F.C.E.I.A. – U.N.R.
Investigación Operativa II
PRÁCTICA 2 – 2016 Cadenas de Markov
2.1
El fabricante de un dentífrico B controla actualmente el 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior muestran que el 88% de los consumidores de este dentífrico lo siguen usando, mientras que el 12% restante cambian a otras marcas. Además, el 85% de los usuarios de la competencia permanecieron leales, mientras que el 15% restante cambió a B. Considerando que estas tendencias continúan,
a)
Hallar la matriz de probabilidades de transición de estados y verificar que es una matriz estocástica.
b) Determinar la parte del mercado que corresponde a B en 5 años. (Rta: 56.48%). c) Si actualmente el dentífrico B controlara el 90% del mercado (en lugar del 60%), qué parte del mercado correspondería correspondería a B en 5 años? (Rta: 62.7%)
d) Determinar la parte del mercado que corresponde a B a largo plazo. (Rta: w1= 0.56; w2= 0.44). 2.2 Las uvas del valle de Mendoza se clasifican como superiores, regulares o malas. Después de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el año siguiente una cosecha superior, regular o mala son de 0, 0.8 y 0.2, respectivamente; después de una cosecha regular las probabilidades son 0.2, 0.6 y 0.2 y después de una cosecha mala son 0.1, 0.8 y 0.1.
a)
Hallar la matriz de probabilidades de transición de estados y verificar que es una matriz estocástica.
b) Realizar el diagrama de transición de estados y clasificar los estados. c) Determinar las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los próximos tres años si la primera fue regular. Rta: 0.154
d) Para este año los pronósticos climáticos no son muy alentadores por lo que la probabilidad de tener una cosecha cosecha superior es de 0.20, la de una cosecha cosecha regular es de 0.30 y de una mala mala es de 0.50. Determinar las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los próximos tres años
e) ¿Tiene este proceso un comportamiento estable en el largo plazo? f) Determinar las probabilidades a largo plazo de cada tipo de cosecha si la primera fue superior. Rta: w1= 0.1515; w 2= 0.6667; w 3= 0.1818
2.3
Una línea aérea con un vuelo a las 7:15 hs. entre las ciudades de Córdoba y Rosario no desea que el vuelo salga retrasado dos días consecutivos. Si el vuelo sale retrasado un día, la línea aérea realiza un esfuerzo especial al día siguiente para que el vuelo salga a tiempo, y lo logra el 90% de las veces. Si el vuelo no salió con retraso el día anterior, la línea aérea no realiza arreglos especiales, y el vuelo parte de acuerdo con lo programado el 60% de las veces. ¿Qué porcentaje de veces parte con retraso el vuelo?
Rta: 31%
2.4
Una compañía revisa el estado de uno de sus productos importantes sobre una base anual y verifi ca si tiene éxito o no lo tiene. Después la compañía debe decidir si realiza publicidad al producto a fin de promocionar las ventas más a fondo. Las matrices P1 y P2 que se dan a continuación contienen las probabilidades de transición con y sin publicidad durante un año cualquiera. Los rendimientos asociados están dados en las matrices R1 y R2.
0.9
0.1
P1=
2
-1
R1= 0.6
0.4
1
-3
0.7
0.3
4
1
2
-1
P2=
R2= 0.2
0.8
Determinar que política, respecto a la publicidad, deberá seguir la compañía a fin de generar el mayor ingreso anual esperado a largo plazo. Rta: Hacer publicidad si el producto NO fue exitoso, y NO
hacer publicidad si el producto fue exitoso, con un incremento anual del ingreso esperado de 1.86 u.m., a largo plazo.
2.5
Un agricultor siembra anualmente soja en su campo. Todos los años, al inicio de la estación de siembra realiza pruebas químicas para revisar la condición del suelo. Dependiendo de los resultados de las pruebas, puede clasificar la productividad del campo para la nueva temporada como buena, regular o deficiente. Con el paso de los años, el agricultor observó que la productividad del año en curso puede suponerse dependiente sólo de la condición del suelo del año anterior. Por lo tanto, puede representar las probabilidades de transición en un período de un año, de un estado de productividad a otro de la siguiente manera:
P1=
1
2
3
1
0.2
0.5
0.3
2
0
0.5
0.5
3
0
0
1
(1 = suelo bueno,
2= suelo
regular, 3= suelo deficiente)
Para mejorar estas probabilidades de transición, el agricultor puede fertilizar el suelo. Si lo hace, sus probabilidades de transición serán:
P2=
1
2
3
1
0.3
0.6
0.1
2
0.1
0.6
0.3
3
0.05
0.4
0.55
Las matrices siguientes representan las ganancias o pérdidas durante un período de un año, dependiendo de los estados entre los que se haga la transición:
R1=
1
2
3
1
7
6
3
2
0
5
1
3
0
0
-1
R2=
1
2
3
1
6
5
-1
2
7
4
0
3
6
3
-2 2
¿Qué política deberá seguir el agricultor a fin de generar un mayor ingreso esperado a largo plazo? Rta:
Fertilizar cualquiera sea el estado del suelo, con un incremento anual del ingreso esperado de 2.256 u.m., a largo plazo.
2.6
Una compañía constructora ha ganado un contrato para construir una carretera en una zona volcánica. La compañía ha determinado que el polvo volcánico obstruirá los filtros de las máquinas con mucha rapidez y provocará que los camiones dejen de funcionar. Los filtros se revisan todos los días al iniciar la jornada laboral; y se clasifican como limpios, parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias anteriores han demostrado que un filtro limpio, al día siguiente, tiene una probabilidad 0.1 de permanecer limpio, una probabilidad 0.8 de quedar parcialmente obstruido y una probabilidad 0.1 de quedar totalmente obstruido. Un filtro que ya está parcialmente obstruido, al día siguiente, tiene una probabilidad de 0.5 de permanecer en el mismo estado y una probabilidad de 0.5 de quedar totalmente obstruido. Cuando un camión tiene el filtro totalmente obstruido pierde ese día de trabajo, mientras su filtro se limpia, quedando disponible para su uso recién al día siguiente. Si un camión que deja de operar le cuesta a la compañía 100 u.m. por día perdido de trabajo y 120 u.m. para limpiar un filtro totalmente obstruido. ¿Cuánto le costará a la compañía seguir una política de no limpiar los filtros sino hasta que estén totalmente obstruidos? Rta: Se tendrá a largo plazo un costo
promedio diario de 57,2 u.m por camión.
2.7
Con respecto al ejercicio anterior, si limpiar un filtro parcialmente obstruido tiene un costo de 20 u.m ¿Cuánto le costará a la compañía seguir una política de operar siempre con filtros limpios? (limpiar los filtros cuando estén parcial ó totalmente obstruidos) Rta: Se tendrá a largo plazo un costo
promedio diario de 62,18 u.m por camión.
2.8
Una fábrica posee un taller de mantenimiento que se dedica a arreglar piezas de un grupo de máquinas. Todos los días un encargado revisa las máquinas, devuelve las que ya se han arreglado, y lleva al taller las piezas rotas. La probabilidad que no falle ninguna pieza es del 40%, de que falle una pieza es del 30% y de que fallen 2 o mas piezas es del 30%. Debido a restricciones de espacio, el taller no puede tener más de dos piezas juntas para arreglar. La probabilidad de arreglar para el día siguiente una pieza que está en el taller es del 60%. Determinar el porcentaje de tiempo que el taller permanece ocioso. Rta: 23,39 %
2.9
Un operario supervisa dos máquinas automáticas idénticas. Cada máquina puede presentar algún problema de funcionamiento, y por lo tanto requerir la atención del operario, en instantes al azar y en forma independiente una de otra. El operario requiere 5 minutos para solucionar cada uno de los problemas. La probabilidad de que una máquina requiera atención en un intervalo de 5 minutos es 0,4. Se puede entonces aproximar la situación real dividiendo el tiempo en intervalos consecutivos de 5 minutos, y suponiendo que:
Si una máquina requiere atención esto sucede siempre en el instante inicial de uno de esos períodos. En cada período puede ser atendida a lo sumo una sola máquina, con un tiempo de atención de 5 minutos, y por lo tanto la misma comienza el siguiente período funcionando sin problemas (certeza).
a)
Definir los estados del sistema, dibujar el diagrama de transición de estados, y construir la matriz de probabilidades de transición.
b)
Si las dos máquinas están funcionando bien a las 8:00 horas de la mañana, encontrar las probabilidades de estado a las 8:05 y 8:10 horas.
c)
Encontrar las probabilidades de estado estacionario del proceso. En el largo plazo, ¿cuál es la probabilidad de que el operario esté inactivo en un intervalo de 5 minutos? ¿Qué proporción de períodos de 5 min. estará ocupado en el largo plazo? ¿Cuál es el número medio de máquinas que requieren atención en un intervalo cualquiera de 5 min., en el largo plazo? 3
d)
El costo de oportunidad de la producción perdida, cuando una máquina está detenida o siendo atendida en un período de 5 min., es de 5 UM. ¿Cuál es el costo de oportunidad, en el largo plazo, de la producción perdida en un turno completo de 8 horas?
4
