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EXPERIENCIA Nº 08 CARGA Y DESCARGA DEL CAPACITOR 1. OBJETIVO GENERAL Analizar el comportamiento de carga y descarga de un capacitor electrolítico. 2. FUNDAMENTO TEORICO Se le llama circuito RC a un circuito que contiene una combinación en serie de un resistor y un capacitor. 2.1 Carga de un capacitor La figura 1 muestra un circuito RC simple en serie. Se supone que el capacitor de este circuito está inicialmente descargado. No existirá corriente en tanto el interruptor esté abierto (figura 1a). No obstante, si el interruptor se mueve hacia a en t = 0 (figura 1b), la carga comenzará a fluir, estableciendo una corriente en el circuito, y el capacitor comenzará a cargarse.1 Conforme las placas se cargan, la diferencia de potencial aplicada al capacitor aumenta. El valor de la carga máxima en las placas dependerá del voltaje de la batería. Una vez que se alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es igual a cero, ya que la diferencia de potencial aplicada al capacitor es igual a la suministrada por la batería. Para analizar cuantitativamente este circuito, se aplica la regla de la espira de Kirchhoff al circuito una vez que el interruptor está en la posición a. Recorriendo la espira de la figura 1c en el sentido de las manecillas del reloj, da q ε − −IR=0 C
Dónde: q/C: al capacitor IR: al resistor
……
(1)
es la diferencia de potencial aplicada
Figura 1. a) Un capacitor en serie con resistor, interruptor y batería. b) Cuando el interruptor se mueve a la posición a, el capacitor comienza a cargarse. c) Cuando el interruptor se mueve a la posición b, el capacitor se descarga.
es la diferencia de potencial aplicada
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Utilizamos la ecuación (1) para determinar la corriente inicial en el circuito y la carga máxima del capacitor. En el instante en que se cierra el interruptor (t = 0), la carga del capacitor es igual a cero, y en la ecuación (1) aparece que la corriente inicial I i en el circuito es su valor máximo y se conoce por: Ii =
ε R
(Corriente en t=0)……. (2)
En este momento, la diferencia de potencial de las terminales de la batería aparece por completo aplicada al resistor. Después, cuando el capacitor ha sido cargado a su valor máximo Q, las cargas dejan de fluir, la corriente en el circuito es igual a cero, y la diferencia de potencial de las terminales de la batería aparece aplicada al capacitor. Al sustituir I = 0 en la ecuación (1) se obtiene la carga máxima del capacitor: Q=Cε
(Carga máxima)…… (3)
Para determinar expresiones analíticas que muestren cómo la carga y la corriente dependen del tiempo, resolvemos la ecuación (1), una sola ecuación con dos variables, q e I. En todas las partes de un circuito en serie la corriente debe ser igual. Por lo tanto, la corriente en la resistencia R debe ser la misma que la corriente entre las placas del capacitor y los alambres conectados a ellas. Esta corriente es igual a la relación de cambio en el tiempo de la carga en las placas del capacitor. Por lo tanto, en la ecuación (1) reemplazamos: I = dq/dt y simplifica la ecuación: dq ε q = − dt R RC Para encontrar una expresión para q, resolvemos esta ecuación diferencial separable. Primero combinando los términos del lado derecho: dq Cε q −q−Cε = − = dt RC RC RC
Multiplicando por dt y dividiendo entre
q−Cε :
2
FIQyM dq −1 = dt q−Cε RC
Integrando esta expresión, donde q =0 en t = 0, t
dq 1 =¿− ∫ dt q−Cε RC 0 q
∫¿ 0
ln
−t = ( q−Cε ) −Cε RC
A partir de la definición de los logaritmos naturales, se tiene: −t
(
) (
−t
q ( t )=Cε 1−e RC =Q 1−e RC
)
…(4)
La carga como una función del
tiempo para un capacitor cargándose Además se puede encontrar la corriente de carga diferenciando la ecuación (4) respecto al tiempo. Utilizando I =dq/dt, resulta que: −t
ε I ( t )= e RC …(5) R
La corriente como una función del tiempo
para un capacitor cargándose Dónde:
RC
: constante del tiempo
τ
del circuito
τ =RC … (6)
2.2 Descarga de un capacitor Imagine que el capacitor en la figura 1b está completamente cargado. A través del capacitor hay una diferencia de potencial Q/C y hay diferencia de potencial cero a través del resistor porque I = 0. Si el interruptor ahora se mueve a la posición b en t = 0 (figura 1c), el capacitor comienza a descargarse a través del resistor. En algún tiempo t durante la descarga, la corriente en el circuito es I y la carga en el capacitor es q. El circuito de la figura 1c es el mismo que el circuito en la figura 1b, excepto por la ausencia de la batería. Por lo tanto, de la ecuación (1)
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FIQyM se elimina la fem ε para obtener la ecuación de la espira adecuada para el circuito de la figura 1c: −q −IR=0 ....(7) C Cuando se sustituye I = dq/dt en esta expresión, se convierte en −R
dq q = dt C
dq −1 = dt q RC
Al integrar esta expresión con q = Q en t = 0 se obtiene t
dq 1 =¿− ∫ dt q RC 0 q
∫¿ Q
ln
−t ( Qq )= RC
q ( t )=Q e
−t RC
…(8)
Carga como función del tiempo para un
capacitor que se descarga Al diferenciar la ecuación (8) respecto al tiempo se obtiene la corriente instantánea como función del tiempo: −t
−Q RC I ( t )= e R
…(9)
Corriente como función del tiempo para un
capacitor que se descarga Dónde: Q/RC = Ii es la corriente inicial. El signo negativo indica que, conforme el capacitor se descarga, la dirección de la corriente es opuesta a su dirección cuando el capacitor se estaba cargando. 4
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2.3 PROBLEMA ¿Cómo se carga y descarga un capacitor electrolítico?
3. HIPOTESIS GENERAL Experimentalmente se comprueba la carga y descarga de un capacitor electrolítico.
4. DISEÑO DEL EXPERIMENTO: Seleccionamos los materiales a utilizar, con el fin de obtener la carga del capacitor electrolítico y luego la descarga del mismo.
4.1 EQUIPOS Y MATERIALES
Una resistencia de 100 k Ω
Un capacitor de 330 µF, 35 V Una fuente de c.c. 6 voltios Un cronometro Un voltímetro digital Cables conectores
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4.2 PROCEDIMIENTO 4.2.1 Antes de instalar el circuito verificar que el capacitor se encuentre descargado totalmente con el voltímetro (mida si tiene tensión). Si lo tuviera cortocircuitar el capacitor con un cable. Así mismo verifique con el voltímetro la tensión de salida de la fuente de energía y anote este valor. 4.2.2 instale el circuito que se muestra en la figura 2.
Figura 2.
4.2.3 Antes de encender la fuente deberá tener listo el cronometro para hacer la lectura del tiempo de carga del capacitor. 4.2.4 Calculara el tiempo de carga del capacitor con la formula t= 5RC 4.2.5 Deberá encender simultáneamente la fuente con el cronometro 4.2.6 Inmediatamente el capacitor empezara la etapa de carga lo cual se verificara con la lectura que se realice en el voltímetro. Simultáneamente se leerá el tiempo de carga en el cronometro y procederá a llenar los datos en la tabla Nº 01
TABLA Nº 01: CARGA DEL CAPACITOR Nº 1 2 3 4 5
V(voltios) 0.00 1.77 2.88 3.69 4.01
t (en segundos) 0 10 20 30 40 6
FIQyM 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4.66 5.08 5.30 5.46 5.58 5.68 5.75 5.80 5.83 5.86 5.88 5.90 5.91 5.92 5.92
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
4.2.7 Ahora el capacitor está cargado y procederemos a la descarga. Para esto deberá poner el cronometro en cero y se apagara o desconectara la fuente de energía, de tal manera que el voltímetro lea la diferencia de potencial que se encuentra en el capacitor y simultáneamente leerá la lectura en el cronometro y los datos serán colocados en la tabla Nº 02. TABLA Nº 02: DESCARGA DEL CAPACITOR Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
V(voltios) 5.92 4.44 3.26 3.43 1.72 1.25 0.95 0.69 0.51 0.38 0.28 0.21 0.16 0.12
t (en segundos) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 7
FIQyM 15 16 17 18 19 20
0.09 0.07 0.05 0.04 0.02 0.00
140 150 160 170 180 190
4.3 GRAFICAS (parte: anexos) 4.3.1 Grafique los datos de la tabla Nº 01; t (s) vs V (V) 4.3.1 Grafique los datos de la tabla Nº 02; t (s) vs V (V)
5. RESULTADOS El primer grafico (tiempo(s) vs Voltaje (V)), representa la carga del capacitor. Se puede apreciar que la gráfica es una curva que parte del eje de coordenadas, que nos indica que el capacitor está totalmente descargado (carga inicial igual a 0) en un tiempo igual 0. A partir de este instante comienza el proceso de carga de dicho capacitor, mostrándose así una curva ascendente que se abre hacia la derecha hasta un instante t= 180 a 190 segundos aproximadamente.
A partir de dicho instante la gráfica es una línea recta horizontal correspondiente a una función constante, cuya interpretación nos da a entender que el capacitor una vez llegado a su carga máxima, el voltaje se mantiene constante, relacionado con el valor de la capacitancia de nuestro capacitor. El segundo gráfico, con las mismas variables, representa el tiempo de descarga del capacitor. Teniendo en cuente que la diferencia de potencial máxima alcanzada el capacitor a prueba es de 5.92 voltios, la gráfica parte precisamente de allí; lo cual al quitar el paso de corriente comienza a decaer, formándose así una curva ascendente que se abre hacia la derecha y representa una función exponencial al igual que la anterior. En el instante t=190 segundos el capacitor se ha descargado casi por completo, por lo que en la gráfica se aprecia la aproximación de V=0.
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FIQyM 6. CONCLUSIONES
A partir de los datos, observaciones y los análisis de los fenómenos físicos hechos en el laboratorio se puede concluir que el proceso de carga y descarga de un capacitor varían como una función del tiempo.
Al estar el capacitor cargado, éste tenía una carga total y una diferencia de potencial, al cambiar el interruptor se observó inmediatamente una disminución en la diferencia de potencial entre las terminales del capacitor así fue como se presentó el fenómeno de descarga del capacitor.
En el proceso de carga de un condensador en un circuito RC el voltaje aumenta de forma exponencial.
En el proceso de descarga de un condensador, el voltaje disminuye de la misma forma, es decir, exponencialmente.
7. PREGUNTAS
8.1 ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica en el proceso de carga del capacitor? Para el proceso de carga del capacitor V crece exponencialmente con el tiempo.
8.2 ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica en el proceso de descarga del capacitor? Como mencionamos anteriormente en los resultados, para el proceso de descarga V decrece exponencialmente con el tiempo. Ambas funciones tienen una asíntota en V = 0 para tiempos muy grandes, (Es decir, cuando t tiende a infinito).
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FIQyM 8.3 ¿Cuáles son las ecuaciones que fundamentan el proceso de carga y descarga del capacitor? Como ya se demostró inicialmente, el proceso de carga y descarga de un capacitor en función de un tiempo (t) son respectivamente las siguientes: −t RC
−t RC
q ( t )=Cε (1−e )=Q (1−e )
…carga
−t
q ( t )=Q e RC ….descarga
También se pude llegar a obtener una ecuación empírica para el proceso de carga y descarga del capacitor, por medio del tratamiento de datos y la linealizacion de las curvas por el método de los mínimos cuadrados.
8. BIBLIOGRAFIA YOUNG. FREEDMAN. SEARS. ZEMANSKY. Física universitaria, con física moderna Vol. II. Decimosegunda edición. Pearson Educación, México, 2009 MAUCHI, Beatriz y otros (2009) Elaboración de un informe: partes recomendaciones y anexos. Pontificia Universidad Católica del Perú. Departamento de Humanidades. Lima. Perú. SERWAY, Raymond y otros (2010) Fundamentos de Física. Vol. II. (8va. Ed.) México; Cengage Learning Editores, S.A. 10
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