CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR OBJETIVOS: -
Determin Determinar ar la relaci relación ón funcion funcional al entre entre el voltaje voltaje del del capacit capacitor or y el empo empo para para el proceso de carga del capacitador. Determin Determinar ar la relaci relación ón funcion funcional al entre entre el voltaje voltaje del del capacit capacitor or y el empo empo para para el proceso de descarga del capacitador. Determin Determinar ar la const constant ante e de empo empo τ para para el proceso proceso de carg carga. a. Determin Determinar ar la const constant ante e de empo empo τ para para el proces proceso o de desca descarg rga. a.
FUNDAMENTO TEORICO: Hasta ahora hemos considerado circuitos con corriente constante, o sea los circuitos llamados circuitos de estado estacionario. Ahora estudiaremos circuitos que conenen condensadores, condensadores, en los cuales la corriente puede variar variar con el empo. uando una diferencia de potencial se aplica por primera ve! a un capacitor, la rapide! con que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito.
arga de un capacitador.
onsid"rese el circuito circuito en serie que se muestra muestra a connuación# connuación#
t0
t>0 I +q
C
C
-q
R
S
R
S
$o e%iste corriente cuando el interruptor & esta a'ierto. &i el interruptor se cierra al t( ), la carga comen!ara a *uir, produciendo una corriente en el circuito, y el capacitor comen!ara a cargarse. +'s"rvese que durante el proceso de carga, las cargas no saltan a trav"s de las placas del capacitor, ya que el espacio entre las placas representa un circuito a'ierto. or el contrario, la carga se transere de una placa a otra a trav"s de la resistencia, el interruptor y la 'atera hasta que el capacitor este totalmente cargado. /l valor de la carga m0%ima depende de la 1./.2. de la 'atera. 3na ve! que se alcan!a la carga m0%ima, la corriente en el circuito es cero.
ara esta'lecer esta discusión so're una 'ase cuantava, se aplica la segunda regla de 4ircho5 al circuito despu"s de que el interruptor es cerrado. /sto da# - 67 8 q9 () :;< donde 67 es la cada de potencial a trav"s de la resistencia y q9 es la cada de potencial a trav"s del capacitor. +'s"rvese que q e 6 son valores instant0neos de la carga y la corriente, respecvamente, cuando el capacitor esta siendo cargado. &e puede usar la ecuación :;< para determinar la corriente inicial en el circuito y la m0%ima carga en el capacitor. Al t( ), cuando el interruptor es cerrado, la carga en el capacitor es cero, y de la ecuación :;< se encuentra que la corriente inicial en el circuito, 6 o, es m0%ima e igual a# 6) ( 97:para corriente t( )< :=< A este empo, la cada de potencial es ntegramente a trav"s de la resistencia. Despu"s, cuando el capacitor esta cargado a su m0%ima carga >, las cargas cesan de *uir y la carga en el circuito es cero y la cada de potencial es enteramente a trav"s del capacitor. &ustuyendo 6( ) en la ecuación :;< se o'ene la siguiente e%presión para ># > ( :carga m0%ima<
:?<
ara determinar una e%presión analca para la dependencia del empo de carga y la corriente, se de'e resolver la ecuación :;<, una ecuación que conene las varia'les q e 6. ara hacer esto, se deriva la ecuación :;< con respecto al empo. omo es constante, d9dt ( ) y se o'ene# d9dt: - q9 8 67< ( ) 8 ;dq9:dt< 8 7 d69dt ( ) 7ecordando que 6 ( dq9dt, se puede e%presar esta ecuación en la forma# 7d69dt @ 69 ( ) d696 ( - ;9:7< dt
:<
omo 7 y son constantes, esto puede ser integrado uli!ando las condiciones iniciales de que para t( ), 6( 6)#
d6:6 ( - ;9:7< dt ln:696)< ( - t9:7< 6:t< ( 6)B e 8t9:7< ( 97B e-t9:7< :C<
donde e es l 'ase de los logaritmos naturales e 6)( 97 es la corriente inicial. ara determinar la carga en el capacitor como función del empo, se puede su'stuir 6( dq 9dt en la ecuación :C< e integrar una ve! mas# dq9dt ( 97Be-t9:7< dq ( 97Be-t9:7< dt Al integrar esta e%presión puede uli!arse la condición de que q( ) para t()#
dq ( 97 e-t9:7< dt Al integrar el lado derecho de la e%presión, se uli!a el hecho de que e 8a% d% ( -;9a e 8a%. /l resultado de la integración da# q:t< ( ; 8 e 8t97 ; 8 e 8t97
:F<
donde > ( es la m0%ima carga del capacitor. Gas gr0cas de las ecuaciones :C< y :F< se muestran a connuación# 6
q
6)
(7 ),F? 6) ( 97
+'s"rvese que la carga es cero para t( ) ya que ende al valor m0%imo para t gura a<. or otro lado, la corriente ene su valor m0%imo 6 ) ( 97 para t( ) y decae e%ponencialmente hasta cero cuando t gura '<. Ga candad 7, que aparece en el e%ponencial de la ecuación :C< y :F<, se llama la constante de empo, , del circuito. /sta representa el empo que tomara la corriente para decrecer hasta ;9e de su valor inicial, es decir, en un empo , 6( e -; 6) ( ),?; 6). /n un empo = , 6 ( e -= 6o ( ),;?C 6), y as sucesivamente. Del mismo modo, en un empo la carga aumentara desde cero hasta ; 8 e 8;E ( ),F? . /l siguiente an0lisis dimensional demuestra que ene unidades de empo# E ( 7E ( :I969I9:>9J ( B/=. Despu"s de que el capacitor esta totalmente cargado, la energa almacenada en el capacitor es K > ( K =, la que es justo la mitad del tra'ajo reali!ado por la 'atera. Adem0s se puede demostrar que la otra mitad de la energa suministrada por la 'atera se transforma en calor joule en la resistencia.
Descarga de un capacitor
Ahora consideremos el circuito de la gura que a connuación se detalla#
tL)
tM) & &
@>
@>
7
- >
a<
7
7
->
'<
que consta de un capacitor con una carga inicial >, una resistencia y un interruptor. uando el interruptor esta a'ierto gura a<, e%iste una diferencia de potencial >9 a trav"s del capacitor y una diferencia de potencial cero a trav"s de la resistencia ya que 6 ( ). &i el interruptor se cierra al empo t ( ), el capacitor comien!a a descargarse a trav"s de la resistencia.
/n algNn empo durante la descarga, la corriente en el circuito es 6 y la carga en el capacitor es q, gura '<. De la segunda regla de 4ircho5, la cada de potencial a trav"s de la resistencia, 67, de'e ser igual a la diferencia de potencial a trav"s del capacitor, q9# 67 ( q9 :< &in em'argo, la corriente en el circuito de'e ser igual a la rapide! de decrecimiento de la carga en el capacitor. /s decir, 6 ( - dq9dt, y as la ecuación :< viene a dar# - 7 dq9dt ( q9 dq9q ( - ;9:7
:O<
6ntegrando esta e%presión y uli!ando el hecho de que q ( > para t( ) se o'ene#
dq9q ( - ;9:7< dt ln:q9>< ( - t9:7< q:t< ( >Be 8t9:7<
:P<
Diferenciando la ecuación :P< con respecto al empo se ene como función del empo# 6:t< ( - dq9dt ( >9:7
:;)<
donde la corriente inicial 6) ( >9:7<. or lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen e%ponencialmente a una rapide! caracteri!ada por la constante de empo# ( 7.
MATERIALES: -
apacitador 1uente de tensión connua 7esistencia IolQmetro ronometro a'les de cone%ión
REGISTRO Y ANÁLISIS DE DATOS:
rocedimiento de carga. I IE
t sE
=.=
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.F
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C)
C
F)
C.;
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JARGA $S = t sE Gn -).)=
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Aplicamos mnimos cuadrados, el cual nos dio los resultados siguientes# A( -).C; R( -).);F= r( -).PF
&acando los errores o'tenemos los siguientes c0lculos# T
( E
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7/&3GJAD+&# arga τ= ( Descarga:
) [S] 10.92%
