Práctica 3. Carga y descarga de un condensador
1. Objetivos de la práctica
Estudiar los procesos de carga y descarga de un condensador.
Determinar la capacidad de un condensador utilizando la constante
de tiempo de un circuito RC.
2. Material
Interruptor
2 Placas de circuito
Dos capacitores (o condensadores) cilíndricos de gran capacidad
dispuestos en paralelo.
Dos capacitores de poca capacidad (cuadrados)
2 Resistores de 1 M
Cables
2 Multímetros en modo voltímetro (DC)
Cronómetro digital
Fuente de alimentación
3. Fundamento teórico
La siguiente figura muestra un circuito RC simple, con un capacitor C y una
resistencia R. Se supone que el capacitor está inicialmente descargado.
Mientras el interruptor esté abierto, no existirá corriente en el circuito.
" "Figura 1: Circuito RC simple. "
" "Los diversos elementos del "
" "circuito están conectados en "
" "serie (fuente de alimentación, "
" "condensador, C, resistencia, R e"
" "interruptor S). El interruptor "
" "está ligado a la fuente de "
" "alimentación para conectarla o "
" "desconectarla rápidamente del "
" "circuito. "
3.1- Proceso de carga
Cuando se cierra el interruptor, la fuente de alimentación queda conectada
al circuito y la carga comienza a fluir estableciendo una corriente en el
mismo. El capacitor acumula carga eléctrica hasta que la diferencia de
potencial entre sus placas iguale al potencial de la fuente de
alimentación. El valor de la carga máxima que puede alcanzar el capacitor
depende, por lo tanto, del voltaje de la batería.
Ahora la carga del capacitor, q(t), y la intensidad de corriente en el
circuito, i(t), son función del tiempo. La diferencia de potencial
instantánea en el resistor VR y en el condensador VC son:
, (1)
donde C es la capacitancia del condensador.
Así se verifica que la fem (el voltaje de la fuente) es:
, (2)
y, naturalmente, no es función del tiempo. Aquí es posible despejar la
intensidad de corriente:
(3)
En el instante inicial, cuando la fuente de alimentación se conecta al
circuito y la carga del condensador es nula, la intensidad de corrientes
es:
(4)
Cuando la carga va aumentando el segundo sumando (q/CR) aumenta y la
intensidad disminuye hasta que se anula. En ese momento, i = 0, finaliza el
proceso de carga y el capacitor adquiere una carga final de:
(5)
La obtención de cómo las variables evolucionan en el tiempo se hace de la
siguiente manera. Tomando la expresión , derivándola respecto del
tiempo, y considerando que , se tiene:
(6)
Integrando la ecuación diferencial (6) se obtiene la intensidad de
corriente en función del tiempo i(t):
(7)
Igualando ésta a dq/dt y volviendo a integrar se llega a una expresión para
la carga en función del tiempo q(t):
(8)
Dividiendo esta ecuación entre la capacitancia, se obtiene la diferencia de
potencial en el condensador en función del tiempo:
(9)
El producto RC tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante de
tiempo del circuito (τ). Cuando ha transcurrido un tiempo τ = RC, la carga
es el 63.2 % del valor máximo y la intensidad es el 36.8 % de su valor
inicial:
(10)
(11)
El semiperiodo del circuito es el tiempo necesario para que la intensidad
inicial se reduzca a la mitad. El semiperiodo resulta ser (la demostración
se deja a la discreción del alumno):
(12)
3.2- Proceso de descarga
Ahora se toma el circuito anterior cuando el capacitor está completamente
cargado y se elimina del mismo la fuente de alimentación. La carga inicial
del capacitor es Q0, donde si el circuito de carga ha permanecido
cerrado un tiempo suficiente (varias veces el valor de RC). Al no haber
ahora fuente de alimentación, ocurre que la fem, es cero, por lo que:
(13)
La intensidad inicial en el instante de tiempo en el que comienza la
descarga es:
(14)
Conforme el tiempo transcurre el capacitor se va descargando y la
intensidad de la corriente va disminuyendo hasta anularse. El signo
negativo indica que la corriente evoluciona en sentido contrario al que
tiene la carga. Al igual que antes, hay que integrar la ecuación
diferencial que se obtiene tras hacer que i(t)=dq/dt. Las expresiones
finales en función del tiempo para la intensidad, la carga y la diferencia
de potencial en el condensador son:
(15)
(16)
(17)
Finalmente, es posible utilizar un montaje como el descrito para determinar
la capacidad desconocida de un condensador. Para ello, se monta un circuito
cuya resistencia sea conocida y se determina la constante de tiempo, bien
en el proceso de carga o en el de descarga. Conocida la resistencia y la
constante de tiempo, se calcula la capacidad.
4. Método experimental y toma de datos
En nuestro caso, se montarán dos circuitos basados en el de la Figura 1:
1- Uno donde se utilizarán los dos capacitores de gran capacidad en
paralelo y una única resistencia.
2- Otro donde se utilizarán los dos capacitores de poca capacidad en
paralelo y dos resistencias en serie.
Recuerde que la resistencia equivalente R de dos resistencias R1 y R2
conectadas en serie es la suma de ambas: R = R1 + R2. En cuanto a los
capacitores conectados en paralelo, se cumple que:
, ,
4.1- Proceso de carga
1. Realice el montaje correspondiente para el primer circuito
2. Antes de encender la fuente de alimentación, compruebe que está
programada a 6 V y que el voltímetro al que está conectada marca ~6 V.
3. Compruebe que el proceso de carga / descarga se activa al cerrar /
abrir el interruptor.
4. Cierre el interruptor para comenzar el proceso de carga. Tome 8
valores de tiempo t y diferencia de potencial V(t) durante este
proceso (puede grabarse un vídeo del proceso completo de carga para
facilitar esta tarea) y anótelos en la Tabla 1.
5. Anote también el valor de la resistencia y de la capacitancia de cada
condensador con sus errores (relativos) correspondientes, así como el
error de precisión del cronómetro y de los voltímetros.
4.2- Proceso de descarga
6. Abra el interruptor para aislar el condensador de la fuente de
alimentación y comenzar el proceso de descarga. Tome 8 valores de
tiempo t y diferencia de potencial V(t) durante este proceso (puede
grabarse un vídeo del proceso completo de carga para facilitar esta
tarea) y anótelos en la Tabla 1.
7. Realice el montaje correspondiente para el segundo circuito y repita
los pasos 1 a 5.
"Primer circuito "Segundo circuito "
"Carga "Descarga "Carga "Descarga "
"t (s) "V "t (s) "
"Capacitor pequeño 1 "C (µF) =1,00 "(C (µF) = ±10% "
"Capacitor pequeño 2 "C (µF) =4,70 "(C (µF) = ±10% "
"Resistencias "R1 (M ) =1,00 "(R (M ) = ±5% "
" "R2 (M ) =1,00 " "
"Voltímetro (conectado "V (V) = 6,00 "(V (V) = 0,005 "
"a la fuente de " " "
"alimentación) " " "
"Voltímetro (circuito) "- "(V (V) = 0,005 "
"Cronómetro "- "(t (s) = 0,005 "
5. Informe de resultados de la Práctica 3.
A partir de las medidas de laboratorio (Tabla 1), calcule los valores
experimentales de carga para los procesos de carga () y descarga
() y rellene la siguiente tabla, utilizando siempre unidades del S.I..
Utilice en cada caso los mismos valores de tiempo de la Tabla 1.
"Primer circuito "Segundo circuito "
"Carga "Descarga "Carga "Descarga "
"t (s) "qexp (C) "
"Carga "Descarga "Carga "Descarga "
"t (s) "
" "
"Circuito 2: proceso de carga "
" "
4.1- Proceso de descarga
Para cada circuito, represente gráficamente los valores experimentales de
qexp (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abscisas) (Tabla 2). En la
misma gráfica (una por circuito), represente la curva teórica
correspondiente (Tabla 3). Compárelas y comente brevemente si ha obtenido
los resultados esperados.
"Circuito 1: proceso de descarga "
" "
"Circuito 2: proceso de descarga "
" "
Compare los tiempos de carga y descarga del circuito 1 con los del circuito
2. ¿Qué diferencias observa? ¿A qué cree que es debido?
Demuestre que el producto RC tiene dimensiones de tiempo y que 1Ω × 1F = 1
seg
Calcule el tiempo que tarda el condensador en adquirir el 99.9% de su carga
final, expresando el resultado en función de la constante de tiempo RC.
Explique cuándo la carga alcanza su valor máximo.