Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
UNIVERSI! N!"I#N!$ !U%&N#'! E 'I"# *!"U$%! E +U,'I"!- "IU! UNIVERSI%!RI!. PR"%I"! 2/ 0Relación lineal (densidad). E+UIP# 3/ !R'EN%! N!V!RRE%E V!$ER 'NE URSU! "!R'EN E 4ES5S R!',RE 6&'E 7REN! ESSI"! V!R6!S $V!RE "$!UI! ES%8ER
$!7#R!%#RI# $!7#R! %#RI# E *,SI"! * ,SI"!
$!7#R!%#RI# 29 *E"8! E E$!7#R!"I&N E$ IN*#R'E/ : E '!R# E$ 2;1<. *E"8! E EN%RE6!/ 19 E '!R# E$ 2;1<.
Equipo 3 1
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
Hipótesis. La plastilina tendrá una densidad mayor a la de H2O. La obtención de la densidad promedio será igual a si la obtuviéramos como el cociente de la masa promedio y el volumen promedio. A que si fuese obtenida como el promedio de las densidades. La densidad indica una relación proporcional entre la masa y el volumen de un cuerpo, debido a esto esperamos que en la recta de la gráfica caigan la mayora de los datos e!perimentales que obtengamos, considerando que va a "aber puntos fuera de la recta por ra#ones de errores "umanos como parala$e en lecturas de medidas de la regla y probeta.
Ob$etivos. •
•
•
•
%eali#ar una serie de mediciones directas y encontrar la relación lineal entre estas, por medio del análisis de cuadrados mnimos. Obtener la pendiente y la ordenada al origen para la ecuación de y&m!'b mediante el método de los cuadrados mnimos. (eterminar las incertidumbres de las medidas directas y de las medidas indirectas. )alcular la densidad de la plastilina como el cociente de la masa promedio entre el volumen geométrico de los datos obtenidos, as como también mediante el inverso de la pendiente calculada por el método de mnimos cuadrados.
*ntroducción. +n esta práctica requerimos de la noción de los siguientes conceptos con los cuales traba$aremos. La regresión lineal la cual también es llamada método de a$uste por mnimos cuadrados, en fsica se utili#a para caracteri#ar la relación entre variables o para calibrar medidas y consisten en dos magnitudes !,y las cuales se relacionan a través de una ecuación lineal y&m!'b, donde la constante bordenada al origen- y a pendiente- dependen del tipo de sistema que se estudia y a menudo son parámetros que se pretende encontrar. Las variables presentes en la gráfica son la variable independiente, la cual suele representar el e$e de abscisa !/, el valor de esta variable no depende de otra variable, por otro lado está la variable dependiente, la cual suele representar al e$e de las ordenadas y/ y sus valores dependen de la variable independiente. +l método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de los mnimos cuadrados.
Equipo 3 2
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 0e dispone de una serie de puntos fi$os en x , anotando el valor correspondiente a cada y 1 estos valores deberán caer en una lnea recta o fuera de ella considerando los errores e!perimentales. La densidad es una propiedad fsica intensiva de la materia que indica la relación entre la masa de un ob$eto y su volumen, sus unidades más frecuentes son gmL-. La masa de un ob$eto puede ser determinada con una balan#a. +l volumen de un cuerpo puede ser calculado a través de sus dimensiones, o bien por el principio de Arqumedes 345odo cuerpo sumergido en un fluido e!perimenta un empu$e "acia arriba igual al peso del fluido desalo$ado/. )uando un sólido entra en un fluido lquido o gas- despla#a una porción del mismo para poder entrar en él. 6or medio de esta práctica nosotras pretendemos fomentar la comprensión de los conceptos ya mencionados, su aplicación y cómo interpretar los resultados.
7aterial y equipo8
Barra de plastilina o material sólido: 9n material sólido se caracteri#a por poseer forma y volumen definidos, son más densos que los lquidos y gases. +l material sólido que se utili#ara en la práctica será la plastilina, el cual es un polmero compuesto de sales de calcio, vaselina y compuestos alifáticos.
Regla: +s un instrumento de medición con una escala graduada dividida en unidades de longitud, las cuales com:nmente son in, cm y mm. +ste instrumento es representado con forma rectangular y delgada.
Equipo 3 3
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
Balanza granataria de un plato: +ste instrumento es muy sensible y pesa cantidades peque;as, tienen precisiones de <,<= y <,<<=g.
Probeta graduada: +s un instrumento que permite la medición de vol:menes, es un tubo transparente de unos centmetros de diámetro y tiene una graduación en mL.
Vaso de precipitados con agua: +s un recipiente de forma cilndrica el cual se utili#a en el laboratorio para transportar, preparar o calentar sustancias, son de varias capacidades y tienen una escala graduada.
6rocedimiento =. +studio de los instrumentos8 *dentificar las caractersticas de los instrumentos, las cuales son8 marca, modelo, alcance, resolución, unidades que emplea para reali#ar la medición. 2. (ensidad de la plastilina por método analtico8 0e formarán figuras geométricas de plastilina con estructuras definidas, determinar la masa respectiva de cada figura con la balan#a digital y el volumen que ocupan usando las dimensiones de cada lado de éstas, empleando el modelo matemático necesario para cada figura. >. )alcular ua y uc para medidas directas obtenidas.
Equipo 3 9
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 ?. %eali#ar =< esferas de plastilina aumentando 2 gramos respecto a la esfera anterior. @. Obtener el valor de la masa de cada esfera usando la balan#a digital. . Llenar la probeta graduada con agua "asta una marca establecida po el equipo, la cual servirá de referencia para observar el volumen despla#ado por la masa de la plastilina. B. *ntroducir la esfera de plastilina en la probeta graduada. C. Anotar el volumen despla#ado por la masa de plastilina. D. %epetir a C para todas las esferas de plastilina. =<. %epresentar a la densidad por el método gráfico análisis de variables/, usando =< pares de datos de8 masa de cada una de las esferas de plastilina y volumen de agua despla#ada.
Equipo 3 =
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
Práctica 2. Relación lineal (densidad). Earra de plastilina o material sólido. %egla,, Ealan#a granataria de un plato. 6robeta graduada. Faso de precipitados con agua.
2
'edición;J
'edición =J
'edición
8acer 1; DCuras de plastilina. !u?entando 2 Cra?os respecto a la DCura anterior.
8acer una DCura de plastilina con lados escri@ir el instru?ento que se usara para
RealiAar la 'edición del/ larCo- ancLo M alto RealiAar la 'edición del Galor de la ?asa de
RealiAar la 'edición del Galor de la ?asa de $lenar la pro@eta Craduada con aCua destilada a una ?arca esta@lecida. Introducir la DCura de plastilina en la
eter?inar el Golu?en de aCua desplaAado eter?inar la densidad usando la ?asa pro?edio entre el Golu?en Ceo?trico
"alcular la incertidu?@re de la densidad. RealiAar un aBuste a la CráDca por ?edio del
eter?inar la incertidu?@re de la densidad
Equipo 3 >
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 5abla =. )aractersticas de los instrumentos.
Característica s del instrumento Nombre del instrumento Marca Modelo Mensurando Unidades Alcance Intervalo de indicación Resolución
Instrument o1
Instrument o2
Instrument o3
Instrumento 4
7alanAa Cranataria
7alanAa diCital
Pro@eta Craduada PMreO
'asa
'asa
Volu?en
CQ-?CQ
CQ
?$Q
ReCla 'aped $onCitudancLo- alto incLQ-c?Q??Q 3; c?Q
1;; ?$Q
??Q
?CQ
;.= ??Q
;.;;1 CQ
?CQ
?$Q 1 ?$Q
5abla 2. (atos de la barra de plastilina.
Instrument o utiliado Unidades Medida 1 Medida 2 Medida 3
'asa 7alanAa Cranataria ?CQ 1;.> >.>< :.3
Medida 4
1.:
Medida ! Medida " #romedio
2.2 =.9: >.;=
$arCo
!ncLo
!lto
ReCla
ReCla
ReCla
c?Q 3 2 1.1 7ase ?aMor2.1 7ase ?enor 1.> 1 1.>> 1.>>
c?Q 1 2 2.9
c?Q =.: ;.: 1.9
ensidad 'edida indirecta C?$Q 1.>; 2.9< 1.>>
;.=
;.>
1.2=
1.1 1.9 1.9;
1 2.1 2.;
1.1: 1.= 1.><
Equipo 3 <
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 5abla >. (atos de las variables medidas.
Instrumento utiliado Unidades #are&a de datos 1 #are&a de datos 2 #are&a de datos 3 #are&a de datos 4 #are&a de datos ! #are&a de datos " #are&a de datos ' #are&a de datos ( #are&a de datos ) #are&a de datos 1* #romedio de densidad
Equipo 3
Masa
$olumen des%laado
7alanAa diCital CQ 2-;1> 9-;3> >-;2> -;;: 1;-=9> 12-;; 19-;;2 1>-;2; 1-1;1 2;->; 1-<<2
Pro@eta Craduada ?$Q 1 2 3 = > < : 1; 12
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
+r,-ca 1. /escri%ción de la densidad.
5abla ?. *ncertidumbres estimadas para mediciones directas e indirectas
'asa
$arCo
#rome dio Unidad es uc
Incertidumbre de a (pendiente)
∑ ( yi− y´ ) ∙ = 2
σ a
2
n− 2
1
∑ ( xi−´ x )
2
Equipo 3 :
!ncLo
!lto
ensid ad
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 2
2
2
2
2
2
2
( 1− 6.3 ) + ( 2−6.3 ) + ( 3− 6.3 ) + ( 5−6.3 ) + ( 6− 6.3 ) + (7 −6.3 ) + ( 8− 6.3 ) σ a = ( 2.016−11.162 ) + ( 4.036 −11.162) + ( 6.026−11.162 ) + ( 8.009−1 2
2
σ a =
√
2
2
116.1 8 ( 345.7109564 )
σ a =0.204887067
Incertidumbre de a0 (ordenada)
∑ ( yi− y´ ) ∙ ∑ xi = n −2 n ∑ ( xi−´ x ) 2
σ a0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ( 1-6.3 ) + ( 2-6.3 ) + ( 3-6.3 ) + ( 5-6.3 ) + ( 6-6.3 ) + ( 7-6.3 ) + ( 8-6.3) + ( 9 2
σa0 =
2
2
2
2
2
2
((2.016) +(4.036) +(6.026) +(8.009) +(10.546) + (12.008) +(14.
( 2.016-11.162 )2 + ( 4.036-11.162 )2 + ( 6.026-11.162 )2 + ( 8.009-1 (116.1)( 1591.703 ) 80 σ a = 80 ( 345.7109564 ) 0
√
σ a =2.584910557 0
Incertidumbre de a y a 0 10
2
( yi−bxi− a ) σ =∑ n −2 i= 2
1
(1−( ( 0.578 ) ( 2.016 ) )−(−0.1524 ) ) +( 2−( ( 0.578 ) ( 4.036 ) )−(−0.1524 ) ) +( 3 −( ( 0.578 ) ( 6.026 ) )− (−0.1524 + (5− ( ( 0.578 ) ( 8.009 ) )−(−0.1524 )) + ( 6 −( ( 0.578 ) ( 10.546 ) )− (−0.1524 ) ) + ( 7 −( ( 0.578 ) ( 12.008 ) )− (−0.1524 ) ) +( 8 −( ( 0.578 ) ( 14.002 ) )−(−0.1524 )) ( 9−( ( 0.578 ) ( 16.020 ) ) −(−0.1524 ) ) + (10 −( ( 0.578 ) ( 18.101 ) )−(−0.1524 ) ) + (12−( ( 0.578 ) (20.860 ) )−(−0.1 σ = 2
2
2
2
2
2
2
2
8
√
σ = σ =0.270185476799889
Equipo 3 1;
2
0.584001534988666 8
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 Factor de regresión r
(∑ ) N
y i
2
−¿
i= 1
2
y i
N
N
¿ ∑ = i
[
N
N
x ∑ = i
1
1
¿
N
2
]
i −(∑ x i) ¿ 2
i =1
r
2
=¿
¿ 10 ( ( 2.016 ) ( 1 ) )+ ( ( 4.036 ) ( 2 ) ) + ( ( 6.026 ) ( 3 ) ) + ( ( 8.009 ) (5 ) )+ ( ( 10.546 ) ( 6 ) ) + ( ( 12.008 ) ( 7 ) ) +( 14.002 )( 8 )((16.020 )( ¿ + ( ( 18.101 ) ( 10 ) ) + ( (20.860 ) ( 12 ) )− ( ( 2.016 + 4.036 + 6.026 + 8.009 + 10.546 + 12.008 + 14.002 + 16.020 + 18.101 + 2
[
10 ( (2.016) +(4.036) + (6.026) +(8.009) +(10.546) +(12.008) +(14.002) +(16.020) +(18.101) +(20 −( 2.016 + 4.036 + 6.026 + 8.009 + 10.546 + 12.008 + 14.002 + 16.020 + 18.101 + 20.860 ) 2
2
r
=
r=
√
2
2
2
2
2
2
[ 10 ( (1 ) +( 2 )+ ( 3 ) +( 5 ) +( 6 ) +( 7 ) +( 8 ) +( 9 ) +( 10 ) +( 12 ) ) −(1 +2 +3 +5 + 6 +7 +8 + 9 +10 +12 ) ] 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ¿( ( 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 ) )¿ )
2
[ 10 (1591.703 )−(111.624 ) ] [ 10 (513 )−( 63) ] 2
2
2
(10 ( 903.69 )−( 111.624 ) ( 63 ))
r = 0.9994193361
5abla @. )álculos para reali#ar la regresión lineal por el método de los cuadrados mnimos
Manitud Unidades #are&a de datos 1 #are&a de datos 2 #are&a de
0ii
0i2
1
2
9-;>9
9-;3>
2
>-;2>
3
1
1>-2: 3>-313
0i
i
?asa CQ
Golu?en ?$Q
2-;1>
Equipo 3 11
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 datos 3 #are&a de datos 4 #are&a de datos ! #are&a de datos " #are&a de datos ' #are&a de datos ( #are&a de datos ) #are&a de datos 1* UMA #RM5/I
-;;:
=
9;
1;-=9>
>
>3
111-21
12-;;
<
9
199-1:2
19-;;2
112
1:>-;=>
1>-;2;
:
199
2=>->9;
1-1;1
1;
11
32<->9>
2;->;
12
2=;
111->29 11-1>29
>3 >-3
:;3
93=-19; 1=:1-<;3
>9-199
Obtención de la pendiente por el método de cuadrados mnimos8 Obtención de la ordenada al origen b- por el método de cuadrados mnimos8 10
10
10
10
x ∑ y −∑ x ∑ x y ∑ = = = = 2
i
b=
i
i
i
1
i
i
1
10
10
x ∑ = i
1
i
i
1
(∑ ) 10
2
i
−
i=1
i
1
2
x i
( ( 2.016 ) +( 4.036 ) + ( 6.026 ) + ( 8.009 ) + (10.546 ) +( 12.008 ) +( 14.002 ) + ( 16.020 ) +( 18.101 ) +( 20.860 ) ) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( 1+ 2+ 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 ) −( 2.016 + 4.036 + 6.026 + 8.009 + 10.546 + 12.008 + 14.002 + 16.020 + 18.101 + 20.860 ) ) (2 )+ ( 6.026 ) ( 3111.624 )+ ( 8.009)() 903.069 ( 5 ) + ( 10.546 ( (2.016 ) ( 1 ) + ( 4.036 ( 1591.703 ) ( 63 )−( ) ) ( 6 )+ ( 12.008 ) ( 7 ) + ( 14.002 ) ( 8 ) + ( 16.020 ) ( 9 ) + ( 18.101 ) ( 10 )+( 20.8 b= b= 2 10 ( 1591.703 )−( 111.624 ) 2
2
2
2
2
b =−0.1524118123089970 b =−0.15
Equipo 3 12
2
2
2
2
2
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3
5abla . *ncertidumbres estimadas para las mediciones indirectas.
m0i
i9 m0i9b
6i9m x´ 9b82
1-1<
;-;1
;-;;
2-33
;-1
;-;3
3-9
;-33
;-11
9->3
;-=2
;-2<
>-1;
;-;>
;-;;
>-:9 -;: :-2> 1;-9> 12-;>
;-21 ;-;> ;-11 ;-31 ;-;:
;-;9 ;-;; ;-;1 ;-1; ;-;1
>9-=2
;-;;
;-=
607i8 i:1 i:2 i:3 i:4 i:! i:" i:' i:( i:) i:1* UMA
0i9 x´
:-1= <-13 =-19 3-1= ;->2 ;-= 2-9 9-> >-:9 :-<;
60i9 x´ 82
i9 y´
6i9 y´ 82
2-;: =-3; =;-<: 9-3; 1-9: 2>-3 3-3; 1;-: :-:9 1-3; 1->: ;-3 ;-3; ;-;: ;-<2 ;-<; ;-9: -;> 1-<; 2-: 23->; 2-<; <-2: 9-19 3-<; 13->: :9-;9 =-<; 32-9: ;-;; 39=-<1 ;-;; 11>-1 ; 3->>
60i9 x´ 8 6i9 y´ 8
9-9 3;->9 1>-:= 9-1; ;-1 ;-=: 9-3 13-12 2=->< ==-2 1::-9
Análisis de resultados (urante la medida de vol:menes observamos que las figuras de plastilina caan al fondo de la probeta, lo que nos indicaba que la densidad de la plastilina resultara mayor que la densidad del agua. La proporcionalidad que siguen los pares de datos de los resultados se deben a que mane$amos la masa de las figuras aumentando apro!imadamente dos gramos entre ellas. +mpleando los datos de la tabla >, se construyeron gráficas, donde reali#amos un a$uste lineal por el método de cuadrados mnimos, se le observa a la gráfica presentada en la práctica un modelo que no coincide con una regresión lineal. +sto, a pesar de no ser resultados perfectos, si tienen lógica con los instrumentos que utili#amos, puesto que sólo
Equipo 3 13
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 si las mediciones no están su$etas a incertidumbre encontraramos una lnea perfectamente recta, en este caso y como se puede observar en la tabla =, todos nuestros instrumentos mantenan su propia resolución, por lo que nuestras medidas obtenidas son los resultados representativos de nuestro traba$o e!perimental reali#ado.
)onclusiones +l valor negativo de la ordenada al origen está relacionada con la lectura dé volumen de la probeta, debido a que las medidas que tomamos fueron sobre las lneas de graduación del instrumento.
Al crear una gráfica de dispersión nos ayuda a evaluar si e!iste una relación entre variables, en esta práctica la relación entre las variables obtenidas nos dice que es una relación lineal, a esto nos referimos que la tendencia que describen los datos se puede interpretar mediante una lnea recta, en la gráfica se observa un tipo de relación lineal positiva. +l método de mnimos cuadrados que aplicamos en esta práctica nos permite encontrar la relación entre las variables, el ob$etivo de este método es obtener la ecuación de y&m!'b, determinando la pendiente y la ordenada al origen mediante modelos matemáticos. (e igual manera nos permite adaptar una lnea recta a una muestra de datos u observaciones tomadas por las variables x masa- y y volumen-, con este método se encontró los parámetros que minimi#an los errores de las sumas y as se obtuvo la recta más representativa.
Equipo 3 19
Laboratorio de física Práctica 2. Relación lineal (densidad). Equipo 3 %eferencias
$a@oratorio de *Fsica 6rado en *ar?acia. (2;13). 1st ed. e@ooTQ Valencia/ UniGersidad de Valencia- pp.13. !Gaila@le at/ Lttp/.uG.ester?o$a@oratori*isica2;12 2;13*ar?acia6UI#NESla@oDsHar?cast2;122;13.pdH !ccessed 11 'ar. 2;1
Equipo 3 1=
