svibnju, obitelji je potrebno 6 200 kuna. Koliko je kuna preostalo obitelji? a. 250 kn b. 450 kn c. 650 kn d. 850 kn

-smanji x za 32% => 0.68· x - odredi 32% od x => 0.32 . x

13. Zadatak. (2012-2) Cjenik prijevoza robe dan je u tablici. Masa

Cijena prijevoza

101 g -1 kg 30 kn više od 1 kg do 40 kg 35 kn više od 40 kg 60 kn Kabasta roba, bijela tehnika, bicikli, TV i 90 kn sl. U slučaju vraćanja pošiljke, pošiljatelj plaća još 50% cijene prijevoza. Na cijenu prijevoza dodaje se PDV od 23%. Paket

a.

Marko plaća prijevoz jednog paketa od 15 kg i jednog bicikla. Koliko ga to stoji?

b.

Ivan je prijatelju poslao paket mase 52 kg i za to platio prijevoz. Prijatelj paket nije podigao pa je prijevoznik pošiljku vratio Ivanu. Koliko kuna je Ivan još nado platio?

14. Zadatak:* Marija je visoka m cm, a Nives n=m+O.15m opisano je: a. Nives je viša od Marije za 0.15 cm b. Nives je viša od Marije 15%. c. Marija je viša od Nives za 0.15%.

n cm. Izrazom

15. Zadatak:* Ruksak je stajao 300 kn. Damir ga je kupio na sniženju od 20% i platio: a. 280 kn b. 240 kn c. 150 kn d. 120 kn

12. Zadatak. (2010-2) U Hrvatskoj je 2004. godine rođeno 20 875 dječaka. Godine 2005. rođeno je 4.19% više dječaka u odnosu na 2004. godinu. Koliko je dječaka rođeno 2005. godine? a. 20964 b. 21 750 c. 24875 d. 29 626

16. Zadatak:* Ruksak je stajao 300 kn. Damir ga je kupio na sniženju i platio 240 kn. Sniženje je: a.40% b.30% c. 20% d. 10%

17. Zadatak. (2011-2) Cijena košulje bila je 249.99 kn, a nakon sniženja 199.99 kn. Koliko je posto snižena cijena košulje? a. 5% b. 10% c. 15% d. 20%

TRINOM d.o.o.

29

Go;>



www.trinom.hr

18. Zadatak. (2013-2) Tečaj eura iznosio je 7.532619 kn, a tjedan dana kasnije 7.500981 kn. Za koji se postotak smanjio tečaj eura? a. za 0.040 % b. za 0.042 % c. za 0.420 % d. za 0.422 %

23. Zadatak :* Na CD-u kapaciteta 700 Mb snimljeni su sadržaji od 139 Mb i 435 Mb. Koliki je postotak CD-a iskorišten? a. 62.14% b.82% c. 19.28% d. 18%

19. Zadatak. (2010-3) Koliko posto iznosi 71.54 od 511?

24. Zadatak :* CD od 650 Mb popunjen je 12%. Na CD je snimljeno još 260 Mb novih podataka. Koliki je postotak CD-a sada popunjen? d.64% a.34% b.42% c.52%

20. Zadatak:* Luka je dobio 21 bod od mogućih 35 na ispitu iz Matematike. Koliki je postotak ispita Luka riješio? a. 14% b. 21% c. 40% d. 60% 21. Zadatak:* Masa Jupitera približno je jednaka 2.10

27

kg, a

25. Zadatak. (2011-2) Dana je tablica energetskih vrijednosti i količine ugljikohidrata u 100 grama žitarica i u 100 grama mlijeka.

24

masa Zemlje 6.10 kg. Masa Zemlje je: a. 0.03% mase Jupitera b. 0.3% mase Jupitera d. 3.3% mase Jupitera c. 3% mase Jupitera 22. Zadatak. (2010-2) Ispit iz Matematike ima ukupno 60 bodova. Mjerila za pozitivne ocjene izražena su postotkom ostvarenih bodova i prikazana tablicom. odličan dovoljan dobar vrlo dobar Ocjena (4) (5) (2) (3) Ostvareni % 51-64 65-79 80-89 90-100 bodova a) b)

Koju će ocjenu dobiti Jakov ako je na ispitu postigao 41 bod? Marti je nedostajao 1 bod za ocjenu odličan (5). Koliko je bodova Marta postigla na ispitu?

27. Zadatak. (2010-1)

Izračunajte

broj od kojega 8% iznosi 6.4.

28. Zadatak. (2010-2)

Izračunajte

broj od kojega 11% iznosi 35.2.

29. Zadatak. (2012-2) Od kojega broja 2% iznosi 100? a. od 200 b. od 500 c. od 2 000 d. od 5 000 30. Zadatak :* Nakon sniženja od 40%, cijena robe je 105 kn. a. Kolika je cijena robe prije sniženja? b. Za koliko je kuna cijena smanjena? 31. Zadatak. (2011-3) Miješano meso dobiva se mljevenjem svinjskoga i goveđega mesa. Koliko dekagrama govedine treba izmiješati s 30 dag svinjetine da udio svinjskoga mesa u miješanome mesu bude 40% ?

34. Zadatak :* U plesnu se grupu upisalo 120 učenika. Mladići čine 20% grupe. Naknadno su se upisale 2 djevojke i 18 mladića. Koliki je sada postotak mladića u plesnoj grupi? a.20% b.28% c.30% d.38% 35. Zadatak :* U cjeniku taksi službe piše:

START VOŽNJA PO KM PRTUAGA PO KOMADU

Tomislav je imao 2 komada prtljage. Koliko se km Tomislav vozio taksijem ako je uz popust od 10% platio 117 kn? a. 12 km b. 13 km c. 14 km d. 15 km 36. Zadatak. (2012-1) Cijena kišobrana povećana je 20%, a potom snižena 30% i sada stoji 126 kn. Kolika je bila početna cijena? a. 140 kn b. 144 kn c. 150 kn d. 154 kn

ZADACI ZA VJEŽBU 41. Zadatak. U 2000. je godini broj noćenja u hotelu Park bio 152 340, a u 2001. god. 175 191. Izrazite to povećanje u postocima. a) 10% b) 15% c) 20% d} 25%

Energetska vrijednost Ugljikohidrati

100 g ŽiTARICA 341 kcal/1441 kJ 57.0 g

100 g MLIJEKA 60 kcal/251 kJ 4.53 g

Filip je uzeo obrok od 20 g žitarica i 250 g mlijeka. a. Kolika je energetska vrijednost toga obroka izražena u kilokalorijama (kcal)? b. Koliko posto u tome obroku čine ugljikohidrati? 26. Zadatak :* Škola ima 175 učenika prvih razreda. 40%

učenika prvih razreda uči njemački jezik od kojih ~ uči njemački 5

na višoj razini. a. Koliko učenika prvih razreda uči njemački na višoj razini? b. Koliko posto učenika prvih razreda uči njemački na višoj razini?

32. Zadatak :* Za dvije humanitarne udruge organiziran je dobrotvorni koncert. Od ukupno prikupljenih sredstava, za troškove organizacije koncerta odvojeno je 2111 kn ili 2.5 %. Preostali novac podijelile su udruge u omjeru 7:6. a. Koliko je ukupno sredstava prikupljeno na koncertu? b. Koliko je novaca prva udruga dobila više od druge? 33. Zadatak. (2010-3). Sastanku učeničkoga vijeća nazoči lo je 76% članova. Za prijedlog je glasovalo 24, a protiv prijedloga 14 članova. Nitko nije bio suzdržan. a. Koliko je posto od ukupnoga broja članova vijeća glasovalo za prijedlog? b. Prijedlog se smatra izglasanim ako je za njega glasovalo više od 65% nazočnih članova. Koliko najmanje nazočnih članova mora glasovati za prijedlog da bi on bio izglasan?

37. Zadatak. (2013-1) Cijena knjige je 125 kn. Cijena je prvo snižena za 20 %, a nakon toga još za 30 %. Za koliko je kuna ukupno snižena cijena knjige? a. za 50 kn b. za 55 kn c. za 57.50 kn d. za 62 kn 38. Zadatak :* Cijena bicikla je najprije povećana 25% pa snižena 22%. Što treba učiniti s cijenom da postane jednaka početnoj? b. sniziti je 3% a. povećati je 3% c. povećati je 2.56% d. sniziti je 2.56% 39. Zadatak :* Plin je poskupio 15%. Za koliko se postotaka treba smanjiti cijena plina da bi mu konačna cijena bila 5.5% veća od cijene prije poskupljenja? a.7.80% b.8.26% c.8.96% d.9.50% 40. Zadatak. (2011-1) Masa vozila bez tereta je 3 000 kilograma. Nakon utovara, teret čini 60% ukupne mase. Koliko posto ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta? a. 20% b.45% c. 50% d. 75% 42. Zadatak. Ako broj B smanjimo za 20% dobijemo 76. Ako broj B povećamo za 20% dobijemo a} 91.2 b) 95 c) 114 d) 120

TRINOM d.o.o. "> pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

30


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr 43. Zadatak. U bačvi se nalazi 288 litara crnog vina što je 90%

48. Zadatak. Prodajna cijena proizvoda A u jednoj godini

kapaciteta. Koliko bi litara vina trebalo uliti u bačvu da bi ona bila puna? a) 32 L b) 34 L e) 36 L d) 38 L

povećala se 2 puta po četvrtinu prethodne prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn. Kolika je bila prvotna prodajna cijena proizvoda A? d) 16000 kn a) 14400 kn b) 15000 kn e) 15600 kn

44. Zadatak. Pri proizvodnji nekog proizvoda ima 5% proizvoda s

greškom. Koliko proizvoda treba proizvesti da se dobije 61560 komada bez greške? a) 64638 b) 64800 e) 64962 d) 65124 45. Zadatak. Nakon povećanja od 21%, zaposlenik je primio plaću od 3025 kn. Njegova je a) 525 kn b) 625 kn

plaća povećana

za e) 725.25 kn

d) 756 kn

46. Zadatak. Neka količina pijeska zbog vlage poveća masu za

45%0' Koliko je kg vode upio pijesak ako je masa vlažnog pijeska 888.25 kg? a) 35.25 kg b) 38.25 kg e) 41.25 kg d) 44 kg

49. Zadatak. Prodajna cijena proizvoda E u jednoj godini povećala se 2 puta po 10% u odnosu na prethodnu prodajnu cijenu. Za koliko % je ukupno povećana prodajna cijena proizvoda E? a) 20% b) 21% e) 22% d) 23%

50. Zadatak. Cijena robe je najprije uvećana za 25%, a zatim smanjena za 25%. Konačna cijena je: a) jednaka početnoj cijeni b) manja od početne cijene za 12.5% e) veća od početne cijene za 12.5% d) manja od početne cijene za 6.25%

47. Zadatak. Poslije povećanja od 12% roba se prodaje za 6496

kn. Koliko bi iznosila prodajna cijena te robe da je iznosilo 15% od prvotne prodajne cijene? a) 6670 kn b) 6700 kn e) 6730 kn

povećanje

d) 6760 kn

~.4. ARITMETiČKA SREDINA I RAČUN SMJESEI 2. Zadatak. (2013-2) U tablici je prikazan prihod prodavača po danima u jednome tjednu.

Pretpostavimo da imamo n sastojaka. 1. sastojak imamo u količini kv a njegovo je svojstvo Sv

Poned. Utorak Srijeda Četvrtak Petak

2. sastojak imamo u količini k2' a njegovo je svojstvo S2, 3. sastojak imamo u količini k3' a njegovo je svojstvo S3,

prihod 12000 u kn

n-ti sastojak imamo u količini kn, a njegovo je svojstvo Sn.

a.

Tada smjesa nastala spajanjem svih ovih sastojaka ima

b.

. SVOjstvo s

=

k l ·s l +k?·S2+···+ k "·s,, -'---'---=-'---=----"---"-

iii +k2 + ... +k" Ovaj je izraz poznat pod nazivom PROSJEČNA VRIJEDNOST ili aritmetička sredina. Primjer: Učenik na kraju godine ima iz nekog predmeta 3 petice, 5 četvorki,

5 trojki i jednu dvojkU. Kolika je njegova prosječna ocjena? Rješenje. Imamo 4 sastojka, to su petice, četvorke, trojke i dvojke. Petica imamo 3 pa je to kv k2 je 5 što odgovara broju četvorki, k3 je 5 (broj trojki) i k4 je 1. Ubacimo u formulu i dobijemo prosječnu ocjenu:

s

= 3·5+5·4+5·3+1·2 = 3.714

30000 15000 23000 10000

Koliki je bio prosječan prihod prodavača po danu u kn prikazanih sedam dana? Odgovor: Izrazite postotkom prihod ostvaren u ponedjeljak u odnosu na ukupan tjedni prihod. Odgovor: %

3. Zadatak. (2013-2) Pekar pomiješa 220 kg pšeničnoga brašna i 330 kg kukuruznoga brašna. Cijena kilograma pšeničnoga brašna je 7 kn, a kukuruznoga brašna 10 kn. Kolika je cijena tako dobivenoga miješanog brašna? a. 7.80 kn za kilogram b. 8.50 kn za kilogram c. 8.80 kn za kilogram d. 9.50 kn za kilogram 4. Zadatak. (2011-2) Od mlijeka s 3.8% masnoće i mlijeka s 0.9% masnoće treba napraviti 100 litara smjese s 2.6% masnoće. Koliko litara mlijeka s 0.9% masnoće treba uzeti? a,41.38 b,43,24 c,44.44 d.48.28

5. Zadatak Uredski prostor od 442 m iznajmljuje se tako da se

istaknute su točke A, B, C i D te koordinate točaka A i C.

e

O

2

3+5+5+1

1 Zadatak. (2011-2) Na brojevnome pravcu prikazanome na slici .1

7000

Subota Nedjelja

/) )

-IllO

Koordinata točke B jednaka je aritmetičkoj sredini koordinata točaka A i C. Koordinata točke D je za 90 veća od koordinate točke C. Kolika je razlika koordinate točke D i koordinate točke B? a.103 b.107 c.l13 d.117

2

200 m luksuznije uređenih ureda plaća po kvadratu 12 €, a 2 2 preostalih 242 m po 10 €/m . Kolika je prosječna cijena najma 2 po m ? 6. Zadatak U kojem omjeru treba miješati vruću vodu temperature 9rC i hladnu temperature 2°C da dobijemo vodu za kupanje temperature 2rC? a) 2:97 b) 10:27 c) 5:14 d) 7:20

TRINOM d.o.o.

31



www.trinom.hr

ls. GEOMETRIJA! Pojmovi i činjenice koje trebate znati za ovu cjelinu: ČETIRI OSOBITE TOČKE TROKUTA - sjecište pravaca određenih visinama (ortocentar), sjecište težišnica (težište), sjecište simetrala kutova (središte upisane kružnice) i sjecište simetrala stranica (središte opisane kružnice). ČUNJ (konus) - isto što i stožac. DELTOID - konveksan četverokut kojemu su dijagonale okomite, a jedna od njih raspolavlja drugu. Deltoid je sastavljen od dvaju jednakokračnih trokuta. Deltoid kojemu se dijagonale međusobno raspolavljaju jest romb. DIJAMETAR - promjer kružnice tj. dužina koja spaja dvije točke kružnice i prolazi njezinim središtem. IZVODNICA stošca jest dužina koja spaja vrh stošca s nekom točkom na obodu baze stošca (obod je kružnica koja omeđuje bazu stošca). JEDNAKOSTRANIČAN STOŽAC - stožac kojemu je svaka izvodnica jednaka promjeru baze. JEDNAKOSTRANIČAN VAUAK - valjak kojemu je duljina izvodnice jednaka promjeru baze. KONCENTRiČNE KRUŽNICE - kružnice u ravnini koje imaju zajedničko središte. KRUŽNI VIJENAC - dio ravnine između dviju koncentričnih kružnica. KVADAR - četverostrana uspravna prizma (cigla!). MIMOSMJERNI (MIMOILAZNI) PRAVCI- pravci u prostoru koji se ne sijeku, ali nisu ni paralelni. MNOGOKUT (poligon) - dio ravnine omeđen s konačno dužina - stranica mnogokuta. Mnogokut ima jednako kuteva, vrhova i stranica.

Spojnica dvaju nesusjednih vrhova naziva se dijagonalom. n-terokut ima

n(n - 3) 2

dijagonala.

OPISANA KRUŽNICA konveksnog mnogokuta jest kružnica koja prolazi kroz sve njegove vrhove. Središte te kružnice je sjecište simetrala stranica mnogokuta. Svaki trokut ima opisanu kružnicu, ali mnogokuti s 4 ili više stranica ne moraju imati opisanu kružnicu. Za pravokutni trokut vrijedi R

=~ 2

(središte opisane kružnice je u polovištu hipotenuze), a za

jednakostranični R = a.J3 . 2

ORTOCENTAR trokuta jest sjecište visina trokuta (odnosno produžetaka visina - pravaca određenih visinama). PLANIMETRIJA grana geometrije koja se bavi geometrijskim likovima u ravnini. POLIEDAR - geometrijsko tijelo omeđeno mnogokutima. Primjeri poliedra: kocka, kvadar, prizma, piramida, krnja piramida ... POLIGON -7 mnogo kut PRAVILNA PIRAMIDA - piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a pobočne stranice jednake duljine. PRAVILAN MNOGOKUT - mnogokut kojemu su sve stranice i svi kutovi jednaki. Nužno je konveksan i ima opisanu i upisanu kružnicu. PRIZMA - geometrijsko tijelo omeđeno dvama n-terokutima i s n paralelograma (n-terokute zovemo bazama, a paralelograme pobočkama). SREDNJICA trokuta- dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta. Ona je paralelna s 3. stranicom i točno je dvostruko kraća od nje. SREDNJICA trapeza - dužina koja spaja polovišta krakova trapeza. Ona je paralelna s osnovicama trapeza i upola kraća od njihovog zbroja. STEREOMETRIJA - grana geometrije. Proučava geometrijska tijela. SUKLADNOST - Često se (pogrešno) naziva jednakošću. Intuitivno, podskupovi A, B ravnine sukladni su ako se skup A može «nanijeti» na B. TETRAEDAR - pravilno (Platonovo) tijelo omeđeno s 4 jednakostranična trokuta. Ima 6 bridova i 4 vrha. TEŽiŠNICA trokuta - dužina koja spaja vrh trokuta sa središtem nasuprotne stranice. TEŽiŠTE trokuta - točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta. To je ujedno i mehaničko težište trokuta. TEOREMI O SUKLADNOSTI TROKUTA: (5-5-5) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. (S-K-S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kut među njima. (K-S-K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i dva kuta uz tu stranicu. (S>-S-K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici. UPISANA KRUŽNICA mnogokuta je kružnica koja dodiruje sve stranice mnogokuta. Središte te kružnice je sjecište simetrala kutova mnogokuta. Svaki trokut ima upisanu kružnicu, ali mnogokuti s 4 ili više stranica ne moraju imati upisanu kružnicu. USPOREDNICA isto što i paralela. USPRAVNA PRIZMA - prizma kojoj su sve pobočne stranice okomite na bazu. USPRAVAN STOŽAC - stožac kojemu su sve izvodnice jednake. To znači da je ortogonalna projekcija vrha stošca na bazu, središte baze. USPRAVAN VAUAK - valjak kojemu je spojnica središta baza okomita na baze.

5.1. Planimetrija (Geometrija ravnine). A) KUT Stupnjevi. Kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima koji imaju isti početak. Te polupravce zovemo krakovima kuta. Najčešća mjerna jedinica za veličinu kuta je stupanj. Kut kojem pripada svaka točka ravnine (krakovi kuta su se poklopili) zovemo puni kut. Njegova je mjera 360° (gornja slika). Kut koji je upola manji zovemo ispruženi kut, njegova je mjera 180° . Upola manji kut od ispruženog zovemo pravi kut. Njegova je mjera 90°.

TRINOM d.o.o.

32

~


UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEI..: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

Ako od početnog kraka kuta prema završnom kraku kuta idemo u smjeru koji je suprotan od kretanja kazaljke na satu, kažemo da je kut pozitivno orijentiran pa njegovu mjeru iskazujemo pozitivnim brojem. Ako se krećemo u smjeru kretanja kazaljke sata, tada mjeru kuta iskazujemo negativnim brojem. Primjer. Na slici označite mjere kuteva s ispravnim predznacima te njihove orijentacije stavljajući strelice na lukove koji povezuju navedene točke. Označite sljedeće kutove i odredite im mjere: a. LEAG b. LEAB C. LBAG

1. Zadatak* Pretvori u decimalni oblik 36°36' . b. 36.36°

a. 36.3°

c. 36.6°

2. Zadatak* 18°12' jednako je: a. 18.r b. 18.2°

5. Zadatak* Koliko je 12.5 sati? a) 12 sati i 30 min b) 12 sati i 50 min

d. 36.72°

c.18.3°

6. Zadatak* Čemu je jednako 26.4°? a. 26°04' b. 26°24' c. 26°40'

d.18.6°

7. Zadatak* Izrazi u stupnjevima, minutama i sekundama: a) 11.18° b) 70.99° c) 14.01°

3. Zadatak Koliko je: a) 3 sata i 6 minuta izraženo kao decimalni broj? b) 4 sata i 21 minuta izraženo kao decimalni broj? c) 7 sati i 48 minuta izraženo kao decimalni broj?

8. Zadatak Koliko je sati i minuta a) 13.3 sata?

4. Zadatak* Izrazi u stupnjevima a) 23°14' b) 59°15'

v

Jedan par vršnih kutova su a i a', a drugi ~ i

a' (sukladni)

~

pr. Vrijedi a=a' i ~=pr.

Kutovi s okomitim kracima su jednaki ili suplementarni.

Kutovi s paralelnim kracima su jednaki ili suplementarni.

=

c) 8.06 sati?

Kutovi koje dobijemo presjeca njem 2 pravca zovemo vršni kutovi.

a i ~ su sukuti.

a

b) 2.25 sati?

9. Zadatak Koliki kut zatvaraju velika i mala kazaljka na satu kad je točno 4 sata?

d) 192°28'46"

Neka svojstva kutova: Kutovi čiji je zbroj 180° zovu se suplementarni kutevi ili sukuti.

~

c) 12 sati i 5 min

+ pr = 1800 (suplementarni)

a = a' (sukladni)

~ + pr = 180 (suplementarni) 0

10. Zadatak (2011-2) Dužine BC i DE su paralelne (pogledajte skicu desno). Kolika je mjera kuta o.? a.26.6° b.32° c.37.4° d.52° 11. Zadatak Pravci a i b su paralelni. Na slikama odredi kutove koji nisu izračunati. d

/

a

p . b

a.

e

\

b.

c/

Bl TROKUTI TEOREM:

(osnovni teorem o kutovima i stranicama u svakom trokutu) a) za kutove u trokutu vrijedi

a + jJ + r = 180 0

b) za stranice u trokutu vrijedi a+b>c, a+c>b, b+c>a tj. zbrOj duljina bilo kojih dviju stranica veći je od treće; c) nasuprot veće stranice leži veći kut, a nasuprot većeg kuta leži veća stranica. DEFINICIJA:

Trokut koji ima sve stranice jednake (to znači da ima jednake i sve kuteve) zovemo jednakostraničan trokut. Trokut koji ima jednake dvije stranice (tada ima i dva jednaka kuta) zovemo jednakračni trokut. 0 Trokut koji ima kut veći od 90 zovemo tupokutan, ako ima pravi kut zovemo ga pravokutan, a svi drugi su šiljastokutni.

1. Zadatak. (2012-2) Zadan je jednakokračan trokut. Mjera kuta uz osnovicu jednaka je 41°37'. Kolika je mjera kuta nasuprot osnovici? 2. Zadatak :* Davor je mjerio po dva kuta u svakom od četiri različita trokuta i zapisao njihove mjere. Koji od tih trokuta je jednakokračan, a. 50°, 60° b. 40°, 80° c. 30°, 90° d. 20°, 80°

TRINOM d.o.o.

33

~



www.trinom.hr

3. Zadatak :* U pravokutnom trokutu ABC pravi je kut u vrhu C. Mjera kuta u vrhu A je 36°. a. Kolika je mjera kuta u vrhu B? b. Koja je kateta trokuta dulja, b

= AC

ili a

= BC? 5. Zadatak (2011-1) Nad stranicom DC kvadrata ABCD konstruiran je jednakostraničan trokut kao na slici. Kolika je mjera kuta ex? a. 25° b.30° c.45° d.60°

4. Zadatak :* Pravokutan i jednakokračan trokut imaju zajednički vrh C. a. Odredite mjeru drugoga šiljastoga kuta upravokutnome trokutu na slici. b. Odredite mjeru kuta a uz osnovicu jednakokračnoga trokuta ABC sa slike. B

e

lJ1----+~('

li

.1

A

a)7

6. Zadatak Površina trokuta sa stranicama 3,4 i 7 cm iznosi:

b) 10

c) 13

d) nema takvog trokuta

TEOREM: Samo za pravokutne trokute vrijedi: 1.

Pitagorin teorem: Trokut je pravokutan ako i samo ako vrijedi a

2.

a·b Površina trokuta: P = - - . 2

7. Zadatak (2011-2) Kolika je duljina stranice a trokuta ABC prikazanoga na skici desno? a. 11.15 cm b. 16.33 cm c. 20.12 cm d. 21.30 cm

II

10. Zadatak. (2010-2) Ljestve duljine 2.4 m naslonjene su na zid tako da im je podnožje na udaljenosti 1 m od zida. Na kojoj visini ljestve dodiruju zid? a. 1.40 m b. 1.76 m c. 2.18 m d. 2.60 m 11. Zadatak (2010-3) Ljestve su naslonjene na zid tako da im je podnožje na udaljenosti 80 cm od zida. Visina na kojoj ljestve dodiruju zid je 1.35 m. Kolika je duljina ljestava? a. 1.25 m b. 1.40 m c. 1.57 m d. 1.70 m traka razmaknuti 2 m. Objesimo li uteg na sredinu trake, ona će se približiti tlu za 30 cm. Kolika će biti duljina trake u toj situaciji?

učvršćena

= e2 .

15. Zadatak :* Duljine stranica pravokutnoga trokuta su 3 cm, 4 cm i 5 cm. Kolika je površina toga trokuta? 2 2 2 2 a. 6 cm b. 10 cm c. 12 cm d. 30 cm

9. Zadatak :* U pravokutnome trokutu duljina katete a je 6.38 cm, a hipotenuza c je 10 cm. a. Kolika je duljina katete b? b. Neka je a kut nasuprot stranice a, a /3 kut nasuprot stranice b. Koji kut, a ili /3, ima veću mjeru?

Elastična

+ b2

Samo u pravokutnom trokutu stranice a i b zovemo katete, ac hipotenuza.

8. Zadatak. (2013-1) U pravokutno me je trokutu duljina hipotenuze 13 cm i jedne katete 10 cm. Kolika je duljina druge katete toga trokuta zaokružena na tri decimale? a. 8.306 cm b. 8.307 cm c. 16.401 cm d. 16.402 cm

12. Zadatak

2

je

između

2 stupa koji su

međusobno

13. Zadatak. (2010-1) Brod je isplovio iz luke. Najprije je 2 sata plovio prema istoku brzinom 12 km/h, a onda se okrenuo prema sjeveru i 5 sati plovio brzinom 14 km/h. Koliko je nakon tih 7 sati plovidbe bio udaljen od luke? a.69km b.74km c.79km d.84km 14. Zadatak. (2013-2) Dječak trči po dijagonali pravokutnoga igrališta dimenzija 50 m x 30 m. Za 4 minute pretrči dijagonalu 7 puta. Koliko će metara pretrčati za 45 minuta nastavi li trčati istom prosječnom brzinom? Napomena: Prosječna brzina računa se kao omjer prijeđenoga puta i vremena. a. 1499 m b. 4 592 m c. 6 300 m d. 8 523 m

16. Zadatak. (2011-3) Površina pravokutnoga trokuta je 12 cm 2 • Jedna je njegova kateta duljine 6 cm. Kolika je duljina njegove hipotenuze zaokružena na dvije decimale? a. 4.47 cm b. 5.66 cm c. 6.83 cm d. 7.21 cm 17. Zadatak :* Opseg trokuta sa slike je 30 cm. Kolika je površina trokuta? 2 2 a. 75 cm b. 60 cm 2 2 c.30cm d. 17 cm

,~ x+7

il?7-_ _ _ _ _ _ _ _"'I'·

18. Zadatak. (2012-1) Zadane su duljine dužina AB, BD i BC pravokutnika kako je prikazano na skici.

. 3)

Kolika je površina pravokutnika? 2 2 a. 16.86 cm b. 19.61 cm

:".3 r1ll

CI1l

li

C. 30.72 cm 2

D. 43.99 cm

19. Zadatak (2010-3) Na slici je prikazan kvadrat kojemu je stranica duljine a . Na stranicama kvadrata označena su polovišta. Kolika je površina osjenčanoga dijela kvadrata? a2 a2 a 2 .J2 b.c.-a.3

z

z

20. Zadatak Iz jednog je vrha kvadrata povučena dužina od 15 cm koja taj vrh spaja s polovištem jedne od nasuprotnih stranica. 2 Površina kvadrata u cm je a. 180 b. 225 c. 450 d. 540 21. Zadatak Kolika je hipotenuza 2 trokuta površine 9 cm ?

jednakokračnog 15m

.....,

22. Zadatak. (2012-2) Koliki je 15 nl opseg zemljišta na slici ako stranice u kvadratnoj mreži imaju duljinu 15 m? (Napomena: odgovor je zaokružen na najbliži cijeli broj.) a. 333 m

b. 335 m

pravokutnog

l [)

!

I

I

I

I

.r .

,

1\

I

\i

'-.

I .1

c. 337 m

I

I

.--_.

I

!\

d. 339 m

li

2

TRINOM d.o.o.

34

<:o:>



TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr 4m

A

25. Zadatak: Hipotenuza pravokutnog trokuta dulja je od jedne katete za 0.2, a od druge katete za 0.4. Duljina hipotenuze je a) 1 b) 0.2 c) 1.3 d) 0.8

23. Zadatak Koliki su opseg i površina osjenčanog četverokuta ABCD sa slike? 1.6 m

26. Zadatak: Opseg jednakokračnog trokuta osnovice 36 cm je 96 cm. Kolika mu je površina? 2 2 2 2 a) 234 cm b) 324 cm c) 342 cm d) 432 cm

D?j2.liljl·.;:;:;:C.

7cm

"m~

~

24. Zadatak: Odredite površinu i opseg lika sa slike lijevo.

27.Zadatak: Izračunaj opseg jednakokračnog trokuta ako mu je osnovica 40 cm, a krak je za 8 cm duži od visine na osnovicu. a) 56 cm b) 64 cm c) 98 cm d) 112 cm

10cm

TEOREM: Samo za jednakostranične trokute vrijedi (to su trokuti kojima su sve tri stranice iste duljine):

a)

0

b)

sva tri kuta imaju 60 simetrale kutova su istovremeno i simetrale stranica i visine na stranice i težišnice trokuta

c)

površina ovog trokuta

računa se po formuli P = a • J3 , a njegova visina po formuli 2

4

28. Zadatak. (2012-2) Površina jednakostraničnog trokuta je 31.3 2 cm • Kolika je duljina stranice tog trokuta?

aJ3

v=

2

b)D

30. Zadatak: Izračunaj promjenu visine (v) kuglice.

.)~ '6°

29. Zadatak: Udvostručimo li stranicu jednakostraničnoga trokuta, njegova površina će se povećati a) 2 puta b) 3 puta c) 4 puta d) 5 puta

GO°

1rn

-

_

-

-

-

-

-

)

- . ~,'"

I

..___ -- J:11

-"

e

. _.' .

= _______

:u-

:

..1

\m TEOREM: (o površini bilo kakvog trokuta) Površina trokuta kojem je zadana jedna stranica i visina na tu stranicu

računa se po formuli P = a· va . 2

Za posljedicu imamo da svi trokuti sa slike imaju istu površinu ako su pravci na kojima se nalaze točke paralelni: 32. Zadatak :* Odredite površinu 31. Zadatak. (2011-3) trokuta ABC na slici. Odredite površinu trokuta I l.r : I I I ABC y prikazanog -t~-t- ---t--i--t-i-

rr-rr-rT

-+--+---:i I I

na slici.

l

A

.+-+-~.I I

33. Zadatak :* Kolika je površina trokuta ABC na slici? A

y

e

a

A

B

34. Zadatak: (2011-2) Odredi površinu četverokuta KLMN prikazanog na slici.

:r :~cFt=r~ ;---r--rr -r--

1

-1

x

e

++--+-+-H,jj 35. Zadatak. (2013-1) Koliko kvadratnih jedinica iznosi površina strjelice prikazane na slici?

,

36. Zadatak: (2011-1) Oblik igrališta ucrtan je u koordinatni sustav. Koordinate točaka zadane su u metrima. a. Koje koordinate ima točka J ? b. Koliko metara iznosi najkraći put od točke N do točke J ? c. Kolika je površina dijela igrališta određenoga točkama JMN?

I I

:

37. Zadatak. (2013-2) Nacrtani su usporedni pravci

p i q i po dvije točke na

svakome od njih. Koja je tvrdnja točna za površine trokuta ABC i ABD prikazanih na skici? e

:.1/::

y

"?'-"'!-'-""""'!-'--i'--t---i-

"i _.-t-_. ---t---

---+---t--

/

i -,..--i 10 --"'T--_.. i :: ....,.: ----:-----7"-: : ::

o

!!

a.13 b. 14 c. 15 d. 16

!

:: I

I

i .-.

-_.~

;

/

~ x

A--r---r--

__..J_ ... _-i.. .. _ .... J. .....

;

;

;

A

= 0.5 . PABD c. PABe = 1.5 . P ABD

a.

Zadaci za napredne: TEOREM: Površina trokuta kojem su zadane duljine stranica a, b, c računa se po formuli P!lABC =

~s(s -aXs ~b Xs ~c)

,

s= a+b+c

38. Zadatak: Površina trokuta iznosi 472.5 cm Duljina najkraće stranice je: a) 17 cm

2

2 ,

poznatoj pod imenom Heronova formula.

a stranice mu se odnose kao 17:25:28. b) 25 cm c) 25.5 cm

b.

PABe

d) 28 cm

39. Zadatak: Duljine stranica trokuta su a=43, b=61 i c=68. Odredi duljinu visine trokuta na stranicu a.

d.

PABe

PABe

= PABD

= 2 . PABD

TRINOM d.o.o.

35

4;>



TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

Cl ČETVEROKUTI (četverokuti

Konveksni četverokuti kojima je svaki unutarnji kut manji od 180°)

Formula za površinu bilo kojeg

između

dijagonala e i /

I I trapezi

I

paralelogrami

I

I

I

ostali

./ ./

p

četverokuti

I

I

dijagonale im se raspolavljaju imaju 2 para paralelnih stranica zbrOj kutova uz bilo koju stranicu je 180° nasuprotne stranice imaju iste duljine P =a'v, v je visina paralelograma

./

je ct> kut

I

I ./ ./ ./

čemu

je

e· f ·sinrp , 2

p pri

četverokuta

(NIJE U KATALOGU ZA B RAZINU)

= a . b . sin a, a je kut između stranica a i b

./ ./

imaju 1 par paralelnih stranica zbroj kutova uz isti krak je 180°

./

p= (a+c)'v, v je visina trapeza 2

Nemaju paralelne stranice

I paralelogrami s dodatnim svojstvima I pravokutnici ./ ./ ./ ./

./ imaju okomite stranice ./ za stranice a i b te dijagonalu d vrijedi

d2

I rombovi imaju sve 4 stranice jednako dugačke dijagonale su im međusobno okomite dijagonale su simetrale kutova romba za dijagonale e i/te stranicu a vrijedi

(fr +(;f

= a 2 +b 2

I

=

a2

J

I

kvadrat je i romb i pravokutnik

1. Zadatak. (2010-2) Pod površine 15 mZ treba popločati pločicama

kvadratnoga oblika stranice duljine 32 cm. Pločice se prodaju isključivo u paketima. U jednome paketu je 12 pločica. Koliko najmanje paketa treba kupiti da bi se popločio pod? a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 2. Zadatak. (2013-2) Skica prikazuje tlocrt prostorije čiji su svi kutovi pravi i čije su dimenzije a =12m, b = 7 m i x =1.5 m. Visina prostorije je 2.7 m.Koliko će koštati bojanje zidova te prostorije 2 ako bojanje jednoga m košta 10 kn?

3. Zadatak :* Stranica pravokutnika na karti mjerila 1:50000 iznose 1.5 cm i 2 cm. Kolika je površina koju taj pravokutnik predočuje u prirodi? 2 2 a. 150000 m b. 300 000 m 2 2 c. 600000 m d. 750000 m povećati stranicu kvadrata a=10 cm da bi se njegova površina povećala za 125%? a) 25% bj 50% cj 75% dj 100%

4. Zadatak: Za koliko postotaka treba

5. Zadatak: Opseg je pravokutnika 28, a duljina njegove dijagonale 10. Odredi duljine stranica pravokutnika.

6. Zadatak :* Opseg paralelograma na slici je 80 cm. Visina na dulju osnovicu je 12 cm. Površina mu je: 2 2 a. 276 cm b. 144 cm 2 2 c. 138 cm d. 84 cm

x

1

n

L -______________________________

~

---------------------------------------------

a. 513 kn

b. 715.50 kn

c. 1026 kn

d. 1228 kn

C/1

= _______________

Zadaci za napredne: 8. Zadatak: Kut među stranicama romba je 60°. Ako je kraća dijagonala romba 7cm, koliko je dulja dijagonala? 9. Zadatak: Površina romba je 120 cm

2

,

a duljina jedne dijagonale 0.1 m. Koliki je opseg romba?

10. Zadatak: Površina romba je 5, a duljine njegovih dijagonala se odnose kao 2:1. Koliki je opseg romba?

ll. Zadatak:

Povećamo

e

7. Zadatak. (2010-1) Zadani su paralelogram ABCD i pravokutan trokut CEF . Kateta EF je 7 puta kraća od stranice AB . A /I F Jo" Površina trokuta CEF iznosi 12 cm z, a kateta CE je 5 cm. Kolika je duljina stranice AB , a kolika površina paralelograma ABCD? Odgovor: IABI = cm PABCD cm Z

li jednu dijagonalu romba za 50%, a drugu smanjimo za 50%, što će se dogoditi s površinom romba?

TRINOM d.o.o.

36

~



www.trinom.hr

Dl KRUŽNICA I KRUG Kružnica je skup točaka ravnine koje su jednako udaljene od iste, zadane točke koju zovemo središte kružnice. Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. I krug i kružnica zadaju se pomoću središta i polumjera (radijusa).

DEFINICIJA:

sekanta

D

tetiva

E

Dužinu koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom na kružnici zovemo radijus ili polumjer. Pravac koji kružnicu siječe u dvije točke zovemo sekanta. Odsječak tog pravca unutar kružnice zovemo tetiva (to je dužina kojoj su krajevi dvije točke s kružnice; na slici DE ). Pravac koji kružnicu dodiruje u jednoj točki (koju zovemo diralište) zovemo tangenta. Dio kružnice omeđen dvjema točkama zovemo kružni luk. Na slici je označen s d. Dio kruga omeđen kružnim lukom i radijusima koji su povučeni u krajnje točke luka zovemo kružni isječak. Kut pri vrhu tog isječka (na slici kut a) zovemo središnji kut.

B

g

TEOREM: Radijus povučen u diralište kružnice i tangente okomit je na tangentu. Simetrala bilo koje tetive kružnice radijusa prolazi središtem kružnice. 1. Zadatak: Odredite polumjer SB kružnice sa slike desno. a.

Fa

b.8

c.

AA

d.25

2. Zadatak: Kolika je udaljenost središta kružnice radijusa 10 cm do tetive koja je duga 12 cm? TEOREM

Opseg kružnice računa se po formuli O

s

= 2r1C .

Površina kruga računa se po formuli P =

r2" .

3. Zadatak: Opseg kruga je n. Kolika mu je površina? 4. Zadatak: Promjer kotača bicikla je 80 cm. Koliko se puta taj kotač okrene na putu dugom 5 km?

7. Zadatak. (2013-2) Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze. Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm? poveća

5. Zadatak. (2013-1) Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug. Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 188.50 m. Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 1.56 m? Napomena: Lijevi kotač bliži je središtu kružnoga toka od desnoga kotača. a. 198.30 m b. 201.06 m c. 263.54 m d. 272.07 m

8. Zadatak: Ako se površina kruga poveća njegov opseg?

4 puta, koliko se puta

6. Zadatak. (2012-1) Jedan krug ima dva puta veći opseg od drugog kruga. Koliko mu je puta površina veća od površine tog drugog kruga? a. dva b. tri c. četiri d. devet

11. Zadatak: Oko pravokutnika čija je jedna stranica 15 opisana je kružnica promjera 25. Koliki je opseg pravokutnika?

9. Zadatak: Ako se promjer kruga smanji za 25%, za koliko se smanji njegova površina? 10. Zadatak :* Na zemljovidu mjerila 1:50000 polumjer kruga iznosi 1.5 cm. Kolika je površina koju taj krug predočuje u prirodi? a. 1.1 km 2 b. 1.8 km 2 c. 2.4 km 2 d. 3.5 km 2

12. Zadatak: Kolika je površina kruga opisanog

jednakostraničnom trokutu površine 12/3?

Zadaci za vrlo napredne:

Kut kojeg zatvaraju dvije tetive kojima je jedan kraj zajednički zove se obodni kut. Nad istim lukom kružnice postoji beskonačno mnogo obodnih kuteva. Za njih vrijedi sljedeći supervažan TEOREM:

C::>Svi su obodni kutevi nad istim lukom jednaki. C::>Pripadni središnji kut dvostruko je veći od obodnog kuta.

KOROLAR: (Talesov teorem o obodnom kutu nad promjerom) C::>Obodni kut nad promjerom je pravi! KOROLAR: (Obrat Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom) C::> Središte pravokutnom trokutu opisane hipotenuze je u polovištu hipotenuze.

13. Zadatak: Zbroj obodnog i njemu pripadnog središnjeg kuta iznosi 213°. Koliki je središnji kut? 14. Zadatak: Polupravac eA je tangenta kružnice. a.

Odredite mjeru LABe.

b.

Odredite mjeru LASD .

15. Zadatak: Pravokutnom trokutu ABC opisana je kružnica (vidi sliku desno). Ako je LABC=400 , koliki je LASC?

e

A ~--"--'--~ B

16. Zadatak: Duljine kateta pravokutnog trokuta su 6 i 8 cm. Koliki je opseg kružnice opisane tom trokutu? C~

______

=-~~

___

17. Zadatak: Pravokutnom trokutu opisana je kružnica polumjera 13 cm. Ako je duljina jedne katete 10 cm, koliko je duljina druge katete?

TRINOM d.o.o.

37

~



www.trinom.hr

S.2. Stereometrija (Geometrija prostora). PRIZME Prizma je tijelo omeđeno sa 2 paralelna sukladna mnogokuta koje zovemo bazama (ili osnovkama) te sa 3 ili više parelelograma. Prizme najčešće crtamo tako da stoje na bazi dok su paralelogrami postavljeni bočno pa ih zovemo pobočkama. Sve pobočke zajedno zovemo pobočje ( neki to zovu i plašt). Prizme dobivaju imena po broju stranica mnogokuta kojeg imaju za bazu. Slike koje slijede prikazuju različite trostrane prizme. Volumen (obujam ili zapremina) bilo koje prizme računa se po formuli V Oplošje (površina) bilo koje prizme računa se po formuli 0= ZB

Kosa prizma-pobočke su pravi paralelogrami. Bočni bridovi nisu okomiti na bazu. Najčešće

+ P,

= B· v, pri čemu je B površina baze, a v visina prizme.

pri čemu je B površina baze, a P površina pobočja.

Uspravna prizma- pobočke su pravokutnici. Svi bočni bridovi su okomiti na bazu.

Pravilna prizma- uspravna prizma koja u bazi ima jednakostraničan mnogokut. Pobočke su jednaki pravokutnici.

Kvadar

Pravilna trostrana prizma

prizme i njihove formule:

Kocka

e

a

v

d

V = a2.J3.v

a d=

a.J2

V = abc 0= 2ab+2ac+2bc

D = a.J3 1. Zadatak. (2011-3) Koliki je obujam

a. 40 dm c. 400 dm 3

b. 62.5 dm

d. 625.5 dm

I I I

2

D = 'lJa + b + c

4 2 a .J3 O=--+3av 2

2

a) 1336 cm

2

b) 1436 cm

2

c) 1536 cm 2

d) 1636 cm

2

I I

8dm

3

2

4. Zadatak: Dijagonala kocke iznosi 16/3 cm. Oplošje te kocke je:

(volumen) uspravne prizme prikazane na slici? 3

I

I I I

5. Zadatak:

I

će

I I

3

2. Zadatak :* Baza uspravne

:

I t!>'_ ... - -

•• ··500 cm2

četverostrane

prizme je kvadrat čija je duljina stranice 10 cm. Duljina visine prizme je 12 cm. Koliko je njezino oplošje? 2 a. 88 cm z b. 240 cm c. 680 cm z d. 1200 cm z 3. Zadatak. (2010-2) Slika prikazuje kocku i kvadar.

6em

Povećamo

se povećati za a) manje od 30%

b) 30%

c) 33.1%

d) više od 34%

Plastična posuda oblika kvadra napunjena je vodom. Stranice su duljine 25 cm, 20 cm i 18 cm. Koliko je lit vode u posudi? a) 90 litara b) 16.2 litre c) 9 litara d) 1.62 lit

6. Zadatak :*

7. Zadatak (2011-1) Za kvadar na slici izračunato je oplošje O, obujam (volumen) V, dijagonala d strane BCGF i prostorna dijagonala D. Što je pogrešno izračunato? a. 0= 192 cm z b. V 144 cm 3

= c. d = 5 cm

Kocka i kvadar sa slike imaju: a. isti obujam i isto oplošje b. isti obujam i različito oplošje c. različiti obujam i isto oplošje d. različiti obujam i različito oplošje

li svaki brid kocke za 10%, njezin voluman

d. D

" 3em

fl

12 ern

/I

= 12 cm

8. Zadatak. (2012-2) Pločicama kvadratnog oblika duljine stranice 20 cm popločano je dno i sve bočne strane bazena. Bazen je oblika kvadra dimenzija 50 m x 25 m x 2.6 m. S koliko je pločica bazen popločan? A. sa 16 000 B. s 32 250 C. s 41 000 D. s 81 250

~

TRINOM d.o.o.

38

TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr 9. Zadatak. (2010-1) U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje

b.

a.

poveća

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode? (Napomena: 1 litra = 1 dm 3 .) Odgovor: _ __

led oblika kvadra dimenzija 3.5 cm x 3 cm x 2 cm. Pri smrzava nju obujam vode



se za 5%.

10. Zadatak: Baza uspravne trostrane prizme je trokut sa stranicama 17, 25 i 28, a visina prizme je 20. Oplošje te prizme je a) 1820 b) 1660 e) 1510 d) 1420

Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda? Odgovor: _ _ _ _ _ _ _ _ em 3

PIRAMIDE Piramida je tijelo omeđeno jednim mnogokutom kojeg zovemo baza i gomilom trokuta koje zovemo pobočkama. Sve pobočke zajedno zovemo pobočje ( neki to zovu i plašt). Piramide, baš kao i prizme, imena dobivaju po broju stranica mnogokuta kojeg imaju za bazu. Na prvim dvjema slikama su četverostrane piramide, a na trećoj trostrana.

B·v 3

Volumen (obujam ili zapremina) bilo koje piramide računa se po formuli V = - - , pri čemu je B površina baze, a v visina piramide, Oplošje (površina) bilo koje piramide

Kosa

piramida-bočni

računa

bridovi nisu jednaki!

= B + P , pri čemu je B površina baze, a P površina pobočja.

se po formuli O

Uspravna piramida- bočni bridovi su jednaki! Svojstva uspravne piramide: 1. Nožište vrha je središte bazi opisane kružnice. 2. Kutovi koje bočni bridovi zatvaraju s bazom su jednaki.

Najčešće piramide i njihove formule: Pravilni tetraedar brida a

Pravilna

1 a

Pravilna piramida- uspravna piramida koja u bazi ima jednakostraničan mnogokut.

četverostrana

piramida

.J3

2

1 2

V =-a ·v

V=-'--'v

3

3

4

2

0=4. a

2 a·h O=a +4·-2

.J3

4 a-kut

između pobočke

a-kut

i

između pobočke

i

baze

baze

~-kut između bočnog

~-kut između bočnog

brida

i baze

brida i baze 11. Zadatak :* Baza uspravne četverostrane piramide je kvadrat duljine stranica 6 cm? Duljina visine piramide je 10 cm. Koliki je obujam (volumen) te piramide? 3 3 3 3 a) 60 em b) 120 em e) 360 em d) 600 em

14. Zadatak: U pravilnoj četverostranoj piramidi brid osnovice je duljine 8, a brid pobočke duljine 10. Volumen piramide je

12. Zadatak: Za koliko će se postotaka povećati obujam pravilne, uspravne, četverostrane piramide čija je osnovka kvadrat, ako se stranica osnovke a=5 poveća za 1 cm, a visina v=3 poveća za 2 cm? a) 120% b) 130% e) 140% d) 150%

15. Zadatak: Obujam uspravne piramide, čija je osnovka kvadrat, iznosi 128, a duljina stranice osnovke je 8. Kolika je duljina brida te piramide?

a) 128.JU

a)

13. Zadatak: Koliki je volumen pravilne četverostrane piramide brida 6 dm ako su joj svi bridovi iste duljine? a) 36.fi dm

3

b) n.fi dm

3

e) 108.fi dm

3

d) 216.fi dm

b) 512

3

3

.J67

e) 130

d) 40.jl9

3

b)

.J68

e)

J69

d)

.fiO

TRINOM d.o.o.

39

~



www.trinom.hr

ROTACIJSKA TIJELA ANALOGIJA IZMEĐU PRIZME I VAUKA: Volumen (obujam) valjka računa se po istoj općoj formuli kao i volumen prizme: V *Oplošje (ukupna površina) valjka

računa se kao i kod prizme po formuli

= B . v, pri čemu je B površina baze, a v visina valjka. ~čemu je B površina baze, a P površina plašta.

ANALOGIJA IZMEĐU PIRAMIDE I STOŠCA:

B·v 3 + p , pri

Volumen (obujam) bilo kojeg stošca računa se kao i kod piramide po formuli V = - - , pri čemu je B površina baze, a v visina stošca. *Oplošje (ukupna površina) stošca računa se kao i kod piramide po formuli

je B površina baze, a P površina plašta.

KUGLA

STOŽAC

VAUAK

čemu

IV/r-~~ --' '\ \-

II -----~L

(

/i3a-;;S\ B=r2rr

!

\

I

r

_fL_

KUGLA - sa središtem O i polumjerom R je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od O manja ili jednaka R (taj je pojam analogan pojmu kruga u ravnini). Kugla je omeđena sferom polumjera R-skupom točaka ravnine kojih je udaljenost od središta jednaka R.

I

/ / Plašt Plašt

P=2mv

P=rrrs

(

!

\

)

//~

\

\

V

s/ /

"'." j / V

"..

, /

*Oplošje kugle jest Obujam kugle je

1 2 V =-r Jr·V

3

*NAPOMENA: Oplošja rotacijskih tijela ne ispituju se na osnovnoj razini mature. VAUAK 3 16. Zadatak. (2013-2) Koliko litara (L) vode stane u posudu oblika valjka čija je visina 15 cm, a promjer baze 9 cm? (Napomena: 1 L =1 dm ) a. 0.424 L

b. 0.954 L

c. 4.241 L

d. 9.543 L

17. Zadatak. (2013-1) Šalica u obliku valjka napunjena je vodom do pola visine. Koliko je decilitara vode u šalici ako joj je visina 10 cm, a 3 polumjer 5 cm? (Napomena: 1 litra = 1 dm ) a. 0.16 dl b. 0.39 dl c. 1.57 dl d. 3.93 dl 18. Zadatak: 1.5 litara vode treba uliti u valjkastu posudu promjera 20 cm. Kolika je visina vodenog stupca? a) 4.8 cm b) 0.45 dm c) 2.3 dm d) 5 cm 19. Zadatak: Opseg pravokutnika je 20, a stranice mu se odnose kao 3:2. Rotacijom tog pravokutnika oko manje stranice nastaje obrtno tijelo volumena: a)100n b) 144n c)130n d)24n 3

20. Zadatak: Komad leda volumena 1 dm stavimo u lonac oblika valjka polumjera baze 1 dm i rastalimo. Ako se prilikom taljenja volumen leda smanji za 10% koliko približno će biti visina vode u loncu? a) 2.86 cm b) 3.18 cm c) 3.51 cm d) 3.82 cm 21. Zadatak: Koliko vode možete uliti u vertikalno postavljenu posudu kvadratičnog oblika presjeka (a=10 cm, v=20 cm) ako u njoj uspravno stoji šipka promjera 4 cm i visine 30 cm? a) 1.520 I b) 1.623 I c) 1.680 I d) 1.749 I 22. Zadatak: U čašu oblika valjka s promjerom osnovice 7,5 cm i visinom 8 cm do pola napunjenu vodom ubacimo 20 novčića od 2 kn (svaki promjera 25 mm i debljine 1.8 mm). Za koliko se podigla razina vode u čaši? a) 18 mm b) 4 mm c) 7 mm d) 8 mm

TRINOM d.o.o.

40

~



www.trinom.hr

23. Zadatak: Ako je r polumjer baze stošea, a) 12% b) 24%

povećanje

STOŽAC polumjera za 12% dovodi do e) 25%

povećanja

baze stošea za: d) 25.44%

24. Zadatak: Kikiriki se na utakmicama prodaje u papirnatoj ambalaži oblika stošea (vrh dolje, otvorena baza gore). Koliko decilitara kikirikija stane u tu ambalažu ako je ona visoka 15 cm, a na najširem dijelu ima 10 cm? a) 39.2 dl b) 3.5 dl e) 3.92 dl d) 0,392 dl 25. Zadatak: Stožac ima obujam 96rc i visinu 8. Koliko je izvodnica tog stošea? a) 10 b) 12 e) 14

d) 16

26. Zadatak: Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta je 5 cm. Odredi volumen tijela koje nastaje rotacijom tog trokuta oko katete duljine 4 cm. a)10n b)12n e)14n d)16n

KUGLA 3 27. Zadatak. (2012-2) Promjer kuglice je 2.2.10- 10 m. Koliki je obujam te kuglice izražen u mm ?

a. 5.575 . 10- 39 28. Zadatak :*

b. 3.801 . 10- 29

e. 5.575 . 10- 21

d. 3.801 . 10- 14

3

a) Metalna kugla ima obujam 2881Z' em . Koliki joj je polumjer? b) Kuglu promjera 5 cm treba pretopiti u valjak. Ako će polumjer baze valjka biti 4 cm, odredite visinu valjka zaokruživši rezultat na dvije decimale.

29. Zadatak: Kolika je najmanja duljina vrlo tankog užeta kroz kojeg, kad mu spojite krajeve, možete provući kuglu volumena 0.1 m ? a) >1.8 m b) 1.71 m e) 1.54 m d) 1.45 m e) <1.4 m 3

30. Zadatak: Kugla promjera 10 cm a) 10 b) 10n

načinjena

je od plastelina. Koliko se kugli promjera 1 cm može napraviti od te količine plastelina? e) 100 d) 100n e) 1000

FORMULE KOJE SE KORISTE NA MATURI

= a m+n am: an = a m- n (a *' O) (a *' O) • a-m =.2.. am • (a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b Z • aZ - b Z = (a - b)(a + b)

• •

am. an

• •

Kvadratnajednadžba: ax z

• • • • B

Tjeme parabole: T

(_..!!..., 4aC-b Za 4a

p ovrsma tro kuta: p v'

+ bx + e = O,

a

*' O ~

2

Xl,Z

= -b±.)bZa -4ac

2 )

a'Va = -z-,

Površina paralelograma: P Površina kruga: P = rZrr:

=a .v

Opseg kruga: O = 2m:

= površina osnovke (baze), P = površina pobočja, h = duljina visine, r = polumjer • Obujam (volumen) prizme i valjka: V = B . h • Obujam (volumen) piramide i stošca: V = ~ B . h 3 • Obujam (volumen) kugle: V = ~r3rr: 3 • Oplošje prizme: O = 2B + P •

Oplošje piramide: O = B

+P

•

Jednadžba pravca: Y - Yl

= k(x -

•

Uvjet usporednosti pravaca: k j =k2

Xl)'

1R'N~

I KiNOM 0.0.0. ';;' pripreme za drzavnu maturu I prijemne ISpITe


41

TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

www.trinom.hr

I. ladatci višestrukoga izbora U sljedećim zad3tclrna ,;:med'u četirijU pcmud'enih trebate od3iJr3ti Jed,311 odgo',or. Odgovore obdJeži1e :n3Korn i obve::nc !I~l prepišite flG list::o cdgo',.'ore p13Von111! crnom kemijskom olovkom. U zao3tcim3 od 1. do 12. točan odgo.'or donosi Jed3n lJod, 3 II z3datcim3 od 13. do 16. dva l)od3.

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja

1.

A, :'

Koja je nejedniJkost točniJ?

~-+

B,

_

- 3 11 c, -..,

•

;:.

~

A.

3.

Koliko je

x

x

l

l

.s'

4.

Koji. je 'illerv'iJl SKUP svih . rješen]' a' neiednadžbe ~

DRŽAVNA MATURA

A,

(1. rok) svibanj 2012.

5. LJ

-:;:.-8

B,

1

~

~

8

~~

Odredite vrijednost nepoznanice

rješenju sustave

..;

-.::. ..:... I

UPUTE

'x-3r=~a

C,

x

~-

D,

l-~a

B,

X=

c.

X= ~a-~

D,

.1'=~a-l

,

)-2

2:; B,

2}

Ispred svake skupine zadataka je uputa za njihovo rješavanje. Pozorno ju Za

račun

pročitajte.

rabite list za koncept koji se ne

će

c.

y

bodovati.

Olovku i gumicu možete rabiti samo na listu za koncept i kod crtanja grafa. Na listu za odgovore i u ispitnoj knjižici pišite

isključivo

kemijskom olovkom plave ili crne boje.

Rabite priloženu knjižicu formula. Kada riješite test, provjerite odgovore.

«N~ ~ ~ do~,

LI;!' ~ ~!,;.t it ~ ~.»

.

za sve y za koje je izraz definiran?

~x-r=1

stranicu i ne rješavajte test dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Nalijepite identifikacijsku naljepnicu na sve ispitne materijale koje ste dobili u omotnici.

5

S·-x,!

Što je rezult;:.'lt sređivanja izraza

A, .1'= 3-211

Ispit traje 150 minuta bez prekida.

,-,

')

.rs I 6.

1

8

3x -.!..::.. ~ - x?

A

Pozorno slijedite sve upute. okrećite

~'

D. x=I-

C, y= -'--I

3.Et:5~~

x=I-2.,

l'

osnovna razina

Ne

B.

A, .-_--~l> x _) l

akoje :;-+'4=1?

-+

B, 38.25% C. 3.32.5':'<:' D. 3e25'::<1

2. ':emu je jednak broj 0.3.'325 iJko giJ ziJpišemo kiJO postotak?

MATEMATIKA

D , ')7_ c.

D,

,1-2 2.1'

--+

iiN~

TRINOM d.o.o.

42

~

TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

www.trinom.l1r

r-



7. Koje dvije istaknute

točke

na slici pripadaju pravcu čija je jednadŽba 7x-8y-4 = O?

14. Zadane su duljine dužina .....

AB, BD j BC ~.--

.., ..

pravokutnika kako je prikazano na skici.

,~---'"'

•

•

Kolika je povrŠina pravokumika? : ,'I!,

;!"!ll

A. 16.86 cm" B. 19.6! cm"

x

C. 30.72 cm" fl

: .. "1'

•

B. C.

točke

56 plavih i 6 žutih, a drugi dan 12 plavih j 37 žutih ukrasnih kamenčića. Qba je dana platila po 400 kn. Za koliko se kuna razlikuju cijene plavog i žutog kamenčića?

L iN

točkeMiK D. točke NiM

g<> B. 12° C. 19°

A.

8. Mjera jednog kuta trokuta iznosi 138·, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 2:5. Kolika je mjera manjeg od tih dvaju kutova?

D. 21" A. 9.1094·10-34 grama B. 9.1094.10-'.13 grama 31

9. Masa elektrona je 9.1094.10- kg. Koliko je to grama?

C. 9.1094·10-1.9 grama D. 9. 1094· lO-lli grama

10. Cijena kišoiJrana povećallaje 20%, a potom snižena 30% i sadJ stoji 126 kn. Ko!iKa je bila početna cijena?

11. U jednome razredu petina je

učenika dobila ocjenu odličan, trećina vrlo dobar.

tri desetine dobar, a desetina dovoljan. Dva su učenika dobila negativnu ocjenu. Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan?

12.

13.

Jedan krug ima dva puta veći opseg od drugog kruga. Koliko mu je puta površina veća od povrŠine tog drugog kruga?

a = 2.i - ");,

kn kn kn kn

C. za 2.60 kn D. za 2.75 kn

16. Koja slika prikazuje kvadramu funkciju f(x) = ax1 + bx + e, kojoj je diskriminanta negativna i koeficijent e pozitivan?

~y

A··~'-r-·>

A, 140 B. 144 C.1S0 D. 154

B.

~. c;{\

. t ..

D.

~\

II. Zadatci kratkog odgovora U sljedećim zadatci ma upišite o,dgoYor na predviđeno mjesto plavom ili cmom ~~emijskom olovkom. Za račun rabite list za koncept Ne popunjavajie prostor za bodovanje.

C,7 D. ti

17. Litra Super pius benzina za automobile stOji 8.17 kuna.

A. B. C. D.

Koliko će Petar platiti ako je utočio 35.15 litara Ll spremnik svojeg automobil.,?

dva tri četiri

Odgovor:

devet 100

18. Izmzu

kuna

lipa

a..,. 3b doda se udvostručen izraz a - 4b . Što je rezultat nakon sređivanja"!

9

b=46J'~,

e

:)

=I-~ .121-1

B. 20 C.

Koliko iznosi umnožak brojeva

a

i ( uvećan za broj

ll?

>

A. 5 B.6

A,

Zadana su tri broja.

A. za 2.30 kn B. za 2.4S kn

15. Darija je dva dana kupovala ukrasne kamenčiće za ogrlice. Prvi je dan kupila

A. točkeKiL

•

D. 43.99 cm"

Odgovor: __________

92 3

O. 36

«NUM ~ ~ dc~.

19.

•

.

2.\'-1 2

X"

-1

Ri}esite jedn adZbu - - = - - .

ll;l- N
x

Odgovor:

x = _________

a..

~

I

1R'N~

43

www.trinom.hr

I(J.NOM a.o.o. ~ pripreme za drzavnu maturu I priJemne ,sp'Te UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333 333 ---

~

20. Navedite sve cijele i)roje\·e iz mtervCll3 ~ -~. 3> .

25. Zadan je broj m = !O":

Odg.ov.or: _______..

21, Line3m3 funkcl!,3 ZJd3n:.; je sljedećom t3blicol11 ..

I f:') I : I : I : Koju vrijednost im;) tJ funkcij:l Z3

-I

25.1. Koliki je broj ~, ako je ,,:" = -13 7 (Rezultat z30kružite Q36 .

22. Odredite .oba rjei\enj3 jedn3d:be 5x = 2;:'.

-Y~

Odgovor: _ _ _ _ _ __

23. Riješite

sljedeće

d'JI)edecimale.

()dgOVCL _ _ _ _ _ _ _• _ _ __

25.2. Koliki je broj k, ak.o je

fil

=

10007

Odgovor: k = ____.______

Odgo',.or: x

x = 8')

!l3

= 26. Radi.onica tijekom prmZVOdl1J8 ima mjesečni trošak .od 30[) kun3 I za sV3ki proizveden: 3rtikl trošak od 1.50 kun3.

zad3tke ..

Nacrtajte graf zadan jednadžbom

y =~X+3.

Nacrtajte graf zadan Jednadžbom

y = _x

2

26.1. Koliki je trošak im31a mdionic3 ako je jednog mjeseca proizvela 1300 ;:.uiikala 7

.... If\ Odgovor:

_ _ _'L, I

'l

26.2. Koliko je najmanje artik;:;ia radionica proi::vela ako je

.---'--

radionice bio veĆi od :2 900 kuna?

'-~ x

Odgovor: ______.________

tekućmu su bareli i g310ni. \;'ez3 medu njin'3 dal13 le formulom 100 galona = 3.1746 barel3. Koiiko je bmel31 300 1;;310n3 7

24 ..AmerH;ke mjere za

Odg.ov.or:

b3reia

Koliko Je galona dVije trećine b3rel3?

Odgov.or:

kn

galon3

«N~ ~ ~ do~.

LIJ' ~ ~ ~ it ~ ~.))

mjeBečn, trošak

i;N~

TRINOM d.o.o.

44

~



www.trinom.hr

27.

Gustoća naseljenosti nekog područja definira se kao omjer broja stanovnika Koji živi na tome području površine tog područja.

e

28. Na dijagramu na osi x prikazane su toH(e strujnog kruga A, B, D, E, a na osi y prikazani su potencijali u tim točkama izraženi u voluma (\/).

27.1. Površina r~opnenog dijela Republike Hrvatske iznOSi 56 542 km:. Središnja Hrvatska zauzima trećinu kopnenog dijela. Na torne podru,::ju .živi 2.11~ milijuna stanovnika. Kolika je gustoća naseljenosti Središnje Hrvatske? (Rezultat zaokrui:ite na najbliži cijeli broj.)

()dgovo-r:

.~

•

•

•

,

st;:movnika1km:

•

•

27.2. Grad ima 310 DOO stanovni~;a. a gustoća naseljenosti mu je 2160 stanovnikafkm:. Kolika je površina tog grada? (Rezultat zaokružite na dv;je decimale.J

• Odgovor:

•

km:

,I':

.-"" l,-

II tl,'

27.3. Grenland s 57 000 stanovnika j površinom od 2 175600 km':: je zemlja s najmanjom gustoćom stanovništva. Površina Islanda je '103 C{IO km:. a gustoća naseljenosti mu je118 puta veća od gustoće naseljenosti na Grenlandu. KoHko je stanovnik.a na Islandu?

,'111]

'I

'"

I"

Napon između dviju točaka strujnog kruga jednak je razlici potencijala promatranih točaka. Odgovor:

stanovnika

28.1. Koliko volti iznosi napon

između točaka

Odgovor:

28.2.

Između

iF?

V

kojih dviju točaka strujnog kruga je napon jednak 60 V?

Odgovor: _ _ _ _ _ _ __

«NUM ~ ~ do~.

e

LI/, -.u. ~ ~ tt ~~.»

F i G,

TRINOM d.o.o. ~ pripreme za državnu maturu i prijemne ispite

45

URED i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

www.trinom.hr

TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

RJEŠENJA ZA ZADATKE IZ MATEMATIKE CJELINA 1.1. 1. e 18. 2. b 19. 3. e 20. 4. d 21.

CJELINA 3.1. d d 1. b) 7 .8 3 , a 2. (2,0), (0,-3) e)3" d 3. b 23. a e 4. 24. a)l, b)-sO/7, 5. d 22. d 0.005 5. e)1/4s, d) 3, 6. a)K(600,2s0) 6. b 23. 4 e) a/(3b ) b)1400 m 7. e 24. e f) (ab/2)' 8. e 25. e)122.80 m 25. a)2 15 9. d 26. e 7. b)28sm, b)10·', e)3' e)l1sm 10. 27. d 14 d)2 11. e 28. b 8. 29. b 12. e 17.06 9. e 13. e 30. e 10. 2.332 1. e 14.438.01 31. -2, 11. 2. 5.426 15. a ,0,1 12. a) 30, b) A i D 16. 2 13. D 32. b 14. 17. a) 1. -2 5. e 33. a a) 7, b) 30, 15. b) -n 2. d 6. b 34. b e)6.77 3. 1 7. 16. a) 3, b) 10 4. b 8. e CJELINA 1.2. 17. a) 152, b) 51 22.

a) 7 ·x3 ,

-fi

A

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. B 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

-38 a) -448, b) O, e)-l, d) 10 0.5 d

b e -3/7 a) 1/8, b)-l a) 0.5, b) 76/5 e) -1

a d

d

% 5 a) 25,

b) 1/2

b 9:31, 7h9min

b 12h sOmin

d

CJELINA 2.1. 1. a 2. e 3. d 4. 3a-sb 5. d 6. 7. 8. 9. a 10. 11. a 12.63 13. 14. 15. d 16. e 17. 18. b 19. a 20. a 21. b 22. e 23. e 24. e

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

287.18 kn

e

a

d

a a d b

a

a

CJELINA 2.2. 1. e 12. b 2. b 13. 2S-b 3. d 14. ab-l 4. a 15. e 5. b 16. b 6. a 17. d 7. 18. 8. 9. 19. d 20. e 10. d 11. b 21. a 22. e 23. Z.(h-vot) t' 24. a=p-bv b+v

4.97 kn

b 2.40 kn a) 1.23 kn, b) 16

a 504 min

d

b

a)2, e)27, d b

CJELINA 3.2. b 4. a) 80kn, e b) 15 mjerica, b e) 150 kn e 5. a) 0.8, b) 108 e e) 0.6 2/a a CJELINA 3.3. d 1. -8, -13/8, 4 2. e 3. d 4. b 5. d 6. b b 7. a 8.

b)100, d)a'

l s--vt

25.

2

Vo =-1-

9.

d

10. 11. 12. 13. 14. 15.

d

16.

2 r(t+l)

s=--

17. 18.

20

a)2", b)2 , e)2', d)221

27. 28. 29.

19.

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

a d a) 16, b) -81, e) 64, d) 729 a)10, b)10"", e)-lO·', d)s·' b a)s5, b) 5.4 5 e)0.111

30. 31. 32.

29.

e a) 172, b)2s.7 a) 116, b) 15 a) -99.67'F b) 2ss.37'K a) 232.77'C b)-40 e) 9C+160

30.

31. 32.

5

d) 32'F, 212'F

a) 3.1623

33.

l

17

3

3

y=-x+-

-3/4 5

y=-x

35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

a) 127.324 gr b) 3n/4 rad -4/3 6/11 -0.05 12 5/4 4/11 -1 9/5 21/5 -2 a) 4, b)1/2 a)4, b)-7/4, e)-4 d)-2

47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

a) 1/5 b) 40% b

55.

a)

a) 900 b) 64 d

b

60 4) (13'13

b)G,Đ e)

56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.

(2,D

b -3 -6 1/5 7/4

a (7/2,3/2) b

a x=4a/7 Jedno

a b

b e b

3.

4. 5.

b a Bijelih 11, crvenih 6

.J3 ± l .f5 ±l XI,2=-2XI,' =

6.

xl.2

=.f5 ± l

7.

XI.'

=.fi ±l

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

d

b b d (0,0), (54,18)

b d

T(-1,-9),

b d b d

b

34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

-4.5, -9/14

41.

42. 43. 44. 45. 46. 47.

Y="2

CJELINA 4.1. 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

10.8 kg 42 i 129 dag 20 dag 375 g a=9

b

d

7 d d d a) 6,69 m b) 50,4 e)8m a) 21'C b) u 5 sati e) S'C a) d, b) d d b

a

CJELINA 4.2. 1. n) 132000 2. 3.

4.

a

5. 6. 7. 8. 9. 10.

51.80 kn 44 kn 34 kn 97.90 kn

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

24. 25. 26.

6 min a) 115, b) 143.52, e) 318430

b

33.

e 72

a) O, 5/2 b) 1,-9

a) 600, b) 24 d Koza 48, d 4 ovaca 24 Y="3 x - 3 81. d CJELINA 3.5. 4x-3y-9=O 82. d 1. b P=27/8 83. a) 10, b) 15 2. 220 22 a 84. 3. 13.92 b) 10/3 e) 85. d 4. x=2 86. 5. d d 87. 6. (0,4) y=3x-7 88. 7. 89. x,.; -1/2 y = 2x - 2 8. a 90. x;:, 1/5 9. x=2 y=-.!..x+2 91. d 10. a Z 92. a) x>-4/3, l l 11. x=1/4 x +"2 b) x>-6 12. a) 2, b) -2 e) x>2/3 13. a a) 10'C 93. x>19/4 14. -2 b) 55 min 94. x> 3/5 15. a) 114.92 95. x<-20 a 16. b) 163 96. x<-9/4 17. 1 a) 1200 kn 97. x<28/s e 18. b) 1734 98. d 19. d a) 99. a) xSl, 20. b) xSl0 J(x)=E. x + 23 21. a)-8 b)-l 5 e) XE

t-l

e

y:::..!.x+I 2

b)

-I

26.

d

34.

a) 41.2698 b) 21 a) 0.34 b) 518.17 e 9.281/100km 12.5 kg, 11.25 kn 1.76784 m, 4.6 foot 3314.7 mm 0.524 inč 1911.88 hrk, 134.7075 € 2019.65 kn 174.65 $ 32.34€ 0.6876 gbp 7.5 kg ljepila 1.951 vode 288.75 km 4 em

b

CJELINA 4.3. 1. b 2. b 3. Nina najviše Ana najmanje 4. e 5. a) 1001.88 b) 42.5 6. 7. 5.28 GB 8. 89 a) 18, 9. b)10091 10. 0.8 kg 11. b 12. b 13. a) 153.75 kn b) 36.90 kn 14. b 15. b 16. e 17. d 18. e 19. 14% 20. d 21. b 22. a)dobar, b)s3 23. b

27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

e

22. e 23. P=S.44 m', O=lO.4m 24. P=42.S em',

a) 218.2, b)8.42% a)42, b)24% 80 320 d a) 175 kn, b) 70 kn 45 dag a)84440 kn b) 6333 kn a) 48%, b) 25

0= 22+134 em

25. 26. 27. 28. 29.

a)

2

13 b) 3

2--/3

d 31. 32. 33. 34. 35. 36.

e b

b

a 37. 38. 39.

b

a b

e) 2 10 10 35/2 15 b a) (-10,-20) b) sO.9901m e) 1000 m' b

e 60

ČETVEROKUTI

b

1.

d

2.

4.

a

5. 6.

10.90€/m'

3. 4. 5. 6. 7.

6.

b

7.

a) 11°10'48" b) 70°59'24" e) 14°0'36" a) 13 h i 18' b) 2 h i 15' e) 8 h 3' 36" 120'

8. 9. 10. 11.

b b

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

a) b=7.7 b)

e 2.09 m b

b d

b a 6 cm

b 6i8

IABI = 33.6 em 713 52 cm 10 smanjit će se za 25%

KRUŽNICA I KRUG 1. d 2. 8em 3. 1[/4 4. 1989.5 puta 5. 6. e 7. 21.91 8. 2 puta 9. 43.75% 10. b 11. 70 12. P=16n 13. 142' 14. a) 44° b) 88° 15. 80' 16. 10n 17. 24

TROKUT 1. 96°46' 2. d 3. a) 54° b) b a) 26° b) 77° 4. 5. e 6. d

7. 8.

d

PA ,co=168 em'

CJELINA 5.1. KUT 1. 2. b 3. a) 3.1 sat b) 4.35 sati e) 7.8 sati a) 23.23° 4. b) 59.25° e) 129.80° d) 192.48° 5.

9. 10.

8.5

2-fi 30.

CJELINA 4.4. 1. d 2. a) 13857.14 b) 12.37% 3.

8.

d

e

~

CJELINA 5.2. 18. a 1. a 2. e 19. b 3. b 20. a 4. e 21. d 22. b 5. e 6. e 23. d 7. d 24. e 8. e 25. a 9. a)20 26. b b)sO 27. e 10. a 28. a)R=6 11. b b) 1.30 12. e 29. a 13. a 30. e 14. a 15. b 16. b 17. d

Pripreme Za Državnu Maturu (Matematika - Osnovna Razina 13) - Trinom

Recommend Documents