1er curso de Ingeniería Industrial: Ingeniería de Control
Práctica 7ª: Controladores PI, PD y PID.
Departamento de Ingeniería Electrónica, Telecomunicación y Automática. Área de Ingeniería de Sistemas y Automática
Práctica 7ª. Controladores PI, PD, PID
OBJETIVOS: • Aprender para qué sirve un regulador. • Conocer y comprender los reguladores PD, PI y PID. • Aprender técnicas de ajuste de los parámetros de estos reguladores.
1.
Introducción
Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control. La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de mediación). Entrada de Salida
referencia
Controlador
Planta
Sensor
Figura 1. Esquema de bloques de un controlador.
Por un lado, la salida del controlador se alimenta a un actuador, como un motor, una válvula neumática, un motor hidráulico o un motor eléctrico. Mientras que el sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, como un desplazamiento, una presión o un voltaje, y que puede usarse para comparar la salida con la entrada de referencia.
2.
Tipos de Controladores.
Los controladores industriales se clasifican, de acuerdo con su acción de control, como: • • • • • •
Controladores on-off. Controladores proporcionales. Controladores integrales. Controladores proporcionales-derivativos. Controladores proporcionales-integrales. Controladores proporcionales-integrales-derivativos. Área de Ingeniería de Sistemas y Automática. Curso 2007/2008
Práctica 8ª. Controladores PI, PD, PID. Implementación en los equipos SERVOS 2.1 Controlador proporcional.
Para un controlador con una única acción proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal del error e(t) es: u (t ) = K p e(t )
la cual, utilizando la transformada de Laplace, se convierte en: u ( s ) = K p e( s )
De las ecuaciones anteriores se puede observar claramente que el controlador proporcional es utilizado para “controlar teniendo en cuenta el presente”, es decir, el error actual es multiplicado por una ganancia constante (Kp) y aplicado al actuador. Como es obvio, cuando el error es cero, la salida de este regulador también es cero, por lo que junto a la señal de control proporcional habría que añadir un offset, o también conocido como bias, que permitiese al valor de salida seguir a la señal de referencia. 2.2 Controlador integral.
Para un controlador integral, el valor de la salida de la acción de control ( u(s)) se cambia a una relación proporcional a la integral del error, es decir: t
∫ 0
u (t ) = K I e(t ) dt
donde Ki es una ganancia ajustable. La función de transferencia del controlador integral es U ( s ) E ( s )
=
K i s
Al contrario que el controlador proporcional, el integral pretende “controlar teniendo en cuenta el pasado” debido a que el error es integrado (o sumado) hasta el tiempo actual, y entonces multiplicado por una ganancia. Si utilizásemos exclusivamente el controlador proporcional normalmente aparecería un error en estado estacionario, es por ello que se suele utilizar el término integral. Imaginemos por ejemplo un tanque en el que podemos controlar el flujo de entrada mientras que el de salida es constante. En esta situación, con un simple controlador proporcional más un término bías podríamos mantener una referencia de nivel. Sin embargo, si el flujo de salida variase (imaginemos que se obstruye la tubería de salida), el nivel de referencia no se mantendría existiendo un error en estado estacionario. Este problema se resolvería simplemente con cambiar el término bias con una acción integral, la cual ajustaría su valor eliminando los errores que han permanecido durante cierto
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Práctica 8ª. Controladores PI, PD, PID. Implementación en los equipos SERVOS tiempo. En este sentido podríamos decir que la parte integral equivaldría a un offset autoajustable. 2.3 Controlador proporcional-integral.
En un controlador proporcional-integral, la acción de control se define mediante u (t ) = K P e(t ) +
K p T i
t
∫ 0 e(t ) dt
siendo la función de transferencia del controlador: ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = K p ⎜⎜1 + E ( s ) T s i ⎠ ⎝
U ( s )
donde Ti es el tiempo integral.
2.4 Controlador proporcional-derivativo.
En un controlador proporcional-derivativo, la acción de control se define mediante u (t ) = K P e(t ) + K pT d
d e(t ) dt
y la función de transferencia es: U ( s ) E ( s )
= K p (1 + T d s )
donde Td es el tiempo derivativo. En este caso, la acción derivativa pretende controlar el sistema “teniendo en cuenta el futuro” puesto que tomamos la derivada del error con respecto del tiempo (su variación) y se multiplica por una constante. El término derivativo se utiliza para modificar la respuesta temporal del controlador ante cambios del sistema. De esta forma, mientras mayor es la variación del error, mayor será la acción de control derivativa; sin embargo, conforme la derivada del error disminuye (significando que el error tiende a cero), menor es su acción de control. 2.5 Controlador proporcional-integral-derivativo.
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Práctica 8ª. Controladores PI, PD, PID. Implementación en los equipos SERVOS La combinación de las acciones de control proporcional, derivativa e integral da lugar al controlador PID o controlador proporcional-integral-derivativo. Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación del controlador viene dada por: u (t ) = K P e(t ) +
K p T i
t
∫ 0
e(t ) dt + K p T d
d e(t ) dt
y la función de transferencia es: ⎛ ⎞ 1 = K p ⎜⎜1 + + T d s ⎟⎟ E ( s ) ⎝ T i s ⎠
U ( s )
3.
Simulación de controladores (a implementar por el alumno).
Inicialmente, para comprender el acción de los distintos tipos de reguladores haremos uso de la herramienta Matlab/Simulink en la que implementaremos distintos tipos de controladores conectados a una planta. Consideremos el siguiente sistema o planta (Figura 2) donde se muestra a tres operarios recibiendo paquetes distintos sobre una cinta transportadora. Esta cinta transportadora debe, dependiendo del tipo de paquete que reciba, desplazarlo al operario adecuado. Para ello cuenta con un actuador (motor eléctrico) que desplaza la cinta y un sensor que mide la posición del paquete.
C1 C2 C3
C1
C2
C3
Sensor de posición Accionamiento (Motor)
Figura 2. Sistema a controlar.
El responsable técnico de la empresa nos pide que desarrollemos un controlador para la cinta transportadora con las siguientes características: • que no tenga error en el posicionamiento de los paquetes (que cada paquete quede justo en frente de cada operario),
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Práctica 8ª. Controladores PI, PD, PID. Implementación en los equipos SERVOS • que sea lo más rápido posible sin que la cinta sufra demasiado (para que el tiempo
de ciclo sea mínimo y por tanto sea económicamente más rentable), • y que no tenga apenas oscilaciones en el posicionamiento final.
El primer paso a realizar sería conocer el comportamiento de la cinta transportadora para poder controlarla, es decir, identificar su modelo dinámico. El modelo identificado resulta: G ( s) =
s+8
( s + 3)(s + 6)(s + 10)
Para saber tanto el tipo de controlador adecuado así como sus ganancias, simularemos la planta en Simulink implementando el siguiente esquema.
Figura 3. Implementación en Simulink de un controlador PID.
donde podemos ver los siguientes componentes: 1. Planta: correspondería con el modelo dinámico del sistema a controlar. 2. Referencia de posición: sería una señal escalón donde el valor final viene dado por el tipo de paquete (p. ej. Posiciones finales 5, 10 y 15 para los paquetes C1, C2 y C3 respectivamente). 3. Controlador: está formado por un PID donde, anulando sus ganancias podemos reducirlo a un tipo P, o bien tipo PI o PD. 4. Scope: para poder comparar gráficamente si cumplimos la especificaciones deseadas (error, respuesta). La estrategia a seguir será la siguiente: Primero probaremos si con un regulador tipo proporcional sería suficiente. Variaremos la ganancia proporcional (anulando previamente las ganancias derivativas e integrales) y analizamos si su comportamiento cumple con las especificaciones; ahora bien, en caso de que nuestro sistema tenga un error en régimen estacionario, utilizaremos la parte integral. Por otro lado, si cuenta con demasiadas oscilaciones, utilizaremos también la parte derivativa. En ambos caso iremos probando con distintas ganancias hasta ajustar el controlador de forma adecuada.
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Práctica 8ª. Controladores PI, PD, PID. Implementación en los equipos SERVOS 3.1 Ejercicios. Ejercicio 1: Explicar cuál ha sido el controlador con el que se ha conseguido unos mejores
resultados y explicar el porqué.
Ejercicio 2: Obtener la ecuación final del sistema (utilizando las ganancias obtenidas). Ejercicio 3:
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Representarlo en un diagrama de bloques.
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