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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR FACULTAD DE ECONOMÍA
1
APUNTES DE CLASE: ECONOMETRÍA II
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010
PROFESOR: Lincoln Maiguashca G.
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Capítulo 7 Análisis de regresión múltiple: problema de estimación Se analiza el modelo de tres variables: una dependiente y dos explicativas, con modelos lineales en los parámetros que puedan ser o no lineales en las variables.
Modelo de tres variables: notación y supuestos La FRP es:
En donde
y
son los coeficientes de regresión parcial. Los supuestos fu ndamentales son:
El valor medio de las per tur baciones
es igual a cero:
No exi ste autocorr elación entr e las distri buci ones de
()
:
Ex iste H omocedastici dad o igu al vari anza en las distri buci ones de
L a covari anza entr e las distr ibuci ón de
:
y cada vari able X es igu al a cero:
El modelo de regresión debe estar correctamente especificado.
No h ay multi colinealidad perf ecta entr e
Multicolinealidad perfecta existe cuando las variables si :
y
.
y
son linealmente dependientes, por ejemplo:
Donde , no hay forma de estimar la influencia separada de y sobre Y . En la práctica, los datos para el análisis empírico siempre habrá un nivel de correlación entre las variables explicativas, lo que se requiere es que no sean exactas.
Estimación de los coeficientes de regresión La FRP:
La FRM:
̂ ̂
2
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̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) 1er a. ecuación norm al
2da. ecuación norm al
3er a. ecuación norm al
Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
) ( ) ( Varianzas y errores estándar de los coeficientes de regresión
() () () [ ] ()
3
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() () ⁄ ⁄ () Propiedades de los estimadores de MCO Son similares a las del modelo con dos variables:
̂ ̅ ̅ ̅ ̅ (̅ ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ⁄ ̅ ( ̅) ̂ ̂
L a recta de r egresión pasa por l as medias de ,
y
; en general:
L a media de es igu al a l a de :
: De lo anterior: Nota
Es la regresión con tres variables pero con desviaciones con respecto a la media.
̂ ( ) ( ) ̂ ( )
L a media de los r esidu os
es igu al a cero:
4
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( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) () ̂ ( )̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ El coeficiente de determinación ̂ L os residu os
L os residu os
no están correlaci onados con
y
no están correlaci onados con
:
:
Mide el porcentaje de explicación de las variables independientes sobre la dependiente; es decir, indica cuán cerca está de la . Recordando que:
Si:
SRC = 0
SEC = STC
Aj uste perf ecto
Si:
SRC ≠ 0
SEC < STC
Grado ( %) de aju ste
Por otro lado:
5
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̂ En nuestro caso k es igual a 3.
En general, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación en una regresión simple, es el coeficiente de correlación que mide el grado de asociación entre dos variables; sin embargo, en el modelo que estamos analizando hay dos variables explicativas, razón por la cual, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación no tiene validez práctica.
El
ajustado
Una propiedad importante del es que a medida que aumenta el número de variables explicativas, el coeficiente de determinación aumenta casi invariablemente hacia 1; recordando que:
̂
La suma total de cuadrados , es independiente del número de variables explicativas; es decir, si estas aumentan la STC permanece constante. Pero la suma de residuos cuadrados , a medida que aumenta el número de variables explicativas, disminuye; en consecuencia el aumenta.
̂
Para comparar dos , se debe tomar en cuenta el número de variables explicativas (grados de libertad) en los modelos, esto se puede hacer con el ajustado .
̅ ⁄⁄
Donde k = número de regresores en el modelo incluyendo la intersección; el término ajustado significa ajustado por los grados de libertad. Recordando que:
̂ ̅ ⁄ ̅ ⁄ ̅ ( ) ̅
Donde = varianza homocedástica de la regresión y una relación entre el y el :
= varianza muestral de Y . Pero, por otro lado,
Si , modelo de regresión simple sin intersección aumenta el número de variables explicativas, el aumenta menos que el
. Si
, a medida que
.
Pero en términos generales, la finalidad de un modelo de regresión no es el maximizar el ; un elevado (series de tiempo), no es evidencia a favor del modelo y un bajo (series de corte transversal) no es evidencia en su contra.
6
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215) : Con la tabla 6.4, (Ejer-7.1) Ejemplo
Tabla 6.4 (M I =75.97807; PI B=2725.696; TA F =26.00786) O bs
MI
PIB
TAF
O bs
MI
PIB
TAF
O bs
148
580
30
33
98
660
69
34
287
1
1 28
1870
37
17
2
204
130
22
18
3
202
310
16
19
161
4
197
570
65
20
118
96
2050
76
21
6
209
200
26
22
7
170
670
45
23
8
240
300
29
24
9
5
420
43
35
1080
47
36
269
290
17
37
189
270
35
38
126
560
58
39
12
4240
81
40
MI
PIB
TAF
O bs
1 42
8640
50
49
690
85
104
350
62
50
223
200
33
41 312
MI 83
230
31
51
240
450
19
66
52
312
280
21
190
11
53
12
4430
79
2090
88
54
52
270
83
142
900
22
55
79
1340
43
262
230
22
56
61
670
88
77
241
120
11
25
167
240
29
41
215
140
12
57
168
55
290
55
26
135
430
65
42
246
330
9
58
11
75
1180
87
27
107
3020
87
43
1 91
1010
31
59
129
900
55
28
182
24
1730
93
29
13
14
165
1150
31
15
94
1160
77
16
96
1270
80
72
1420
63
44
128
420
49
45
30
27
19830
63
46
31
152
420
84
47
32
224
530
23
48
TAF
1620
10
12
PIB
37 103 67 143
410
28
4370
95
1 21
1310
41
28
300
19
60
1 15
1470
62
1730
88
61
186
300
45
780
35
62
3630
85
1300
85
63
178
47
220
45
930
78
64
142
560
67
(11.59318) 22.74109
(0.002003) -2.818703
(0.209947) -10.62927
Incrementos en el PIB y la TAF ejercen impactos negativos en la . Si el PIB se incrementa en 1000 dólares, manteniendo a la TAF constante, el número de muertes de niños menores de 5 años se reduciría a 5.65 por cada 1000 nacimientos vivos. Si la TAF sube en un 1%, manteniendo al PIB constante, el número de muertes de niños menores de 5 años disminuiría a 2.23 por cada 1000 nacimientos vivos.
̅ [ ] ̅
se conocen como los coeficientes de regresión parcial que se relacionan de la siguiente manera:
Eliminemos la influencia que la TAF ejerce sobre la
y el PIB, es decir:
7
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8
(12.22499) 21.58395
(0.213263) -11.20917
̅ (734.9526) -0.053477
(12.82111) 2.195027
̅
Ahora, veamos la regresión
:
(0.001971) -2.864538
̅ ̅
Se nota que el coeficiente es el mismo de la regresión original debe notar que el , situación que se discutirá más adelante.
. Pero además, se
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215) Y ahora en cambio, eliminemos la influencia que la PIB ejerce sobre la
y la TAF, es decir:
9
(9.845583) 15.98935
(0.003233) -3.515661
̅ (3.555330) 13.38755
(0.001167) 2.195027
̅
Ahora, veamos la regresión
:
(0.206588) -10.80212
̅
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215)
̅
Se nota que el coeficiente es el mismo de la regresión original debe notar que el , situación que se discutirá más adelante.
. Pero además, se
Si realizamos el modelo con variables estandarizadas:
() () () 10
(0.071285) -2.841713
(0.071285) -10.71604
̅ Si la TAF permanece constante, un incremento de una desviación estándar del PIB propicia una disminución de 0.202570 desviaciones estándar de la MI, si el PIB permanece constante, un incremento de una desviación estándar de la TAF propicia una disminución de 0.763888 desviaciones estándar de la MI .
I ntr oducción al sesgo de especif icaci ón: contr ol de lectur a Compar ación de dos valor es de
: control de lectura, in cluyendo el Ej emplo 7.2
La función de producción COBB-DOUGLAS Se expresa como:
En donde, = producto, = trabajo, = capital, natural. Matemáticamente, la elasticidad es:
= perturbación estocástica y e = base del logaritmo
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215) Pero obtenemos el logaritmo a ambos lados de la ecuación:
, es la elasticidad del producto respecto al trabajo y mide el cambio porcentual de la producción debido a una variación del 1% del trabajo, manteniendo al capital constante. , es la elasticidad del producto respecto al capital, manteniendo al trabajo constante. Por otro lado:
11
: Con la tabla 7.3, (Ejer-7.2) Ejemplo
Tabl a 7.3 (Y=44863661; X 1=376195.0; X 2=2714683) O bs
Y
X1
X2
O bs
Y
X1
X2
O bs
Y
X1
X2
1
38372840
424471
2689076
18
38686340
384484
2503693
35
3556025
34723
184700
2
1805427
19895
57997
19
69910555
216149
4726625
36
124986166
1174540
6301421
3
23736129
206893
2308272
20
7856947
82021
415131
37
20451196
201284
1327353
4
26981983
304055
1376235
21
21352966
174855
1729116
38
34808109
257820
1456683
5
2 17 54 60 32
1 80 97 56
1 35 54 11 6
22
4 60 44 29 2
3 55 70 1
27 06 06 5
39
1 04 85 83 22
9 44 99 8
5 896 39 2
6
19462751
180366
1790751
23
92335528
943298
5294356
40
6541356
68987
297618
7
28972772
224267
1210229
24
48304274
456553
2833525
41
37668126
400317
2500071
8
14313157
54455
421064
25
17207903
267806
1212281
42
4988905
56524
311251
9
159921
2029
7188
26
47340157
4 39427
2404122
43
62828100
582241
4126465
10
47289846
471211
2761281
27
2644567
24167
334008
44
172960157
1120382
11588283
11
63015125
659379
3540475
28
14650080
163637
627806
45
15702637
150030
762671
12
1809052
17528
146371
29
7290360
59737
522335
46
5418786
48134
276293
13
10511786
75414
848220
30
9188322
96106
507488
47
49166991
425346
2731669
14
105324866
963156
5870409
31
51298516
407076
3295056
48
46164427
313279
1945860
15
90120459
835083
5832503
32
20401410
43079
404749
49
9185967
89639
685587
16
39079550
336159
1795976
33
87756129
727177
4260353
50
66964978
694628
3902823
17
22826760
246144
1595118
34
101268432
820013
4086558
51
2979475
15221
361536
(0.396228) 9.811514
(0.098926) 4.734170
(0.096887) 5.380274
̅
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215) En el sector manufacturero de USA, durante el 2005, manteniendo constante al capital, un aumento del 1% en el trabajo, condujo a un incremento del 0.468332% en la producción; manteniendo constante al trabajo, un aumento del 1% en el capital, condujo a un incremento del 0.521279% en la producción. Nótese que la suma de las elasticidades es 0.99, lo que ubica al sector manufacturero en la región de rendimientos constantes a escala.
M odelos de regresión poli nomi al: contr ol de lectur a, incl uyendo los Ej empl os 7.4 y 7.5
Coeficiente de correlación parcial Recordemos que el coeficiente de correlación es una medida del grado de asociación lineal entre dos variables, concepto que en el modelo que estamos estudiando no se aplica porque hay tres variables, lo cual hay que corregirlo. En el modelo con tres variables se pueden obtener tres coeficientes de correlación:
: entr e Y, y la X1:
(0.423710) (0.034540) 11.79820 28.35882
, entr e Y, y la X2:
12
TEXTO: Gujarati, D.N., & Porter D.C., Econometría, 5ta. Ed, México D.F., McGraw Hill, 2010, Páginas (188-215)
(0.458073) (0.032359) 7.404128 29.72223
, entr e X1, y la X2:
13
(0.551824) -1.919103
(0.038982) 24.12913
Indicadores que se denominan coeficientes de correlación simple o de orden “cero” y que se pueden obtener directamente en el E-views. Los cuales permiten el cálculo de los coeficientes de correlación de “primer” orden (o de órdenes mayores).
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
