UNIDAD I INTRODUCCION A.
IMPORTANCIA IMPORTANCIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO
B.
REPA REPASO HISTÓRICO
CONTROL BÁSICO Ac. Dispositivo De Hero (Grecia) Primera aplicación del vapor de agua para arir ! cerrar la" puer#a" del #emplo 1788 James Watt (Máquina De Vapor) primer "i"#ema de con#rol re#roalimen#ado $ue no inclu%a un "er &umano' Con#rol de velocidad de una m($uina de vapor' 19 Minors!" Con#role" au#om(#ico" de dirección en arco"' o"#ró como "e podr%a de#erminar la e"#ailidad a par#ir de la" ecuacione" di*erenciale" $ue de"crien el "i"#ema' 19# $"quist De"arrolló un procedimien#o para de#erminar la e"#ailidad de lo" "i"#ema" de la+o cerrado en a"e a la re"pue"#a de la+o aier#o,,cri#erio de N!$ui"# %% 19#& Ha'en in#rodu-o el #.rmino /"ervo mecani"mo/ para lo" "i"#ema" de con#rol de po"ición' 19& o*e m.#odo de re"pue"#a de *recuencia ,,curva" de ode00 19+ ,vans m.#odo de lugar de la" ra%ce" -ontro Mo*erno
1232 Con#rol 4p#imo 1256 Si"#ema" ul#ivarile" 1276 Con#rol Digi#al Con#rol Adap#ale
-. D,/0$0-0$,2
8"#rada iranda Rand!
1
Planta' 8" un e$uipo o un con-un#o de pie+a" de una m($uina *uncionando -un#a"9 cu!o o-e#ivo e" reali+ar una operación de#erminada' Cual$uier o-e#o *%"ico $ue &a de "er con#rolado :&orno9 reac#or $u%mico9 ve&%culo e"pacial9 e#c;) Proceso' Cual$uier operación $ue "e va!a a con#rolar :$u%mico"9 *%"ico"9 iológico"9 e#c') Sistema. Una cominación de componen#e" $ue ac#
#erna"' Control de Retroalimentación' Una operación $ue9 en pre"encia de per#uracione"9 #iende a reducir la di*erencia en#re la "alida ! la en#rada de re*erencia de un "i"#ema' Sistema de Control Retroalimentado ' 8" a$u.l $ue #iende a man#ener una relación pre? e"#alecida en#re la "alida ! la en#rada de re*erencia9 comparando ama" ! u#ili+ando la di*erencia como par(me#ro de con#rol' Servo Mecanismo ' Un "i"#ema de con#rol re#roalimen#ado en el cual la "alida e" po"ición velocidad o aceleración mec(nica' Sistema de Regulación Automática' Un "i"#ema de con#rol re#roalimen#ado en el $ue la "alida de"eada e" con"#an#e o var%a len#amen#e con el #iempo' Sistema de Control de Procesos ' Si"#ema de regulación au#om(#ica en el $ue la "alida e" una variale #al como #empera#ura9 pre"ión9 *lu-o9 nivel9 o p@' Entrada' 8"#%mulo o e>ci#ación $ue "e aplica a un "i"#ema de con#rol de"de una *uen#e de energ%a e>#erna9 generalmen#e con el *in de producir9 de par#e del "i"#ema de con#rol9 una re"pue"#a e"peci*icada' Salida' 8" la re"pue"#a o#enida del "i"#ema de con#rol' Puede "er o no igual a la re"pue"#a e"peci*icada $ue la en#rada implica'
8"#rada iranda Rand!
2023,MA D, -$345 4,34A50M,$3AD
S8RO8CANISO POSICI4N 8LOCIDAD AC8L8RACI4N
8"#rada iranda Rand!
R8ULACI4N AUTOÁTICA
TI8PO PR8SI4N P@
CONTROL D8 PROC8SO
D) 3062 20-2 D, 2023,MA2 D, -$345
1) @ec&o" por el &omre' ) Na#urale"9 inclu!endo "i"#ema" iológico"' ) A$uello" cu!o" componen#e" e"#(n9 uno" &ec&o" por el &omre ! lo" o#ro" "on na#urale"' ,) -5A20/0-A-0$ D, 52 2023,MA2 D, -$345
1' La+o aier#o' Son a$u.llo" en lo" $ue la "alida no #iene e*ec#o "ore la acción de con#rol' -A4A-3,4230-A2: 1' La e>ac#i#ud el "i"#ema depende de la caliración' Calirar "igni*ica e"#alecer una relación en#radaE"alida' ' 8"#o" "i"#ema" "on "en"ile" a la" per#uracione"' ' 8"#o" "i"#ema" no #ienden al prolema de la ine"#ailidad' -$345
65A$3A 64-,2
. 2023,MA D, 5A; -,44AD Son a$uello" $ue lo $ue la" "e=ale" de "alida #ienen e*ec#o" direc#o" "ore la acción de con#rol "on "i"#ema" de re#roalimen#ación'
-$345
65A$3A 64-,2
8L88NTO D8 8DICI4N 4,34A50M,$3A-0$. 8" la propiedad de un "i"#ema de la+o cerrado $ue permi#e $ue la "alida :o cual$uier o#ra variale con#rolada del "i"#ema) "ea comparada con en#rada :o con una en#rada a cual$uier componen#e in#erno del "i"#ema o con un "u"i"#ema de ."#e) de #al manera $ue "e pueda e"#alecer la acción de con#rol apropiada" como *unción de la en#rada ! "alida'
8"#rada iranda Rand!
F
-A4A-3,4230-A2 D, 5A2 4,34A50M,$3A-0$.
1' Aumen#a la e>ac#i#ud' ' Se reduce la "en"iilidad de la ra+ón de la "alida a la en#rada9 a la" variacione" en la" carac#er%"#ica" del "i"#ema' @a! rela#iva "en"iilidad a la" per#uracione" e>#erna"') ' Se reducen lo" e*ec#o" de la no linealidad ! la di"#or"ión' F' Aumen#a el anc&o de anda' 3' @a! #endencia a la o"cilación o a la ine"#ailidad'
/) /4MA D, ,23
G) 4,64,2,$3A-0$ D,5 645,MA: ,5 MD,5 ) 8cuacione" di*erenciale" ! o#ra" relacione" ma#em(#ica" :modelo ma#em(#ico)' &) Diagrama de lo$ue" :modelo gr(*ico)' +) r(*ico de *lu-o de "e=al :modelo gr(*ico)'
8"#rada iranda Rand!
3
6ro=emas 4esuetos ,$34ADA > 2A50DA 1.1 Identificar la cantidade !"e c#ntit"$en la entrada $ alida del e%e&# %i'#tead# $ a&"ta(le de la fi)"ra 1*+.
La en#rada e" el (ngulo de inclinación del e"pe-o9 G9 el cual "e var%an a-u"#ando el #ornillo' La "alida e" la po"ición angular del &a+ re*le-ado GH con re"pec#o a la "uper*icie de re*erencia'
1.+ Identificar "na %#i(le entrada $ "na %#i(le alida %ara "n )enerad#r r#taci#nal de electricidad.
La en#rada puede "er la velocidad de ro#ación del impul"or :v' gr' una #uer%a de ga")9 en revolucione" por minu#o' Suponiendo $ue el generador no #iene carga" conec#ada" en "u" #erminale" de "alida9 la "alida puede "er el vol#a-e inducido $ue aparece en lo" #erminale" de "alida' Al#ernadamen#e9 la en#rada "e puede e>pre"ar como el momen#o angular del e-e del impul"or ! la "alida "e puede e>pre"ar en unidade" de po#encia el.c#rica :va#io") con una carga acoplada al generador' 1., Identificar la entrada $ la alida %ara "na la'ad#ra a"t#-tica.
La ma!or%a :aun$ue no #oda") de la" m($uina" lavadora" *uncionan de la "iguien#e manera' De"pu." de $ue la ropa $ue "e va a lavar "e &a!a pue"#o en la m($uina' Se in#roducen en can#idade" corre"pondien#e"9 el -aón o de#ergen#e9 el lan$ueador ! el agua' 8l ciclo del lavado ! e>primido "e *i-a luego en un regulador de #iempo ! la lavadora "e prende' Cuando el ciclo "e &a #erminado la lavadora "e apaga au#om(#icamen#e' Si la" can#idade" correc#a" de de#ergen#e9 lan$ueador ! agua ! la #empera#ura apropiada del agua "e de#erminan o e"peci*ican por el *arican#e de la m($uina o "e in#roducen au#om(#icamen#e9 en#once" la en#rada e" el #iempo :en minu#o") $ue dura el lavado ! e>primido' 8l regulador de #iempo e" *i-ado generalmen#e por un operador &umano' La "alida de la lavadora au#om(#icamen#e e" m(" di*%cil de iden#i*icar' De*inimo" JlimpioK como la au"encia de #oda "u"#ancia e>#erna a la" pie+a" $ue "e van a lavar' 8n#once" podemo" de*inir la "alida como el porcen#a-e de limpie+a' Por #an#o9 al comien+o de un ciclo la "alida e" menor $ue el 166 por cien#o ! al *inal de un ciclo9 la "alida e" igual al 166 por cien#o :generalmen#e no "e o#iene ropa verdaderamen#e limpia)' 8n la ma!or%a de la" m($uina" $ue operan con moneda"9 el #iempo de un ciclo e"#( *i-ado de an#emano ! la m($uina comien+a a *uncionar cuando "e in#roduce la moneda' 8"#rada iranda Rand!
8"#e ca"o9 el porcen#a-e de limpie+a "e puede con#rolar variando la can#idad de de#ergen#e9 lan$ueador9 agua ! la #empera#ura de ."#a' Podemo" con"iderar #oda" e"#a" can#idade" como en#rada"' Puede &aer #ami.n o#ra" cominacione" di*eren#e" de en#rada ! "alida' ".#. Identificar l# c#-%#nente/ la entrada $ la alida $ decri(ir el f"nci#na-ient# del ite-a de c#ntr#l (i#l0)ic# f#r-ad# %#r "n er "-an# c#)iend# "n #(&et#.
Lo" componen#e" ("ico" de e"#e "i"#ema de con#rol "on el cerero9 el ra+o ! la mano ! lo" o-o"' 8l cerero env%a la "e=al del "i"#ema nervio"o re$uerida &acia el ra+o ! la mano9 con el *in de alcan+ar el o-e#o' 8"#a "e=al "e ampli*ica en lo" m<"culo" del ra+o ! la mano lo" cuale" "irven como impul"ore" en el "i"#ema' Lo" o-o" "e u"an como di"po"i#ivo" de e>ploración ! con#inuamen#e Jre#roalimen#aciónK &acia el cerero la in*ormación "ore la po"ición de la mano' La "alida del "i"#ema e" la po"ición de la mano' La en#rada e" la po"ición del o-e#o' 8l o-e#ivo del "i"#ema de con#rol e" reducir la di"#ancia en#re la po"ición de la mano ! la del o-e#o a cero'
2023,MA2 D, 5A; A0,43 > 5A; -,44AD 1.2 E3%licar c0-# %#dr4a f"nci#nar "na -!"ina la'ad#ra de la5# cerrad#.
Suponer $ue #oda" la" can#idade" de"cri#a" como en#rada" po"ile" en el prolema 1'9 e" decir9 el #iempo de un ciclo9 el volumen del agua9 la #empera#ura del agua9 la can#idad de de#ergen#e ! la can#idad de lan$ueador "e pueden con#rolar por medio de di"po"i#ivo" #ale" como v(lvula" ! calen#adore"' Una lavadora au#om(#ica de la+o cerrado medir( con#inuamen#e o periódicamen#e el porcen#a-e de limpie+a :"alida) de la" pie+a" $ue "e e"#.n lavando9 con#rolar%a en e*ec#o la" can#idade" de en#rada9 ! "e de"conec#ar%a au#om(#icamen#e cuando "e lograra una limpie+a de 166 por cien#o' 1.6 Identificar la acci0n de c#ntr#l en l# ite-a de l# %r#(le-a 1.1/ 1.+/ $ 1.7
Para el "i"#ema de e"pe-o del prolema 1'19 la acción de con#rol e" igual a la en#rada9 e" decir9 el (ngulo de inclinación del e"pe-o9 G' Para el generador del prolema 1'9 la acción de con#rol e" igual a la en#rada o "ea la velocidad de ro#ación o momen#o angular dele-e del impul"or' La acción de con#rol del "i"#ema del "er &umano $ue coge un o-e#o en el prolema 1'F e" igual a la di"#ancia en#re la mano ! la po"ición del o-e#o' 1.8 9C"le de l# ite-a de c#ntr#l en l# %r#(le-a 1.1/ 1.+ $ 1.7 #n de la5# a(iert#: ; 9C"le #n de la5# cerrad#:
Pue"#o $ue la acción de con#rol e" igual a la en#rada en lo" "i"#ema" de lo" prolema" 1'1 ! 1'9 no e>i"#e re#roalimen#ación ! lo" "i"#ema" "on de la+o aier#o' 8l "i"#ema del "er &umano $ue coge un o-e#o en el prolema 1'F e" de la+o cerrado por$ue la acción de con#rol depende de la "alida9 $ue e" la po"ición de la mano'
8"#rada iranda Rand!
7
4,34A50M,$3A-0$ 1.11 C#niderar la red de di'ii0n de %#tencial de la fi)"ra. La alida e <+ $ la entrada <1
645,MA2 646<,232 1.+= 9La a%licaci0n del >laie5 faire ca%itali-? a "n ite-a ec#n0-ic# %"ede er inter%retada c#-# "n ite-a de c#ntr#l %#r retr#ali-entaci0n: 9P#r !"@:
La *ra"e Jlai""e+ *aire capi#ali"mK e" de origen *ranc." donde "e mani*ie"#a li#eralmen#e Jde-en &acer9 de-en pa"arK Mue en o#ra" palara" "igni*ica Jde-arle" &acer lo $ue $uieranK e"#e *enómeno como "u #raducción lo indica &ace re*erencia a un #ipo de econom%a no con#rolada9 pue" #oda la econom%a go+a de &acer lo $ue $uiera en#once" "e puede a"umir de una *alencia de con#rol9 dirección ! regulación $ue "on lo" concep#o" ("ico" para a"umir un modelamien#o no "e cumple' Por ende no e" un "i"#ema de con#rol por re#roalimen#ado'
8"#rada iranda Rand!
5
1.+,. 9Se %"ede c#niderar a la red de la fi)"ra 1*8 c#-# "n ite-a de c#ntr#l %#r retr#ali-entaci0n:
No9 Se dee #ener un #ipo de "en"or $ue realimen#e el "i"#ema para calcular "u po"ile error'
8"#rada iranda Rand!
2
3A4,A: ,J,M652 D, 2023,MA2 D, -$345 D, 5A; A0,43 > -,44AD ,J,M652 D, 2023,MA2 D, -$345 ,$ 5A; A0,43 1' Regulación del volumen de un #an$ue'
Lo" primero" "on manuale" pue" re$uieren $ue una per"ona e-ecu#e una acción $ue indi$ue al "i"#ema $u. &acer' Para man#ener con"#an#e el nivel del agua en el #an$ue e" nece"ario $ue una per"ona accione la v(lvula cuando el caudal camie' . Ampi?ica*or.
Un e-emplo puede "er el ampli*icador de "onido de un e$uipo de m<"ica' Cuando no"o#ro" variamo" el po#encióme#ro de volumen9 varia la can#idad de po#encia $ue en#rega el al#avo+9 pero el "i"#ema no "ae "i "e &a producido la variación $ue de"eamo" o no'
#. ,ncen*e*or.
Un "imple elemen#o como el encendedor #raa-a como "i"#ema9 !a $ue e"#( con"#i#uido ("icamen#e por una rueda e"#riada9 una piedra9 un enva"e $ue con#iene el ga" licuado9 una v(lvula para regular la "alida del mi"mo ninguna de e"#a" par#e" puede por "% "ola con"eguir el o-e#ivo producir *uego pero "i #oda" ella" *uncionan adecuadamen#e en con-un#o9 e" un "i"#ema de la+o aier#o !a $ue no impor#a "i el *uego calien#a el ma#erial a calen#ar de manera adecuada' &. 2emá?oro.
Un e-emplo de "i"#ema de la+o aier#o e" el "em(*oro' La "e=al de en#rada e" el #iempo a"ignado a cada lu+ :ro-o9 amarilla ! verde) de cada una de la" calle"' 8l "i"#ema camia la" luce" "eg
8"#rada iranda Rand!
16
+. Horno *e microon*as
8n el &orno de microonda" la" llave" o o#one" de con#rol *i-an la" "e=ale" de en#rada9 "iendo la elevación de la #empera#ura de la comida o la cocción la "alida' Si por cual$uier ra+ón la #empera#ura alcan+ada9 o el #iempo de aplicación del microonda" &a "ido in"u*icien#e9 ! como con"ecuencia la comida no &a alcan+ado la" condicione" de"eada"9 e"#o no al#era el ciclo de *uncionamien#o e" decir $ue la "alida no e-erce in*luencia "ore la en#rada'
,J,M652 D, 2023,MA2 D, -$345 ,$ 5A; -,44AD 1. -ontro iuminaci@n *e caes.
8l "i"#ema de con#rol9 a #rav." de un #ran"duc#or de realimen#ación9 conoce en cada in"#an#e el valor de la "e=al de "alida' De e"#a manera9 puede in#ervenir "i e>i"#e una de"viación en la mi"ma'
. 2istema *e iuminaci@n *e un inverna*ero.
A medida $ue la lu+ aumen#a o di"minu!e "e arir( o "e cerrar( el #ec&o man#eniendo c#e' el nivel de lu+'
#. 2istema *e re?rieraci@n
Un "i"#ema de re*rigeración en donde uno ingre"a alg
8"#rada iranda Rand!
11
algo calien#e el re*rigerador #endr( $ue producir m(" *rio &a"#a con"eguir la #empera#ura a la cual "e de"ea #ener el produc#o' &. -ontro *e temperatura
Un e-emplo "er%a el "i"#ema de con#rol de #empera#ura de una &ai#ación' idiendo la #empera#ura real ! compar(ndola con la #empera#ura de re*erencia :la #empera#ura de"eada)9 el #ermo"#a#o ac#iva o de"ac#iva el e$uipo de cale*acción o de en*riamien#o para a"egurar $ue la #empera#ura9 de la &ai#ación "e con"erven un nivel cómodo "in con"iderar la" condicione" e>#erna"' +. Aire acon*iciona*o
Un e$uipo de aire acondicionado e" un "i"#ema de la+o cerrado9 !a $ue cuen#a con un "en"or $ue permanen#emen#e regi"#ra la #empera#ura amien#e9 ! con un comparador9 $ue de#ermina "% la #empera#ura e" la de"eada' Si e" nece"ario corregirla9 el comparador da la "e=al para $ue e"#o ocurra'
8"#rada iranda Rand!
1
34A$2/4MADA D, 5A65A-, A) D8INICION LA TRANSORADA D8 LAPLAC8 D8 UNA UNCION R8AL :T)D8 LA ARIABL8 R8AL T D8INIDA T06 S8 D8IN8 COO' T
[[ F :#)] = Li-
?"# : ) e f t ∫
t − > 6 t t − > ∞
∞
= ∫ f :t )e − t dt 6
JSK 8S UNA ARIABL8 COPL8QA D8INIDA POR S σ H Qω DOND8 JσK JωK SON ARIABL8S R8AL8S JQK 8S IUAL −1 9 LA ARIABL8 # 8S R8AL D8NOTA TI8PO' 8Q8PLO S8A
69 t < 6
:t ) = 19 t > 6 ∞
A ∞ − t [ A ] = ∫ Ae dt ∫ e :−S )d S 6 6 − t
− t ∞
− Ae S A = S
6
S8A1
8SCALON UNITARIO
L [ 1] =
1
A − S [ 6 − 1] *:#) 1
S
6 8"#rada iranda Rand!
# 1
8Q8PLO
69 t < 6 f :t ) = ∞ Ae 9 t > 6
S8A
Ae − t = A∫ e∞ te− t dt α
A
∫ e
− :α + ) t
t
∞ α
+
−: e ∫
e α +
α
+ ) t
: −1):α + ) dt
− :α + ) t ∞
6
A α
+ −α
A
f :6) = Li-t →∞ e t = A − f :∞) = Li-t →∞ e t α
B 8"#rada iranda Rand!
t 1F
No e" nece"ario e*ec#uar la" in#egracione" para #oda" la" *uncione"' 8>i"#en #ala" de #ran"*ormada" de la place para diver"a" *uncione"' edian#e el u"o de ella" ! de la" propiedade" de la" #ran"*ormada" de Laplace e" po"ile encon#rar *:") de m
TABLA CORTA T LAPLAC8 *:#)
:S)
IPULSO UNITARIO 8SCAL4N UNITARIO RAPA UNITARIA POLINOIO 8VPON8NCIAL ONDA S8NO ONDA COS8NO S8NO AORTIUADO COS8NO AORTIUADO
1 1E" 1E" nE"nH1 1E:"H) WE:"HW) "E:"HW) WEX:"H)HWY :"H)EX:"H) H WY
8) PROPI8DAD8S D8 LA TRANSORADAS D8 LAPLAC8 1) LA TRANSORADA D8 LAPLAC8 8S UNA TRANSORACI4N LIN8AL 8NTR8 UNCION8S 8N 8L DOINIO D8 /#/ UNCION8S D8INIDAS 8N 8L DOINIO D8 /S/ SI L
f1 :t ) = 1 :t ) ! L f :t ) = : t )
NTONCES L { a1 f1 :t ) + a f : t)} = a1 f1: ) + a f : ) DONDE a1 ! a SONCONSTANTESARBITRAREAS ) 8L IN8RSO D8 LA TRANSORADA D8 LAPLAC8 TABIZN 8S UNA TRANSORACI4N LIN8AL9 8S D8CIR' SI L − { f1 : S )} = 1 :t ) ! L
{ f : S )} = :t )
NTONCES L −1 { (1 f1 : S ) + ( f : S )} = (1 f1 : ) + ( f : ) DONDE 1 ! SONCONSTANTESARBITRAREAS
8"#rada iranda Rand!
13
) PARA 8NCONTRAR LA TRANSORADA LAPLAC8 D8 UNA D8RIADA'
d d [ f : t ) = : ) − f :6 ) >6 dt DONDE : S ) = L [ f :t )] ! f :6[ ) e" el valor de f :t ) 8ALUADAS CON 8L LIIT8 D8
: t) cuando t #iende a cero'
F) LA TRANSORADA D8 LAPLAC8 D8 UNA D8RIADA D8 ORD8N 8NZSIO' n d d n n n − [ dt n f :t ) = S : ) + ∑ S :6 ) =1 d I n L f :t ) = S :S ) − Sf :6[ ) − f \ :6[ ) dt
d B I nB L B f :t ) = S B :S ) − S f :S ) − Sf \ :6[ ) − f \\ :6[ ) dt S > 6
3) LA TRANSORADAS D8 UNA INT8RAL D8 UNA UNCI4N :T) CUA TRANSORADAS D8 LAPLAC8' t : S ) L ∫ f :τ ) d τ = 0 S
) T8OR8A D8L ALOR INICIAL' 8L ALOR INICIAL *:6) D8 LA UNCI4N *:T) CUA TRANSORADAS D8 LAPLAC8 8S :S)'
f :6[ ) = Li-t →6 f :t )
8"#rada iranda Rand!
f :6[ ) = Li-t →∞ S :S )
#06
1
7) 8L T8OR8A D8 ALOR INAL' 8L ALOR INAL : ∞) D8 LA UNCI4N :T)
CONOCI8NDO f :t ) o por L f : ∞) Li-t →6 f : t ) SI 8L LIIT8 8VIST8
f : ∞) = Li-S →∞ f : t )
5) 8SCALADO D8L TI8PO'
t
L f f : ) = a :a ) DOND8 *:")L [ ff :t )] a
2) 8SCALADO D8 LA R8CU8NCIA
L − : ) = af : at ) DOND8 *:#)L − a 1
1
[ : S ) ]
16) UNCION R8TARDADA L [ f :t − T ) ]
= e − ST :S )
:t − T ) = 6 PARA t < T
11) TRASLACION COPL8QA at L e − f :t ) =
: a + a) DOND8
8"#rada iranda Rand!
f : ) = L [ f f : t) ]
17
1) INT8RAL8S D8 CONOLUCI4N' PARA 8L PRODUCTO D8 DOS UNCION8S 8N 8L TI8PO L
f1 :t ) f :t ) ] = [ f
1
c +∞
& ∫
π
1
c +∞
& ∫ c
− ∞
π
1 :∞)
:S − ω )d ω
:ω )'1 : S − ω ) d ω
c − ∞
DONDE A1 :S ) = L AA : S ) =
L
[ f1 :t ) ]
[ f A :t ) ]
1) PARA 8L PRODUCTO D8 DOS UNCION8S 8N S L
−1
t
[ 1 : S ) :S ) ] = ∫ 6[ f1 :τ ) f :t − τ )d τ
t
∫ f : 6[
τ
) f1 :t − τ )d τ
DOND8
f1 :t ) = L −1 [ 1 : S ) ] f :t ) = L −1 [ : S ) ]
8"#rada iranda Rand!
15
C) TRANSORADA IN8RSA D8 LAPLAC8
La #ran"*ormada de Laplace #ran"*orma un prolema de una variale real en el dominio del #iempo a la variale comple-a en el dominio "' De"pu." de o#ener una "olución en el dominio de " e" nece"ario inver#ir la #ran"*ormada para o#ener la "olución en el dominio del #iempo la #ran"*ormación de"de dominio de " el dominio de # "e denomina "e denomina el inver"o de la #ran"*ormada de Laplace D8INICION S8A :S) L [ :t )] 9 t > 6 1 c +∞ t : ) S e d D8 CONTORNO c π & − ∞ Donde & = −1 C0σ "e llama el inver"o de la #ran"*ormada de Laplace de *:")' C e" la a"ci"a de la convergencia re:")0σ
∫
No e" nece"ario e*ec#uar la in#egración de con#orno' 8>i"#en o#ra" #.cnica" m(" "imple" para encon#rar #ran"*ormada" inver"a" de Laplace' ZTODO D8 D8SARROLLO D8 RACCION8S PARCIAL8S'
SI S8 D8SCOPON8 :S) L [ f f :t ) ] 8N SUS COPON8NT8
: S ) = 1 : S ) + ''' + n : S ) ENTONCES 9 LA TRANSORMADA IN
: S ) =
S + G1 S + G ''''' S + G n : S + P1 ) + : S + P )'''': S + Pn )
DONDE P1 9 P '''''Pn :POLOS D8L SIST8A) ]19 G '''G n :C8ROS D8L SIST8A) SON CANTIDAD8S R8AL8S O COPL8QAS
PRI8R CASO :S) CONTI8N8 POLOS DISTINTOS POD8OS 8VPANDIR :S) 8N UNA SUA D8 RACCION8S PARCIAL8S'
8"#rada iranda Rand!
12
: S ) =
a a a1 + ''' + + ''''' + n S + P1 S + P S + Pn
A: S ) = 6: S + P1 )''': S + P )''': S + P n ) DONDE a ^ SON CONSTANT8S' a ^ R8CIB8 8L NOBR8 D8 R8SIDUO 8N 8L POLO S?P_ PARA QALLAR 8L ALOR D8 a ^ @A MU8 ULTIPLICAR ABOS I8BROS POR :SHP ^ ) S?P_
B :S ) : S P ) − A:S )
a a a = 1 :S + P ) + :S + P ) + ''' + n :S + Pn ) S + P S + P n S + P1 S =− P
8NTONC8S 8L R8SIDUO D8
B:S ) : S + P ) A: S )
a a =
S =− P
8NTONC8S
a a a f :t )L −1 1 + + ''' + n = a1e− Pt + ''' + an e P nt S + Pn S + P1 S + P 1
8"#rada iranda Rand!
6
,Cempo:
S + LA f :t ) CORRESPONDIENTE @allar de *:") S + S +
S + = a1 : S + 1) : S + 1): S + ) S =− 1 S + a1 : S + ) = −1 : S + 1): S + ) S =− : S ) =
1
−
S + 1 S +
f :t ) = e− at e−t 34A MA$,4A:
: S ) =
S + B
=
a1
aA
+
: S + 1): S + A) S + 1 S + A
+ aA = 1 a1 = aA + 1 Aa1 + aA = B ?AaA + aA = B − A
=
:S + A)a1 + :S + 1)aA :S +1): S + A)
=
S :a1 + aA ) + :Aa1 + aA ) : S +1): S + A)
aA R?1 a1 = A
@ALLAR LA TRANSORADA IN8RSA D8 LAPLAC8 D8 : S ) = : S ) =
S B + 3 S A + 2 S + 7 : S + 1): S + A) S B + 3 S A + 2 S + 7
+ BS + A S + B = S + A + : S + 1): S + A) A
d δ :t ) = S dt
L
[ δ :t ) ] = 1
nt#nce t) =
dt
8"#rada iranda Rand!
δ :t ) +
Aδ :t ) + Ae −A t
#≥
1
Segundo ca"o *:") con#iene polo" comple-o" con-ugado" Si p1 ! p "on polo" comple-o" con-ugado" "e puede u"ar la e>pan"ión "iguien#e
: S ) =
B : S )
=
A: S )
a1S + a : S + P1 ): S + P )
+
aB S + PB
+ ''' +
an S + P n
a1 ! a S8 OBTI8N8N ULTIPLICANDO ABOS I8BROS D8 LA 8CUACION ANT8RIOR POR : S + P1 ): S + P ) S = ? P1 8NTONC8S
B: S )
[ a1S + a ] S =− P = 1
A: S )
8"#rada iranda Rand!
: S + P1 ): S + P )
S = − P
8Q8PLO @ALLAR LA TRANSORADA IN8RSA D8 LAPLAC8 D8
8"#rada iranda Rand!
TERCER CASO :S) CONTI8N8 POLOS ULTIPL8S S8A :S)
B:S) A:S)
DOND8 A:S)6 TI8N8 RAIC8S P1 ULTIPL8S9 D8
ULTIPLICIDAD r :PU8D8 @AB8R POLOS DISTINTOS EO POLOS COPL8QOS CONQUADOS) 8NTONC8S A:S)6:SHP1 ) r : S + Pr +1 ): S + Pr + )''':S + Pn ) LA 8VPANCION D8 :S) 8N RACCION8S PARCIAL8S 8S :S)
B:S) A:S)
=
(r
+
:SHP1 ) :SHP1 )
B:S) = :SHP1 ) A:S)
r− &
1 d B : S )
+ r?1
(r − :SHP1 )
+ ''' + r?
(1 SHP1
+ ''' +
a r +1 SHPrH1
+
ar + SHPrH
+ ''' +
an SHPn
S = − P 1
d B : S ) r = :SHP ) r −1 1 A:S ) d (r − =
(r −1
d A: S )
S =− P 1
:SHP1 )r
d & B : S ) = & :SHP1 )r & d A:S )
S =− P 1
S =− P 1
d : r −1) B :S ) r :SHP1 ) 1 = : r − 1) d : r −1) A:S )
S =− P 1
1 t n −1 − % t NOT8S8 MU8 = e n = r 9 r ?19 r ? 9'''1 n :SHP1 ) :n − 1) B : S ) ar +1 9 ar + 9'''an MUE SE DETERMINAN POR a ^ = :SHP^ ) A: S ) 1
DONDE = r + 19r + '''n S =− P
ENTONCES
(r r −1 (r −1 r − t + t + ''' + (t + (1 e − % t + ar +1e − % + t + ar + e − % + t + ''' + a ne − % t :r − ) :r − 1)
[ :S ) ] =
1
r 1
r
n
≥6
8"#rada iranda Rand!
F
ALLAR LA TRANSORMADA IN
S A + AS + B : S + 1)B B : S )
=
(B
A: S ) :S + 1)
B
+
S A + AS + B B (B = : S + 1) B : S + 1) (A =
d S A + AS + B
: S + 1)B d
(A :S + 1)
A
+
(1 S + 1
=A S =− 1
: S + 1)
= [ AS + A ] =− 1 = 6
B
S =− 1
d A S A + AS + B B (1 = : S + 1) A B :B − 1)U d : S + 1) 1
1
= :A) = 1 S =− 1
AU
NTONCES f :t ) =
A 1 + [ : S ) ] = B : S + 1) S + 1
8"#rada iranda Rand!
A 1 At −t −t −t A = + = e + e = e :t + 1) 1 ≥ 6 B S + 1 AU :S + 1)
3
D) "olución de ecuacione" di*erenciale" 8l m.#odo de la #ran"*ormada de Laplace da la "olución comple#a :la "olución par#icular m(" la complemen#aria) de la" ecuacione" di*erenciale" lineale"' 8n el ca"o de la #ran"*ormada de Laplace9 no e" nece"ario calcular la" con"#an#e" de in#egración de la" condicione" iniciale"9 !a $ue e"#a" $uedan incluida" au#om(#icamen#e en la #ran"*ormada de la place de la ecuación di*erencial' Si #oda" la" condicione" iniciale" "on cero9 "e o#iene la #ran"*ormada de Laplace de la ecuación di*erencial9 reempla+ando d E dt por / d dt POR S '''ETC Pa"o" para re"olver ecuacione" di*erenciale" por el m.#odo de la #ran"*ormada de Laplace 1'? #omar la #ran"*ormada de cada #ermino en la ecuación di*erencial lineal dada9 convir#i.ndola en una ecuación algeraica en ! al reordenar la ecuación9 "e o#iene la e>pre"ión de la #ran"*ormada de la variale dependien#e' '?&allar la "olución en el #iempo de la ecuación di*erencial #omando la #ran"*ormada inver"a de la variale dependien#e'
8"#rada iranda Rand!
<$0DAD 00 /<$-0$ D, 34A$2/,4,$-0A. In#roducción' La re"pue"#a de un "i"#ema lineal :"l) invariale con el #iempo "e "epara en do" par#e" • La re"pue"#a *i-a' • La re"pue"#a lire' La re"pue"#a *i-a inclu!e #.rmino" deido" a lo" valore" iniciale" # de la en#rada ! la re"pue"#a lire depende de la" condicione" iniciale" de ;# en la "alida'
$:t ) = L −1
- i −l i (i ( i −l − ) # ∑∑ ∑ (i −1 i =6 i =6 =6 n +L > ( ") − n i i ai ai ∑ ∑ i =6 i =6
la re"pue"#a *i-a'
;# i =6 =6 n i ai ∑ i =6 -
i −l
∑∑ (i (
i −l − )
La re"pue"#a lire'
Si lo" #.rmino" deido" a #odo" lo" valore" iniciale" # ! ;# "e agrupan9 en#once"
- (i i ∑ −1 i = 6 > ( " ) + T8RINOS D8BIDOS A LOS ALOR8S INICIAL8S # 9 ;# $ ( t ) = L n ai i ∑ i =6 Tomando la #ran"*ormada de la place en amo" miemro" -
∑ (i > ( " ) + ( T8RINOS D8BIDOS A # $ ( ) = ∑ ai i =6 n
i
i
;# )
i =6
La *unción de #ran"*erencia p:") de un "i"#ema "e de*ine como el *ac#or en la *unción de !:") $ue mul#iplica a la #ran"*ormada de la en#rada >:")' 8n#once" -
∑ (i P ( S ) = ∑ ai i =6 n
i
i
(- n + (- −1 -−1 + ''' + (1 + (6 = an n + an −1 n −1''' + a1 + a6
i =6
la #ran"*ormada de la re"pue"#a "e puede e"criir como ; ( S ) = P ( S ) ( S ) H
( T8RINOS D8BIDOS A LOS ALOR8S # ;# )
8"#rada iranda Rand!
7
Si la can#idad *ormada por lo" #.rmino" deido" a #odo" lo" valore" iniciale" # ;# e" igual a cero9 la #ran"*ormada de la place de la "alida !:") en la re"pue"#a de una en#rada >:") e"#( dada por ; ( S) = P( S) ( S)
P ( S ) =
; ( S ) ( S )
De*inición' La *unción de #ran"*erencia de un "i"#ema lineal invariale en el #iempo "e de*ine9 como la relación de la #ran"*ormada de la place de la "alida :*unción re"pue"#a) a la #ran"*ormada de la place de la en#rada :*unción e>ci#adora) "uponiendo $ue #oda" la" condicione" iniciale" "on cero'
P ( S ) =
; ( S ) ( S )
B) propiedade"' 1' La *unción de #ran"*erencia de un "i"#ema en la #ran"*ormada de la place de "u re"pue"#a al impul"o' 8" decir9 "i la en#rada de un "i"#ema con una *unción de #ran"*erencia p:") e" un impul"o ! #oma lo" valore" iniciale" de cero9 la #ran"*ormada de la "alida e" p:")'
Ci 6 "i >:#) ` :impul"o uni#ario) >:") 1' :") p:")>:") p:") ' La *unción de #ran"*erencia de un "i"#ema "e puede de#erminar a par#ir de la ecuación di*erencial del "i"#ema9 u#ili+ando la #ran"*ormada de la place e 8"#rada iranda Rand!
5
ignorando #odo" lo" #.rmino" oca"ionado" por valore" iniciale"9 la *unción de #ran"*erencia p:") e"#( dada en#once" por p:") !:") E >:")' ' La ecuación di*erencial del "i"#ema "e puede o#ener de la *unción de #ran"*erencia reempla+ando la variale " por el operador di*erencial de d d E d#' F' La e"#ailidad de un "i"#ema lineal invariale con el #iempo "e puede de#erminar de la ecuación carac#er%"#ica' 8l denominador de la *unción de #ran"*erencia del "i"#ema igualado a cero con"#i#u!e la ecuación carac#er%"#ica' Si #oda" la" ra%ce" del denominador #ienen par#e" reale" nega#iva"9 el "i"#ema e" e"#ale' 3' La" ra%ce" del denominador "on lo" polo" del "i"#ema ! la" ra%ce" del numerador "on lo" cero" del "i"#ema' La *unción de #ran"*erencia "e puede e"peci*icar como una con"#an#e ^9 $ue e" el *ac#or de ganancia del "i"#ema !9 e"peci*icando adem(" lo" polo" ! cero"9 lo" cuale" "e pueden repre"en#ar e"$uem(#icamen#e en un mapa de polo" ! cero"9 en el plano ' 8-emplo"' A) Dada la ecuación di*erencial $ ′′ + $′ + $ = 3′ + 3 donde > e" la en#rada9 ! la "alida9 ! la" condicione" iniciale" "on cero9 o#ener la *unción de #ran"*erencia ! diu-ar el mapa de polo ! cero"9 de#ermine #ami.n la e"#ailidad del "i"#ema' S ; :S ) + S; :S ) = S :S ) + :S ) ; : S ) S + S + = :S ) [ S + ] P : S ) =
; :S ) S + = : S ) S + S +
C8ROS D8L SIST8A SH6 POLOS S + S +
S=
S ? '
− ± F − 1
= −1 ± & Q
&
σ 8"#rada iranda Rand!
2
?
?1
− &
SIST8A 8STABL8'
8"#rada iranda Rand!
6
@ALLA LA UNCION D8 TRANS8R8NCIA D8
di 1 t ei = Ri + L + idt dt C 6
∫
1 t e6 = idt C 6
∫
;; :1)
;; :)
TRANSORADAS D8 LA PLAC8 D8 :1) :)' Ei ( S ) = R ( I ( S ) ) + LSI ( S ) + E6 : S ) =
I I : S ) C
S
1 I : S ) C
S I : S )
P : S ) =
E6 : S ) Ei : S )
=
1
SC
I : S ) R + SL +
8"#rada iranda Rand!
1
SC
=
1 SC = SCR + S LC + 1 S LC + SCR + 1 SC
1
IP8DANCIAS COPL8QAS
Ei : S ) = G1 :S )I :S ) + G :S )I :S ) = I :S )[ G1 :S ) + G :S )] = I :S )G T :S ) GT : S ) = G1 :S ) + G :S ) E6 : S ) = G :S )I :S ) E : S ) I : S )G : S ) G :S ) P : S ) = 6 = = Ei : S ) I :S )GT : S ) G T :S )
TABLA D8 IP8TANCIAS' :S)
R R
L SL
C 1ESC
8Q8PLO'
G1 : S ) = R + SL 1 G : S ) = SC GT : S ) = R + SL +
1 SC
1 1 SC = P : S ) = 1 S LC + SCR R + SL + SC
8"#rada iranda Rand!
@ALLAR LA UNCION D8 TRANS8R8NCIA D8
1 t ( i − i ) dt ;'':1)' PARA LA ALLA 1 ei = R1 L1 + C 6 1 1t 1 t i dt = −e6 ( i − i ) dt + Ri = − PARA LA ALLA C6 1 C 6 TRANSORADA D8 LA PLAC8 D8 :1) :)
∫
∫
∫
;'':)'
1 I1 : S ) − I :S ) C1 S 1 I : S ) − I1 :S ) 1 I :S ) : ) R I S − E6 :S ) = + = − 1 C1 S C S E6 : S ) 1 1 = = Ei : S ) ( R1C1S + 1) ( RC S + 1) + R1C S R1C1R C S + ( R1C 1 + R C + R 1C ) S + 1
Ei : S ) = R1I1 :S ) +
POR IP8DANCIAS COPL8QAS G1 : S ) = R1 = G A 1 G : S ) = = G AB SC 1 G B : S ) = R = G AC 1 = G CD G F : S ) = SC G AD : S ) = G AC :S ) + G CD :S ) = G B :S ) + G F :S ) = R +
8"#rada iranda Rand!
1 SR C + 1 = SC SC
Ge! : S ) =
G AB : S ) b b G AD :S ) G AB : S ) + G AD :S )
1 SRC + 1 SC ÷ SC ÷ SRC + 1 = 1 = 1 SRC + 1 S C1C R + SC1 + SC + SC1
SC
SRC + 1 S C1C R + SC1 + SC G!e: S ) E Ge! : S ) = Ei :S ) = Ei :S ) SC1C R + 1 G1 : S ) + G!e S C1C R + SC1 + SC
SC R + 1 S C C R SC SC + + 1 1 = Ei :S ) + + + + 1 R S C C R SR C SR C SC R 1 1 1 1 1 S C1C R + SC1 + SC
SC R + 1 = E5 AD R1S C1C R + SR1C1 + SR1C + SC R + 1
= Ei :S )
GCD : S ) ECD = E6 :S ) = ECD :S ) = E GAD :S ) G AC : S ) + G CD :S )
1 SC ÷ SC R + 1 ÷ = Ei :S ) R1S C1C R + SR1C1 + SR1C + SC R + 1 R + 1 ÷ SC ÷ 1 E6 : S ) SC R + 1 = ÷ Ei : S ) R1S C1C R + SR1C1 + SR1C + SC R + 1 SC R + 1 1 E6 : S ) = Ei : S ) R1S C1C R + SR1C1 + SR1C + SC R + 1 1 = R1C1RC S + ( R1C1 + RC + R1C ) S + 1
8"#rada iranda Rand!
F
D) UNCION D8 TRANS8R8NCIA D8 SIST8AS 8CANICOS' SIST8A 8CANICO D8 TRASLACION'
-a =
∑
d 3 d3 - =−f − 3 + P dt dt d 3 d3 - + f + 3 = P dt dt - 3: ) − 3:6) − 3# :6) + f [ 3: ) − 3:6)] + 3: ) = P: S )
- + f + 3 : ) = P: S )
Donde
m la ma"a :"lug) a la aceleración ( ft E ) ' P la *uer+a aplicada :l)' ^ la con"#an#e del re"or#e * el coe*icien#e de *ricción
1 3: ) = P: S ) - + f +
8"#rada iranda Rand!
3
SIST8A 8CANICO D8 ROTACION' Q momen#o de inercia de la carga en "lug? ft ' coe*icien#e de *ricción vi"co"a en l?*#EradE"eg velocidad angular en radE"eg T par aplicado al "i"#ema en l?*# 6 aceleración angular en radE"eg = α' ω
α =
∑ T
6
ω = T − f ω 6
ω + f ω = T [ S Ω:S ) − Ω:6) ] + f Ω :S ) = T :S )
Ω: S ) [ + f ] = T :S )
3
Q
?
Ω: S ) T :S )
=
1 + f
8"#rada iranda Rand!
ANALOIA U8R]A T8NSION'
d 3 d3 - + f + 3 = P dt dt L
; :1)'
1 di + Ri + idt = e dt C
i=
∫
d! dt
∫ id# $
d ! d! 1 L + R + ! = e dt dt C
; :)
ANITUD8S ANALOAS' SIST8A 8CANICO P:T) m:Q) * ^ V:) :D8SPLA]AI8NTO) V : ) :8LOCIDAD)
8"#rada iranda Rand!
SIST8A 8L8CTRICO e L R 1EC $ i
7
<$0DAD 000 D0AG4AMA2 D, 5E<,2
A)
De*inición
Un diagrama de lo$ue" de un "i"#ema e" una repre"en#ación gra*ica de la" *uncione" reali+ada" por cada componen#e ! del *lu-o de la" "e=ale"' 8l Jlo$ue *uncionalK o "implemen#e Jlo$ueK e" un "%molo de la operación ma#em(#ica $ue el lo$ue produce a la "alida9 "ore la "e=al $ue #iene a la en#rada' UNCION D8 TRANS8R8NCIA :S)
V:S)
>(2)BF(2)G(2) :S)
Pun#o de "uma :de#ec#or de error) 4(2)
H
,(2)
4(2)
,(2)
H -(2)
-(2)
8:S)R:S)?C:S) Diagrama" de lo$ue" de un "i"#ema de un "i"#ema de la+o cerrado con re#roalimen#ación uni#aria
4(2)
,(2)
G(2)
-(2)
H ,(2)B 2,A5 D, ,444
8"#rada iranda Rand!
5
e:")r:")?c:") ! c:")e:")g:") C : S ) = [ R : S ) − C : S ) ] F :S )''''':1) C :S ) = R : S )F :S ) − C :S )F :S )''''': C : S ) [ 1 + F : S ) = R : S )F : S ) ] '''':)
C:S) RS
=
F : S ) 1 + F S
'''':F)
Diagrama de lo$ue" de un "i"#ema de la+o cerrado con re#roalimen#ación no uni#aria
S = R S − B S ''''''''''''''''''''''' 1 B :S ) = C :S )H :S )'''''''''''''''''''''''''':) : S ) = E : S )F :S )'''''''''''''''''''''''''':B) : S ) = R : S ) − C :S ) H :S )'''''''''''''':F) EN 1 C :S ) = [ R :S ) − C :S )H : S ) ] F :S ) F EN B :S)R:S):S)?C:S)@:S):S) C:S) [ 1H@:S):S) ] = R: S )F: S )
C :S ) F :S ) = : S ) 1H@:S):S)
8"#rada iranda Rand!
2
SIST8A D8 LA]O C8RRADO SO8TIDO A UNA P8RTURBACION' N:") -(2)
4(2)
C N : S ) N : S )
=
F : S )
C R : S )
1 + F1 : S )F : S ) H : S )
R :S )
C : S ) = C R : S ) + C N : S ) =
8"#rada iranda Rand!
=
F : S ) 1 + F1 : S )F : S ) H :S )
F1 : S )F : S ) 1 + F1 :S )F : S ) H :S )
[ F1 :S ) R :S ) + N :S ) ]
F6
B) AL8BRA' R8DUCCION'
8"#rada iranda Rand!
F1
8"#rada iranda Rand!
F
Regla" de "impli*icación' Al "impli*icar un diagrama de lo$ue"9 dee #omar"e en cuen#a lo "iguien#e 1' 8l produc#o de la" *uncione" de #ran"*erencia en la dirección de alimen#ación direc#a dee man#ener"e con"#an#e' ' 8l produc#o de la" *uncione" de #ran"*erencia alrededor de un la+o dee de man#ener"e con"#an#e' Una regla general para "impli*icar un diagrama de lo$ue" e" de"pla+ar lo" pun#o" de i*urcación ! lo" pun#o" de "uma9 in#ercamiar lo" pun#o" de "uma ! *inalmen#e reducir lo" la+o" de re#roalimen#ación9 de"de lo" m(" in#erno" &a"#a lo" e>#erno" :de aden#ro &acia *uera)'
8"#rada iranda Rand!
F
Grá?icos De /uCo De 2eIa A) D,/0$0-0$,2.
Un gr(*ico de *lu-o de "e=al9 e" un diagrama $ue repre"en#a un con-un#o de ecuacione" algeraica" lineale" "imul#anea"' Al aplicar el m.#odo de gr(*ico de *lu-o de "e=ala "i"#ema" de con#rol9 primero &a! $ue #ran"*ormar la" ecuacione" di*erenciale" lineale" en ecuacione" algeraica" en S' $o*o: e" un pun#o $ue repre"en#a una variale o "e=al' 3ransmitancia: e" una ganancia en#re do" nodo"' 4ama: e" un "egmen#o de l%nea con dirección ! "en#ido $ue une nodo"' La ganancia de una rama e" la #ran"mi#ancia' $o*o *e ,ntra*a o /uente: e" un nodo $ue "olo #iene rama" $ue "alen' Corre"ponde a una variale independien#e' $o*o *e 2ai*a 2umi*ero o *e A=sorci@n: e" un nodo $ue "olo #iene rama" de en#rada' Corre"ponde a una variale dependien#e' $o*o MiKto: e" un nodo $ue #iene #an#o rama" $ue llegan como rama" $ue "alen' -amino o tra"ecto: e" un recorrido de rama" conec#ada" en el "en#ido de la" *lec&a"' 5a'o: e" camino o #ra!ec#o cerrado' Ganancia *e 5a'o: e" el produc#o de la" #ran"mi#ancia" de la" rama" de un la+o' 5a'os DisCuntos: la+o" $ue no po"een ning
8"#rada iranda Rand!
FF
) 6460,DAD,2.
1' Una rama indica la dependencia *uncional de una "e=al re"pec#o a o#ra' Una "e=al "e de"pla+a #o puede con"iderar"e como un nodo de "alida a=adiendo una rama de #ran"mi#ancia uni#aria' Sin emargo9 no "e puede camiar un nodo mi>#o por uno de en#rada por e"e m.#odo' F' Para un "i"#ema dado9 el diagrama de *lu-o de "e=al9 no e" el
F B a F1
F a
= F
F1
a= F1
F#
F# a=
a F1 F1
F
=
F1 a
=
F1
F
ac
F#
F
8"#rada iranda Rand!
F& B ac F1 =cF F&
=c
F&
F
F3
a
F
=
a=
F1
F#
a= 1L=c
F#
F1 F1
c
F#
=c
F B a F1 -K#
F# =cF# B a=F1
F# B =F B = (aF1 cF#)
F# (1 =c) B a=F1
F#B a=F1 =cF#.
F# B Na= F1 1L=c
D) 4,64,2,$3A-0$ G4/0-A D, 2023,MA2 50$,A5,2.
Al diu-ar un gr(*ico de *lu-o de "e=al "e colocan lo" nodo" de en#rada a la i+$uierda ! la "alida a la derec&a' La" variale" independien#e" "e convier#en en nodo" de en#rada" ! la" variale" dependien#e" en lo" nodo" de "alida' La" #ran"mi#ancia" de la" rama" "e o#ienen de lo" coe*icien#e" de la" ecuacione"' ,) /4M<5A D, GA$A$-0A D, MA2$.
La *órmula de ganancia de ma"ón aplicale a la ganancia #o#al9 e"#( dada por T^ f^' _
P
f
DOND8 P anancia del gr(*ico :*unción de #ran"*erencia)' T^ anancia del #ra!ec#o o #ran"mi#ancia del ^?."imo #ra!ec#o direc#o' f De#erminan#e del gr(*ico' f^ Co*ac#or del de#erminan#e del ^?."imo #ra!ec#o direc#o del gr(*ico9 $ui#(ndole lo" la+o" ad-un#o" al ^?."imo #ra!ec#o direc#o' f 1? :"uma de #oda" la" ganancia" de la+o di"#in#a") H :"uma de lo" produc#o" de la" ganancia" de #oda" la" cominacione" po"ile" de do" la+o" di"-un#o") :"uma de lo" produc#o" de la" ganancia" de #oda" la" cominacione" po"ile" de la+o" di"-un#o") H ; 1 ? La H LLc ? LdLeL* H;
8"#rada iranda Rand!
F
4,G5A2 6A4A -$V,4304 <$ D0AG4AMA D, 5E<,2 ,$ <$ G4/0- D, /5
1' A"ociar cada variale con un nodo' ' A"ociar cada pun#o de "uma ! cada pun#o de i*urcación con un nodo' ' A"ociar cada lo$ue con una #ran"mi#ancia'
8"#rada iranda Rand!
F7
<$0DAD 0V A$A50202 ,$ ,5 DM0$0 D,5 30,M6. A) 0$34D<--0$
Pue"#o $ue el #iempo "e u"a como una variale independien#e en la ma!or%a de lo" "i"#ema" de con#rol9 e" generalmen#e de in#er." evaluar la re"pue"#a del #iempo del "i"#ema' 8n el prolema de an(li"i"9 una "e=al de en#rada de re*erencia9 "e aplica a un "i"#ema ! "u *uncionamien#o "e eval
La re"pue"#a #ran"i#oria' La re"pue"#a en el e"#ado e"#acionario'
ASh'
C:#) C:#) H C"":#) DOND8 C:#) Re"pue"#a en el #iempo' C#:#) Re"pue"#a #ran"i#oria' C"":#) Re"pue"#a e"#acionaria'
V:#) V:")
:#) :")
:")
La re"pue"#a #ran"i#oria e"#( de*inida como la par#e de la re"pue"#a $ue #iende a cero con*orme el #iempo "e apro>ima al in*ini#o' Por lo #an#o9 C#:#) #iene la propiedad de lim C:#) 6 # ?0 8n an(li"i" de circui#o"9 "e de*ine la variale en e"#ado e"#acionario como una con"#an#e con re"pec#o al #iempo' 8n con#rol9 "in emargo9 la re"pue"#a al e"#ado e"#acionario e" "implemen#e la re"pue"#a *i-a cuando el #iempo "e acerca a ' Por lo #an#o9 una onda "eno e" con"iderada como una re"pue"#a en e"#ado e"#acionario deido a $ue "u compor#amien#o e" *i-o para cual$uier in#ervalo de #iempo' Una re"pue"#a e"#( de"cri#a por c:#) #9 puede de*inir"e como una re"pue"#a en e"#ado e"#acionario9 cuando "e compara con la en#rada9 da una indicación de la e>ac#i#ud *inal del "i"#ema' Si la re"pue"#a en e"#ado e"#acionario no e"#( de acuerdo con el e"#ado e"#acionario de la en#rada e>ac#amen#e9 "e dice $ue el "i"#ema #iene un error en e"#ado e"#acionario'
8"#rada iranda Rand!
F5
) 2,A5,2 D, 64<,A 360-A2 4
r(t)
R9 # 0 6
/<$-0$ ,2-A5$.
r:#)
69 # , 6
t
4 e" con"#an#e'
1
R:#) R u :#) e"calón uni#ario
O(t)
Si R 1
No e"#( de*inida en # 6'
t
/<$-0$ D, 4AM6A. r(t)
r(t) B 4t O(t)
pen*iente
R#9 # 0 6 r:#)
69 # , 6
t
/<$-0$ 6A4A50-A.
R#9 # 0 6
r(t)
r:#) R#j: # )
r:#) 69 # , 6
t
-) ,444 ,$ ,23AD ,23A-0$A40.
Si la en#rada de re*erencia r:#) ! la "alida con#rolada c:#) "on dimen"ionalmen#e la" mi"ma"9 ! e"#(n al mi"mo nivel o "on del mi"mo orden de magni#ud' La "e=al de error e" "implemen#e # :#) r :#) c :#) k:#)
r:#)
:")
c:#)
# 8"#rada iranda Rand!
F2
Si no e" a"%9 "e dee de incorporar un elemen#o no uni#ario en el camino de re#roalimen#ación'
r:#)
k:#)
R:")
k:") :#)
:")
c:#) c: " )
@: " )
B: " )
8 :") r :#) ? :#)9 B :") @ :") C :")9 C :") k :") :") :") k :") R :") B :") R :") ? @ :") c :") R :") @ :"):")k:") k :") X1 H @ :") :")Y R :") R:") k :")
1 H @ :") :")
8" lim k :#) 8rror 8n 8"#ado 8"#acionario # R:") k :")
1 H :") @:")
A%licand# el te#re-a del 'al#r final.
e"" lim k :#) lim " k :") # "6 Donde k :") no #iene polo" $ue var%en "ore el e-e imaginario ! en la mi#ad derec&a del plano' e"" lim "6
SR:") 1 H :") @:")
e"" e" independien#e de R:") ! de :") @ :")' 8"#rada iranda Rand!
36
8"#alecemo" el #ipo del "i"#ema de con#rol re*iri.ndono" a la *orma de g:") &:")' 8n general g :") &:") puede e"criir"e _ : 1 H T1 S) :1 H T S) ;;;' :1 H TmS) :") @ :")
S- :1 H Ta") :1 H T");'''''' :1 H TnS)
Donde _ ! #oda" la" T" "on con"#an#e"' 8l #ipo del "i"#ema de con#rol re#roalimen#ado "e re*iere al orden de lo" polo" de :") @ :") en S 6' por lo #an#o9 el "i"#ema $ue e"#( de"cri#o an#e"9 e" de #ipo Q9 donde Q 69 19 ; 8-emplo
_ :1 H 6'33)
:") @:")
S : 1 H 3) :1 H '3)
8S D8 TIPO 19 PU8STO D8 Q 1' 8rror en e"#ado e"#acionario deido a una en#rada e"calón' Si la en#rada de re*erencia al "i"#ema de con#rol con re#roalimen#ación no uni#aria e" un e"calón de magni#ud R9 e" decir r:#) R para # 0 6 en#once" R:") RES' S R:") e"" lim S 6 1H:") H I:") R lim @ :") @:") S6
lim S R S 6 S :1 H :") @:")) R i H lim :") @:") S6
Por conveniencia de*inimo" _p lim :") @:") donde _p e" la con"#an#e de po"icional9 S 6 8n#once" e""
R 1 H _p
emo" emo" $ue para $ue e"" "ea igual a 69 cuando la en#rada e" una *unción e"calón9 _p dee "er ' _ : 1 H T1 S) :1 H T S) ;;;' :1 H TmS) SI :") @:")
S- :1 H Ta") :1 H T");'''''' :1 H TnS)
8"#rada iranda Rand!
PARA PARA MU8 _p 31
Sea Q dee de "er por lo meno" igual a 19 e"#o e" :") @:") dee #ener por lo meno" una in#egración pura'
e""
Por lo #an#o Si"#ema De Tipo 6 Si"#ema De Tipo 1 :o m(" al#o)
e""
R
R
_ : 1 H T1 S) ;;;' :1 H TmS)
_p lim S6
S- :1 H Ta") ;'''''' :1 H TnS) 8"" _
_p
R 1 H _p
CONSTANT8
e"" 6
S-
TIPO 19 Q 1' e""
TIPO 6 Q 6
R
1 H _p
R 1 H _
_ _p lim S 6 S1
c#e
_ 6
8RROR 8N 8STADO 8STACIONARIO D8BIDO A UNA 8NTRADA D8 RAPA' Si la en#rada del "i"#ema de con#rol re#roalimen#ado e" r:#) R#j:#) donde r e" una con"#an#e9 en#once" R:")
R
S ASI MU8
R
e"" lim
S
S6
S H S:") @:")
lim S:") @ :")
SI D8INIOS _v lim S:") @ :") CONSTANT8 CONSTANT8 D8 8RROR D8 6 8LOCIDAD' 8NTONC8S e""
R
S
R _v
8NTRADA D8 re r:#) R#j :#)
8""
R _v
SALIDA C :#)
#
8"#rada iranda Rand!
3
LA 8CUACION PARA e"" U8STRA MU8 PARA MU8 ZST8 S8A C8RO' _v D8B8 S8R ' A@ORA _v lim S:") @ :") lim S6 S6
lim S^ lim _ S 6 S- S 6 S -?1
S_ :1HT1S) :1 H TS) ;;' :1 H TmS) S- :1 HTa") :1 HTa") ;; :1 H TnS)
Q 69 19 9 ;;
Por lo #an#o9 para $ue _v "ea in*ini#o9 Q dee "er por lo meno" igual a 9 o el "i"#ema dee de "er de #ipo o m("' SIST8A TIPO 6
e""
SIST8A TIPO 1
e"" RE_v CONSTANT8'
SIST8A TIPO
e"" 6
8"#rada iranda Rand!
3
8rror en e"#ado e"#acionario deido a una en#rada paraólica' RT j :#) SI r:#)
e""
R j 8NTONC8S R:") S
lim
R S :") @:")
De*inimo" la con"#an#e de error de la aceleración como ^a' _a lim S :") @:") S6 8L 8RROR 8N 8STADO 8STACIONADIO e"" PARA MU8 S8A 69 _a D8B8 S8R '
R _a
9 en re"umen SIST8A TIPO 6 SIST8A TIPO 1 SIST8A TIPO SIST8A TIPO O AS
e"" ' e"" ' e"" RE_a c#e e"" 6'
4,2
,444,2
,$34ADA2
-
_p
_v
_a
6 1
_
6 _
6 6 _
8"#rada iranda Rand!
8SCALON e"" R E 1 H _p e"" R E 1 H _p 6 6 6
RAPA e"" R E _v
PARAB4LICA e"" R E _c
RE_ 6 6
RE_
6
3F
2023,MA2 D, 640M,4 4D,$ S8A 8L SIST8A D8 PRI8R ORD8N' 1 TS
R:")
C:") 1 R:") TS H 1 C:")
R:") TS H 1
R8SPU8STA AL IPULSO UNITARIO r:#) d:#) R:") 1 C:")
1 1ET TS H 1 S H 1ET
C:#)
1 e :?1ET)# T
C:6) lim C:) lim
1 T
c:#)
1 e ?1ET T
1 e :?1ET)# 1 T T
#
1e :?1ET)# 6 T
8"#rada iranda Rand!
33
4,26<,23A A5 ,2-A5$ <$03A40 r:#) 19
R:") 1 3 1 c:") S:T" H 1)
S :TS H 1) 6 S6 T" ?1 S ? 1 E T'
A B C:") S HT" H 1
A T" H A H B" S :T" H 1)
A TS H A H BS 1
ATH B 1
B :A T H B) H A 1
A 19
B ?T'
D8SARROLLANDO 8N RACCION8S PARCIAL8S 1 C:") S
T T" H 1
1 S
1 SH1ET SI # T :T) 1 e ?1 6'
c:#) 1 e ?#ET c :) 1' T c:#) 6 6 T 6' T 6'53 T 6'23 FT 6'25 3T 6'22
1
c:#)
6'5 6' 6'F 6' 3
3
#3
&3
+3
4,26<,23A A 5A 4AM6A <$03A40A.
8"#rada iranda Rand!
3
R:#) # R:") 1 E S 1 C:") S :T" H 1) A B C C:") S S TS H 1
ATS H A H BTS H BS H CS S :TS H 1)
:BT H C)S H :AT H B)S H A S :TS H 1) BT H C 6 AT H B 6 A1 B ?T C T
1 T C:") S LS
T H1 TS
1 C:") S
T S H 1ET
T S
C:#) # ? T H Te #ET # T :1 ? e?#ET ) C :6) 6 C :) 8RROR :#) r:#) c:#)' :#) # :# T H Te #ET) T ? Te #ET :#) T :1 e?#ET) e"" lim T :1 ? e #ET) T # c:#) r:#) 8"" T c
,) 2023,MA2 D, 2,G<$D 4D,$.
8"#rada iranda Rand!
37
S8A 8L SIST8A D8 S8UNDO ORD8N _ R:")
S : -" H )
C:")
DOND8 C:") _ R:") S:TS H ) H _
_ QS H S H _
8CUACION CARACT8RhSTICA QS H S H _ 6 S ? ? F Q _ Q Lo" polo" de la+o" cerrado" "on comple-o" "i : ?FQ_) , 6 ! "on reale" "i : FQ_) 0 6' DIIDIOS 8NTR8 Q C:") R:")
_EQ S H :E Q ) S H _EQ
Sea $ue _EQ N EQ n q donde q e" la a#enuación9 n e" la *recuencia na#ural no amor#iguada ! k e" la relación de amor#iguamien#o del "i"#ema9 e" la relación en#re la amor#iguación ! el amor#iguamien#o cr%#ico c9 ó"ea k E c9 donde c Q _'
8"#rada iranda Rand!
35
Podemo" modi*icar el "i"#ema de "egundo orden a
n
R:")
S : S H N)
C:")
n S:S H SN" H n )
S8 TI8N8N CASOS
• Si"#ema" "uamor#iguado" :6 , k , 1) • Si"#ema" cr%#icamen#e amor#iguado" :k 1) • Si"#ema" "ore amor#iguado" :k 0 1)
8"#rada iranda Rand!
32
-A2 1 Si"#ema" "uamor#iguado" :6 , k , 1) 8cuación carac#er%"#ica
S :S H knS H n) 6 S6 S ?kn F n e :S H knS H n) 6 S ?kn F:k n ?F n S ?kn n F:k ?1 S ?kn n F::?1) :1 ? k ?) S ?kn n 1 ? k
652 -M65,J2
S ?kn -d Donde d n 1 ? k *recuencia na#ural amor#iguada' ac#ori+ando
::S H kn ) H -q ) ::S H kn) -d ) 6 a
a
:a H ) :a ) a ? :S H kn) H :d) 6 ,F6A$D0,$D ,$ /4A--0$,2 6A4-0A5,2:
C:") R:")
n S:S H kn) H :d)
C:")
n :S H kn) H :d)
C:") 1 C:") S
A S
! R:") 1ES n R:") SX:SH kn ) H :d)Y
BS H C H :S H kn) H :d) S H kn :S H kn) H :d)
8"#rada iranda Rand!
A 1 B ?1 C ? kn
6
<2-A$D 5A 34A$2/4MADA ,FA-3A:
1 C:") S
S H kn :S H kn) H :d)
S d n 1?k 1 C:") S
d n 1 k
S H kn ? :S H kn) H :d)
C:1) 1 ? e
kn#
kn ? :S H kn) H :d)
Co" d# ?
k ? 1 k
kn#
1 ? k
4,26<,23A A5 ,2-A5$ <$03A40 2023,MA 2<AM430G
d [ :S H kn) H :d) Sen d#
Lo" "eno" ! lo" co"eno" amor#iguado" indican el compor#amien#o "e #ienen o"cilacione" &a"#a de"aparecer'
C:#) C :6) 1 ? :1) :1) :1) :6) 6 1
C :) 1 6 6 1
#
6
-$-5<20$: Lo" polo" de la+o cerrado "on comple-o" con-ugado" ! e"#(n en el "emiplano" i+$uierdo :"igni*icado $ue el "i"#ema e" e"#ale)' La re"pue"#a #ran"i#oria e" o"cila#oria'
8"#rada iranda Rand!
1
-A2 : 2023,MA2 -430-AM,$3, AM430G
n S:S H n)
S:S H n) 6 S6 :S H n) 6 S S ?n
POLOS IUAL8S
8>pandiendo en *raccione" parciale" A C:") S
B H :S H n)
C H :S H n)
AS H AnS H An H BS H CS H CnS S:S H n) n S :A H C) H S :An H B H Cn) H An 6 A H C ;;;' :1) 6 An H B H Cn ;;;':) n An A 1 MU8 SUSTITUIDO 8N :1) C ? A 1 A C 8N :) 6 n H B n n HB 1 C:") S
?
n :S H n)
B ?n 1 ? :S H n)
C:#) 1 n#e n# e ?n#
8"#rada iranda Rand!
1 e e n# :1 H n#) Como no &a! "eno" ni co"eno"9 no o"cila9 "ino $ue va de manera e>ponencial :como un "i"#ema de primer orden) Conclu"ión lo" do" polo" de c:")Er:") "on iguale"' La re"pue"#a #ran"i#oria no e" o"cila#oria' Se compor#a como un "i"#ema de primer orden'
-A2 #. SIST8AS SOBR8AORTIUADOS n C:") :S H kn H nS 1 ) :S H kn n k ? 1) S 1 C:#) 1H k 1 :k H k ? 1)
C:") R:")
n S knS#
e :kHk 1)n#
?1 k 1 :k H k ? 1) e :k ? k?1)n# 1 H n e?"1T e?"T CONCLUSI4N :k H 1) S1 S Lo" polo" C:")ER:") Son nega#ivo"9 reale" di"#in#o"'
DOND8 S1 :k H k 1 ) n S :k ? k 1 ) n S:S H kn" Hn ) 6 S6 S H kn"H n 6
C:#)
S ?kn Fk n ? F
1'5 1'
Curva" de re"pue"#a al e"calón uni#ario para un "i"#ema de "egundo orden'
1'F 1' 1 6'5 6' 6'F 6'
8"#rada iranda Rand!
6
1
F
3
7
5
2
16
11
1
C:#) 1
6'3
# #r #p 3iempo De 4etar*o t*:
#"e" el #iempo $ue #arda la re"pue"#a en alcan+ar por primera ve+ la mi#ad del valor *inal'
3iempo De -recimiento De 2u=i*a De ,evaci@n 3r: e" el #iempo re$uerido para $ue la re"pue"#a de 6 ao 166s para "i"#ema" "uamor#iguado" o del 16 al 26s para "i"#ema" "uamor#iguado"' 3iempo De 6ico tp:
8"#rada iranda Rand!
#iempo re$uerido por la re"pue"#a para alcan+ar el primer pico del "ore impul"o'
F
