Markov Chain Kismanto Prihantoro Mahasiswa Jurusan TeknikIndustri, Universitas Gunadarma E-mail :
[email protected] Abstrak
Prinsipnya, ketika kita mengamati rangkaian probabilitas percobaan, semua hasil masa lalu bisa mempengaruhi prediksi untuk percobaan berikutnya. Tahun 1907, A.A. Markov mulai mempelajari teori baru yang yang berkaitan dengan probabilitas, dalam proses ini hasil percobaan tertentu dapat mempengaruhi hasil percobaan berikutnya. Makalah ini akan membahas apakah proses stokastik itu, yang merupakan dasar dari Markov Chain, bagaimana prinsip dasar, teorema yang berlaku, status status Markov Chain, lalu bagaimana penerapan atau aplikasinya. Contoh studi kasus mendapatkan hasil yaitu perkiraan ramalan cuaca pada hari Senin 42% peluang akan cerah, 42% akan berawan, dan 15% hujan. Kata kunci: markov chain, chain, stokastik , state 1.
Latar Belakang
Sebagian besar penelitian probabilitas menangani proses percobaan independen, ini merupakan dasar teori probabilitas klasik dan mengarah ke statistik. Kita telah melihat bahwa ketika urutan eksperimen membentuk independen maka hasil yang mungkin untuk setiap percobaan adalah sama. Lebih lanjut, pengetahuan dari hasil percobaan sebelumnya tidak mempengaruhi hasil berikutnya. Teori probabilitas probabilitas modern memungkinkan mengetahui hasil h asil sebelumnya untuk memprediksi hasil percobaan selanjutnya. Prinsipnya, ketika kita mengamati rangkaian probabilitas percobaan, semua hasil masa lalu bisa mempengaruhi prediksi untuk percobaan berikutnya. Oleh karena itu dalam makalah ini akan menjelaskan lebih jauh tentang teori tersebut, yaitu Proses Markov berupa Markov Chain dan penerapan teori tersebut. 2.
Landasan Teori
2.1
Sejarah Markov Chain
Markov Chain baru diperkenalkan sekitar tahun 1907, oleh seorang Matematisi Matematisi Rusia Andrei A. Markov (1856-1922). Andrey Markov menghasilkan hasil pertama (1906) untuk proses ini, murni secara teoritis. Sebuah generalisasi ke bentuk tak terbatas dalam ruang diskrit diberikan oleh Kolmogrov (1936). Rantai Markov terkait dengan gerak Brown dan ergodic hipotesis dua topik dalam fisika yang penting dalam tahun-tahun awal abad ke-20, tetapi tampaknya Markov lebih fokus pada perluasan Hukum Bilangan Besar dalam percobaaan-percobaaannya. Model ini berhubungan dengan suatu rangkaian proses dimana kejadian akibat suatu suatu eksperimen hanya tergantung pada kejadian yang langsung mendahuluinya dan tidak tergantung tergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya sebelum-sebelumnya yang lain. Pada 1913, ia menerapkan temuannya untuk pertama kalinya untuk 20.000 pertama Pushkin huruf ”Eugine Onegin”. 2.2
Proses Acak
Pengelompokkan tipe populasi dari proses acak bisa digambarkan sebagai jika X adalah proses acak, maka populasi dari proses acak adalah semua nilai yang mungkin yang bisa dimasukkan dalam suatu proses contohnya Jika X adalah proses acak yang menggambarkan suatu persamaan, maka populasi dari X dapat digambarkan sebagai suatu nilai yang memenuhi me menuhi persamaan tersebut. Jika populasi dari S dari suatu
proses acak X dapat dihiting (contoh S={1,2,3,…}), dalam hal ini X disebut Discrete Time Random Process perubahan state terjadi pada titik-titik integer. Jika populasi dari S dari suatu proses acak X tidak dapat dihitung ( contoh S = ∞) maka X disebut Continuous Time Random Process perubahan state (discrete state) terjadi pada sembarang waktu. Markov Chain merupakan proses acak di mana semua informasi tentang masa depan terkandung di dalam keadaan sekarang (yaitu orang tidak perlu memeriksa masa lalu untuk menentukan masa depan). Untuk lebih tepatnya, proses memiliki properti Markov yang berarti bahwa bentuk ke depan hanya tergantung pada keadaan sekarang, dan tidak bergantung pada bentuk sebelumnya. Dengan kata lain, gambaran tentang keadaan sepenuhnya menangkap semua informasi yang dapat mempengaruhi masa depan dari proses evolusi. Suatu Markov Chain merupakan proses stokastik berarti bahwa semua transisi adalah probabilitas (ditentukan oleh kebetulan acak dan dengan demikian tidak dapat diprediksi secara detail, meskipun mungkin diprediksi dalam sifat statistik),(www.wikipedia.org). 2.3
Konsep Dasar Markov Chain
Apabila suatu kejadian tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari beberapa kemungkinan kejadian , maka rangkaian eksperimen tersebut disebut Proses Stokastik. Sebuah rantai Markov adalah suatu urutan dari variable-variabel acak X 1, X 2, X 3,…… sifat Markov yaitu, mengingat keadaan masa depan dan masa lalu keadaan yang independen, dengan kata lain nilai yang mungkin untuk membentuk X i S disebut ruang keadaan rantai. Markov Chain adalah sebuah Proses Markov dengan populasi yang diskrit ( dapat dihitung) yang berada pa da suatudiscrete state (position) dan diizinkan utk berubah state pada time discrete. Status-statusnya adalah: 1. Reachable State Status j reachable dari status i apabila dalam rantai dpat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah transisi berhingga; Terdapat n, 0 ≤ n ≤ ∞, sehingga P nij > 0 2. Irreduceable Chain Jika dalam suatu rantai Markov setiap status reachable dari setiap status lainnya, rantai tersebut adalah irreduceable. 3. Periodic State Suatu status i disebut periodic dengan peroda d > 1, jika pnii > 0, hanya untuk n = d, 2d, 3d,. . .; sebaliknya jika pnii > 0, hanya untuk n = 1, 2, 3, … maka status tersebut disebut aperiodic. 4. Probability of First Return Probabilitas kembali pertama kalinya ke status i terjadi dalam n transisi setelah meninggalkan i. (note: f i(0) didefinisikan = 1 untuk semua i) 5. Probability of Ever Return Probabilitas akan kembalimya ke status i setelah sebelumnya meninggalkan i. 6. Transient State Suatu status disebut transient jika probabilitas f i < 1; yaitu bahwa setelah dari i melalui sejumlah transisi terdapat kemungkinan tidak dapat kembali ke i.
7. Recurrent State Suatu status disebut recurrent jika probabilitas f i = 1; yaitu bahwa setelah dari i melalui sejumlah transisi selalu ada kemungkinan untuk kembali ke i. 8. Mean Recurrent Time of State Untuk suatu status recurrent, jumlah step rata-rata untuk kembali ke status i 9. Null Recurrent State Suatu Recurrent State disebut recurrent null jika mi = ∞ 10. Positive Recurrent State Suatu recurrent state disebut positive recurrent atau recurrent nonnull jika mi <∞ 11. Communicate State Dua status, i dan j, dikatakamn berkomunikasi jika i reachable dari j dan juga reachable dari i ; ditulis dengan notasi 12. Ergodic Rantai Markov disebut ergodic jika , irreduceable, aperiodic, dan seluruh status positive recurrent. 2.4
Teorema-Teorema
2.4.1
Teorema mengenai Relasi Ekovalensi
a. Relasi i <—> j merupakan relasi ekuivalen 1. untuk setiap status i , berlaku i <—> i 2. jika i <—> j, maka juga j <—> i 3. jika i <—> j dan j <—> k maka i <—> k b. Status-status suatu Rantai Markov dapat dipartisi kedalam kelas-kelas ekivalensi sehingga i <—> j, jika dan hanya jika i dan j berada dalam kelas ekivalensi yang sama. c. Suatu Rantai Markov irreducible jika dan hanya jika didalamnya hanya terdiri atas tepat satu kelas ekivalensi. d. Jika i<—> j, maka i dan j memiliki periode yang sama. e. Untuk i<—> j, jika i recurrent maka juga j recurrent. 2.4.2
Teorema mengenai Irreducible
Jika {Xn}suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi: 1. Semua status adalah positif recurrent 2. Semua status recurrent null 3. Semua status trancient 2.4.3
Teorema mengenai Limiting Probability
Definisi: π j(n) adalah probabilitas suatu Rantai Markov { Xn}berada dalam status j pada step ke n. Maka π j(n) = P[ Xn = j]
Distribusi awal ( initial ) dari masing-masing status 0, 1, 2, …… dinyatakan sebagai π j(0) = P[ X0 = j], untuk j = 0, 1, 2, …… Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasioner π = (π0, π1, π2, …., πn ) apabila terpenuhi persamaan π = π P asalkan setiap πi ≥ 0 dan ∑i πi =1. Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke waktu) yang irreducible, aperiodic, maka limit probabiltasnya, untuk j = 0, 1, ……selalu ada dan independent dari distribusu probabilitas status awal π (0) = (π0(0) , π1(0) , π2(0), …..). Jika seluruh status tidak positif recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau seluruhnya transient), maka π j = 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas stasioner. 4.
Aplikasi
4.1
Fisika
Sistem Markovian muncul secara luas dalam termodinamika dan mekanika statistika probabilitas setiap kali digunakan untuk mewakili unmodelled diketahui atau rincian dari sistem, jika dapat diasumsikan bahwa dinamika waktu-invarian, dan bahwa tidak ada sejarah yang relevan perlu dipertimbangkan yang tidak sudah termasuk di keadaan bagian deskripsi. 4.2
Kimia
Sebuah algoritma yang berdasarkan rantai Markov digunakan untuk memfokuskan pertumbuhan berdasarkan fragmen-bahan kimia di silico menuju kelas yang diinginkan dari senyawa seperti obatobatan atau produk alami. Sebagai molekul tumbuh, sebuah fragmen dipilih dari molekul baru lahir sebagai “saat ini” keadaan. Hal ini tidak menyadari masa lalu (yaitu, tidak menyadari apa yang sudah terikat untuk itu). Ini kemudian transisi ke keadaa n berikutnya ketika sebuah fragmen yang melekat padanya. 4.3
Test Pengujian
Beberapa teoretikus telah mengusulkan gagasan tentang rantai Markov uji statistik (MCST), sebuah metode Markov conjoining rantai untuk membentuk suatu ‘Markov selimut’, mengatur rantai ini di beberapa lapisan rekursif ( ‘wafering’) dan memproduksi lebih efisien set uji – sampel – sebagai pengganti pengujian lengkap. MCST juga memiliki kegunaan dalam keadaan dunia berbasis jaringan; Chilukuri et al. ‘S makalah berjudul “Temporal Ketidakpastian Penalaran Bukti Jaringan untuk Aplikasi untuk Fusion dengan Obyek Deteksi da n Pelacakan” (ScienceDirect) memberikan latar belakang yang sangat baik dan studi kasus untuk menerapkan MCSTs ke lebih beragam aplikasi. 4.4
Teori Queueing
Rantai Markov juga dapat digunakan untuk model berbagai proses dalam teori queueing dan statistic. Seperti model ideal dapat menangkap banyak statistik keteraturan sistem. Bahkan tanpa menjelaskan struktur penuh dari suatu sistem sempurna, seperti model-model sinyal dapat sangat efektif sehungga memungkinkan kompresi data melalui pengkodean entropi teknik. Mereka juga memungkinkan estimasi keadaan dan pengenalan pola. Dunia sistem telepon selular tergantung pada algoritma Viterbi untuk kesalahan-koreksi, sementara model Markov Tersembunyi adalah secara ekstensif digunakan dalam pengenalan suara dan juga dalam bioinformatika misalnya untuk daerah pengkode / gen prediksi. 4.5
Statistik
Metode Rantai Markov juga menjadi sangat penting untuk menghasilkan angka acak urutan
mencerminkan secara akurat distribusi probabilitas sangat rumit yang diinginkan, melalui p roses yang disebut Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Dalam beberapa tahun terakhir ini telah merevolusionerkan kepraktisan Inferensi Bayesian metode, yang memungkinkan berbagai distribusi posterior menjadi simulasi dan parameter yang ditemukan secara numerik. 4.6
Ilmu sosial
Rantai Markov biasanya digunakan dalam menggambarkan argumen, di mana saat ini kondisi konfigurasi struktural hasil masa depan. Contoh adalah umumnya berpendapat hubungan antara pembangunan ekonomi dan bangkitnya demokrasi. Sekali suatu keadaan mencapai tingkat tertentu perkembangan ekonomi, konfigurasi faktor struktural, seperti ukuran borjuis komersial, rasio tinggal di pedesaan perkotaan, tingkat politik, mobilisasi, dll, akan menghasilkan probabilitas yang lebih tinggi trensisi dari otoriter aturan demokratis. 5.
Pembahasan Soal
Cuaca kota Bekasi dapat diperkirakan sebagai berikut 1. Jika hari ini cerah maka besok akan berpeluang 60% cuaca cerah, 30% berawan, dan 10% akan turun hujan. 2. Jika hari ini berawan maka besok akan berpeluang 40% cuaca cerah, 45% berawan, dan 15% akan turun hujan. 3. Jika hari ini hujan maka besok akan berpeluang 15% cuaca cerah, 60% berawan, dan 25% akan turun hujan Jika pada hari Jumat hujan maka perkiraan cuaca hari Senin? Terlihat jelas bahwa perkiraan cuaca dapat diselesaikan dengan Discrete Time Markov Chain 1. Proses selanjutnya hanya tergantung pada proses saat ini. 2. Waktu diskrit dan populasi diskrit. 3. Stasioner dari waktu ke waktu Discrete Time Markov Chain terdapat 3 fase, kita misalkan 1= cerah, 2= berawan, 3= hujan, dan sebelum hari Jumat kita anggap 0, maka Matrik transisi Cuaca pada hari Sabtu π (1) maka 15% peluang akan cerah, 60% akan berawan, dan 25% hujan Cuaca pada hari Minggu π (2) Cuaca pada hari Senin π (3) maka 42% peluang akan cerah, 42% akan berawan, dan 15% hujan Akan sangat bermanfaat menampilkan Discrete Time Markov Chain secara grafis. Lingkaran melambangkan fase dan anak panah diberi angka peluang yang akan terjadi, dari soal diatas model grafiknya 6.
Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil pada penulisan makalah tentang Markov Chain adalah: 1. Proses stokastik adalah suatu kejadian tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari beberapa kemungkinan kejadian. 2. Sebuah rantai Markov adalah suatu urutan dari variable-variabel acak X 1, X 2, X 3,…… sifat
Markov yaitu, mengingat keadaan masa depan dan masa lalu keadaan yang independen, dengan kata lain nilai yang mungkin untuk membentuk X i S disebut ruang keadaan rantai. 3. 3. Teorema- teorema yang berlaku pada Markov Chain yaitu teorema mengenai Relasi Ekovalensi, teorema mengenai Irreducible, t eorema mengenai Limiting Probability 4. 4. Status-status Markov Chain adalah Reachable State, Irreduceable Chain, Periodic State, Probability of First Return, Probability of Ever Return, Transient State, Recurrent State, Mean Recurrent Time of State, Null Recurrent State, Positive Recurrent State, Communicate Stat, dan Ergodic. 7.
Daftar Pustaka
Teks klasik in Translation: AA Markov. Sebuah Contoh Statistik Investigasi Teks Eugene Onegin Mengenai Koneksi Sampel in Chains, terj. David Link. David Link. Science in Context 19.4 (2006): 591-600. Sains dalam Konteks JL, Doob. Stochastic Processes.1953.ISBN 0-471-52369-0. New York: John Wiley and Sons E. Nummelin. “General irreducible Markov chains and non-negative operators”. “Jenderal direduksikan rantai Markov dan non-operator negatif”. Cambridge University Press, 1984, 2004. ISBN 0-521-60494-X Cambridge University Press www.wikipedia.org www.google.com(Markov Chain) MatematikaCyberBoardSOS.
