EJERCICIO CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR
CARGA DE UN CAPACITOR Cuando el interruptor se coloca en el punto a, el circuito comienza a cargarse, es aquí donde aplique la regla de la espira Kirchhof al circuito, la cual consiste en que la suma algebraica de las dierencias de potencial es igual a cero. Recorriendo Recorriendo la espira de derecha a izquierda y suponiendo que la corriente va en este sentido se obtiene: ε−
q − IR =0 ( 1 ) C
!
ara determinar la corriente inicial " utilice la ecuaci#n $, en el instante t%&, es decir cuando la carga del capacitor vale cero, por lo que ε IR o −
=
→ I ₀ =
ε R
ara encontrar un e'presi#n que me muestre como la carga y la corriente dependen del tiempo, resolver( la ecuaci#n $, partiendo de que la corriente debe ser la misma en todo el circuito, por lo que la corriente en la resistencia es igual a la que hay entre las placas del capacitor y los alambres conectados a estas. )ntonces, la corriente es igual a la relaci#n de cambio en el tiempo de la carga en las placas del capacitor capacitor.. *l reemplazar este resultado resultado en la ecuaci#n $ se tiene: ε−
q dq − R =0 C dt
→
dq ε q = − dt R RC
ara poder resolver esta ecuaci#n dierencial realice la resta y luego invertí los signos con un menos, para m+s adelante integrar +cilmente. or lo que se obtiene: dq RC ϵ −qR = dt R ( RC )
→
dq R ( Cε −q ) dq Cε − q dq −q−Cε → = → = = dt R ( RC ) dt RC dt RC
*hora si resuelvo la ecuaci#n dierencial dq −dt = q−Cε RC q
∫
→
0
ln
→e
t
−t ∫ dt → ln ( q−−CεCε )= RC
dq = −1 q −Cε RC
( ) q Cε Cε −
−
t RC
0
−
=
e
t RC −
→q
−
Cε
Cε.e
=−
t RC −
→q Cε C ε . e =
q ( t ) =Cε
−
( −e ) 1
−t RC
- )sta es la ecuaci#n de carga requerida, la cual ue utilizada en el programa de )'cel ara encontrar la corriente, se derivo la ecuaci#n -, es decir, dq/dt lo que podemos ya decir que es igual a la corriente.
(
dq = 0 − dt
−t RC
−Cε.e RC
) −t
ε I ( t )= e RC R
/
0)1C*R2* 0) 34 C**C!56R )n el momento en que el interruptor vuelve al punto b, el capacitor comienza a descargarse, ahora la dierencia es que ya no hay un a batería, por lo que de la ecuaci#n $ se debe eliminar em ε y así obtener una nueva ecuaci#n:
−q c
− IR =0
al sustituir !%dq7dt se obtiene la ecuaci#n dierencial:
−q C
−
q
∫
→
Q
dq dq q dq −dt R =0 →− R = → = dt dt C q RC t
( )
dq dt q → ln =− q RC Q 0
∫
t = − → e RC
ln
( )=e − q Q
t RC
−t RC
→ q=Q e
0onde 8 es el valor m+'imo al que el capacitor puede ser cargado, es decir, donde las cargas de9an de uir, por lo que la corriente es igual a cero y la dierencia de potencial de las terminales aparece aplicada al capacitor. )ntonces al sustituir !%& en la ecuaci#n $ se obtiene que la carga m+'ima es: Q=Cε
)ntonces la ecuaci#n de carga queda como: −t RC
q ( t ) =Cε e
( 4)
ecuaci#n utilizada en el programa de )'cel *hora al dierenciar la ecuaci#n ; respecto al tiempo obtuve la corriente dq dt
t
−
=
C ϵ RC e RC
−
t
−
<
I ( t )
=
ε RC e R
−
RELACIÓN DE LA CARGA VS TIEMPO 2racias a la ormula obtenida sobre la carga - se puede concluir que a mayor tiempo, mayor carga, por lo que se puede decir que la carga es proporcional al tiempo, tal y como se muestra en las siguientes gr+=cas
RELACIÓN DE CORRIENTE VS TIEMPO )n este caso observando la ecuaci#n de corriente / se puede concluir que a tiempo menor es la corriente, es decir, la corriente es inversamente proporcional al tiempo, situaci#n que se ve en la siguiente gr+=ca:
.
SOLUCIÓN NÚMERICA EN EL PROGRAMA DE EXCEL