PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: Darija Novak
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: KOMPLEKSNI BROJEVI Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog n astavnog sata: UPOZNATI UČENIKE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III.
1. razgovor 2. pisanje 3. crtanje 4. usmeno izlaganje PLAN PLOČE: KOMPLEKSNI BROJEVI
provjera zadaće, ponavljanje obrada novog gradiva utvrđivanje i domaća zadaća
Na početku prisjetimo se koje smo brojevne brojevne skupove spominjali spominjali prošle godine. To su bili : skup prirodnih brojeva, zatim skup cijelih brojeva koje smo N , Z , Q , R = Q U I skupovi koje smo do sada uveli jer u skupu N operacija oduzimanja nije bila upoznali zatvorena , nakon toga smo skup cijelih proširili brojevima koje možemo zapisati u obliku razlomka i x2 = -1 nema rješenja u R jer za svaki dobili skup racionalnih brojeva u kojem je i djeljenje x R vrijedi x 2 0 zatvoreno. No tad smo uočili da u Q ne možemo dobiti 2 riješenje jednadžbe x = 2 pa smo uveli iracionalne uvodimo broj čiji je kvadrat = -1 i 2 1 , i 1 brojeve I i novi skup Q U I nazvali skupom realnih broj i nazivamo imaginarnom jedinicom i za njega nam brojeva . Realni brojevi se mogu prikazati na brojevnom 0 i 1 pravcu . 1 i i No pogledajmo ovakvu jednadžbu x2 = -1 da li ta jednadžba ima rješenje u skupu R ? Nema jer za svaki i2 1 2 x R vrijedi x 0 da bi ta jednadžba i njoj slične i3 i2 i i imala rješenje moramo skup R proširiti novim brojevima 4 2 2 i i i 1 . Najprije ćemo uvesti broj čiji je kvadrat jednak -1 i vrijedi 5 4 i i i i označit ćemo ga slovom i tj vrijedit će i2 1 , i 1 . Taj broj nazivamo imaginarnom i6 i4 i2 1 jedinicom . i7 i4 i3 i i8
Sad kad smo uveli imaginarnu jedinicu možemo zapisati i rješenja ovakvih jednadžbi: x
2
x2
9 ima rješenja 5 x
x
9
3
i
1
i 5
Brojevi kao što su 2i , -5i , i 3 nazivaju se imaginarni brojevi . Skup koji je proširenje skupa realnih brojeva , a u kojem će biti i imaginarni brojevi naziva se skupom kompleksnih brojeva , a definiramo ga kao C a bi a , b R ako je z = a + bi kompleksan broj onda realni broj a nazivamo realnim dijelom a realni broj b imaginarnim dijelom kompleksnog broja
i4
9
i
8
i4 i
1 i itd.
očigledno za svaki prirodni broj k vrijedi i 4 k i 4 k
1
i
i
4 k 2
1
i
4 k 3
i
x2 x
1
2
9 ima rješenja 5 x
x
9
3
i 5
z = a + bi Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda C
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
a
bi a , b
R
Literatura za pripremu sata: udžbenik
1
3i
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: RAČ. OPR. S KOMPL. BR. Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog n astavnog sata: NAUČITI RAČUNATI S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
1. usmeno izlaganje 2. razgovor 3. pisanje PLAN PLOČE:
ponavljanje obrada novog gradiva vježbanje, zadaci zadavanje zadaće
Na prošlom satu smo se upoznali s kompleksnim brojevima , a danas danas ćemo vidjeti kako se s njima računa . Najprije ćemo se upoznati s zbrajanjem i oduzimanjem kompleksnih brojeva i reći kad su dva kompleksna broja jednaka .
JEDNAKOST KOMPL. BROJEVA a
KOMPLEKSNI BROJEVI SU JEDNAKI AKO I SAMO AKO SU IM MEĐUSOBNO JEDNAKI REALNI DJELOVI I MEĐUSOBNO JEDNAKI IMAGINARNI a cib d . DJELOVI TJ. a bi c di
bi
c
OVAKO:
bi
c
di
a
c
b
di
a
bi
c
di
a
c
b
di
bi
c
di
ac
adi adi
bci bci
bdi bdi 2
ac
cib
d
a
bi
c
di
a
c
b
di
a
bi
c
di
a
c
b
di
MNOŽENJE a
bi
c
di
ac
adi adi
bci bci
bdi bdi 2
MNOŽENJE REALNIM BROJEM
MNOŽENJE DEFINIRAMO KAO MNOŽENJE BINOMA TJ. a
a
ZBRAJANJE I ODUZIMANJE
ZBRAJANJE I ODUZIMANJE ĆEMO DEFINIRATI a
di
a
bi
r
ar
bri bri
bd
Nastavna sredstva i pomagala: ploča , kreda Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik
ac
bd
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica:KVADRATNA JEDNADŽBA Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog sata: UPOZNATI UČENIKE S METODAMA ZA RJEŠAVANJE KVADRATNE JEDNADŽBE Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
Uvod – ponavljanje Obrada novog gradiva Primjeri i zadaci Zadaća
Prošle smo godine naučili kako riješiti linearne jednadžbe, a sada ćemo vidjeti kako pronaći rješenja kvadratne jednadžbe. Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax2 + bx + c = 0 gdje su a , b , c koeficijenti kvadratne jednadžbe i to a – koeficijent kvadratnog člana, b – koeficijent linearnog člana i c – slobodni član. Jednadžbe u kojima je b = 0 ili c = 0 nazivamo nepotpunim kvadratnim jednadžbama . Ako je b = 0 jednadžba dobiva oblik ax2 + c = 0 i takvu jednadžbu nazivamo čistom kvadratnom jednadžbom . S njom smo se već sreli i trebali bi ju znati riješiti . Njena rješenja su: x 1 , 2
c a
. Čista kvadratna jednadžba uvijek
ima dva rješenja i to su suprotni brojevi (što to znači – zbroj im je jednak nuli) i to mogu biti oba realna ili oba imaginarna . Brojeve koji su rješenja neke jednadžbe često nazivamo i korjenima te jednadžbe . Čistu kvadratnu jednadžbu možemo riješiti na još jedan način (koji – rastavljanjem na faktore).
1. usmeno izlaganje 2. razgovor 3. pisanje PLAN PLOČE: KVADRATNA JEDNADŽBA ax2 + bx + c = 0 a , b , c koeficijenti kvadratne jednadžbe a – koeficijent kvadratnog člana b – koeficijent linearnog člana c – slobodni član za b = 0 dobivamo jednadžbu ax2 + c = 0 - čista kvadratna jednadžba rješenja te jed. su :
x 1 , 2
Primjer1,2,3 str. 37.-38. Zad 1,2,3 str. 71.
Nastavna sredstva i pomagala: Domaći uradak:
Literatura za pripremu sata:
c a
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: RAČ. OPR. S KOMPL. BR. Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI RAČUNATI S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: V. VI. VII. VIII.
1. usmeno izlaganje 2. razgovor 3. pisanje PLAN PLOČE:
ponavljanje obrada novog gradiva vježbanje, zadaci zadavanje zadaće
Na prošlom satu smo se upoznali s kompleksnim brojevima , a danas ćemo vidjeti kako se s njima računa . Najprije ćemo se upoznati s zbrajanjem i oduzimanjem kompleksnih brojeva i reći kad su dva kompleksna broja jednaka .
JEDNAKOST KOMPL. BROJEVA a
KOMPLEKSNI BROJEVI SU JEDNAKI AKO I SAMO AKO SU IM MEĐUSOBNO JEDNAKI REALNI DJELOVI I MEĐUSOBNO JEDNAKI IMAGINARNI a cib d . DJELOVI TJ. a bi c di
bi
c
OVAKO:
bi
c
di
a
c
b
di
a
bi
c
di
a
c
b
di
bi
c
di
ac
adi
bci
bdi 2
ac
cib
d
a
bi
c
di
a
c
b
di
a
bi
c
di
a
c
b
di
MNOŽENJE a
bi
c
di
ac
adi
bci
bdi 2
MNOŽENJE REALNIM BROJEM
MNOŽENJE DEFINIRAMO KAO MNOŽENJE BINOMA TJ. a
a
ZBRAJANJE I ODUZIMANJE
ZBRAJANJE I ODUZIMANJE ĆEMO DEFINIRATI a
di
a
bi
r
ar
bri
bd
Nastavna sredstva i pomagala: ploča , kreda Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik
ac
bd
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: KOMPLEKSNI BROJEVI: DJELJENE Br.nast.sata: PRIKAZ U RAVNINI I APSOLUTNA VRIJEDNOST Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI DIJELITI KOMPLEKSNE BROJEVE ODREDITI IM APSOLUTNU VRIJEDNOST I PRIKAZAT IH U RAVNINI Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
pregled zadaće obrada gradiva vježbe zadaća
Djeljenjem kompleksnog broja z1 brojem z2 različitim od 0 dobije se novi kompleksni broj kojemu treba odrediti realni i imaginarni dio. to ćemo napraviti ovako: z1
a
z2
c ac
bi c
di
di c bd c
d
adi
di
bc
2
ac
c
2
bci di
bdi
1. usmeno izlaganje 2. pisanje 3. razgovor PLAN PLOČE: DIJELJENJE I MODUL KOMPLEKSNIH BROJEVA
2
2
ad i
z1
a
bi c
di
z2
c
di c
di
ac
2
bd c
Broj c – di nazivamo konjugirano kompleksnim parom broju c + di . Kad izmnožimo konjugirano kompleksne brojeve dobijemo realan broj . Apsolutna vrijednost kompleksnog broja ili modul od z je broj Re z Im z z a b z z gdje je z konjugirano kompleksni par od z 2
2
2
z
a
2
bc
2
d
b
2
ac
adi c
di
bdi 2
ad i
2
Re
2
z
2
Prikaz kompleksnih brojeva u Gaussovoj ili kompleksnoj ravnini .
Nastavna sredstva i pomagala: Literatura za pripremu sata:
2
Im z
zadaci iz udžbenika.
Domaći uradak:
2
bci
z z
2
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica:KVADRATNA JEDNADŽBA
ax2 + bx = 0
Nadnevak: Br.nast.sata:
Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI RJEŠAVAT NEPOTPUNU KVAD. JED. Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE:
I.
II. III. IV.
Uvod – pregled zadaće Obrada gradiva Zadaci Zadaća
1. usmeno izlaganje 2. razgovor 3. pisanje PLAN PLOČE: NEPOTPUNA KVADRATNA JEDNADŽBA
Spomenuo sam da postoje dva tipa nepotpune kvadratne jednadžbe . Jedan smo upoznali na prošlom satu , a sada ćemo se sresti i s drugim . To je jednadžba oblika ax2 + bx = 0 . Takve jednadžbe rješavamo tako 2 da binom rastavimo na faktore pa jednadžba ima rješenja ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 iz čega slijedi x = 0 ili ax + b = 0 x1 = 0 x2 =
x(ax + b) = 0
⇒x
= 0 ili ax + b = 0
b a
x1 = 0 x2 =
b a
Rješenja ovakve nepotpune kvad. jed. su uvijek realni brojevi i jedno rješenje je uvijek jednako nuli.
Nastavna sredstva i pomagala:ploča,kreda Domaći uradak: str 72. zad7 , 8
Literatura za pripremu sata: udžbenik
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: FORMULA ZA RJEŠAVANJE Br.nast.sata: OPĆE KVADRATNE JEDNADŽBE , NORMIRANA JEDNADŽBA Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
1. 2. 3. 4. 5.
Uvod – ponavljanje Obrada gradiva Vježbe – zadaci Zadaća
Zadnji zadaci koje smo rješavali na prošlom satu riješeni su pomoću dopunjavanja kvadratnog trinoma do potpunog kvadrata binoma , sad ćemo pronaći formulu za rješavanje opće kvadratne jednadžbe . Cilj nam je lijevu stranu jed. napisati kao kvadrat binoma
PLAN PLOČE: OPĆA KVADRATNA JEDNADŽBA FORMULA ax 2
bx
c
0 , a
0
Podijelimo najprije jed.s
a i
prebacimo slobodni član na desnu stranu :
x
2
b
c
x
a
pribrojimo liojevoj i desnoj strani kvadrat
a
polovine koeficijenta linearnog člana :
Kvadratnu jednadžbu kojoj je koeficijent kvadratnog člana jednak 1 nazivamo normiranom kvadratnom jednadžbom iona ima oblik x2 + px + q = 0 na taj oblik možemo svesti svaku kvadratnu jed. djeljenjem s koeficijentom kvadratnog člana, a formula za rješavanje normirane kvad. jed. je x 1 , 2 x 1 ,2
p
p
2
4q
2
odnosno
2
x
b a
x
x
b
2
b
b
2a 2
2a
2a
b
2
4a
c
2
a
2
c a
sada imamo
Kad desnu stranu svedemo na
zajednički nazivnik dobijemo :
x
b
2
b
2
2a
4ac 4a
2
iz čega nakon vađenja korjena
dobivamo :
p
p
2
2
2
q
x
b 2a
b
2
4ac 2a
x 1 , 2
b
b
2
4ac
2a
Na taj način smo rješenja opće kvadratne jednadžbe dobili izražena pomoću njezinih koeficijenata i to je uobičajena formula za rješavanje kvad. jed.
Nastavna sredstva i pomagala:
Literatura za pripremu sata:
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica:DISKRIMINANTA KVADRATNE JEDNADŽBE Br. nast. sata: VIETEOVE FORMULE Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI ŠTO JE DISKRIMINANTA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I.
II.
III. IV.
1. pisanje 2. usmeno izlaganje 3. razgovor PLAN PLOČE:
Uvod – preglefd zadaće Obrada gradiva Zadaci Zadaća
DISKRIMINANTA
Do sada smo riješili dosta zdataka u kojima je trebalo odrediti riješenja jednadžbe, no ponekad nas ne zanimaju sama rješenja , već samo jesu li ona realni ili kompleksni brojevi . O čemu nam ovisi tip rješenja? Iz do sad rješenih zadataka može se vidjeti da tip rješenja ovisi o vrijednosti izraza pod korjenom. Vrijednost tog izraza je svakako realan broj jer su a,b,c realni brojevi, a taj izraz označavamo sa D i zovemo ga diskriminanta kvadratne jednadžbe, dakle diskriminanta je D = b2 – 4ac (lat. discriminare – razlučiti ili dijeliti). Znamo li vrijednost diskriminante formula za rješavanje jed. može se pisati ovako x 1 , 2
b
D 2a
D = b2 – 4ac - diskriminanta pa riješenja možemo zapisati i ovako: b
x 1 , 2
D 2a
0 , x 1 , x 2 R i x 1 x 2 2
D b 4a c 0 , x 1 x 2 R 0 , x 1 , x 2 C i I mx 2 I mx 1 , R xe1 R xe2
.
Ako nam je D 0 rješenja jed. će biti dva različita realna broja . Ako je D 0 dobit ćemo dvostruko realno rješenje , a ako je D 0 rješenja će biti kompleksni brojevi.
VIETEOVE FORMULE x1
U mnogim zadacima koristimo se zbrojem i umnoškom rješenja kvadratne jednadžbe , a da nam sama rješenja nisu potrebna . Za zbroj iumnožak rješenja x1
b
x2
vrijede tzv. Vieteove formule x1 x 2
a c a
Domaći uradak: str.73.,74. zad.15. – 21.
b
x2
2a
b
x1 x 2 b
2
4a
2
b
2
b
4ac 2a
4ac
c
2
a
4a
b
2a
2a b
4ac
b
2
2a
b
2a
b
2a
Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda Literatura za pripremu sata: udžbenik
4ac
2
4ac 2a
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica: KVADRATNA FUNKCIJA Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja 2. Uvježbavanje 3. Ponavljanje 4. Provjeravanje ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA:
Nadnevak: Br.nast.sata:
I. II. III. IV.
1. usmeno izlaganje 2. pisanje
Uvod – pregled zadaće Obrada gradiva Zadaci Zadaća
Do sada smo govorili o kvadratnoj jednadžbi ,a sad ćemo se upoznati s kvadratnom funkcijom . Neka su a,b,c R i a 0 . Funkciju f : R R definiranu bx c nazivamo formulom f x ax kvadratnom funkcijom ili polinomom drugog stupnja . Graf kvadratne funkcije je krivulja koju nazivamo parabola. Najjednostavnija kvadratna funkcija je f x x tu funkciju nazivamo i kvadriranje .Kako izgleda njezin graf ? (Nacrtati graf) Ta parabola se nalazi u gornjoj poluravnini (gornja poluravnina je skup točaka kojima je ordinata pozitivna tj. za koje vrijedi y>0) ishodište koordinatnog sustava je tjeme parabole i ono je najniža točka grafa funkcije pa kažemo da funkcija za x = 0 ima minimum . Očito je graf simetričan s obzirom na os y , za takve funkcije kod f x kažemo da su kojih vrijedi da je f x f x parne funkcije , a ako vrijedi f x govorimo o neparnoj funkciji ostale funkcije su ni parne ni neparne 2
Oblici rada: 1. Frontalni 2. Individualni 3. Grupni 4. Rad u parovima NASTAVNE METODE:
PLAN PLOČE: KVADRATNA FUNKCIJA f : R
R
f x
x
f x
ax
2
bx
c
2
2
f
x
f
x
f x f x
parne funkcije neparne funkcije
Nastavna sredstva i pomagala:ploča , kreda Domaći uradak:zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata:udžbenik
PI SAN A Nastavnik: RUŠAK ROBERT
PRIPRAVA Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica:KVADRATNA FUNKCIJA
Nadnevak: Br.nast.sata:
f(x) = ax2 , a<0 , f(x) = ax2 + c Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja 2. Uvježbavanje 3. Ponavljanje 4. Provjeravanje ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA:
Oblici rada: 1. Frontalni 2. Individualni 3. Grupni 4. Rad u parovima NASTAVNE METODE:
I. II. III. IV.
1. pisanje 2. crtanje 3. usmeno izlaganje 4. razgovor
ponavljanje obrada novog gradiva vježba zadaća
Kod funkcije f(x) = x2 i funkcija kod kojih je bilo a>0 PLAN PLOČE: vidjeli smo da je graf bio otvoren prema gore. Danas ćemo vidjeti kako izgledaju funkcije kod kojih je a<0. FUNKCIJE f(x) = ax2 , a<0 i f(x) = ax 2 +c (Nacrtati graf jedne takve funkcije) , dakle graf takve funkcije nalazi se u donjoj poluravnini i ishodište koordinatnog sustava je tjeme parabole , ono je grafovi funkcija istovremeno i najviša točka grafa pa kažemo da je funkcija omeđena odozgo i da ima maksimum u točki x =0 Ako je kvadratna funkcija oblika f(x) = ax2 + c njezin graf je parbola koja je s obzirom na graf funkcije f(x) = ax2 translatirana (pomaknuta) za veličinu slobodnog člana c u smjeru osi y. Njezino tjeme ima koordinate T(0,c).
Nastavna sredstva i pomagala: Domaći uradak:
Literatura za pripremu sata:
PISANA
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica:KVADRATNE FUNKCIJE
Nadnevak: Br.nast.sata:
f(x) = a(x – x 0)2 , f(x) = a(x – x 0)2 + y0 , f(x) = ax 2 + bx + c, tok i predznak funkcije Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja 2. Uvježbavanje 3. Ponavljanje 4. Provjeravanje ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: I. II. III. IV.
Oblici rada: 1. Frontalni 2. Individualni 3. Grupni 4. Rad u parovima NASTAVNE METODE: 1. pisanje 2. crtanje 3. usmeno izlaganje 4. razgovor PLAN PLOČE:
uvod – ponavljanje obrada gradiva vježba zadaća
Na prethodnom satu smo pokazali kako izgledaju grafovi funkcija f(x) = ax2 za a<0 i a>0 , a danas ćemo vidjeti što se događa kad imamo funkcije oblika f(x) = a(x – x0)2 , f(x) = a(x – x0)2 + y0 i f(x) =ax2+bx+c. Grafovi tih funkcija su pomaknuti u smjeru osi x i to za vrijednost x0 tj. prvi za 5 jedinica desno ,a drugi za 1 lijevo , pa možemo zaključiti da se graf funkcije f(x) = a(x – x0)2 dobiva pomicanjem grafa funkcije f(x) = ax2 za x0 u smjeru osi x . Parabola y =a(x – x0)2 ima za os simetrije pravac x = x0 .
f(x) = a(x – x0)2 f(x) = (x – 5)2 f(x) = 3(x – 1)2
nacrtati grafove
Graf ove funkcije dobit ćemo ako graf funkcije f(x) = ax2 pomaknemo za x0 u smjeru osi x i za y0 u smjeru osi y.
f(x) = a(x – x0)2 + y0
Graf opće kvadratne funkcije lako ćemo nacrtati ako odredimo njezino tjeme i nultočke (ako ih ima). Nultočke dobivamo rješavajući kvadratnu jednadžbu ,a koordinate tjemena ćemo dobiti tako da za apscisu zbrojimo apscise nultočaka (zbrojimo nultočke) i
f(x) = ax2 + bx + c
x1
podjelimo zbroj sa 2
x2 2
(aritmetička sredina
brojeva x1 i x2 ,a x1 + x2 je vieteova formula) i to je =
b 2a
x0
,a da bi dobili ordinatu uvrstit ćemo vrijednost
apscise u funkciju i kad to izračunamo dobivamo da je b
ordinata y 0 T=
b 2a
,
2
4ac 4a
b2
Dakle
4ac 4a
Za određivanje predznaka funkcije bitan nam je predznak koeficijenta kvadratnog člana a i predznak diskriminante D a) ako je D<0 tad je predznak funkcije jednak
predznaku koeficijenta kvadratnog člana tj. čitava funkcija je samo pozitivna ili samo negativna 0 ili b) ako je D = 0 tad je f(x) f ( x ) 0 , x ovisno da li je keficijent a verći ili manji od 0. c) ako D>0 ,tad postoje dvije realne nultočke i ako je a>0 imamo
a ako je a<0 dobivamo
Odrediti tok funkcije znači odrediti intervale na kojima funkcija raste ili pada njen minimum ili maximumi njezine nultočke
Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: EKSPONENCIJALNE JEDNADŽBE Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI RJEŠAVATI EKSP. JED. Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
Uvod – pregled zadaće Obrada gradiva Vježba – zadaci Zadaća
1. usmeno izlaganje 2. pisanje 3. razgovor PLAN PLOČE: EKSPONENCIJALNE JEDNADŽBE
Sada kad smo naučili što je eksponencijalna funkcija , naučit ćemo kako riješiti i što su eksponencijalne jednadžbe Jednadžba kojoj je nepoznanica u eksponentu naziva se eksponencijalna jednadžba . Ako ju možemo svesti na jednakost dviju potencija jednakih baza tj. na oblik af x ag x , a 0, a 1 onda ju rješavamo izjednačavanjem eksponenata tj. onda g x ita jed. daje sva rješenja eksp. vrijedi f x jed. Ako ju možemo svesti na oblik 2f x f x A a B a C 0 onda je supstitucijom f x a t svodimo na kvadratnu jednadžbu. Pri tome moramo paziti dali oba rješenja kvadratne jed.zadovoljavaju polaznu jer a f x mora biti 0 . Ako se jed. svodi na oblik a f x b gdje b nije potencija od a ,takvu jednadžbu možemo riješiti samo logaritmiranjem.
f x
a
x 3
64
a
g x
,a
0, a
⇒
1
f x
g x
Pr. 2
A a
2f x
a f x
2
B a
3
4x
3
2x
7 3 t
f x
6
x
3
6 x
9
0 supstitucija
C
7
Bt
C
18
0
2x
t b
t 1, 2
x
2
t
dobivamo At 2
Pr.
x 3
2
7t b2
18 4ac
0
0 7
49
2a 11 2 1
t1
72
2 9, t 2
2
3
2x
9
2x
2
Nastavna sredstva i pomagala: ploča ,kreda, kalkulator Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik, logaritamske tablice,
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica:EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA - UVOD Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog sata: PONOVITI GRADIVO O POTENCIJAMA I KORJENIMA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: 1. pisanje 2. razgovor
I. Ponavljanje gradiva
PLAN PLOČE: Na početku prije nego definiramo što je eksponencijalna funkcija podsjetimo se gdje smo se do sad sreli s pojmom eksponenta. Taj pojam se pojavio kod potencija . Što su potencije ? Definicija: skraćeni zapis množenja jednakih faktora.
a
n
a a a ... a
a – baza , n - exponent
n faktora
Prvo smo uzimali za bazu i exponent prirodne brojeve, nakon toga proširili smo skup iz kojeg biramo bazu na skup pozitivnih realnih brojeva . Sljedeći korak u proučavanju potencija bio je proširivanje skupa iz kojeg biramo eksponente na skup cijelih brojeva. Sjetite se čemu je jednaka vrijednost potencije na negativan eksponent ? Podsjetimo se sad još nekih svojstava potencija i kako se s potencijama računa
a,n
N
a
R
n
Z
a
1
n
a
n
I. ako je a
n
a
0,
R , n
a
2n
N
tada vrijedi
0,
a
2n 1
0, n 0 II. 0 0 1, a 0 III. a IV. množenje i djeljenje potencija an am an m , an : am an m , an n
Ako je dobivamo korjenovanje . Pojam korjena smo uveli na slijedeći način n
Q
a b
n
a
n
b
n
,
a:b
n
n
a :b
m
a nm
n
1
a, b
R , n
N, b
n
a
b
n
a
a
n
n
i
am
1
a, b
R , n
N, b
n
a
b
n
a
a
Nastavna sredstva i pomagala: ploča , kreda, udžbenik Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik
n
n
i
am
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA
Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica:EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA Br.nast.sata: DEFINICIJA I SVOJSTVA Zadatak i cilj nastavnog sata: DEFINIRATI EKSPONENCIJALNU FUNKCIJU Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: I. II. III. IV.
NASTAVNE METODE: 1. usmeno izlaganje 2. razgovor 3. pisanje 4. crtanje
Uvod – ponavljanje Obrada gradiva Vježba – zadaci Zadaća
Na prošlom satu smo ponovili svojstva potencija i PLAN PLOČE: korjena i kako se sa njima računa , a sad ćemo definirati što je eksponencijalna funkcija i objasniti zašt se tako a R , a 1 , x R tada je a zove. Dakle ako je a x za a 0 f : R R f x a R , a 1 , x R tada je a R , a funkcija f : R R takva da je f x a za a 0 i a 1 naziva se f a x ax eksponencijalnom funkcijom baze a . U nekim knjigama x a . za takvu funkciju se pojavljuje oznaka f a x f x 1 1 x a=1 Zašto smo iskljkučili slučaj a = 1 i a<0 ? Ako je a = 1 1 1 x pa bi se skup R dobivamo f x 1 a<0 npr. a = -2 i 0
x
R
i a
x
x
x
-2 tada bi za 0
1
1 2
dobili
1
f
1
2
2
2
2
i 2
R
1
2
2
2
2
i 2
R
x 2
x
1
Sada ćemo nekoliko eksponencijalnih funkcija prikazati tablično i pripadajućim grafom. Vjerujem da ćemo iz tih prikaza doći do nekih značajnih podataka o svojstvima eksponencijalnih funkcija. 1.
2. 3. 4.
x
-2 1/4 4
-1 1/2 2
0 1 1
1 2 1/2
2 4 1/4
1/16 16
1/4 4
1 1
4 1/4
16 1/16
2
4
x
1
x
4 Svaka eksponencijaln funkcija prolazi kroz točku (0,1) Ako je a >1 funkcija raste tj. za x1 < x2 slijedi f(x1) < f(x2) Za 0< a < 1 funkcija pada tj. za x1 < x2 slijedi f(x1) > f(x2) Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda Domena je skup R ,a kodomena skup R +
1
Literatura za pripremu sata:udžbenik
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
PI SAN A
PRIPRAVA
15
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica: LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Nadnevak: Br.nast.sata:
INVERZNA FUNKCIJA, LOGARITAM Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja 2. Uvježbavanje 3. Ponavljanje 4. Provjeravanje ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: I. II. III.
Oblici rada: 1. Frontalni 2. Individualni 3. Grupni 4. Rad u parovima NASTAVNE METODE:
10
x
x
Da bismo mogli uvesti pojam logaritamske funkcije najorije ćemo ponoviti što je inverzna funkcija . 5 Inverznu funkciju može imati samo funkcija koja je bijekcija ( kad je funkcija bijekcija?). Funkcija je bijekcija ako je surjekcija i injekcija x
y
B
x1 , x 2
f
1
1. usmeno izlaganje 2. pisanje 2 3. crtanje 4. razgovor PLAN PLOČE: INVERZNA FUNKCIJA
Uvod – ponavljanje o funkciji Obrada gradiva ( 1 / 2 ) Zadaća
A td. f x
A, f x 1
:B
vrijedi
!x
f x 2
( 1 / 4 ) y - surjekcija
x1
4
y x
x,
x
A
f f 1 x
y,
y
B
x1 , x 2
!x
A td. f x
A, f x 1
f x 2
y - surjekcija x1
x 2 - injekcija
x 2 - injekcija
A je inverzna funkcija funkcije f ako
f 1 f x
B
f
1
A je inverzna funkcija funkcije f ako
:B
vrijedi
f 1 f x
x,
x
A
f f 1 x
y,
y
B
Grafovi inverznih funkcija su simetrični s obzirom na -5 pravac y=x .
5
primjer1. Logaritamska funkcija je funkcija inverzna a exponencijalnoj funkciji . Ako je f x log a x exponencijalna funkcija onda je f 1 x logaritamska funkcija . Ona preslikava skup R + u R Svojstva logaritamske funkcije povezana su sa svojstvima exponencijalne funkcije. -5 1) Log. funkc. baze a je funkcija inverzna exp. funkc. baze a . 2) Ako je a>0 exp funkc. raste pa i logaritamska raste 3) Ako je 0
1
f x f f f
1
2 1
x
x
x
3 1
x 2x
2 6
f
1
x
3
x/ 2
LOGARITAM logbx = y ako je x =b y pr. log28 = 3 jer je 23 =8 log100 = 2 jer je 102 = 100, log = log10 Baza logaritma mora biti veća od 0 i različita od 1, a argument ( numerus ) veći od 0 Logaritme kojima je baza broj e = 2,7182... bilježimo s ln , to su tzv. prirodni logaritmi ,a koriste se u višoj matematici. RAČUNANJE S LOGARITMIMA log b b
1, log b 1
log b x y log b
x y
log b x m
0, log b b x
log b x log b x
x
log b y
log b y
m log b x, log b
n
x
1 n
log b x
Nastavna sredstva i pomagala: ploča, kreda, udžbenik, kalkulator, logaritamske tablice Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata:udžbenik, log. tablice
13
12
11
PI SAN A
10
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA
9
Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: LOGARITAMSKE JEDNADŽBE Br.nast.sata: Zadatak i cilj nastavnog sata: NAUČITI RJEŠAVATI LOG. JED. 8 Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 7 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE:
I. II. III. IV.
a b
c = 1,29
d
1 2
l og(x) = -0,75 l og(2 ) log(x) 1 log 2
6
PLAN PLOČE: LOGARITAMSKE JEDNADŽBE
5
log a x
rj. x Pr.
0, a
1, x
0
ab
log x
3
x
10
3
1000
x
2
Drugi slučaj imamo kad logaritamskim x = 0,59 transformacijama jednadžbu možemo svesti na oblik 0,66
=
log a f x
f x
log a g x tada se ona svodi na jed.
g x
1
log a f x
= 0,75
I treći oblik jed. koju rješavamo logaritmiranjem je eksp.jed. a x b
Pr.
-3
-2
-1
1
log a g x tada se ona svodi na jed.
g x
f x
log( x 2 x
x
-4
b, a
c
d = 1,37
2 x =1,51
Uvod – pregled zadaće Obrada gradiva Vježba – zadaci Zadaća
Nakon što smo se upoznali s logaritamskom funkcijom i računanjem s logaritmima , danas ćemo pokazati kako4 riješiti jednadžbe kod kojih je nepoznanica pod znakom logaritma (logaritamske jednadžbe ). Prvi slučaj je kad logaritamsku jed. možemo svesti na oblik 3 log a x b, a 0, a 1, x 0 njeno rješenje je iz def. logaritma x a b
a = 0,74 b = 0,94
1. PISANJE 2. USMENO IZLAGANJE 3. RAZGOVOR
2
2
1
x
4)
x
x
5
4
5 log x
x log 2 x
-4
x
4
log 2
Pr.
2
log( x 2
b 2
-1
-3
x
3
ax
-2
1)
log 5 log 5
x
log 5
0,69897
log 2
0.30103
2.32193
Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda, kalkulator
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Literatura za pripremu sata: udžbenik, logaritamske tablice
PI SAN A
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica: NOVČANA ŠTEDNJA
Nadnevak: Br.nast.sata:
Zadatak i cilj nastavnog sata: PRIMJENA JEDNOSTAVNOG KAMATNOG RAČUNA Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
3. usmeno izlaganje 2. pisanje 3. razgovor
Uvod – o štednji Obrada gradiva Primjeri i zadaci Zadaća
PLAN PLOČE:
Novčana štednja je odgađanje odnosno ograničenje potrošnje novca na određeno vrijeme , koje se stimulira plaćanjem naknade ( kamata na štednju ) Prisjetimo se sad kamatnog računa : što je kamata , što glavnica , što kamatnjak ili kamatna stopa i kako smo ih označavali . Pri obračunu kamate na štedne uloge koristi se jednostavni kamatni račun , prisjetimo se njegovih formula : k
C p n 100
100 k
C
pn
p
100 k Cn
n
NOVČANA ŠTEDNJA
k
C p n 100
C
100 k
p
pn
100 k Cn
100 k Cp
U praksi se često događa da se moraju obračunati kamate za određeni broj dana i takva kamata se računa k
Cpd 36500
. Štedni računi su promjenjljivi odnosno
na njih se povremeno ulaže , a povremeno novac vadi, pa da bi smo mogli računati kamate pod takvim uvjetima moramo znati izračunati kamatu od više n
glavnica
N j k
j 1
D
, N j
C jd j 100
,D
n
N j k
j 1
D
, N j
C j d j 100
,D
365 p
365 p
Izračunavanje posljednjeg stanja na štednom računu zovemo saldiranje, a izvodi se pomoću prethodnih formula.
Nastavna sredstva i pomagala: ploča, kreda, kalkulator
n
100 k Cp
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
PI SAN A
Literatura za pripremu sata: udžbenik
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nastavna jedinica: DISKONTNI RAČUN Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja 2. Uvježbavanje 3. Ponavljanje 4. Provjeravanje ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: I. II. III. IV.
Uvod – pojam diskonta Obrada gradiva Primjeri i zadaci Zadaća
Nadnevak: Br.nast.sata: Oblici rada: 1. Frontalni 2. Individualni 3. Grupni 4. Rad u parovima NASTAVNE METODE: 1. usmeno izlaganje 2. pisanje 3. razgovor PLAN PLOČE: DISKONTNI RAČUN
Pod pojmom diskonta podrazumjevat ćemo otkup nekog potraživanja prije njegova dospijeća uz odbitak kamata provizije i troškova. Diskontiranje je postupak izračunavanja sadašnje vrijednosti glavnice koja dospijeva nakon nekog vremena ( DISKONTNI RAČUN ) . Pri diskontiranju je potrebno izračunati kamate na nominalnu vrijednost (onu vrijednost koja piše na mjenici). To podrazumijeva da znamo ili da možemo odrediti pripadnu kamatnu stopu i ta stopa se naziva diskontna stopa Razlikujemo tri slučaja diskonta: 1) Potraživanje se iskupljuje na datum dospijeća – isplaćuje se nominala 2) Potraživanje se iskupljuje prije datuma dospijeća – isplaćuje se diskontirana vrijednost tj. vrijednost umanjena za odgovarajuće kamate. 3) Potraživanje se iskupljuje nakon datuma Trgovački diskont dospijeća – isplaćuje se nominala uvećana za Službeni diskont kamate Vrste diskontiranja: Trgovački diskont – naknada za plaćanje dogovorenog iznosa prije datuma dospijeća Službeni (strogi) diskont – smatramo da nominalni iznos sadrži i kamatu
Mjenični diskontni račun
Nastavna sredstva i pomagala: ploča, kreda, kalkulator
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
PI SAN A
Literatura za pripremu sata: udžbenik
PRIPRAVA
Nastavnik: RUŠAK ROBERT
Nastavni predmet:
MATEMATIKA Razred: II. Nadnevak: Nastavna jedinica: BROJEVNA ILI TRIGONOMETRIJSKA Br.nast.sata: KRUŽNICA I DEF. TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Zadatak i cilj nastavnog sata: Tip sata: 1. Obrada novih sadržaja Oblici rada: 1. Frontalni 2. Uvježbavanje 2. Individualni 3. Ponavljanje 3. Grupni 4. Provjeravanje 4. Rad u parovima ORGANIZACIJA NASTAVNOG SATA: NASTAVNE METODE: I. II. III. IV.
Uvod Obrada gradiva Ponavljanje Zadaća
Na početku pokušati ću objasniti zbog čega su uvedene trigonometrijske funkcije . Ponovimo najprije što znate iz geometrije. pomoću kojih elemenata ste mogli konstruirati raznostraničan trokut i koliko ih mora biti zadano (tri, dvije stranice kut između, dvije stranice kut nasuprot većoj, stranica i dva kuta uz nju, sve tri stranice) , mogu li biti zadana tri kuta (ne jer kad su zadana dva treći je potpuno određen), a kada ste mogli izračunati površinu trokuta ( ako su zadani dužinski elementi – stranica i visina, tri stranice). Trigonometrijske funkcije uvodimo da bi kutevi postali ravnopravni elementi pri izračunavanju površine i da bi smo iz zadanih dužinskih elemenata mogli odrediti kuteve. Trigonometrijske funkcije su sinus sin ,kosinus cos , tangens tg , kotangens ctg . Mogu se definirati na dva načina : pomoću tzv trigonometerijske kružnice i pomoću pravokutnog trokuta . Mi ćemo ih def.pomoću trig. kružnice . Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, radijusa 1 .Svakoj točki takve kružnice je pridružen neki realan broj koji je oblika t+2kπ , a prikazuje duljinu luka kružnice (veličinu kuta) . 2π je opseg jedinične kružnice , a k cijeli broj koliko puta uzimam opseg , a t dio luka. Def. sinusa i kosinusa Ako polupravac iz ishodišta sječe kružnicu u točki P toj točki pripada luk AP i kut ∠ AOP nazovimo ga ∠ α . Ako iz P spustimo okomicu na x- os dobivamo dužinu PM. Kažemo da je sinus luka AP ili kuta ∠ α ordinata točke P. Kosinus luka AP ili kuta ∠ α je apscisa te iste točke P. sin 1, cos 1 jer kateta je uvijek manja ili α
α
1. usmeno izlaganje 2. pisanje 3. crtanje PLAN PLOČE: TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
sinus sin kosinus cos tangens tg kotangens ctg t+2kπ
sin
α
1, cos
α
1
jednaka hipotenuzi(ordinata ili apscisa bilo koje točke na trig. kružnici ne može biti veća od 1) Ako točki P dodamo puni kut ili cjelobrojni višekratnik punog kuta ponovo dolazimo u točku P , pa su sinus i kosinus funkcije s periodom 2π tj. 360°.
Def. tangensa i kotangensa Pravac x=1 nazivamo tangens – os , a pravac y=1 kotangens – os . Tangens kuta ∠ α je ordinata točke T u kojoj krak OP sječe os tangensa. Kotangens kuta ∠ α je apscisa točke S u kojoj krak OP sječe os kotangensa. Osnovne relacije između trig. funkc. 1.) sin 2 α cos 2 α 1 Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kut jednak je 1 – proizlazi iz pitagorinog poučka jer sin i cos su katete pravokutnog trokuta ,a radijus kružnice koji je 1 je hipotenuza. sin α
1
cos
2
cos
1
sin
2
2.)
α
sin α
tgα
cos α
tgα : 1
cos
1
sin
2
α
α
cos α
TA : OA
sin α
tg α : 1
ctg α
ili ctg α
1
tgα
ctg α
1
α
sin α cos
tgα
α
sin α
cos α
, ctg α
cos α
sin α
α
1, tg α
α
sin
2
tgα
α
1 sin
2
sin
2
α
1
sin
2
1
1 sin
sinα
α
sinα
Zadan je cosα odredimo vrijednosti ostalih trig. funkcija.
α
sin α
cos α
ctgα
ctg α
ili ctg α
5
sin α
cos α
1
3
sin α
Npr. cosα =
2.)
PM : OM
tgα ctg α
sinα
1
α
tg α
PM : OM
sin α : cos
tg α
α
sin α : cos
Često se pojavljuju zadaci da je poznata vrijednost jedne trig. funkc , a treba odrediti vrijednosti ostalih trig. funkcija. Formalno je uvijek moguće za zadanu vrijednost odrediti kut ,a onda za taj kut odrediti vrijednosti ostalih funkcija . No iz prethodno izloženih relacija uz malo truda moguće je doći do relacija koje međusobno povezuju trig. Npr. sin α funkcije. 1.) Ako je zadan sinα odredimo vrijednosti cos α ostalih trig. funkcija. cos α
1
2
1
cos
α
cos
sin α
tgα
2
1
TA : OA
izvod za tg
cos
α
sin α
, ctg α
1, tgα
2
α
Evidentno je d a su tg i ctg recipročni pa vrijedi da je tgα ctg α
sin
12 13
2
α
sin
2
α
1 tg α
sin α tg α
1
cos
2
1
cos
2
α
tg α
cos α cos α
ctg α
cos 2 α
1
1
cos
2
1
cos
2
sin α
α
sin α
cos α
ctg α
2 α
tg
tg
1
2 α
tg
1
1
tg α
ctg α 1
sin α
2 α
ctg α ctg
2 α
cos α 1
Ove relacije dobivaju s ako se trigonometrijski pitagorin poučak dijeli s cos 2 α ili sin 2 α .
2 α
1
12
1 ctg α 1 ctg
1
1
5
Npr. ctg α
ctg
2 α
1
cos α
4.) Zadan je ctgα
cos α
3
tg α
sin α
1 tg
sin α
4
1
tg α tg α
tg α
cos 2 α
1
ctgα = tg α
1
cos α
α
cos α
3.) Zadan je tgα tada vrijednosti ostalih trig. Npr. tgα funkc. određujemo na sljedeći način: ctgα =
α
2 α
1
ctg α ctg
2 α
1
Nastavna sredstva i pomagala: ploča,kreda ,trukut i šestar Literatura za pripremu sata: udžbenik i logaritamske tablice
Domaći uradak: zadaci iz udžbenika
Graf eksponencijalne funkcije 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15
y
f(x)=2^x f(x)=(1/2)^x f(x)=4^x f(x)=(1/4)^x
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Graf kvadratne funkcije y
kvadriranje kvadratna funkc. s koefic. 1/2
10
kvadratna funkc. s koefic. 2 kvadratna funkc. s koefic. -2
5
x -5
5
-5
-10
Graf kvadratne funkcije s pomakom
10
15
y
f(x)=2*x^2+2 f(x)=2*x^2-3 f(x)=(x-5)^2 f(x)=3*(x-5)^2
5
f(x)=3*(x-5)^2+2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
Graf opće kvadratne funkcije y -2
x opća kvadratna funkcija
x1 2
(3,0)
x2
4
1 6 Niz (7,0) Niz 2
-2
-4
-6
-8
-10
Inverzne funkcije
T (5,-8) T=(-b/2a,-D/4a)
8
y
f(x)=2^x logaritamska funkcija simetrala I i III k vadranta, os simetrije
5
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
Exponencijalna i logaritamska-5funkcija su inverzne funkcije što kao simetrija s obzirom na pravac y=x
