Ejercicios propuestos en la diapositiva.Considere una media de peso de d e estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs?
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2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs?
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3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs?
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4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?
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5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs?
( )
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Ejercicios propuestos en el libro de texto: James Evans (pág. 580) 8. Kiwi Blend se vende en latas de 950 mililitros (ml). El volumen medio de jugo en una lata es de 927.5 ml con una desviación estándar de 15 ml. Suponiendo una distribución normal, ¿qué probabilidad hay de que haya más de 950 ml en una lata?
()
( )
( ) 9. Al llenar las botellas de L & E Cola, es preciso mantener lo más baja posible la cantidad promedio de llenado excesivo ó incompleto. Si el volumen medio de llenado es de 12.1 onzas y la desviación estándar de 0.05 onzas, a) ¿qué porcentaje de botellas tendrán menos de 12 onzas? o b) ¿más de 12.25 onzas (suponiendo que no haya llenado excesivo)? Parte a)
()
( )
( )
Parte b)
()
( )
( )
10. La desviación estándar del peso de los envases llenos de sal Martin es de 16.8 onzas. Si 2.5 por ciento de los envases contienen menos de 16 onzas, ¿cuál es el peso medio de llenado de los envases?
( )
()()
11. Si en una línea de llenado de A& C Foods, Ltd., el volumen medio de llenado para las bolsas de arroz es de 475 gramos y la desviación estándar de 10 gramos, a) ¿qué porcentaje de las latas tendrá menos de 450 gramos? o b) ¿más de 485 gramos (suponiendo que no haya llenado excesivo)? Parte a)
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( )
Parte b)
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( )
( )
Ejercicios propuestos en el libro de te xto: Gutiérrez Pulido (Pág. 161)
12. En una empresa se llevan los registros del numero de fallas de equipos por mes; la media es de 10 y la mediana es de 56.
a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿Qué número reportará? Utilizaría la mediana, indicando que la mitad de las fallas de los equipos son 5 fallas o menos al mes. Es mas confiable en este caso.
b- ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debio a que en varios mese ocurrieron pocas fallas? No, sino que existieron numeros atipicos, o muy altos o bajos con relacion al valor medio, por lo cual la media parece inflada, es decir el valor es mucho mayor que la mediana, entonces la mayor concentración de datos se estima lo re fleja la mediana.
13. Un aspecto clave de la calidad de cierto producto es su peso: la norma establece que su peso minimo sea de 2 kg. El ingeniero de produccion informa que se esta cumpliendo con tal norma, ya que el peso promedio del producto es de 2.2 kg. ¿Esta usted de acuerdo con ingeniero?
Si, pues dentro de la industria el promedio es de 2.2 kg, los datos se encuentran tanto por encima o por debajo de este valor; a considerar que la tolerancia debe ser (para cumplir con el requerimiento) debe de ser ± 2.
14. Tres máquinas A, B y C realizan cortes de manera automática de ciertas tiras de hule. La longitud ideal de las tiras es de 90 cm, con una tolerancia de ± 2cm. Se toma una muestra de 80 piezas de la producción de una semana de cada máquina.
a) La longitud promedio de las 80 tiras de cada máquina son: A, 90; B, 90.5; C, 92. ¿Con base a esto se puede decidir cuál máquina es mejor? Con esta simple información no es posible decidir cuál es la mejor máquina debido a que los valores de la media pueden verse afectados grandemente por los valores atípicos, aquellos que se alejan mucho de los demás, por lo tanto no se tiene certeza del comportamiento real de cada máquina.
b) Si además la desviación estándar obtenida es: A, 1.5; B, 1.0; C, 0.5, decida cuál máquina estuvo funcionando mejor. Aplique la regla empírica. Regla empírica: Máquina A: 90 – 3(1.5) = 85.5
90 + 3(1.5) = 94.5
Máquina B: 90.5 – 3(1) = 87.5
90.5 + 3(1) = 93.5
Máquina C: 92 – 3(0.5) = 90.5
92 + 3(0.5) = 93.5
Observando los valores de variabilidad obtenidos mediante la desviación estándar y basándonos en la regla empírica se puede afirmar que la máquina C estuvo trabajando mejor ya que el 99.7% de los cortes estuvieron en un rango dentro 90.5- 93.5 lo cual se acerca más al valor deseado de 90 ± 2 cm.
15. En el ejemplo 8.2 se detectó que se tienen problemas con el grosor de las láminas porque no se cumple con las especificaciones: 5mm ± 0.8mm. Con el objetivo de corregir tal situación, un equipo genera un proyecto de mejora. Para verificar si las acciones ejecutadas dieron resultado, se toman aleatoriamente 45 láminas de una semana posterior a las modificaciones. Los espesores obtenidos se muestran a continuación: 5.2
5.4
5.4
4.7
5.1
4.7
5.0
5.1
5.0
4.9
4.3
4.7
5.3
4.6
4.8
4.4
4.7
4.9
5.6
4.7
4.7
4.5
5.1
4.7
4.7
5.1
5.3
5.0
5.3
4.5
4.4
4.7
5.6
5.2
4.7
4.6
5.0
5.4
4.7
4.8
5.2
5.1
4.9
5.0
5.0
a) Calcule la media, la mediana y desviación estándar y, comparándolas con las respectivas estadísticas antes de la mejora, decida si el plan dio resultado.
∑
Para obtener la mediana ordenamos los valores en or den ascendente y buscamos el valor central. 4.3
4.4
4.4
4.5
4.5
4.6
4.6
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.7
4.8
4.8
4.9
4.9
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.1
5.1
5.1
5.1
5.1
5.2
5.2
5.2
5.3
5.3
5.3
5.4
5.4
5.4
5.6
5.6
Mediana = 4.9 Cálculo de la desviación estándar: S=
̂ ∑()
= 0.32
Al comparar estos estadísticos con los anteriores se puede afirmar que el plan dio resultado ya que tanto la media como la mediana están más cercanas al valor objetivo, además la desviación estándar es menor por lo tanto, la variabilidad con relación a la media ha disminuido.
b) Construya un histograma e inserte en él las especificaciones y, comparándolo con el histograma antes de la mejora. Investigue si el plan fue exitoso. Datos para el histograma:
N
45.0
Rango
1.3
4.9
Máx.
5.6
Min
4.3
#clase
6.7
Longitud
0.2
Histograma
16
Especificaciones
14
Especificaciones
12 y c n e u q e r F
10 8 6 4 2 0 4.3
4.5
4.8
5.1
5.4
5.7
More
Al analizar el histograma, y compararlo con el de antes de la mejora, se puede observar que los valores se encuentran dentro de las especificaciones, lo que evidencia que el plan ha sido exitoso.
16. Una característica clave en la calidad de la pintura es su densidad en lo cual influye la cantidad de arena. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla con base en el número de costales, que según el proveedor deben contener 20 kg. Sin embargo continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura…..En este contexto la empresa quiere averiguar cuanta arena en realidad contienen los costales. Se toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote (500 costales). Los pesos obtenidos fueron: Lote
1
2
Peso de los costales de la muestra (kg) 18.6
19.2
19.5
19.2
18.9
19.4
19.0
20.0
19.3
20.0
18.8
19.3
19.1
18.6
19.4
18.7
21.0
19.8
19.0
18.6
19.6
19.0
19.1
19.1
19.6
19.4
19.8
19.1
20.0
20.4
18.6
19.9
18.8
18.4
19.0
20.1
19.7
19.3
20.7
19.6
18.9
18.4
19.5
19.1
18.5
19.6
19.4
19.6
20.3
18.8
19.2
20.6
19.0
19.7
20.0
18.4
18.9
19.7
17.8
19.4
3
20.1
20.2
21.0
19.7
20.1
20.0
19.1
20.4
19.6
20.6
19.9
20.3
20.0
19.7
20.8
19.7
19.7
20.4
19.8
20.5
20.0
20.0
20.4
20.2
20.2
19.7
20.0
19.6
19.7
19.8
a) Las tolerancias que se establecen para los costales de arena son de 20 ± 0.5. Calcule los estadísticos básicos para las muestras y decida si la calidad es satisfactoria. Para el lote 1.
∑
Mediana = 19.25 Moda = 19.1 Cálculo de la desviación estándar:
S=
̂ ∑()
= 0.56
Para el lote 2.
∑
Mediana = 19.35 Moda = 18.4 Cálculo de la desviación estándar:
S=
̂ ∑()
= 0.69
Para el lote 3.
∑
Mediana = 20 Moda = 19.7 Cálculo de la desviación estándar:
S=
̂ ∑()
= 0.40
Tabla resumen estadísticos:
Lote 1
Lote 2
Lote 3
Media
19.35
19.30
20.04
Mediana
19.25
19.35
20.00
Moda
19.10
18.40
19.70
0.56
0.69
0.40
Desviación estándar
A partir de los estadísticos obtenidos de cada una de las muestras se observa que existen diferencias significativas entre los valores de las muestras y las especificaciones del peso de los costales de arena. En promedio los valores de los lotes 1 y 2 están por debajo del valor mínimo aceptable.
b) Calcule los estadísticos básicos para los 90 datos y dé su opinión global sobre el peso de los costales. c)
∑
Mediana = 19.6 Moda = 20 Cálculo de la desviación estándar:
S=
̂ ∑()
= 0.65
La media y la mediana tienen valores similares, el valor de estas es cercano al límite inferior de tolerancia 20 ± 0.5. Si se toma en cuenta la desviación estándar se puede inferir que cierta cantidad de valores están por debajo y por encima de los límites de tolerancias.
d) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones y obtenga una conclusión general sobre el peso de los bultos.
Histograma
25
23
20 17 a i c n e u c e r F
Especificaciones 19.5 – 20.5 18
15 11
10
10
4
5 1
4 2
0
El histograma muestra que los datos siguen una distribución normal, centrados alrededor de la media. Partiendo de la normalidad de los datos se puede aplicar la regla empírica de la cual se obtiene que menos del 68% de los datos cumplen con las especificaciones. A pesar que el proceso de llenado utilizado por el proveedor parece estar bajo control aun así no cumple con los valores de tolerancias requeridos.
e) Con base a lo anterior, ¿cuál debería ser la posición de la fábrica de pinturas ante el proveedor de arena? La fábrica debe pedir al proveedor de arena que mejore su control de calidad, de modo que los costales de arena cumplan con las especificaciones establecidas y la variabilidad de peso sea más reducida.
17. En una fábrica de envases de vidrio se han tenido problemas con la capacidad de las botellas de 750ml. Con la base en el historial del proceso se sabe que la capacidad media de tal tipo de botellas es de 749 ml. con una desviación estándar de 12.
a) Si las especificaciones para la capacidad de las botellas son de 750 ± 10, dé un diagnóstico, calculando los límites reales, sobre el tipo de problemas que se tiene en cuanto al volumen. µ= media, σ= desviación estándar - Límite real inferior (LRI) = µ - 3σ. - Límite real superior (LRS) = µ + 3σ
0
LRI = 749 – 3(12) = 749 – 36 = 713. LRS = 749 + 3(12) = 749 + 36 = 785. El problema está en que las especificaciones le dan una tolerancia de 10 a las botellas, no menos de 740 ni más de 760 y los límites claramente ubican valores fuera de lo establecido previamente.
18. De acuerdo con el ejercicio anterior, con el propósito de mejorar la calidad de las botellas en cuanto al volumen, se tienen dos propuestas a nivel experimental. Los datos para cada propuesta están en la tabla 8.4.
Tabla 8.4 Propuestas
A
B
Volumen de las botellas (ml) 740
759
740
751
751
751
750
757
744
752
738
743
748
742
761
765
754
733
753
752
751
758
747
753
746
753
766
751
750
744
746
744
751
747
748
745
748
743
745
746
744
750
741
745
749
743
748
744
747
742
745
749
738
742
751
743
749
748
744
749
Calcule los estadísticos básicos para cada propuesta y comente. Media: Propuesta A : 750.1 , Propuesta B : 745.8
Mediana: Propuesta A : 751 , Propuesta B : 745.5
Desviación estándar : Propuesta A : 7.65 , Propuesta B : 3.14
Coeficiente de variación: Propuesta A : 1.02 , Propuesta B : 0.42
Observando el coeficiente de variación se deduce que la variabilidad de la propuesta A es de 1.02% y el de la propuesta B es de tan solo 0.42%.
a) Calcule una aproximación de los límites reales para cada propuesta y compárelos con los del ejercicio anterior. ¿Se logran mejoras? Ejercicio anterior:
Propuesta A:
Propuesta B:
LRI: 713
LRI: 727.15
LRI: 736.38
LRS: 785
LRS: 773.05
LRS: 755.22
Se nota una mejora con respecto a los limites reales antes calculados y más se nota en la propuesta B.
a) Con base en un histograma en el que inserte especificaciones, describa cada una de las propuestas y elija la que considere mejor.
Propuesta A Especificaciones
14 12 10 8 6 4 2 0 733-739
740-746
747-753
754-760
761-767
Propuesta B 12
Especificaciones 10 8 6 4 2 0 738-740
741-743
744-746
747-749
750-752
Las especificaciones para la capacidad de las botellas recordándola son de 750 ± 10. Observando el histograma de la propuesta B el comportamiento está centrado en esas especificaciones. Así que la propuesta B es más conveniente.
19. En una empresa se están rediseñando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de establecer el tiempo de recorrido entre dos ciudades. A continuación se describe una muestra de estos tiempos:
3.49
3.59
3.69
3.42
3.31
3.60
3.58
3.52
3.04
3.69
3.48
3.66
3.57
3.51
3.61
4.0
3.40
3.53
3.61
3.61
3.24
3.63
3.61
3.51
3.50
3.57
3.53
3.67
3.51
3.24
3.70
3.70
3.50
4.40
3.58
3.20
3.15
3.60
3.50
3.60
3.08
3.28
3.60
3.35
3.32
3.20
a) Realice un histograma para estos datos e i nterprételo.
4.30 - 4.50 4.09 - 4.29 3.88 - 4.08 3.67 - 3.87 3.46 - 3.66 3.25 - 3.45 3.04 - 3.24 0
5
10
15
20
25
30
Obviamente, observando el comportamiento del gráfico, la empresa debe establecer el tiempo de recorrido entre las dos ciudades aproximadamente entre 3.46 horas y 3.66 horas, ya que la mayoría de sus autobuses cumplen su salida y su llegada entre e sos tiempos.
20) Dos máquinas cada una operada por una persona se utilizan para cortar tiras de hule, cuya longitudes ideal es de 200 mm con una tolerancia de más o menos 3. Al final del turno, un inspector toma una muestra y observa que la longitud cumpla las especificaciones. A continuación se muestran las ultimas 110 mediciones para ambas maquinas. A) Es adecuada la tendencia central de las mediciones? Si puesto que todo los valores están dentro de las especificaciones.
a) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en estos decida si la varianza de los datos es aceptable. La desviación estándar es de 1.15, e n base a la media de 199.97, aproximadamente el 80% de los datos se concentran en 199.97 ± 1.15. Por tanto la varianza 1.33 es aceptable.
a) Obtenga un histograma e interprételo
Histograma 20 18 16 14 a i c n e u c e r F
12 10 8 6 4
Frecuencia
2 0
Clase
El histograma se podría decir que es de dos picos, por tanto es bimodal; por tanto de ducimos que quizás habrán sido personas o instrumentos diferentes. Se debe a la presencia de fuentes de variación bien definidas, que deben de identificarse y modificarlas.
a) El proceso de cortado de tiras es capaz de cumplir especificaciones? Cumple con las especificaciones debido a que todos los datos e stán dentro de la tolerancia, sin embargo tiene gran variabilidad, por tanto se puede mejorar significativamente.
21) En el caso del ejercicio anterior, considerando que los 55 datos corresponden a una máquina y los últimos a otra, conteste. a) Haga un análisis por separado de cada máquina En el primera máquina, la desviación estándar es de 0.62 y la media 200.92; los límites son 199.2 y 202.1; mientras en la segunda maquina tiene una media de 200.92 y una desviación de 0.62; los límites son 197.8 y 200.5. En conclusión las dos máquinas tienen el mismo promedio de mediciones y la desviación es la misma en ambas distribuciones variando solo en los límites. Máquina 1:
Histograma 16 14 12 a i c n e u c e r F
10 8 6 4 2 0 199.2
199.6
200
200.4
200.8
201.2
201.6
202
y mayor...
Clase
Máquina 2:
Histograma 20 18 16 14 a i c n e u c e r F
12 10 8 6 4 2 0 197.8
198.2
198.6
199
199.4 Clase
a) Cuál es el problema de cada maquina
199.8
200.2
y mayor...
La primera máquina tiene una distribución normal, mientras que la segunda muestra una variabilidad considerable respecto a las especificaciones.
Vuelva a analizar el histograma anterior y vea se de alguna forma se vislumbra lo que detecto con los análisis hechos en este ejercicio. En el primer histograma se encuentran dos máquinas por esto presenta dos picos, en la primera se presenta una distribución normal y en la segunda hay una variabilidad que afecta al conjunto completo de los datos.
22) en un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se hace una encuesta para evaluar la calidad de los servicios proporcionados y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en diez preguntas y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado la respuesta para cada pregunta es un numero entre 0 y 10 78 78 82 85 81 86 80 73 84 78 68 84 75 78 76 76 82 85 91 80 70 87 77 82 84 48 49 39 39 43 35 42 34 44 49 34 30 43 31 34 41 42 4 42 35 38 39 42 43 29
a) Analice los datos anteriores y de una primera opinión sobre la calidad en el servicio. El servicio al cliente en esta compañía es decepcionante. Las puntuaciones son muy bajas lo que refleja obviamente un problema en el servicio.
a) Realice el histograma e interprételo con cuidado
Histograma 16 14 a 12 i c n 10 e u 8 c e 6 r F 4 2 0
Frecuencia
Clase
Al ver el histograma vemos que los valores etsan muy segregados reflejando la diferencia de opiniones de los clinetes, algunos muy satisfechas y otros se podria decir conformes, pero no se podria afirmar una satisfaccion al 100%
b) Qué es lo más destacado que observa en el histograma? Hay una gran cantidad de clientes insatisfechos y otra concentración conformes.
c) Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas Sí, porque cada cliente podría expresar con sus palabras la manera que podría satisfacer sus necesidades. Utilizamos este histograma para tener una idea gene ral.