Jaring Kontrol Geodesi Bagian I PENGANTAR
Surveying: Survei merupakan seni melakukan pengukuran untuk menentukan menentukan posisi relatif spasial dari sebuah obyek alam atau buata manusia yang terletak diatas atau didekat permukaan bumi dan menampilkan informasi hasil survei dalam bentuk grafis atau numeris
Geodesy: Geodesi merupakan cabang dari aplikasi matematika yang terkait dengan pengukuran pengukuran dan representasi bentuk dan ukuran bumi termasuk didalamnya gaya berat dan variasinya secara temporal dalm tiga dimensi Geodesy is the scientific background of Surveying as a profession. Geodesy focus on the Earth and neglect any man-made features on it (e.g. buildings, public utilities, etc.), while surveying use the results of geodesy for positioning and mapping of these features.
Surveying: Survei merupakan seni melakukan pengukuran untuk menentukan menentukan posisi relatif spasial dari sebuah obyek alam atau buata manusia yang terletak diatas atau didekat permukaan bumi dan menampilkan informasi hasil survei dalam bentuk grafis atau numeris
Geodesy: Geodesi merupakan cabang dari aplikasi matematika yang terkait dengan pengukuran pengukuran dan representasi bentuk dan ukuran bumi termasuk didalamnya gaya berat dan variasinya secara temporal dalm tiga dimensi Geodesy is the scientific background of Surveying as a profession. Geodesy focus on the Earth and neglect any man-made features on it (e.g. buildings, public utilities, etc.), while surveying use the results of geodesy for positioning and mapping of these features.
Berdasarkan Posisi Obyek dan Alat Survei Space Geodesy Survei menggunakan bantuan Obyek diatas permukaan bumi (diamati) untuk menentukan posisi obyek diatas dan diluar permukaan bumi Terrestrial Geodesy Survei menggunakan peralatan Terestris (diatas permukaan bumi) untuk menentukan posisi obyek dipermukaan bumi
Berdasarkan obyek yang disurvei Global Geodesy Menentukan bentuk dan ukuran Bumi secara global
Geodetic Survey Mementukan posisi dan sistem referensi dengan memperhitungkan Kelengkungan bumi Plan Pl ane e Su Surv rvey ey Mementukan posisi obyek dipermukaan bumi dalam skala lokal Lecture 1 May 3rd
Plane Surveying
•
Untuk area yang kecil
Permukaan bumi dianggap datar, bentuk elliposid diabaikan •
B l
Hasil ukuran tidak mengalami reduksi, untuk jarak (arc to chord ) 18.5 km selisih jarak 7 mm dan area 196 Km2 selisih jumlah sudut segitiga selisih 1” •
A
l cos
Note: Untuk jarak yang tidak jauh nilai R (radii) dianggap sejajar
R
R
Pendekatan planar (horisontal distance)
Geodetic Surveying B •
Untuk area yang luas
permukaan bumi tidak lagi datar tetapi melengkung
l
•
A
l cos
kelengkungan bumi diperhitungkan terdapat reduksi ukuran •
Kebanyakan digunakan untuk Penetapan jaring kontrol , penentuan bentuk dan ukuran bumi penentuan gaya berat bumi •
R
•
R
•
Pendekatan planar (horisontal distance) Pendekatan spherical (horisontal distance) Slope distance A-B
Eratosthenes (215 BC) S=4400 stadia ~787km C=39376km
R~ 6267 km
Lecture 1 May 3rd
Survei Titik Kontrol (Control Survey )
Survei Titik Kontrol merupakan survei yang dilaksanakan untuk menetapkan posisi titik kontrol horisontal dan vertikal dalam sistem dan kerangka koordinat tertentu Akurasi posisi titik kontrol dinyatakan dalam orde dan kelas ketelitian Selain menetapkan sistem dan kerangka koordinat, survei titik kontrol mendukung kegiatan survei lainnya seperti : survei tambang, survei jalan, survei kadastral, survei batas wilayah dan lainnya
Classification
AA – Order A – Order B – Order First Order Second Order Class I Class II Third Order
Minimum Accuracy Standard* 0.3 cm. + 1: 100,000,000 0.5 cm. + 1: 10,000,000 0.8 cm. + 1: 1,000,000 1.0 cm + 1: 100,000 2.0 cm + 1: 50,000 3.0 cm + 1: 20,000 5.0 cm + 1: 10, 000
* At 95% Confidence Level Note : Geometric Geodetic Accuracy Standards and Specifications for Using GPS Relative Positioning Techniques, FGCS 1988
Contoh: Titik kontrol A and B memiliki ketelitian first order dan jarak antara kedua titik adalah 6345.294 meters, berapakah akurasi relatif antara kedua titik tersebut? Sqrt [(0.01)2 + ( 6345.294/100,000)2 ] = 0.064 meters Berapakah jarak titik A dan B apabila ketelitian relatif antara dua titik harus memenuhi ketelitian B-Order?
Classification Between
Relative Accuracy Directly Connected
Points* First Order – Class I First Order – Class II Second Order – Class I Second Order – Class II Third Order
0.5 0.6 1.0 1.3 2.0
K mm K mm K mm K mm K mm
* K is the distance between points in kilometers
Survei titik kontrol (Control Survey ) Mendukung kegiatan survei lainnya dalam membangun suatu kesatuan sistem dan kerangka koordiant
Kadastral
Batas Wilayah
Topografi
Hidrografi
Tambang
Kontrol Survey
Konstruksi
Jalan raya
Fotogrametri
Jaring Kerangka Kontrol Geodesi Geodesi dan Survei bergantung kepada penetapan titik-titik tetap permanen dalam suatu sistem dan kerangka koordinat yang disebut dengan jaring kerangka kontrol •
Posisi dari titik-titik permanen tersebut ditentukan menggunakan teknik pengamatan geodesi dan gaya berat dalam suatu kerangka koordinat •
Teknik pengamatan geodesi tersebut dilaksanan secara tradisional (terestris) atau ekstraterestris (space geodesy ) dan pengamatan gaya berat •
Jaring kerangka kontrol biasanya menjadi bagian dalam infrastuktur nasional atau internasional yang mendukung kegiatan survei atau geoinformasii termasuk location based service •
Sistem Koordinat Jaring Kontrol Geodesi Koordinat Horisontal Sistem Koordinat Geosentrik (realisasi menggunakan teknik survei space geodesy ) •
Surface coordinate systems (based on the geoid -> ellipsoid) •
Sistem Koordinat JKG terdiri atas : 3D = 2D + 1D 2D koordinat diatas permukaan referensi (e.g. latitude, longitude) koordinat horisontal 1D jarak antara permukaan bumi dan permukaan referensi (e.g. ellipsoidal height) koordinat vertikal •
•
–
•
–
Posisi obyek diatas permukaan bumi diproyeksikan ke atas bidang referensi (datum) - Helmert atau Pizetti) •
Sistem Koordinat Jaring Kontrol Geodesi Koordinat Vetikal Koordinat untuk tinggi harus memilki relasi dengan nilai potensial gaya berat (physical meaning ) tidak semata-mata geometrik (elilpsoidal height ) Realisasi koordinat vertikal JKG dinyatakan diatas MSL sebagai bidang level (level surface ) yang dianggap berimpit dengan geoid ----- realisasi tinggi orhometrik Oleh karena koordinat tinggi dan koordinat horisontal berbeda datum maka secara teknis pengukuran dipisahkan dengan teknik pengukuran koordinat horisontal
Secara umum posisi koordinat horisontal dan koordinat vertikal berbeda
Titik Kontrol - benchmarks
Koordinat Horisontal JKG Bidang meridian dari bujur
Z
Greenwich meridian
N
Bidang paralel dari lintang
=0° P
•
W
O
R
• •
X
Equator =0°
•
E
- Bujur geografis - Lintang geografis
Y R - rata rata radius bumi O - pusat massa bumi
Geoid dan Tinggi Orhometrik Geoid merupakan bidang level dimana berlaku
WP = W
0
P2
HP2 (>0) HP1 (<0)
oceanic floor P1
Catherine LeCocq SLAC
USPAS, Cornell University Large Scale Metrology of Accelerators June 27 - July 1, 2005
Height Systems 17
Leveling
terrain geoid ellipsoid
•
Pengukuran levelling dilakukan untuk mengukur beda tinggi dan menjumlahkan nilai beda tinggi tersebut untuk mendapatkan tinggi dari titik yang diukur
Tinggi GEOID dan ELIPSOID
h=H+N
s ' h r t c e a E r f a S u
P h
Ellipsoid
Q N Po
"Geoid"
OCEAN h (Ellipsoid Height) = Distance along ellipsoid normal (Q to P) National Geodetic Survey normal (Q to P ) N (Geoid Height) = SOURCE: Distance along ellipsoid o http://www.ngs.noaa.gov/GEOID/geoid_def.html H (orthometric height) = Distance along Plumb Line (P to P)
Jaring Titik Kontrol A set of control points covering a large region.
Catatan: Titik kontrol sangat penting dalam realisasi sistem referensi koordinat
Jaring Titik Kontrol Jaring titik kontrol berfungsi memberikan sebuah suatu sistem yang sama (sistem koordinat). Pengukuran posisi relatif dari sebuah titik dengan mengikatkan ke titik pada jaring kontrol, koordinat titik tersebut dihitung pada sebuah sistem referensi yang sama
TERESTRIS (TRADITIONAL SURVEY )
Horizontal positioning
TRIANGULATION
TERESTRIS (TRADITIONAL (TRADITIONAL SURVEY ) Horizontal positioning
TRILATERATION
TERESTRIS (TRADITIONAL (TRADITIONAL SURVEY ) Horizontal positioning
TRAVERSE
EDM
TERESTRIS (TRADITIONAL (TRADITIONAL SURVEY ) Vertical positioning
GEODETIC LEVELING
TRIGONOMETRIC HEIGHTING
EKSTRA TERESTRIS (SPACE GEODESY )
Very Long Baseline Interferometry VLBI menggunakan prinsip geometrik: • VLBI menggunakan prinsip TOA (time of arrival) dimana perbedaan waktu antara dua atau lebih antena radio di bumi ketika menerima gelombang radio dari Quasar • Berdasarkan perbedaan waktu tempuh dari beberapa quasar dan sebaran jaringan antena radio di bumi, VLBI digunakan untuk realiasi ICRF sekaligus menentukan posisi yang teliti dari antena radio
EKSTRA TERESTRIS (SPACE GEODESY )
InSAR
• Menggunakan data citra SAR dari beda fase gelombang miktor dari area yagn berdekatan (< 1000 m) • Mampu mendeteksi perubahan permukaan dengan ketelitian cm • Dapat digunakan untuk pembuatan DEM, Deformasi dsb
EKSTRA TERESTRIS (SPACE GEODESY )
The Global Positioning System •
•
•
•
GPS merupakan sistem penentuna posisi menggunakan satelit GPS GPS didesain untuk kepentingan militer, pada tahun 1980 dibuka untuk sipil GPS dapat digunakan secara global dan tidak dipengaruhi oleh keadaan cuaca dapat digunakan secara kontinu 24 jam. Saat ini jumlah satellit GPS 30 Aplikasi GPS untuk kepentingan sipil: Navigasi darat,laut dan udara Penelitian geofisik Survei jaring kontrol geodesi Survei kadastral Survei Hidrografi – – – – –
Jaring Kontrol Geodesi Bagian II PENGUKURAN DAN ANALISIS DATA PENGUKURAN
Survei dalam bidang geodesi dilakukan melalui kegiatan pengukuran Pengukuran (measurement ) merupakan kegiatan pengamatan yang dilakukan untuk menentukan nilai yang tidak diketahui Pengukuran dibagi atas pengukuran langsung (direct measurement ) dan pengukuran tidak langsung (indirect mesurement )
Pengukuran (Measurement ) Surveying • Pengukuran--- Mengamati--- Nilai • Metode • Peralatan • Fungsi matematis • Akurasi
Pengukuran Langsung (Direct Measurement ) Alat ukur dapat diletakkan pada obyek yang akan diukur Nilai ukuran yang “dicari” (unkn own quantity ) langsung diperoleh Biasanya nilai ukuran diperoleh dari bacaan pada skala pada alat ukur
• • •
Meteran Baja (Steel tape )
Meterean Roda (Wheel Tape )
Penggaris plastik (Plastic ruler )
Pengukuran Langsung (Direct Measurement )
Pengukuran sudut dan jarak menggunakan total station
Tampilan nilai sudut pada LCD Pengukuran sudut Menggunakan theodolit
Nilai sudut pada bacaan skala piringan
Pengukuran Tidak Langsung (indirect Measurement ) Alat ukur tidak dapat diletakkan pada obyek yang akan diukur Nilai ukuran yang “dicari” (unkn own quantity ) tidak langsung diperoleh Biasanya nilai ukuran diperoleh dari hubungan matematis
• • •
Total Station ARAH+JARAK Theodolite
Pita Ukur + EDM
X, Y, Z Koordinat Laser Scanner ARAH+JARAK
GPS
Total Station Utara B(Xb,Yb)
Total Station ARAH+JARAK
α Xb= Xa+ ∆ Xab, dimana ∆ Xab=dab.sin
∆Y Yb = Ya+ ∆ Yab, dimana ∆ Xab=dab.cos αab
A(Xa, Ya)
∆X
Hanya dibutuhkan satu buah alat & data tersimpan otomatis di alat
Sumber Kesalahan Dalam Pengukuran Tidak ada suatu pengukuran yang pasti ---- memiliki kesalahan Nilai ukuran yang sebenarnya tidak diketahui ---- Besar nilai kesalahan yang ada tidak diketahui
• •
3.052
1.030
Ketelitian (accuracy ) dipengaruhi oleh skala rambu ukur (fraksi milimeter), Berapakah nilai Sebenarnya?
Selain itu akurasi juga dipengaruhi oleh kualitas alat (instumental error ), lingkungan ketika melakukan penggukuran (natural errori ), kemampuan surveyor ( personal error )
Sumber Kesalahan Dalam Pengukuran Instumental error : Pembagian skala bacaan pada theodolit atau Total statio, kedudukan garis kolimasi yang tidak horisontal/tegak lurus
Kondisi lingkungan pada waktu pengukuran : perubahan tekanan udara, suhu,medan magnet, gaya berat, angin
Kemampuan (ability ) surveyor : kemampuan interpretasi nilai bacaan pada rambu ukur (levelling staff )
Jenis Kesalahan Dalam Pengukuran 1. Blunders /mistakes : kesalahan yang dilakukan oleh surveyor ; tidak mengatur koreksi ppm ( part per million ) pada EDM, kesalahan dalam meberikan koreksi temperatur udara, kesalahan dalam membaca skala rambu, kesalahan dalam mencatat/merekam angka bacaan 2. Kesalahan sistematik (systematic error s): kesalahan yang timbul dalam sistem pengukuran (mengikuti hukum fisika), kesalahan ini dapat diprediksi atau dihitung besarnya sehingga dapat dieliminasi atau dikoreksi; pengaruh kelengkungan bumi (earth curvature ) dan refraksi pada pengukuran levelling (dikoreksi dengan membuat jarak yang pendek dan sama antara rambu muka dan rambu belakang serta
Reduksi dan eliminasi kesalahan sistematik dalam levelling
Jenis Kesalahan Dalam Pengukuran 3. Kesalahan acak (random error ): kesalahan yang tersisa setelah blunder dan kesalahan sistematik dihilangkan atau direduksi. Kesalahan ini disebabkan oleh keridaksempurnaan peralatan atau surveyor. Kesalahan acak memiliki nilai yang kecil dan memiliki tanda positif dan negatif. Kesalahan acak tidak mengikuti aturan hukum fisika tetapi mengikuti aturan matematika/statistik terkait peluang ( probability ). Contoh : tidak sempurna dalam melakukan sentring peralatan atau rambu, nivo tidak dalam keadaan sempurna ketika dilakukan pembacaan,kesalahan kecil dalam interpretasi bacaan skala
Kesalahan interpretasi membaca graduasi skala rambu ukur
Kesalahan dalam menempatkan gelembung nivo pada saat pengukuran
Kesalahan dalam melakukan sentring peralatan atau rambu
Presisi Vs Akurasi 1. Presisi : tingkat konsistensi beda antara nilai ukuran dalam satu set data pengukuran. Tingkat presisi tergantung kepada : kemampuan surveyor, akurasi peralatan dan faktor kondisi lingkungan selama pengukuran 2. Akurasi : kedekatan nilai ukuran terhadap nilai sebenarnya (true value ). Oleh karena nilai sebenarnya “tidak diketahui” sehingga akurasi juga sebenarnya juga “tidak diketahui”
=
y
= Salah (error ) y = nilai ukuran
Ukuran Lebih (Redundant Measurement )
Dalam kegiatan pengukuran setiap ukuran mengandung kesalahan, kesalahan pada pengukuran dapat diketahui melalui penetapan syarat Pada pengukuran waterpass tertutup (loop) ∑ΔH = 0 jika ∑ΔH ≠ 0 maka ada kesalahan dalam pengukuran Pada pengukuran poligon tertutup ∑Δx = 0 ∑Δ y = 0 Pada pengukuran segitiga pada bidang datar ∑S = 1800 Untuk meningkatkan ketelitian dan kepercayaan perlu dilakukan pengukuran lebih serta mendeteksi adanya blunder yang terjadi pada data pengukuran Ukuran lebih juga diperlukan dalam perhitungan perataan menggunakan prinsip kuadrat terkecil (least square )
C Nilai SC tidak perlu diukur oleh karena diketahui dari nilai S A dan SB.Oleh karena adanya kesalahan pengukuran pada sudut S A dan SB maka perlu adanya tambahan data ukuran S C serta untuk meningkatkan kepercayaan. SC merupakan redundant measurement
?
640
A
420
Populasi VS Sampel
Populasi merupakan jumlah nilai atau ukuran yang mungkin ( possible ) dapat diperoleh atau dilakukan dari sebuah obyek atau kuantitas. Kadangkala populasi memiliki nilai yang tak terhingga
Sampel merupakan bagian (subset ) dari populasi yang dipilih untuk mewakili populasi Data populasi daerah A dari ukuran tekanan darah diastolik (minimum) menunujukan rata-rata = 78 mm Hg. Untuk mengurangi biaya dan waktu dalam melakukan pengukuran tekanan darah diastolik untuk wilayah A maka dapat dilakukan pengambilan sampel dari wilayah A yang dapat mewakili populasi wilayah A. Sampel harus mewakili populasi Sampel harus mewakili jumlah ideal dari populasi Distribusi atau lokasi pemilihan sampel juga harus diperhatikan. Perlu studi untuk melakukan pengambilan sampel
Analisis Data Ukuran
Analisis data ukuran dapat dilakukan secara grafis dan numeris Secara grafis, distribusi data ukuran ditunjukkan dalam bentuk grafik sedangkan secara numeris data ukuran disusun dalam bentuk tabel untuk dilakukan perhitungan data ukuran seperti mean,median,modus,standar deviasi dsb 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15
16
17
Grafik distribusi nilai ukuran dapat dilakukan analisis nilai ukuran 4 memiliki frekuensi paling tinggi, nilai ukuran berkisar antra 0-4
Ferekuensi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Ukuran 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4
Analaisis Numeris : Range data ukuran = 4-0 =4 Rata-rata ukuran = 2
Analisis Grafis Histogram
Analisis data secara grafis yang biasa digunakan dalam statistik adalah grafik histogram Grafik histogram mengelompokkan sebaran distribusi data dalam bentuk kelas (class ) Tiap kelas memiliki interval kelas yang dapat ditentukan sendiri 22.7
25.4
24
20.5
22.5
22.3
24.2
24.8
23.5
22.9
25.5
24.7
23.2
22
23.8
23.8
24.4
23.7
24.1
22.6
22.9
23.4
25.9
23.1
21.8
22.2
23.3
24.6
24.1
23.2
21.9
24.3
23.8
23.1
25.2
26.1
21.2
23
25.9
22.8
22.6
25.3
25
22.8
23.6
21 7
23 9
22 3
25 3
20 1
D A T A D I S U S U N
20.1
20.5
21.2
21.7
21.8
21.9
22
22.2
22.3
22.3
22.5
22.6
22.6
22.7
22.8
22.8
22.9
22.9
23
23.1
23.1
23.2
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
23.8
23.8
23.9
24
24.1
24.1
24.2
24.3
24.4
24.6
24.7
24.8
25
25.2
25.3
25.3
25.4
25.5
25.9
25.9
26.1
Analisis Grafis Histogram
Kelas data dibagi menjadi 7 dan range nilai 26.1 – 20.1 = 6 maka interval kelas 6/7 = 0.857 = 0.86 Frekuensi kelas dan frekuensi relatif dihitung untuk menggambarkan diagram histogram Interval Kelas 20.10 - 20.96 20.96 - 21.82 21.82-22.67 22.67-23.53 23.53-24.38 24.38-25.24 25.24-26.1
Frekuensi Kelas 2 3 8 13 11 6 7 14 12 10 8 6 4 2 0
Frekuensi Relatif Kelas 2/50=0.04 3/50=0.06 8/50=0.16 13/50 = 0.26 11/50 = 0.22 6/50=0.12 7/50=0.14
Mean = 23.5 Median = 23.45 Modus = 22.67 – 23.53 Ukuran terpusat (central tendency ) berada pada kelas yang memiliki frekuensi dan frekuensi relatif paling besar
Analisis Numeris Data Ukuran
Analisis numerik data ukuran dapat dilakukan dengan : nilai ukuran terpusat, variasi data, dispersi relatif dari data ukuran. Analisi numeris tersebut disebut dengan analisis STATISTIK Analisis statistik menggunakan data sampel Ukuran terpusat (central tendency ) terdiri atas mean (average ) , median dan modus (mode ) Mean menyatakan ukuran terpusat untuk nilai rata-rata dari data ukuran dinyatakan dengan persamaan : n
y =
y i =1
n
i
y = Mean data sampel
yi = Nilai tiap ukuran n = Jumlah data ukuran
Median menyatakan ukuran terpusat untuk nilai tengah dari set data ukuran setelah data ukuran disusun dari nilai paling kecil hingga nilai paling besar. Untuk jumlah data ukuran yang genap maka median adalah rata-rata dari jumlah dua nilai tengah Modus menyatakan ukuran terpusat untuk nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi
Analisis Numeris Data Ukuran
Nilai sebenarnya (true value ) merupakan nilai yang memiliki probabilitas yang paling tinggi. Untuk data ukuran yang tidak mengandung blunder dan kesalahan sistematik serta diperoleh dari pengukuran dengan tingkat pressisi yang sama, mean dapat digunakan untuk menyatakan true value Kesalahan adalah selisih antara nilai ukuran dan nilai sebenarnya MPV (most probable value ) adalah nilai dengan tingkat probabilitas yang paling tinggi, mean dari data sampel dapat dinyatakan sebagai MPV Residual (Vi) adalah selisih antara nilai ukuran dan MPV
v = y y i
y = Mean data sampel
i
yi = Nilai data ukuran ke-i
v
= Residual data ukuran ke-i
i
Degree of freedom (dof) adalah nilai yang menyatakan jumlah ukuran lebih, dalam least square dof diperoleh dari jumlah ukuran dikurangi dengan jumlah parameter yang dicari (unknown ) Varians adalah nilai yang menyatakan tingkat presisi dari set data ukuran n
2
=
i =1
2
2
i
2
i
= Varians data populasi = Kuadrat kesalahan ukuran ke-i
Analisis Numeris Data Ukuran n
S = 2
v i =1
2
S = Varians data sampel
2
i
v
n 1
= Kuadrat residual ukuran ke-i = Jumlah data ukuran
Standar error merupakan akar pangkat dua dari varians populasi =
i
2
i =1
n
2
= Standar error
i
= Kuadrat kesalahan ukuran ke-i
n
= Jumlah data ukuran
Standar deviasi merupakan akar pangkat dua dari varians sampel n
S =
i
n
n
2
v i =1
2
i
n 1
S = Varians data sampel v
2
i
n
= Kuadrat residual ukuran ke-i = Jumlah data ukuran
Standar deviasi mean adalah ukuran yang menyatakan presisi dari nilai mean S S = Standar deviasi mean S = Varians data sampel
S =
y
n = Jumlah data ukuran
Tugas I 31.6
35.4
34.3
33.9
36.1
33.9
33.4
41
36.4
39.4
35.2
35.1
33.8
36.4
34.5
39
36.1
32.5
34.7
33.4
34.8
38
40.2
37.6
31.7
33.5
33.2
36.1
33.9
37.2
39.1
39.1
32.6
34.8
38.9
30.3
35.5
30.6
36.1
33.2
35
31.5
39
33.8
35.2
33.4
32.2
31.5
33.6
35.8
36.4
36.8
37
35
37.5
32.5
31.5
32.5
34.4
36
34.9
35
36.6
39.1
37.6
33.5
36.3
33.3
39.3
31.8
32.9
37.1
33.1
32.3
33.7
34.2
36.7
38.1
35.4
35.4
37.7
32.8
33.1
40.3
30.2
36.2
36.2
35.4
37.3
33.3
37.8
32.2
41.6
38.8
37.2
37.9
34.8
33.7
36.8
38.3
Dari distribusi data sampel sejumlah 100 data hitunglah nilai : a. b. c. d.
Mean. Median dan Modus Gambarkan diagram histogram dengan jumlah kelas 7 (tujuh) Hitunglah nilai varians dan standar deviasi Hitunglah nilai standar deviasi mean
Jaring Kontrol Geodesi Bagian III Tingkat kepercayaan (confiedence level ) dan Uji statistik (statistical test )
Teori Kesalahan Acak a. Dalam kegiatan pengukuran, kesalahan yang “diperbolehkan” adalah kesalahan acak, blunder dan kesalahan sistematik harus direduksi atau dihilangkan b. Kesalahan acak pada data pengukuran mengikuti bentuk distribusi kurva normal (normal curve) dimana nilai yang dianggap benar berada pada ukuran pusat (central tendency ) memiliki probabilitas yang paling tinggi c. Probabilitas adalah ratio terjadinya suatu kejadian dari total kejadian yang mungkin terjadi dari satu atau lebih percobaan
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
Kesalahan acak
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Kurva distribusi normal
3
4
5
Peluang (Probabilitas ) a. Dari percobaan melempar sebuah dadu maka peluang kejadian munculnya angka 1 dari 1 kali total percobaan adalah 1/6. Jika peluang munculnya kejadian adalah m dan peluang kegagalan adalah n maka peluang munculnya kejadian adalah m/(m+n) b. Setiap kejadian adalah bersifat independen jika ada dua kejadian atau lebih maka total peluang kejadian adalah perkalian dari tiap kejadian independen tersebut. Peluang kejadian munculnya angka 1 dalam satu kali percobaan dari 2 buah dadu adalah 1/6 X 1/6 = 2/36 c. Jika T adalah jumlah kejadian yang mungkin maka jumlah total kejadian yang mungkin dari n perrcobaan adalah Tn d. Jumlah total peluang adalah 1 (certainty ) dan 0 adalah mustahil (impossibility )
Peluang munculnya angka 1 adalah 1/6 sedangkan kegagalan adalah 5/6 Peluang angka 1,2,3,4,5,6 adalah masing-masing 1/6 maka total peluang adalah 1
Peluang munculnya angka 1 adalah 1/6 untuk masing-masing dadu, peluang munculya angka 1 untuk satu kali percobaan adalah 1/6 X 1/6 =2/36
Peluang Kesalahan Acak a. Dari percobaan pengukuran jarak dari titik A dan titik B jika nilai kesalahan acak adalah 1 maka peluang terjadinya kesalahan acak adalah +1 dan -1. Jika dilakukan 2 kali percobaan maka jumlah kejadian yang mungkin adalah 22 = 4 yaitu -1 -1, -1 1, 1 -1 dan 1 1 jika dijumlahkan nilainya masing-masing adalah -2 (1/4), 0 (2/4) dan 2 (1/4). Jika dilakukan 3 kali percobaan maka jumlah kejadian yang mungkin adalah 23 = 8 yaitu 1 1 1,1 1 -1,-1 1 1,-1 1 -1,-1 -1 1,-1 -1-1,1 1-1,1 -1 -1 jika dijumlahkan nilainya masing-masing adalah 3 (1/8), 1 (3/8), -1 (3/8), -3(1/8) b. Jika percobaan ditambah menjadi 4,5,6 dst maka distribusi peluang mengikuti distribusi kurva normal
Prosentase Peluang Kesalahan Acak a. Prosentase kesalahan sering digunakan untuk evaluasi data ukuran dan melakukan isolasi atas outliers atau blunder yang terdapat pada data ukuran b. Beberapa nilai prosentase kesalahan adalah 68% (1σ ) , 95% (1.96σ ) dan 99% (2.57σ ) c. Prosentase kesalahan tersebut menyatakan luas kurva normal untuk masing-masing nilai standar error atau standar deviasi
1
t
F (t ) = x
2
t
1
N ( Z ) = Z
e
x 2 / 2 2
2
e
2
dx
Z / 2
dz
Persamaan fungsi distribusi normal
Persamaan fungsi distribusi normal standar µ = 0 dan σ = 1
P (1 z 1 ) = N (1 ) N (1 ) z
z
P (1 z 1 ) = 0.84134 0.15866 = 0.68268 = 68.3% = 68% Nilai -1σ dan +1σ dapat dilihat pada tabel distribusi normal standar error
Contoh Soal Soal : Data pengukuran jarak secara independen dilakukan sebanyak 15 kali dengan data sebagai berukut : 212.22, 212.25, 212.23, 212.15, 212.23, 212.11, 212.29, 212.34, 212.22, 212.24, 212.19, 212.25, 212.27, 212.20, 212.25 Pertanyaan : Hitunglah jumlah data yang terindikasi mengandung kesalahan selain kesalahan acak dengan tingkat kepercayaan 68% dan 95%? Penyelesaian : Untuk menentukan jumlah data yang mengandung kesalahan selain kesalahan acak pada data pengukuran jarak tersebut diatas maka dilakukan tahapan perhitungan yaitu : menghitung nilai rata-rata, menghitung nilai standar deviasi, menghitung jumlah kesalahan selain kesalahan acak pada data pengukuran A. Nilai rata-rata data pengukuran n
y =
y i =1
n
i
y =
3183.34 15
= 212.22
Contoh Soal B. Nilai standar deviasi n
S =
v i =1
2
i
n 1
S =
0.042093 14
= 0.05483
C. Jumlah data yang mengandung kesalahan selain kesalahan acak pada data pengukuran dengan tingkat kepercayaan 68% dan 95% sebagai berikut :
68% = E68% = 1 x ± 0.54 = ±0.054 data yang mengandung kesalahan selain kesalahan acak adalah data pengukuran yang tidak berada pada rentang nilai 212.22 ±0.06 yaitu pada rentang nilai 212.17 – 212.27. Dari data pengukuran tersebut diatas maka terdapat sejumlah 4 data dari 15 data ukuran.
95% = E95% = 1.96 x ± 0.54 = ±1.054 data yang mengandung kesalahan selain kesalahan acak adalah data pengukuran yang tidak berada pada rentang nilai 212.22 ±1.054 yaitu pada rentang nilai 211.16 – 213.28. Dari data pengukuran tersebut diatas maka tidak terdapat data yang mengandung kesalahan selain kesalahan acak
Teori Distribusi Sampel a. Teori distribusi sampel menerangkan hubungan antara pengambilan sampel dari populasi terkait dengan ukuran data dalam sampel dan jumlah sampel serta pengaruhnya terhadap nilai rata-rata dan varians data sampel dibandingkan dengan nilai populasinya b. Teori distribusi sampel menunjukkan adanya variasi nilai mean dan varians dari sampel yang berbeda dari satu populasi c. Teori distribusi sampel menyatakan estimasi nilai rata-rata dan varians dari dari sampel terhadap populasi. Tingkat kedekatan nilai estimasi sampel terhadap populasi dinyatakan dalm tingkat kepercayaan (confiedence level ) d. Beberapa jenis distribusi sampel yang sering digunakan adalah chi-square distribution ( Х 2), student distribution (t-student),Fisher distribution (F distribution ) e. Chi-square distribution membandingkan hubungan antara varians populasi dan varians sampel berdasarkan nilai ukuran lebih data sampel (n-1/n-u) f.
Student distribution membandingkan nilai rata-rata populasi dan rata-rata sampel berdasarkan nilai ukuran lebih
g. Fisher distribution membandingkan nilai varians dari dua data sampel
Teori Distribusi Sampel 18.2 25.7 30 30.7 24.3 29 28 26.5 27.1 26.8 22 21.3 30.3 30.2 21.3
26.4 25.2 26.5 32.2 24.4 21.9 24 31.5 27 27.7 18.4 28.8 26.5 18.9 26.7
20.1 26.3 28.1 22.2 29 25.4 19.4 28 25.2 39.8 26.4 22.8 26.9 28.9
29.9 26.7 25.6 29.2 25 27.3 27 22.4 24 19.8 24.2 28.5 26.6 27.6
29.8 30.6 20.3 26.1 29.9 23.4 32 23.4 24.5 29.3 29.9 30.9 28.2 19.6
26.6 22.6 35.5 26.8 25.2 38.2 27.3 21.2 23.8 28.5 21.8 19.1 24.2 27.9
26.2 22.3 22.9 25.3 20.8 22.6 15.3 27.7 28.2 24.7 36 28.1 25.5 24.9
No.
y
S2
10
26.9
28.1
20
25.9
21.9
30
25.9
20
40
26.5
18.6
50
26.6
20
60
26.4
17.6
70
26.3
17.1
80
26.3
18.4
90
26.3
17.8
100
26.1
17.5
Tabel sebelah kiri merupakan data populasi sejumlah 100 data dengan nilai mean = 26.1 serta variansnya = 17.5. Pada tabel sebelah kanan menunjukkan bahwa penambahan jumlah data sampel dari data populasi pada tabel sebelah kanan akan memberikan nilai rata-rata yang mendekati nilai rata-rata populasi. Hal tersebut menujukkan adanya variasi mean dalam data yang terkait dengan pemilihan data
t-student distribution a. Student distribution sama dengan normal distribution perbedaannya bahwa student distribution hanya digunakan untuk data sampel dengan jumlah data sampel dibawah 30
t =
z 2
t =
Z = normal distribusi error
/
= degree of freedom (dof)/redundancies number/ukuran lebih = n-1
= chi-square distribution
y / / S
2
n
/ / 2
=
y / / S /
n
=
y S / n
b. Probabilitas jangkauan nilai rata-rata populasi dengan tingkat kepercayaan (a) dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :
S S y t = y t P y t n n
a/2
S n
y t
a/2
S n
Tabel t-student distribution (t) y t
a/2
S n
y t
S
a/ 2
n
Jika nilai confiedence interval 95% maka level of confiedence adalah (1-0.95)% = 0.05% maka nilai. Untuk melihat nilai tabel, jika diasumsikan nilai dof adalah 8 maka nilai masing-masing batas bawah dan atas adalah :
y t
0.025
S n
y 2.3646
y t
0.025
S
S n
S y 2.3646 n n
Contoh Soal Soal : Dari data survei titik kontrol dilakukan pembacaan sudut sebanyak 16 kali dengan mean = 25.4” dan standar deviasi = ±1.3”. Hitunglah rentang nilai mean populasi dengan tingkat kepercayaan 95% Penyelesaian : Untuk menyelesaikan soal tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menghitung nilai signifikan level dari tingkat kepercayaan 95% yaitu 1 – a = 95% maka a = 1 (100%) – 95% = 0.05%. Nilai a/2 adalah 0.05/2=0.025 b. Menghitung nilai tabel t-distribusi dengan nilai a=0.025 dengan level of degree (derajat kebebasan) = 16-1=15. dari perpotongan nilai 0.025 dan 15 pada tabel t-distribusi diperoleh nilai 2.131 c. Selanjutnya nilai tabel t-distribusi dimasukkan dalam persamaan untuk menghitung rentan nilai populasi sebagai berikut :
y t
a/2
S n
25.4 2.131.
y t
a/2
1.3 16
S n
25.4 2.131
1.3 16
= 24.7 26.1
Dari hasil tersebut maka dapat disimpulan bahwa nilai mean sampel berada pada rentang nilai mean populasi hal tersebut berarti bahwa data sampel dapat mewakili
Chi-square distribution ( Х 2) a. Jika sampel dipilih secara acak dari n data pengamatan Y 1 , Y 2 ,Y 3 ,......... Y n diambil dari populasi dengan nilai rata-rata µ dan varians σ 2 maka distribusi sampel 2
2
=
S
2
= degree of freedom (dof)/redundancies number/ukuran lebih = n-1
b. Distribusi chi-square digunakan untuk menetukan jangkauan nilai varians populasi berdasarkan tingkat kepercayaan (level of confidence ), nilai varians sampel dan nilai dof c. Probabilitas jangkauan nilai varians populasi dengan tingkat kepercayaan (a) dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :
S S P 2
2
2
2
a/2
2
1a / 2
2
S 2
a / 2
2
2
S 2
1a / 2
Tabel Chi-square distribution ( Х 2) 2
S 2
2
2
a / 2
S 2
1a / 2
Jika nilai confiedence interval 95% maka level of confiedence adalah (1-0.95)% = 0.05% maka nilai. Untuk melihat nilai tabel, jika diasumsikan nilai dof adalah 8 maka nilai masing-masing batas bawah dan atas adalah : 2
S 2
2
2
0.025
2.180
2
0.975
2
S
S
2
2
S
17.54
Contoh Soal Soal : Dari data survei titik kontrol dilakukan pembacaan sudut sebanyak 20 kali dengan standar deviasi = ±1.8”. Hitunglah rentang nilai varians populasi dengan tingkat kepercayaan 95% Penyelesaian : Untuk menyelesaikan soal tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menghitung nilai signifikan level dari tingkat kepercayaan 95% yaitu 1 – a = 95% maka a = 1 (100%) – 95% = 0.05%. Nilai a/2 adalah 0.05/2=0.025 dan nilai 1-a/2 = 1-0.025 =0.975 b. Menghitung nilai tabel chi square-distribusi dengan nilai a=0.025 dan 1-a/2 = 0.975 dengan level of degree (derajat kebebasan) = 20-1=19. Dari perpotongan nilai 0.025 dan 19 dan nilai 0.975 dan 19 pada tabel chi square-distribution diperoleh nilai 32.85 dan 8.91 c. Selanjutnya nilai tabel chi square-distribusi dimasukkan dalam persamaan untuk menghitung rentan nilai standar deviasi populasi sebagai berikut : 2
S 2
a / 2
2
2
S 2
1a / 2
20 1.1.8
2
=
32.85
20 1.1.8
2
2
8.91
= 1.87 6.91 2
Dari hasil tersebut maka dapat disimpulan bahwa nilai varians populasi sampel berada pada rentang nilai varians populasi hal tersebut berarti bahwa data sampel dapat mewakili populasi
F (fisher)-distribution a. Jika dua nilai chi-square sebagai variabel acak dengan dof masing-masing V 1 dan V 2 dan kedua variabel adalah independen maka distrbusi F dapat dinyataan sebagai 2
F =
1 / 1 2
2 / 2
= chi-square distribution
= degree of freedom (dof)/redundancies number/ukuran lebih = n-1
2
F =
1 S 1
2
2 S 2
/ / 2
1
1
/ / 2
2
2
=
2
2
2
S / 1
=
1
2
2
2
2
S /
S 1
2
S
2
2
x
2
2
S 1
b. Probabilitas nilai ratio varians antara dua sampel sama dengan ratio nilai varians populasi dengan tingkat kepercayaan (a) dinyatakan dengan pesamaan berikut :
S S 1 S 1 S xF , v , v = x xF , v , v P x S F , v , v S S F , v , v S 2
2
1
1
2
2
a/2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
a/2
1
2
1
2
2
a/ 2
1
2
2
1
2
2
2
2
a/2
2
1
Tabel Fisher distribution (F) 2
S
1 2
S
x
2
2
1
F , v , v a/2
1
1
2
2
2
2
S
1 2
S
xF , v , v a/ 2
1
2
2
Jika nilai confiedence interval 95% maka level of confiedence adalah (1-0.95)% = 0.05% maka nilai. Untuk melihat nilai tabel, jika diasumsikan nilai dof sampel 1 dan dof sampel 2 adalah 10 dan 9 maka nilai masing-masing batas bawah dan atas adalah :
2
S
1 2
S
x
2
2
1 F ,10,9
2
1 2
S
2
x
1 3.14
2
2
2
2
0.025
S
1
1
2
2
S
1 2
S
xF ,9,10 0.025
2
2
S
1 2
S
2
x3,02
Contoh Soal Soal : Dari hitung perataan jaring trilaterasi menggunakan metode minimally constrain dengan DOF (degree of freedom ) 24 dan variance =0.49 . Selanjutnya dilakukan perhitungan perataan menggunakan metode fully constrain dengan DOF = 30 dan variance = 2.25. Hitunglah perbandingan varians dua sampel apakah mewakili varians populasi dengan tingkat kepercayaan 95% Penyelesaian : Untuk menyelesaikan soal tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menghitung nilai signifikan level dari tingkat kepercayaan 95% yaitu 1 – a = 95% maka a = 1 (100%) – 95% = 5%=0.05. Nilai a/2 adalah 0.05/2=0.025 b. Menentukan varians numerator dan denominator dimana nilai varians numerator = 0.49 dan nilai varians denominator = 2.25. c. Menghitung nilai tabel F-distribusi dengan nilai a=0.025 dengan level of degree (derajat kebebasan) V 1=24 dan V 2=30 . Nilai tabel F-distribution dengan nilai significance level 0.025 dan perpotongan DOF V 1=24 dan V 2=30 diperoleh nilai 2.14. Nilai tabel F-distribution dengan nilai significance level 0.025 dan perpotongan DOF V 1=30 dan V 2=24 diperoleh nilai 2.21. d. Selanjutnya nilai tabel F-distribusi dimasukkan dalam persamaan untuk menghitung rentan nilai standar deviasi populasi sebagai berikut : 2
2
0.49 1 0.49 0.48 x x2.21 = 0.10 2 25 2 14 2 25 1
2
1
2
Uji Hipotesa (Hypothesis Test ) a.
Uji hipotesa merupakan salah satu bentuk pengujian dalam statistik yang ditujukan untuk validasi konsistensi nilai statistik sampel terhadap statistik populasi melalui peryataan atau hipotesa
b. Hipotesa nol (null hypothesis ) H0 merupakan peryataan yang menyatakan perbandingan nilai statistik sampel terhadap nilai statistik populasi Contoh : nilai perbandingan varians dua buah sampel adalah 1 c.
Hipotesa alternatif (alternative hypothesis ) H1 merupakan peryataan yang digunakan ketika peryataan hipotesa nol ditolak. H 1 juga disebut sebagai hipotesa tandingan yagn isinya merupakan peryataan yang berlawanan dengan H 0 Contoh : nilai perbandingan varians dua buah sampel adalah ≠1
d.
Kesalahan Tipe 1 (Type 1 error ) adalah kesalahan yang terjadi ketika menolak H 0 ketika H0 benar. Nilai kesalahan ini harus memiliki nilai sekecil mungkin ( α = significance level )
e.
Kesalahan Tipe 2 (Type 2 error ) adalah kesalahan yang terjadi ketika menerima H 0 ketika H0 salah. Nilai kesalahan ini harus memiliki nilai sekecil mungkin ( β ) Decision
Kondisi
Menerima H0
Menolak H0
H0 Benar
Keputusan Benar : P = 1 – α (confiedence level )
Kesalahan Tipe 1 : P = α ( significance level )
H0 Salah (H1 Benar)
Kesalahan Tipe 2 : P = β
Keputusan Benar = P =1 – β ( of test )
Uji Hipotesa Nilai Rata-Rata Populasi a.
Uji hipotesa nilai rata-rata ditujukan untuk menguji nilai rata-rata sampel terhadap nilai ratarata populasi. Uji hipotesa nilai mean dapat dilakukan dengan metode satu sisi ( one tailed ) atau dua sisi (two tailed )
b. Pada pengujian one tailed ditujukan untuk mengetahui apakah nilai rata-rata sampel lebih besar atau lebih kecil dari nilai rata-rata populasi. Pada pengujian two tailed ditujukan untuk mengetahui apakah nilai rata-rata sampel berbeda dengan nilai rata-rata populasi Uji Hipotesa Nilai Rata-Rata
Uji satu sisi (one tailed ) H0 : µ = y
Hipotesa Nol (H0) Hipotesa Alternatif (H1)
H1 : µ > y (µ < y )
Uji dua sisi (two tailed ) H0 : µ = y H1 : µ ≠ y
c. Nilai t untuk uji hipotesa adalah :
y t S
=
n
t = t-student distribution
S = standar deviasi = nilai rata-rata populasi n = jumlah data
d. Area penerimaan untuk menolak H 0 adalah : t > ta (atau t < ta) |t| > ta/2
Contoh Soal Soal : Sesuai dengan catatan????? Penyelesaian : Untuk menyelesaikan soal tersebut dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : a. Membuat peryataan H0 : µ = y = H0 : µ = 400.012 m H1 : µ ≠ y ≠ 400.012 m b. Nilai penerimaan H0 dihitung menggunakan persamaan
t =
y 400.012 400.008 0.004 = = = 8.944 S 0.002 0.0004 n 20
|t| > ta/2 = 8.994 > ta/2 = 8.994 > 2.093 (nilai 2.093 diperoleh dari nilai tabel t-distribusi yaitu dari perpotongan nilai significance level a/2 = 0.05/2=0.025 dengan DOF 20-1=19 Kesimpulannya : sesuai catatan kesimpulan ketiga disimpulkan sendiri
Contoh Soal
