Asignatura: Mecánica Vectorial Dinámica
PRIMERA UNIDAD TEMA Nº 01: CINEMATICA DE PARTÍCULAS - MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Introducción a la dinámica La DINÁMICA , parte de la mecánica que se refiere al análisis de los cuerpos en movimiento. La dinámica incluye: La cinemática, la cual corresponde al estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. La cinética, que es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cinética se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento específico.
El uso de la palabra partículas no significa que el estudio se restringirá a pequeños corpúsculos, sino que en estos primeros capítulos el movimiento de cuerpos —posiblemente tan grandes como automóviles, cohetes o aviones — será considerado sin tomar en cuenta su tamaño. Al afirmar que los cuerpos se analizan como partículas, se entiende que sólo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignora cualquier rotación alrededor de su propio centro de masa.
Posición, Posici ón, veloc velocidad idad y aceleración aceleración Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo.
Posición: La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula.
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a) La coordenada de la posición correspondiente a P en la figura es x = 5 m
b) La coordenada de la posición correspondiente a P’ en la figura es x = -2 m
Velocidad promedio: La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de
∆ ∆t
∆
tiempo t se define como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo : velocidad promedio
velocidad promedio
∆ ∆
∆∆ xt
Sistema internacional (SI)
Sistema Inglés
m/s m (metros) s (segundo)
ft / s (pies por segundo) ft s (segundo)
La velocidad instantánea: La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos desplazamientos x cada vez más cortos:
∆
Velocidad instantánea
∆t
y
v ∆lim→ ∆∆Xt t 0
⁄ ⁄
La velocidad instantánea se expresa también en o . Observando que el límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de x con respecto a t , se escribe
Aceler aci ón promedio: La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo
∆
de tiempo t se refiere como el cociente de
∆v y ∆t:
aceleración promedio
aceleración prom edio
∆ ∆
∆∆vt
Sistema internacional (SI)
Sistema Inglés
m / s2 m/ s s (segundo)
ft / s2 ft / s s (segundo)
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Aceler aci ón instant ánea: La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de cada vez más pequeños: aceleración instantánea
∆t y ∆v
a ∆lim→ ∆∆vt t 0
La aceleración instantánea se expresa también en m/s 2 o ft/s 2. El límite del cociente, el cual es por definición la derivada de v con respecto a t, mide la razón de cambio de la velocidad. Se escribe
a) La partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva
a) La partícula se mueve más lentamente en la dirección negativa
c) La partícula se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva
d) La partícula se está moviendo más rápido en la dirección negativa
El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a “a” cuando la rapidez de la partícula (esto es, la magnitud de “v” ) disminuye; la partícula se mueve entonces con mayor lentitud. También: a
dv dx dv dt dx dt
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t . En consecuencia, la velocidad v es constante, se tiene entonces: dx dt
v constante
La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante x 0 el valor inicial de x , se escribe:
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Asignatura: Mecánica Vectorial Dinámica x
t
∫ dx v ∫ dt x0
0
x vt x x + vt x
0
0
Esta ecuación puede utilizarse sólo si la velocidad de la partícula es constante.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante, y entonces se tiene: dv dt
a constante
La velocidad v de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación: v
t
∫ dv a ∫ dt v v at v v + at
v0
0
0
0
donde v 0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en (11.1), se escribe dx dt
v + at 0
Al denotar mediante x0 el valor inicial de x e integrar, se tiene x
t
∫ dx ∫v + atdt 0
x0
0
x v t + 12 at 1 x x + v t + at 2 x
0
0
0
0
2
2
También se puede recurrir a la ecuación (11.4) y escribir dv dt dv dt
a constante
dx dv a constante dx dt dv v dx
a vdv adx ucontinental.edu.pe
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Al integrar ambos lados, se obtiene: v
x
∫ vdv ∫ adx v0
x0
1 2 v 2
( v ) a x x v v + 2a x x 2
2 0
0
2 0
0
Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones útiles entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apropiados de a, v 0 y x 0
Problema 01: Un autobús comienza desde el reposo con una aceleración
⁄. Determine el tiempo requerido para que alcance una ⁄ y la distancia recorrida.
constante de velocidad de
Solución: De los datos:
;
⁄ ;
;
⁄
Sistema de coordenadas: El sistema de coordenadas se entiende desde el origen fijo O hasta el tren y es positiva a la derecha. Tiempo requerid o para que alcance una velocidad de
⁄
+ + ; Distancia recorrida
+ + + + + + ; .
Movimiento de varias partículas Movimiento relativo de dos partículas: Cuando dos partículas A y B se mueven a lo largo de la misma línea recta, es probable que nos interese considerar el movimiento relativo de B con respecto a A
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⁄A la coordenada de posición relativa de B con respecto
Si se denota mediante xB a A , se tiene:
+ ⁄
Al diferenciar la ecuación anterior una y dos veces con respecto a t , se obtiene la velocidad y aceleración respectivamente:
⁄
⁄
+ ⁄ + ⁄
donde vB A y aB A representan, respectivamente, la velocidad relativa y la aceleración relativa de B con respecto a A.
Bloques co nectados mediante cuerdas de lon gitud constante: Cuando varios bloques se conectan mediante cuerdas de longitud constante, es posible escribir una relación lineal entre sus coordenadas de posición. Es posible escribir entonces relaciones similares entre sus velocidades y entre sus aceleraciones que se usan para analizar su movimiento.
Solución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo En ocasiones resulta conveniente utilizar una solución gráfica para problemas que implican el movimiento rectilíneo de una partícula. La solución gráfica que se usa de manera más común incluye a las curvas x -t , v -t y a-t . Para cualquier tiempo t,
en tanto que, sobre cualquier intervalo de tiempo dado de t1 a t2,
á á Problema 02: Una partícula comienza desde y viaja a lo largo de una línea recta con una velocidad +⁄ , donde t está en segundos. Construya los gráficos y para el intervalo de tiempo ≤ ≤ Solución De los datos:
Grafico
+ ⁄ ucontinental.edu.pe
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|= ⁄ |= |= ⁄
Grafico
es cero cuando entonces: ; La velocidad de la partícula para ; serán: |= + ⁄ |= + ⁄ |= + ⁄ La pendiente del gráfico
Referencias bibliog ráficas consu ltadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Dinámica”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler , R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Dinámica”. Décimo cuarta edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler . (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Dinámica. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos.
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PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL DINÁMICA N° 01 Tema: Cinemática de partículas - Movimiento rectilíneo Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana
Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/2017 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( )
INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes.
⁄
1. Cuando un tren se desplaza a lo largo de una vía recta a , comienza a acelerarse con una aceleración en donde está en . Determine su velocidad y la posición 3 s después de la aceleración.
−
⁄
2. Una pelota de béisbol se lanza hacia abajo de una torre de 50 ft (pies) con una velocidad inicial de 18 ft⁄s. Determine la velocidad a la que golpea el suelo y el tiempo de viaje. 3. Un tren que inicialmente se encuentra detenido comienza desde el descanso en la estación A y se acelera a durante 60 s . Después viaja con una velocidad constante durante 15 min . A continuación, se desacelera a hasta que se pone en reposo en la estación B. Determine la distancia entre las estaciones.
. ⁄
4. La posición
⁄
de
una partícula en una línea recta viene dada por t es en segundos. Determine la posición de la partícula cuando y la distancia total que viaja durante el intervalo de tiempo de 6 s . Sugerencia: Trace la trayectoria para determinar la distancia total recorrida.
+ donde
5. Un coche deportivo viaja a lo largo de una carretera recta con una aceleración-desaceleración descrita por el gráfico. Si el coche empieza desde el reposo, determine la distancia que el carro viaja hasta que se detenga. Construir el gráfico para
≤≤
′
′
Referencias bibliog ráficas consu ltadas y/o enlaces recomendados Beer F., Jhonston R., (2010). “Mecánica Vectorial para Ingenieros – Dinámica”. Décima edición. Mc. Graw-Hill Interamericana. México. Hibbeler , R.C. (2012). “Ingeniería Mecánica – Dinámica”. Décimo cuarta edición. Pearson Educación. México. Bedford Fowler . (2013) “Mecánica Vectorial para Ingenieros”. Dinámica. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, S.A. Estados Unidos. ucontinental.edu.pe
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