PPT GETARAN DALAM KRISTAL KISI LINIER

  L   D   E   A   T   I  M   N   S   U   I    T   R   A   D   K    A   P    T   M   A   Z   A   A   L   K    I   A   I  S   D   F   N   A   N   R   U   A   L   E   U   I   R   H   A   N   A   D   I   T   L   E  N   E   P   I G   I  S   K 

  6   1   0   2

1

KELOMPOK IV •

Agnes Manurung (4143321002)

•

Indra P Samosr (4143321021)

•

Indrs S San!ur(41433210 San!ur(4143321022) 22)

•

Se"#a Anggrean (4143321034)

2

MATERI •

Ge!aran Pada Krs!a"

•

Ge!aran Krs!a" Ks Lner Monoa!om$ 

•

Ge!aran Krs!a" Ks Lner Da!om$ 

•

%onon

PANJANG GELOMBANG

KECEPATAN GELOMBANG

3

GETARAN PADA KRISTAL

Getara at!" #a$a" %at &r'(ta$ #a)at #'(e*a*&a !$e+ ,e$!"*a, -a, "era"*at )a#a Kr'(ta$. D't'/a #ar' )a/a, ,e$!"*a, -a, #',e$!"*a, -a, #',a&a #a #'*a#',&a #e,a /ara& atara at!" #a$a" Kr'(ta$ #a)at #'*e#a&a )e#e&ata ,e$!"*a, )e#e& #a )e#e&ata ,e$!"*a, Secara matematis persamaan panjang gelombang pada kisi kristal )a/a,. adalah: ∂

2

∂  x

u 2

−

1 v

2

∂

2

∂ t 

u 2

= 0

v

=

Y   ρ 

4

VIBRASI PADA KISI LINIER MONOATOMIK

Gelombang elastik dari vibrasi pada kisi linier disebut sebagai fonon, yang mana merupakan vibrasi kolektif suatu bahan. Model kisi dengan  basis monoatomik dalam satu bidang s dengan konstanta kisi a sebagai  berikut . Spring constant, g

Mass, m

"#uilibrium $osition  a %eformed $osition x n!1

xn

x n1

5

U(2

U(1

U(

U(31

U(3 2

K 

Model kisi monotomik : Bidang atom berpindah pada gelombang transversal. oordinat ! menggambarkan perpindahan bidang s dari posisi kesetimbangann"a. #

Bila terdapat ga"a "ang bekerja pada bidang s sehingga mengakibatkan perpindahan atom$atom pada bidang s ke s%p& dimana ga"a terseb't sebanding dengan perbedaan perpindahan ked'a bidang& (! s%p ) !s*. Bila kita han"a memperhatikan interaksi antara bidang terdekat saja& "ait' p + , 1 saja& ga"a total pada s "ang datang dari bidang s , 1  F  s

(U  − U  ) +  µ (U  = − µ  ( 2 U  − U  − U  ) =  µ 

 s +1

 s −1

 s

 s

 s +1

−

U  s

)

 s −1

dengan µ adalah konstanta ga"a. -ni adalah 'ngkapan dari h'k'm ooke dengan perpindahan linier 

/

0ada at padat "ang homogen transmisi s'at' gelombang bidang dalam arah tertent'& arah  dapat di'ngkapkan dalam bent'k persamaan perpindahan&

U=Aexp.[i(kx– t)] & ' amplitudo, k ' bilangan gelombang, ω + rekensi s'd't& t + akt'

ebih kh's's seamalog dengan pers.(3$6*& perpindahan bidang ke s&

U=Aexp.[i(k..! –

t)]

()!10* s.a ' posisi kesetimbangan bidang ke s + a ' arak antar bidang. -urunan dua kali pers.()! 10* terhadap aktu t, diperoleh

7

d 2U  s

= − ω 2  A exp [ − i ( ksa − ω  t ) ] = − ω 2U s

dt 2 Ses'ai dengan h'k'm 8eton ked'a& ga"a pem'lih pada bidang s adalah : 2

− m ω 

2

d  U  s

 F  s

=m

U  s

=−

ω 

2

= =

2

dt 

µ 

 µ  m

 µ  m

= − m ω 2U 

 s

( 2 U  + U  + − U  − )   U  +1 U  −1    2 −   −   U  U       s

 s

 s

s

1

1

 s

 s

 s

( 2 − exp . [ i ka] − exp . [ − i ka] )

6

2

ω 

=  µ  ( 2 − 2 m

=

2 µ 

m

Cos k a)

(1 − Cos k a)

ka        m   2   9elasi dispersi gelombang dalam kisi monotomik adalah :  µ   ka   ω  = ± 2 Sin     µ  m ω  = 2   2   m ka   = ± ω  Sin        2  

=

/ µ 

Sin

2

m

m

. anda % dan $ men'nj'kkan perambatan gelombang ke kanan ata' ke kiri. kemiringan (slope* k'rva dari ω sebagai 'ngsi k adalah nol pada batas ona Brillo'in 1;

&K  'uungan Ds*ers

λ4 5ae$e,t+ 2a

K+2 , min

K 

a

,a

11

d ω 

2

dk 

=

2

µ a m

Sin

( ka) = 0

karena pada k + , π
10 ω  2

 µ 

07

m

ka   = Sin      / µ    2  

ω 

06

m

08

02

12

=aerah > k " # π
v0

µ  ka

=

2

=

v0 k 

=

a

m

2

µ  m

13

GETARAN KRISTAL KISI LINIER DIATOMIK 

a

a

92r 2r 92r31: 92r32: 92r1: 2: @nadaikan terdapat d'a jenis atom "ang bermasa M "ang terletak dalam sat' bidang dan atom "ang bermasa $ pada bidang "ang lain. ed'a atom terseb't dapat dipandang sebagai sat' rantai linier dimana jarak antara d'a atom terdekat pada saat keadaan kesetimbangann"a adalah a. =ias'msikan baha interaksi han"a terjadi diantara atom terdekat saja dan konstanta ga"a adalah identik .

14

Persamaan ga/a ag *er*ndaan 2r dan 2r  1 ada"a

 M  m

d 2U 2r  dt 2 d 2U 2r +1 2

dt 

= − mω 2U 2r  =  µ (U 2r +1 + U 2r −1 − 2U 2r  ) = − mω 2U 2r +1 =  µ  (U 2r + 2 + 2U 2r  − 2U 2r +1 )

0ersamaan ini memp'n"ai sol'si "ang berbent'k : !2r  + @eiAka (2r* ) ωt !2r1'e ika (2r1*  ωt

15

S'bstit'si persamaan ini ke dalam persamaan gerak di atasdiperoleh persamaan linier sim'ltan. Mω2 B + µ @ Aeika % e$ika ) 2 µB mω2 @ + µ B Aeika % e$ika ) 2 µ @  @ta' Mω2 B + µ @ A2 Cos (ka* ) 2 µB mω2 @ + µ B A2 Cos (ka* ) 2 µ @ 0ersamaan ini memiliki sol'si "ang tidak trivial han"a jika determinan koeisien @ dan B sama dengan nol& "ait' (2 µ $ Mω2 *

$ 2 µ Cos (ka* +; $ 2µ Cos (ka* (2µ $ mω2*

1#

2

2

ω 

1 1   1 1   / Sin 2 ( ka*     =  µ  +  ± µ   +   − mM   m  M     m  M   

=engan demikian dapat diperoleh d'a sol'si& "ait' 2

ω 1

2

2 1 1   1 1   / Sin (ka*     =  µ   +  − µ   +   − mM   m  M     m  M   

2

ω 2

2

2 1 1   1 1   / Sin ( ka*     =  µ   +  + µ   +   − mM   m  M     m  M   

=engan ω12 + ; 'nt'k k + ; dan ω12 + 2µ
ω22 + 2 µ (1
ω )

  E    t   '    dω 2   ' 1    S 2

ω2

       i      s      n      e      u        k      e      r        3

($π<2a*

= 2µ 

1

+

1

m  M 

M!#( O)t'&

' 2µ
0 Gelombang vector k 

(!π<2a*

Cabang bagian baah adalah bagian negatin"a. Cabang ini diseb't dengan cabang akustik . Cabang bagian atas adalah bagian positin"a . Cabang ini diseb't dengan cabang optik  17

 @nalisis gambar : 0erpindahan sekarang dapat di'ngkapkan dalam bent'k vektor gelombang dengan besar absol't tidak lebih besar dari π<2a sedangkan batas daerah Brillo'in pada rantai linier monoatomik adalah , π
=

ampak baha rek'ensi s'd't maksim'm tidak tergant'ng pada masa atom "ang lain di dalam rantai. Frek'ensi s'd't berkisar antara ; sampai ω1 2. 0erbandingan amplit'do ked'a atom sebagai 'ngsi rekensi 2  Amplitudo dari masa M   B 2 µ  − mω  2 µ  Cos ( ka)  Amplitudo dari masa m

= =  A

2 µ  Cos ( ka)

=

2 µ  − M ω 

2

16

ampak perbandingan amplit'do terseb't mendekati sat' (sel'r'h atom bergerak dengan cara "ang sama& pada gelombang "ang panjang& amplit'don"a seasa& vektor gelombang > k > ?? π<2a

5ecepatan v 0

=

4µ a

2

 M  + m

+

frekuensi sudut

ω 

= kv 0 ≤

4 µ   M 

2;

3. 0ada > k > + π<2a

5ecepatan fasa

2 µ 

 =

Frek'ensi s'd't

ω 1

ω 

5ecepatan group

k 

 M 

4 µ a

=

d ω  dk 

2

2

π   M 

+

=0

=ari cabang optikn"a& daerah vibrasi adalah dari ω 

=

2 µ  m

sampai dengan ω  =

2 µ 

  1 + 1       m  M   

21

0anjang$gelombang "ang panjang pada mod's optic memn'hi kondisi 1. G 0ada k  ; H 5ecepatan fasa ω




3rekuensi sudut ω  = ω )

= 2µ 

6 $ada k π<2a ecepatan gro'p d ω
5ecepatan fasa

 ;

  1 + 1      m  M     



ω 

=

4 µ  a 2

2 π   M  k  2. 0ada k + ; perbandingan amplit'do B<@ adalah negati :

 B  A

=−

m  M 

 @rtin"a& getaran atom bermasa m berlaanan asa dengan getaran atom bermasa M H MB % m@+; men"atakan baha titik p'sat masa atom tidak ber'bah

22

%ONON Delombang elastis dalam kristal dibang'n oleh apa "ang diseb't dengan onon. Jnergi k'ant'm onon adalah seanalog dengan oton gelombang elektromagnetik. Kleh karena it' energi vibrasi kisi (anon* adalan terk'antisasi& dapat di'ngkapkan sebagai 1   ∈n =    + n   ω 

 2

 

n + bilangan k'ant'm 'tama H ω + rekensi s'd't. S'k' L ω adalah energi titik nol dari ragam (mod's* vibrasi. 0ersamaan di atas dapat diperoleh dari model onon dalam kristal sebagai k'ant'm osilator harmonik. 

23

"nergy

9antai atom linear han"a dapat memiliki N  diskrit K  w  diskrit j'ga

%istance



$!&! ħ w  '!p!t 'i!&!p e!!i e&e*i '!*i p!*tike+ ,!& 'ie-t phonon, e!!i !&!+ -&t-k foton

hω 

n '!p!t 'i!&!p e!!i /-$+!0 tt!+ 1&& 'e&!& 1*ek-e&i 23 '!& $e&ik-ti t!titik Be4Ei&tei&5

n

=

1

  ω      exp    − 1

esetimbangan distrib'si

24

elah diperlihatkan dalam bab terdah'l' h'k'm Bragg dapat dit'lis dengan cara rang berbeda& k = Ghkl Dengan k = k64 k adalah vektor hamburan, Ghkl adalah vektor dalam kisi balik.

'b'ngan terseb't kem'dian dapat dit'liskan menjadi k ' k7 Ghkl 8ni dapat diinterpretasikan sebagai 9 k adalah momentum linier foton datang, k6 adalah momentum linier foton terhambur. Ghkl diinterpretasikan sebagai momentum linier seluruh kristal 











25

%engan demikian pers.()!):* dapat diinterpretasikan sebagai kekekalan momentum linier dalam proses tumbukan

Jnergi kinetik "ang berkaitan dengan moment'm linier kristal terseb't adalah  E  K 

=

( G

hkl 

)

2

2 M 

dengan M adalah masa kristal. Masa kristal adalah sangat besar dibandingkan dengan energi oton "ang terlibat& sehingga energi kinetik di atas hampir mendekati nol.

2#

Bila s'at' kristal riil ditembaki dengan berkas netron monokromatik sehingga terjadi interaksi antara netron dengan inti atom "ang dalam keadaan bergetar "ang diinterpretasikan sebagai onon. 'k'm kekekalam moment'm linier din"atakan sebagai& ()!);* k ' k7 Ghkl+ K 







2/

Ke$e$a"an energ da"am *roses !erseu! dn/a!a$an seaga 

2

k 2

2m

=



2

k <2

2m

+

( Ghkl  ) 2 2 M 

± ω  K 

m+ masa ne!ron  M+masa se"uru $rs!a" onon5

 ada"a re$uens

K 

27

elah diseb'tkan di atas baha energi kinetik kristal adalah mendekati nol& sehingga 2

 k 

2

2m

2

=

 k <

2

2m

± ω 

 K 

26

KESIMPULAN =engan demikian dapat disimp'lkan

15 Ge"omang dar #ras $s da"am $rs!a" ada"a *engu"angan *er*ndaan a!om$ ("ong!udna"6 !rans#ersa" a!au $omnas $eduan/a)5 d$ara$!ersas o"e ' 7e*a! rama! ge"omang # Pan8ang ge"omang  a!au #e$!or ge"omang 9 $ 9+ 2 , %re$uens

 a!au re$uens sudu!

 + 2

 + # $

25 %onon ada"a $uan!sas dar ge!aran $s $rs!a"5 35 Da"am n!era$sn/a dengan *ar!$e"6 onon er*r"a$u seaga *ar!$e" dengan momen!um "ner !er!en!u5 45 uungan an!ara re$uens onon dengan momen!umn/a !da$ *er"u "ner6 !ergan!ung *ada en!u$ *ersamaan ds*ers  + (K)

3;