Práctica Bioestadistica Unidad 3

PROBLEMAS DE TERCERA UNIDAD 1. Tab ablla NO01: Empleados profeso!ales " #$%!%os de &! 'r&po de (osp#ales) Clasifcados por edad y categoría de trabajo. Categoría de trabajo

$1% &'dicos $2% (er). *e #ab. Clí+ico $3% (er)icio de dieta $4% (er). *e registros ,'dicos $5% (er). *e e+er,ería $6% ar,acia $/% !ec+ología radiolog. $% (er). !erap'ticos $% "tros ser)icios proesio+ales y  !'c+icos  !'c+icos  !"!A#  !"!A#

A1 ≤25 0 20 3 / 200 1 4 5 20

A2 26-30 5 30 6 15 3/5 12 10 25 35

Edad A3 31-35 25 35 6  442  1 15 50

260

513

60

A4 35 /5 35 10 12 203 3 12 10 25

 !"!A#  !"!A#

35

1/66

105 120 25 42 1220 24 45 25 130

reg+tas% A Cl es la probabilidad probabilidad de 7e esta esta perso+a te+ga e+tre e+tre 31 y 35 a8os de edad9 :31-35;E<60;1/66<0.344 $ Calclar la probabilidad probabilidad de 7e + e,pleado e,pleado seleccio+ado seleccio+ado al al a=ar sea ,edico :&;E<105;1/66<0.05 C Cl es la probabilidad probabilidad de 7e + e,pleado e,pleado sea sea ,edico dado 7e se elige al a=ar del co+j+to de e,pleados 7e tie+e+ ,s de 35 a8os9 :&; A435
E Calc>lese la probabilidad probabilidad de 7e + e,pleado e,pleado elegido elegido al a=ar sea sea ,edico? te+ga ,s de 35 a8os de edad o a,bas cosas :& @ A435 <105;1/66  35;1/66 B :105;1/66:35;1/66<0.264

*.+ Sea! A) B " C #res e,e!#os aso%ados %o! &! e-perme!#o. E-presar las s'&e!#es propos%o!es ,erbales e! !o#a%! de %o!/&!#os:

Ω = {0, A, B, C , AB, BC , AC , ABC } a Al ,e+os ,e+os +o +o de los los e)e+to e)e+tos s ocrre. ocrre.

 A ∪  B ∪ C 

a = { A, B, C , AB, BC , AC , ABC }

b Eacta,e Eacta,e+te +te +o de de los e)e+to e)e+tos s ocrre ocrre..

[ A ∩ ( B ∪ C ) ] ∪ [ B ∩ ( A ∪ C ) ] ∪ [C ∩ ( A ∪ B ) ] C 

C 

C 

b = { A, B, C }

c Eacta,e Eacta,e+te +te 2 de los los e)e+to e)e+tos s ocrr ocrre+. e+.

[( A ∩ B) ∩ C  ] ∪ [( B ∩ C ) ∩ A ] ∪ [( A ∩ C ) ∩ B ] C 

C 

c = { AB, BC , AC }

d "crre "crre+cia +cia si,lta+ si,lta+ea ea de los los 3 e)e+tos e)e+tos..

C 

 A ∩ B ∩ C 

d  = { ABC }

. U!a m&/er por#adora de (emola %l2s%a da a l&3 #res (/os. a4 5C&2l es la probabldad de 6&e los #res (/os) !!'&!o es#$ afe%#ado por la e!fermedad7 b4 5C&2l es la probabldad de 6&e e-a%#ame!#e dos de los #res !8os es#$ afe%#ado7 (olciD+ < F(((? ((G? (GG? (G(? G((? G(G? GG(? GGGH S: Sí está afectado N: No está afectado

a A< FGGGH :A<

1 < 0.125 < 12.5I 

b $
3 < 0.3/5 < 3/.5I 

94 El 0; de los !d,d&os de &!a pobla%! es#2! ,a%&!ados %o!#ra &!a %er#a e!fermedad. D&ra!#e &!a epdema se sabe 6&e el *0; la (a %o!#ra
2I

GE% 0I

5I 2 ( 100 ) 60

GJ% 40I 1I 22I

a I de )ac+ados 7e e+er,a %

=3,3

b I de )ac+ados e+tre los 7e est+ e+er,os% 2 ( 100 ) 20

=10

=.+ La propor%! de al%o(l%os 6&e e-s#e! e! &!a pobla%! de M2la'a es apro-madame!#e) &! 10;> !o obs#a!#e) e! las ba/as 6&e da! los m$d%os de la Se'&rdad So%al df<%lme!#e se e!%&e!#ra el da'!os#%o de al%o(olsmo. Apare%e! s! embar'o da'!os#%ados de (epa##s) l&mbal'as) e#%.) 6&e p&ede! (a%er sospe%(ar al%o(olsmo s&b"a%e!#e. Se real3o &! es#&do 6&e p&so de ma!es#o 6&e el ?=; de los !d,d&os al%o(l%os " el @ ; de los !o al%o(l%os s&fr
Go alcoLDlicos :0I

rese+ta+ e+er,edades% Lepatitis? l,balgias? etc. Go prese+ta+ e+er,edades

5I

/I

.5I

6.3I

15I

3I

1.5I

3./I

#os porce+tajes resaltados +os i+dica+ las probabilidades de 7e al elegir al a=ar a + i+di)ido cales ser+ los resltados seg>+ ss probabilidades. ALora? para el caso específco 7e +os pla+tea+M aplica,os

 P ( E ) =

n( E ) n (Ω )

=

8.5% 14.8%

= 0.5743 = 57.43%

ALora? pode,os decir 7e del total de pacie+tes 7e prese+ta+ estas patologías? eiste + 5/.43I de probabilidad de 7e sea alcoLDlico.

. Dos #ra#ame!#os A " B %&ra! &!a de#erm!ada e!fermedad e! el *0; " 0; de los %asos) respe%#,ame!#e. S&po!e!do 6&e ambos a%#a! de modo !depe!de!#e) %&2l de las dos s'&e!#es es#ra#e'as &#l3ar
El 50I de los pacie+tes 7e t)iero+ a,bos trata,ie+tos se craro+. (eg>+ esto? pode,os afr,ar 7e sería reco,e+dable sar los trata,ie+tos? pero aplic+dolos +o por +o y +o e+ co,bi+aciD+

@. Se el'e! al a3ar  depor#s#as de &! e6&po de 10 !#e'ra!#es para real3ar &! %o!#rol a!#dopa/e> Se sabe 6&e * de los /&'adores del e6&po (a! #omado s&s#a!%as pro(bdas. 5C&ales es la probabldad de ele'r para el a!2lss a al'&!o de los !fra%#ores7 Pasos: $e+o co,o dice de probabilidad de elegir +o de los i+ractores e+to+ces are,os lo sigie+te 1N Lallare,os la probabilidad de elegir + i+ractor y lego le s,are,os probabilidad de elegir dos i+ractores y esa s,a ser la probabilidad de elegir alg>+ i+ractor. Da#os:  :$< probabilidad de elegir + i+ractor. :A< probabilidad de elegir dos i+ractores. Desarrollo:  :$< :A<  :<:A:$  :<

?. Es#amos !#eresados e! saber %&2l de los a!2lss A " B es me/or para el da'!s#%o de &!a de#erm!ada e!fermedad) de la %&al sabemos 6&e la prese!#a! &! 10; de !d,d&os de la pobla%!. El por%e!#a/e de res&l#ados falsos pos#,os del a!2lss A es del 1=; " del a!2lss B es del **;. El por%e!#a/e de falsos !e'a#,os de A es del @; " de B es del ;. 5C&2l es la probabldad de a%er#ar e! el da'!s#%o %o! %ada m$#odo7 A+ali=a+do el proble,a e+ + cadro% A

$

!otal

alsos 

15I

22I

3/I

alsos -

/I

3I

10;

22I

25I

4/I

 !otal

 #a probabilidad de acertar e+ el diag+Dstico co+ el ,'todo A% 7 22

= 0.318 = 31.8%

 #a probabilidad de acertar e+ el diag+Dstico co+ el ,'todo $% 3 25

= 0.12 = 12%

. Co! el ob/e#o de da'!os#%ar la %olel#ass se &sa! &l#raso!dos. Tal #$%!%a #e!e &!a se!sbldad del 1; " &!a espe%%dad del ?;. E! la pobla%! e! 6&e !os o%&pa la probabldad de %olel#ass es del *0;.

a4 S a &! !d,d&o de #al pobla%! se le apl%a! los &l#raso!dos " da! pos#,os 5C&2l es la probabldad de 6&e s&fra la %olel#ass7

(91%)(20%)

 P ( E  / + ) =

(91%)(20%) + ( 2%)(80%)  P ( E / + ) = 0.919

b4 S el res&l#ado f&ese !e'a#,o) 5%&2l es la probabldad de 6&e !o #e!'a la e!fermedad7  P ( E  / −) =

(98%)(80%) (98%)(80%) + (9%)(20%)

 P ( E / −) = 0.977

10. E!#re los es#&da!#es de la fa%&l#ad de losof
oblaciD+

Característica

Jaro+es :40I

&jeres :60I

,a+

/0I

20I 40I

Go ,a+

2I

12I

30I

0I 60I

12I

4I

*el a+lisis reali=ado pode,os llegar a la co+clsiD+ 7e? de todos los estdia+tes de dicLa acltad? al elegir al a=ar a + al,+o cal7iera la probabilidad de 7e este ,e ser de + 40I

11.

Los es#&do espdemol'%os !d%a! 6&e el *0; de los a!%a!os s&fre! de &! de#eroro !e&rops%ol'%o. Sabemos 6&e la #omo'raf
•

 A

∩ $<

• C- [ ( A ∩C ) ∪ ( B ∩C ) ]= ϕ •  A=20% • $< 0 A ∩C =80  × 20 =16 • B ∩C =3 × 80 =2,4 • #a probabilidad de 7e a+cia+o? diag+osticado co+ deterioro +eropsicolDgico? 7e real,e+te este e+er,o es% ( A ∩C ) 16 = =0,87 Ω= ( A ∩ C ) ∪ ( B∩ C ) 18,4 1*. La probabldad de 6&e &! es#&da!#e de Med%!a apr&ebe el %&rso de Boes#ad
2 3 2 3

4

4

9

5

+ − P ( B ∩ M )= 4

4

9

5

+ − = P ( B∩ M ) 14 45

= P ( B ∩ M )

1. La probabldad 6&e &! ,s#ador m$d%o) ,e!da de!#ro de &! mes) &! lo#e de med%ame!#os del labora#oro A es 1= " la probabldad de ,e!der &! lo#e de med%ame!#os del labora#oro B de!#ro de &! mes es . Fallar la probabldad de 6&e:  a4 Ge!da los dos lo#es de med%ame!#o de!#ro de &! mes.  b4 Ge!da al me!os &!o de los lo#es de!#ro de &! mes.  %4 No ,e!da !!'&!o de los lo#es de!#ro de &! mes.   d4 Solame!#e ,e!da el lo#e de med%ame!#os del labora#oro A de!#ro de &! mes. Resol&%!: a  P( A ∩ B ) = P ( A) P (B ) = (1/ 5)(1/ 4) = 0.05 b  P( AB '∪ A ' B ∪ AB ) = P ( A)P (B ') + P (A ')P (B ) + P (A )P (B ) <:1;5:3;4:4;5:1;4:1;5:1;4 < 0.4 4 3  P( A '∩ B ') = P( A ') P( B ') = ( )( ) = 0.6 5 4 c . 1 3  P( A ∩ B ') = P( A) P( B ') = ( )( ) = 0.15 5 4 d

19. La probabldad de 6&e &! pa%e!#e falle3%a por %2!%er es de 0.10 de 6&e falle3%a por !far#o es de 0.0=) de 6&e falle3%a por %2!%er e !far#o es 0.0. C&al es la probabldad de 6&e falle3%a: e or c+cer o por i+arto.  or c+cer? dado 7e pede allecer por i+arto. g or i+arto? dado 7e pede allecer por c+cer. ("#@CO"G

a  P ( C  ∪ I ) =  P ( C ) +  P (  I ) − P ( C  ∩ I ) = 0.10 + 0.05 − 0.03 = 0.12

 C  =  P ( C ∩ I )     I     P ( I )

 P 

b

=

=

0.03 0.05 3 5

  I   =  P ( I  ∩ C )    C    P ( C )

 P 

c

= =

0.03 0.10 3 10

1=. U!a &r!a %o!#e!e  bolas ro/as " - bla!%as. Se sa%a &!a bola de la &r!a " se reempla3a por &!a de o#ro %olor) se sa%a de la &r!a &!a se'&!da bola. Sabe!do 6&e la probabldad de 6&e la se'&!da bola sea ro/a es 1@=0. 5C&2l ser2 el !mero de bolas bla!%as7 ("#@CO"G (ea+ los sigie+tes e)e+tos P% Q#a seg+da bola es rojaR r% Q#a bola etraída es rojaR b% Q#a bola etraída es bla+caR #os eperi,e+tos scesi)os del proble,a se lle)a a + diagra,a del rbol de probabilidad obte+ida la fgra? do+de )e,os 7e el e)e+to P se escribe P< rr @ br? por lo ta+to% :P < :r :r ; r   :b :r ; b < :3; 3 :2;3 :;3 :4;3 < :46;:3 2 <1/;50

de do+de se obtie+e la ecaciD+ de (eg+do grado 1/ 2--14/ < 0

Pesol)ie+do la ecaciD+ se obtie+e < / bolas bla+cas

Figura: RR  2/(x+3) 3/(x+3)

r (x+1)/(x+3)

3r  x

4/(x+3) x/(x+3)

r -------------------- rr 



r ----------------- r 



(x-1)/(x+3)



1. U! med%o posee dos a&#om,les) &! modelo %ompa%#o " &!o es#2!dar. Apro-madame!#e &#l3a el ,e(%&lo %ompa%#o para #rasladarse a s& #raba/o las #res %&ar#as par#es a del #empo " el res#a!#e &sa el %arro mas 'ra!de. C&a!do emplea el %arro %ompa%#o lle'a a s& %asa a las =:0 el @= ; de las ,e%es> s &#l3a el %arro de #ama8o es#2!dar lle'a a la msma (ora el 0 ; de las ,e%es pero dsfr&#a del are a%o!d%o!ado del %arro m2s 'ra!de4. S lle'a a s& %asa desp&$s de las =:0) 5C&2l es la probabldad de 6&e (a"a &sado el %arro %ompa%#o7 ("#@CO"G 0.75! 5:30 3/4

"#$%a"&#

'u&#$i*,

0.25

0.6! 5:30 1/4 " ,&ar 

0.4

(i el ,'dico La llegado a s casa desp's de las 5%30? e+to+ces la probabilidad de 7e Laya sado el carro co,pacto es%   C     P     > 5 : 30   E+to+ces%

  C     P ( C ). P ( > 5.30 C )    > 5 : 30  <  P ( > 5.30)

 P 

( 3 4)( 0.25) <  P ( > 5 : 30) SSSS. :1 ara esto debe,os calclar%  P ( > 5 : 30)

 > 5 : 30  +  P ( E ). P  > 5 : 30         P ( > 5 : 30) <   C       E     3  ( 0.25) +  1  ( 0.4)       4      4   <  P ( C ). P 

3

+

1

< 16 10 23 < 80

or lo ta+to? ree,pla=a+do e+ :1%

  C    ( 3 4)( 0.25)    > 5 : 30  <  P ( > 5 : 30)

 P 

( 3 4)( 0.25) 23 80

< 15

<  23

1@.+La probabldad de 6&e &! a%%de!#e de a,a%! sea %orre%#ame!#e pre,s#o debdo a las fallas me%2!%as es 0.?= " fallas !o me%2!%as 0.= .E!%o!#rar la probabldad 6&e &! a%%de!#e de a,a%! sea por fallas me%2!%as) dado 6&e f&e pre,s#o %orre%#ame!#e) s el 0; de a%%de!#es de a,a%! es debdo a fallas me%2!%as.   (olciD+ (ea% 
de a)iaciD+ debido a allas +o ,ec+icas C <re)isto correcta,e+te C ′ < re)isto +o correcta,e+te

0.85   #&a* 

0.3F 0.15 C ′

'""i&,

0.35 0.7 F ′ 0.65 C ′

T@sa,os el !eore,a de $ayes  P ( F ) P (C /  F )  P (C )  :;C < SSSSSSS :1 ′ ′ ero  P (C ) =  P ( F ) P (C /  F ) +  P ( F  ) P (C / F  )  P (C )

= (0.3)(0.85) + (0.7)(0.35) <0.5

TPee,pla=a,os e+ :1  P ( F ) P (C / F )  P ( F  / C ) =  P (C ) (0.3)(0.85)  P ( F  / C ) =

0.5

= 0.51

1?. Sabemos 6&e #e!e es#&dos s&perores el 1= ; de la pobla%! espa8ola) es#&dos medos 90;) es#&dos prmaros el =; " !o #e!e es#&dos el 10;. Los desempleados !o se ds#rb&"e! propor%o!alme!#e e!#re esas %a#e'or
e!#re los 6&e !o #e!e! es#&dos el @;. Ob#e!'a probabldades de 6&e e-#ra
las

a. !itlado sperior? sabie+do 7e est parado. b. @+ sjeto si+ estdios 7e est e+ paro. c. @+ sjeto co+ estdios pri,arios o 7e est trabaja+do.

("#@CO"G CA!EU"POA  !PA$AV"

E.(periores :(

Categoría estdios E.,edios E.pri,ario (i+   :& s estdios :r :(e

 !"!A#

 !PA$AV":!

0I

65I

2I

63I

/4.5I

(OG  !PA$AV":(!

10 I

35I

1I

3/I

25.5I

 !"!A#

15I

40I

35I

10I

100I

  Su  =  P ( Su ∩ ST )    P ( ST )  ST   

 P 

a

=

0.100 0.255

< 0.3

  Se  =  P ( Se ∩ ST )    P ( ST )  ST   

 P 

b

=

0.370 0.255

=  1.45 c  P ( r ∪ T )

=  P ( r ) +  P ( T ) −  P ( r ∩ T )

= 0.35 + 0.745 − 0.82

= 0.275 1. U!a e!fermedad p&ede es#ar prod&%da por #res ,r&s A) B) " C .E! el labora#oro (a"  #&bos de e!sa"o %o! ,r&s A) * #&bos %o! el ,r&s B " = #&bos %o! el ,r&s C. La probabldad de 6&e el ,r&s A prod&3%a la e!fermedad es de 1) 6&e la prod&3%a B es de * " 6&e la prod&3%a el ,r&s C es de 1@.Se !o%&la &! ,r&s a &! a!mal " %o!#rae la e!fermedad. 5C&2l es la probabldad de 6&e el ,r&s 6&e se !o%&le sea el C7

("#@CO"G *ef+i,os los sigie+tes e)e+tos% A% QElegir + tbo de e+sayo co+ el )irs AR $% QElegir + tbo de e+sayo co+ el )irs $R C% QElegir + tbo de e+sayo co+ el )irs CR E% Qco+traer la e+er,edadR  

Figura:   (/')1/3

 ------------------------ ' 

 (') 3/10

'  (/)2/3

 ------------------------ 

 () 2/10  

  (/ )1/7

() 5/10

--------------------------

 

*ebe,os calclar :C;E. @sa,os el !eore,a de $ayes

 P (C ) P ( E / C )

 :C;E < ero  P (C )

 P ( E )

SSSSSSS :1 =  P ( A) P ( E /  A) +  P ( B) P ( E / B) +  P (C ) P ( E / C )

 P (C )

= (0.3)(1 / 3) + (0.2)(2 / 3) + (0.5)(1 / 7) <0.304

TPee,pla=a,os e+ :1  P (C ) P ( E / C )  P (C / E ) =  P ( E ) (0.5)(1 / 7)  P (C / E )

=

0.304

= 0.23

*0. El @0; de los es#&da!#es apr&eba &!a as'!a#&ra A " &! 0; apr&eba o#ra as'!a#&ra Sabemos) adem2s 6&e ! =; del #o#al apr&eba ambas .Ele'do &! es#&da!#e al a3ar) %al%&lar las probabldades de las s'&e!#es s#&a%o!es. 1. Waya aprobado la asig+atra $? sabie+do 7e La aprobado la A. 2. Waya aprobado la asig+atra $? sabie+do 7e +o La aprobado la A. 3. Go Laya aprobado la asig+atra $? sabie+do 7e La aprobado la A. 4. Go Laya aprobado la asig+atra $? sabie+do 7e +o La aprobado la A. ("#@CO"G *ef+i,os los sigie+tes e)e+tos% A% Qaprobar la asig+atra AR $% Qaprobar la asig+atra $R *el e++ciado del proble,a te+e,os%  :A <0./  :$ < 0.6   :A$<0.35  :A$C<0.35

?  :A C <0.3 ?  :$ C <0.4 ?  :A C$<0.25 ?  :A C$C<0.05

1. :$;A<  :A

 :A$ 0./0

<

0.35

< 0.50

2. :$;AC<  :A C$   :AC 0.30

<

0.25

< 0.3

3. :$C;A<  :A $C  :A 0./0

<

0.35

< 0.50

4. :$C;AC<  :A C$C  :AC 0.30

<

0.05

< 0.16

*1. S H de!o#a el !mero de (oras 6&e &s#ed es#&da d&ra!#e &! d
:<

0.1 si X si X:5-Y si 1

<0 <1 o 2 <3 o 4 e+ otro lgar

a. Cl es la probabilidad de 7e sted estdie por lo ,e+os dos Loras9 Walla+do QYR 0.1Y2Y2YY0<1   Y<0.15

f-4

0 0.1

1 0.15

2 0.3

3 0.3

4 0.15

 P ( x ≥ 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75

O+terpretaciD+% /5I? Lay + /5I de probabilidad 7e sted estdie por lo ,e+os 2 Loras. b. &e+os de tres Loras? eacta,e+te dos Loras. &e+os de 3 Loras%  P ( x < 3) = 0.1 + 0.15 + 0.3 = 0.55

O+terpretaciD+% 55I? Lay + 55I de probabilidad 7e sted estdie por lo ,e+os 3 Loras.

Eacta,e+te 2 Loras%  P ( x

= 2) = 0.3

O+terpretaciD+% 30I? Lay + 30I de probabilidad 7e sted estdie eacta,e+te 2 Loras.

c. *eter,i+e y graf7e la +ciD+ de distribciD+ de Z. (abie+do 7e la +ciD+ de distribciD+ prese+ta +a )ariable discreta? se procede Lallar cada +o de ss )alores. :0<0.1 :1<0.150.1<0.25 :2<0.10.150.3<0.35 :3<0.10.150.30.3<0.5 :4<0.10.150.30.30.15<1

#ego? se procede a grafcar la +ciD+ de distribciD+% 100I 0I 0I /0I 60I 50I 40I 30I 20I 10I 0I

1

2

3

4

d. Calcle e i+terprete la ,edia y la des)iaciD+ est+dar. 

:

 :

 x 2 :

0 1 2

0.1 0.15 0.3

0 0.15 0.6

0 0.15 1.2

3 4  !otal

0.3 0.15

0. 0.6 2.25

2./ 2.4 6.45

• #a ,edia teDrica o espera+=a ,ate,tica es %  µ  =  E ( x) = 2.25  Interpretación :

El +>,ero esperado de Loras 7e sted estdia por día es aproi,ada,e+te 2 Loras.

• #a des)iaciD+ est+dar es % σ  = 6.45 − ( 2.25) 2

= 1.17

 Interpretacion :

El pro,edio de )ariaciD+ del +[ de Loras 7e estdia por dia respecto a s )alor esperado es aproi,ada,e+te 1 Lora.

**. La ,arable alea#ora H #e!e la s'&e!#e f&!%! de ds#rb&%!: :<

0 ] ^ 1

si si si si

\10 10≤\15 15≤\20 _20

a. Calclar% `≤10.5  `_15.5  P ( x ≤ 10.5) +  P ( x ≥ 15.5) < 1;4 3;4<1 b. Calclar% `10.2≤≤15.5  P (10.2 ≤ x ≤ 15.5) < P ( x ≤ 15.5) −  P ( x < 10.2) = 3 / 4 − 1 / 4 = 2 / 4 c. Calclar la +ciD+ de probabilidad de la )ariable aleatoria. 

:

:

 x 2 :

0 10 15 20

0 1;4 2;4 1;4

0 5;2 15;2 5

0 25 225;2 100

15

23/.5

 !otal

d. Calclar la ,edia y la des)iaciD+ est+dar.

• #a ,edia teDrica o espera+=a ,ate,tica es %  µ  =  E ( x) = 15 • #a des)iaciD+ est+dar es %

σ  = 237.5 − (15) 2

= 3.5

*. Sea H &!a ,arable alea#ora %o!#!&a %o! J&!%! de Ds#rb&%!: 0 ? ;2 π  1 ?

:<

≤0 ? 0\≤2 π  2 π 

J `Z< σ 2

(i% E`<  μ y Wallar%  ` μ− σ < x < μ + σ / 2 ¿ Walla+do la ,edia 2 π 

∫

 E ( x )=  x f  ( x ) dx 0 2 π 

2

 x  dx 2 π 

∫

 E ( x )=

0

3 2 π 

x  E ( x )= 6 π 

∫❑ 0

 E ( x ) =

( 2 π )3 6 π 

4

= π 2 =13.159 3

Walla+do la )aria+=a% V  ( x ) = E ( x ) −u = 2

2

(

2 π 

∫ x

2

)

f  ( x ) dx −u

0

2

(∫ ) 2 π 

V  ( x ) =

0

3

 x dx −13.159 2 π 

4 2 π 

x V  ( x ) = 8 π  V  ( x ) =

∫ ❑−13.159 0

( 2 π )4 8 π 

−13.159

V  ( x ) = 2 π  −13.159 =48.853 3

or lo ta+to?

σ =√ 48.853=6.989

Walla+do%  ` μ− σ < x < μ + σ / 2 ¿ Pee,pla=a+do%  `   13.159−6.989 < x < 13.159 + 6.989 / 2 ¿

 `   6.17 < x < 16.653 ¿ i+al,e+te%  `   6.17 < x < 16.653 ¿=1

*9. Por e-pere!%as real3adas se %omprob 6&e la f&!%! de de!sdad de &! fe!me!o alea#oro f&e la s'&e!#e: 3

:<

2

( 1 − x )2

si

0

0\\2

e+ otro lgar

Calclar% a. #a epectati)a y )aria+=a de Z. Walla+do la epectati)a% 2

∫

 E ( x ) =  x f  ( x ) dx 0 2

∫

 E ( x ) =  x 0

3

 3 2

( 1− x )2 dx

2

2

3

3

 E ( x ) =  x − x +  x 4

8

3

 E ( x ) =

4

∫❑ 0

( 2 ) 2 − ( 2 ) 3+ 3 ( 2 ) 4

4

8

 E ( x ) =3− 8 + 6= 1

Walla+do la )aria+=a% V  ( x ) = E ( x ) −u = 2

(

V  ( x ) =

2

∫ x 0

2

2

3 2

(

)

2

∫ x

2

f  ( x ) dx −u

0

2

)

( 1 − x )2 dx −12

( (

V  ( x ) =

∫ 32  x −3 x + 32  x

V  ( x ) =

(

V  ( x ) =

) )

2

2

3

4

dx −1

2

∫ ❑ −1

2

0

 x

3

2

2

3

−  x + 4

3

2

4

−

3 4

4

2

+

3 10

3 10

2

 x

5

0 5

2

)−

V  ( x ) =4 −12 + 9.6 −1=0.6

2

1

b. #a probabilidad 7e + )alor est' co,pre+dido e+tre  y 3;2.  F (1.5) −  F (0.5) 1.5

∫ 3 / 2(1 −  x) dx = 3 / 2 x − 3 / 2 x

 F (1.5) =

2

1.5 2

+  x

0

3

/2

∫  0

 F (1.5) = 3 / 2(1.5) − 3 / 2( 2.25) + 3.375 / 2  F (1.5) = 0.5625 0.5

 F (0.5) =

∫ 3 / 2(1 −  x)

2

0

 F (0.5) = 3 / 2(0.5) − 3 / 2(0.25) + 0.125 / 2  F (0.5) = 0.4375

or lo ta+to  F (1.5) − F (0.5) = 0.5625 − 0.4375 = 0.125 *=. La %&ar#a par#e de los %o!d&%#ores de %o%(e so! m&/eres. La probabldad de 6&e &!a m&/er s&fra &! a%%de!#e e! &! a8o es de =10000 " para los (ombres es de 110000. Cal%lese la probabldad de 6&e s a%ae%e) el a%%de!#ado sea (ombre.

Wo,bres :W 1;10000 ^

Accide+tes :A Co+dctores

 P

(eg>+ el teore,a de $ayes% E  P ( E K  ) P  E K   E K 

( )= ∑

( ) ) ( )

n

 E

i=1

 P ( Ei  P

 E  Ei

Pee,pla=a+do%

( )

 H  =  P  A

 P ( H ) P  P ( H  ) P

( )

3

 P

( )

 H  =  A

4 3 4

×

( )  A  H 

( )

 A A + P ( M ) P  H   M 

×

1 10000

1 10000 1

5

4

10000

+ ×

&jeres :& 5;10000 1;4

 P

( )

 H  =0.375 =37.5  A

O+terpretaciD+% 3/.5I? eiste + 3/.5I de probabilidad 7e el co+dctor accide+tado sea Lo,bre.

*. E! &! %amp&s &!,ers#aro e-s#e!  %arreras sa!#aras. Se sabe 6&e el =0; %&rsa! es#&dos de E!fermer
 !otal Carrera f+ali=ada

E+er,ería

&edici+a

Jeteri+aria

50I

30I

20I

20I

10I

5I

:C<

20 + 10 + 5 50 + 30 + 20

<

35 100

<35I

O+terpretaciD+% 35I? eiste + 35I de probabilidad 7e + estdia+te elegido al a=ar Laya acabado la carrera. *@. Para es#&dar la re'&la%! (ormo!al de &!a l
• Walla+do p%  p=

4 20

=20 =0.2

• +<10 • (i p<0.2 :probabilidad 7e )i)a+? e+to+ces% 7<0. •

:probabilidad 7e ,era+. (i se desea 7e al ,e+os  ratas llege+ )i)as al f+al del eperi,e+to :? ?10 ratas? e+to+ces se desea 7e ,era+ a lo ,e+os 2 :0?1 o 2 ratas. E+ otras palabras  :_<  :y≤2

E+to+ces%

(eg>+ la distribciD+ bi+o,ial%

{

R= 0,1,2, … , n  x  x n− x f  ( x )= n  p q  x

()

*o+de%

+< G>,ero de prebas ,ero de 'itos +-,ero de racasos p
  :y≤2 :para )ariables discretas<  :y<0 :y<1 :y<2

( ) ( = )= ( )

0 10  P ( y =0 ) = 10 0.2 × 0.8 =0.107

0

 P  y  P ( y =2 )=

( ) 10

2

0.2

2

1

1 9 10 0.2 × 0.8 =0.268 1

8

× 0.8 =0.302

E+to+ces%  :y≤2 <  :y<0 :y<1 :y<2 < 0.6// O+terpretaciD+% 6/?/I? Lay + 6/?/I de probabilidad 7e al ,e+os  rato+es llege+ )i)os al f+al del eperi,e+to.

*?. E! &!a %er#a pobla%! se (a obser,ado &! !mero medo a!&al de m&er#es por %2!%er de p&lm! de 1*. S el !mero de m&er#es %a&sadas por la e!fermedad s'&e &!a ds#rb&%! de Posso!) 5%&2l es la probabldad de 6&e d&ra!#e el a8o e! %&rso7 a. Waya eacta,e+te 10 ,ertes por c+cer de pl,D+. (eg>+ la distribciD+ de oisso+%  R =0,1,2, … , ∞ − λ  x  x = e  λ f  ( x ) =  x !

{

*o+de% % G>,ero pro,edio de aco+teci,ie+to  ocrre+cias % G>,ero de 'itos e% 2./121.. (abie+do 7e% <12 %10 −12 10 e × 12 =0.105  P ( x = 10 )= 10 !

O+terpretaciD+% 10?5I? eiste + 10?5I de probabilidad 7e Laya eacta,e+te 10 ,ertes por c+cer de pl,D+. b. 15 o ,s perso+as ,era+ a casa de la e+er,edad  P ( x  15 ) =1− P ( x  14 ) =1−0.772 =0.228

O+terpretaciD+% 22?I? eiste + 22?I de probabilidad 7e 15 o ,s perso+as ,era+ a casa de c+cer de pl,D+. c. 10 o ,e+os perso+as ,era+ a casa de la e+er,edad.  P ( x ! 10 )=0.3472

O+terpretaciD+% 34?/I? eiste + 34?/I de probabilidad 7e 10 o ,e+os perso+as ,era+ a casa de la e+er,edad. *. Da8a!do los %romosomas del ,&lo o del esperma#o3ode) p&ede! %a&sarse m&#a%o!es 6&e %o!d&%e! a abor#os) defe%#os de !a%me!#o) " o#ras de%e!%as 'e!$#%as. La probabldad de 6&e #al m&#a%! se prod&3%a por rada%! es del 10;. De las s'&e!#es 1=0 m&#a%o!es %a&sadas por %romosomas da8ados) 5%&2!#as se esperar
×  150 < 15

O+terpretaciD+% 15? se espera 7e 15 ,tacio+es sea+ a casa de las radiacio+es. #ego%  P ( x = 10 )=

−15

e

10

× 15 10 !

<0.115

O+terpretaciD+% 11?I M Lay + 11?I de probabilidad 7e 10 ,tacio+es sea+ a casa de radiacio+es. 0. E!#re los dab$#%os) el !,el de 'l&%osa e! sa!'re H) e! a"&!as) p&ede s&po!erse de ds#rb&%! apro-madame!#e !ormal) %o! meda 10 m'100 ml " des,a%! #
G : μ <106? a. Wallar `≤120

2

σ 

<64

*e acerdo a la distribciD+ +or,al%

 x

{

R=−∞ < " < ∞

f  ( x )=

1

√ 2 π 

 ( )

2

−1  x− μ

e

2

σ 

E+to+ces% 120

∫ √ 21 π  e

 `≤120<

 (

− 1  x −106 2

8

)

2

−∞

*o+de  " =

120−106 8

120

 `≤120<

∫ √ 21 π  e

 (

−1  x − 106 2

8

=1.75

) =0.9599 2

−∞

O+terpretaciD+% 5?I? Lay + 5?I de diab'ticos 7e prese+te+ glcosa i+erior o igal a 120 ,g;100 ,l b. ' porce+taje de diab'ticos tie+e+ +i)eles co,pre+didos e+tre 0 y 120. #a preg+ta es%  `0≤≤120<  `≤120-  `≤0 Walla+do%

 `≤0 90

∫ √ 21 π  e

 `≤0<

 (

−1  x − 106 2

8

)

2

−∞

*o+de  " =

90−106 8 90

 `≤0<

=−2 ? e+to+ces  :-2< 1- :2

∫ √ 21 π  e

 (

−1  x − 106 2

8

) =1−0.9772 =0.0228 2

−∞

Walla+do%

 `≤120  `≤120<

  0.9599

or lo ta+to%  `0≤≤120<  `≤120-  `≤0<0.50.022<0.3/1 O+terpretaciD+% 3?/I? Lay + 3?/I de diab'ticos 7e prese+te+ glcosa e+tre 0 ,g;100 ,l y 120 ,g;100,l. c. Wallar `106≤≤120  `106≤≤120<  `≤120-  `≤106 Walla+do%

 `≤106

∫ √ 21 π  e  (

− 1  x −106

106

 `≤106<

2

8

)

2

−∞

*o+de  " =

106−106 8

 `≤106< Walla+do%

 `≤120  `≤120<

=0

0.50

  0.9599

E+to+ces%  `106≤≤120<  `≤120-  `≤106 < 0.50.50 < 0.45 O+terpretaciD+% 45?I? Lay + 45?I de diab'ticos 7e prese+te+ glcosa e+tre 106 ,g;100 ,l y 120 ,g; 100 ,l.

d. Wallar `≤121

∫ √ 21 π  e  (

121

 `≤121<

− 1  x −106 2

8

)

2

−∞

*o+de  " =

121−106 8

=1.875

≃

1.88

 `≤121<0.6 O+terpretaciD+% 6?I? Lay + 6?I de diab'ticos 7e prese+te+ glcosa i+erior o igal a 121 ,g;100 ,l

e. Wallar el p+to  caracteri=ado por la propiedad de 7e el 25I de todos los diab'ticos tie+e + +i)el de glcosa e+ ay+as i+erior o igal a . *e acerdo a las tablas de distribciD+ +or,al ac,lati)a? co,o prese+ta )alores positi)os? e+to+ces se co+siderar de la sigie+te or,a :co+ocie+do 7e e+ )alores positi)os se e+ce+tra )alores e+tre 0.5 y aproi,ada,e+te 1 0.25<1-0./5 $sca+do los )alores e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a% = se e+ce+tra aproi,ada,e+te e+ 0.6. ara poder to,ar el 0.25 se co+sidera a 0. +egati)o? por lo ta+to% <-0.6

Co,o se desea Lallar ? e+to+ces%  " =

 x −106 8

=−0.68 E+to+ces% < 100.56 aproi,ada,e+te.

O+terpretaciD+% El 25I de todos los diab'ticos tie+e+ ,e+os de 100.56 ,g;,l aproi,ada,e+te.

1. U!a pr&eba de labora#oro para de#e%#ar (ero
a  P ( x ≤ 60) (i n = 6  x ≤ 5 .  P ( x ≤ 5) <

( )(0.92) 6 0

0

(0.08) 6 + ( 16 )(0.92)1 (0.08)5 + ( 62 ) (0.92) 2 (0.08) 3 + ( 36 ) (0.92)3 (0.08) 2 + ( 64 ) (0.92) 4 (0.08) 2 + ( 65 )(0.92)5 (0.08)1

 P ( x ≤ 5) < 0.3 b  p( X  < 60)  (i n = 6  X  < 5 .  P ( X  < 5) =  P ( X  ≤ 5) −  P ( X  = 5) = 0.39 − 0.32 = 0.07

c  P ( X  = 60)  (i n = 6  x = 5

( )(0.92) 6 5

5

(0.08)1

= 0.32

*. El 10; de las perso!as #e!e al'! #po de aler'a. Se sele%%o!a! alea#orame!#e 100 !d,d&os " se les e!#re,s#a. Fallar la probabldad de 6&e) al me!os) 1* #e!'a! al'! #po de aler'a. Fallar la probabldad de 6&e) %omo m2-mo) ? sea! al$r'%os a al'o.  P  = 10% = 0.1

n = 100 (i + < 25

a  P ( x ≥ 12) =  P ( x ≥ 3) = 1 − P ( x ≤ 2) 0 25  P ( x ≤ 2) = ( 25 + ( 125 ) (0.1)1 (0.9) 24 + ( 252 ) (0.1) 2 (0.9) 23 0 ) (0.1) (0.9)

 P ( x ≤ 2) = 0.535  P ( x ≥ 3) = 1 − 0.535 = 0.465

b  P ( x ≤ 8) =  P ( x ≤ 2)  P ( x ≤ 2) = 0.535

. La Probabldad de m&er#e res&l#a!#e del &so de p
b Cl es la probabilidad de 7e Laya? co,o ,i,o? 25 de estas ,ertes9  P ( x ≤ 25) ara + < 40000M  P ( x ≤ 1)  P ( x ≤ 1) = (040000)(3 x10−6 ) 0 (1 − 3 x10−6 ) 40000 + (140000 )(3 x10 −6 )1 (1 − 3x10 −6 )39999  P ( x ≤ 1) = 0.99

c Cl es la probabilidad de 7e el +>,ero de ,ertes debidas a esta casa este e+tre 25 y 35? i+clsi)e9

9. La probabldad de prese!#ar &!a %ara%#er
a !o,a+do +a ,estra de  i+di)idos? calclar la probabilidad de 7e tres i+di)idos prese+te+ la característica. n=8

 P ( x = 3) = ( 83 ) (0.05) 3 (1 − 0.05) 5

 P ( x = 3) = 0.00539

b !o,a+do +a ,estra de 0 perso+as? Cl ser la probabilidad de 7e apare=ca+ ,s de 5 i+di)idos co+ la característica9 n = 80  P ( x > 5) = 1 − P ( x ≤ 5)  P ( x > 5) = 1 −

5

∑(

80 i

)(0.05) (1 − p) − i

n i

i =0

=. Se s&po!e 6&e e! %er#a pobla%! (&ma!a el índice cefálico ) %o%e!#e e!#re el d2me#ro #ra!s,ersal " el lo!'#&d!al e-presado e! #a!#o por %e!#o4) se ds#rb&"e se'! &!a !ormal. El =?; de los (ab#a!#es so! dol%o%$falos  i ≤ 75 4) el ?; so! meso%$falos  75 < i ≤ 80 4 " el 9; so! bra6&%$falos  i > 80 4. F2llese la meda " la des,a%! #
 P ( Z  ≤  Z 1 ) = 0.58  Z 1 = 0.21 0.21 =

75 − µ 

σ 

S1

 P ( x ≤ 80) = 0.96

 P ( Z  ≤ Z 2 ) = 0.96  Z 2  = 1.76 1.76 =

 80 − µ 

σ 

S2

*e 1 y 2  µ  = 74.32

σ  = 3.23 . Se s&po!e 6&e la 'l&%ema basal e! !d,d&os sa!os) H') s'&e &!a ds#rb&%!

 X  g  →  N ( µ  = 80, σ  = 10)

me!#ras 6&e los dab$#%os

 X  →  N ( µ  = 160, σ  = 31.4) Hd) s'&e &!a ds#rb&%! d  . S se %o!,e!e %las%ar e! %las%ar %omo sa!os al *; de los dab$#%os a or debajo de 7e )alor se co+sidera sa+o a + i+di)ido9 C+tos sa+os ser+ clasifcados co,o diab'ticos9  P ( x ≤  x1 ) = 0.02

 P ( Z  ≤  Z 1 ) = 0.02  P ( Z  ≤ − Z 1 ) = 0.98  Z 1

= −2.06

− 2.06 =

X 1 − 160 31,4

 X 1 = 95.316

b (e sabe 7e e+ la poblaciD+ e+ ge+eral el 10I de los i+di)idos so+ diab'ticos Cl es la probabilidad de 7e + i+di)ido elegido al a=ar y diag+osticado co,o diab'tico? real,e+te lo sea9

@. S&p!'ase 6&e se ,a! a &#l3ar *0 ra#as e! &! es#&do de a'e!#es %oa'&la!#es de la sa!'re. Como prmera e-pere!%a) se do &! a!#%oa'&la!#e a 10 de ellas) pero por !ad,er#e!%a se p&sero! #odas s! mar%as e! el msmo re%!#o. Se !e%es#aro! 1* ra#as para la se'&!da fase del es#&do " se les #omo al a3ar s! reempla3ame!#o. 5C&2l es la probabldad de 6&e de las 1* ele'das  #e!'a! la dro'a "  !o la #e!'a!7 n = 20  p = 0.5  P ( x = 6) = ( 620 ) (0.5) 6 (0.5)14  P ( x = 6) = 0.055

?. El dal#o!smo afe%#a al 1; de &!a pobla%! 'ra!de) S&po!'a 6&e se es%o'e! perso!as alea#orame!#e de es#a pobla%!. a. Cal es la probabilidad de 7e +i+g+a de las + perso+as sea+ dalto+ia+os <0.01 <0? 1? 2?3S+ +<9   Walla+do%  P ( x = 0) =  f  ( x = 0) = ( 3n )(0.01) 0 (0.99) n −0

<

(0.99) n

b. e ta,a8o debe te+er + para 7e esta probabilidad sea ,ayor 7e el 10I

. S&p!'ase 6&e la #asa de mor#aldad para %er#a e!fermedad es de 0.10 " 6&e la %o!#rae! 10 perso!as de la %om&!dad. 5C&2l es la probabldad de 6&e7   p<0.10   7<0.   +<10 a Gi+g+a sobre)i)a9  P ( x

= 0) =  f  ( x = 0) = (100 )(0.10) 0 (0.9)10 = (0.9)10

b El 50 por cie+to ,era9  P ( x

= 0.5) =  f  ( x = 0.5) = (100.5 )(0.10) 0.5 (0.9) 9.5

c Al ,e+os 3 ,era+9  P ( x ≥ 3) =  f  ( x ≥ 3) = 1 −  P ( x ≤ 2)  P ( x ≤ 2) =  f  (2) +  f  (1) +  f  (0)

= 1) =  f  ( x = 1) = (101 )(0.10)1 (0.9) 9 2 8  P ( x = 2) =  f  ( x = 2) = (10 2 )(0.10) (0.9)  P ( x

or lo ta+to% 1-:<2<1-

{(

10 2

)(0.10) 2 (0.9) 8

+ (101 )(0.10)1 (0.9) 9 + (0.9)10 }

d Eacta,e+te 3 ,era+9  P ( x

= 3) =

f  (3)

= (103 )(0.10) 3 (0.9) 7

90. Dada &!a ,arable alea#ora b!omal %o! &!a meda de *0 " &!a ,ara!3a de 1) e!%&e!#re ! " p.

 µ  =  E ( x) = 20 = np σ  2

= 16 = npq

T*i)idie+do% np 20 16 q

=

npq

= 0.8

or lo ta+to%  p

= 1 − 0.8 = 0.2

TWalla+do Q+R% 20 = n( 100

=

2

10 n

)

91. E! promedo) %!%o f&madores pasa! por la es6&!a de %er#a %alle %ada de3 m!&#os. 5C&2l es la probabldad7 a de 7e dra+te + período de 10 ,i+tos el +>,ero de ,adores 7e pasa+ por la es7i+a sea de seis o ,e+os9 Tλ < 5 ,adores e+ 10 ,i+tos.  P ( x ≤ 6)  P ( x ≤ 6)  P ( x

≤ 6) =

e −5 5 0

e − λ λ i

i =0

i

6

e −5 5 x

 x =0

 x

=∑ =∑ +

0

 x

 P ( x ≤ 6)

e −5 51

+ ... +

1

e −5 5 6 6

= 0.762

T!a,bi'+ se pede desarrollar aplica+do la tabla de oisso+.  P ( x ≤ 6)

= 0.762

b de 7e dra+te + período de 5 ,i+tos el +>,ero de ,adores 7e pasa+ por la es7i+a sea siete o ,s9 T(i se sabe 7e% λ < 5 ,adores e+ 10 ,i+tosM por lo ta+to% ,adores e+ 5 ,i+tos.  P ( x ≥ 7 )

= 1 −  P ( x ≤ 6)

*esarrolla,os%  P ( x ≤ 6)

 P ( x ≤ 6)

 x

e − λ λ i

i =0

i

=∑ 6

=∑

e − 2.5 2.5

 x

 x =0

 P ( x ≤ 6)

=

e −2.5 2.5 0 0

+

e −2.5 2.51

 P ( x ≤ 6)

 x

1

+ ... +

= 0.987

Pee,pla=a,os e+ la Dr,la%  P ( x ≥ 7 )

= 1 − P ( x ≤ 6)  P ( x ≥ 7 ) = 1 − 0.987  P ( x ≥ 7 ) = 0.013

e −2.5 2.5 6 6

λ  < 2.5

c de 7e dra+te + período de 20 ,i+tos el +>,ero de ,adores 7e pasa+ por la es7i+a sea eacta,e+te ocLo9 T(i se sabe 7e% λ < 5 ,adores e+ 10 ,i+tosM por lo ta+to% ,adores e+ 20 ,i+tos.  P ( x = 8) =  P ( x ≤ 8) −  P ( x ≤ 7)

λ < 10

TAplica+do la tabla de oisso+%

= 8) = 0.333 − 0.220  P ( x = 8) = 0.113

 P ( x

9. S&p!'ase 6&e &!a ,arable H m&es#ra &!a ds#rb&%! !ormal %o! &!a ,ara!3a de 100. Dado 6&e 0.0?= de los ,alores de so! ma"ores de @0) 5C&2l es el ,alor medo de H7 J: <

σ2 < 100M σ < 10.

: > /0 < 0.05? es e7i)ale+te a decir%  :

≤ /0 < 0.015

 P ( x ≤ 70) =  0.9015 70 − µ    =  P    Z  ≤  = 0.9015 σ     

TPe)isa+do e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a%  P ( Z ) =  0.9015  Z  = 1.35

T*esarrolla,os% 70 − µ  10

= 1.35

 µ  = 56.5

99. Las %al%a%o!es ob#e!das e! %er#a pr&eba de ap##&des por es#&da!#es de med%!a es#2! ds#rb&das e! forma apro-madame!#e !ormal %o! &!a meda de =00 " &!a ,ara!3a de 10000. a ' proporciD+ de califcacio+es est+ por debajo de 2009

µ<500 σ<100  P ( x < 200)

200 − 500   =  P    Z  ≤   100     =  P ( Z  ≤ −3) = 1 −  P ( Z  ≤ 3) = 1 − 0.9987 = 0.0013

b @+ estdia+te est a p+to de Lacer la preba% Cl es la probabilidad de 7e obte+ga +a califcaciD+ de 650 o ,s9  P ( x ≥ 650)

= 1 −  P ( x ≤ 650)  650 − 500   = 1 −  P    Z  ≤   100      = 1 − [ P ( Z  ≤ 1.5) ] = 1 − 0.9332 = 0.0668 c ' proporciD+ de califcacio+es est e+tre 350 y 6/59  P ( 350 ≤ x ≤ 675)

=  P ( x ≤ 675) −  P ( x ≤ 350) 675 - 500     350 − 500   =  P    ≤  −  P  Z  ≤   100   100       =  P ( Z  ≤ 1.75) −  P ( Z  ≤ −1.5) = 0.9599 − [1 −  P ( Z  ≤ 1.5) ] = 0.9599 − [1 − 0.9332] = 0.8931

9=. S las %o!%e!#ra%o!es de %oles#erol #o#al para %er#a pobla%! es#2! ds#rb&das e! forma apro-madame!#e !ormal %o! &!a meda de *00 m'100ml " &!a des,a%! es#2!dar de *0 m'100ml) e!%&e!#re la probabldad de 6&e &! !d,d&o sele%%o!ado al a3ar de d%(a pobla%! #e!'a &!a %o!%e!#ra%! de %oles#erol: a E+tre 10 y 200 ,g;100,l.

µ < 200 ,g;100,l σ < 20 ,g;100,l

 P (180 ≤  x

≤ 200) =  P ( x ≤ 200) −  P ( x ≤ 180) 200 − 200     180 − 200   =  P    Z  ≤  −  P  Z  ≤   20 20         =  P ( Z  ≤ 0) −  P ( Z  ≤ −1) = 0.5 − [1 −  P ( Z  ≤ 1) ] = 0.5 − [1 − 0.8413] = 0.3413 b &ayor de 225 ,g;100,l.

> 225) = 1 −  P ( x ≤ 225) 225 − 200   = 1 −  P    Z  ≤   20     = 1 −  P ( Z  ≤ 1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056  P ( x

c &e+or de 150 ,g;100,l.  P ( x < 150) 150 − 200   =  P    Z  ≤   20     =  P ( Z  ≤ −2.5) = 1 −  P ( Z  ≤ 2.5) = 1 − 0.9938 = 0.0062

9. Los re's#ros de p$rdda de peso por e,apora%! de %er#o prod&%#o empa%ado m&es#ra! &!a p$rdda meda de .9= 'ramos %o! &!a des,a%! es#2!dar de 1.0. As&me!do &!a ds#rb&%! !ormal. 5C&2l es la probabldad de 6&e s se e-#rae! dos pa6&e#es al a3ar de &! lo#e ambas m&es#ra! &!a p$rdda de m2s de ? 'ramos7

µ < 6.45M σ < 1.30 TWalla,os pri,ero la probabilidad 7e 1 pa7ete ,estre +a p'rdida de ,s de  gra,os.  P ( x > 8)

=

p

1 −  P ( x < 8)

=p  P ( x < 8) = 1 − p   8 − µ   = 1 −  p  P  Z  ≤   σ        8 − 6.45  = 1 −  p  P  Z  ≤   1.30      P ( Z  ≤ 1.19) = 1 − p TPe)isa+do e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a%  P ( Z ) =  0.8830  Z  = 1.19

T*esarrolla,os% 0.8830  p

= 1 −  p

= 0.1170

TALora aplica,os la Dr,la para Lallar de 2 pa7etes%  n    x n− x      p q  x     *o+de% +<2M <2M p<0.11/0? 7<0.30

 2      0,1170 2 0,8830 2− 2    2   = 0.013689 9@. U!a ,arable alea#ora H se ds#rb&"e !ormalme!#e. S EKH *? " PKH100.?91> de#erm!ar:  " *.  P ( X  < 10)

= 0.8413   10 − µ   = 0.8413  P  Z  <   σ       Z 0 = 1  Z  =

 X  − µ 

σ  σ  = 10 − µ 

TEle)a,os%

σ  2

= 100 − 20 µ  + µ 2

T@sa,os la Dr,la%

σ  2

=  E ( X  2 ) − µ 2

σ  2

= 68 − µ 2

TPee,pla=a,os% 68 −  µ 2

= 100 − 20 µ  + µ 2  µ 2 = 10µ  − 16  µ 2 − 10µ  = −16  µ ( µ  − 10) = 2( 2 − 10)  µ  = 2

TPee,pla=a+do%

= 68 − µ 2  2 σ  2 = 68 − ( 2 ) σ  2 = 64 σ  2

9?. El adm!s#rador de &! (osp#al pe!sa 6&e el #empo promedo 6&e &#l3a! los odo!#lo'os para efe%#&ar &!a prola-s es de 1*.9 m!&#os. S el 1?; de los odo!#lo'os demorar2! e! efe%#&ar &!a prola-s e! m2s de 1= m!&#os. S&po!e!do 6&e los #empos e! real3ar &!a prola-s se ds#rb&"e! !ormalme!#e. 5C&2l es la des,a%! es#2!dar7

µ < 12.4M σ < 9  P ( x > 15)

= 0.18 1 − [ P ( x ≤ 15) ] = 0.18  P ( x ≤ 15) = 0.82   15 − 12.4  = 0.82  P  Z  ≤   σ      TPe)isa+do e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a%  P ( Z ) =  0.8212  Z  = 0.92

T*esarrolla,os% 15 − 12.4

σ  σ  =

= 0.92

2.6

0.92 σ  = 2.83

9. E! &! 'ra! 'r&po de pa%e!#es %oro!aros se obser,a 6&e s&s !,eles de %oles#erol e! el s&ero se apro-ma a &!a ds#rb&%! !ormal. Se obser, 6&e el 10; del 'r&po prese!#a !,eles de

%oles#erol !ferores a 1?*. m'100ml. Me!#ras 6&e el =; #e! 35 < 0.05 T*esarrolla+do :O%  P ( x < 182.3)

= 0.1 1 −  P ( x < 182.3) = 0.1  P ( x < 182.3) = 0.9   182.3 − µ   = 0.9  P  Z  ≤   σ      TPe)isa+do e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a%  P ( Z ) =  0.9015  Z  = 1.29

T*esarrolla,os% 182.3 − µ 

σ 

= −1.29

SSSS..:OOO

T*esarrolla+do :OO%  P ( x > 359)

= 0.05 1 −  P ( x < 359) = 0.05  P ( x < 359) = 0.95   359 − µ   = 0.95  P  Z  ≤   σ      TPe)isa+do e+ la tabla de distribciD+ +or,al ac,lati)a%  P ( Z ) =  0.9505  Z  = 1.65

T*esarrolla,os% 359 − µ 

σ 

= 1.65

SSSS..:OJ

TOgala,os :OOO y :OJ% 182.3 −  µ 

=

359 − µ 

− 1.29 1.65 (1.65)(182.3 −  µ ) = (−1.29)(359 − µ )  µ  = 259.83 TPee,pla=ar e+%