INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA DE AZCAPOTZALCO
Electricidad y Magnetism! Profesor Cruz García Fernando.
Pr"ctica N!# Carga y descarga de un capacior !Circuio "C#.
Al$mns% G$%ez Oriz Edgar &ern'ndez &ern'ndez Sergio O%ar
Segundo Se%esre Ingeniera "o($ica Indusria)
#RM& &' de Ener del #(&)
*
OBJETIVO GENERAL Realizar una prueba experimental en un circuito RC donde se analice y demuestre el funcionamiento de un capacitor.
OBJETIVOS ESPECIFICOS Desarrollar la capacidad creativa de los estudiantes en los circuitos para aplicar la teoría de la materia electricidad y magnetismo de manera práctica y experimental. Afianzar conceptos teóricos y reducir su faceta abstracta a través de la experimentación. Construir un circuito ue tome en cuenta los conocimientos previos de capacitores y funcionamiento! tener en claro el uso de estos.
MARCO TEORICO CIRCUITOS AC "asta a#ora se #an analizado circuitos en estado estable! en los cuales la corriente es constante. $n ciruitos ue contienen capacitores la corriente puede variar en el tiempo. %n circuito ue condene una combinación en serie de un resistor y un capacitor se denomina circuito RC. Carga de un capacitor &uponga ue el capacitor en la figura '(.)* inicialmente está descargado. +o #ay corriente cuando el interruptor & está abierto ,-ig. '(. )*b. &in embargo! si el /interruptor se cierra en 012! empiezan a fluir cargas! de modo ue se establece una corriente en el 3circuito y el capacitor empieza a cargarse.4 Advierta ue durante el proceso de carga las cargas no brincan a través de las placas del capacitor debido a ue el espacio entre las mismas representa un circuito abierto. $n lugar de eso la carga se transfiere entre cada placa y su alambre conector debido al campo eléctrico establecido en los alambres por la batería! #asta ue el capacitor se carga por completo. Conforme las placas comienzan a cargarse! la diferencia de potencial a través del capacitor aumenta. $l valor de la carga máxima depende del volta5e de la batería. %na vez alcanzada la carga máxima! la corriente en el circuito es cero porue la diferencia de potencial a través del capacitor se iguala con la suministrada por la batería. 6ara analizar este circuito de manera cuantitativa apliue al circuito la regla de la espira de 7irc##off después de ue se cierra el interruptor. Al recorrer la espira en el sentido de las manecillas del relo5 se obtiene.
q ε − − IR =0 c
+
Figura 28.16 a) Un capacitor en serie con un resistor, interruptor y batería. b) Diagrama de circuito donde se representa este sistema en el tiempo f < , antes de !ue el interruptor se cierre. c) Diagrama de circuito en el tiempo t" , despu#s de !ue se $a cenado el interruptor. Donde 8C es la diferencia de potencial en el capacitor e 9R es la diferencia de potencial en el resistor. &e emplearon las convenciones de signos antes analizados pan los signos d εeIR 6ara el capacitor advierta ue se está recorriendo en la dirección de la placa positiva #acia la placa negativa: esto representa una disminución en el potencial. 6or ende! se usa un signo negativo para este volta5e en la ecuación '(.)). ;bserve ue e 9 son valores instantáneos ue dependen del tiempo ,como opuestos a los valores del estado estable conforme el capacitor se está cargando. Con la ecuación '(.)) se puede encontrar la corriente inicia< en el circuito y la carga máxima en el capacitor. $n el instante en ue se cierra el interruptor ,t 1 ; la carga en el capacitor es cero! y seg=n la ecuación '(.)) se encuentra ue la corriente inicial en el circuito 92 es un máximo e igual a.
ε I 0 = R
,corriente en t 1 2
!"#$!%
$n este tiempo la diferencia de potencial de las terminales de la batería aparece por completo a través del resistor. Después! cuando el capacitor se carga #asta su valor máximo >! las cargas de5an de fluir! la corriente en el circuito es cero y la diferencia de potencial de las terminales de la batería aparece por completo a través del capacitor. Al sustituir 9 1 2 en la ecuación '(.)) se obtiene la carga en el capacitor en dic#o tiempo?
Q=C ϵ
,Carga máxima
!"#$&%
6ara determinar expresiones analíticas relativas a la dependencia en el tiempo de la carga y la corriente se debe resolver la ecuación '(.)) @una sola ecuación ue condene dos variables! e 9@. a corriente en todas las partes del circuito en serie debe ser la misma. 6or tanto! la corriente en la resistencia R debe ser la misma con forme la corriente fluye afuera de y #acia las placas del capacitor. $sta corriente es igual a la rapidez de
,
cambio en el tiempo de 9a carga sobre las placas. Del capacitor. $n consecuencia! sustituya l =dq / dt en la ecuación '(.)) y reordene la ecuación?
dq ε q = − dt R RC 6ara encontrar una expresión para primero combine los términos en el lado derec#o?
dq
=
dt
cε
−
q
RC RC
=−
q − cε RC
cε A#ora multipliue por dt y divida entre B
para obtener
dq q − cε
=−
1
RC
dt
Al integrar esta expresión! y usar el #ec#o de ue 12 en t12 se obtiene q
dq
∫ q−c
=−
ε
0
1
RC
1
∫ dt 0
q − cε = − t − cε RC
ln
A partir de la definición del logaritmo natural esta expresión se puede escribir como
q (t ) = cε (1 − − t / RC ) = Q (1 − t / RC ) $n la figura '(.) se presentan graficas de carga y corriente del circuito versus tiempo. ;bserve ue la carga cero en t12 y se acerca al valor máximo
C ε
t → ∞ a medida ue
.
I 0 = ε / R a corriente tiene su valor máximo
t → ∞
en t12 y decae en forma exponencial #asta
cero conforme . a cantidad RC! la cual aparece en los exponentes de las ecuaciones '(.)4 y '(.)! se conoce como constante de tiempo ,t del circuito.
Representa el tiempo ue tarda en disminuir la corriente #asta )8
t , I = e −1 I 0 es! en un tiempo
−2
= 0.368 I 0 .
2t , I = e I 0
de su valor inicial: esto
= 0.135 I 0
en un tiempo
! etcétera. Del ε
mismo modo! en un tiempo ,t la carga aumenta de cero a C
,)B
e
−1
ε
12.*E' C .
$l siguiente análisis dimensional muestra ue ,t tiene las unidades del tiempo.
-
[ t ] = [ RC ] =
∆V
I
x
Q Q = = [ ∆t ] = T ∆V Q / ∆t
a la gráfica de carga de capacitor versus tiempo para el circuito mostrado en la figura '(.)*. Después de ue #a transcurrido un intervalo de tiempo igual a una constante de ε
tiempo ,t! la carga es *E.'F del valor máximo C . la carga se acerca a su valor máximo conforme ,t tiende al infinito. b grafica de corriente versus tiempo para el circuito
I 0 = ε / R mostrado en la figura '(.)*. la corriente tiene su valor máximo en t12 y decae a cero exponencialmente conforme t tiende al infinito. Después de ue #a transcurrido un tiempo igual a una constante de tiempo ,t! la corriente es E*.(F de su valor inicial. 6uesto ue r RC tiene unidades de tiempo! la combinación t8RC es adimensional! como debe ser para poder funcionar como exponente de ten las ecuaciones '(.)4y '(.). a salida de energía de la batería durante el proceso de carga del capacitor es
Qε =C ε
2
. Después de ue el capacitor se #a cargado completamente! la energía 1
almacenada en él es
2
1
Qε = C ε 2
2
! lo cual es la mitad de 9a salida de energía dela
batería. &e de5a como un problema ,problema *2 demostrar ue la mitad restante de la energía suministrada por la batería aparece como energía interna en el resistor. 'e(carga de un capacitor Considere a#ora el circuito mostrado en la figura '(.)(! el ue consta de un capacitor con una carga inicial >! un resistor y un interruptor. a carga inicial > no es la misma ue la carga máxima > en el análisis anterior! a menos ue la descarga ocurra después de ue el capacitor está completamente cargado ,como se describió con anterioridad. Cuando el interruptor se abre #ay una diferencia de potencial de >8c a través del capacitor y una diferencia de potencial cero en el resistor! puesto ue % 1 2. &i el interruptor se cierra en t 1 2! el capacitor empieza a descargarse a través del resistor! $n cierto tiempo t durante la descarga! la corriente en el circuito es G y la carga en el capacitor es ,-ig. '(.)(b. $l circuito en la figura '(.)( es el mismo ue el de la figura '(.)*! excepto por la ausencia
de la batería. $n consecuencia! se elimina la fem
ε la ecuación '(.)) para obtenerla
ecuación dela espira apropiada para el circuito en la figuraH '(.)(?
−q − IR =0 c Cuando se sustituye
!"#$)%
I =dq / dt en esta expresión! se convierte en
− R
dq q = dt c
dq −1 = dt q RC 9ntegrando esta expresión con base en el #ec#o de ue q
q =Qent =0 resulta
t
dq −1 ∫ q = RC ∫ dt 0 Q ln
( )
−t q = Q RC
q ( t )=Q e
− t / RC
(28.17)
Diferenciar esta ecuación con respecto del tiempo produce la corriente instantánea como una función del tiempo?
I ( t )=
Donde
dq d − t / RC ) = −Q e−t / RC = ( Q e dt dt RC
Q = I RC 0 es la corriente inicial. $9 signo negativo indica ue la dirección de la
corriente a#ora ue el capacitor se está descargando es opuesta a la dirección de la corriente cuando el capacitor se estaba cargando. ,Compare las direcciones de la corriente en las figuras '()*c y '(.l&b. &e ve ue tanto la carga en el capacitor como la
/
corriente decaen en forma exponencial a una rapidez caracterizada por la constante de tiempo τ = RC .
MATERIALES Mu*t+,etro(#
Proto-oard
Re(i(tencia(
Capacitor
Fuente de .o*ta/e
Ca-*e utp
Pu*(adore( NA
PROCE'IMIENTO0
). Iomamos la 6rotoboard y de acuerdo al circuito procedimos a conectar los elemento formulando el circuito RC con los pulsadores! pelamos el cable con unas pinzas y cuidadosamente lo colocamos en las en la 6rotoboard cuidando las debidas conexiones para cumplir con los reuisitos del circuito. '. as puntas de los multímetros se conectaron con los caimanes y estos a su vez a las puntas de capacitor y de la resistencia seg=n la polaridad o bien en caso de estar invertidos en el multímetro sabemos ue estos datos saldrían negativos lo cual significa ue las puntas están invertidas y ue la polaridad esta sentido opuesto.
0
E. Con unos cables puenteamos de la fuente de volta5e a la 6rotoboard! la fuente entregaba v de corriente directa: la necesaria para nuestro circuito! antes de esto verificamos ue todo estuviera bien conectado y procedimos. 4. 6ulsamos el primer pulsador y vimos ue los dígitos del multímetro ue estaba conectado al capacitor empezaron a aumentar en tiempo determinado #asta alcanzar cerca de los volts ,en ning=n momento igualo el volta5e de la fuente. . o soltamos y observamos ue en el multímetro conectado al capacitor lentamente iba descendiendo! esto lo #acía lentamente puesto ue retenía la carga por un largo rato. *. Al pulsar el segundo botón observamos ue el volta5e pasaba del capacitor a la resistencia! mientras el capacitor se descargaba! en la resistencia aumentaba el volta5e #asta ue los dos se #acían cero.
1
2