UNIVERSIDAD MAYOR MAYOR DE SAN ANDRE´ S - F.C.P.N.
PREUNIVERSITARIO I/2017
´ P R ACTICA N RO . 1 ´ A LA M ATEM ATICA ´ I NTRODUCCI ON (M ( M AT - 99) ´ LGEBRA , F UNCIONES LINEALES Y UNDAMENTALES DE A C ONCEPTOS F UNDAMENTALES ´ ´ CUADR ATICAS . G R AFICAS P OLINOMIOS Y F UNCIONES R ACIONALES 1. CONCEPT CONCEPTOS OS FUNDAMEN FUNDAMENT TALES DE ALGEBRA
2. Simplifica Simplifica 1 5 a ( 3a2 )( 4a7 ) 6 1 −5 2 c) (8x4 y 3 ) x y 2 a)
´ NUMEROS REALES
1. Calcula Calcula el valor valor de:
3
e)
� − � � − ÷ − � � − � − 1 3
a) A =
1 +2 5 3 4
1 + 2,5
1 1 3 1 1 1+ 3 b) B = 1 1+ 3 1+ 1 1 3
1 3 1 2+ 3
0,5 + 2
1 6
−
g) i)
c) C =
0,6
− 25
d) D =
0,5
1 + 0,95 5 2 1 0, 1
e) 1
−
f ) f ) F =
�� ·
d)
5 3
3 4
2
1 3 0.6 2 4 2 2 3
3 4
2
y3/2
j)
3
y−1/3
0, 3 0, 363636... 363636... 1 0, 2
0, 111... 111... +
−
3
n+ 3
15 10 + 4
� − �} 1
3
3
� √
3
2 1+ 5
a2n+3 an−1 a2(n−1)
3
n 1
n +1
3
�
2
a) (5x + 5x + ... + 5x ) + x + x + ... + x + nx + nx + ... + nx
− − − − − −− − − n veces 1 x x ... x) + 3 (3x + 3x + ... + 3x) n veces (n+2) veces n + 3 n + 4 n ) 16 (6n + 8n + 12n ) n1 n veces
b) (
÷ 43 ÷ 23 (1 − 31 ) ÷ (1 − 51 )
− − c) ( 2− n 2 + 1 2 x−m x5m+3 x4m+2 +4 d) 2n+1 e) + 4 (2 n ) 2 x4m+1 x5+4m
1 − 280
6. Calcula
−1 −2−1 −4 −2 M = 4 −2 + 9−4 + 27−9
EXPONENTES Y RADICALES
Todos los Paralelos
5x7 y2 8 x3
6
√ 64, √ 576, √ 12, √ 50 √ √ √ √ b) 2000 + 200 + 20 + 2 √ √ √ √ c) 128 − 250 + 54 − 16 √ −1 n −1 −√ 2 d) a · a 5. Simplifica, Simplifica, si n si n ∈ N a)
1 2
g) g) G =
1 ) n ]2
3x 5/6 y1/3
x7 y12 125x 125 x
4
h)
2
4. Simplifica Simplifica
− −
3
3 4
2x2/3 y1/2
c) a2n+3 a1−n a3−n
1
8 3
f )
b) [( a3 b2 )2 ]3
� � − − − · · − � �− − { � � − · − − − −
5
3
9x 4 y6
a) ( a2 b 3 ) 2 ( a3 b 2 ) 3
�−
1
[ 4 (4
d)
3. Simplifica Simplifica
1 6
−
�
n
43 8 3
(3 y3 )( 2 y2 )2 ( y4 )3
b)
� � − �� � � − �� � �− �
2x4 y4 54x 54x 4
7
−
−
� �− � − � � �− � −
1
−1
n veces
−
−9−4 + (−8)−27
−2 −1
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7. Si
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√ x = 2, calcula √ 2 − √ x3 3
6
8. Simplifica
14. Simplifica
�
x x y + y x− y K = x− y y− x x + y y− x
´ FACTORIZACION
15. Factoriza aplicando: Factor com´un, Diferencia de cuadrados, Trinomio cuadrado perfecto y agrupaci´on de t´erminos.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
9. Si A = 5x3 3x 2, B = 2x2 3x, C = 6x2 3, D = x 3 3x2 + 1 y E = 5x + 3. Calcula
− − − − x + − A − B + C − D + E A − (C − B − [ A − B]) + (C − A) -+ 3 A − (C − 2E) − [( 5 A − B) + 3(E − D )] + 3
a) b) c)
a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k ) l) m) n) n) ˜
10. Calcula
− y)( x2 + y2)( x4 + y4) b) (3x − 2 y)( 81x4 + 54x2 y + 36x2 y2 + 24xy3 + 16 y4 ) √ √ c) a + a2 − bn a − a2 − bn a) ( x + y)( x
√
√
n
n
d) (2x + 3 y)3
e) ( x6 + x 3 y2 + x 3 + y4 y2 )2 y2 + y4 )2 + 4 y6 x 2 3x + 2 f ) + 4 6 2 1 + g) 2 3ab 5a m n n a 2a m h) + + mn na am 2 2 (1 + xy ) (x + y) i) 1 x2
−
− (x6 − x3 + x3 y2 +
−
−
j) k )
−
− − x ·
9 4
−
2
2 11
1
4 11
+
a) b) c) d) e) f ) g) h) i)
x 1
8 27
1 3 17
+
3
11. Simplifica
( x2 + y2 )4 + x4 y4
− (x2 + xy + y2)2(x2 − xy + y2 )2 −2x2 y2 (x2 + y2)2
j) k ) l) m) n) n) ˜
12. Si a + b + c = 0, simplifica
�− a
c
b
+
c
− a + b − c b
a
��
c
a
b
a
− b + c − a + b − c
�
13. Al efectuar ( a2 x−2 a3 x−3 + a4 x−4 )( ax −1 + a2 x−2 ) se obtiene un resultado de la forma
−
calcula α + β Todos los Paralelos
α
a + x
−
− −
−
− −
−
− −
−
−
−
−
−
−
P = 8x3 1 P = 343x3 + 27 P = x + x2 6 P = 32 + 4x x2 P = 15 + y2 + 8 y D = x 4 + 11x2 80 D = 6ab + 8a2 9b2 D = 5x3 40 z3 D = x 3 + 0,125 1 D = a 3 + 3 a D = 3xy + x 2 y 10 y D = 2x2 + xy 6 y2 M = 7a2 b2 + 6 + 13ab M = 27x3 y 64 y4 M = 125a6 8b6
−
− −
−
− −
−
− −
− −
17. Factoriza las siguientes expresiones. a) A = m + n m3 + mn2 + m2 n n3 b) A = ( x y)2 ( z u)2 + 2xy ( z u)2 + 2 zu ( x2 + y2 ) c) E = x 3 + ( a + b + c) x2 + ( ab + ac + bc ) x + abc
�� �� a x
F = 8x2 + 4x4 F = x 4 x3 + x2 + x F = 100x2 81 F = 4xy 4 4xz4 F = x 2 + 16x + 64 F = 20x2 + 100x + 125 F = a 2 + 2ab + b2 9 F = 2a2 + 4ab + 2b2 50m2 F = x 2 + 8 8x x F = 2x4 + 6x2 + 5x2 + 15 F = 4ab 6ac + 8ad F = 10a4 + 15a2 25a 30 F = a 2 + 1 2a F = y 3 y2 + 3 y 3 F = 2xy x2 y 6 y + 3x
16. Factoriza aplicando: Suma y diferencia de cubos, Regla del Aspa.
−
� � � � � − � � �− � �− � �− − √ 1 x
− c)( a − b + c)( a − b − c) + 4a2 b2 + c2
( a + b + c)( a + b
� −
β
−
2
−
−
− −
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d) E = (x + y)( y + z) + ( x + z)( y + z) + ( x + y)( x + z) x2 yz
a) Latidos card´ıacos durante la vida. Un coraz´on saludable late entre 70 y 90 veces por minuto. Estime el n´umero de latidos durante la vida de una persona que llega a los 80 anos. ˜
− −
e) B = 9x2 + 4 y2
− a2 − 12xy − 25b2 − 10ab f ) B = x 10 + 2x6 + x2 − 1
b) Area de la superficie del cuerpo. A los 12 a 164os de edad, unni˜no caracter´ıstico tiene 86 cm de estaturay supesoes 13Kg. Hagauso dela f´ormula de DuBois y DuBois, S = (0, 007184)w0,425 h0,725 para calcular el a´ rea superficial del cuerpo. S es esa a´ rea en metros cuadrados, w es el peso, en kilogramos y h la estatura en cent´ımetros.
g) C = (x + 3 )( x + 2 )( x + 1 ) + ( x + 2 )( x + 1 ) + ( x + 1) h) C = ( x + 1)4 + (x + 2)3 + (x + 3)2 x3 y
i) D = zx 3 + xz 3
−
xyz 2
+ x 2 y2
−
y2 z2
− 7( x + 2 ) + 2 − x2 yz + yz 3 −
j) D = a 4 + b4 + 2ab ( a2 + b2 ) + 3a2 b2 k ) E = a2 b2 c + bc 2 ac3 ab2 c
−
l) E = x 5 + 5x4 + 7x3 m) F = x 5 + x + 1 F = x 7
c) Jupiter ´ es el planeta m´as grande del Sistema Solar, y tiene un di´ametro aproximado de 142880000 m, y el m´as pequeno ˜ es Pluton ´ con un di´ametro aproximado de 3500000 m. Cu´antos Plutones caben en Jupiter? ´
− abc2 − ab3 + b2 c + a 2bc2 − − x2 − 8x − 4
d) El aire presiona sobre cada cm2 de la superficie terrestre con la fuerza de 1kg. Si la superficie del planeta es de unos 510 millones de km 2 . Cu´anto pesa la atm´osfera? Si el planeta pesa unas 6 1021 Tm, cu a´ ntas veces es m´as pesado el planeta que la atm´osfera?
+ x 5
−1 n) ˜ G = x 7 + x 6 − x5 + x 3 − 2x + 1 o) G = a 2 x2 − (3a − 5)xy − 10 y2 − ax 2 n)
×
p) H = 1 + x (x + 1)( x + 2)( x + 3)
q) H = 2ab (x4 + 2x2 y2 + y 4 ) + x4 (a2 + b2 ) + y4 ( a2 + b2 ) + 2x2 y2 ( a2 + b2 )
e) Qu´e cantidad de vino hay almacenado en once cajas y un tercio, si cada caja tiene 24 botellas de tres cuartos de litro cada una?
r) J = 5x4 + 22x3
− 7x2 − 96x − 36 s) J = 15x2 − xy − 6 y2 + 34x + 28 y + 30 t) K = x9 − x8 − 5x7 + 5x6 − 7x5 + 7x4 + 41x3 − 41x2 − 30x + 30 u) K = 2 y5 − y4 − 10 y3 + 5 y2 + 8 y − 4 v) L = 2 [4x (x − 1) + 1]( x − 2) + 2(3x − 2)
21. Racionaliza el denominador. a) b)
w) L = y 10 + y8 + 1 x) M = y 5
c)
− y4 − 3 y + 1 + 2 y2 + y
18. Cambio de variable.
d)
a) M = ( x2 + 2xy + y 2 5x 8xy + 4 y2 20x 20 y + 15
−
−
− − 5 y + 3)2 + 4x2 +
e)
b) N = (x + 2)2 ( x + 1)( x + 3)
− 5x(x + 4) − 27 c) N = (x + y + 1)4 − 5( x + y)2 − 10( x + y) − 1
f )
e) P = ( x2 + 7x + 5)2 + 3( x2 + 1) + 21x + 2
g)
19. Problemas varios de factorizaci´on. Descomponer en factores.
h)
d) P =
( x2
+ 7x + 5)2
+ 3x2
+ 21x + 5
a) R = x 2 + 7x + y2
− 7 y − 2xy − 8 b) R = 16x2 + 10 yz − 25 z2 − y2 c) R = a 2 + b2 − 4c2 + 2ab + 3ac + 3bc d) R = 9 ( x2 + 1)4 − 16x2 e) R = a 2 − 8ab − 2ac + 16b2 + 8bc − 15c2
i) j)
√ a −1 √ b √ √ h x x + h √ x − √ x + h √ x + x2 − 1 √ x − x2 − 1 √ √ a + −b a − − b √ + √ a − −b a + − b √ x − 1 − √ x + 1 √ x − 1 + √ x + 1 x3 − x − 1 √ x + 1 − x 3
3
3
1
√ − √ − √ √ − 3
1
x
3
x
1
FRACCIONES ALGEBRAICAS
20. Resuelve Todos los Paralelos
√ t + 5 √ t − 5 81x2 − 16 y2 √ √ 3 x − 2 y 16x2 − y2 √ √ 2 x − y
22. Simplifica las siguientes fracciones. 3
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( x2 + y2 + z2 )( xy 2 ) para x = a b, ( x5 + y5 + z5 ) y = b c, z = c a. bc ac ab b) + + + (a + b)( a + c) (b + c)( b + a) (c + a )( c + b) 2abc + (b + c)( c + a )( a + b) 1 1 x + ( a + b + x ) a b ab c) 1 1 2 x2 + + ab a2 b2 a 2 b2 b a d) a b 1 1 a b 1 3 x 2 + e) 4 x x m n n n2 f ) m m + n m(m + n) y x x + y x y g) x y + x + y x y a + 1 a 1 + 2 6 2 a4 a + 1 a h) a + a + 1 a 1 a a + 1 a3 a + a− a + 1 a2 + a + 1 6 x 1 x + 1 x + 1 2x + i) 2 2 x + 1 x 1 x + 1 x 1 2a 2b a b x 1 x + 1 1 n 1 −2n 2 a a b b2 j) − n 1 1 2n 2 b b + a a2 a) E =
−
−
�
−
�
−
−
− −
� �
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− −− − ·
− ÷ −
�� � � � �
−
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
1. Resuelve las ecuaciones lineales 13 + 2x 3 = 4x + 1 4 3 6 1 b) + = 11 y y y
−
−
−
Todos los Paralelos
− − − −
−
− − −x − − x2 − x − 2 = x 2 − 4 ( x + 1)( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) x + 1 = x + 2 1 = 2
3. Despeje la variable indicada en cada una de las siguientes formulas: a) I = Prt 1 b) A = bh 2 1 c) V = π r2 h 3 d) P = 2a + 2b 1 e) A = (b1 + b2 )h 2 1 f ) s = gt 2 + v0 t 2 1 1 1 g) = + f q p
P(inter´es simple) h(a´ rea de un tri´angulo) h(volumen de un cono ) b(per´ımetro de un rect´angulo) b1 (a´ rea de un trapecio) v0 (ca´ıda libre) q(ecuaci´on de lentes)
´ PROBLEMAS DE APLICACION
4. Un estudiante en un curso de a´ lgebra tiene calificaciones de examen de 75, 82, 71 y 84. ¿Qu´e calificaci´on en el siguiente examen subir´a el promedio del estudiante a 80? 5. Antes del examen final, un estudiante tiene calificaciones de examen de 72, 80, 65, 78 y 60. Si el examen ´ final, ¿qu´e cafinal cuenta como 1/3 de la calificacion lificaci´on debe recibir el estudiante para tener un promedio final de 76?
7. Una pareja no desea gastar m´as de $70 por comer en un restaurante. Si se agrega un impuesto de venta de 6 % a la cuenta y piensan dar una propina de 15 % despu´es de agregar el impuesto, ¿cu´anto es lo m´as que pueden gastar por la comida?
c) ( x + 5)2 + 3 = ( x 2)2 d) (2x + 9)( 4x 3) = 8x2 12 2 4 7 = e) + 5 10x + 5 2x + 1 4 10 1 + 2 = f ) 2u 3 4u 9 2u + 3 3 2 (3x 1) = x 3 + 4 g) ( x + 3) 3 7 5x + 4 h) + = 2 x + 4 x 4 x 16
−
x = 2 x = 2 2 = 4
6. El salario bruto que un trabajador lleva a su casa es $492 despu´es de restar deducciones que totalizan 40 % del mismo. ¿Cu´al es el salario bruto?
a)
−
2. Descubre donde est´a el error:
−
8. El costo de instalar aislamiento en una casa particular de dos rec´amaras es $2400. Los costos mensuales de calefacci´on actuales promedian $200, pero se espera que el aislamiento reduzca los costos en 10 %. ¿Cu´antos meses tardar´a en recuperarse el costo del aislamiento?
−
4
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9. El sueldo base por hora de un trabajador es $10, pero e´ l recibe una y media veces su sueldo por cualesquiera horas trabajadas de m´as de 40 por semana. Si su cheque de salario para la semana es $595, ¿cu´antas horas de tiempo extra trabajo? ´
18. Resuelve las ecuaciones empleando la f´ormula cuadr´atica. a) x2 + 4x + 2 = 0 b) 2x2 3x 4 = 0 5 10 + 2 = 0 c) w w2 d) 4x2 + 81 = 36x 5 y = 1 e) y2 + 9
− − −
10. Seiscientas personas asistieron al estreno de una pel´ıcula. Los boletos para adultos costaron $9 y la admisi´on de ni˜nos $6. Si los recibos de la taquilla totalizaron $4800, ¿cu´antos ninos ˜ asistieron al estreno?
−
11. El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $60 por hora y el de su asistente se factura a $20 por hora. Un cliente recibe una cuenta por $580 por cierto trabajo. Si la asistente trabaj´o 5 horas menos que la ingeniera, ¿cu´anto tiempo factur´o cada una en el tra bajo?
´ PROBLEMAS DE APLICACION
19. Cuando un gas caliente sale de una chimenea cil´ındrica, su velocidad var´ıa en toda una secci on ´ circular de la chimenea, con el gas cerca del centro de la secci´on transversal teniendo una mayor velocidad que el gas cerca del per´ımetro. Este fen´omeno puede ser descrito por la f´ormula
´ a´ cida al 60% se tiene 12. ¿Qu´e cantidad de una solucion ´ al 30 % para producir que mezclar con una solucion 300 ml de una soluci´on al 50 %?
� � �� −
V = V max 1
13. Un comerciante mezcla t´e que vende a 3 dolares ´ una libra con t´e que vende a 2.75 dolares ´ la libra para producir 80libras de una mezcla que vende a 2.90 d´olares la libra. ¿Cu´antas libras de cada tipo de t´e debe usar el comerciante en su mezcla?
20. Para altitudes h de hasta 10,000 metros, la densidad D de la atm´osfera de la Tierra (en kg/m3 ) se puede aproximar con la f´ormula D = 1,225
15. Stan e Hilda pueden podar el pasto en 40 min si trabajan juntos. Si Hilda trabaja el doble de r a´ pido que Stan, ¿cu´anto se tardar´a Stan en podar e´ l solo el c´esped?
21. Un fabricante de latas desea construir una lata cil´ındrica circular recta de altura 20 cent´ımetros y capacidad 3000 cm 3 . Encuentre el radio interior r de la lata.
16. Resuelve por factorizaci´on a) 6x2 + x
− 12 = 0 15x2 − 12 = −8x
22. Una caja sin tapa ha de construirse al cortar cuadrados de 3 pulgadas de las esquinas de una l´amina rectangular de hojalata cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Una l´amina de qu´e medidas producir´a una caja que tenga un volumen de 60 pulg3 ?
c) 12x2 + 60x + 75 = 0 d) 2x (4x + 15) = 27 e) 75x2 + 35x 10 = 0 2x 5 18 f ) 4 = 2 + x + 3 x x + 3x 5x 4 90 + = 2 g) x 3 x + 3 x 9
− −
23. La distancia que un auto recorre entre el momento en que el conductor toma la decisi´on de pisar el freno y el tiempo en que el auto en realidad se detiene es la distancia de frenado. Para un cierto auto que corre a v mi/h, la distancia de frenado d (en pies) est´a dada por d = v + ( v2 /20). (a) Encuentre la distancia de frenado cuando v es 55 mi/h. (b) Si un conductor decide frenar a 120 pies de un senalamiento ˜ de parada, ¿qu´e tan r´apido puede ir el auto y todav´ıa detenerse en el momento en que llegue ˜ al senalamiento?
−
17. Resuelve las ecuaciones completando cuadrados. a)
x2 + 6x + 4 = 0
b)
x2
c)
4x2
− 8x + 11 = 0 − 12x − 11 = 0
d) 4x2 + 20x + 13 = 0 Todos los Paralelos
− (1,12 × 10−4)h + (3,24 × 10−9)h2
Aproxime la altitud si la densidad de la atm´osfera es 0.74 kg/m3 .
´ ECUACIONES CUADRATICAS
−
2
donde V max es la velocidad m´axima del gas, r 0 es el radio de la chimenea y V es la velocidad del gas a una distancia r del centro de la secci´on transversal circular. De esta formula, ´ despeje r.
14. Candy y Tim comparten una ruta de entrega de pe´ riodicos. Candy tarda 70 min en entregar todos los ´ periodicos, y Tim se tarda 80 min. ¿Cu´anto se tardan los dos cuando trabajan en forma conjunta?
b)
r r0
5
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24. La temperatura T (en o C) a la que el agua hierve est´a relacionada con la elevaci´on h (en metros sobre el nivel del mar) por la f´ormula h = 1000(100
− T ) + 580(100 − T )2
≤ ≤
para 95 T 100. (a) ¿A qu´e elevaci´on hierve el agua a una temperatura de o 98C? (b) La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 metros. Estime la temperatura a la que el agua ˜ (Sugerencia: Use hierve en la cima de esta montana. la f´ormula cuadr´atica con x = 100 T .)
−
25. Un terreno rectangular que tiene dimensiones de 26 por 30 pies est´a rodeado por una acera de ancho uniforme. Si el a´ rea de la acera es de 240 f t2 , ¿cu´al es su ancho?
� �
32. Resuelve la desigualdad y expresa las soluciones en forma de intervalo.
− −− ≥ − − ≤ − ≤ − ≤ − ≥ − − ≤ − − || | |≥ | | | | − | − | | − |≥
a) 3x 2 > 14 b) 2 3x 2 c) 3 < 2x 5 < 7 2x 3 d) 3 7 5 e) (2x 3)( 4x + 5) (8x + 1)( x f ) ( x 3)( x + 3) ( x + 5)2 g) ( x 4)2 > x( x + 12) h) 2x(6x + 5) < (3x 2)( 4x + 1) 3 i) 0 2x + 5 3 j) < 0 2 x k ) x < 3 l) x 5 m) x + 3 < 0,01 n) 7x + 2 > 2 n) ˜ 3x 9 > 0 2 3x o) 2 5 3 p) < 2 5 2x q) 1 < x 2 < 4
29. Un joyero tiene tres esferas s´olidas y pequenas ˜ de oro, de2 mm, 3 mmy 4 mmde radio.El joyero decide fundirlas y hacer una sola esfera con ellas. ¿Cu´al ser´a el radio de la esfera resultante? 30. Un alambre de 360 pulg de largo se corta en dos partes. Con una parte se forma un cuadrado y con la otra un c´ırculo. Si las dos figuras tienen la misma a´ rea, ¿cu´anto miden de largo los dos trozos de alambre? Exprese los resultados a la d´ecima m´as cercana de una pulgada.
− 7)
|− | | −|
OTROS TIPOS DE ECUACIONES
´ SOBRE DESIGUALDADES ALGO MAS
31. Resuelve cada ecuaci´on en detalle
33. Encuentra el conjunto soluci´on de cada desigualdad.
|2x + 3| = 11 3| x + 1| − 2 = −11 3x3 − 4x2 − 27x + 36 = 0
Todos los Paralelos
√
DESIGUALDADES
28. Un agricultor piensa poner cerca a un lugar rectangular, usando parte de su granero en un lado y cerca para los otros tres lados. Si el lado paralelo al granero va a tener el doble de largo que un lado adyacente y el a´ rea del lugar va a ser de 128 f t2 , ¿cu´antos pies de cerca debe comprar?
c)
k ) l) m) n) n) ˜
√ − √ − √ − √ √ √ − − 1 √ √ √ √ 1 + 4 x = x + 1 x4 − 25x2 + 144 = 0 5 y4 − 7 y2 + 1 = 0 3x2/3 + 4x1/3 − 4 = 0 6u−1/2 − 13u−1/4 + 6 = 0 2 t 2t − − 8 = 0 t + 1 t + 1
p) 27x3 = ( x + 5)3
27. Un jard´ın cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si e´ sta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por f t2 , determine el tamano ˜ del jard´ın que pueda encerrarse a un costo de $120.
b)
2 + 3 1 5t = 0 4x4 + 10x3 = 6x2 + 15x y3/2 = 5 y 3 2x 3 + 2 7 x = 11 x = 4 + 4x 19 4 1 + 3x + 6x + 3 = 6x 11 + 8x + 1 = 9 + 4x
o)
26. Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un cartel, con el lado m´as corto en la parte inferior. Los m´a rgenes de los lados y la parte superior van a tener el mismo ancho y el margen inferior va a tener el doble de ancho que los otros m´argenes. Encuentre el ancho de los m´argenes si el a´ rea impresa va a ser de 661.5 pulg2 .
a)
√ −
d) e) f ) g) h) i) j)
a) (3x + 1)( 5 10x ) > 0 b) ( x + 2)( x 1)( 4 x ) 0 c) ( x 5)( x + 3)( 2 x) < 0
−
6
− −
− ≤ −−
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´ - F.C.P.N. UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
d) e) f ) g) h) i) j) k ) l) m) n)
PREUNIVERSITARIO I/2017
x2
5. Si f ( x ) = x3 x 4, calcula los valores de: f ( 2), f (0), f (4), f (a) y f ( a + h).
− x − 6 = 0 x2 − 2x − 5 3 x(2x + 3) ≥ 5 6x − 8 x2 x4 + 5x2 ≥ 36 x3 + 2x2 − 4x − 8 ≥ 0 x2 ( x + 2) ≤ 0 ( x + 2)( x + 1) x−2 ≥ 0 2 x − 3x − 10 −3x 0 x2 − 9 x + 1 2 2x − 3 x 2 ≤ 3x − 5 x−1
− − − − √ x − 4 − 3x, calcula 6. Si f (x ) = f (4), f (8), f (−5), f (b) y f (a + b ).
>
>
7. Si a y h son numeros ´ reales, determina una expresi´on simplificada de: f ( a), f ( a), f (a + h ),
−
8. Traza la gr´afica de f e indica el dominio. a) f ( x) = 3x b)
´ 2. FUNCIONES LINEALES Y CUADR ATI´ CAS. GRAFICAS 1. Realiza la gr´afica de la recta que pasa por A y B y calcule su pendiente m. a) A( 3, 2), B(5, 4) b) A(5, 1), B(2, 5) c) A(4, 1), B( 6, 2) d) A(2, 4), B( 3, 4)
−
−
−
− −
e)
b) f ( x) = 3x4 + 2x2 c) f ( x) = 8x3
tri´angulo
e)
− −
b)
b) A( 4, 2) paralela al eje X.
c)
c) A(5, 3) pendiente -2.
d)
−
d) A( 1, 4) pendiente
−
3 4
e) A(2, 4) paralela a la recta 5x
−
e)
− 2 y = 4
f )
f ) A( 3, 5) paralela a la recta x + 3 y = 1
−
g) A(7, 3) perpendicular a la recta 2x
−
| |−3 f ( x) = | x − 3| f ( x) = − x2 + 2 √ f ( x) = 2 x + 2 √ f ( x) = 9 − x2 + 2 f ( x) = 1 − ( x − 2)3
11. Calcula el valor m´aximo o m´ınimo de f . Emplea la f´ormula cuadr´atica para calcular los ceros de f . Traza la gr´afica.
− 5 y = 8
h) A(4, 5) perpendicular a la recta 3x + 2 y = 7
4. Resuelve el problema. [Crecimiento del feto] El crecimiento de un feto de m´as de 12 semanas se puede aproximar mediante la formula ´ L = 1,53t 6,7, en la cual L es la longitud en cm y t la edad en semanas. La longitud prenatal se puede determinar mediante ultrasonido. Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es 28 cm.
a) f ( x) = x 2 b) f ( x) =
− 4x
−12x2 + 11x + 15
c) f ( x) = 9x2 + 24x + 16
−
Todos los Paralelos
3
a) f ( x) = x
a) A(5, 2) paralela al eje Y.
−
√ x2 + 4 √ f ( x) = 2x3 − 4x
10. Traza las gr´aficas de las siguientes funciones aplicando simetr´ıas, desplazamientos, ampliaci´ on y reduccion. ´
3. Escriba la ecuacion ´ general de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la condici´on dada.
−
− 3x2
−5
d) f ( x) =
b) A(6,15), B(11,12), C ( 1, 8), D( 6, 5) rect´angulo
− −
d)
a) f ( x) = 5x3 + 2x
−
a) A(1, 4), B(6, 4), C( 15, 6) rect´angulo
c)
−2 f ( x) = 4 − x2 √ f ( x) = x + 4 f ( x) = −2 √ f ( x) = − 36 − x2
9. Indica si f es par, impar o ninguno de los dos tipos.
2. Con las pendientes, demuestre que los puntos son v´ertices del pol´ıgono mencionado.
−
− f (a)
− −
>
−
f (a + h ) h
en los ejercicios siguientes a) f ( x) = 5x 2 b) f ( x) = x 2 2x + 3
>
−
los valores de:
d) f ( x) = x 2 + 4x + 9 e) f ( x) = 7
−2x2 + 20x − 43 Lic.Miriam Cusi R.
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3. POLINOMIOS Y FUNCIONES RACIONALES
3.4. Divisi´on Sint´etica o M´e todo de Ruffini
3.1. Divisi´on de Polinomios por el M´etodo Cl´asico
13. Utiliza Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1.
2x4 + 7x3 + 16x2 + mx + n el resto 2x2 + x + 4 es 12x + 3, calcular m + n. Rpta 99 2
a) P(x ) = 5x2
− 3x − 2 c) P(x ) = x 4 − 10x2 + 9 e) Q( x) = x 5 − 2x4 − 8x3
1. Si en la divisi´on
de x 4
−
rx 3
+ sx 2
−
x + 3 entre x 2
2. Si en la divisi´on 5x + 6 es exacta, hallar los valores de ( s 2 3.
Si x 5
−2 5mx + 4 es divisible por (x − de 3m − 2m + 4. Rpta. 5
−
− r)−1. Rpta.
3.5.
1)2 , halla el valor
4. Halla el valor de k para que 6x36 + 17x27 + kx 18 + 8 sea exacta. 3x9 + 1
la
b) P(x ) = x 3 + 2x2
d) P( x) = x 4 + 7x3 + 12x2 f ) Q( x) = 2x8
− 6x6 − 4x5.
Ceros de Polinomios
14. Encuentre los ceros de f (x ) y exprese la multiplicidad de cada cero.
divisi´on
a) f (x ) = x 2 (3x + 2)( 2x b)
√ 5. Determine el valor de a + a − b si la divisi´on de x4 − 3x3 y + x2 y2 + axy 3 + by 4 entre x 2 − xy + y2 tiene 3 4
√ 3
− 5) 3 f ( x) = x ( x − 1)4 (3x − 7)2
c) f (x ) = 4x5 + 12x4 + 9x3
resto igual a 7xy + 8 y .
d) f (x ) = ( x2 + x
3.2. Teorema del Resto
e) f ) f (x ) = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 1
6. Sabiendo que P( x) = 2x3 resto de dividir P ( x) entre: a ) ( x 1) b) (x + 3) 4) e) (x + 1)
−
−
−
− 12)3(x2 − 9)2 f ( x) = x 4 + 7x2 − 144
− 2x2 + 5x − 4, calcula el c) ( x + 2) d) ( x −
7. Si la divisi´on de xr ( x a )3r s ( x 2a) es exacta, Calcula r
− 256(3a − x )2s
15. Use la Regla de signos de Descartes para determinar el numero ´ de posibles soluciones positivas, negativas y complejas de la ecuaci´on. a) 4x3
− 6x2 + x − 3 = 0 b) 5x3 − 6x − 4 = 0 c) 2x6 + 5x5 + 2x2 − 3x + 4 = 0 d) 3x4 + 2x3 − 4x + 2 = 0 e) 3x5 + 2x4 − x3 − 8x2 − 7 = 0
entre
8. Considera que P(x ) = 6x5 19x4 + 21x3 13x2 + px + q, es divisible exactamente por x 1 y tambi´en por 2x 3. Encuentra el valor de A = 7 p + 4q.
−
−
−
−
9. Si el polinomio x 5 2x4 6x3 + px 2 + qx + r se divide exactamente por ( x + 1)( x 1)( x 3), determina el valor de B = 3 p + 4q 5r.
f ) 4x3 + 2x2 + 1 = 0
−
− − − − 10. Si x 3 + m(a − 1) x2 + a2 (mx + a − 1) es divisible exactamente por x − a + 1. Encuentra el valor de C = 3
16. Encuentre todos los ceros de la ecuaci´on. a) x3
− x2 − 10x − 8 = 0 b) x3 + x 2 − 14x − 24 = 0 c) 12x3 + 8x2 − 3x − 2 = 0 d) 6x5 + 19x4 + x 3 − 6x2 = 0 e) 3x3 − x2 + 11x − 20 = 0 f ) 6x2 + 11x − 10 = 0
5m + 2m + 7.
´ debe cumplir a y b para que 2x4 11. Qu´e condicion 7x3 + ax + b sea divisible por x 3.
−
−
3.3. Teorema del Factor 12. Use el teorema del factor para demostrar que ( x es un factor de f (x ). a) f ( x) = x 3 + x2 2x + 12, c = 3 b) f (x ) = x 3 + x 2 11x + 10, c = 2 c) f ( x) = x 4 3x3 2x2 + 5x + 6, c = 2 d) f ( x) = x 12 4096, c = 2
− − − − −
Todos los Paralelos
− 5x − 6
− c)
Nota.- Los Estudiantes deben resolver y entregar todos los ejercicios (Aquellos ejercicios que tienen varios incisos, trabajan s´olo los incisos impares). Fecha de entrega, el d´ıa del examen.
−
−
8
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