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Descripción: PREGUNTA 4
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Preguntas tipo SABER PRO para seleccionar: ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las le tras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.
Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1, 2 y 3.
∑=0=0 ()
Para una serie de potencias dada
hay sólo tres posibilidades: i) La serie
converge sólo cuando x=a. ii) La serie converge para toda x y iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge para |
−
|< y diverge para |
−
|> .
El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias. Obsérvese que la desigualdad |
−
|< se puede reescribir de nuevo como |
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos
−
(2) + 3 =0
−
|<
→ −
< < +
y + de este intervalo.
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias?
A. La serie converge solo cuando x=2
B. La serie converge absolutamente para |
−2|<3
lo que equivale a −5< <1
C. La serie converge absolutamente para | +2|<3 lo que equivale a -1< <5
D. La serie converge absolutamente para | +2|<3 lo que equivale a -5< <1
Solución: Criterios de la razón para saber si converge o no
l i m →∞ 1
Tomamos el enésimo término y vamos a ir descomponiendo a medida que realicemos el procedimiento quedándonos la ecuación así según nuestro criterio.
+ (1)(2) () ∗
Resolvemos la división de fracciones tomando medios con medios y extremos con extremos quedando así:
+ (1)(2) () ∗
En
(1)(2)+ (2)(2) (2)+ 3+ 3 ∗3 + ( ) ( ) ( ) (1)(2) 1 2 2 ∗3 () 3 ∗3∗(2) ∗3 vamos a descomponer de la siguiente manera como
Ahora como sabemos que el valor de n comienza en 0 como no los indica el ejercicio podemos quitar las barras para los términos que quedarían p ositivos ya que un número pósito más otro siempre va hacer positivo, pero como no sabemos aún el valor de x entonces este término seguiría dentro de las barras quedando así:
(1) (1)(2) 3 3 | 2| Ahora tomamos el limite cuando el limite cuando n tiende a infinito. Ahora para resolver el infinito es dividir por la va riable de mayor exponente para neutralizar, al dividir n con n nos da la unidad más 1/n e igualmente n dividido entre n da la unidad.
3. El radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie es:
1
A. Conjunto (-1, 1) B. Conjunto (-1/2, 1/2] C. Conjunto {0} 0 D. Conjunto [-1/2, 1/2] Respuesta
D.Conjunto [-1/2, 1/2] Comprobación
(2) 4 = √
(−) √ () () . ∞ + √ (−)√ √ (). √ () ( )| | √ →∞ ()|| ()|| √ . || || < ||< ||< << ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.
8. De la serie
2
∑=0
el radio de convergencia y el intervalo de
convergencia son: 1. 2. El intervalo de convergencia es 3. 4. El intervalo de convergencia es Respuesta
