Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing. Miguel Jiménez C.
Hoja 1/6
Cadenas de Markov
Problema 1
Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada periodo es como sigue: (1) Se observa el nivel de inventario (llamémosle i) al principio del periodo. (2) Si i 1, se piden 4 – i unidades. Si i 2, no se hace ningún pedido. (3) No hay demanda de unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3, y se demanda una unidad durante el periodo, con probabilidad 1/3, y se demandan 2 unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3 (4) Se observa el nivel de inventario al principio del periodo. Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo. Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema d de e inventario como una cadena de Markov. Solución
0
1
2
3
4
Estados
0
0
0
1/3
1/3
1/3
0 unidades
1
0
0
1/3
1/3
1/3
1 unidad
2
1/3
1/3
1/3
0
0
2 unidades
3
0
1/3
1/3
1/3
0
3 unidades
4
0
0
1/3
1/3
1/3
4 unidades
Problema 2
Se usa una máquina para producir herramientas de precisión. Si la máquina esta hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de probabilidad. Si la máquina está en mal estado hoy, entonces estará en mal estado mañana con 80% de probabilidad. Si la máquina está en buen estado, produce 100 herramientas por día, y si está en mal estado, 60 herramientas por días. En promedio, ¿Cuántas herramientas por día se producen? Solución
Eo
E1
Eo: Buen Estado
Eo
0.9
0.1
Eo: produce 100 herramientas por día
E1: Mal estado
E1
0.2
0.8
E1: produce 60 herramientas por día
Encontrando probabilidades de estado estable t1, t2
0.9
0.1
0.2
0.8
=
t1, t2
0.9t1 + 0.2t2 = t1 0.1t1 + 0.8t2 = t2 t1 + t2 = 1
t2=1/3
E1
t1=2/3
Eo
Producción Promedio = 2/3(200)+1/3(60) 2/3(200)+1/3(60)=86.67 =86.67 herramientas/día
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Hoja 2/6
Cadenas de Markov
Problema 3
Un bosque consta de dos tipos de árboles: los que tienen de 0 a 1.50 m de alto, y los que son más altos. Cada año, muere el 40% de los árboles que tienen menos de 1.50 m, el 10% se venden a 20 dólares cada uno, 30% permanecen entre 0 y 1.50 m, y el 20% crecen más de 1.50. Cada año, el 50% de los árboles de más de 1.50 m se venden a 50 dólares, el 20% se venden a 30 dólares, y el 30% permanecen en el bosque. a) ¿Cuál es la probabilidad de que muera un árbol de 0 a 1.50 m antes de venderse? b) Si se planta un árbol de menos de 1.50 m, ¿Cuál es el ingreso esperado que se va a tener con ese árbol? Solución
Eo= 0 a 1.5 m
Eo
E1
E2
E3
E4
E5
E1: > 1.5 m
Eo
0.3
0.2
0.4
0.1
0
0
E2: Se muere
E1
0
0.3
0
0
0.2
0.5
E3: Se vende a $20
E2
0
0
1
0
0
0
E4: Se vende a $30
E3
0
0
0
1
0
0
E5: Se vende a $50
E4
0
0
0
0
1
0
E5
0
0
0
0
0
1
Eo
E1
Eo
1.429
0.408
E1
0
1.429
-1
(I - N) =
se venden a
-1
(I - N) *A=
Muere
$20
$30
$50
E2
E3
E4
E5
0-1.5m
E0
0.514
0.143
0.082
0.204
>1
E1
0
0
0.286
0.714
a) La probabilidad de que muera un arbol de 0 a 1.5 m : Eo al E2 p=0.571428 b) Se planta de 0 - 1.5m Eo Ingreso esperado = 0.142857*($20)+0.0816326($30)+0.204081($50)=$15.51 Ingreso Esperado=$15.51
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Cadenas de Markov
Hoja 3/6
Problema 4
Las cadenas de Markov se usan en ventas para modelar la probabilidad de que un cliente que se localice por teléfono compre finalmente algún producto. Considere un cliente posible a quien nunca le han llamado. Después de una llamada hay una probabilidad de 60% de que tenga poco interés en el producto, de 30% que muestre gran interés en el producto y 10% de que sea borrado de la lista de posibles clientes. Si un cliente actualmente tiene poco interés en el producto después de una llamada hay 30% de probabilidad de que compre el producto, 20% de que sea borrado de la lista, 30% de que aún tenga poco interés, y 20% de que exprese interés alto. Para un cliente que actualmente expresa alto interés, después de una llamada hay 40% de probabilidad de que compre el producto, 40% de probabilidad de que siga teniendo alto interés, el 10% de que tenga poco interés y 10% de que sea borrado de la lista. ¿Cuál es la probabilidad de que un posible cliente compre al final el producto? Solución
Eo
E1
E2
E3
E4
Eo: Nunca le han llamado
Eo
0
0.6
0.3
0
0.1
E1: Tiene poco interès
E1
0
0.3
0.2
0.3
0.2
E2: Tiene Gran interès
E2
0
0.1
0.4
0.4
0.1
E3: Compra el producto
E3
0
0
0
1
0
E4: Es borrado de la lista
E4
0
0
0
0
1
Eo
E1
E2
Eo
1
0.98
0.83
E1
0
1.5
0.5
E2
0
0.25
1.75
E3
E4
Eo
0.62
0.38
E1
0.65
0.35
E2
0.78
0.23
-1
(I -N) =
(I -N)-1*A=
Posible Cliente Eo R/ Probabilidad de que un posible cliente compre el producto Eo a E3 p=0.6225
Problema 5
En el Perú entre los periódicos de mayor circulación esta La República y El Comercio. Cuando una persona ha comprado La República, hay una probabilidad de 90% que su siguiente compra sea de La República. Si una persona compra El Comercio, hay 80% de probabilidad que su próxima compra sea El Comercio. a) Si actualmente una persona compra El Comercio ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si Actualmente compra La República ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República pasadas 3 compras a partir de hoy?. c) Después de largo tiempo como estará distribuido el mercado de los periódicos. d) Suponga que las ventas anuales entre los dos periódicos en el Perú ascienden a 5 millones de nuevos soles anuales, con una ganancia neta
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Hoja 4/6
Cadenas de Markov
de S/. 1.00 por cada periódico y existe una agencia de publicidad que garantiza que por 2.4 millones de nuevos soles realizará un decremento del 10% al 5% de la fracción de compradores de La República que se Cambian a El Comercio después de una compra. ¿Deben contratar a la empresa de publicidad los ejecutivos de La República? e) Si actualmente una persona compra El Comercio ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República por primera vez en 2 compras a partir de hoy?. Solución
R: La República P=
P2=
a)
P3=
b)
c)
t1
R
C
R
0.9
0.1
C
0.2
0.8
0.9
0.1
0.2
0.8
0.9 0.2
t2 =
0.9
0.1 =
0.83
0.17
0.2
0.8
0.34
0.66
0.1 3
0.781
0.219
0.8
0.438
0.562
t1
t2
X
C: El Comercio
a) P CR (2)=0.34
b) P RR (3)=0.781
0.9
0.1
t1=0.90t1+0.20t2
t1=2/3
0.2
0.8
t2=0.10t1+0.80t2
t2=1/3
1=t1+t2Y d)
P1=
0.95
0.05
0.2
0.8
Ganancia actuales de La República son S/. 5,000,000(1)(2/3)= S/. 3,333,333.33/año
Buscando nuevo estado estable t1=0.95t1+0.20t2
Ganancia Neta
t2=0.5t1+0.80t2
t1=0.8
t1+t2=1
t2=0.2
(0.80)(5,000,000.00)-2,400,000=S/. 1,600,000.00 Por lo tanto no debe contratar a la agencia de Publicidad
e) 0.8 C
0.2 C
=
0.16
R
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Hoja 5/6
Cadenas de Markov
Problema No. 6
Una computadora se inspecciona cada hora. Se encuentra que está trabajando o descompuesta. Si está trabajando la probabilidad de que siga trabajando la siguiente hora es 0.9. Si está descompuesta, se toman las medidas para repararla lo que puede llevar más de una hora. Siempre que la computadora este descompuesta, independientemente de cuanto tiempo haya pasado, la probabilidad de que siga descompuesta la siguiente hora es 0.35. Modele el sistema como una cadena de Markov y determine la matriz de transición. Solución
T: Trabajando
T
D: Descompuesta
T D
D
0.9 0.1 0.65 0.35
Problema 7
Un equipo de béisbol consta de 2 estrellas, 13 novatos y 10 sustitutos. Para fines de impuestos, el propietario debe evaluar a los jugadores. Se define el valor de cada jugador como el valor total del sueldo que gana hasta su retiro. Al inicio de cada temporada, se clasifican los jugador en cuatro categorías: Categoría 1 Categoría 2 Categoría 3 Categoría 4
Estrella (una estrella gana 1 millón de dólares al año. Novato (un novato gana 400 000 dólares al año) Reserva (un reserva gana 100 000 dólares al año) Retirado (no gana salario)
Si un jugador es estrella, novato o reserva al principio de esta temporada, las probabilidades de que pase a ser estrella, novato, reserva o retirado al principio de la siguiente temporada son como sigue: Próxima Temporada Esta Estrella Novato Reserva Retirado Temporada Estrella 0.50 0.30 0.15 0.50 Novato 0.20 0.50 0.20 0.10 Reserva 0.05 0.15 0.50 0.30 Retirado 0 0 0 1 Determine el valor de los jugadores del equipo. Solución
Próxima Temporada Esta Temporada
Estrella
Novato
Reserva
Retirado
Estrella
0.5
0.3
0.15
0.05
Novato
0.2 0.05 0
0.5 0.15 0
0.2 0.5 0
0.1 0.3 1
Reserva Retirado
Estrella
P=
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$1,000,000.00
I
O
Novato
$400,000.00
A
N
Reserva
$100,000.00
Retirado
$0.00
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I-N=
-1
(I-N) =
Hoja 6/6
Cadenas de Markov
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Estrella
Novato
Reserva
Estrella
3.2
2.5
1.96
Estrella = 3.2x$1,000,000 + 2.5($400,000)+$1.96($100,000)=$4,396,00
Novato
1.6
3.53
1.89
Novato=1.6x$1,000,000 + 3.53x$400,000 + 1.89x$100,000=$3,201,000
Reserva
0.8
1.31
2.76
Reserva=0.8x$1,000,000+1.31x$400,000 + 2.76x$100,000=$1,600,000
R/ Estrella
-
0.5
0.3
0.15
0.2
0.5
0.2
0.05
0.15
0.5
$4,396,000.00
Novato
$3,201,000.00
Reserva
$1,600,000.00
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=
0.5
-0.3
-0.15
-0.2
0.5
-0.2
-0.05
-0.15
0.5
