Ángel Cuizara Cordova
Topografía II
PROBLEMAS DE LOS TRES PUNTOS POTHENOT 1.- OBJETIVOS OBJETIVO ESPECÍFICO: El objetivo principal de esta práctica es resolver el problema de los los tres puntos o problema de Pothenot mediante el e l método analítico y método grafico.
OBJETIVOS SECUNDARIOS: Obtener los datos de campo suficientes para resolver el problema de los tres puntos en gabinete.
Determinar los angulos faltantes (X, Y, Ѳ1 y Ѳ2). Determinar los lados AP, BP y CP. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y P. Determinar mediante solución grafica el problema de Pothenot.
2.- FUNDAMENTO TEÓRICO El problema de Pothenot Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa basa en la la posición de puntos referidos a una red de triangulación. La ventaja ventaja de resolver el problema problema de pothenot es que ya ya se tiene ángulos conocidos como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red. Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar está muy alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno. Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar el posicionamiento de cualquier punto que esté dentro del área circundante del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación. Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de Pothenot es útil en la resolución rápida y e xacta del posicionamiento de cualquier punto.
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METODOS
DE
Topografía II
RESOLUCIÓN
DEL
PROBLEMA DE
TRES
PUNTOS E x i s t e n d o s m é t o d o s: - Solución Analítica - Solución Grafica
a) SOLUCION ANALITICA Es el que se utilizó en la práctica y consta de los siguientes pasos: Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van servir para resolver el problema, determinando los tres vértices consecutivos de apoyo. Ubicar exactamente el punto P en la posición que se desea determinar respecto a la red de triangulación. Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los vértices de apoyo se forman dos direcciones desconocidas que se denominan alfa y beta cuyos valores los debemos determinar en campo siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y repetición y cinco lecturas como mínimo para cada ángulo. Se realiza el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes puntos:
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El método analítico establece dos ecuaciones normales que son: X + y = m X - Y
= 2 arc tag · (
)
Ambas ecuaciones tienen variables conocidas y determinadas previamente como incógnitas tienen los valores X y Y, que se obtienen de la resolución del sistema de dos ecuaciones. Además podemos hacer una co mprobación utilizando la siguiente relación: Ѳ1 + Ѳ2 = μ
Una vez realizado la comprobación se procede a resolver el cálculo de la distancias (AP, BP y CP) aplicando el teorema de los senos del se tiene las siguientes relaciones.
=
=
=
=
=
=
b) SOLUCION GRAFICA METODO GRAFICO: Este método se lo utiliza para resolver el problema de Pothenot, mediante una grafica; este método es mucho más directo pero menos preciso y se toma en cuenta los siguientes aspectos para su resolución:
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PARA ALFA Y BETA MENORES DE 90º (α<90º; β<90º) Si α < 90º 90º – α; el punto 0 está por debajo de la línea AB. Si β < 90º 90º – β; el punto 0 está por debajo de la línea BC.
Primeramente se observa si los Angulos α y β son menores a 90º, en ese caso se resta 90º - α y 90º - β, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de 90º - α y 90º - β y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan las dos circunferencias se lo llama punto P. Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2. PARA ALFA Y BETA MAYORES DE 90º (α>90º; β>90º) Si α > 90º α – 90º; el punto 0 está por encima de la línea AB. Si β > 90º β – 90º; el punto 0 está por encima de la línea BC.
Primeramente se observa si los Angulos α y β son mayores a 90º, en ese caso se resta α– 90º y β– 90º, por consiguiente se procede a trazar una línea que inicia del punto A y B y en el otro extremo B y C, con una inclinación del Angulo obtenido de la resta de α–90º y β– 90º y de la intersección entre las dos rectas se obtiene un punto O que es el centro de la circunferencia tanto para la recta AB, como para la recta BC, el punto donde se intersectan las dos circunferencias se lo llama punto P.
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Después de realizar todo este proceso se procede a determinar con un escalimetro la distancia AP, BP y CP. Y con un transportador se hallan los angulos X, Y, Ѳ1 y Ѳ2.
CASOS ESPECIALES:
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3.- MEMORIA DE LA PRÁCTICA 3.1 MATERIALES Estación total Leica. Dos prismas. Una Brújula. Estacas. Tachuelas.
3.2 PROCEDIMIENTO DE LA PRÁCTICA
Ubicamos los puntos A, B, C y P. Instalamos la estación total Leica en el punto B, para leer el Angulo μ, lecturando cinco veces como mínimo. Luego se procede a lectura de las distancias AB y BC, utilizando la estación total. Cambiar la estación total al punto P para leer los angulos α y β, este procedimiento se realiza cinco veces para cada Angulo leído. Después se llevo a cabo el trabajo de gabinete.
3.3 TRABAJO DE GABINETE a) Solución analítica Datos AB = 71,258m BC = 45,791m α = 49º29º19,6º β = 28º35º29,6º μ = 95º47º49,8º Az AB = 183º
Incógnitas X, Y, Ѳ1, Ѳ2 AP, BP, CP
Coordenadas B, C y P
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Distancia Distancia AB (m) BC (m)
Nº
μ
α
β
1 2 3 4 5
95º47º42º
49º29º47
28º32º22º
71,259
45,796
95º43º30º
49º28º47º
28º35º52º
71,258
45,791
95º50º16º
49º29º01º
28º35º57º
71,258
45,791
95º48º12º
49º29º22º
28º36º62º
71,26
45,788
95º49º29º
49º29º41º
28º37º15º
71,256
45,791
∑
95º47º49,8º
71,258
45,791
49º29º19,6º 28º35º29,6º
m=360º - ( + + ) m = 360º - (49º29º19,6º + 28º35º29,6º + 95º47º49,8º) m = 186º7º21º n= n= n= n = 95º43º13,57º
(
)=(
)=
=
- 0º11º35,98º
X + Y = 186º7º21º X – Y = 2 arc tag · (- 0º11º35,98º) X + Y = 186º7º21º X – Y = -21º53º1,14º 2X = 164º14º19,8º
X = 82º7º9,93º X – Y = -21º53º1,14º Y = X + 21º53º1,14º
Y = 104º0º11,07º
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180º = Ѳ1 + X + α Ѳ1
= 180º - 82º7º9,93º - 49º29º19,6º
Ѳ1
= 48º23º30,47º
180º = Ѳ2 + Y + β Ѳ2
= 180º - 104º0º11,07º - 28º35º29,6º
Ѳ2
= 47º24º19,33º
COMPROBACION + Ѳ2 = μ 48º23º30,47º + 47º24º19,33º = 95º47º49,8º 95º47º49,8º = 95º47º49,8º Ѳ1
b) CALCULO DE LADOS =
=
=> AP = 71,258 *
=> AP = 70,079m
=
=
=> BP = 71,258 *
=> BP = 92,841m
=
=
=> CP = 45,791 *
=> CP = 70,439m
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c) CALCULO DE COORDENADAS N = 1800 A E = 1900
ΔN = 71,258 * cos 3º0º0º = 71,160 ΔE = 71,258 * sen 3º0º0º = 3,729 N = 1800 - 71,160 = 1728,840 B E = 1900 - 3,729 = 1896,271
Δ N = 45,791 * sen 2º47º49,8º = 2,235 ΔE = 45,791 * cos 2º47º49,8º = 45,736 N = 1728,840 - 2,235 = 1726,605 C E = 1896,271 - 45,736 = 1850,534
ΔN = 70,079 * sen 4º52º50º07º = 5,962 ΔE = 70,079 * cos 4º52º50º07º = 69,825 N = 1800 - 5,962 = 1794,038 P E = 1900 - 69,825 = 1830,175
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5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Podemos decir como conclusión que llegamos a resolver el problema de los tres vértices o problema de Pothenot con gran éxito, empleando los métodos dados en clase. Esta práctica fue de fácil aplicación y podemos decir que es una buena forma de resolver el problema que se nos puede presentar en una red de triangulación de un proyecto, aplicando los conceptos básicos y métodos ya vistos en anteriores prácticas tanto así como la presente practica. Para realizar un mejor trabajo se recomienda realizar la práctica en un terreno plano y ubicar los puntos en lugares visibles, tratando de realizar las lecturas con la mayor precisión posible. Teniendo en cuenta que se debe de nivelar nuestra estación correctamente y al momento de lecturar los angulos y distancias tratar de sujetar el prisma nivelando con el ojo de pollo.
6.- BIBLIOGRAFIA
Apuntes en clase. http://es.wikipedia.org www.monografias.com
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