PROBLEMA DE POTHENOT
PROBLEMA DE PHOTENOT 1.- OBJETIVOS .- Los objetivos de la práctica son los si!ientes"
E n tr t r e l o s o b j e ti t i v os o s p r i n ci c i p al a l e s e s e l a p re r e n d e r a d e te te r# in a r l a p o s i c i $ n d e ! n p ! n t o c ! a l % ! i e r a s o b r e ! n d e t e r # i n a d o t e r r e n o !bicado dentro de !n v&rtice dado' por eje#plo desp!&s de (aber ( e c( c ( o l a # e d ic i c i $ n d e l a r e d d e t r i a n n ! l a c i$ i $ n' n ' p ! d i & n do d o se se deter#inar #ediante án!los %!e se #iden c!idadosa#ente ) con p r e c i s i $ n a n ! l a r ' a d e # á s ! t i l i * a n d o # & t o d o s r e p e t i t i v o s a t r e s p ! n t o s p e r t e n e c i e n t e s a l o s v & r t i c e s d e l a r e d d e t r i a n ! l a c i $ n . As+ #is#o al aprender a reali*ar la obtenci$n de datos necesarios en la #edida de los v&rtices' distancias ) án!los en la red de t ri r i an a n ! l a c i $ n d e l as a s a n t er e r io i o r e s p r a c t ic i c a s ) c o n e s t á ! l t i# i# a l a o b te t e n ci c i $ n d e l o s á n ! ! l o s d e l v & rt r t i c e d a d o r e s p ec ec t o d e l p ! nt o a ! b i c a r c o n l o s p ! n t o s d e l v & r t i c e' e' p o d r e # o s r e a l i * a r l a s o l ! c i $ n d e este proble#a al deter#inar el p!nto b!scado por dos #&todos el r á , i co c o # ed e d i a n t e i n s tr t r ! # en e n t o s e o # & t r ic i c o s s in in n ec es id ad d e reali*ar cálc!los' ) el anal+tico o de abinete !tili*ando ,or#!las triono#&tricas ) otras de relaciones co#probadas.
2 . - F u n d a m e n t o T eó eó ! " o . PROBLEMA DE POTHENOT El proble#a de p(otenot se !tili*a para deter#inar n!evos p ! n t o s d e l t e r r e n o d e s p ! & s d e ( a b e r ( e c ( o o r e a l i * a d o t o d a l a # e d ic i c i$ i $ n d e l a r e d d e t r i a n ! la l a c i$ i $ n . E s t e p ro r o bl b l e # a r e s ! el el t o p r i # e r a # e n t e p o r ( e l l i ! s ) d e s p ! & s p o r P ( o t e n o t ' e s t a # b i & n c o n o c i d o c o n e l n o # b r e d e T re re s p ! n t o s ' % ! e c o n s i s t e e n d e t e r # i n a r l a p o s i c i $ n d e ! n p ! n t o p o r # e d i o d e l o s á n ! l o s % ! e d e s d e e l s e # i d a n ' a tres p!ntos de posici$n conocida' estos p!ntos p!eden ser v&rtices d e ! n a t r i a n ! l a ci c i $ n o v & rt r t i c e s d e ! n c ! a d r i l á t er er o o p ! nt os d e ! n p o l + o n o ' o p ! n t o s c ! a l e s % ! i e r a d e c o o r d e n a d a s c o n o c i d a s c o n l o s c!ales deben liarse. Este procedi#iento es aplicable' especial#ente c!ando el p ! n t o p o r s i t ! a r e s t á # ! ) a l e j a d o d e l o s p ! n t o s c o n o c i d o s ' o e s t a n d o c e rc r c a ' l a s # e d i d a s d e l a s d i st s t a n c ia i a s a e s to t o s p ! n t o s c o no n o c id id o s s o n di,+ciles de (acerlos' o res!ltan i#precisas por obstá c!los del terreno. N o r # a l # e n t e l o s t r a b a j o s d e r e d e s d e t r i a n ! l a c i $ n a b a r c a n l o n i t ! d e s b a st s t a n t e r a n d e s e n tr t r e s ! s v & rt r t i c e s l o % ! e n o p e r# r# it en t e n e r # ! c (o ( o s p ! n to t o s c e r ca ca n o s c o n ! n a p o s i c i $ n e a ct a ) % ! e p ! e d a n s e r v i r p a r a ! n , in i n d e d i # en e n s i on o n a # ie ie nt o o s er vi r d e b as e d e ! na ta%!i#etr+a' por ello se (a establecido el est!dio de al!na ,or#a o # e t o do d o l o + a d e r e s o lv l v e r e l p r ob o b l e# e # a d e e n co c o n t r a r r á p i d a # e n te te l a p o s i c i $ n d e ! n p ! n t o c ! a l e s % ! i e r a c ! a n d o ) a s e t i e n e r e s ! e l t a l a r e d de trian!laci$n.
TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT P o r l o t a n to t o ( a ) d at a t o s b ás á s i c os o s % ! e d eb e b en e n c on o n o c e rs rs e p r e v i a # e n t e a n t e s d e l a r e s o l ! c i $ n d e l p r o b l e # a d e t r e s p ! n t o s ' p o r s e r l a p o s i c i $ n e ac a c t a d e t r e s p ! n t o s c ! a l e s % ! i e r a ) c o n s e c ! ti ti vo s p e r t e n e c i e n t e s a la red de trian!laci$n c! )os lados est&n d e te t e r #i # i n a d a s ' e l á n ! l o i n te t e r no n o , o r # a d o p o r e s t o s d o s l a do do s d e l a trian!laci$n' las coordenadas pertenecen a los tres p!ntos básicos o p o r l o # e n o s ! n o d e e l l o s ' e l a * i # ! t i n i c i a l o e l a * i # ! t c a l c ! l a d o p a r a !no de los lados. En este caso solo necesita#os de !na posici$n instr!#ental' pero tres p!ntos conocidos para la observaci$n de los án!los necesarios %!e son deter#inados en ca#po.
S! t enemo# e$ # !%u!ente &o'$ema (
A) B * + &unto# "ono"!do#. P ( Punto &o "ono" e. r d e n a da da s d e A ' B ) 2 ) á n !l o s ) # e di d a s d e c a # p o e n e l D a t o # ( 2 o o rd P!nto P. e r e % ! i er e r e d e t er e r #i # i na n a r " P A , P B , * P + , ' t a # b i & n l as as coordenadas del p!nto P. 3' 4 án!los a!iliares. Este proble#a de los tres p!ntos o P(otenot tiene varias s o l ! c i o n e s r á , i c a s ) a n a l + ti t i ca c a s ' ) % ! e t a # bi b i & n v e r e # o s l os os d os #&todos.
So$u"!ón Ana$t!"a.- Aplicando la si!iente relaci$n" E"ua"!ón de $a Sem!#uma Po Re$a"!ón de SENOS .α + β + υ + X + Y = 5678 X + Y = 567 − α − β − υ
X + Y = 567 − ;α + B + υ 9 = m
AB
sen α ;:9
=
BP sen X
<
sen X =
BP
<
BC
AB TOPO/ R =Asen 0 1α A 1 1 sen β
sen Y =
=
BP sen Y
BP BC = SEN
PROBLEMA DE POTHENOT
Po t !%onomet a" + o n e # t o # e $ e m e n t o # m / * n / # e & u e d e e # " ! ' ! "
tan:? > = ; X + Y 9 =
sen X + sen Y =
sen X − sen Y =
;tan:? > = m9 n
; BP = BC = sen γ − BP = AB = sen β 9 ; AB = BC 9 ; BP = BC = sen α − BP = AB = sen β 9 ; AB = BC 9
Enton"e# " ; X Y 9 −
=
> = ;arctan g ;
;tan : ? > = m9
; BC = senα + AB = senβ 9 ; BC = senα − AB = senβ 9
n
=
n
99
; >9
;Cantida conocida por estar en funcion de datos conocidos 9
L a s e c! c ! ac a c io i o n e s ; : 9 ) ; > 9 n os os d a n ! n s i s t e # a d e d os ec!aciones con dos inc$nitas' del c!al se obtienen los valores de 0/ ) /' ) con ellos )a se p!eden calc!lar los án!los en B/) ) por le) d e s e no n o s l a s d i s t a n c i a s P A ) P B * P + ' ) c o n s ! s p r o ) e c c i o n es es ' l a s coordenadas de P. En !n siste#a de ec!aciones co#o este"
+a#o# de$ Po' $ema d e$ Pot enot ( X + Y
=
A
;:9
X − Y
=
B
; >9
X = Y =
A
> A >
+
−
B
> B >
+ a # o I d e a $. - 2 ! a n d o e l p ! n t o P e s t á e n e l c e n t r o d e l t r i á n ! l o c o n ,or#a cercana al e%!ilátero" TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT
Ota #o$u"!ón Ana$t!"a BP
=
sen X
BP
AB
sen α
; AB = sen X 9 =
Ecuacion ;:9
;sen α 9
I%ua$ando $a# E"u a"!one# 1 * 2 tene mo# ( BP sen X
BP =
3@4 3
BC
=
sen β
; BC = sen Y 9 ;sen β 9
Ecuacion Ecuacion ;>9
4 5 6 7 8 8 / 3 R
; AB = sen X 9 senα
=
; BC = sen Y 9 sen β
AB = sen β = sen X = BC = sen Y = senα
3@4
Ecuacion Ecuacion
;59
R +ant!dad "ono"!da/
De donde"
3 m-0 . r t e s d e ! n a t r i a n n ! la la c i$ n o P a t t e # d e u n a t !a ! a n %u % u $a $ a " !ó ! ó n . - L a s p a rt ele#entos básicos son"
a/ '/ "/ d/
L n n ea e a B a # e. e. 9 n% n % u$ u $ o# o# . B a# a # e An A n a $ $ t !" !" a . L n e a d e V e ! : !" !" a " ! ó n .
a / L n ea ea B a # e . - E s e l p r i # e r l a d o d e l a p r i # e r a , i ! r a d e l a r e d d e t ri r i an a n ! la l a c i $ n c ! ) a i #p # p o r ta t a n c ia i a e s , !n ! n d a #e #e n t a l p o r l o % !e s e reco#ienda %!e la #edici$n de la #is#a sea #ás c!idadosa#ente por ello se deben se!ir al!na #etodolo+a %!e per#ita tener !n valor con,iable de la l+nea base.
TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT i d e n c o n l os o s ( o r i* i* on ta le s % !e ' / 9 n% n % u$ u $ o# o # . - L o s á n ! l o s % ! e s e # id , o r #a # a n ! n a l + n e a e o # & t r i c a . E s t o s á n ! lo lo s s o n i # p o r ta n t es p o r l o % ! e s ! p o si s i c i $ n ) p r e c is i s i $ n e s n e ce c e s ar a r i a ' p a ra r a e l lo l o e is is te # &t od o s conocidos co#o el de reiteraci$n.
" / B a # e A na n a $ t t ! " a . - L a b a se s e a n a l +t + t i c a e s a % ! e ll ll a % ! e s e o b ti en e e n ,or#a anal+tica o de cálc!lo en base a las #edidas de los án!los ) l+nea base. d / L n e a d e V e !: !: ! " a " ! ó n . - L a l + n e a d e v e r i , i c a c i $ n e s e l l t i # o l a d o de la ,i!ra de la red de trian!laci$n' %!e sirve para controlar ) veri,icar los cálc!los obtenidos de la red' pa ra ello se #iden de ca#po ) se co#para con el valor obtenido anal+tica#ente.
Memo!a de $a &a"t!"a El desarrollo de está práctica ;proble#a de pot(enot o de los tres p ! n t o s 9 ' e s e n b a s e a l a s p r a c t i c a s a n t e r i o r e s d e L + n e a B a s e ) P r o b l e # a d e H a n s e n ' ) a % ! e p ! e s l o r e a l i * a # o s t o # a n do e n c ! e n t a d e l a r e d d e t ri r i an a n ! l a c i $ n , or o r #a # a da d a d e l as a s a nt n t er e r io i o re r e s p ra r a c t ic ic a s ) a #encionadas ) %!e los datos anotados en las #is#as nos ,!eron de ! t i l i d ad a d p a r a l o s t r a b a j o s d e a b i n e t e . A c o n t i n ! a c i$ i $ n d e t a l l a re re # o s l a sec!encia del trabajo reali*ado en ca#po" : 9 N o s ! b i c a # o s e n e l l ! a r d e l l e v a n t a # i e n t o t o p o r á, á , i c o r e a li l i * a do do anterior#ente' !bica#os tres p!ntos básicos de n!estro c!adrilátero los c!ales nos servirán en la resol!ci$n del proble#a de p(otenot' siendo estos p!ntos A' B ) 2 L a v e n t a j a d e l a e l e c c i $ n d e e s t os o s p ! n t o s e st st á e n % ! e t e n e # o s e l a * i # ! t d e A B ) s ! s r e s p e c t i v as d i s t a n c i a s d e l a l + n e a b a s e AB ) del lado B2' %!e ,or#an el v&rtice del p!nto 2 > 9 e ! id i d a # en en t e r e a l i* a # os a l , i ja r e l p ! n to a d e t e r #i n a r e l c ! a l l o d en e n o # i n a #o # o s p ! n t o P % ! e l o ! b ic i c a #o # o s e n t r e e l v &r &r t i c e 2 seCalándose con !na estaca. 5 9 P o s t e r io i o r # e n t e i n s ta t a l a # o s l o s i n s t r ! # e n to to s p a r a l a # e d i c i$ n d e l o s á n ! l o s a l , a ) b e ta t a ' c o lo l o c an a n d o e l T e od o d o l i to t o e n e l p ! n t o P c o #o #o e s t a c i $ n ' ( a c i e n d o l a d e b id i d a i n s t a l ac a c i $ n d e l t r + p o d e ) l a d e b id id a nivelaci$n ) !bicaci$n de la plo#ada $ptica en el p!nto P' del' Teodolito. 9 n a v e * c a l i b r a d o ) n i v e l a d o e l i n s t r ! # e n t o r e a li li * a # o s l a # e d ic i $ n d e l á n !l o a $ : a ' c o l o c an d o ! n j a l $ n e n e l p ! n to A ) o t r o e n 2 d e # a n e ra r a % ! e i r a #o # o s l a v i s ! a l d e l t e o d o l it it o d e l p ! n t o A ( a s t a 2 r e a l i * an a n d o c i n c o # e d i c i o n e s a n ! l a r e s ' e s d e c ir ir % ! e d e l a p ri # e r a # e d i c i $ n d e l á n ! l o a $ : a s e c o l o c a e n s to t o p e l n o n i o % ! e # id id e e l á n ! l o ( o r i * o n t a l e n e l p ! n t o 2 d e s p ! & s d e ( a b e r i r a d o d e s de de A d e l c ! a l a l r e al a l i * a r l a s e ! n d a # e d i ci c i $ n d e l # is is #o á n ! l o e st e contine desde donde se det!vo el nonio. F 9 e !i da # #ee n t e r e a l i *a * a # o s l a # ed ed ic i$ n d el á n !l o ' e t a d e i ! al ,or#a %!e en el anterior procedi#iento' visando el p!nto B con el instr!#ento' colocando el án!lo (ori*ontal en cero de la pantalla TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT d e l i n s t r ! #e # e n t o re r e a l i * a n d o e l ba ba r r i d o d e l á n ! l o ( a s t a e l p! p! n t o A ) l!eo colocando en pa!se el instr!#ento para contin!ar con la #edida del án!lo en !n total de cinco lect! ras. 6 9 E n c a d a c a s o d e l a # e d i c i$ i $ n d e l o s á n ! l o s s e r e a l i *a * a l a d i v i s i$ i$ n d e l a s ! # a t o r i a d e l o s á n ! l o s e n t re r e c i n c o d e # a n e r a d e o b te te n e r e l án!lo verdadero #ás aproi#ado. G 9 E n t o d o e s t e p r o c e s o r e a l i *a * a d o e n l a s # e d i d a s d e lo lo s á n ! l o s s e l o s r ea e a li l i * o c on o n # ! c ( a c a ! te t e la l a ) p r e c a !c ! c i$ i $ n c on o n e l , in i n d e e vi v i ta ta r #a)ores errores en la apreciaci$n de las lect!ras an!lares.
4.-Memo!a de $a &a"t!"a El desarrollo de está práctica ;proble#a de p(otenot o de los tres p ! n t o s 9 ' e s e n b a s e a l a s p r a c t i c a s a n t e r i o r e s d e L + n e a B a s e ) P r o b l e # a d e H a n s e n ' ) a % ! e p ! e s l o r e a l i * a # o s t o # a n do e n c ! e n t a d e l a r e d d e t ri r i an a n ! l a c i $ n , or o r #a # a da d a d e l as a s a nt n t er e r io i o re r e s p ra r a c t ic ic a s ) a #encionadas ) %!e los datos anotados en las #is#as nos ,!eron de ! t i l i d ad a d p a r a l o s t r a b a j o s d e a b i n e t e . A c o n t i n ! a c i$ i $ n d e t a l l a re re # o s l a sec!encia del trabajo reali*ado en ca#po" 1 / N o s ! b i c a # o s e n e l l ! a r d e l l e v a n t a # i e n t o t o p o r á , i c o r e a l i * a d o anterior#ente' !bica#os tres p!ntos básicos de n!estro c!adrilátero los c!ales nos servirán en la resol!ci$n del proble#a de p(otenot' siendo estos p!ntos A' B ) 2 L a v e n t a j a d e l a e l e c c i $ n d e e s t os o s p ! n t o s e st st á e n % ! e t e n e # o s e l a * i # ! t d e A B ) s ! s r e s p e c t i v as d i s t a n c i a s d e l a l + n e a b a s e AB ) del lado B2' %!e ,or#an el v&rtice del p!nto 2 : 9 e ! i d a #e # e n t e r e a l i * a #o # o s a l , i j a r el el p ! n t o a d e t e r# i n a r e l c ! a l l o d e n o # in in a # os p ! n to P % ! e l o ! b i c a # #o o s e n t r e e l v & r ti t i ce ce 2 seCalándose con !na estaca. > 9 P o s t e r io i o r # en e n t e i n s ta t a l a # o s l o s i n s t r ! #e # e n t o s p a r a l a # e d ic ic i $ n d e los án!los al,a ) beta' colocando el Teodolito en el p!nto P co#o estaci$n' (aciendo la debida instalaci$n del tr+pode ) la debida nivelaci$n ) !bicaci$n de la plo#ada $ptica en el p!nto P' del' Teodolito. 5 9 n a v e * c a l ib i b r a d o ) n i v e l ad a d o e l i n s tr t r ! # en en to r ea li *a # #o os la # e di c i $n d e l á n ! l o a $ : a ' c o l o c a nd o ! n j a l $n e n e l p ! n t o A ) o t r o e n 2 d e # a n e ra r a % ! e i r a # o s l a v i s! s! a l d e l t e o d ol i t o d e l p ! n t o A ( a s t a 2 r e a l i * a n d o c i n c o #ediciones an!lares ' es d e c ir i r % ! e d e l a p r i # e r a # e d ic ic i $ n d e l á n ! l o a $ : a s e c o l o c a e n s to t o p e l n o n i o % ! e # id i d e e l á n ! l o ( o r i* i* o n ta l e n e l p ! n to 2 desp!&s de (aber irado desde A del c!al al reali*ar la se!nda #edici$n del #is#o án!lo este contine desde donde se det!vo el nonio. 9 e ! i d a #e # e n t e r e a l i * a# a # o s l a # e d i c i $ n d e l á n ! ! l o ' e t a d e i ! al ,or#a %!e en el anterior procedi#iento' visando el p!nto B con e l i n s t r ! #e # e n to t o ' c o lo l o c a n d o e l á n ! l o ( o ri r i * on o n t al a l e n c e ro ro d e l a TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT p a n t a l l a d e l i n s t r ! # e n t o r e a l i * a n d o e l b a r r i d o d e l á n ! l o (asta e l p ! n t o A ) l !e ! e o c o l o c a n d o e n p a ! s e e l i ns n s tr t r ! # en en to p ar a contin!ar con la #edida del án !lo en !n total de cinco lect!ras. F 9 E n c a d a c a s o d e l a # e d i c i $ n d e l o s á n ! l o s s e r e a l i *a *a l a d i v i s i $ n d e l a s ! #a # a t o r i a d e lo l o s á n ! l o s e n t r e c i nc nc o d e # a n e r a de o b t e n e r el án!lo verdadero #ás aproi#ado. 6 9 E n t o d o e s te p r o c e so r e a l i* a d o e n l a s # e d i da s d e l o s á n ! l o s s e los reali*o con #!c(a ca!tela ) preca!ci$n con el ,in de evitar #a)ores errores en la apreciaci$n de las lect!ras an !lares.
MATERIALES • • • • • • •
Teodoloito Tripode > Miras 0leo#etro Estacas 2o#bo Tac(!elas
So$u"!ón ;<:!"a .- Es el #&todo #ás sencillo pero #ás eacto' este #&todo p!ede aplicarse para dib!jar de in#ediato los p!ntos sit!ados p o r e s t e # & t o d o .
Po"ed!m!ento .En este #&todo de la sol!ci$n del proble#a de tres p!ntos o p(otenot no re%!iere de cálc!los anal+ticos' es total#ente rá,ico ) p a r a e l l o s e d e b e ( a c e r l o s i ! i e n t e "
a/ e elie !na escala conveniente de ac!erdo a la #anit!d de las distancias entre el v&rtice ) la !bicaci$n de l p!nto =P>. c a l a a d op o p t ad a d a e n , ! nc n c i $ n d e l a * i # ! t i n i c ia i a l o e l a * i# i# !t ' / A l a e s ca "/
c on o n o c id i d o s e rá r á , i c a a l o s t re r e s p ! n to t o s r e, e , er e r e n te t e a s ! s l a do do s correspondientes. E n e l v & rt r t i c e A ) e l v & r t i c e B d e l p r i # e r l a d o s e # id id e e l v a l or a n ! la l a r d e ; 7 88- α 9 ' ( ac ia d en tr o' e n c as o d e % ! e e l á n !l o s ea TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT #enor a 78. i el án!lo es #a)or a 78 a partir de los v&rtices A ) B se #ide el án!lo ;78@ α9' (acia ,!era. En a#bos casos esos á n n ! l o s # e di d i d o s a li l i n e e n ! n o s e s d e c ir i r l os o s á n n ! l o s # e di d i do do s o r i i n a n ! n o s a l i n e a #i # i e n t o s d i r ec e c c i o n a l e s % ! e s e i n t er er c e pt a n e n a l n p ! n t o c o n o ci c i & n d o s e a e s t e p ! n to t o d e i n t e r s e c c i $ n c o # o O: ! orien de la pri#era circ!n,erencia. d / e r e p i t e e l # i s # o p r o c e d i #i e n t o d e l a n t e r i o r i n c i s o p e r o e s t á v e * e n tr t r e l o s v & r t i c es e s B ) 2 ) t o #a # a n d o c o #o # o á n ! ! lo l o e l á n ! lo lo e s t a b l e c i d o' o ' e s t a b l ec e c i & n d o s e t a # b i & n l a s # i s # a s p o s ib ib i li d a de s e n t a n t o # a )o ) o r o # e n o r a 7 8 ) t a # b i & n se s e d a o r i e n a l c e n t r o O> d e la se!nda circ!n,erencia. e n e s O : ) O > s e r a , i ca c a n l as as d os e / H a c i e n d o c e n t r o e n l o s o r + e circ!n,erencias' donde se interceptan estas circ!n,erencias será el p ! n t o I P J . # o l a r á, á , i c a e s tá t á a e s c a la la s i s e c o no c e l a s c o or de n ad a s d e l : / 2 o #o p ! n t o A ' d e t e r # i n a # o s l o s v a l o r e s a e s c a l a v e r t i c a l ) ( o r i * o n t a l d e l as a s p ro r o )e ) e c c io i o n e s e s d e c ir i r d e l l ad ad o AP s e p od rá n o b t e n e r l as c o o rd e n ad a s d e l p ! n t o I P J ' ) a s e a s ! #a n d o o r e st a n do e l v a l o r e n e l s e n t i d o n o r t e o e n e l s e n t i d o e s t e ' a l a s c o o r d e n a d a s i n i c i a le s ' ) as+ (abre#os conse!ido deter#inar la posici$n eacta del p!nto IPJ' #ediante el #&todo rá,ico.
Paa * m enoe# de
[email protected] e n i en e n d o d i b ! j a d o s l o s p ! n t o s A ' B ) 2 s e t r a * an an d o s circ!n,erencias' de tal #odo %!e AB ) B2 sean c!erdas de ellas' ) %!e d e s d e l a s c i r c ! n , e r e n c i a s s e v e a n r e s p e c t i v a # e n t e' A B b a j o e l á n ! l o ) B2 bajo el án!lo. Para esto co#o el án!lo central es el doble del án!lo b a j o e l c ! a l s e v e l a c ! e r d a d e s d e l a c i r c ! n , e r e n c i a s e t r a * a n e n ; A 9 ) e n ; B 9 á n ! lo l o s ; 7 - α 9 ' p a ra r a , o r #a # a r ! n t r i á n n ! lo l o e n c ! )o ) o v & rt r t ic ic e %!ede el án!lo ;>9 ) %!e será entonces el centro ;O9 de la circ!n,erencia re%!erida. Lo #is#o se (ace con B2 ) el án!lo' ) el cr!ce de a#bos c +r + r c ! lo l o s s e e n co c o n t r a ra r a e l p !n ! n to t o b !s ! s c ad a d o P % ! e c ! # p le l e a #b # b as as condiciones a !n #is#o tie#po.
Paa 9n%u$o# de * Ma*oe# a ?5@.e constr!)en las circ!n,erencias en ,or#a se#ejante del caso anterior pero #arcando ; α -79 ) ;β -79 (acia el lado op!esto del p!nto IPJ.
TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT
. - + O N + L S I ON ON E S •
L a s c o n c l ! s i o n es e s t á n e n e r a d a s e n b a s e a l a , o r # a d e e j e c ! t a r está práctica' )a %!e al reali*ar en ,or#a c!idadosa#ente ) con es#ero se llean a tener res!ltados $pti#os %!e nos per#itirán ejec!tar pro)e ctos de s!#a i#portancia co#o ser de c on o n s t r !c ! c c i $n $ n d e c a r re r e te t e ra r a s ) o t r as a s % ! e c o n l as a s p r a c t ic ic a s ,inali*adas anterior#ente podre#os aplicar estos #&todos.
•
En estos tipos de trabajos toporá,icos es #!) i#portante tener e n c ! e n t a l o s p r o b l e # a s % ! e p ! e d en e n a c a r r e a r l a i # p r e v is is i $n d e no tener los c!idados necesarios en el #anejo de la i ns n s t r ! # en e n t a c i $ n d e # ed e d i c i $ n p ! e s p r o v o c a r a e r r o r e s e n l os os cálc!los.
TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT
•
Pode#os decir %!e está práctica se ejec!to de ,or#a satis,actoria )a %!e se cont$ con los instr!#entos necesarios ) con la eplicaci$n nece saria por parte del docente de la #ateria.
•
El proble#a de POTHENOT ta#bi&n conocido co#o proble#a de l os o s t re r e s p ! n t o s d e n t r o d e l a t ri r i an a n ! l a c i $n $ n ' e st s t e s e r e , ie ie re r e s o lv l v e r a p a rt r t i r d e d a to t o s d e l a t r i a n ! l a c i $ n l a p o si s i c i$ i$ n d e p ! n t o s s o b r e s a l i e n t e s % ! e e s t á n ! b i c a d o s e a c t a # e n t e e n b a s e a la trian!laci$n.
•
E s t o s p ! n t o s p ! e d e n l o ca c a l i * a r s e d e sd s d e l o s p ! n t o s e is i s t e n te te s c a l c! c ! l á n d o s e ) c o # p e n s á n d o s e e l t ri ri án ! lo c o# o ) a s e ( a i n d i c a d o . P e r o p a r a ( a c e r l a s o b s e r v a c io io n e s n e c e s a r i a s t i e n e % ! e instalarse el instr!#ento en los tres p!ntos ) para dis#in!ir este trabajo se rec!rre al proble#a de Pot(eno t.
•
En este caso sola#ente se necesitan !na posici$n instr!#ental' p e r o t r e s p ! n t o s c o n o c i d o s a t r á s p a r a l a o b s e r v a c i $ n d e l o s á n ! l o s n e c e s a r io i o s ' e s p e c i a l # en e n t e s i l os os c !a tr o p !n to s s e enc!entran casi sobre la #is#a circ!n,erencia.
•
0 r e c! c ! e n t e # e n t e e n l o s l e v a n t a #i # i e n to t o s t o p o o r á ,i ,i c o s s e r e % !i e re l a ! b i c a c i $ n c o n e a c t i t! t ! d d e p ! n t o s s i n ! l ar ar e s c o # o s e r p o r e j e # p l o ( P ! e n t e s ' A l c a n t a r i l l ad a d o s ' O b r a s d e T o# o# a ' T a n % ! e s d e A l # ac a c e n a # ie ie nt o' e tc . L os c !a le s s on p !n to s e se nc ia l# en te b á s i c o s d e a l n p r o ) e c t o d e o b r a s c i v i l e s ' % ! e r e % ! i e r e ! n a p r e c i s i $ n # á s e a c t a c o n r e s p e c t o a l o s d e # á s p ! n t o s d e l levanta#iento.
C.-RE+OMENDA+IONES. •
Es reco#endable reali*ar las #ediciones en d+as te#plados para e v i t a r e rr r r o r e s p r o v o c a d o s p o r e l c a l o r' r ' p o r % ! e e s to t o s e r r o r es es n o se p!eden correir.
•
P a r a % ! e l a # e di d i c i $ n s al a l a b i e n ( a ) % ! e r ev e v i s ar a r b ie i e n l os os #ateriales con %!e se van a trabajar ) veri,icar %!e est&n en b ! e n e s t a d o p a r a e v i t a r e r r o r e s e n l o s c á l c ! l o s .
•
P a r a % ! e l a p r á c t i c a s e a r e a l i* i * a d a c o n & i to to s e d e b e c o n t a r c o n TOPO/RA01A 11
PROBLEMA DE POTHENOT # a t e r ia ia l s ! , i c i e n t e p a r a r e a l i * a r l a ' e n n ! e s t r o c a s o n o c o n t a # o s con #!c(os instr!#entos ) con los pocos %!e tene#os (a) %!e reali*ar la práctica con rapide* por%!e otro r!po lo necesita.
-PLANO
TOPO/RA01A 11
