Posición, velocidad y aceleración a celeración en coordenadas polares En movimientos curvilíneos en general es práctico el uso de coordenadas polares, más que el de coordenadas cartesianas. Este sistema de coordenadas es particularmente útil en el caso de movimientos en un plano. Se pueden definir de varias formas. Vamos a adoptar la siguiente (ver figuras): •
ˆ con la dirección de la Definimos el versor r r
proyección del vector posición R en el plano,
z
r
r
r , y sentido saliente. Notar que llamamos r a
r
R
r
la proyección en el plano del vector posición R .
r
z
r
y
r
r
r
En caso de un movimiento plano, r ≡ R (no hay componente en la dirección z)
zˆ ˆ r
x
•
y
r ˆ perpendicular a r y Definimos el versor θ
con el sentido
ˆ θ
creciente, donde
ˆ r
definido por el ángulo θ es
θ
el ángulo entre el eje x y
r
el vector r .
r
zˆ
r
•
La tercera dimensión queda definida por el
(
)
ˆ, zˆ formen terna ˆ, θ versor zˆ de tal manera que r
θ
directa.
x y
•
Para encontrar la relación entre los versores
polares y los versores cartesianos, corremos los versores polares al origen de las coordenadas
r
r ˆ θ zˆ
cartesianas. Proyectando:
ˆ r
θ
ˆ = xˆ cos θ + yˆ senθ r
x
ˆ= θ zˆ
=
xˆsenθ + yˆ cos θ
−
zˆ
De acuerdo con esta elección, el vector posición queda descrito en este sistema de
coordenadas: r
R
=
r r ˆ + z zˆ r
r
Vamos a encontrar las expresiones de la velocidad v y la aceleración a en este sistema de r
ˆ , a diferencia de los versores ˆ y θ coordenadas, derivando la expresión de R . Notar que r cartesianos, no son versores fijos, es decir, se mueven siguiendo el movimiento del vector posición. Por lo tanto, dependen del tiempo y deben derivarse. r
d R
r
v
=
dt
ˆ + z zˆ ) d ( r r
=
dt
=
&ˆ &r ˆ + r r & zˆ r + z
&ˆ . Para ello, derivemos Tenemos que encontrar r
las expresiones de los versores en
cartesianas: &ˆ &senθ + y & cos θ = θ &( − x &θ ˆ ˆθ ˆ θ ˆsenθ + yˆ cos θ = θ r = − x &ˆ θ =
& cos θ − y &senθ = −θ &( x &r ˆ θ ˆ cos θ + yˆ senθ ) = −θ ˆ xˆθ
−
Entonces: r
v
=
&θ ˆ + z& zˆ &r ˆ + r θ r
La velocidad queda expresada como la suma de tres términos: r
&r ˆ (velocidad radial), da cuenta del movimiento en la dirección radial ( r puede variar r
en módulo). &θ ˆ (velocidad en r θ
θ ),
r
da cuenta de los cambios de dirección de r
z& zˆ (velocidad en z), es idéntico a la componente de la velocidad en cartesianas. Este
término es nulo si el movimiento es en un plano. •
Vamos a encontrar la aceleración, como siempre, derivando la expresión de la
velocidad. r
r
a
=
d v
dt
=
&ˆ &ˆ ˆ + r θ ˆ + r θ &θ &&θ &θ ˆ + r &r &r &r &θ & z &ˆ + r + z
Teniendo en cuenta las expresiones de las derivadas de los versores:
r
a
=
ˆ + r ˆ + r θ ˆ − r θ &θ &θ &&θ & 2 r &r &r ˆ + r &θ &θ ˆ + z& z &ˆ
Agrupando los términos: r
a
=
(&r &
−
)
& 2 r & + r θ &&)θ ˆ + z&&zˆ &θ ˆ + (2r r θ
En el caso que el movimiento sea en un plano, no hay componente en la dirección z, y entonces resulta: r
R = r r ˆ r
v
=
&θ ˆ &r ˆ + r θ r
=
(r &&
r
a
−
)
& 2 r & + r θ &&)θ ˆ &θ ˆ + (2r r θ
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