Metodo de Pothenot

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

TOPOGRAFIA II

METODO DE POT*ENOT

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Académico Académico – Po!esio"al P o!esio"al de I"#e"ie$a Ci%il TOPOGRAFIA II I"&e#a"&es' -

BELTRAN RODRIGUEZ , Carlos GOMEZ PAREDES, Litman LUJAN RAMIREZ , Do!las SOLORZANO RODRIGUEZ , P"t"r

Doce"&e' Villar Villar #iro$, %osal&o

Fec(a'

' &" no(i"m)r"

1


TOPOGRAFIA II

)ETODO DE POT*ENOT

INTRODUCCION' El +ro)l"ma Sn"llisPot-"not "s n +ro)l"ma "n "l +lano &" to+o!ra./a 0 T"ni"n&o "n 1"nta tr"s +ntos 1ono1i&os A, B 2 C, n o)s"r(a&or "n n +nto &"s1ono1i&o P o)s"r(a 3" "l s"!m"nto AC a)ar1a n 4n!lo 2 "l s"!m"nto CB s)ti"n&" n 4n!lo 5 "l +ro)l"ma "s &"t"rminar la +osi1i6n &"l +nto P0 Da&o 3" s" trata &" la o)s"r(a1i6n &" los +ntos 1ono1i&os &" n +nto &"s1ono1i&o, "l +ro)l"ma "s n "%"m+lo &" la r"s"11i6n0 *ist6ri1am"nt" s" "st&i6 +or +rim"ra ("$ +or Sn"llis , 3" "n1ontr6 na sol1i6n -a1ia 78790

+IOGRAFIA' :ill")ror& Sn"l (an Ro2"n ;L"i&"n, 79<=  '= &" o1t)r" &" 78>8?, tam)i@n 1ono1i&o 1omo Sn"llis " in&")i&am"nt" r".l"%a&o 1omo Sn"ll, ." n astr6nomo 2 mat"m4ti1o -olan&@s 1"l")r" +or la l"2 &" la r".ra11i6n 3" ll"(a s nom)r"0 Intro&%o (arios &"s1)rimi"ntos im+ortant"s so)r" "l tamao &" la Ti"rra 2 r"ali$o m"%oras al m@to&o a+li1ati(o &"l 14l1lo0

TOPOGRAFIA 2


TOPOGRAFIA II

En 7879 Sn"llis, &"s+@s &"l tra)a%o &" Erat6st"n"s "n E!i+to +tol"mai1o "n "l si!lo ' aC, +ro)a)l"m"nt" ." "l +rim"ro "n tratar &" -a1"r n "+"rim"nto a !ran "s1ala +ara m"&ir la 1ir1n."r"n1ia &" la ti"rra san&o trian!la1i6n0 F" a2&a&o "n ss m"&i1ion"s +or &os &" ss "st&iant"s, los )aron"s &" Astria Erasms 2 Cas+ars St"rr"n)"r!0 En (arias 1i&a&"s 3" tam)i@n r"1i)i6 "l a+o2o &" ami!os "ntr" los l/&"r"s &" la 1i&a& ;R"!"nt"n ?0En s o)ra El terrae ambitus vera cuantificar ;787? )a%o "l nom)r" &"l ator ;Los -olan&"s"s Erat6st"n"s? Sn"llis &"s1ri)" los m@to&os 3" tili$60 S" l" o1rri6 na "stima1i6n &" ><09== )arras &" R"nania  "n ni&a&"s mo&"rnas 7=0'm H9 +ara n !ra&o &" latit& 0 '8= ("1"s 7=0' 1ontina1i6n, &a na 1ir1n."r"n1ia &" la Ti"rra &" '<089' m0 La 1ir1n."r"n1ia r"al 1omo sa)"mos a-ora "s =0=9 il6m"tros0 As/ Sn"llis s)"stim6 la 1ir1n."r"n1ia &" la ti"rra "n n ',9K0 Sn"llis ll"!6 a s r"slta&o m"&iant" "l 14l1lo &" las &istan1ias "ntr" (arios +ntos altos "n "l llano al o"st" 2 "l sro"st" &" los Pa/s"s Ba%os tili$an&o trian!la1i6n 0 Con "l .in &" ll"(ar a 1a)o "stas m"&i1ion"s 1on +r"1isi6n Sn"llis t"n/a na !ran 1a&rant" int"!ra&o, 1on "l 3" +&o m"&ir 1on +r"1isi6n los 4n!los "n &@1imas &" !ra&o0 Est" 1a&rant" to&a(/a s" +"&" ("r "n "l Ms"o Bo"r-aa(" "n L"i&"n0 En na r"& &" 1ator1" 1i&a&"s s" r"ali$aron n total &" 9' m"&i1ion"s &" trian!la1i6n0 En ss 14l1los Sn"llis -a1" so &"l -"1-o &" 3" -a)/a "n1ontra&o na sol1i6n +ara lo 3" a-ora s" llama "l Pro)l"ma Sn"llisPot-"not 0 Por n"1"si&a& Sn"llis ss +ntos altos "ran 1asi to&os a!%as &" las i!l"sias 0 Casi no -a)/a otros "&i.i1ios altos "n "l ti"m+o &"l o"st" &" los Pa/s"s Ba%os0 M4s o m"nos or&"na&a &" nort" a sr 2  o s1"si(a 1on "l .in &" m"&ir Sn"llis tili$a na r"& &" 1ator1" +ntos &" m"&i&a0 La &istan1ia r"al "ntr" las &os torr"s &" las i!l"sias &" Almaar 2 Br"&a , &os l!ar"s 1asi "n "l mismo m"ri&iano , H "s 778,7 il6m"tros0 La &i."r"n1ia &" latit& "ntr" Almaar ;9>  ' 9 N? 2 Br"&a ;97  '9 >= N? s" "+r"sa "n "l sist"ma &"1imal 7,='8 !ra&os0 Asmi"n&o Sn"llis 1orr"!i&o +ara "sto "s n"1"sario 3" -a2a 1al1la&o to&a(/a na &istan1ia &" 7=0'  7,='8  77>,=9 il6m"tros "ntr" "l SintLar"ns"r "n Almaar 2 "l Grot" Q"r "n Br"&a0

FUNDA)ENTO TEORICO' INTERSECCION INVERSA SI)PLE' ,./012-

D"s1ri+1i6n &"l m@to&o R"sol1i6n Gra.i1a In1"rti&m)r" a Priori Planim"tr/a ;,? a? M@to&o &" Pot-"not )? Otras (ariant"s Altim"tr/a;*? O)t"n1i6n &" 1oor&"na&as 1on &atos +r"(ios "n la +ro2"11i6n UTM0

,- Desci3ci4" de )é&odo'

3


TOPOGRAFIA II

La int"rs"11i6n in("rsa sim+l" "s n +ro)l"ma 1l4si1o &" to+o!ra./a 2 "s 1ono1i&o 1omo n +ro)l"ma &" Pot-"not +or s"r ator "l 3" +rim"ro o)t(o la r"sol1i6n nm@ri1a &"l mismo0 La int"rs"11i6n in("rsa sim+l" 1onsist" "n la o)s"r(a1i6n &"s&" n (@rti1" 12as 1oor&"na&as +lanim"tr/as s" +r"t"n&"n o)t"n"r, &" otros tr"s 1 2as 1oor&"na&as son 1ono1i&as0 Los tr"s +ntos (isal"s PA, PB 2 PC +ro+or1ionan los &atos n"1"sarios +ara r"sol("r mat"m4ti1am"nt" "l +ro)l"ma0 S" 1ono1"r4n las 1oor&"na&as A ;a, a?, B ;), )?, C ;1, 1?0

.- Resoluci4" Ga!ica' El !ra.i1o si!i"nt" r".l"%a "l +ro1"&imi"nto &" r"sol1i6n &" na int"rs"11i6n in("rsa sim+l" +or "l m@to&o &" int"rs"11i6n &" los ar1os 1a+a1"s &" los 4n!los ᾳ 2 ᵦ0

El +ro)l"ma no ti"n" sol1i6n 1an&o los 1atro +ntos "st4n "n la misma 1ir1n."r"n1ia0 Can&o "sto s1"&" los &os ar1os 1a+a1"s s" s+"r+on"n0 Esta 1ir1n."r"n1ia s" &"nomina 1ir1n."r"n1ia +"li!rosa, 2 (i"n" &".ini&a +or la 1on&i1i6n ᾳᵦB>==! En na int"rs"11i6n in("rsa "s n"1"sario 1on trolar 3" no s" &" "sta sita1i6n0

4


TOPOGRAFIA II

La !omulaci4" de las ecuacio"es' Pimea ecuaci4" D"notan&o "l ;&"s1ono1i&o? 4n!los &" la PAC 1omo x 2 CBP 1omo y o)t"n"mos 2>ᾳᵦC M"&iant" "l so &" la sma &" la .6rmla 4n!los +ara "l 1a&ril4t"ro PACB0 La (aria)l" C r"+r"s"nta "l 4n!lo int"rno ;1ono1i&o? "n "st" 1a&ril4t"ro "n "l +nto C 0 ;T"n!a "n 1"nta 3" "n "l 1aso "n 3" los +ntos C 2 P "st4n "n "l mismo la&o &" la l/n"a AB, 3" "l 4n!lo C s"a ma2or 3" +i?0

Se#u"da ecuaci4" La a+li1a1i6n &" la l"2 &" los s"nos "n tri4n!los PAC 2 PBC +o&"mos "+r"sar PC &" &os .ormas &i."r"nt"s ;A5C5se"678se"ᾳ 9P5C9 :+5C5se" ;78si" ᵦ Un tr1o til "n "st" +nto "s &".inir n 4n!lo ailiar ɸ &" tal man"ra 3"

Ta"ɸ9 :+Cse"ᾳ78 :ACse" ᵦ 7 ;Una +"3"a nota 3" &")" "star +r"o1+a&o +or la &i(isi6n +or 1"ro, +"ro t"n!a "n 1"nta 3" "l +ro)l"ma "s sim@tri1o, +or lo 3" si no &" los &os 4n!los &a&os "s i!al a 1"ro, +o&"mos, si "s n"1"sario, 1am)iar "l nom)r" &" "s" 4n!lo al.a 2 llamar a la otra ;3" no s"a 1"ro? 4n!lo )"ta, in(irti"n&o los +a+"l"s &" a 2 B tam)i@n0 Esto s"r4 s.i1i"nt" +ara !aranti$ar 3" la r"la1i6n ant"rior "st4 )i"n &".ini&o0 Una a+roima1i6n alt"rnati(a al +ro)l"ma 4n!lo 1"ro s" &a "n "l al!oritmo a 1ontina1i6n?0 Con "sta sstit1i6n s" 1on(i"rt" "n la "1a1i6n

Se" 68se" ;9&a"ɸ Po&"mos tili$ar &os 1ono1i&os i&"nti&a&"s tri!onom@tri1as , a sa)"r,

&a"::<807=ɸ79:,=&a"ɸ 78:,>&a"ɸ 7 tan

tan

[ ] [ ] x − y 2

x + y

=

sen x −sen y sen x + seny

2

Para +on"r "sto "n la .orma &" la s"!n&a "1a1i6n 3" n"1"sitamos

5


TOPOGRAFIA II

&a":?-17:6=;79&a":?-17:ᾳ >ᵦ >C7&a":<80=ɸ 7 A-ora t"n"mos 3" sol1ionar "stas &os "1a1ion"s 1on &os in16!nitas0 Una ("$ 3" x 2 y son 1ono1i&os los &i."r"nt"s tri4n!los s" +"&"n r"sol("r sin ro&"os +ara &"t"rminar la +osi1i6n &" P0 H7 El +ro1"&imi"nto &"talla&o s" m"stra a 1ontina1i6n0

Al#oi&mo de soluci4" T"ni"n&o "n 1"nta &os lon!it&"s AC 2 BC , 2 tr"s 4n!los ᾳ, ᵦ 2 C 0 La sol1i6n +ro1"&" &" la si!i"nt" man"ra, san&o na -o%a &" 14l1lo  •

Cal1lar ɸatan> ;BCs"n ᾳ , ACs"n ᵦ ?0 Can&o atan> "s n or&"na&or &" .n1i6n, tam)i@n llama&o "l ar1o tan!"nt" &" &os ar!m"ntos, 3" &"("l(" "l ar1o tan!"nt" &" la r"la1i6n &" los &os (alor"s &a&os0 T"n!a "n 1"nta 3" "n Mi1roso.t E1"l los &os ar!m"ntos s" in(i"rt"n, +or lo 3" la sintais 1orr"1ta s"r/a  atan> ;AC  W sin ;)"ta?, AC  W s"n ;al.a??0 La .n1i6n atan> 1ontrola 1orr"1tam"nt" "l 1aso "n 3" no &" los &os ar!m"ntos "s 1"ro0

•

Cal1lar  >ᾳᵦC

•

Cal1lar X>atanHtan;ɸ?tan;=09?;ᾳᵦC?

•

En1ontrar ;Q:?> 2 2;:?>

•

Si s"n ᵦYs"nᾳ 1al1lar PCBCs"n 2s"nᵦ m4s s" PCACs"n s"n ᾳ

•

En1ontrar Esto (i"n" &" la l"2 &" los 1os"nos 0?

•

En1ontrar

Si las 1oor&"na&as &" A x A , y A 2 C  x C , y C son 1ono1i&os "n al!nos 1art"siano a+ro+ia&o sist"ma &" 1oor&"na&as a 1ontina1i6n las 1oor&"na&as &" P s" +"&"n "n1ontrar tam)i@n0

Solución geométrica (gráfca): Por "l 4n!lo ins1rito t"or"ma "l l!ar !"om@tri1o &" +ntos &" los 1al"s a)ar1a n 4n!lo &" CAᾳ "s n 1/r1lo 3" ti"n" s 1"ntro so)r" la l/n"a m"&ia &" AC5 &"s&" "l 1"ntro O &" "st" 1/r1lo AC s)ti"n&" n 4n!lo >ᾳ0 D"l mismo mo&o "l l!ar &" los +ntos &" la 3" CB s)ti"n&" n 4n!lo ᵦ , "s otro 1/r1lo0 El +nto P "s &"s"a&o "n la int"rs"11i6n &" "stos &os lo1i0 Por lo tanto, "n n ma+a o 1arta n4ti1a 3" m"stra los +ntos A, B, C, la 1onstr11i6n si!i"nt" !r4.i1a s" +"&" tili$ar

6


•

•

•

TOPOGRAFIA II

Di)%ar "l AC s"!m"nto, "l +nto m"&io M 2 la l/n"a m"&ia, 3" 1r$a +"r+"n&i1larm"nt" al AC M0 En "sta l/n"a &" "n1ontrar "l +nto O &" tal man"ra 3" 0 Di)%ar "l 1/r1lo 1on 1"ntro "n O 3" +asa +or A 2 C0 R"+ita la misma 1onstr11i6n 1on los +ntos B, C 2 "l 4n!lo ᵦ0 Mar P "n la int"rs"11i6n &" los &os 1/r1los ;los &os 1/r1los s" 1r$an "n &os +ntos5 n +nto &" int"rs"11i6n "s C 2 "l otro "s "l +nto &"s"a&o P0?

7

Metodo de Pothenot

Recommend Documents