INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1 SEMESTRE 2017-I PARCIAL 1 LUNES, 24 DE MARZO DE 2016 Nombre:____________________________________ Nombre:_______________ _______________________________________ ______________________________________ _____________________ _ Sección:___________________ No se puede consultar ningún tipo de documentación.
1. Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial que se desea obtener requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. a) Formule, de forma justificada, un PPL que permita resolver la mezcla óptima de las chatarras A y B (5p) b) Resuelva el PPL utilizando el método gráfico. (5p)
SOLUCIÓN: (a) La siguiente tabla resume los datos de este problema: Contenido porcentual Aluminio
Silicio
Carbono
Coste tonelada
Chatarra A
6%
3%
4%
$100
Chatarra B
3%
6%
3%
$80
3%-6%
3%-5%
3%-7%
Aleación final
Definimos las siguientes variables de decisión: • •
: toneladas de chatarra A en una tonelada de aleación final. : toneladas de chatarra B en una tonelada de aleación final.
Las restricciones que deben cumplir estas variables: son: • •
•
•
Son cantidades unitarias. Deben sumar una tonelada de aleación final: + = 1 Contenido de aluminio 0.06 + 0.03 0.03 ≥ 0.03 0.06 + 0.03 0.03 ≤ 0.06 Contenido de silicio 0.03 + 0.06 0.06 ≤ 0.05 0.03 + 0.06 0.06 ≥ 0.03 Contenido de carbono 0.04 + 0.03 0.03 ≤ 0.07 0.04 + 0.03 0.03 ≥ 0.03
La función objetivo busca minimizar el coste de la aleación final min = 100 100 + 80 80 1
(b) Vamos a realizar el gráfico de este problema paso a paso, para entender cómo se llega a la solución. Si dibujamos las tres primeras restricciones, tenemos que la región factible es la recta + = 1, como se muestra en esta figura
Si añadimos las restricciones relacionadas con el silicio, la región factible es el segmento AB, donde A=(0.333,0.667) y B=(1,0)
A
B
Si añadimos las restricciones relacionadas con el carbono, la región factible no cambia. Sigue siendo el segmento AB.
A
B
Al incluir la función objetivo, puede verse que el mínimo se alcanza en el punto A (como el óptimo estará en un vértice, basta con sustituir los puntos A y B en la función objetivo). Por tanto, el óptimo será = 33.3%, y = 66,7%, con un coste por tonelada de 86.7 dólares. 2
2. Un fondo de inversión está considerando seis posibles proyectos inmobiliarios durante los próximos 4 años. Se puede emprender cualquiera de los proyectos en parte o en su totalidad. La ejecución parcial de un proyecto prorrateará proporcionalmente tanto el rendimiento como los desembolsos de efectivo que se tengan que realizar. Los rendimientos al finalizar el proyecto y los desembolsos de efectivo que ha de realizar cada año (en miles de dólares) para los proyectos se dan en la siguiente tabla. Los fondos no utilizados al final de un año pueden utilizarse al año siguiente.
Formule el problema como un programa lineal, justificando adecuadamente la respuesta.
SOLUCIÓN: Las variables de decisión son =% de participación en el proyecto i. = cantidad de fondo disponible en el año j no desembolsado en ningún proyecto y que se puede utilizar al año siguiente. Restricciones Las restricciones son los fondos disponibles cada año Año 1: 10.5 + 8.3 + 10.2 + 7.2 + 12.3 + 9.2 + = 60 Año 2: 14.4 + 12.6 + 14.2 + 10.5 + 10.1 + 7.8 − + = 70 Año 3: 2.2 + 9.5 + 5.6 + 7.5 + 8.3 + 6.9 − + = 35 Año 4: 2.4 + 3.1 + 4.2 + 5 + 6.3 + 5.1 − + = 20 La función objetivo busca maximizar el rendimiento max = 32.4 + 35.8 + 17.75 + 14.8 + 18.2 + 12.35 ∈ {0,1}, ≥ 0
3
Si introducimos este modelo en LINDO, se obtiene la siguiente solución:
Por tanto, el óptimo está en participar de forma total en los proyectos 1 a 5, y no participar en el 6
4
