Practica de MAT-99 Por Mario Errol Chavez Gordillo

´ UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDR ES

FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES Pre-Facultativo

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Coordinador: Dr. Mario ξττo s Chavez Gordillo PhD.

´ ctica Preparatoria para el 1er y 2do examen Practica a 2015 - 2do semestre

´ n a la Matema ´tica, MAT-99 Introducci on o Contenido

1. L´ ogica Proposicional ....................................... 2 2. Teor´ıa de Conjuntos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 3. Sistemas Numéricos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17 4. Ex Expresiones Al Algebraicas .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 22 5. Ecu Ecuac acio ione ness de Pr Prim imeer y Segu Segund ndoo grad gradoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6. Sistemas de Ecuaciones ................................... 41 7. Exponenciales y Logaritmos................................ 46 8. Inducci´ on Matem´ atica y Divisibilidad ...................... 53 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Dr. Mar Mario io ξττo s Chavez Gordillo PhD

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´mico Calendario Academico e

PARCIAL CAPÍTULOS Inicio de Clases Primer Parcial 1, 2 , 3 y 4 Segundo Parcial 5, 6 y 7 Examen del Doc oceente 8 Examen del Auxiliar 8 Recuperatorio Culminaci´ on del curso

FECHA Lunes 17 de Agosto del 2015 Sabad a´ badoo 10 10 de de Oct Octub ubre re de dell 2015 2015 Sabado a´bado 5 de Dic Diciem iembre bre del 2015 Martes 15 de Diciembre del 2015 Jueves 10 de Diciembre del 2015 Sábado abado 12 de Diciembre del 2015 Martes 15 de Diciembre del 2015

PUNTOS 35 pu pun nto toss 35 pun puntos tos 20 puntos 10 puntos

´ gica Proposicional Cap´ıtulo I. Logica o ´ lico Traduciendo del lenguaje natural al simbolico o

1. Representar, en el lenguaje de la lógica ogica proposic proposicional, ional, la frase frase:: “Si la seq sequ u´ıa persis persiste te no s´ o lo se olo secarán an los pastos sino que aumentarán an los incendios forestales” 2. Representar la afirmación: on: Se sabe que si continúa ua la incertidumbre habrá un aumento en las tasas de interés es y se s e sab s abee tambi´ t ambién en que la devalu devaluaci´ ación on será acelerada. 3. Con base en las mismas proposiciones del ejemplo anterior, ¿cuál al debe ser el enunciado si la representación on adecuada es p es p (q r )? 4. Considere los enunciados: A: Juan regresa temprano, y va a misa o se queda en casa. B : Juan regresa temprano y va a misa, o se queda en casa. Determine cuál de las representaciones ( p ( p q ) r , y p (q r ), se corresponde con A con A y cuál al con B con B . Es un hecho que los enunciados A y B no tienen el mismo significado. Posteriormente veremos que esto se corresponde con la no equivalencia de las fórmulas ormulas que los representan. 5. Representar el razonamiento siguiente, en el lenguaje de la lógica ogica proposicional: Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan. 6. Expresar en términos erminos de lógica ogica simb´ olica la siguiente expresión: olica on: Lenguaje natural: “la cantidad demandada depende de la renta disponible de los consumidores” y “la cantidad ofertada depende de los costes de producción”. on”. 7. Traducir la siguiente frase: “Si Carlos es paciente y Pedro no comete errores, entonces entonces el experimen exp erimento to será un éxit exito” o” 8. Traducir la siguiente frase: “Hoy el clima es fr´ fr´ıo y si llueve, habrá humedad” 9. Traducir la siguiente frase: “Hoy no habrá concierto, pero si el director acepta la oferta o los músicos deciden rebajar su tarifa, entonces mañana nana habr´ a concierto y no devolverán an las entradas” 10. Traducir al lenguaje simbólico olico la siguiente proposición on compuesta: “Hoy es domingo y tengo que estudiar estad estad´´ıstica, o no aprobare el curso”. 11. Traducir al lenguaje simbólico olico la siguiente proposición on compuesta: “Si no pago la luz, entonces me cortaran la corrient corrientee eléctrica. ectrica. Y si pago la luz, entonce entoncess me quedar´ e sin dinero y pido prestado. Entonces, Entonce s, no podr´ p odré pagar la deuda si y solo si soy desorganizado”.

→ ∧

∧ ∨

∧ ∨

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´mico Calendario Academico e

PARCIAL CAPÍTULOS Inicio de Clases Primer Parcial 1, 2 , 3 y 4 Segundo Parcial 5, 6 y 7 Examen del Doc oceente 8 Examen del Auxiliar 8 Recuperatorio Culminaci´ on del curso

FECHA Lunes 17 de Agosto del 2015 Sabad a´ badoo 10 10 de de Oct Octub ubre re de dell 2015 2015 Sabado a´bado 5 de Dic Diciem iembre bre del 2015 Martes 15 de Diciembre del 2015 Jueves 10 de Diciembre del 2015 Sábado abado 12 de Diciembre del 2015 Martes 15 de Diciembre del 2015

PUNTOS 35 pu pun nto toss 35 pun puntos tos 20 puntos 10 puntos

´ gica Proposicional Cap´ıtulo I. Logica o ´ lico Traduciendo del lenguaje natural al simbolico o

1. Representar, en el lenguaje de la lógica ogica proposic proposicional, ional, la frase frase:: “Si la seq sequ u´ıa persis persiste te no s´ o lo se olo secarán an los pastos sino que aumentarán an los incendios forestales” 2. Representar la afirmación: on: Se sabe que si continúa ua la incertidumbre habrá un aumento en las tasas de interés es y se s e sab s abee tambi´ t ambién en que la devalu devaluaci´ ación on será acelerada. 3. Con base en las mismas proposiciones del ejemplo anterior, ¿cuál al debe ser el enunciado si la representación on adecuada es p es p (q r )? 4. Considere los enunciados: A: Juan regresa temprano, y va a misa o se queda en casa. B : Juan regresa temprano y va a misa, o se queda en casa. Determine cuál de las representaciones ( p ( p q ) r , y p (q r ), se corresponde con A con A y cuál al con B con B . Es un hecho que los enunciados A y B no tienen el mismo significado. Posteriormente veremos que esto se corresponde con la no equivalencia de las fórmulas ormulas que los representan. 5. Representar el razonamiento siguiente, en el lenguaje de la lógica ogica proposicional: Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan. 6. Expresar en términos erminos de lógica ogica simb´ olica la siguiente expresión: olica on: Lenguaje natural: “la cantidad demandada depende de la renta disponible de los consumidores” y “la cantidad ofertada depende de los costes de producción”. on”. 7. Traducir la siguiente frase: “Si Carlos es paciente y Pedro no comete errores, entonces entonces el experimen exp erimento to será un éxit exito” o” 8. Traducir la siguiente frase: “Hoy el clima es fr´ fr´ıo y si llueve, habrá humedad” 9. Traducir la siguiente frase: “Hoy no habrá concierto, pero si el director acepta la oferta o los músicos deciden rebajar su tarifa, entonces mañana nana habr´ a concierto y no devolverán an las entradas” 10. Traducir al lenguaje simbólico olico la siguiente proposición on compuesta: “Hoy es domingo y tengo que estudiar estad estad´´ıstica, o no aprobare el curso”. 11. Traducir al lenguaje simbólico olico la siguiente proposición on compuesta: “Si no pago la luz, entonces me cortaran la corrient corrientee eléctrica. ectrica. Y si pago la luz, entonce entoncess me quedar´ e sin dinero y pido prestado. Entonces, Entonce s, no podr´ p odré pagar la deuda si y solo si soy desorganizado”.

→ ∧

∧ ∨

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12. Simbolizar: Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz as´ as´ı, entonces empiezo a cav cavar ar mi propia sepultura o bien, si no soy feliz as´ as´ı, y no veo tampoco tamp oco la posibilidad p osibilidad de cambiar ese mundo, emprendo asimismo mi autoenterramiento. 13. Traducir la siguiente frase: “Hoy no habrá concierto, pero si el director acepta la oferta o los músicos deciden rebajar su tarifa, entonces mañana nana habr´ a concierto y no devolverán an las entradas” 14. Traducir la siguiente frase: “Si Evo declara a favor de Fidel y los testigos no se presentan a declarar, entonces Fidel será senteciado y los testigos serán an procesados. Si Evo no declara a favor de Fidel o los testigos se hacen presentes para declarar, entonces de igual forma, Fidel será sentenciado. En conclusi´ on: Fidel, de todas maneras, será sentenciado o los magistrados serán on: an procesados.” Tablas de verdad

∼ ∨ ∼ →∼

1. Compruebe que la siguiente proposición on es una tautol tau tolog´ og´ıa ıa ( p q ) p.. p 2. De la falsedad de la proposición on ( p q ) ( r s) determinar el valor de verdad de la proposición on (r [( p r ) s]. q )

∨∼ ↔ ∨ ∧

→∼ ∨ ∼ →

´ gica. Las leyes de la logica ´ gica Equivalencia logica. o o

1) 2) 3) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1 0) 1 1)

∼∼ p ( p ∧ q ) ∧ r ( p ∨ q ) ∨ r ( p ⊕ q ) ⊕ r p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ∧ (q ∨ r ) p ∨ (q ∧ r ) ∼ ( p ∧ q ) ∼ ( p ∨ q ) p ∧ p p ∨ p p ∧ V p ∨ F p ∧ ∼ p p ∨ ∼ p p ∧ F p ∨ V p ∨ ( p ∧ q ) p ∧ ( p ∨ q ) ( p → q ) ( p → q )

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Doble negaci´ on on p p (q r) Leyes asoc ociiativas p (q r) p (q r ) q p Leyes conmutativas q p q p ( p q ) ( p r ) Ley Leyes es distr distributi ibutiv vas ( p q ) ( p r ) Leyes de Morgan Leyes p q p q Leyess Idepotentes Leye p p Leyess del Neutro Leye p p Leyes Inversas F V Leyess de dominacióon Leye n F V Leyess de Absorción Leye on p p ( q Contrareciproc ocoo p)) p Implicación on p q

∧ ∧ ∨ ∨ ⊕ ⊕ ∧ ∨ ⊕ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∼ ∨∼ ∼ ∧∼

∼ →∼ →∼ ∼ ∨

1. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica: ogica: ( p

∨ q )∧ ∼ (∼ p ∧ q ) ⇔ p

2. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica: ogica:

∼ [∼ [( p ∨ q ) ∧ r]∨ ∼ q ] ⇔ (q ∧ r)

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3. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica: [( p

∨ q ) ∧ ( p∨ ∼ q )] ∨ q ⇔ p ∨ q

4. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica:

∼ ( p ∨ q ) ∨ [(∼ p ∧ q )∨ ∼ q ] ⇔∼ (q ∧ p) 5. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica: ( p

→ q ) ∧ [∼ q ∧ (r∨ ∼ q )] ⇔∼ (q ∨ p)

6. Escriba los pasos y las razones para establecer la equivalencia lógica: [( p

∧ q ) ∨ ( p∧ ∼ q )] ∨ (∼ p∧ ∼ q ) ⇐⇒ p∨ ∼ q

7. Usando las leyes de la lógica simplifique la siguiente formula proposicional:





∼ p ∧ (r ∧ s) ∨ (r∧ ∼ s) ∧ ( p ∨ q ) ∼ ∧ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∼ ∧∼ ∧ ⇔ ∨ ∨ ∨∼ → ∧ ∧ ⇔ ∧ ∼ → ∧ ∨ ∼ ∨ ∧ ∨ ∧ ∼

La respuesta es p r q . 8. Escriba los pasos y las razones para establecer las siguientes equivalencias lógicas (f) p [ p ( p q )] p (g) p q ( p q r) p q r (h) [( p ( p q r)] p q q ) (i) p [( q (r r)) [q ((r s) (r s))]] p 9. Si la siguiente proposición es verdadera

∨ ∨ ∼ ∧

⇔

{( p → q ∨ r) −→ [∼ (∼ q ∧ ∼ r →∼ p) → q ] −→ [∼ (t → s) ∧ u]} halle el valor de verdad de s. 10. Si sabe que q p es falso, determinar (sin hacer la tabla de verdad) el valor de verdad de la siguiente proposición:

→

( p





∧ ∼ q )∧ ∼ ( p ∨ m) → ((q ↔ m) ∧ s) .

→

11. Si sabe que q p es falso, determinar (sin hacer la tabla de verdad) el valor de verdad de la siguiente proposición:

 ∼

( p

∧ ∼ q )

−→  ∨ ( p

m)

→ ((q ↔ m) ∧ s)



.

12. ¿De cuántas maneras se puede asignar valores de verdad a las proposiciones p, q , r, s, t de manera que la proposición ( p [t (r q ) s)] sea verdadera?.

∼ { ∼ → → → →∼ }

´ n lo ´ gica. Las reglas de inferencia Implicacio

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1)

p p

3)

p p q


∨ q

adición

2)

→ q

∨ q ∼ p

modus pones

4)

silogismo disyuntivo 6)

q 7)

p p p

∧ q

→ q ∼ q ∼ p p → q q → r p → r p → r q → r ( p ∨ q ) → r

simplificación

p

p 5)

p p

5

→ q →r → (q ∧ r)

8)

modus tollens

silogismo hipotético

1. Elabore, utilizando las reglas de validez e inferencia necesarias, una demostración para probar que de las premisas dadas es posible obtener la conclusión establecida. 1) 2) 3) 4)

s (s p) t r p t

∧ →r →∼ ∼

2. Considere el razonamiento deductivo: Todos los miércoles la universidad presenta un grupo de cuenteros, o un grupo musical. Además, no se hace una presentación de la misma clase de grupos en dos miércoles seguidos. Hoy es miércoles, y el pasado miércoles se presentó un grupo musical. ´ ntos pasos Por lo tanto, la universidad presenta hoy un grupo de cuenteros. ¿ Minimamente cua son necesarios para demostrar la validez de este razonamiento?

3. Considere el razonamiento deductivo: Si es verdad que si llueve entonces los estudiantes se acuestan, entonces no estudian. Si los estudiantes aprueban el examen entonces, o estudian o el examen es trivial. Pero si el examen es trivial entonces los estudiantes son flojos. Y es un hecho que los estudiantes aprueban el examen y no son flojos. En consecuencia, llueve y los estudiantes no se acuestan. Demostrar la validez de este argumento. 4. ¿Cuál de las siguientes reglas de inferencia NO se utiliza para demostrar la validez del siguiente argumento?

→ ∨ → ∨ → ∼ ∨ ∼

 

1) p (q t) 2) q (s t) Premisas 3) t u 4) (u s) q Conclusión

(a) (b) (c) (d) (e)

Ley de De Morgan Modus Tollens Silogismo Hipot´ etico Conjunción Simplificaci´ on

5. Analizar la validez o o del siguiente razonamiento deductivo

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Razonamiento.-Para que el candidato llegue a la presidencia, es necesario que gane las

elecciones en el departamento. El ganar´ a las elecciones en el departamento ´ unicamente si defiende los derechos civiles. El no defender´ a los derechos civiles. Por tanto, el candidato no llegar´ a a la presidencia. 6. Analizar la validez o o del siguiente razonamiento deductivo ucar aumenta entonces su demanda disminuye. Juan Razonamiento.-Si el precio del az´ es contratado en la zafra o se queda sin trabajo. Si la demanda del az´ ucar disminuye entonces juan no ser´ a contratado en la zafra. Juan trabaja en la zafra, por lo tanto el precio del az´ ucar disminuye. 7. Analizar la validez o o del siguiente razonamiento deductivo Razonamiento.-El Pa´ıs progresa si se implementan acertadas pol´ıticas de estado. Si Evo Morales aprueba leyes en favor de Bolivia entonces permanecer´ a en el gobierno. Que Evo apruebe leyes en favor de Bolivia es equivalente a aplicar acertadas pol´ıticas de estado. Evo Morales no permanece en el gobierno, por tanto el Pa´ıs no progresa. 8. Simbolizar el siguiente razonamiento y verificar su validez: Razonamiento.-Si la v´ıctima ten´ıa dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue el motivo del crimen. Pero el motivo del crimen fue, o bien el robo o bien la venganza. la v´ıctima ten´ıa dinero en sus bolsillos. Luego el motivo del crimen debe haber sido la venganza. 9. Determina si los siguientes razonamientos son válidos o no: Razonamiento.-Si hay desempleo o injusticia social entonces hay descontento entre la gente. Si hay descontento entre la gente, entonces hay protestas callejeras. No hay protestas callejeras; por tanto, hay justicia social. 10. Un economista ha declarado: “Para que la gente sea feliz es necesario que haya inflación.” Cuando se le pregunto al economista el por qué de su afirmación, contestó que se fundaba en tres hechos: Razonamiento.(a) O los precios permaneces estables o habr´ a inflaci´ on. (b) Es imposible que los precios permanezcan estables y al mismo tiempo permitir que los salarios suban. (c) Pero, o permitimos los salarios crecer, o la gente no estar´ a feliz. Suponiendo verdaderos estos tres hechos, ¿está usted de acuerdo con la declaración del economista? 11. Un economista ha declarado: “Para que la gente sea feliz es necesario que haya inflación.” Cuando se le pregunto al economista el por qué de su afirmación, contestó que se fundaba en tres hechos: Razonamiento.(a) O los precios permaneces estables o habr´ a inflaci´ on. (b) Es imposible que haya inflaci´ on y al mismo tiempo permitir que los salarios suban. (c) Pero, o permitimos los salarios crecer, o la gente no estar´ a feliz. Suponiendo verdaderos estos tres hechos, ¿está usted de acuerdo con la declaración del economista? 12. Determina si los siguientes razonamientos son válidos o no: as conf´ıan en m´ı. Y si los dem´ as Razonamiento.-Si digo siempre la verdad, los dem´ conf´ıan en m´ı, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. Como yo digo siempre la verdad, se deduce que soy capaz de afrontar cualquier problema. 13. Determina si los siguientes razonamientos son válidos o no:

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Razonamiento.-Si fueras un mandar´ın de la China, vivir´ıas con lujo y no tendr´ıas que

trabajar. Y si vivieses de esa manera, te distraer´ıas haciendo viajes alrededor del mundo o alimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio. Como no es el caso que te distraigas con tales cosas, deduzco que no eres un mandar´ın de la China. 14. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente, indicando las proposiciones simples que lo integran. Pruebe su validez, construyendo una demostración que lleve a la conclusión establecida. Teorema.-Si los acuerdos se cumplen, entonces, se logra la paz. Si se logra la paz, el nivel de vida se incrementa. Los enfrentamientos terminan y los acuerdos se cumplen. Si los problemas sociales se agravan, el nivel de vida no se incrementa. Si los problemas sociales no se agravan, entonces, la justicia social se alcanza. Conclusi´ on: Los enfrentamientos terminan y la justicia social se alcanza. 15. Simbolice adecuadamente el razonamiento siguiente, indicando las proposiciones simples que lo integran. Pruebe su validez, construyendo una demostración que lleve a la conclusión establecida. e en peligro o las autoridades no han alertado Teorema.-No es cierto que: la represa est´ a la poblaci´ on. Si las autoridades han alertado a la poblaci´ on, entonces los habitantes han abandonado la rivera del r´ıo. Si los alcaldes no han coordinado los alojamientos de emergencia, entonces, los habitantes no han abandonado la rivera del r´ıo. Si la represa no est´ a en peligro, entonces, el invierno no arrecia o hay manejo técnico oportuno. Si hay v´ıctimas en la poblaci´ on, entonces, las autoridades no han alertado a la poblaci´ on. El invierno arrecia. Luego: Hay manejo técnico oportuno y no hay v´ıctimas en la poblaci´ on. 16. Analizar el siguiente razonamiento deductivo on privada permanece constante entonces aumenta el gasto Razonamiento.-Si la inversi´ p´ ublico o se produce paro. Si no aumenta el gasto p´ ublico pueden reducirse los impuestos. La inversi´ on privada permanece constante y no se reducen los impuestos. Luego los gastos p´ ublicos aumentan o se produce paro. 17. Analizar el siguiente razonamiento deductivo Razonamiento.-Si las inversiones se mantienen constantes entonces el gobierno aumentar´ a sus gastos o habr´ a desempleo. Si el gobierno no aumenta sus gastos, los impuestos deben ser disminuidos. Las inversiones se mantienen constantes y adem´ as los impuestos no son disminuidos . Por lo tanto, el gobierno debe aumentar sus gastos o habr´ a desempleo. 18. Analizar el siguiente razonamiento deductivo Razonamiento.-Si los precios son bajos, entonces, los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflaci´ on. No hay inflaci´ on; por tanto, los salarios son bajos. 19. Fue Adrés o Maria quien copio el examen, pero Andrés no estaba en el aula cuando se dio el examen. Si Andrés no estaba en el aula, no pudo haber dado el examen. si Andrés no dio el examen, no pudo haber copiado el examen. Por lo tanto Maria fue quién copio el examen 20. Si no puedo rechazar la idea de que pienso, entonces pienso. Pero si pienso, existo. No puedo rechazar la idea de que pienso. Por lo tanto, existo. 21. Demostrar la validez de la siguiente deducción: “O Juan y José tienen la misma edad o Juan es mayor que José. Si Juan y José tienen la misma edad entonces Pedro y Juan no tienen la misma edad. Si Juan es mayor que José entonces Juan es mayor que Maria . Por lo tanto o Pedro y Juan no tienen la misma edad o Juan es mayor que Maria.”

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22. Demostrar la validez del siguiente argumento: “No pongo la calefacción eléctrica solo si tengo gas. No consumo le˜ na a menos que el petróleo sea caro o no ponga calefacción eléctrica. El petróleo no es caro. Consumo le˜ na a menos que tengo frió. Por lo tanto solo si tengo frió tengo gas.” Ayuda: Recuerde que: “si p entonces q ”, es equivalente a “no p a menos que q ”. Problemas de Razonamiento

1. Hugo miente siempre en martes, jueves y sábados y el resto de los d´ıas de la semana dice siempre la verdad. Si un d´ıa en particular mantenemos la siguiente conversaci´ on: Pregunta: ¿Qué d´ıa es hoy? Respuesta: Sábado. Pregunta: ¿Qué d´ıa será mañana? Respuesta: Miércoles. ¿De qué d´ıa de la semana se trata? 2. Cada tercer d´ıa Luis dice la verdad y los dem´ as d´ıas miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 de los siguientes enunciados. ¿Cuál es el enunciado que no dijo hoy? (a) Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos. (b) Soy amigo de una cantidad prima de personas. (c) Mi nombre es Luis. (d) Siempre digo la verdad. (e) Soy amigo de tres personas más altas que yo. 3. Un acertijo consiste en adivinar la forma y el color que tiene un objeto a partir de las 5 afirmaciones siguientes: Si es azul, entonces es redondo. Si es cuadrado, entonces es rojo. Es azul o amarillo. Si es amarillo, entonces es cuadrado. Es cuadrado o redondo. ¿Comó es el objeto? 4. Un examen está formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. La clave (es decir, la lista de respuestas correctas) del examen está dise˜ nada de tal manera que si un estudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas. ¿Cuántas claves diferentes cumplen con esta afirmación? 5. En los cuadritos de la figura se escriben cuatro enteros positivos diferentes entre s´ı, que además son impares y menores a 20. ¿Cuál de las siguientes condiciones es posible?

(a) La suma de los cuatro números es 12. (b) La suma de los cuatro números es 66. (c) La suma de los cuatro números es 19. (d) Cada uno de los productos de dos números en diagonal es 21. (e) Cada una de las sumas de dos n´ umeros en diagonal es 32.

Cap´ıtulo II. Conjuntos 1. Escribe simbólicamente las afirmaciones siguientes: a) v pertenece al conjunto M. b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H. c) Entre los elementos del conjunto G no está el n´ umero 2. d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A. e) El conjunto X no contiene al conjunto K. f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto K 2. Completa las proposiciones siguientes con los s´ımbolos o / : 2 1, 3, 5, 7 , 5 2, 4, 5, 6 , 3 x N/2 < x < 6 , 2 4, 5, 6, 7 , 8 x N/8 < x < 10 , 0 , América x : x es el nombre de un pa´ıs , 12/8 N . 3. Definir por extensi´ o n cada uno de los siguientes conjuntos: a) A = x Z : x2 = 4 . c) Z/x 2 = 5 . e) T = x : x es unacifra del número 2324 . b) C = x Z : B = x 2 x es positivo y negativo . d) R = x Zx = 9 . f) Q = x : x es unaletra de la palabra calcular g) M = x : x esuna letra dela palabra CORRECTO . 4. Sea T = x Z/4x = 12 . ¿Es T = 3? ¿Por qué?

} {

∈ ∈ } ∅

} { ∈

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5. De entre los siguientes conjuntos, señala los que son el conjunto vac´ıo: A = x R : x2 +x +1 = 0 , R : x < 4 o x > 6 , C = x R : x2 + x 1 = 0 D = x R : x + 5 = 5 , B = x E = x R : x < 4 y x > 6 , F = x R : x > 4 y x no esmayor que 6 6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vac´ıos, unitarios, finitos o infinitos? a) A = x : x es d´ıa de la semana . b) B = vocales de la palabra vals . c) C = 1, 3, 5, 7, 9,..... . d) D = x : x es un habitante de la luna . e) E = x N : x < 15 . f ) F = x N : 5 < x < 5 . g) G = x N : x > 15 . h) H = x N : 3x = 6 . i) I = x : x es presidente del Mar Mediterráneo . j) J = x : x es el número de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente . 7. Sea M = r,s,t . D´ıgase cuáles de las afirmaciones siguientes son correcta. Si alguna es incorrecta, decir el por qué: a) a M , b) r M , c) r M , d) r M 8. Si E = 1, 0 , razona cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas y cuáles no: a) 0 E , b) E , c) 0 E , d) 0 E y e) 0 E . 9. Consideremos el conjunto A = r,s,m,e . Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) c A, b) r,c,m A, c) m A, d) e,m,r A. e) s, e A. f) s, e A 10. En el conjunto de las figuras geométricas del plano se consideran los conjuntos: C = x : x es un cuadrilátero , M = x : x es un rombo , R = x : x es unrectángulo , Q = x : x es un cuadrado . Decir qué conjuntos son subconjuntos propios de los otros. 11. Justifica razonadamente que el conjunto A = 2, 3, 4, 5 no es un subconjunto del C = x N : x es par . 12. Sean los conjuntos: V = d , W = c, d , X = a,b,c , Y = a, b y Z = a,b,d . Establece la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso tu respuesta: a) Y X , b) W  V , c) W = Z , d) Z V , e) V  Y , f) Z  X , g) V X , h) Y  Z , i) X = W y j) W Y . 13. a)¿Es el conjunto A = 1, 3, 5, 7 un subconjunto del conjunto B = x Z : x = 2n, n Z ? ¿Y del C = x N : x = 2n + 1, n N ? ¿Por qué? b) ¿Y D = 2, 4, 6, 7, 8 es subconjunto de alguno de los conjuntos A o B del apartado anterior? ¿Por qué? 14. Escribe todos los posibles subconjuntos del conjunto y clasif´ıcalos seg´ un sean propios o impropios: a) M = r,s,t , b) B = a, b , c) C = a , d) . 15. Teniendo en cuenta los siguientes diagramas de Venn, expresa por extensión y por comprensión los conjuntos A y B y compáralos seg´ un la relación de inclusión:

{ ∈ } { ∈ { ∈ } { ∈ { } { { } { { ∈ } { ∈ } { { } ∈ ⊂ { } ∈ { } ∅ ∈ { } ⊂ ∈ ⊂ { } ∈ { } ⊂ { } ⊂ { }⊂ { } { { } { } { } { } {  ⊃ { } { ∈ ∈ } {

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a)

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5

4

12

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}

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A 1

−

{ ∈ { ∈

B

c)

A

8

10 14 B 5

8

{

}

{

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A 9

B 5

{

}

15

{ }

16. Sean los conjuntos A = r,s,t,u,v,w , B = u,v,w,x,y,z , C = s,u,y,z , D = u, v , E = s, u y F = s . Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un diagrama de Venn, cuál de los conjuntos dados es X : a) X A y X B; b) X  D y X C ; c) X  A y X  C y d) X B y X  C . 17. Sean A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , B = 2, 4, 6, 8 , C = 1, 3, 5, 7, 9 , D = 3, 4, 5 , E = 3, 5 y F = s . Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un diagrama de

{ }

{ }

{

{} ⊂

}

{

⊂ } {

}

⊂ { }

{ }



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Venn, cuál de los conjuntos dados es X : a) X y B son disjuntos; b) X D y X  C ; c) X A y X  C y d) X C y X  A. 18. Sean A, B y C conjuntos tales que A B y B C . Suponiendo que a A, b B, c C y d / A, e / B y f / C , ¿cuáles de las siguientes informaciones son ciertas? a) a C , b) b A, c) c / A, d) d B, e) e / A, f) f / A. 19. Consideremos los conjuntos A = x N /2 x 9 , B = 2, 4, 6, 8 , C = 3, 5, 7 , D = 2, 4 y E = 1, 3 . Indica en cada caso cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X : a) X A y X B; b) X  B y X  E ; c) X  C y X D y d) X  A y X E . 20. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) x : x es un número entero que verifica 3 < x < 4 b) x : x es entero positivo múltiplo de 3 c) x R : (3x + 1)(x + 2) = 0 . d) x : x es un n´ umero entero que es solución de la ecuación (3x 1)(x + 2) = 0 . e) x : 2x es entero positivo . 21. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos a) n : x N, n2 = 9 . b) x : x N : x2 = 9 . c) n : x Z, 3 < n < 7 . d) x : x R, x < 1 y x = 1 e) x : x Q : x 2 = 3 . 22. Establecer todas las posibles relaciones entre los conjuntos representados en el siguiente diagrama de Venn

⊂

∈

∈

∈

⊂

∈

∈

⊂ { { { ∈ { { { ∈ { ∈ { ∈ { ∈ { ∈

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⊂ ∈ ∈ ∈ } {

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A

C D B

N : x2 4 es positivo , C = x N : 23. Se consideran los conjuntos A = 2, 3, 4 , B = x 2 6x + 8 = 0 Y D = x N : x es par . Establece todas las posibles relaciones de inclusión x entre dichos conjuntos. 24. Sean A y B subconjuntos de un conjunto U . a) De un subconjunto H de U , se sabe que A H , B H y H A B. ¿Qué se puede decir del conjunto H ? b) De un subconjunto K de U se sabe que K A, K B y A B K . ¿Qué se puede decir del conjunto K ?

−

⊂

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{

}

}

{ ∈

−

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⊂

⊂ ∪ ⊂ ⊂

∩ ⊂

Operaciones con conjuntos

{

} { } { } ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ − − − ∪ ∩ ∅ ∪ ∪ ∩ − { } { } { } ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

{

}

1. Consideremos U = a,b,c,d,e como conjunto universal y los subconjuntos A = a,b,d , B = b,d,e y C = a,b,e . Halla: A B, A C , B C , B B, A B, (A B) C , A A, B C , (A B) C , (A B) C , A B, A c , C A, B C , B A, B Ac , A A, A c , B c , A C c , U c , A Ac , A Ac , c , A c C c , A B c , A c B c , B C c , A B c , B c Ac . 2. Idem al anterior, para U = a,b,c,d,e,f,g como conjunto universal y A = a,b,c,d,e , B = a,c,e,g y C = b,e,f,g . 3. Representa en el diagrama de Venn dado al margen los siguientes conjuntos: A B, A C , B C , B B, A B, A A, B C , (A B) C , A (B C ), A B, (Ac )c , C A, B C , B A, B Ac ,

∪ − ∪ −

∩ ∩

∩ ∪ − − { ∪ − −

∩

∩

∩

}

∪ −

∪ ∩

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A A, Ac , B c , (A B c Ac .

− −

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

∩ C ) , U , A ∪ A , A ∩ A , ∅ , A ∪ C , (A ∪ B) , A ∩ B , (B − C ) , A ∪ B , A

B U

C 4. Escibe la expresión que corresponde al conjunto marcado en gris en el diagrama de la derecha. 5. Consideremos como conjunto universal al conjunto U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . a) Escribe dos subconjuntos A y B de U tales que cumplan A = , B = , A B = y A B = U . b) Escribe tres subconjuntos propios A, B y C de U , cuya unión sea el universal, que sean disjuntos dos a dos. c) Escribe cuatro subconjuntos propios A, B, C y D de U , cuya unión sea el universal, que sean disjuntos dos a dos. 6. Representa, en cada uno de los diagramas de Venn dados, los siguientes conjuntos: A B, B B, A B, A A, B A, A B, (Ac )c , B Ac , (A B)c , A c B c , (A B)c , A c B c , A A, A c , B c , U c , A Ac , A Ac , A B c , B c Ac , A (B A), B (A B).

{  ∅  ∅ ∩

∩

∪

∩

∩

−

∪

−

−

∩ ∪ ∪ ∩

B

A

∩ ∩ ∪

∅

∩

∪

}

∪ −

∪

B

B

A

A U

{

U

} ∩

∪

{ } ∪ − ∪∅ ∩ ∪

U

{ } ∩ ∪ { } ∪ ∩

7. Si U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 es el conjunto universal y A = 1, 4, 7, 10 , B = 1, 2, 3, 4, 5 , C = 2, 4, 6, 8 , define por extensión los siguientes conjuntos: a) A B, b) A B, c) A c , d) U c , e) , j) A (B C ) , k) (A B) C , l) B U , f) B c (C A), g) (A B)c C , h) B C , i) A (A B) C . 8. Sea U = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 12 el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, A = 1, 3, 5, 7, 9, 11 , B = 2, 3, 5, 7, 11 , D = 2, 4, 8 y C = 2, 3, 6, 12 . Determina los conjuntos: a) A B, b) A C , c) (A B) C c , d) A B, e) C D, f) (B D) (D B). 9. a) ¿Conoces algún conjunto que sea subconjunto de su complementario? b) ¿Existe algún conjunto que sea disjunto consigomismo? 10. Sean A = x R/ 2 < x 10 y B = x R : x > 1 Expresa dichos conjuntos mediante intervalos y calcula la unión, la intersección y la diferencia de uno con el otro. Calcula, además, los complementario y comprueba que se cumplen las leyes de De Morgan. 11. Se consideran los conjuntos A = (–7, 3), B = [–2, 5), C = (–4, 9] y D = [–1, 8]. Expresa cada intervalo por comprensión y calcula A B, A c B, (B C ) D, (B –A) (C –D), (A –B)c y (B –A)c .

{

∩ ∩ − { { ∪ ∩

} ∩ −

{ ∈

}

−

−

{

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}

∪

∩

{

−

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{ ∈

∪

∩

}

∪ ∩

∪



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12. Sean U = a,b,c,d,e , A = a,b,d , B = b,d,e y C = a, e . Hallar (Ac C )c B c (a) a, e . (b) a, b . (c) a, c . (d) d, e . (e) b, d .

{

}

{

}

{

{ } ∩ \ { } { } { } { } { } 13. Dados los conjuntos U = { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k}; A = { a,c,e,g,k}, B = { a,b,d,g,h,j}; C = {a,b,c,e,h,i,k}. Encontrar: C − (A ∩ B ), [(A ∪ B ) ∪ C ] , (A − B) − C y [A ∪ (B ∩ C )] . 14. Dado el conjunto referencial V = {a,b,c,d, 2, {2}, 3, {3}, 7} sean A, B y C los subconjuntos de V definidos por: A = {a,b, 2, {3}}, B = {a,b, 2, 3} y C = {2, 3, 7}. Hallar: A ∪ B, A ∩ B, B \ C , A △ C , (A ∩ B) − (A △ C ), (A ∩ B) 15. Sean A, B y C los conjuntos del ejercicio anterior. Hallar todos los subconjuntos de B ∪ C que sean disjuntos con A. 16. Sean A = {1, ∅, a, 7} y B = {{1},a,b, 4}, C = {3, 6, b , a}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? i) ∅ ∈ A ∪ B. ii) ∅ ∈ A ∩ B. iii) ∅ ⊂ A. iv) ∅ ⊂ C . v) 7 ∈ (A ∪ C ) ∩ (A △ B) 17. Sean A = {2, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {7, 8, 9, 0} y D = {4, 5, 6}. Graficar. Realizar cada una de las operaciones y expresarlas por extensi´ on. 1) (A ∪ B) 2) C ∪ D 3) B \ C . 4) B \ D. 5) A ∩ B ∩ C ∩ D. 6) A ∪ B ∪ C . 7) A ∩ C . 8) B \ C . 9) A ∪ B. 18. Sean U = {a,b,c,d,e}, A = {a,b,d} y B = {b,d,e}. Hallar (a) A ∪ B, (b) B ∩ A, (c) B , (d) B \ A, (e) A ∩ B, (f) A ∪ B , (g) A ∩ B , (h) B \ A , (i) (A ∩ B ), (j) (A ∪ B ). 19. Sea el conjunto universal U = {a,b,c,d,e,f,g} y sean A = {a,b,c,d,e}, B = {a,c,e,g } y C = {b,e,f,g}. Hallar: (1) A ∪ C . (2) B ∩ A. (3) C \ B. (4) B . (5) A \ B. (6) B ∪ C . (7) (A \ C ) . (8) C ∩ A. (9) (A \ B ) . (10) (A ∩ A ) . c

}

c

c

c c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c c

c

c

c

c c

Leyes de la Teor´ıa de conjuntos

1. Probar que: A B si y solo si B c A c . 2. Probar que A (B C ) = (A B) (A C ) 3. Probar que (A B) (A B) = (A B) (B A) 4. Probar que (A B) (Ac B)c = A 5. Probar que [[(A B) C ]c B c ]c = B C 6. Probar que [(A B) (A B c )] B = A B 7. Probar que (A B)c [(Ac B) B c ] = (B A)c 8. Si A B y (A B) C = , simplificar

⊂ − ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

⊂ ∩ − ∩ − − ∩ − ∪ − ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∩ ⊂ ∩ ∅ A \ (B ∩ C ) ∪ (A ∪ C ) \ (A ∩ B) . 9. Si A = {∅}, B = P (A), C = B \ A y D = P (C ), hallar B ∩ D. 10. Sea A = {a,b, {a, c}, ∅}, calcule los siguientes conjuntos: (a) {{a, c}} \ A. (b) A \ {{a, c}}. 11. (a) Demuestre que si A ⊂ C entonces A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C . (b) ¿Será cierto el resultado anterior si se suprime la hipótesis A ⊂ C ? (c) Demuestre que A ⊂ C si y sólo si A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C .  ∅ entonces (A ∪ A) \ A = A ∪ (A \ A). 12. Muestre que si A = 13. Pruebe que (a) A \B = (A∪B)\B. (b) A\(B \C ) = (A\B)∪(A∩C ). (c) (A\C )\(B \C ) = (A\B)\C . (d) (A \ C ) ∪ (B \ C ) = (A ∪ B) \ C . (e) (A \ C ) ∩ (B \ C ) = (A ∩ B) \ C . (f) (A \ B) \ (A \ C ) = A ∩ (C \ B). (h) Si A, B ⊂ X , entonces (X \ A) \ (X \ B) = B \ A. 14. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son falsas. (a) A \ B = B \ A. (b) A ⊂ (B ∪ C ) implica A ⊂ B o A ⊂ C . (c) B ∩ C ⊂ A implica B ⊂ A o C ⊂ A.



  c



c c



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∪

∪

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\ ⊂

15. Sea X un conjunto que contiene a A B. (a) Demuestre que si A B = X entonces X A B. (b) Demuestre que si A B = entonces A X B. (c) Utilizando los incisos anteriores demuestre que A = X B si y sólo si A B = X y A B = 16. Pruebe que el sistema de ecuaciones A X = A B, A X = tiene a lo más una solución para X . 17. Pruebe que A B = si y sólo si A = B.

∩

\

△

∅

∪

⊂ \ ∩ ∅ ∪ ∪

∩

∅

∅

T´ ecnicas de Conteo y Diagrams de Venn

1. Sea los conjuntos A y B, tales que A∆B tiene 10 elementos y (Ac B c )c tiene 25 elementos. ¿Cuántos elementos tiene A B?. 2. Sean A y B dos conjuntos tales que A B = 24, A B = 10 y B A = 6. Hallar 5 A 4 B . 3. Determinar la cardinalidad de los conjuntos A, B , C U , si U = 30, (A B C )c = 5, A B = 23, A C = 12, A C = 4, B C = 8, A B C = 3, A B = 11. 2 1 4. Sean A y B dos subconjuntos del universal U que tiene N elementos. Si A B = N , B = N , 5 2 3 c c c (A B ) = N , calcular A , (A B) (B A) . 20 5. En un instituto de investigación trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el Inglés, 35 el Alem´ an y 23 ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el Inglés ni el Alemán? 6. De un grupo de 84 personas 57 estudian Inglés, 23 estudian Alemán, 36 estudian Frances, 4 estudian los tres idiomas y 11 sólo estudian Alemán y todos estudian por lo menos un idioma. Determinar cuantos de ellos estudian sólo uno de los idiomas o estudian los tres idiomas. 7. Una entrevista de 2006 estudiantes de una preparatoria reveló que 1500 de ellos participaron en la Olimpiada de Matemáticas y 1200 de ellos en la Olimpiada de Qu´ımica. ¿Cu´ antos de los jóvenes entrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no participaron en ninguna? 8. Al interrogar a 250 estudiantes del Pre Facultativo de la UMSA sobre su preferencia respecto de la Matemática, la Literatura o la Informática, se encontró que 125 prefieren Matemática, 180 prefieren Literatura, 65 prefieren Informática, 100 Matemática e Literatura, 25 Informática y Matemática, 40 Literatura y Informática y 20 prefieren las tres áreas. Determinar cu´ antos de estos estudiantes del Pre-Facultativo tienen: a) Ninguna de estas preferencias. b) Preferencia sólo por la Matemática. c) Preferencia sólo por la Literatura. d) Preferencia sólo por la Informática. e) Exactamente dos de estas preferencias. f) Cuanto mas una de estas preferencias. 9. Se realizo una encuesta con 550 personas. Se encontró que 130 ve´ıan televisión, 215 escuchaban radio y 345 le´ıan el periódico para enterarse de las noticias. Mas aún 100 le´ıan el periódico y escuchaban la radio, 35 ve´ıan televisión y escuchaban radio y 65 ve´ıan la televisi´ on y le´ıan el periódico. Si 20 personas se enteraban de las noticias por los tres medios, ¿Cuántas personas no utilizaban ninguno de los tres medios?. 10. En una encuesta a 200 estudiantes, se hallo que: 68 se comportaban bien; 138 son inteligentes; 160 son habladores; 120 son inteligentes pero habladores; 20 no son inteligentes pero se comportan bien; 13 se comportan bien y no son habladores; y 15 se comportan bien y son habladores pero no

∩

| − |

| ∩

|

∩

| ∩ | | − | | − | | |− | | ⊂ | | | ∪ ∪ | | ∪ | | ∩ | | ∩ | | ∩ ∩ | | ∩ | | ∩ | | | | | | − ∪ − |

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son inteligentes. ¿Cuántos de los 200 estudiantes no se comportan bien, son habladores y no son inteligentes? 11. Susana estudia Sociolog´ıa o Matem´ atica o ambas materias todas las tardes durante el mes de Noviembre de este año. Si estudia 18 d´ıas Sociolog´ıa y 20 d´ıas Matem´ atica. Cuantas ma˜ nanas estudia las dos materias? 12. Una compa˜ n´ıa de 350 empleados, de los cuales 160 obtuvieron una aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 obtuvieron un aumento de salario y fueron promovidos. a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos? b) ¿Cuántos no obtuvieron ni aumento de salario ni fueron promovidos?. 13. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 317 son hombres, 316 son casados, 25 mujeres son casadas sin profesión, 72 son hombres casados sin profesión, 83 son hombres profesionales solteros, 15 son mujeres profesionales solteras, 125 son hombres profesionales casados y 49 son mujeres solteras sin profesión. Cuántos de los empleados son: a) ¿Hombres solteros sin profesión? b) ¿Mujeres profesionales casadas? c) ¿Profesionales? 14. Supongamos que tomamos una muestra al azar de 100 estudiantes y obtenemos los siguientes resultados: 15 mujeres reciben ayuda económica y trabajan 45 mujeres reciben ayuda económica 20 mujeres trabajan 55 de los estudiantes son mujeres 25 estudiantes reciben ayuda económica y trabajan 66 estudiantes reciben ayuda económica 40 estudiantes trabajan Encuentre: a) El n´ umero de estudiantes que son hombres. b) Cuántos estudiantes hombres reciben ayuda económica pero no trabajan. c) Cuántos estudiantes mujeres reciben ayuda económica pero no trabajan. d) Cuántos estudiantes hombres trabajan pero no reciben ayuda económica. e) Cuántos estudiantes mujeres traba jan pero no reciben ayuda econ´ omica. 15. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: I) Motocicleta solamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automóvil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, pero no autom´ ovil:3 V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72 VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61 1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? 4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? 16. Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 138 personas consum´ıan A pero no B. 206 personas consum´ıan A y B. 44 personas no consum´ıan ni A ni B. a. ¿Cuántas personas consum´ıan A? Rta: 344 personas. b. ¿Cu´ antas personas consum´ıan B? Rta: 318 personas. c. ¿Cuántas personas consum´ıan B pero no A? Rta: 112 personas. d. ¿Cuántas personas consum´ıan por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas.

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17. Una encuesta sobre 500 personas revel´ o los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consum´ıan por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consum´ıan A. 78 personas consum´ıan A pero no B. a. ¿Qué porcentaje de personas consum´ıa B? Rta. El 66,4 % b. ¿Qué porcentaje de personas consum´ıa sólo B? Rta. El 23,2 % c. c) ¿Qué porcentaje de personas consum´ıa los dos productos? Rta. El 43,2 % d. d) ¿Qué porcentaje de personas no consum´ıa ninguno de los dos productos? Rta. El 18 % 18. Una encuesta sobre 500 personas revel´ o los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 310 personas consum´ıan por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consum´ıan A. 205 personas consum´ıan B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles. Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, sólo cabr´ıan solamente 105. 19. Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consum´ıan sólo A 25 personas consum´ıan s´ olo B. 10 personas consum´ıan s´ olo C 15 personas consum´ıan A y B, pero no C. 80 personas consum´ıan B y C, pero no A. 8 personas consum´ıan C y A, pero no B. 17 personas no consum´ıan ninguno de los tres productos. a. ¿Cu´ antas personas consum´ıan A? Rta. 68 personas. b. ¿Cu´ antas personas consum´ıan B? Rta. 160 personas. c. ¿Cuántas personas consum´ıan C? Rta. 138 personas. d. ¿Cu´ antas personas consum´ıan A, B y C? Rta. 40 personas. e. ¿Cuántas personas consum´ıan por lo menos uno de los tres productos? Rta. 183personas. f. ¿Cuántas personas consum´ıan A o B? Rta. 173 personas. g. ¿Cu´ antas personas no consum´ıan C ? Rta. 62 personas. h. ¿Cu´ antas personas no consum´ıan ni C ni A? Rta. 42 personas. 20. Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consum´ıan A. 85 personas consum´ıan B. 103 personas consum´ıan C. 10 personas consum´ıan A y C, pero no B. 13 personas consum´ıan A y C. 18 personas consum´ıan B y C. 5 personas consum´ıan A y B, pero no C a. ¿Cu´ antas personas no consum´ıan ninguno de los tres productos? Rta. 18 personas. b. ¿Cuántas personas consum´ıan los tres productos? Rta. 3 personas. c. ¿Cuántas personas consum´ıan A pero no B ni C? Rta. 12 personas. d. ¿Cu´ antas personas no consum´ıan A? Rta. 170 personas. e. ¿Cu´ antas personas consum´ıan por lo menos uno de los tres productos? Rta. 181 personas. 21. Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficci´ on. 17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos. 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos. 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción. ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. 22. Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos: 308 eran menores de diez años. 5 eran huérfanos de padre y madre. 22 eran huérfanos de padre 174 no eran menores de 10 a˜ nos, ni eran huérfanos de madre o padre. 3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre. 9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre. 13 eran huérfanos sólo de madre. a. ¿Cuántos ni˜ nos eran huérfanos de madre? Rta. 18 niños. b. ¿Cuántos ni˜ nos menores de diez años eran huérfanos de madre? Rta. 8 niños. 23. Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 126 personas consum´ıan C . 124 personas no consum´ıan A. 36 personas no consum´ıan ni A ni B. 170 personas consum´ıan por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consum´ıan A y C . 40 personas consum´ıan los tres productos. 56 personas no consum´ıan B. a) ¿Cuántas personas consum´ıan solamente B? Rta. 28 personas. b) ¿Cu´ antas personas consum´ıan A y B ? Rta. 56 personas. c) ¿Cuántas personas consum´ıan solamente A? Rta. Ninguna persona.

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24. En una fábrica de 3.000 empleados, hay: 1.880 varones. 1.600 personas casadas. 380 técnicos (varones o mujeres) 150 técnicos casados 120 técnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 técnicos varones. a. ¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? Rta. 780 mujeres. b. ¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? Rta. 120 mujeres. c. ¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? Rta. 30 mujeres. d. ¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica? Rta. 1.120 mujeres. 25. Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 59 % usan A. 73 % usan B. 85 % usan C. 41 % usan A y B. 33 % usan A y C. 47 % usan B y C. 15 % usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? Rta. No son atendibles porque el total de la gente encuestada ser´ıa del 111 % y no del 100 %. 26. ¿Cuál es el tama˜ no del mayor subconjunto S, del conjunto 1, 2, 3,..., 50 con la propiedad de que no existe un par de elementos de S cuya suma sea divisible entre 7? 27. Se preguntó a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos; 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero s´ı la B. Se desea saber: a) ¿Cuántas personas prefirieron la marca A? b) ¿Cuántas personas prefirieron sólo la B? c) ¿Cuántas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas? 28. Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos, Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les gusta alguno de los dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Vinea pero no Kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola. Se desea saber: a) ¿cuántos de los encuestados les prefirieron Kofola? b) ¿ cu´ antos de los encuestados prefirieron Vinea? c) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Vinea o Kofola? 29. Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava para determinar el medio de comunicación empleado para para conocer las noticias del d´ıa. 400 respondieron que se enteran de forma regular de los sucesos del d´ıa a través de la televisión, 300 lo hacen a través de la radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al número de personas que utilizan ambos medios para estar al d´ıa en los acontecimientos del mundo. a) ¿Cu´ antas de las personas encuestadas se enteran de las noticias sólo a través de la televisión? b) ¿Cuántas de las personas entrevistadas lo hacen u ńicamente a través de la radio? c) ¿Cuántas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos medios? 30. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y F´ısica y 15 aprobaron sólo el de F´ısica. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los ex´ amenes mencionados? 31. De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todoestudiado: 15 estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e inglés, 12 estudian s´ olo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian sólo inglés; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cu´ antos no estudian ning´ un idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? c) ¿Cuántos estudian sólo alemán e inglés? d) ¿Cuántos estudian ruso? 32. Se preguntó a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no alguna de las revistas “La Marqueza”, “S´ olo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron los siguientes resultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Sólo Para Mujeres”, 34 leen “Buena Comida”, 25 leen “La Marqueza” y “Sólo Para Mujeres”, 14 leen “Sólo Para Mujeres” y “Buena Comida”, 23 leen “La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide ilustrar el problema

{

}

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con un diagrama de Venn, el número de madres entrevistadas, y ¿cuántas de ellas leen sólo una de las tres revistas? 33. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen u ´ nicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el n´ umero de personas que consuen s´ olo B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas que consumen sólo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determina a) el número de personas que consumen sólo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos. 34. Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al fútbol, 32 al bal´ oncesto y 23 al voleybol. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. ¿Cuántas personas practican s´ olo un deporte? ¿cuántas practican sólo dos deportes? ¿Cu´ antas practican al menos dos deportes? ¿Cuántas practican a lo sumo dos deportes? 35. En un Congreso Internacional de Medicina, se debati´ o el problema de la eutanasia y se planteó una moción. Los resultados fueron los siguientes: 115 europeos votaron a favor de la moción, 75 cardi´ ologos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el congreso? 36. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de un internado sobre las preferencias de cuatro carreras profesionales: Secretariado Internacional (S), Enfermer´ıa (E), Computación (C ) y Biolog´ıa, obteniéndose los siguientes datos: ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B), 22 sólo con (S), 20 s´ olo con (E), 20 sólo con (C), 20 con (S) y (B) pero no con (E), 6 sólo con (C) y (E), 4 con (S) y (C), 24 con (B) y (E), 28 sólo con (B). ¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos les gusta por lo menos una de esas tres carreras? 37. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para conocer las noticias del d´ıa. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. a.-¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? b.¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? c.-¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias? 38. Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos. El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber: a) ¿Cuántas personas prefieren el producto A? b) ¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente? c) ¿Cuántas personas prefieren ambos productos? 39. Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteni´ endose lo siguientes resultados: El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: a) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi? b) ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? c) ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?

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40. Determina el n´ umero de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturas Matemáticas, F´ısica o Qu´ımica. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de F´ısica, 49 en el de Qu´ımica, 28 en el de Matemáticas y F´ısica, 26 en el de Matemáticas y Qu´ımica, 28 en el de F´ısica y Qu´ımica y 18 en los tres seminarios. ¿Cuántos alumnos participan en los seminarios de F´ısica y Matemáticas, pero no en el de Qu´ımica? ¿Cuántos participan sólo en el de Qu´ımica? 41. La empresa Kia ha decidido aumentar su producción de coches, por lo que saca a concurso 22 plazas de trabajo para titulados en ingenier´ıa. Los aspirantes han de ser ingenieros mec´ anicos, ingenieros en electricidad o ingenieros qu´ımicos. Los ingenieros en mec´ anica han de ser 11, los ingenieros en electricidad han de ser 12 y en qu´ımica han de ser 10. Algunos puestos han de ser ocupados por ingenieros con doble titulación, en concreto, 5 han de ser ingenieros mecánicos y en electricidad, 4 han de serlo en mecánica y qu´ımica, y 4 en electricidad y qu´ımica. Algunas de las plazas ofrecidas deben ser ocupadas por ingenieros con triple titulación. ¿Cuántos ingenieros han de poseer triple titulaci´ on? ¿Cuántos puestos hay para ingenieros que tengan únicamente la especialidad en electricidad? ¿Cuántas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en electricidad y qu´ımica pero no en mecánica? 42. Una farmacia rebajó el precio de una loció n y el de una crema. La contabilidad al final de un d´ıa indicó que 66 personas hab´ıan comprado crema; 21 compraron loci´ on y 21 ambos productos. a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta? b) ¿Cuántas compraron solamente la loción? c) ¿Cuántas compraron solamente la crema? 43. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 ten´ıan casa propia; 233 pose´ıan automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 ten´ıan casa, automóvil y televisor. a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? 44. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alem´ an y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés? 45. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente informaci´ on: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9. Averigua: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9. 46. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche. a) ¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas personas tomaban café puro? d) ¿Cu´ antas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? 47. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como m´ınimo 1 semana, 43 gastan como m´ınimo 30.000 euros diarios, 32 est´ an completamente satisfechos del servicio; 30 permanecieron como m´ınimo una semana y gastaron como m´ınimo 30.000 euros diarios, 26 permanecieron como m´ınimo una semana y quedaron completamente satisfechos, 27 gastaron como m´ınimo 30.000 euros diarios y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron como m´ınimo una semana, gastaron como m´ınimo 30,000 euros diarios y quedaron completamente satisfechos. a) ¿Cu´ antos visitantes permanecieron como m´ınimo una semana, gastaron como m´ınimo 30.000 euros diarios

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pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cuántos visitantes quedaron completamente satisfechos , pero permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 euros diarios? c) ¿Cuántos visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 euros diarios y no quedaron completamente satisfechos.? 48. Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente informaci´ on: -Todo encuestado que es propietario de automóvil también lo es de una casa. - 54 encuestados son hombres. - 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de un automóvil. - 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa. - 5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa. - 15 encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automóvil. a) Hacer un diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada regi´ on. b) ¿Cuántos encuestados que son hombres son solamente propietarios de casa? c) ¿Cuántas mujeres no son propietarios de casa? 49. Una tienda de art´ıculos electr´ onicos vende en un d´ıa 44 equipos de m´ usica, todos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de cassetes (T.C.). Algunos tienen control remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnolog´ıas nombradas. Si se vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con (T.C) pero sin (C.R): a) ¿Cuántos equipos que ten´ıan alguna de éstas tecnolog´ıas se vendieron? b) ¿Cuantos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuántos equipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron?

Cap´ıtulo III. Sistemas Num´ ericos ´meros Operaciones fundamentales con los nu

−

− − − − − × − × × × − − − − − − − × − × × × × − × × × −− × − × − − × − −− × − × − − × −

−

1. Hallar el valor de: A = 4(12 10)( 2 3)( 5)(13)( 6)(100) (120 120). 2. Hallar el valor de: A = [5 + (4 3) (6 6)] [3 (5 + 6)] + 10 3. Hallar el valor de: A = 16 + 14 + ( 25) + 45 + 12 + ( 19) 1 3 1 1 2 4. Hallar el valor de: A = + ( 5) + + + 4 5 2 4 9 5. Hallar el valor de: A = [5 + (4 3) (6 6)] [3 (5 + 6)] + 10 6. Hallar el valor de: A = [5 + (4 3) (6 6)] [3 (5 + 6)] + 10 ( 3) ( 3 3 + 3) (3 3 3 3) 7. Hallar el valor de: A = ( 2) ( 2 2 + 2) (2 2 2 2) + 1 8. Hallar el valor de: [( 1) ( 1)][ 1 1 + 1 ( 1)] 2[ 2( 2)] A = 2 ( 2) 2 2 ( 1) 1 ( 1)

 

− ×− − × × − − −{− − − } ×− × −− × −− −{−3[−4(−5)]} [(−2) × (−2)][−2 × 2 + 2 × (−2)] − 9. Hallar el valor de: A = 2 × (−4) × 2 25 − (−2) × 2 − (−1)

10. Hallar el valor de: [ ( 2) ( 2) ( 1)][( 1) ( 1) A = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) (a) 10. (b) 9.

− − × − × − − × − − (−1) × (−1)] − −{−3[−3(−3)]} − × − × − × − × − × (−2) × (−2) 1 − (−1) × 1 − (−1) (c) 6. (d) −9 .

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17. Simplificar

(n

 −

E =

− 2) veces x−x−x−······−x



n/3 veces

 

 ······ 

+ 3x + 3 x + 3 x +

√ 18. Si 2 es un número irracional. ¿Qué podr´ıa decirse respecto al número 19. Realiza las siguientes operaciones de la forma más econ´ omica posible:

− (17 − 6) + 2(15 − 13) c)(28 − (−8 − 4)) : (33 − 29) e)(28 − 3) − 5(3 − 9) − (6 + 2) : 4 · 5 g) − [(−8) + (−7)] − [(−5) + (+3)] i)(7 − 5 − 1) (4 + 5) k)7 − 2 · 6 : 4 − 3 m)7 − (2 · 6) : 4 − 3 ˜ )7(−2 · 6) : (4(−3) ) n a)15

3

2

2

2

2

2

2

2

+ 3x



√ − √ 2?

6+4 2

− (−8 − 4) : (33 − 29) d)32 − 12 + 20 − 50 − 20 + 75 − (−8) f ) − 15 − (12 − 20) + (−10 + 14) h)(−6)[(+9) − (+2)] − (−3)(−4) j)(1 − 2(−3 + 2)) : 3 − (−1 + 2 · 4 + 3) − 2 + 1 l)(7 − 2)6 : (4 − 3) n)7(−2) · 62 : 4(−3) b)28

3

2

2

2

20. Si x representa un entero distinto de cero cualquiera, ¿cuáles de las siguientes expresiones son negativas? a) x, b) ( x), c) ( x)2 , d) (x2 ), e) x3 , f) ( x)3 , g) x , h) x . 21. Realiza las siguientes operaciones: 1 1 1 1 a) 1 + , b) 1 + , c) 1 + , d) 1 + , 1 1 1 2 1+ 1+ 1+ 1 1 2 1+ 1+ 1 2 1+ 2 22. ¿Eres capaz de descubrir un patrón en esta serie? ¿Podr´ıas, sin necesidad de hacer los c´ alculos, escribir los tres números siguientes? 1 1 23. Usando cálculo mental, decide si 20 2 : es menor que 22, está comprendido entre 22 y 50, 2 2 es mayor que 40. 24. Encuentra dos fracciones positivas cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 7/16.

−

− −

−

−

−

| | −| |

× × ×

ń Problemas de Aplicacio

1. Resuelve los problemas que se enuncian a continuación utilizando métodos aritméticos. (a) Pedro tiene 10 caramelos más que Mar´ıa. Mar´ıa tiene 3 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más? (b) Juan y Mar´ıa son hermanos. Juan compra 4 lápices a 5 bolivianos cada uno y Mar´ıa 5 cuadernos a 10 bolivianos cada uno. Pagan con 200 bolivianos. ¿Cuánto les devuelven? (c) En el cumpleaños de Laura se iban a repartir 108 globos entre 12 ni˜ nos. ¿Cuántos tocaban a cada uno?. Si explotaron la tercera parte, averigua, los globos que recibió cada ni˜ no.

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(d) Si 1/3 de la cosecha de aceituna se estropea por causa de una tormenta y 1/10 de lo que quedó se perdió por causa de una plaga, ¿qu´ e fracci´ on de la cosecha pudo ser utilizada? 2. En la prensa diaria busca algunas situaciones en que aparezcan fracciones y razones. Para cada una de ellas, identifica el tipo de situación problemática presentada, entre las descritas en la secció n 1. 3. En las siguientes situaciones identifica los distintos de usos de las fracciones que se ponen en juego. Expresa estos enunciados y la solución utilizando alg´ un tipo de representación gráfica. a) En una clase hay dos tercios de chicas. ¿Si hay catorce chicas en la clase? ¿Cuá l es el n´ umero total de alumnos? b) Si Jorge pedalea a una razón de 8 km por hora, al cabo de 45 minutos ¿A qué distancia est´ a de su casa? c) Un terreno mide 200 metros cuadrados. ¿Cuánto mide las 5/8 partes del terreno? d) La tasa esperada de crecimiento anual del ´ındice de precios es del 3/100. Si he comprado un piso de 120.000 euros y lo vendo dentro de un año por 122.000 euros, ¿he ganado o he perdido? 4. Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentación y la sexta parte en alquiler del piso. Después de realizados estos pagos le quedan 570 euros. ¿Cu´ al es su salario mensual? 5. Un coche circula a 80 km/h durante 18 minutos. ¿Por qué n´ umero es necesario multiplicar la velocidad para encontrar la distancia que recorre expresada en km? ¿Cuánto tiempo necesitará para recorrer 64 km a esa misma velocidad? 6. Se considera el número A = 45501/56. a) Encontrar los dos enteros consecutivos que encuadran a A (o sea, el mayor entero menor que A y el menor entero mayor que A) b) Calcular en forma de fracción la diferencia entre A y cada uno de los enteros anteriores. c) Llamemos B al entero más próximo a A. Encontrar tres números racionales comprendidos entre A y B. 7. Demostrar que es posible pavimentar un rectángulo con baldosas cuadradas si y só lo si la razón entre las longitudes de la base y la altura es un número racional. 8. En una familia el padre obtiene 3/5 de los ingresos y el resto lo obtiene la madre. Mientras que ésta paga 2/10 de sus ingresos en concepto de impuestos directos en su declaración de la renta, el padre paga 2/11 de sus ingresos. La familia paga adem´ as 1/20 de sus ingresos en impuestos autonómicos y estiman que aproximadamente 3/50 de sus ingresos se pagan en impuestos indirectos (tabaco, gasolina, art´ıculos de lujo, etc.). ¿Qué proporción total de ingresos paga en impuestos esta familia? 9. Una de cada 10.000 personas aproximadamente contrae tuberculosis a lo largo de su vida. Las pruebas para detectar la tuberculosis dan positivas en el 99 /100 de las personas enfermas y también en el 2/100 de las personas sanas (falsos positivos) ¿Cuál es la probabilidad de contraer tuberculosis? En una población de 40.000 de personas, ¿Cuántas contraerán tuberculosis? ¿Cuántos falsos positivos hay? ¿Cuántos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo) ¿Qué proporción de aquellos en los que el test da positivo está realmente enferma?

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´ meros reales. Operaciones y propiedades de los nu

1. Cuales de las siguientes afirmaciones es verdadera y cuales son falsas. Si es falsa, de un ejemplo que muestre que es falsa. (1) R Q Z N (8) ab = 0 a = 0, o b = 0 a c ac (2) a = b (9) = , ac = bc b = 0, d = 0 b d bd ac a (3) a < b y c > 0 = , ac > bc (10) b = 0, c = 0 bc b (4) a < b y c < 0 ac < bc (11) a + b = a + b a c a+c (5) ac = bd + = a = b y c = d (12) , b = 0, d = 0 b d b+d a b (6) = (13) (a + b)2 = a2 + b2 a = b y c = d c d a −1 a (7) a0 = 0 (14) = , a = 0, b = 0 b b 2. Muestre que, para m, n, p, q números naturales (en N ) y si m < n y p < q , entonces m + p < n + q .

⊂ ⊂ ⊂ ⇒ ⇒ ⇒

·

⇒ ⇒

⇔





√

  √ √  







3. Muestre que, si m, n son n´ umeros naturales y m < n, entonces m 2 < m n < n2 .

·

4. Muestre que, si m, n son n´ umeros naturales y si m = n, entonces m2 + n2 > 2m n.



5. Muestre que, si a es un número entero (en Z ), entonces a 0 = 0 a = 0.

·

·

· − c) = a · b − a · c.

6. Muestre que, si a, b, c son n´ umeros enteros, entonces a (b 7. si a, b, c, d son n´ umeros enteros. Entonces a

·

− b = c − d si y solamente si a + d = b + c. 8. Muestre que, para b entero positivo y a cualquier entero, entonces a − b < a + b. 9. Muestre que, el cuadrado de un número entero impar es un entero impar. 10. Muestre que, la suma de tres enteros impares es un entero par. 11. Muestre que, el producto de dos enteros impares es un entero impar. 12. Muestre que a 2 es entero par si y solamente si, a es entero par.





· √ √ 14. En los n´ umeros reales, muestre que para todo x > 0, se tiene x < x + 1.  0 entero, se tiene m > 0. 15. Muestre que para todo m = √ 16. Muestre que 2 no es un número racional (es decir no esta en Q ). √ 17. Muestre que 3 no es un número racional. 13. En los n´ umeros reales, muestre que si x = 0 e y = 0, entonces x y = 0. 2

18. Es cierto que, ¿el cuadrado de todo número real es mayor que la base? 19. En los enteros, es cierto que, ¿el cubo de un número impar es par? 20. En los enteros, es cierto que ¿el cuadrado de un número par es impar? 21. ¿Los n´ umeros complejos son ordenados?. Justifique.



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24


Cap´ıtulo IV. Expresiones Algebraicas Potencias y exponentes

1. Simplificar utilizando ley de exponentes A = 32 34 33 2. Simplificar utilizando ley de exponentes A = [25 254 (253 )]7 1 3. Simplificar A = 2−3 2−2 24 − 2 4 5 4 3 4 4. Simplificar A = 32 43 − 1 5 5−2 5−3 5−4 5−6 5. Simplificar A = 5 52 53 54 55 56 2 2 33 23 32 6. Simplificar A = 4 3 25 36 27 2 12 144 12 −6 14−8 7. Simplificar A = 3 13 155 13−7 15−9 6 15 4 3 44 3 10 57 43 8. Simplificar A = 2 5 48 53 320 43 55 208 30−7 10 −5 20 −1 20 −3 10 −5 40−1 9. Simplificar A = 10 10 40−9 20−1 30−1 40−9 30−1 10−1

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × · × × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × × × × ×

×

       −2

−2

1 1 1 10. Calcular el valor de +2 + 2 3 3 11. Simplificar la expresión cuando Z es igual a:

−3

×

1/2

           − − − ÷ − − − 2 3

Z = 1

−2

7−2 8−3 9−5 8−3 12. Simplificar A = −2 9 88 7−3 8−5 13. Simplificar

× × × ×

A =

−1 −1

3 2

·

7

p+q

−1

3

−1 −1

9

× 9 × 7− × 7− × 9 10

p2 q ,

  ÷  x p xq

2

x p+q x p−q

5

B =

2 23n

·

n

−4·4 −8·2

·    2 2n

3

2n+1

14. Operar y Simplificar 2 2n+2 + 2n+4 + 2n+6 2−4 a−1 b2 x−m x5m+3 x4m+2 (a) (b) n−2 (c) 2 + 2n−4 + 2n−6 4−1 a−2 b−1 x4m+1 x5+4m 15. ¿Cual es la suma de los d´ıgitos del n´ u mero? 52004 22000 . La respuesta es 13.

·

Radicales

1. Calcular las sumas

√ − 3√ 50 + 7√ 288

(a) 5 2

2. Calcular las sumas

√ − 4√ 54 + 6√ 48

(b) 2 150

√ − 2√ 27 4

(c) 3 9

6



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26


9. Reducir los siguientes términos semejantes B = 3xy + 2x2 y

2 2

2 2

2

− 6x y − (6x y − 5x y + 3xy)

10. Simplificar la siguiente operación algebraica. 10 p3 q 2

2 4

2 4

− 2r s − 10s r

+ q 3 p2 + 8s4 r 2

2 3

2 3

4 2

− 2q p − 8 p q + r s

11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas: (a) 8x + y + z + u, 3x 4y 2z + 3u, 4x + 5y + 3z 4u, 9x y + z + 2u. (b) a2 ab + 2bc + 3c2 , 2ab + b2 3bc 4c2 , ab 4bc + c2 a2 , a2 + 2c2 + 5bc 2ab. (c) m3 n3 + 6m2 n, 4m2 n + 5mn2 + n3 , m3 n3 + 6m2 n , 2m3 2m2 n + n3 . 12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresión de la primera. (a) x3 4x2 + 2x 5, x3 + 2x2 3x 3. (b) 5a4 + 9a3 b 40ab3 + 6b4 , 7a3 b + 5ab3 8a2 b2 + b4 . 3 3 5 3 2 4 5 1 3 5 4 (c) x4 + x3 y xy + y , x4 + x2 y 2 xy + y . 5 4 7 3 8 3 6 13. Sean los términos semejantes

− − −

− −

−

−

− −

− −

−

−

− −

− −

−

−

− − −

−

−

−

−

F 1 = ( p + r )x5y n+5, F 2 = (m + n)xm−2y 9 , F 3 = 2mnxr y p+3 , Halle F 1 + F 2 + F 3. 14. A la suma de Ax 2 2xy + y 2 con 5 x2 + Bxy 4y 2 se le resta 6 x2 + xy 2cy 2 se obtiene 5(x2 + y 2 ). Halle el valor de A + B + C .

−

−

−

´ n de Polinomios . Multiplicacio

1. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado 1 4 2 5 3 4 3 (a) xy axy . 3 7

− −    − −   −   −  −    − 2

(b) 5a xy (c)

2

a + 2b

(d) a2

3

2

3x + 5x y

a2

a + 1

7xy

2

− 4y

3

2ab + 4b2 .

a4

a2 + 1

 

.

a2 + a + 1 .



2 2 1 1 2 3 2 (d) m + mn n m + 2n2 mn . 5 3 2 2 2. Realizar las operaciones y simplificar: a ) (2a2 + 3ab + c) + (2c 5a2 ab). b) (5x4 2a2 + 4xy) (2x4 + 5a2 xy) + 3x4 + 2a2 + xy). c ) (4x + x4 5x3 + 2)(2x 3 + x2 ). d ) (4x4 5x3 + x2 2x + 2)(x2 2x + 2). e ) (4ab3 3a2 bc + 12a3 b2 c4 ) : ( 2ab2 c3 ). f ) (x4 + xy3 + x3 y + 2x2 y 2 + 4) : (xy + x2 + y 2 ). 3. Dados dos polinomios Q1 (x) = x5 + 2x3 + 4x2 , y Q2 (x) = x3 polinomios: P 1 = Q1 + Q2 , P 2 = Q1 Q2 , P 3 = Q1 Q2 .

− − − −

−

−

−

−

−

−

−

− −

−

∗

2

− 2x , encuentre los siguientes



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4. Dados dos polinomios Q 1 (x) = 2x5 P 3 = Q1 Q2 , P 3 = Q Q

∗

1

4

3

− x − 3x , Q (x) = x

2

+ x encuentre los siguientes polinomios:

2

5. Multiplicar los polinomios (5x2 y + 3xy 2 )(3x3 6. Simplificar

A = 12(x2

2

27

2

2

3

− 2x y + xy − 4y )

− x − 7) − (x +1)(x − 2)(x +3)(x − 4 ) + (x +2)(x − 3)(x +4)(x − 5).

Sugerencia: Realice el cambio de variables y = x 2

− x. Respuesta: A = 12.

7. Simplificar

(x

− 2)(x + 3)(x − 4)(x + 5) − (x + 4)2(x − 3)2 + 2(x2 + x + 13)

´ n de Polinomios por el M´ Divisio etodo Tradicional.

2x4 + 7x3 + 16x2 + mx + n 1. Si en la división de el resto es 12x + 3, calcular m + n. Respuesta 2x2 + x + 4

99 . 2 2. Si en la división de x4 rx3 + sx2 x + 3 entre x2 5x + 6 es exacta, hallar los valores de r y s. 19 21 Respuesta r = y s = . 4 4 3. Si al efectuar la división de x4 + x3 5x2 + sx + t entre x2 2x + 2 se obtiene el resto igual a 4. Calcular el valor de t + s. Respuesta t + s = 2.

−

−

−

 √ −  √  √ − 3

−

3

3

4. Determine el valor de α + α tiene resto igual a 7xy 3 + 8y 4 .

β si la división de x4 3x3 y +x2 y 2 +αxy 3 +βy 4 entre x2 xy +y 2

5. Hallar el valor de m sabiendo que x5

−

−

2

− 5mx + 4 es divisible por (x − c) . Respuesta m = 1.

6. Hallar el valor de k, para que el resto sea igual a cero:

6x36 + 17x27 + kx18 + 17x9 + 8 3x9 + 1 7. Hallar m para que x 3

− 7x + 5 sea factor de P (x) = x5 − 2x4 − 4x3 + 19x2 − 31x + m + 12.

2x4 + 5x3 + 11x2 + 2mx + 5n 8. Calcular m + n si el residuo de dividir: es igual al residuo de 2x2 3x + 7 3x4 + 13x3 3x2 + mx + 4n 1 dividir . 2x2 2x + 1

−

Teorema del Resto

−

−

1. Sabiendo que p(x) = 2x3

2

−

− 3x + 5x − 4, calcula el resto de las siguientes divisiones: p(x) p(x) p(x) : (x − 1), p(x) : (x − 3), , x+2 x+3



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28


2. Determine el cociente y el resto. a ) 2x4 x3 18x2 7 divido por (a) x 3, (b) x + 3. b) 3x4 7x 20 divido por (a) 2 x, (b) x + 2. c ) x5 2x4 + 2x3 5x2 + 2x + 5 divido por (a) x 1, (b) 2x + 1. 3. Halle k de manera que se satisfaga la condición indicada. a ) x3 + kx2 + 3x 12 divido por x 2, tenga resto igual a 4. b) 2x3 5x2 + kx + 3 divido por x + 1, sea división exacta. 2x3 5x + 4a 4. Calcula el valor de a para que el resto de la división sea 18. x 3 p(x) 5. Calcula el valor de a para que el resto de la división sea 3 siendo p(x) = 2x2 + 3ax 5 x + 2 5 2x4 + 3x3 2x2 x 1) (x 2). 6. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división? (3 x

− − − − −

− − −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− − − ÷ − 7. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 + mx2 + nx − 6, sea divisible por x − 5x+ 6. 8. Hallar el valor de m para que la división de x 4 + 2x3 + 3x2 + mx − 7 entre x + 2 tenga resto 3. 9. Calcular el valor de n en el polinomio P (x) = x 4 − 2x2 + nx − 3 sabiendo que al dividirlo entre x + 1 el resto obtenido es el triple del que resulta al dividirlo entre x − 1. Respuesta: 2. 10. Calcular el valor de m si el resto de dividir x 3 − mx2 + 7x − 1 entre x − 2 es el triple del resto de dividir x 2 − (m + 2)x − 1 entre x + 2. 11. Hallar el residuo de la división de Q (x) = x 3 − 3x2 − 2x − a entre x − 4 sabiendo que a es el x2 − 4x + 1 término independiente del cociente de la división . x−3 12. Hallar el residuo de la división del polinomio entre x

2

− 8. Respuesta: 8

4

x

2

 −

10x +16

1000

4

+ x

2



12x +24

2n

. Sugerencia use el cambio de variable y = x2 . a b 13. Si x a es un factor del polinomio ax3 +a2 x2 +a3 x 3b4 . Hallar el valor de + +2015. Respuesta: b a 2017. Sugerencia si x a es un factor de un polinomio P (x), entonces P (a) = 0.

−

2n

−

2

−

−

14. Se sabe que la siguiente división es exacta

A( x

− 3)100 + 3Bx(x − 2)55 + 2(x − 4)2 + Ax x2 − 5 x + 6

26 Calcular el valor de E = A 9B. Respuesta: . Sugerencia si un polinomio P (x) es divisible 3 entre (x a)(x b), entonces P (x) es divisible entre x a y es divisible entre x b.

−

−

−

−

−

−

15. Hallar el resto de



x

−4.

Respuesta:

4

− 3x + 6

  102

+ x

4

− 3x + 4 x4 − 3 x + 5

− 53

2 x4 + 6 x

− 14



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29


xr (x

a)3r − 256(3a − x)2s − 16. Calcular r y s di la división de es exacta. Respuesta: r = 8, s = 16. x − 2a px8 + qx6 − 3x5 − 1 17. Determinar el valor de la expresión E = 2 p + 5q si en la división el resto es igual a 8x2

x3 + 1

− 5. Respuesta: E = −10.

´ n sint´ Divisio e tica o m´ etodo de Ruffini

1. Utilizar Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1. (a) p(x) = 5x2 3x 2 (b) q (x) = x 3 + 2x2 5x 6 (c) h(x) = x 4 10x2 + 9

− −

(d) p(x) = x 4 + 7x3 + 12x2

(e) q (x) = x 5

4

− 2x

− − − 8x 3

(f )

− h(x) = 2x − 6x − 4x 8

6

5

8x20 + 5x8 4x4 + 3 2. Efectuar . Respuesta: Q(x) = 4x16 4 2x + 1

− 2x

a2x3 + a2 cx + k 3. Hallar el valor de k, si la división de ax + b

− b2x tiene resto igual a 3abc. Respuesta:

x4

− nx3 + mx2 − 2x − 8 sea exacta. Re(x + 1)(x − 2)

−

12

+ x8 + 2x4

− 3, Q(x) = 6.

4abc.

4. Determinar el valor de m y n para que la división spuesta: m = 3, n = 2. Grado de Polinomios .

x1+ax2−b 1. Calcular el valor de E = a − 3b en el monomio P (x, y ) = 1−b 2−a sabiendo que el grado x x absoluto del monomio P (x, y) es 10 y el grado relativo de la variable y es 4. La respuesta es 2.

2. Determinar el grado relativo de P (x, y ) = ax a+8 + abxa y b by b+16 con respecto a y, sabiendo que es homogéneo. La respuesta es 24. Sugerencia: un polinomio es homogéneo cuando los grados de cada uno de sus términos son iguales.

−

    −    4

3. Determinar el grado de la expresión E = 6 P (x) + 5 Q(x) polinomio P (x) es de cuarto grado y Q(x) es de tercer grado. 4. ¿Cuántos términos tiene el polinomio

P (a,b,c) =

  3

axy + x y b c

3

a2xy + x+1 y+1 b c

si es homogéneo y de grado 20 respecto de a?. 5. Se tiene los polinomios P (x, y )

= 5xm+11y n−3

Q(x, y ) = 5x2m+6y n+2

6

 3

8 P (x) Q(x) si el

a3xy + x+2 y+2 b c

···

− 3xm+7yn+2 + 7xm+2yn+1 y

− 3x2m+2yn+7 + 5x2myn+10

Determinar el grado absoluto de Q(x, y), si se sabe que el grado absoluto del polinomio P (x, y) es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q(x, y) es 4. La respuesta es 22.



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30


6. Se tiene los polinomios

P (x, y ) = 5xm+11yn−3 + 7xm+7y n+2 + 7xm+2y n+1 + 5xm+1y n Q(x, y ) = 2x2m+6y n+2 + 12x2m+2y n+7 + 8x2m+4y n+10 + 6x2m+4y n+6

− 85 x2m+2yn+7

Determinar el grado absoluto de Q(x, y), sabiendo que el grado absoluto del polinomio P (x, y) es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q(x, y) es 8. La respuesta es 22. 7. Se tiene los polinomios P (x, y )

= 5xa+11y b−3 + 6xa+7y b+2 + 8xb+2y a+1 y

F (x, y ) = 3x2a+6y b+2 + 4x2a+2y b+7 + 7x3ay b+10 Se sabe que el grado absoluto del polinomio P (x, y) es 16 y el menor exponente de y en el polinomio F (x, y) es 4. Calcule el grado absoluto del polinomio F (x, y).

√ √ √ √ 8. Hallar x si la siguiente expresión es de segundo grado M (a) = a a a ······ a . Respuesta x

x

2

x

3

x

x

x = 3.

9. Efectuar

24 Factores

−√ −√ −√ −√ ······ −√ −√ 

E = (

x)(

3

x)(

x)(

3

x)

(

x)(

3

x)

Respuesta E = x 10.

Las fracciones algebraicas

1. Simplifica las siguientes expresiones: x + 1 x2 4 (1) 2 (2) 2 1 4x + 4 x x

− x −x x −x 2

(5)

3

2

x2 (3) x

−

− x − 3x + 2 x −x−2 2

(6)

−1 −1

(4)

(3xy)3 6x2 y 4 (7) 24(x3 y)2

2

−

x3

x2 4x + 3 6x2 + 11x

−

−

x4 + x3 + x2 (8) 3x2 3x + 3

−6

2. Simplificar: 36xy 4 z 2 15x4 y 3 z

(a) 3. Simplificar:

75a7 m5 (b) 100a3 m12 n3

−

(4x2 + 4xy (x2 2xy

−

2

2

(c)

2

− 3y ) · (2x − xy − 3y ) , − 3y ) (4x − 9y ) 2

2

ax4

2 3

3 2

− a x − 6a x 9a x − a x 4

2 3

2x + 1 x + x2 4 x + 2

2

−

2x2 9x 5 (d) 10 + 3x x2

− − −

−1 − x 3x − 4x + 4 2

4. Opera las siguientes fracciones algebraicas (sumar o restar), haciendo mcm: 8 4x 1 1 x+1 x + 1 (a) 2 (b) 2 (c) 2x 1 (2x 1)2 x + 2x 2x + 4 x x2 + x

−

−

− −

−

5. Ahora, no hay que aplicar el mcm, puesto que sólo vamos a multiplicar y dividir. Descompón los polinomios en producto de factores, y simplifica:



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2x (1)

32


− 2y 3z x−y

a b + b a (2) a b b a

(3)

−

6z 3

1

1+ 1+

    1

1+

2 x+2 (4) x

a2

4

− x2 − 4 − x −8 2

(5)

− 2ab + b2 a2 − 2ab a2 − b2 a2 − ab − 2b2

(6)

Productos Notables  Axioma

de Distributividad a(x + y) = ax + ay y) = x2 y 2  Diferencia de cuadrados. (x + y)(x 2 2 2  Binomio al cuadrado (x + y) = x + 2xy + y . y)2 = x 2 2xy + y 2 .  Binomio al cuadrado (x 2  Producto de binomios (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab 2  Producto de binomios (ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 y 3  Diferencia de cubos (x 2 xy + y 2 ) = x 3 + y 3  Suma de cubos (x + y)(x 3 3 2 2 3  Cubo de suma (x + y) = x + 3x y + 3xy + y y)3 = x3 3x2 y + 3xy 2 y 3  Cubo de diferencia (x 2 2 2 2  Cuadrado de trinomio (x + y + z ) = x + y + z + 2(xy + xz + yz ) 1. Resolver empleando productos notables: (b + 4) 2 2. Resolver empleando productos notables: (5 c)2 3. Representar el área de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.

− −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

a)x2 + 49,

b)x + 49,

c)x2 ,

d)x2 + 14x + 49,

e)x2 + 7.

− b). Subraye el inciso correcto. − a − b, d)1, e)a − b.

4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a a)a2

2

2

2

− b , b)ab, c)a + b 5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, 6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)

d)2c2 + 1,

7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2 )(x2 a)x2 a2 ,

b)x4 + a4 ,

c)x2 + a4 ,

2

−a ) d)x − a , 4

4

8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3) 2 9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y 2)2 10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 ab + b2 ) a)a3 + ab + a3 ,

b)a3 + b3 ,

− −

e)4c2 + 2.

c)a3 + ab2 + a2 b + b3 ,

e)x4

2

−x

d)a3

+ a2 x2

3

− b e)N.A.

1 x



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34


2

33. Si se cumple x

− 3x + 1 = 0 el valor de F =

 

x7

5

−x

+ x3

x5

es F = 6.

 √ n

n

a + 2b a b 34. Si +4 = 725 con a, con a, b reales positivo, halle el valor de F = 3 . Respuesta.b a anbn F = 3. 35. Conociendo m Conociendo m + n = = mn erico de de F = 123. mn + 2 = 3 calcular el valor numérico F = m5 + n5 . Respuesta.- F F = 2 2 1 m +n +5 36. Sabiendo que m que m + n = = mn = 5 calcular el valor numérico erico de de F . Respuesta.Respuesta.- F = . mn = F = 3 F 3 m + n3 + 10 1 1 1 (m + n)6 6( 6(m m6 + n6 ) 37. Si + = hallar el valor de F de F = . Respuesta.Respuesta.- F F = 11. (mn m n m + n mn))3 m2 n2 p2 38. Si m + n + p = 0 calcular el valor numérico erico de F = + + . Respuesta.- F = 3. p = np mp mn 1 a+b 3 39. Si a2 + b2 = 62 62ab hallee el valor numérico erico de de F . Respuesta.- F = 2. ab hall F = ab n

n

−

40. Simplificar E = 41. Simplificar



 

2b

x 3 + 2 x2 + 2 x + 1

b a

2a

a + a b + b + a

Respuesta.- 4 a3b

b

−b

a

− 4 b3 a .

 √ 



x2

x3

−1

 − 2

−

− 2x2 + 2x 2b

b a

 −

a + a b + b

1

2a

Sol: E = x 2 + 1. + x2. Sol: E

b

−a

+b

a



2

√

1 x3 + y 3 42. Si x + y = = a = b y además as = , la relación on entre a y b es: Respuesta.- a = 2 b. a,, xy = b y 5xy xy((x + y ) 5 a b 43. Sabiendo que a que a 3 = b 3 , al efectuar (a (a b + c)3 (a b c)3 se obtiene: Respuesta.b a 2c3 .

 −   − 

−

− − −

44. Demostrar que la expresión on

H =

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ a+ b+ c a+ b− c a − b + c − a + b + c

√

es igual a la expresión on



H = 4ab

45. Simplificar

(a + b + c)(a

− b + c)(a + b

  − − −   − − c

a

2

b .

c)( a + b + c) + a2 + b2





− c2 2

46. Simplificar

(a + b

− c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c) − 2a2 + 2b2 + 2c2



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35


47. Calcular el valor de

     16

Respuesta: a .

a + 1

a4 + 1

a8 + 1

a2 (a

− 1) + a

 −

1 +1

48. Simpl Simplificar ificar la sigui siguient entee expr expresi´ esi´ on on

K = 1 Respuesta: . 3

−

−

  

4x + 3y + 4 z 2x 3

4x + 3y + 4 z +

  



− 6y + 4z 2x + 3y − 8z 3 3 2x − 6y + 4z + 2x + 3y − 8z



Cocientes Notables

Para n n natural  Para

xn x

par o impar, se tiene

− yn = xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + ······ + x2yn−3 + xyn−2 + yn−1 −y

el n´ umero de términos umero erminos en el desarrollo de este cociente co ciente es n ermino en la posición k on k es n,, y el término

tk = x n−k y k−1 Para n n natural  Para

par, se tiene

xn y n = x n−1 x+y

−

− xn−2y + xn−3y2 − · · · · · · − x2yn−3 + xyn−2 − yn−1


tk = ( 1)k+1xn−k y k−1

−

Para n n natural  Para

impar, se tiene

xn + y n = x n−1 x+y

− xn−2y + xn−3y2 − · · · · · · + x2yn−3 − xyn−2 + yn−1


tk = ( 1)k+1xn−k y k−1

−

xn + y n Para n cualquier er natural la fraccióon n no es un cocie cociente nte notable notable.. n cualqui  Para x y

−



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36


Observe que

m

x xa xm Luego a x

xa

n

±y ± yb

=

m a

  ±  xa

yb

n b

± yb

± yn es un cociente m n cocien te notable si y solo si = , en tal caso el numero de sus términos erminos en su a b ± yb m n

desarrollo es N es N =

a

=

b

.

x12 1. En el cociente notable: x3

− y20 cu´ antos términos erminos centr centrales ales tiene. Respuesta.- 2 − y5 x111 − a111 2. C Calc alcular ular el término ermi no 47 47 contando del extremo final del desarrollo . Res Respuesta.puesta.- x 46y 64 . x−a

3. Cuál al es el lugar que ocupa o cupa un término ermino en el siguiente cociente notable, contando a partir del primer término, ermino, sabiendo que la diferencia del grado absoluto de este término ermino con el grado absoluto del

x350 y 140 término ermino que ocupa o cupa la misma mi sma posi posici´ ci´ on contando a partir del extremo final es 9. on . x5 y 2 x21 y 21 4. Dado el cociente notable n determina dete rminarr el valor de m y n sabiendo que el cuarto término ermino x ym

− −

− − es a la vez el término ermino central. Respuesta. Respuesta.-- n = = m = 3 m = xa − y b 5. En el cociente generado por 3 existe un término ermino cent central ral que es igual a xc y 231 , hallar el 7 x −y valor de a de a + b + c. Respuesta.- 769 x12 − y 18 6. En el cociente notable 2 . Determinar el valor de n, el número umero de términos erminos y encontrar el x − yn 2 3 3;; 6; x /y . cociente de sus s us términos erminos centrales. Respuesta Respuesta..- 3

x6n+3 + a6n−22 7. Dado el cociente notable (n−6) . (a) Calcular el valor de n. (b) Calcular el número umero 8)/ /2 x 6)//2 + a(n−8) de términos. erminos. (b) Calcula Calcularr el término ermino 19. Respuesta Respuesta..- 12 12;; 25 25;; x18a36. x3n+9 + y 3n 8. Para el cociente notable . Calcular Ca lcular el valor numérico erico del término ermino central para p ara x = 1; x = x3 + y 2 y = 2. Respuesta.- 256

x50 9. Calcular el téermino rmino numéerico rico 5 del cociente notable x5

− y30 . Respuesta.- x y . − y3 x14 − y 35 9−a 12+ 12+bb 10. Si el quinto término ermino del desarrollo del siguiente cociente notable es . Hallar x y x2 − y 5 a + b. Respuesta.- 13.

25 12



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37


xm y n 11. En el cociente notable 3 se conoce que el número de términos es ocho. Hallar el quinto x y5 término. Respuesta.- x 9 y 20 . x15m y15n 12. Para el cociente notable m 3 se sabe que el octavo término es x4 y 42 . Hallar el u ´ ltimo n+3 x y y término. Respuesta.- y 87 . a100 1 13. Siendo A el decimosexto término del cociente notable de 5 , proporcione el término central a 1 A11 + b44 de . Respuesta.- a100 b20 . 4 A + b x50 y n 14. Hallar el tercer término del cociente notable 2 . Respuesta.- x 44 y 6 . 3 x y t1 t8 x105 + y 147 15. Calcular E = de . Respuesta.- x 30y −42 . 5 7 t10 t5 x +y xα y β t6 t9 12 28 16. Hallar el cociente notable 3 si x y . Calcule α + β . Respuesta.- 84. = x y4 t7 y m z 30 17. En el cociente notable 2 . Si el cuarto término es de grado relativo respecto a z igual a 9, y z n calcular la relación entre los términos centrales. Respuesta.- y 2 /z 3 . x21 y 21 18. Dado el cociente notable n . Hallar el valor de E en la siguiente ecuación x ym

− −

− −

− −

−

− −

× ×

− −

− −

×

− −

E =

         √ m

n m n

m n..................

si m es igual al número de términos. Respuesta.-

√ 21

3

3

5α+β z α +β 19. Para que valores de α y β la siguiente expresión es un cociente notable: donde 5αβ + z M 5 1 M = α 4 α3 β + α2 β 2 αβ 3 + β 4, si se cumple que α + β = . Respuesta.- α = , β = 2. 2 2 x45 243 24 20. Hallar el coeficiente de x en el cociente de . Respuesta.- 9 x3 3

−

−

−

− √ − 3

21. En el siguiente Cociente Notable el grado absoluto del termino de lugar k + 2 contando a partir del primer término, excede en 12 unidades al grado absoluto del término de lugar k contando a partir

x125 del extremo final. Halle k. x5

− y75 − y3



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38


x − − y 3 −3 22. Si en el cociente notable x 2 −1 − y − 3n 3

n

2 2 p

p2

1

el segundo término es x

210 15

y . Calcular E =

Respuesta.- 4



4 p2n . 5

  −  −   −    43

43

5x + 9 5x 23. Calcular el valor numérico de lugar 37 del cociente notable 10x + 9 x+5

1 24. Si el quinto termino del cociente notable que da origen la división: 2

para x =

m

x+1 x + 3

1.

m

tiene valor numérico 3456 para x = 1. Calcular el valor de m. Binomio de Newton

n

n

(a + b) =

   n i

i=0

El k-ésimo termino es dado por

n i i

a −b,

 n i

n! = i!(n i)!

−

n n−k+1 k−1 a b k

T k =

1. Indicar el valor de p en ( x5 + y p )30 , si el termino 16 contiene a x 75 y 60 . Respuesta p = 4. 2. Hallar el termino independiente de x en el desarrollo de

√ − √  1 x

8

√  1 x+ 2 3x

10

. Respuesta t3 = 5.

70 . x 4. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es 144. Respuesta.- los exponentes son a = 7 y b = 4. 3. Hallar el quinto termino de

4

x

. Respuesta t5 =

5. Cuántos términos debe poseer el binomio de la forma



x + y8

un n´ umero independiente de x e y. Respuesta.- 6 términos.

y2

√ xn−4 4

6. Del siguiente binomio, hallar el coeficiente del término independiente:





n

, si en el desarrollo existe 2

2

a 4b + 2b3 a4

6



. Respuesta.-

No existe término independiente. 7. Los coeficientes de los términos quinto, sexto y séptimo del desarrollo del binomio (1 + x)n forman una progresión Aritmética. Hallar n. Respuesta.- n = 7, n = 14. 12 3 2 3 2 8. Determinar el lugar que ocupa el término a 7 en el desarrollo del binomio a + a .

 √ 4

Respuesta.- 7mo lugar.

3

√





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39


9. Hallar para que valores de x, la diferencia entre los t´ erminos cuarto y sexto en el desarrollo del m 16 2x 32 binomio es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor + 16 x 8 2

√

√ √ √



que el coeficiente binómico del tercer término del desarrollo en 20 unidades. Respuesta.- x = 1. 21 10. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio

 √  √  3

contiene a y b elevados a la misma potencia. Respuesta.- 10mo lugar.

a + b

b

13

a

, que

(a + b)4 11. Si 2 ( a + b2 ) 2

− (a − b)4 = 4, halle el valor de F = 7a + 3b . Respuesta.- F = 2. a + 4b − (a2 − b2)2 a+1 a − 1 10 12. Simplificar la expresión y determinar el termino del desarrollo − a2/3 − a1/3 + 1 a − a1/2





que no contiene a a. Respuesta.- 210.

13. Hallar el termino décimo tercero del desarrollo



9x

tercer termino del desarrollo es 105. Respuesta t 13

a x

−

14. En el desarrollo de x

2

m

=

 − √ 1 3x

m

, sabiendo que el coeficiente del

455 . x3

, los coeficientes de los términos cuarto y decimotercero son iguales.

Hallar el término que no contiene x. Respuesta 3003a10 . 15. ¿Para que valores de n, los coeficientes de los términos segundo, tercero y cuarto del desarrollo del binomio (1 + x)n forman una progresión Aritmética. Respuesta.- n = 7. 16. Hallar x en la expresión

√ √  3

1 2+ 3

x

3

sabiendo que en el desarrollo del binomio la relación entre

1 el séptimo termino contando desde el principio y el séptimo termino contando desde el final vale . 6 Respuesta x = 9. 17. Determinar para que valor de x, el cuarto termino del desarrollo del binomio:

√

 √ 

1 2x−1 + 2x

m

3

es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binomico del cuarto termino es 5 veces mayor que el del segundo termino. Respuesta x = 4. 18. Los términos de lugares séptimo y noveno en el desarrollo del binomio: coeficientes iguales. Halle el valor de n. Respuesta.- n = 20.

√

13 x + y 2 2

n

tienen

19. En el desarrollo del binomio: (xa + y b )c se tienen los términos: dx12 y 10 , dx15 y 8 que están incluidos en el desarrollo. Calcular el valor de: a + b + c + d. Respuesta.- 140. 20. El décimo termino del binomio

  x y + y x

n

y6 es 20 6 , determinar n . Respuesta n = 12. x



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40


 √ √  √ 5

21. En la expresión

x

a4

ax 1

−

+ a

√ x−1

x+1

a



5

determinar x para que el cuarto termino del desarrollo

del binomio valga 56a5,5 . Respuesta x = 2 o x = 22. En la expresión

2 2−1 +

 √ 4

x

4−x

6

−5.

determinar x para que el tercer termino del desarrollo del

4

binomio valga 240. Respuesta x = 2. 23. Suponga que se quiere expandir la expresión (x + y + z )17 . ¿Cuál es el coeficiente del término x2y 5z 10?. Respuesta: 408408.

√  3

24. En el desarrollo del binomio

x2 y5

−

y7 x

n

, existen dos términos consecutivos, el primero inde-

pendiente de x y el segundo independiente de y. Calcular n. Respuesta: 60. o

25. Hallar el grado absoluto del 16 término del desarrollo de



3

2x + 3y

2



24

. Respuesta: 57.

ń Factorizacio

1. Factorizar (1)

(5x

2

(2)

3x3

(3)

8b2 m2 + 32b2 m + 6bm2

(4)

y6

(5)

5y(3x + 7)

(6)

xm+n

(7)

xm+n y m

(8)

−44ax

(9)

26a4

(11) a3

− 2y)x − (5x − 2y)6xy − 2m(3x + 7) −x y −x y 2n m+n

3

− 39a x + 13a − a b − ab + b 2

2

n 2m

3

3

(17) x3n

− ay − 3bx + by −x y +x y −y n 2m

2n m

4

m n

2n m+n

y

n 2m

−x y − 66a x

+ 286a2 xn+1

(10) 4x3 + 4x2

3 n+2

− 9x − 9

(12) y 4 + 4

(13) max + mby + mbx + may (15) 3ax

− 6x + 9 −y y −x

− 45an + 4m − 5n ax − 6x − 6a + 36 + bx − 6b (x ) − (x a ) − (x a )

(14) 36am

(16)

3m

(18)

m+n 2

m n 2

n m 2

2. Factorizar (1) 9x2 + 12xy + 4y 2

(2) 81z 6

(3) x2 + 3x

(4) 6x2

(5) 4x2 (7) 9x2 3. Factorizar

−4 − 4xy − 3y − 48xy + 64y 2

3

2

− 90z w + 25w + 11x − 10

(6) x2 + 18x + 81 2

(8) a2 b2

− 20ab + 100

4

+ (am+n )2



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2

(1) x

9x2 y 2 (2) a2 b2 p3 q 3 (6) 64 125

− 81

9 z 4

(3) 16A2

−

(5) 8x3 + 27y 3 (9)

41


−

4

(10) 8x3

− 25x

− 27y

(7) (x 3

− 25B 3

− a)

2

(4) 4(x + 3y)2

+ b3

(11) 64(m + n)3

(8) (2x

4. Factorizar x 3 + 6x2 y + 12xy2 + 8y 3 5. Factorizar x 3n xn y 2m + x2n y m y 3m . 6. Factorizar 9(x y)2 + 12(x y)(x + y) + 4(x + y)2 7. Factorizar 144a2 b8 25a10 49c4 25a10 144a2 b8 + 49c4 8. Factorizar 16x2 64a6 b6 225(3m n)2 64a6 b6 + 16x2 225(3m 9. Factorizar 13x2 y 2 3a 52y 4 3a 13x2 y 2 9a2 + 52y 4 9a2 10. Factorizar 5x4 y + 3x3 y 9y 2 15xy2 11. Factorizar a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 12. Factorizar 9(x y)2 + 12(x y)(x + y) + 4(x + y)2 13. Factorizar las siguientes sumas y/o restas:

− −

·

−

2

− (x − y)

3

−

−

− · − − · · − · − · − −

−

2

2

− 5) − (3x − 5)

(12) (x + y)3

− 125

− 9(2x − y)

·

− ·

2

− n)

−

i) (x 5)(x 7)(x + 6)(x + 4) 504 ii) x4 + 324y 4 14. Factorizar: 2y 2 + 7y + 3, 16t2 + 8t + 1, x 3 + 5x2 + 6x, 2x3 16, 8x2 + 6x 27 15. Factorizar (x + 8)4 (x + 2)3 (x + 8)3 (x + 2)4 16. Factorizar: a 4 8a2 b2 9b4 17. Factorizar: x −2 + 8x−1 20 18. Factorizar; 16x2 y 2 81a2 b2 c2 , x 2 y 2 36y 4 , 4(x + 3y)2 9(2x y)2 . 19. Factorizar: 8x3 27y 3 , 64(m + n)3 125, (x + y)3 (x y)3 . 20. Factorizar: 3ax ay 3bx + by, x 2 4y 2 + x + 2y, x 3 + 6x2 y + 12xy 2 + 8y 3 21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

−

−

−

− −

−

−

−

− − −

− − −

(a) (c) (e) (g) (i)

−

−

− − − −

14a2 b 35ab 63ab2 . a2 (s + 2t)2 + a( s 2t). 100a4 (3a + 2b)2 . 6(x + y)2 5(x + y) 6. p4 + q 4 pq 3 p3 q.

2

(b) 2(x − y)r + 2(x − y)rh. − − −− (d) (x + y) − 49z . − (f ) (a − 2b) − 2(a − 2b)c − 15c . − − (h) 8x + 22x(y + 2z ) + 5(y + 2z ) . − − 22. Al factorizar x + 5x − 66, hallar la suma de los factores. Solución 2x + 5. 23. Factorizar 1 + xy − a(1 + xy) + a(x + y) − (x + y). Soluci´ on (1 − a)(1 − x)(1 − y). 24. Factorizar 81a b − 292a b x + 256x . Solución (9a b − 16x − 2ab x )(9a b − 16x + 2ab x ). 25. Factorizar x + x − 2. Solución (x − 1)(x + 1)(x + 1)(x + 2). 26. Factorizar a x − x + a x − x. Solución x(x + 1)(a − 1)(a + 1)(a − a + 1)(a + a + 1). 27. Factorizar a (b − c) + b (c + a) − c (a + b). Solución (b − c)(a + b)(a + c). 28. Factorizar x + x + x + x − x − 1. Soluci´ on (x + 1)(x + x − 1). 2

2

2

2

2

2

2

4 8

8

6 2

2 4 8

4

2 4

2

2

2

n+2

16

2

2

3

2 4

2

2 4

4

6

2

n

8

2

n

2

8

2 4



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43


3. Simplificar

x 2x2 + 3xy + y 2

4. Simplificar

− y x−−4xy 2

2

+

y 2x2 + xy

−y

2

6a + 6x x2 + 4ax + 4a2 2ax 4a2 3ax 6a2 ax + a x2 + 3ax + 2a2

−

−

5. Simplificar

−

(a 6. Simplificar (a 7. Demuestre que (a

1 b)(b

−

−

a b)(a

bc c)(a

8. Simplificar la expresión. a(a 9. Simplificar

− c)

− b)

1 b)(a

−

− c)

+

+

− c)

(b

(b

+

−

(b

+

1 a)(c

−

b c)(b

ac c)(b

−

−

b(b

1 − − b) (a − c)(b − c) .

− a)

− a)

1 a)(b

a + b b + c + (c a)(c b) (a b)(a

−

Soluci´ on 0. 10. Simplificar (a Soluci´ on a + b + c. 11. Simplificar:

−

−

a3 b)(a

2

(a)

6x

−x−2 3x − 2

−

− c) + (b −

b3 a)(b

x2 y + xy 2 x y (b) x + y

−

2x + 1

12. Simplificar

2

x =

( p

+

− c) − c)

(c

+

+

(c

−

−

c a)(c

ab a)(c

c(c

−

− b)

− b) = 1

1 a)(c

− b) .

c+a (b a)(b c)

−

− c) + (c −

−

c3 a)(c

− b)

x + 3 (c) x + 4 x 1 x+2

1 − x + x + 2 − − x − 3 x + 4

2

a + b b a − b + b + 1 a + b · a · 2a − b a − 2b a−b 1+ a + b − b a−b 2

13. Determine el valor de x si

2

+

−

p2 qr q )( p

−

2

pq 2 r + + r) (q r)(q p) (r

−

−

−

pqr 2 p)(r

− q ) .

1

(d)

1

1+ 1

− x1



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44

14. Sea a + b + c = 0, hallar el valor de a2 b2 c2 + + . bc ca ab 15. Simplificar

x3

2

−x −x−1 3x − 3x 3

16. Operar u simplificar al máximo x

x x y x + y E = y x , + x y x+y

− − −

17. Sea

F =

 −   −  1 x + y 1 y + x

n

x

n

y

1 y 1 x

n

x−2 2(xy)−1 + y −2 G = y −2 + xy −1 2x0 x

 −

n,

−

a3 b3 + = 2, hallar el valor de b3 a3

  −   − −  a2 + b2

E =

a2 + b2

2

+ a2

b2

a2

b2

2

2 2



18. En la siguiente expresión hallar el valor de E : Si a = x y n un n´ umero impar

x2 + + + a x (a x)2 (a x)3 E = 1 x x2 + a x ( a x) 2 ( a x) 3

1

x

−

−

−

− − −

···

xn + (a x)n+1 xn (a x)n+1

−

− − · · · − −

19. El valor de la expresión

(2 + 3)(22 + 32)(24 + 34)

··· (21024 + 31024)(22048 + 32048) + 24096 32048





20. Los n´ umeros reales a = 0 y b = 0 cumplen que ab = a

− b. ¿Cuál de los siguientes valores es un

a b ab? A) −2 B) −1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2 + b a −1 −1 x1/3 3x−1/3 1 2x 21. Simplificar A = . 3x 2 x2/3 2x−1/3 x4/3 x1/3 1 1 2a1/4 2 22. Simplificar A = . + a1/4 + a1/8 + 1 a1/4 a1/8 + 1 a1/2 a1/4 + 1 (m + x)1/2 + (m x)1/2 2mn 23. Simplificar la expresión. , si , m > 0, 0 < n < 1. x = n2 + 1 (m + x)1/2 (m x)1/2 valor posible para



−

−

−

−

− − − −

 − −  −

−

−

−



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5. Si x =

46


√ 7 reducir 7

  √  √    √   √  √ √ · √ · √  ÷  ·√   · ·  ······              ·    a+2

P =

a

ax+1

x

2

ax−x

a

27 729

6. Reducir

5−1

−

3 1

3

7. Si x =

x

4 1

−

x

3

x

5 1

−

x

3

x 3

x 30 factores

4

x3

x

x−1

√ 7 reducir 7

x

8. Al simplificar la expresión E =

289

    16

3

9. Calcular el valor de E para x =

√ 289

17

1+x

P =

3

16 3 16 ...

x

1+x

√ 289

17

289

se obtiene E = 2.

16, donde E =

   √ −        √  x

x

E = 2.

x3

−1

3

x2

3

x3 x4

x3 x3x

2

1 9 . Respuesta



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10. En la siguiente expresión simplificar A:

   √ ···∞    √ 4

A =

5

x3 x4

4

4 3 x

x3 x3

5

x4

5

x4 x4

4

5

···∞

11. En la siguiente expresión simplificar B:

  √   

B = log5

1 1 1 + + + 252 254 256 1 1 1 + + + 254 256 258

√ √ x √ x √ 12. Si x = 3 calcular x √ 2 √ y 13. Si x = 2 , yx = Hallar E : x x

3 2

 ······  ······

1 2

.

2



x+1



√

2 2 y 1− x

xy + x E = x1+y y + y x1−y 14. Reducir

A= Respuesta: A = 9.

5 274

5 34 +1

6

4 3 729

−5−6

3−4

−−

5 6 4 3

          

47



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48


15. Reducir

√ 5 √ √ 5 5 √5 √ 5

 

H = Respuesta: H = 5.

√ 16. Si x = 6, reducir

√ 5 √ √ √ 5 5 + 5 5

6

A= Respuesta: A = 6.

   xx

xx +x x x

x

6x−x

17. Reducir

  √ 243

J = Respuesta: J = 3.

  √ √ √  3 3   3 3+1

3 3

√ 3+1

33

3+2 2

5

18. Simplificar

n 2

L=

− + 1 n−3 5n−3 + 1 n−2 4 + − n 2 4 +1 53−n + 1

2 3

1 4

Respuesta: L = 4. 19. Reducir:

√ 3−2 2

3+2 2

K =

5

Respuesta: K = 1.

2 6

√ 5+2 6

3

− √

5 2 6

2 2

√ 3+2 2

5+2 6

−−

2 1 4 29

           √   − √   − √    √ 



UMSA-FCPN II-2015 20. Reducir:

B= Respuesta: B = a. 21. Si y

=

        a aa a aa



13

y

√

13 x 13

+ x13x

1 a 22. Si a = y b = 2. Hallar el valor de J = 2 b

= ba. Simplificar:

A=

    √

13 13

+ xx

b1−a

√

13

a1−b

2

13 13

+b a ab1+a + b a1+b

    

a−b b−a − − a−b b−a

−

2ab a

Respuesta: A = b. 24. Si

aa

√ 13 y x = √ 13. Hallar el valor de

13

E = x13

b

aa a

2

1+a1+a



23. Si a

49


x y z = = = 4. Simplificar: x + y y + z x + z

√ 2x−y · √ 2y−z √ 2x−z

x+y

G=

x+z

Respuesta: G = 221. 25. Si a

y+z

+ b + c = abc. Simplificar:

√ a

J = x Respuesta: J = 1.

√ √ xb+c + xa+c + xa+b b

c

xab + xbc + xac



Respuesta: J = 8.



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50

Cap´ıtulo V. Ecuaciones de Primer y Segundo Grado Ecuaciones de Primer Grado o Ecuaciones Lineales

1. Completa esta tabla: Igualdad

(5

−

¿Es una Primer Segundo Inc´ ognitas ecuaci´ o n? miembro miembro

− − · · −

2 + 5x = 3 4x 4)2 = 52 + 42 2 5 4 5t + 5 = 3t + 2 2x2 + 2x 3

2. Distingue entre ecuaciones e identidades e indica el grado de las primeras: Igualdad ¿Es ecuaci´ o n? ¿Es identidad? Grado 2 + 3x = 3x + 2 2 + 3x = 5 + 3x (x + 2x)2 = 3x2 1 + 3x = 1 2 x +1=1+x x

−

·

3. Utiliza las identidades notables para desarrollar o factorizar las expresiones siguientes: (a + 2b)2 = (2m + 3n) (2m 3n) = 2 (2x y) = p2 + 9q 2 6 pq =

·

−

− −

4. Resuelve las siguientes ecuaciones sin paréntesis ni denominadores: i) 18 + 2x 8 = x 25 ii) 8x 6 = x + 8 + 6x iii ) 5x + 4 = 20 + 2x

−

−

−

5. Resuelve las ecuaciones (1) y (2) quitando primero los paréntesis:

−

2(x + 3) 6(5 + x) = 3x + 4 (1) 4 (x 2) + 1 = 5 (x + 1) 3 x (2) 6. Utiliza la fórmula e = vt (donde e, es el espacio; v, la velocidad, y t, el tiempo) para calcular: a ) El espacio recorrido en 3 horas por un ciclista que lleva una velocidad constante de 35 Km . h b) El espacio recorrido en 15 minutos por un atleta que corre a una velocidad constante de 200 Km . h c ) El espacio recorrido en una hora y media por un caracol que se desplaza a una velocidad constante de 3 m . h 7. Resuelve las siguientes ecuaciones sin paréntesis ni denominadores: i) 18 + 2x 8 = x 25 ii) 8x 6 = x + 8 + 6x iii ) 4x 12 + x = 4x 1 iv) 3x = 27 v) 5x + 4 = 20 + 2x

· −

− −

−

−

−

−

·

− ·



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51

8. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis: a ) 2(x + 3) 6(5 + x) = 3x + 4 b) 5(2 x) + 3(x + 6) = 10 4(6 + 2x) c ) 4 (x 2) + 1 = 5 (x + 1) 3 x d ) 3 (x 3) = 5 (x 1) 6x e ) 3 (5 x + 9) 3 (x 7) = 11 (x 2) + 7 9. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores: i) 10x 95−210x = 10x2−55 143 ii) 2x+3 = 9x8−5 2x 4 6 x−1 iii ) 3x12−7 = 2x6−3 8 5x+7 2x+4 x−5 iv) = 4 1 2 3 5x−2 3x−1 3x+19 x+1 = 2 +5 v) x 3 2 6 10. Resuelve las ecuaciones (3) y (4) quitando primero los denominadores:

−

−

− · − · · − − − · − · −

· − · − · · − − − − − − − − −

− − − −

2x + 3 143 9x 5 = 2x 4 6 8 5x + 7 2x + 4 x 5 = 1 2 3 4 11. Resolver 1 [2 (3 x)] = 4 [5 (6 x)] . 12. Resolver 99( 36x + 90) = 81(81x + 1110) (5x 2)(7x + 3) 13. Resolver la siguiente ecuación de primer grado =1 7x(5x 1) 1 + 2x 1 2x 3x 14 14. Resolver la siguiente ecuación + =0 1 + 3x 1 3x 1 9x2 x a b x b c x c a 15. Hallar x de la ecuación + + =3 c a b 16. Resolver las siguientes ecuación lineal. a ) x 6 (3x + 1) = 4x 2(x 8). b) 2x (5x 6) 3x(1 + 2x) = 1 6x(x 1). c ) ax b bx + a a2 + b2 + = 2 . a+b a b a b2 d ) 2x 1 1 x x 1 2n2 (1 x) + = . 1 n4 1 + n n 1 n4 1 e ) 3ab + 1 3ab (2a + 1)x a2 + + x = . a a + 1 a(a + 1)2 (a + 1) 3 f ) 3abc (2a + b)b2 x a2 b2 bx + + = 3cx + . a + b (a + b)3 a(a + b)2 a 17. Resolver x ab x ac x bc + + = a + b + c a+b a+c b + c Respuesta.- x = ab + ac + bc.

−

− −{ − − − } −{ − − − } − − − − − −− − − − − − − −

− − − − −

−

− −

−

−

− −

−

−

−

− −

−

− − − −

−

(3) (4)

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


52


1. Un n´ umero más el doble del siguiente es 26 ¿Cuál es ese número? 2. Halla tres n´ umeros pares consecutivos cuya suma sea 24. 3. Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. 4. Los 23 más los 29 de un número valen 80 ¿Cuál es ese número? 5. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 53 del ancho. 6. Si a un n´ umero le sumamos 18 nos da 97. ¿De qué n´ umero se trata? (Soluci´ on=79) 7. Ayer sal´ı de paseo y gasté 275 ptas. LLegué a mi casa con 350 ptas. ¿Con cuanto sal´ı de paseo? (Soluci´ on=625) 8. A una fiesta sólo han asistido la tercera parte de los invitados. En total asistieron 19 personas. Averigua el número de invitados. (Soluci´ on=57) 9. Entre las edades de un padre y su hijo suman 41 años. Calcula la edad del hijo sabiendo que el padre tiene 34 años (Soluci´ on=7) 10. Unos zapatos y un paraguas valen 3.000 ptas. Calcula el precio de cada art´ıculo sabiendo que los zapatos valen el triple que el paraguas. (Soluci´ on=2.250 y 750) 11. Fui con mi madre al cine y compramos dos entradas, una de infantil y otra de adulto. La de adulto cost´ o el doble que la de infantil y en total pagaron 675 ptas. Averigua el precio de cada entrada. (Soluci´ on=225 y 450) 12. De un saco de naranjas sacamos 8 y aún quedaron la tercera parte. ¿Cuantas naranjas hab´ıa en el saco? (Soluci´ on=12) 13. Un n´ umero más el doble del siguiente es 26 ¿Cuál es ese número? 14. Halla tres n´ umeros pares consecutivos cuya suma sea 24. 15. Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. 16. En un corral hay conejos y gallinas; en total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cu´ antos conejos y gallinas hay? 17. Un agricultor vende 13 de su cosecha de vino; despu´ es embotella 47 de lo restante. Le queda 120 hl ¿Cuántos hectolitros de vino hab´ıa cosechado? 18. ¿Cuánto costó un libro, si un quinto, más un sexto, más un séptimo de su precio, menos 2 pesetas, suman la mitad de su precio? 19. Los 23 más los 29 de un número valen 80 ¿Cuál es ese número? 20. Jaime y su hermana van un sábado al cine y otro al circo; en total se gastan 2,050 pesetas ¿Cuánto cuesta cada entrada si la entrada del cine vale 75 pesetas menos que la del circo? 21. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de ni˜ nos que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta si el total es de 156 personas. 22. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su per´ımetro es 272 m y que el largo es 53 del ancho. 23. Halla un número de dos cifras, tal que: 1) La cifra de las unidades es triple de la de las decenas. 2) Si se intercambian las dos cifras, el n´ umero aumenta en 54. 24. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un per´ımetro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros más que el ancho. Respuesta.- largo = 150 metros, ancho = 120 metros .

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


53

25. Una lancha recorre 6km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora. Calcular la rapidez de la lancha en km/h. Respuesta.- Su rapidez es 7,5 km/h 26. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de dinero. Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro semanas después Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cuándo podr´ an ellos reunir sus ahorros? ¿Cuánto dincero habrán ahorrado cada uno de ellos? 27. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar autom´ aticamente un décimo del dinero que le queda después de que ha sido substra´ıdo semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al menos $50 cada semana. ¿Cuántas horas debe ella trabajar cada semana? 28. S = 2πrh es la fórmula para el área S de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio r y altura h. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud l y un ancho w. ¿Cuál es el radio del cilindro, con altura l y que tenga la mayor área, que la hoja de papel pueda envolver? 29. Un autom´ ovil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un número fijo de dólares en el valor cada año. Después de cuatro años, el carro cuesta $12000. ¿Cuánto será su valor después de site años? 30. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede ser calculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de la corriente. Escriba una ecuación que calcule el tiempo t que toma un barco que se mueva a una velocidad r con una corriente c para viajar una distancia d. Resuleva su ecuación para r. 31. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que ésta cubre es 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que ésta cubre es 56 pies. ¿Cuál es la longitud de la rampa? 32. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada en 2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas, ¿cuánto tiempo despu´ es de que Dave comenzar´ a, ellos habrán limpiado el mismo n´ umero de fachadas? ¿Cuántas habrán limpiado cada uno? 33. Se vendió cierta cantidad de piñas por la ma˜ nana y sobraron dos cajas de 50 pi˜ nas cada una por la tarde. Al empezar la venta se ten´ıa 520 piñas. ¿Cuántas pi˜ nas se vendió? 34. La suma de la tercera y cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido en 17. Hallar el número. 35. Un comerciante ten´ıa cierta cantidad de dinero. El primer a˜ no gastó 100 bs, aumento el resto con un tercio de este, al año siguiente volvió a gastar 100 bs y aumento la suma restante en un tercio de ella. EL tercer año gasto de nuevo otros 100 bs. Despu´ es de que hubo agregado su tercera parte, el capital es el doble del inicial. ¿Cuál fue su capital inicial?. 36. La empresa Terra Sur SA compró un terreno en la zona sur de la ciudad de La Paz a razó n de Bs 5000 la hectárea, una vez saneado los papeles la empresa se da cuenta que el terreno tiene 8 hectáreas menos, pero ya no existe lugar a reclamos, sin embargo vende el terreno a Bs 6000 la hectárea (contenida exactamente) y gana as´ı el 12 % de su inversi´ on. ¿Cuántas hectáreas media el terreno? 37. El jueves, Pedro compró 6 DVDs para una computadora. Dos d´ıas despu´ es el precio de los DVDs se redujeron en 1.2bs por unidad. Claudia compro 10 DVDs en la oferta y pago 4 bs mas que Pedro por los DVDs. ¿Cuál es el precio original?. Resp. 4bs 38. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 niñ os y ni˜ nas más que mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay en el festival?



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55

7. Las ra´ıces de la ecuación (k + 6)x2

− (k + 8)x + 3 = 0

poseen la propiedad: r12 + r22 = 13 . Hallar el valor de k 16 8. Hallar p y q tal que la ecuación x2 + ( 2 p q + 1)x + ( 3 p + q + 2) = 0 tenga ra´ıces iguales a 1.

− −

−

9. La expresión x2 + 9 se escribe en la forma a(x + 1)2 + b(x + 1) + c. ¿Cuál es el valor de a Soluci´ on 13.

− b + c?.

10. Sea m un número real, tal que las ra´ıces x1 y x2 de la ecuación x2 + (m

2

− 2)x + m − 3m + 3 = 0

son reales. Hallar todos los valores de m para los cuales x 21 + x22 = 6. Solución m = 11. Calcular el valor de A =

  6+

12. Las ra´ıces de la ecuación a(b

6+ 2

− c)x

√ 6 + ···. Respuesta: 3.

+ b(c

−1 + √ 5.

− b) . − a)x + c(a − b) = 0 son 1 y r. Hallar r. Solución c(a a(b − c)

13. Suponga que 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812 ¿Cual es el valor de x(x + 3)?. Solución 180.

14. Sabiendo que la siguiente ecuaci´ on es de grado dos hallar el valor de n y luego resolver la ecuación.

√ 3n 43 n−2 x x √ n+1 −

 3

7

4

x

Soluci´ on n = 7, x = 2.

  84/3

−n 2 x

  4(4−1)n

+

√ 7 n

4 =0

x1 x2 x3 x4 15. Si x1 , x2 , x3 y x4 son las soluciones de x4 7x2 +12 = 0, hallar el valor de E = . Respuesta: 4 E = 3. 16. ¿Para que valores de p la ecuación p(x2 + 3x 9) = x x2 tiene ra´ıces iguales pero de signos 1 contrarios?. Respuesta: p = . 3 17. ¿Para que valores de k la ecuación x 2 15 k(2x 8) = 0 tiene ra´ıces iguales?. Respuesta: k = 3, 5.

−

−

− −

−

−


1. El cociente de dividir 84 entre cierto número, excede en 5 a éste número. Hallar el número. 2. La ganancia semanal P en mikes de bolivianos de una tienda de video depende del precio de la renta de las cintas t. La ecuación de ganancia es P = 0.2t2 + 1.5t

− 1.2

¿A qué precio por cinta su ganancia semanal ser´ a de 1.6 miles de bolivianos? 3. Suponga que la altura h en metros de los fuegos artificiales disparados en l´ınea recta ascendente desde la tierra está dada por h = 24,5t 4,9t2 donde t está en segundos. ¿Cuándo los fuegos artificiales estarán a 50 metros de la tierra?

−



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56


4. Suponga que los ingresos semanales para una compañ´ıa están dados por r = 3 p2 + 60 p donde p es el precio de su servicio. Cuánto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400. 5. Un arco parabólico tiene una forma descrita por la ecuación y = x2 + 10x 11 (unidades en pies). A qué altura (arriba del eje x) es el arco 4 pies de ancho? 6. El costo total de una compañ´ıa es 11q +144, donde q es el número de miles de unidades producidas. El ingreso total es q (71 4q ). Encontrar los dos valores de q para los cuales la compa˜ n´ıa tiene exactamente el costo igual al ingreso. 7. Usted ha estado en un tren X horas viajando X millas por hora. Son las 6 p.m y usted está a 3249 millas desde la estación del tren. ¿Cuántas horas ha estado viajando y que tan rápido viajó? 8. Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie de la Tierra es 0,85 de la ra´ız cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la superficie. Arturo está a 65 pies más arriba y ve 4.25 millas más allá que Luis. A cuántos pies están Arturo y Luis por encima de la superficie.

−

−

−

−

Cap´ıtulo VI. Sistemas de Ecuaciones Sistemas Lineales

1. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales. 4x + 2y = 10 2 (a) 5x 3y = 2 (c) (e)

 (g)

2x−1 3 x+3 2

 

 

−

= 1 2x + y = 8

y+2 4 x−y 3

+

−

− 2y − x

(b) (d)

= 4 = 3

− − − −

(f )

−



2x y + 2z = 8 x + 2y 3z = 9 3x y 4z = 3

2. ¿Tiene solución el sistema?

3. ¿Tiene solución el sistema? ń Problemas de Aplicacio

(i)

x 3

x 4 x 6

y 2 3y 2 y 4

+

−

2x 5y = 10 4x + 3y = 7

2 x3 +

ax 2abx

(h)

 − −  − −  −  − − −  −  −

 

x 6

−

− by − ay

 

y 5 y 2

= 6 = 4

−

= a2 + b2 = 2b2 + 3ab

2

−a

− − −

x = y 2z 2y = x + 3z + 1 z = 2y 2x 3

z = 7 + z2 = 6 z = 1 3

−

2x y + z = 1 2 x + 2y 3z = 3x 4y + 5z = 1 x + y + 2z = 3 3x y + z = 1 2x + 3y 4z = 8

1. Un padre tiene 24 años más que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8 años, la edad del padre es el doble que la del hijo. 2. La edad actual de José es el doble de la de Fernando. Hace 5 años José era 3 veces mayor que Fernando. Hallar sus edades actuales.

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3. Una bolsa contiene Bs 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas más de 5 que de 25. Hallar el n´ umero de monedas de cada clase. 4. Las entradas de un teatro valen Bs 50 para los adultos y Bs 20 para los niños. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudació n fue de Bs 8000. Hallar el número de niños que asistieron a la funci´ on. 5. Hallar un n´ umero de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es igual a 17 del n´ umero y que la cifra de las decenas excede en 3 a las correspondiente de las unidades. 6. Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es igual a 10 y que, si se invierten, el número que resulta es una unidad menor que el número original. 7. Dos fábricas de una misma compa˜ n´ıa tiene telares que ocupan en total de 700 personas. La fábrica A utiliza 10 obreros en cada uno de los telares, mientras que la fábrica B utiliza 20 por cada telar. Se desea cerrar la mitad de los telares de A y duplicar el número de telares en B. Para ello es necesario emplear 550 personas más. ¿Cuántos telares tiene cada una de las dos fábricas?. 8. En un testamento se dice lo siguiente: ”Tengo 10 herederos hombres y 20 herederos mujeres. Quiero que mi fortuna, que es de Bs 1000000, se reparta en la siguiente forma: Todos los hombres recibirán igual cantidad de dinero como también las mujeres. Las cantidades que les toque a cada hombre y a cada mujer deben ser tales que si se intercambian los papeles de hombres y mujeres al repartir la herencia se agotar´ıa exactamente toda la fortuna”. Usted es la persona encargada de hacer la voluntad de la persona del testamento. ¿Cómo repartir´ıa la herencia? 9. Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110 cm y que su longitud es 5 cm más peque˜ na que el doble de su altura. 10. El per´ımetro de un triángulo rectángulo es igual a 40 cm. Sabiendo que uno de los catetos mide 15 cm. Hallar la longitud de los otros dos lados. 11. Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo. Trabajando juntos invierten 6 horas en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardar´ıan en realizarlo trabajando por separado. 12. En la mitad del combate, el furioso hijo de Prit’ha tomó un cierto número de flechas para matar a Carna; empleó la mitad contra su defensa; el cuádruplo de la ra´ız cuadrada contra los caballos; seis flechas traspasaron el cochero Salya, otras tres desgarraron el parasol de Carna y rompieron su estandarte y su arco, y una le atravesó la cabeza. ¿Cuántas flechas ten´ıa el hijo de Prit’ha? 13. A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 metros, y de la otra de 20 metros. La distancia entre sus troncos, 50 metros. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A que distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez? 14. En una lucha amorosa se rompió un collar de perlas; un sexto de las perlas cayó al suelo, un quinto sobre el lecho, la zagala salvó un tercio, un décimo guardó consigo el mancebo y seis perlas quedaron enhebrados. Dime, ¿Cuántas perlas ten´ıa el collar? 15. Seis libras de té y cinco libras de café cuestan $9.85. Siete libras de té y 8 de café cuestan $13.55. Encontrar el precio por libra de cada uno. 16. José tiene 75 bs para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cuesta 0.50 bs y el otro 0.40 bs. ¿Cuántos tornillos de cada tipo puede comprar? 17. Un grupo A y un grupo B pueden armar una máquina, si el grupo A trabaja 6 horas y el grupo B trabaja 12 horas; o pueden hacer el trabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8 horas. ¿Qué tiempo deberá trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?

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18. Carlos tiene doble dinero que Pedro, si Carlos pierde 10 Bs y Pedro pierde 5 Bs, Carlos tendrá 20 Bs más que Pedro. ¿Cuánto tiene cada uno?. 19. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuación a otra velocidad durante 3h, se han recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h más a cada una de las velocidades se habr´ıan recorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades. 20. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, la velocidad deber´ıa haber sido 10 Km/h m´ as. Hallar la velocidad del tren en Km/h. 21. Dos turistas se dirigen simultáneamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de ellos. El 1ro de ellos hace por hora 1 km más debido a lo cuál llega a la ciudad una hora antes. Hallar las velocidades de los turistas en Km/h. 22. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m de la pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Qué distancia hacia abajo se mueve la parte superior?. 23. Un padre tiene 24 años más que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8 años, la edad del padre es el doble que la de su hijo. 24. La edad de Marcelo hace 6 años era la ra´ız cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar su edad actual. 25. Se compran 5 lápices, 2 cuadernos y 2 gomas de borrar y se cancela por ello bs 45. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma más bs 2 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma más bs 1. ¿Cuánto cuesta cada material? 26. La edad de José es el doble de la de Mario. Hace 5 años José era 3 veces mayor que Mario. Hallar sus edades actuales. Respuesta: 20, 10 27. Una bolsa contiene Bs. 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas m´ a s de 5 que de 25. Hallar en n´ umero de monedas de cada clase. Respuesta: 23, 4. 28. Las entradas de un teatro valen Bs. 50 para los adultos y Bs. 20 para los niños. Sabiendo que asistieron 280 personas y que la recaudación fue de Bs. 8000. Hallar en n´ umero de niños y adultos que asistieron a dicha reunión. Respuesta: 200, 80. 29. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?. Respuesta: 12, 23. 30. Un obrero hace un cierto número de piezas idénticas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 piezas más cada d´ıa, habr´ıa terminado el trabajo completo 92 d´ıas antes de lo previsto, y si hubiera hecho 5 piezas menos cada d´ıa habr´ıa tardado 3 d´ıas m´ as de lo previsto. ¿Cuántas piezas hizo y en cuanto tiempo? 31. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el producto de dichos números. Resp. 225522 32. Hallar dos n´ umeros sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cociente es 2 y el resto 3. Resp 25, 11. 33. Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su per´ımetro es igual a 110cm y que su longitud es 5cm más peque˜ na que el doble de su altura. Resp. 8, 17 34. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?. Resp. 12, 23. 35. La cabeza de un lagarto mide 9cm. La cola mide tanto la cabeza mas la mitad del cuerpo, y el cuerpo mide la suma de las longitudes de la cabeza y la cola. ¿Cuánto mide el lagarto?. Resp. 72

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36. A ambas orillas de un r´ıo crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una de ellas es de 30 codos, y de la otra, de 20. La distancia entres sus troncos es de 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos p´ ajaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareci´ o el pez?. Resp. 20 codos. 37. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechando parte de la orilla recta de un r´ıo como cerca de uno de los lados del rectángulo. Halle el área del terreno, si la longitud del lado paralelo al r´ıo es el doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. Resp. 4050 38. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lament´ abase el caballo de su pesada carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga ser´ıa el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco tu carga se igualar´ıa a la m´ıa. ¿Cuantos sacos llevaba cada uno?. Resp. 7, 5. 39. Una escalera de 13m de longitud, esta apoyada contra una pared. La base de la escalera se encuentra a 5 m del muro. ¿Cuánto habr´ıa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se desplace hacia abajo la misma distancia? Resp. 7m 40. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B distantes 320 km; uno de A en dirección de B y otro con dirección a A. El primero recorrió 8 km más por hora que el segundo y el número de horas que demoraron en encontrarse está representado por la mitad del número de kms que el segundo recorrió en una hora. ¿Cuál es la distancia recorrida por el primer ciclista? 41. Claudia y Mario caminaban juntos por el prado cargados de mochilas repletas de libros. En cierto momento Claudia se queja a Mario de su pesada mochila, a lo que Mario responde: ¿De que te quejas? si yo te tomara un libro, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si te doy uno de mis libros tu carga se igualar´ıa a la m´ıa. ¿Cu´ antos libros llevaba cada uno? 42. En una primera visita al mercado usted compró dos libras de té y cinco libras de café pagando un total de 50 bolivianos. D´ıas despu´ es el una segunda visita usted compro tres libras de té y 7 de café pagando esta ves 71 bolivianos. Usted no recuerda cuanto pago por cada libra de cada uno de los productos. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar el precio de cada libra de té y el precio de cada libra de café. 43. Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay de dos tipos, las que tienen 6 hijos y las que tienen 2 hijos. Si el número de las que tienen 6 hijos dobla a las otras, calcular en número de hay de cada tipo de familia. 44. En Abril tengo el doble de dinero que en Enero, si en abril pierdo 10 bolivianos y en enero pierdo 5, en Abril tendré 20 bolivianos más que en enero ¿Cuánto ten´ıa en abril y cuánto en enero? 45. Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y B. Un kilo de A proporciona a una vaca el 10 % de las prote´ınas y el 15 % de las vitaminas que necesita a diario. Un kilo de B proporcionan el 12 % de prote´ınas y el 8 % de vitaminas. Calcular los kilos que hay que dar a cada animal para conseguir el 100 % necesario diario de prote´ınas y vitaminas.

Problemas Selectos de Ecuaciones y Sistemas Lineales

1. Determinar la edad de las personas cuyo número de a˜ nos en 1998 es igual a la suma de los valores de las cifras del año de su nacimiento. Solución 18.

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2. Un estudiante de matemáticas recibe la siguiente oferta: por cada problema bien resuelto recibirá 8 euros y por cada problema mal resuelto pagará 5 euros. Despu´ es de resolver 26 problemas, tiene tanto dinero como al principio. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente?. Solución 10, 16. 3. En un campamento escolar acude un grupo de niños. Sabemos que los que vienen de Oruro son la mitad de los que vienen de La Paz, que, entre La Paz y Cochabamba, vienen un total de ocho niños y que los que vienen de Cochabamba son el doble de los que vienen de Santa Cruz. ¿Cuántos ni˜ nos hay en el campamento?. Solución 12. 4. Mauricio, el bisabuelo de José, no es ciertamente centenario, pero es de edad muy avanzada. Lo que os puedo decir es que el año anterior su edad era múltiplo de 8, y que el año próximo es múltiplo de 7. ¿Cuál es la edad de Mauricio?. Solución 97. 5. La musara˜ na es un pequeño mam´ıfero semejante a un ratón, pero con el hocico más largo y puntiagudo. Comen tanto 17 osos como 170 monos; 100000 musara˜ nas tanto como 50 monos; 4 elefantes comen lo mismo que 10 osos. ¿Cu´ antas musara˜ nas son necesarias para acabar con la comida de 12 elefantes?. Solución 600000. 6. Gabriela debe escribir un trabajo de n páginas en la computadora. El lunes escribe la mitad del trabajo. El martes la tercera parte de lo que le falta, el miércoles la cuarta parte del resto y el jueves la quinta parte de lo que queda. El viernes decide terminar el trabajo y observa que le quedan menos de 15 páginas para finalizarlo. Si todos los d´ıas escribi´ o un n´ umero entero de páginas, ¿cuántas páginas ten´ıa el trabajo? 7. Soy un n´ umero de dos d´ıgitos. La suma de mis d´ıgitos es 8. Si mis d´ıgitos se invierten, el n´ umero as´ı formado es yo menos 18. ¿Quién soy? 8. Un trabajador gana $220 por las primeras 40 horas que trabaja a la semana. Si trabaja más, por las horas extra gana un quinto má s. La u ´ ltima semana cobr´ o $319. ¿Cu´ antas horas extra trabajó? 9. Un grupo de amigos cena en un restaurante. A la hora de pagar cada uno aporta 15 Bs, pero comprueban que faltan 35 Bs. Entonces cada uno aporta 5 Bs adicionales, con lo cual les alcanza para pagar la cuenta y les sobra exactamente el 10 % del costo de la cena (que le dejan como propina al mesonero). ¿Cuántos amigos eran? ¿Cuál era el monto de la factura? 10. Adolfo tiene una gran cantidad de bloques c´ ubicos idénticos. Con ellos arma un cubo grande, que tiene n bloques por lado, y le sobran 57 bloques. Luego trata de armar un cubo con n + 1 bloques por lado, pero comprueba que para eso le faltan 34 bloques. ¿Cuántos bloques tiene Adolfo? 11. Juan tiene un saco lleno de naranjas. A Pedro le regala la mitad de las naranjas m´ as media naranja, a Luis le regala la tercera parte de las que le quedan más un tercio de naranja y a Armando la cuarta parte de lo que le queda más un cuarto de naranja. Al final, a Juan le quedaron 8 naranjas. ¿Cuántas naranjas ten´ıa al principio? ¿Cu´ antas dio a cada amigo? 12. Ayer y hoy han estado jugando en el parque un grupo de niñas y ni˜ nos. Ayer la relación de ni˜ nas a niños era de 2:3. Hoy, el número de ni˜ nos es el cuadrado del número de niñas y además hay 6 ni˜ nos y 7 niñas menos que ayer. Contando a los ni˜ n os y a las ni˜ nas, ¿cuántos estuvieron jugando ayer? 13. Una banda musical está marchando en formación. Al inicio, la banda forma un cuadrado con igual número de columnas que de filas, pero luego cambian a la forma de un rectángulo con cinco columnas m´ as que el número de filas. ¿Cuántos m´ usicos tiene la banda? 14. Las familias Sánchez y Rodriguez se encuentran en la calle. En seguida se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada miembro de cada familia saluda a todos los miembros de la otra. Cuando dos miembros se saludan, se dan un abrazo. Además, cada mujer de cada familia le dio un beso en la mejilla a cada miembro de la otra familia (de forma que cuando se saludan dos

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mujeres además del abrazo, se dan dos besos). Alguien cuenta 49 abrazos y 56 besos. ¿Cuántas mujeres hay en total en ambas familias? 15. Cuando a un barril le falta el 30 % para llenarse contiene 30 litros m´ as que cuando está lleno hasta el 30 %. ¿Cu´ antos litros le caben al barril? 16. Juanito tiene un cupón del 20 % de descuento sobre el total a pagar de su compra en la librer´ıa de la Facultad. Decidió ir a comprar un libro. Al llegar a la tienda se encontró con que el libro ten´ıa un 30 % de descuento. ¿Cuál es el descuento total que obtendrá Juanito si utiliza el cupón? 17. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por acomodar. Decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado. ¿Cuántos hombres hay en la tropa? 18. Alicia y Basilio tienen un número secreto cada quien. Ambos números son las ra´ıces de la misma ecuaci´ on cuadrática. Si se sabe que la suma y el producto de los rec´ıprocos de esos números son, respectivamente, 2 y 1/3 ¿cuál es la ecuaci´ on cuadrática? Justifica tu respuesta. (Nota: se denomina rec´ıproco de un número a su inverso multiplicativo, es decir, multiplicando el número y su rec´ıproco da como resultado la unidad.) 19. De un grupo de niñ os y ni˜ nas se retiran 15 niñas quedando dos ni˜ nos por cada ni˜ na. Después se retiran 45 niños y quedan entonces cinco niñas por cada niño. ¿De cuanto era el número de niñas y niños al comienzo?. 20. Un obrero hace un cierto número de piezas idénticas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10 piezas más cada d´ıa, habr´ıa terminado el trabajo completo 92 d´ıas antes de lo previsto, y si hubiera hecho 5 piezas menos cada d´ıa habr´ıa tardado 3 d´ıas m´ as de lo previsto. ¿Cuántas piezas hizo y en cuanto tiempo?

  −        − y

9 2

(y + 3)

x + 10 y

x y

5

= x

= x

21. A la gran romer´ıa que se celebra cada a˜ no en San Patricio, todos los participantes del pueblo asisten en grandes coches de caballos. El pasado año, cuando todos partieron a la romer´ıa, cada coche llevaba exactamente el mismo número de personas. A mitad del camino se rompieron diez coches, de modo que cada uno de los coches debió llevar una persona más. Cuando volv´ıan a casa descubrieron que se hab´ıan descompuesto quince coches más, de manera que durante el viaje de regreso hab´ıa en cada coche tres personas m´ a s que al partir por la mañana. ¿Cuántas personas asistieron a la gran romer´ıa de San Patricio? ¿Cu´ antos coches llevaban? 22. Un ni˜ no tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene la mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la familia? 23. En un bolsa de 200 caramelos hay 110 de fruta y el resto de leche. ¿Cuántos caramelos de fruta hay que agregar para que los caramelos de fruta sean el 70 % del total de la bolsa? 24. Para determinar el volumen de agua en un estanque puede procederse de la siguiente manera. Agregamos 10 litros de agua que contienen 6300 gramos de colorante. Cuando el colorante está bien disuelto en el volumen total, recuperamos 10 litros de agua y observamos que ésta tiene ahora 1.75 gramos de colorante. ¿Cuál es el volumen del agua en el estanque?

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25. Drini, seg´ un la receta de su médico, debe tomar todo el contenido de un frasco de p´ıldoras en 4 d´ıas de la siguiente manera: el primer d´ıa, la mitad del total; el segundo d´ıa un tercio de lo que queda; el tercer d´ıa, un cuarto de lo que queda y el cuarto d´ıa 6 p´ıldoras. ¿Cuántas p´ıldoras hab´ıa originalmente en el frasco? 26. Los boletos para entrar a la Disco Nexa cuestan $8 para las muchachas y $10 para los muchachos. Si el precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco ser´ıa $6 menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cu´ antos muchachos asistieron? 27. La abuela le dijo a sus nietos: Si horneo 2 panquecitos para cada uno de ustedes me sobrará masa para 3 panquecitos más. Si quisiera hornear 3 panquecitos para cada uno de ustedes me har´ıa falta masa para hornear 2 panquecitos. ¿Cuántos nietos tiene la abuela? 28. Una entrevista de 2006 estudiantes de una preparatoria reveló que 1500 de ellos participaron en la Olimpiada de Matemáticas y 1200 de ellos en la Olimpiada de Qu´ımica. ¿Cu´ antos de los jóvenes entrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no participaron en ninguna? 29. Francisco, Arturo y Gabriela fueron a cenar y pagaron la cuenta entre los tres. Francisco pagó el 60 % del total, Arturo pag´ o el 40 % de lo que restaba y Gabriela pag´ o $30. ¿Cuál era el valor total de la cuenta? 30. La edad promedio de los miembros de la familia Quintos es de 18 años. Si sabemos que el papá tiene 38 a˜ nos y que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a él es de 14 años, ¿Cuántos miembros tiene la familia Quintos? Sistemas de Ecuaciones

1. Resolver los sistema de ecuaciones. 2x y = 6 (a) y2 = x (c) (e)

  

−

(b)

2x + y = 4 y 2 + 4x = 0 x + y = 5 2 x + y2 = 9

(d) (f)

  

x + y = 2 x + y2 = 4 2

2

x +y x y

y x

=

2

= 7

x2

+

−y

2. Resolver el sistema de ecuaciones

   ·      ·    √

− − − −

3x y 8 = 0 4x 6y + 8 = 0

2

25 12

x m y n = c a b x n y m = d b a 3. ¿Cuántas Soluciones distintas tiene el siguiente sistema de ecuaciones?

√ √ x

(x + y) x = 3 y

2(x

− y)√ y

=

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Cap´ıtulo VII. Exponenciales y Logaritmos 1. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: 53 = 125 log 5 125 = 3

⇔

a ) 72 b) 35 c ) 19



2



d ) 23 e ) 106 f ) 27

2

g ) h ) i )

5 –3

 5 3

−2

6 – 2

2. Calcula las siguientes potencias y escr´ıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: 32 = 9 log 3 9 = 2

⇔

a ) b) c )

25 32 3 – 4 1 5

d ) e ) f )

34 81 2 – 5

g ) h ) i )

1 4

52 125 5 – 3

1 3

3. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr´ıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo: 125x = 5 x = 13 log 125 5 = 13

⇒

a ) 10 a = 1000 b) 10 b = 1 c ) 10 c = 0,001

⇒

d ) 1000 d = 10 1 e ) 16 e = 16 f ) 16 f = 4

g ) 16 g = 256 h ) 16 h = 14 1 i ) 16 i = 256

4. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr´ıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo: 5x = 15 x = –1 log 5 15 = –1

⇒

a ) 10 a = 0,1 b) 9 b = 1 c ) 64 c = 4

d ) 10 e ) 17 f ) 32

d

= 10 e =1 f =2

⇒

g ) 27 g = 9 1 h ) 4 h = 16 1 i ) 7 i = 256

5. Calcula la base de los siguientes logaritmos: log a 36 = 2 log a 64 = 3

log a 0,01 = –2 log a 0,001 = 3

log a 12345 = 1 log a 8 = 3

6. Calcula la base de los siguientes logaritmos: log a 3 = 1 log a 1 = 0 7. Calcula:

log a 0,25 = –2 log a 2 = 2

log a 121 = –1 log a 8 = –3

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log 3 81 log 3 9 log 3 (1/3)

√

log 2 1 log 41 41 log 0,01

log 5 5 log 2 32 log 100

log log log

log log log

8. Calcula: log 4 1024 log 16 256 log 7 343

8 625 5 27 3 64

243 64 256 625 216 9

9. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log log log

2 2

6 24

log 2 (2/3) log 2 (3/4)

log 2 15 – log log 2 (1/9)

2

5

2

∼

3 = 1,60:

log 2 0,5 log 2 0,25

∼

10. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 = 0,301: log 8 log 40

log 25 log 200

log 0,04 log 1,25

log 0,008 log 0,0016

11. Calcula las siguientes expresiones sin hacer uso de la calculadora: log log

 √  3

4 15

45

2

52 + log

15

log log

32

 √ 4

2 3

3

2√

log

22

5 √ 3 √ 3 75 6 225

log

·

12. Si log a H = 2 y log a 32 N = 5, ¿cuánto vale a? 13. Si log 5 N = t, expresa en función de t los siguientes logaritmos: log

5

·

125 N

log

5

N 25

log

5

55

1 6

2

√ 3

√ 4 6 √ 5

36

216

 ·   3

log

1 4

5

1 16

2 3

√ N 4

5

14. Si log 7 N = p, expresa en función de p los siguientes logaritmos: log

7

·

49 N

log

7

N 49

log

7

75

· N

log

7

N 343

log 7 2401 N

N 36

log

·

15. Si log 6 N = q, expresa en función de q los siguientes logaritmos: log

6

·

36 N

log

6

N 6

log

6

64

· N

log

6

6

·

216 N

16. Si al n´ umero N lo multiplicamos por 81, ¿qu´ e alteraci´ on experimenta su logaritmo en el sistema de base 3? ¿Y en el de base 9? 17. Si al n´ umero N lo dividimos por 256, ¿qué alteraci´ on experimenta su logaritmo en el sistema de base 16? ¿Y en el sistema de base 2? ¿Y en el sistema de base 4? 18. Si log a N = 2,2577 y el log a 125 N = 5,2577, halla razonadamente el valor de la base a de los logaritmos. 19. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de logaritmo, sabiendo que a = log 3, b = log 5 y c = log 7:

·



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27. Hallar el valor de A = log2 x log4x 8 logx 4 log2x 8 log4 2x log2 4x Respuesta: A = 9. 28. El pH de un l´ıquido es el logaritmo de la inversa de la concentración de iones H+ que hay en él. Por ejemplo, si la concentració n de H+ es 10 – 7 , entonces su pH es: 1 = 10−7

log

log 10

7

= 7.

Calcula el pH de los l´ıquidos que tienen las siguientes concentraciones de H + : 5 10 – 5

3,8 10 – 8

·

9,32 10 – 7

·

·

29. Demuestre la siguiente identidad



x = a alog b blog c clog d dlog x 30. Si a2 + b2 = c 2 , verificar la siguiente identidad

b + c

log a

+ c

log a

−b

b+clog a

=2

c



− blog a

31. Si se cumple que

x(y + z x) y(z + x y) z (x + y z ) = = log x log y log z

−

−

verificar las siguientes identidades

y z z y = z xxz = xy y x Ecuaciones Exponenciales

1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

−



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(1) 816 = 46

(2) 3x−12x = 12

x

(4) (7)

√ 7+x 3 =9 √ 7−x 5

3

5

x+3

(10) 2

(3) (2/7)5 = 3,5x+1

√ x−3 √ 2 = 18

(6) 3(2x+3) = 132 3x−3

2x−3

(5)

·

(9) 2,25e7x−4 = 0,2e2x+5

(8) ln ex+27 = 10x

= 25 x 3

=3 −

3x−4

(13) 27

67


√ x+2 √ x+5 3

(11)

√ = 3

4

=

2

(12)

(14) 8x−1 = 2 4x−1

3

(15)

·

2. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 2x 2 x 1

− + 2 − = 20 5x+1 = 10 + 3 · 52−x 32x+1 − 9x−1 = 234 √ √ x 2 x−1 3 +2·3 = 9 3x+1 + 18 · 3−x = 29

√ 2x √ 2

  √    4

35−x

−

3 x

= ( 2)x+2

52x−4 = 1511−3x

(1) 2

(2)

22x

(3)

(4)

3x+3 + 3x+2 + 3x = 111

(6)

9x+1

(5) (7) (9)

3. Resolver la ecuación 4. Resolver la ecuación

    3 x

4−

5 x

10 −

2 x

−

3

− 3 · 2x+1 + 8 = 0

− 2 · 3x+3 + 81 = 0 4x − 3x−1/2 = 3x+1/2 − 22x−1 4x+1/2 − 32x = 4x−1/2 − 32x−1

(8) (10)

= 1. Sol.- x = 2, x = 3.

6 x

−

= 100. Sol.- x = 4

5. Resolver la ecuación 2 x+1 + 4x

= 80. Sol.- x = 3. ln243 6. Resolver la ecuación 3 x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 363. Sol.- x = . ln 3

7. Sea a > 0, x > 0, además (7x)loga 7

− (5x)

loga 5

= 0. Determinar el valor de x. Respuesta.-

8. Resolver la siguiente ecuación exponencial 2 3x 9. Resolver la siguiente ecuación exponencial 5 2x 10. Resolver la siguiente ecuación exponencial

· 3x − 23x−1 · 3x+1 = −288. x 2x x − − · · 7 35 5 + 35 7 = 0. √ √ x

53 +

56 = 30. 3log x−1 = 3log x+1 x

11. Resolver la siguiente ecuación exponencial 5 log x √ 12. Resolver la siguiente ecuación exponencial 9log x 3 = 27x..

−

13. Resolver la siguiente ecuación exponencial

  9 4

Soluci´ on.- x = 2.

x

8 27

−

x 1

2 = 3

− 5log x−1.

1 . 35



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14. Despejar x de la siguiente ecuación

log7(x2 7x+21)

= 3log7 4

−

2 Respuesta: x = 3, 4.

15. Resolver la siguiente ecuación exponencial

2x 19 + x= 3 9 ecuaci´ on? 3x −x−y + 3y −y −z + 3z −z −x = 1.

3 4 8 1+ + + + 2 9 27

···

2

16. ¿Cuántas soluciones reales tiene la siguiente Soluci´ on.- tiene 1.

2

2

Ecuaciones Logaritmicas

1. En la expresión u = a rn−1 despejar r y n. rn ) 2. En la fórmula S = a(11− −r , despejar n. 3. Hallar el valor de x. (a) logb x = logb 2 + 3 logb 2

·

(c) logb x =

1 2

− log 4 log 3 + log 4 − log 2 b

b

b

1 2

b

4. Resolver las siguientes ecuaciones (a) log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1

(i)

− ln(x − 1) = ln(x − 2) √ 5 − log (5x) − 2, 25 = log √ 5 x+2

= 3x+4

−5

(a) 3

= 81

(b) 5

x+1

− ln(x − 2) = ln 2

( j) logx (5x2 ) log25 x = 1

x+3

=3

4

log(35−x3 ) log(5−x)

(l)

4x−2

· − 17 · 2 −

5. Resolver x+1

√ 4

(h) log16 x + log 4 x + log2 x = 7

x

·

−5

log 9−log2

(d) x = 100 −log

(f ) ln x

log4 (x + 12) logx 2 = 1

(k) 3x+1

2

1 2

(d)

(e) ln 12

x

1

(b) log4 log3 log2 x = 0

(c) loga y + loga (y + 5) + log a 0, 02 = 0

(g) logx

(b) x = 10,100

2x

x

(c) e

−

e−x = 2

(d)

x 4

+1=0

  3 7

3x−7

=

6. Resolver 52 54 46 52x = 0, 04−28. 7. Resolver la siguiente ecuación log5 120 + (x 3) 2log5 (1 5x−3 ) = log5 (0, 02 8. Resolver la siguiente ecuación logar´ıtmica x + log(1 + 2x ) = x log 5 + log 6. 9. Resolver la siguiente ecuación logar´ıtmica 1 log4 2log3 1 + log2 1 + 3 log2 x = . 2

· · ·····

 

− −

−





−

7 3

7x−3

x 4

− 5 − ).



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10. Resolver la siguiente ecuación logar´ıtmica





 

logm 1 + logn 1 + log p 1 + logq x 11. Resolver la siguiente ecuación:



2log24 x

− 5log



2log24 x

= 0.

− 5log x + 11 = 5. Sugerencia Realizar el cambio de variables t = 2 log x − 5log x + 6. 12. Resolver la ecuación logar´ıtmica 2 log(log x) = log(7 − 2log x) − log 5. 4

x + 6 +

2 4

4 4

13. Resuelva la ecuación:

     −  

log2 10x + log4 100x + log8 1000x Respuesta:

2log64 x = 9

16 . 25

√ √ b √ √ 14. Despejar x de la siguiente ecuación log x b ( b) + log x a ( a) = Respuesta: 3

Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

1. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones



5x 2y = 20 2x + y = 4

Respuesta: x = 1, y = 2. 2. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones logy x + logx y = 2 xy + y x = 8 3. Determine los valores de x y y que satisfacen simultaneamente las ecuaciones



xy

= 1010

y log x = 1025 .

Respuesta.- x = y = 105 .

4. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones loga x + loga y = 2 logb x

− log y

= 4

b


 

√ x + y

x−y

=

1 √ 2 3

(x + y)2y−x = 48

b . 3

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


70




logm x + logy m = 2 y logm x + y logm y

= 2m


x2 + xy + y 2 = a2 a √ √ y log x a( a) + log b( b) = 3

√

Respuesta: x = y =

√

√

√ a3 .

´ n de Exponenciales y Logaritmos Problemas de Aplicacio

1. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado con la siguiente ecuación A(t) = A0 ekt . Si inicialmente hab´ıan 1000 mosquitos y despu´ es de un d´ıa la población de éstos aumenta a 1800, ¿cu´ antos mosquito habrán en la colonia despu´ es de 3 d´ıas?¿Cuánto tiempo tendr´ıa que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos? 2. Un pollo que tiene una temperatura de 40 o F es movido a un horno cuya temperatura es de 350 o F . Despu´ es de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170o F . Si el pollo está listo para comer cuando su temperatura llegue a 185o F . ¿Cuánto tiempo tomará cocinarlo? 230 3. El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación P (t) = 1+56,5e − , t. ¿Cuántas abejas hab´ıan inicialmente?¿Cu´ anto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180?¿Cu´ al será la población de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo? 0 37

4. Una función exponencial W tal que W (t) = W 0 ekt , para k > 0, describe el primer mes de crecimiento de cultivos como de ma´ız, algodón y soya. La función W es el peso total en miligramos, W 0 es el peso del d´ıa del brote o emergencia y t es el tiempo en d´ıas.  Si, para un tipo de soya k = 0,2 y W 0 = 68, calcule el peso final al mes de haber brotado (t = 30). Rta. 27433,16 mg ıcil medir el peso W 0 , de la planta cuando acaba de emerger del suelo. Si para  A menudo es dif´ una planta de algodón, k = 0,21 y W (10) = 575 mg. Calcule W 0 . Rta. 70,41 mg 5. En 1980 la poblaci´ on estimada de la India era de 651 millones y ha estado creciendo a una tasa de alrededor del 2 % anual. La población N (t), t añ os más tarde, puede aproximarse mediante N (t) = 651e0.02t . Suponiendo que esta tasa alta de crecimiento continua, calcule la población de la India en el año 2000 y 2010. 6. La poblaci´ on N (t) de la India en millones t años despu´ es de 1980 puede aproximarse por N (t) = 0.02t 651e . Cuándo será de mil millones?. Rta. en 21 años. 7. Interés compuesto Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r y el interés se capitaliza nos bajo interés compuesto n veces al año n veces al año, el valor final de la inversión después de t a˜ denotado por I n (t) es: r nt (5) I n (t) = P 1 + . n

 

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


71

 Suponga

que se invirtió 1000 dólares a una tasa de interés compuesto del 9 % mensual. es de 5 años, después de 10 años, después  Calcular el monto final del capital inicial despu´ de 15 a˜ nos. Rta. 1565,68 dólares; 2451,36 dólares; 3838,04 dólares. on.  Grafique el crecimiento de la inversi´ 8. El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación log´ıstica: 230 P (t) = . 1 + 56.6e−0.37t ¿Cuántas abejas hab´ıan inicialmente?. ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180?. ¿Cuál será la poblaci´ on de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?. 9. El crecimiento de los árboles se representa con frecuencia mediante una ecuación log´ıstica. Suponga que la altura h en pies, de un árbol de edad de t a˜ nos, es: 120 h(t) = . 1 + 200e−0,2t ¿A qué edad su altura es de 100 pies?. ¿Qué altura alcanzó si su edad es de 40 a˜ nos? e edad su altura es de 100 pies?. Soluci´ on. ¿A qu´ h(t) =

120 = 100 1 + 200e−0,2t

120 = 100 1 + 200e−0,2t 100 1 + 200e−0,2t = 120

h(t) =





20000e−0,2t = 20

−0,2t

=

−6, 9077,

t = 34, 54

¿Qué altura alcanzó si su edad es de 40 años? 120 120 = 1 + 200e−0,2(40) 1 + 200e−8 10. La poblaci´ on rural de una provincia española disminuye un 2 % cada año. Si la poblaci´ on actual de la provincia es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminución se sigue realizando en la misma proporción, ¿en cuántos a˜ nos su poblaci´ on quedará reducida a 60000 habitantes? (Nota: la fórmula de crecimiento o disminución continuos de una poblaci´ on es: P(t) = P0 (1 c)t , siendo P0 la población inicial y c el tanto por ciento con el que crece o disminuye la población) 11. La población de un estado crece en un año un 2,5 %. ¿Cu´ anto tiempo se necesitará para duplicarse suponiendo que sigue creciendo con el mismo ritmo? 12. El 1 de enero de 1900 la población de una ciudad era de 75000 habitantes y el 1 de enero de 1950 hab´ıa alcanzado 180000 habitantes. ¿Cuál fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si éste se hizo de manera continua? 13. La constante de desintegració n del polonio 218 (Po218 ) es λ = 4 10 –3 s –1 . ¿Cuánto tiempo necesitar´ a una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus átomos? (Nota: la fórmula de la desintegración continua de los átomos es: N = N0 e –λ·t , siendo N0 el número inicial de átomos) 14. La constante de desintegració n del torio C es λ = 2 10 –4 s –1 . ¿Cuántos a´tomos quedarán sin desintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente ten´ıa un milló n de átomos? h(40) =

· ±

·

·

·

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

72


´ n Matema ´ tica y Divisibilidad Cap´ıtulo VIII. Induccio ´ n Matema ´ tica Induccio

1. Realice la deducción inductiva para la formula de la suma de los n primeros números naturales impares: 1+3+5+7+ + (2n 1)

···

−

2. Realice la deducción inductiva para la formula de la suma de los n primeros números naturales de la forma: 12 + 22 + 32 + 42 + + n2

···

3. Realice la deducción inductiva para la formula de la suma de los n primeros números naturales de la forma: 13 + 23 + 33 + 43 + + n3

···

4. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducci´ on: 1 1 1 1 1 + + + + + 2 6 12 20 n(n + 1)

···

5. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducci´ on: 1 1 1 1 1 + + + + + 3 15 35 63 (2n 1)(2n + 1)

···

−

6. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducci´ on: 8 4 2 3 + + + 1 + + 27 9 3 2

··· +

 3 2

n−4

7. Demostrar por inducción las siguientes formulas:

+ 1) ··· + n = n(n + 1)(2n 6 n(2n − 1)(2n + 1) + ··· + (2n − 1) = 3 n(n + 1)(2n + 1)(3n + 3n − 1) + ··· + n = 30 n (n + 1) (2n + 2n − 1) + ··· + n = 12

2

+ 22 + 32 + 42 +

2

+ 32 + 52 + 72

∈ N, 1 b) Para todo n ∈ N, 1 c) Para todo n ∈ N, 1 d) Para todo n ∈ N, 1 a) Para todo n

4

4

4

4

+2 +3 +4

5

+ 25 + 35 + 45

8. Demostrar por inducción las siguientes formulas:

2

2

2

4 5

2

2

2

+ 2) ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ··· + n · (n + 1) = n(n + 1)(n 3 n(n + 1)(4n − 1) b) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + ··· + (2n − 1) · (2n) = 3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) c) Para todo n ∈ N, 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + ··· + n · (n + 1) · (n + 2) = 4 9. Demuestre que para todo m ∈ N 1 1 1 1 m + + + ··· + = 1 · 5 5 · 9 9 · 13 (4m − 3) · (4m + 1) 4m + 1 a) Para todo n



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10. Demuestre que para todo n N, 12 22 32 + + + 1 3 3 5 5 7

∈

·

·

11. Demuestre que para todo n

·

∈ N,

73

n2 n(n + 1) = 1) (2n + 1) 2(2n + 1)

··· + (2n − ·

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

(2n − 1)! ······ (n + n) = 2 · (2(n − 1))! n

∈ R, r = 0, r = 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N: − 1. r 1 + r + r + r + r + ··· + r = r−1 13. Demuestre que para todos los números a, r ∈ Z, a =  0, r = 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N: a(1 − r ) a + ar + ar + ar + ··· + ar = . 1−r 14. Demostrar por inducción las siguientes afirmaciones: n −n a) Para todo natural n > 10, se tiene n − 2 < 12 b) Para todo natural n ≥ 2, se tiene n > n + 1 c) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n! > n d) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n > 3n e) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 2 < 3 f) Para todo natural n ≥ 7, se tiene 2 > n + 4n + 5 √ 1 1 1 1 1 g) Para todo natural n ≥ 2, se tiene √ + √ + √ + √ + ··· + √ > n n 1 2 3 4 n 2 h) Para todo natural n ≥ 2, el u ´ltimo d´ıgito del número 2 + 1 es 7 12. Demuestre que para r

2

3

2

4

n+1

n

3

n+1

n

2

2

2

2

n+1 n

n

2

15. Demostrar que para todo número natural n, se cumple (2n)! < 2 2n (n!)2 . n 1 n 16. Demostrar que para todo número natural n, se cumple 1 + 1+ . 3 3 17. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. Si a > 1, para todo n´ umero natural n, se cumple (1+a)n 1 + na. ¿Por qué es esto trivial si a > 0?. 18. Sea a un d´ıgito entre 1 y 9. Denotaremos por

 ≥

−

≥

n veces

  aa...a

al n´ umero cuya expresión decimal está formada por n d´ıgitos a. (a) Por inducción matemática demuestre que para todo natural n > 1 se tiene que aa...a (b) Demuestre que la identidad

n 1

≥ a × 10 − n veces



aa...a = an

no se satisface para ningún entero n.

> an

Practica de MAT-99 Por Mario Errol Chavez Gordillo

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