MATERIA: SOFTWARE ESPECIALIZADO ESPECIALIDAD: LIC. EN PEDAGOGIA FECHA: __________ NOMBRE DEL PROFESOR: ING. FIDENCIO RIVAS MARTÍNEZ NOMBRE DEL ALUMNO: PRUEBA DE LAS RACHAS PARA ALEATORIEDAD Aunque la palabra “aleatorio” se ha usado muchas veces en este libro, en ninguno de los capítulos anteriores
se ha dado una prueba para aleatoriedad. La teoría de las rachas proporciona una prueba no paramétrica para aleatoriedad. Para entender qué es una racha, considérese una secuencia formada por dos símbolos, a y b, por ejemplo, a a j b b b j a j b b j a a a a a j b b b j a a a a j (10) Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, a puede representar “cara” y b puede ser “cruz”; o al
muestrear los tornillos producidos con una máquina, a puede corresponder a “defectuoso” y b a “no defectuoso”.
Una racha se define como un conjunto de símbolos idénticos (o semejantes) que se encuentran entre dos símbolos diferentes o entre ningún símbolo (como el principio y el final de la secuencia). Si se lee la secuencia (10) de izquierda a derecha, la primera racha, cuyo fin está señalado por una línea vertical, consta de dos a; de manera similar, la segunda racha consta de tres b; la tercera racha consta de una a, etc. En total hay siete rachas. Parece claro que debe existir alguna relación entre aleatoriedad y cantidad de rachas. Así, en la l a secuencia a j b j a j b j a j b j a j b j a j b j a j b j (11) se observa un patrón cíclico, en el que aparece una a y luego una b, otra vez una a y luego una b, etc., que sería difícil pensar que fuera aleatorio. En este caso, se tienen demasiadas rachas (en realidad, se tiene la cantidad máxima posible, dada la cantidad de letras a y letras b). Por otro lado, en la secuencia se cuencia aaaaaajbbbbj aaaaajbbbj parece haber un patrón de tendencia en el que se agrupan (o acumulan) las letras a y las letras b. En este caso hay muy pocas rachas y no se puede considerar que esta secuencia sea aleatoria. Por lo tanto, se considerará que una secuencia no es aleatoria si hay demasiadas o muy pocas rachas; si no es así, se considera que la secuencia es aleatoria. Para cuantificar esta idea, supóngase que se forman todas las secuencias posibles que tengan una cantidad N1 de letras a y una cantidad N2 de letras b haciendo un total N de símbolos (o letras) (N1 + N2 = N ). La colección de todas estas secuencias proporciona una distribución Ing. Fidencio Rivas Martínez
Página 1
muestral: a cada secuencia le corresponde una cantidad de rachas, denotada V. De esta manera se llega a la distribución muestral del estadístico V. Puede demostrarse que esta distribución muestral tiene media y varianza dadas, respectivamente, por las fórmulas:
Empleando las fórmulas (13), se puede probar la hipótesis de aleatoriedad al nivel de significancia adecuado. Se encuentra que, si tanto N1 como N2 son por lo menos 8, entonces la distribución muestral de V se aproxima a una distribución normal. Por lo tanto,
tiene distribución normal, con media 0 y varianza 1, y por lo tanto puede emplearse el apéndice II.
“
EJERCICIOS”
1. En cada una de estas secuencias, determinar la cantidad, V, de rachas. a) A B A B B A A A B B A B b) H H T H H H T T T T H H T H H T H T 2. A 25 personas se les preguntó si les gustaba un producto (lo que se indica por Y y N, respectivamente). El resultado muestral obtenido es el que se presenta en la secuencia siguiente: YYNNNNYYYNYNNYNNNNNYYYYNN a) Determinar la cantidad, V, de rachas. b) Al nivel de significancia 0.05, probar si estas respuestas son aleatorias
Ing. Fidencio Rivas Martínez
Página 2
Ing. Fidencio Rivas Martínez
Página 3
Ing. Fidencio Rivas Martínez
Página 4
