1
1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
Beberapa masalah terkait integral dapat diterapkan untuk menyelasaikan permasalahan-permasalahan teknik sipil, sehingga disini kita perlu mempelajari integral untuk kemudian diterapkan dalam masalah sehari-hari. Contoh nyata yang bisa kita temui sehari-hari adalah bentuk dari kubah masjid yang bermacammacam bentuknya atau gedung-gedung yang berbentuk abstrak. Dalam hal ini bentuk itu sendiri merupakan cabang dari geometri namun kemudian disini akan ditemui volume, maka dari itu kita akan menggunakan integral untuk menghitungnya. Perhitungan integral dapat melalui beberapa metode yaitu metode kartesius, parameter, kutub (Budi, 2012). Akan tetapi disini nantinya akan dibahas lebih lanjut mengenai aplikasi integral dengan metode kutub (polar).
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan Latar Belakang dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana pengaplikasian masalah-masalah integral yang berkaitan dengan masalah-masalah geometri? 2. Bagaimana penggunaan metode kutub (polar) dalam penyelesaian beberapa kasus integral?
1.3. Tujuan
Berdasarkan Latar Belakang dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut. 1. Mengetahui beberapa penyelasaian dari pengaplikasian masalah masalah integral yang berkaitan dengan geometri 2. Memberikan langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode kutub (polar) dalam penyelasain beberapa kasus integral
2. KAJIAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Kutub (Polar)
2
Sistem koordinat kutub (polar coordinate system) merupakan suatu alternatif untuk sistem kartesius. Dalam sistem ini setiap titik P (x,y) dalam bidang koordinat-xy dapat dapat dinyatakan sebagai berikut: x²+y² = r², x = r cos (θ), y = r sin (θ) , θ = arctan (y/x) ( y/x) Titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu-x positif dinamakan sumbu kutub (polar axis). Bilangan r dinamakan koordinat jarak (distance coordinate) yang meyatakan panjang garis dari titik P ke titik asal O, dan sudut θ dinamakan sudut kutub (polar angle) yang menyatakan sudut antara garis dan sumbu kutub. Hal tersebut dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
Gambar 2.1.1 Ilustrasi sistem koordinat kutub (Budi, 2012:287; Steiner, 2008:78)
Dalam gambar di atas, kutub dilabelkan dengan (0, θ) karena 0 menyatakan sudut jarak 0 dari kutub, sehingga (0, θ) akan secara tepat berada di kutub tanpa memperhatikan sudut θ. Satuan untuk θ dapat diberikan dalam radian atau derajat, tetapi pada umumnya diberikan dalam radian. Untuk perubahan antara radian dan derajat, dapat digunakan aturan: Untuk perubahan dari radian ke derajat, dikalikan dengan 180/π, Untuk perubahan dari derajat de rajat ke radian, dikalikan dengan π/180 Contoh Permasalahan: Letakkan titik-titik dengan koordinat-koordinat kutub; A (2,30˚), B ((-2, 1/6π), dan C ((-1, 270˚) Penyelesaian:
3
Untuk mencari letak titik A, lihat sepanjang garis yang membentuk suatu sudut 30˚ terhadap 30˚ terhadap sumbu kutub, dan selanjutnya mengambil 2 satuan dalam arah tersebut. Untuk mencari letak titik B, lihat sepanjang garis yang membentuk sudut 1/6 π atau 30˚ terhadap sumbu kutub, dan selanjutnya selanjutnya mengambil 2 satuan mundur karena r = -2 adalah negatif. Untuk mencari letak titik C, lihat sepanjang garis yang membentuk suatu sudut 270˚ terhadap sumbu kutub, dan selanjutnya selanjutnya mengambil 3 satuan mundur karena r = -1 adalah negatif. Penjelasan dari kesemuanya dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 2.1.2 Letak titik A, B, C dalam koordinat Sumber: (Budi, 2012:288)
4
Gambar 2.1.3 Rumus beberapa koordinat bidang
Sumber: (Djohan, 2004:37)
3. PEMBAHASAN
dalam subbab ini akan dibahas mengenai aplikasi dari penggunaan integral kutub atau polar, yang meliputi aplikasi pada luas bidang datar, panjang busur, dan luas permukaan putaran (Budi, 2012)
3.1 Konsep Sederhana dan Contoh Soal Integral Polar 3.1.1 Luas Bidang datar
Rumus untuk mencari luas pada bidang datar adalah sebagai berikut. πr² (θ/2π) = ½ r² θ 3.1.2 Menentukan r yang Paling Kecil/Tipis
∫αβ r²
1/2 3.1.3 Contoh Soal
θ
∫(1cosθ)dt ∫ 12cosθ+cos² ∫ 12cosθ+1/2(1+cos2
R=½
=½
=½
θ
θ)
5
= 1-2 1-2 cos θ + ½ x ½ cos 2 θ = ½ [θ[θ-2sin θ + ½ θ + ¼ sin2 θ] = ½ (2π + π)
2π0
= 3/2 π
3.2 Luas Bidang Datar
Dalam hal ini akan dibuat permisalan mengenai bidang datar yang akan dibatasi oleh beberapa kurva-kurva rι=f (θ) dan rd=g (θ)>0, dimana rι>rd, rι >rd, serta garis-garis θ = α dan θ = β, dimana α < β, < β, seperti dalam Gambar 4.5 (a) berikut.
Sumber: (Budi, 2012: 162)
Rumus untuk luas bidang datar tersebut dapat dipandang secara langsung dengan memperhatikan suatu irisan Δ Li. Irisan tersebut diperoleh dengan memandang dua juring dari suatu lingkaran luar berjari-jari r ι dan suatu lingkaran dalam berjari-jari rd dengan sudut pusat untuk keduanya yaitu Δθ Δθ seperti dalam gambar 4.5 (b). Berdasarkan rumus luas suatu juring dari lingkaran dengan jari jari r dan sudut pusat θ : :
L= r ² θ Diperoleh luas juring OBi-ı OBi- ıBi (berjari-jari r ι) dan OAi-ı OAi-ıAi (berjari-jari rd) berturut-turut yaitu LOBi-ıBi LOBi-ıBi = ½ r²iΔθ dan LOAiLOAi-ııAi = ½ r²dΔθ r²dΔθ Sehingga ΔLi = LOBiLOBi -ıBi - LoAi-ı LoAi-ıAi = ½ (r ²ι²ι- r²d) Δθ = ½ ([ f (θ*)]² -[g(θ*)]²) Δθ Jika i dan g dan g kontinu, maka bisa diperoleh luas eksak bidang datar, yaitu
6
l→∞im ∑= ([(
∆
θ*i)]² - [g(θ*i)]²) θ
Dan berdasarkan Integral tentu (integral suatu fungsi yang diberi batasan atau kondisi batas) (Daud, 2015: 423) dapat diperoleh pula rumus sebagai berikut L=
∫([ ()] [()] )
dθ (3.1) dθ (3.1)
Contoh Permasalahan. Hitung luas bidang datar tertutup diluar lingkaran r = 6 cos (θ) dan di dalam kardioda (cardioid ) r = 2+2 cos (θ) Penyelesaian Untuk menentukan luas bidang datar yang dimaksudkan, perlu diketahui nilai θ dimana kedua kurva berpotongan. Nilai-nilai tersebut dapat dicari dengan cara substitusi : 6 cos (θ) = 2+2cos (θ) → 4 cos (θ) = 2
± 3
→ cos (θ) = →θ=
π
Selanjutnya bidang datar yang diberikan dapat digambarkan seperti berikut :
Gambar 3.1 Kardioda dan lingkaran dalam koordinat
Sumber : Budi, (2012:164)
Diingat bahwa rumus (3.1) meminta bidang datar harus tertutup ketika menaikkan
3
besar sudut dari yang kecil ke besar. Jika menggunakan π sampai π, maka
7
akan didapatkan bidang datar yang dibatasi kardioda dan lingkaran. Luas untuk bidang datar tersebut yaitu L1 = =
∫[( )² ( ) ] ∫[(2+2cos()) (6cos() )] [1+2cos()) 8 () ∫ [1+2cos( 3 3 3
dθ
dθ
=2
dθ
= 2[θ 2[θ + 2sin(θ) – 8 8 ( sin (2θ) + θ]
= 2[-3θ 2[-3θ + 2sin(θ) – 8 8 ( sin (2θ)]
= 2[(- π + 2 – 0) – 0) – (-π (-π + 0)] = 4 – π – π
Berikutnya, jika kita menggunakan π sampai π, maka kita mendapatkan bidang datar yang dibatasi oleh kardioda saja. Di sini t etap bisa menggunakan rumus (3.1) dengan mengambil r lingkaran = 0. Luas untuk bidang datar tersebut yaitu
∫[(2+2cos())² 0 ] [1+2cos() + coscos ² ()() ] ∫[1+2cos( 3
L2 =
dθ
=2
dθ
= 2[θ + 2sin(θ) + ( sin (2θ) + θ] = 2[ θ + 2sin(θ) + sin (2θ) ]
= 2 [ ( π + 0 -0) + ( π + 2 – 0) 0) ] = 4+ π Sekarang perhatikan bahwa ternyata bidang datar simetris terhadap sumbu x. jadi, luas bidang datar yang ditanyakan yaitu
3
L = 2( L1+L2 ) = 2 (4 – (4 – π π + 4 + π = 16 - π
3.3 Panjang Busur
Dalam bagian ini akan dicari panjang busur yang diberikan oleh persamaan kutub R = P (θ), α
≤≤ θ
β
8
Dimana kita mengasumsikan bahwa busur melintasi titik tepat satu kali. Pertama kali, tulis persamaan busur dalam persamaan-persamaan parameter: Berikutnya cari
Dan
= P’ (θ) cos (θ ) – P – P (θ) sin (θ) =
= P’ (θ) sin (θ ) + P (θ) cos (θ) =
Untuk memperoleh
(
)² + (
cos (θ) – r – r sin (θ)
sin(θ) – r – r cos (θ)
)² = r² + ( )²
Jadi berdasarkan persamaan diatas, diperoleh rumus panjang suatu busur kutub sebagai berikut. S=
²+()² ∫ ²+(
dθ dθ
Contoh Permasalahan Cari panjang busur kardioda r = 1 – cos – cos (θ)
Penyelesaian. Pertama, gambar kardioda untuk menentukan batas integrasi
Gambar 3.2 Kardioda dalam koordinat
Sumber: (Budi, 2012:212)
9
Titik A (r, θ) melintasi busur tepat satu kali dan berlawanan arah dengan arah jarum jam ketika θ berubah dari 0 sampai 2π, sehingga nilai-nilai nilai-nilai tersebut diambil untuk α dan β. Karena
Maka diperoleh
) 22cos() ∫ 2[1cos()] 2[1cos()] ∫ 22cos() ∫ 2[22[2 ( ) ∫ 44² ( ) ∫ ⃒ ( )⃒) ∫ 2sin( ) 4cos( ) 20
r² + ( dan S= = = =
= sin (θ)
² = [1-cos (θ)]² + sin² (θ) = 2 – 2 – 2 cos (θ)
dθ =
dθ =
dθ =
dθ
dθ
dθ
= 4+4 = 8
3.4 Luas Permukaan Putaran
Untuk menurunkan rumus kutub untuk luas suatu permukaan putaran, dilakukan pengamatan yang serupa seperti penurunan rumus parameter pada bagian sebelumnya hal ini terdapat pula pada diktat Kalkulus 2 karangan Kurniawati dan Soehardjo tahun 2011 hal. 26. Jika kita memparameterisasi kurva
≤≤
r = f (θ), α θ β, dengan α = r cos (θ) ( θ) = f (θ) cos (θ) dan y = r sin (θ) = f (θ) sin (θ) maka akar kuadrat yang muncul dalam rumus panjang kurva yaitu
Contoh Permasalahan
+ ()
Cari luas permukaan yang dihasilkan oleh perputaran gelang kanan lemniscates r² = cos(2θ) terhadap sumbu y
Penyelesaian. Gelang kanan lemniscates dan perputaranya diilustrasikan seperti berikut.
10
Gambar 3.3 Gelang kanan lemniscates
Sumber; (Budi, 2012: 225)
titik A (r, θ) melewati kurva tepat satu kali, berlawanan arah jarum jam untuk θ
berjalan dari - π sampai π, sehingga kedua nilai tersebut berturut-turut berturut-turut diambil untuk α dan β. Lalu nyatakan dalam rumus luas permukaan putaran dengan tahapan-tahapan seperti berikut ini. Pertama, r cos (θ)
+ ()
= cos (θ)
+ ( )
berikutnya dari persamaan persama an kurva r² = cos (2θ) diperoleh diperol eh
+ ( )² 2r
Terakhir,
= -2sin -2sin (2θ) → r
→ (r
= -sin -sin (2θ) )² = sin² (2θ)
= (r²)² = cos² (2θ), sehingga
² ² (2) (2)++ (2) () + ()² ∫ () ∫− () 1/4 1/4π √ √ ) =
Sekarang diperoleh Lp = 2π = 2π
= 2π [sin (θ)] = 2π ( +
dθ
dθ
= 1
11
= 2π
√2
4. PENUTUP
1.1 Kesimpulan
Rumus untuk mencari luas bidang datar antara dua kurva tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva kutub 0 =
∫([ ()] [()] )
≤ ≤ rd (θ)
(θ), dimana α
≤≤
β adalah L
dθ. Sedangkan untuk menentukan panjang suatu
busur kutub jika r = P(θ) mempunyai derivatif pertama yang kontinu untuk α
≤
β dan jika titik A (r,
)
≤
melintasi busur r = P (θ) tepat satu kali ketika θ
berjalan dan α sampai β, maka panjang busur adalah S =
²+()² ∫ ²+(
dθ.
Untuk luas permukaan putaran pada kurva kutub jika r = f(θ) mempunyai suatu derivative pertama kontinu untuk α
≤≤
β dan jika titik A (r, θ) melewati
kurva tepat satu kali ketika θ berjalan dari α sampai β, maka luas permukaan permukaan yang dibangkitkan oleh perputaran kurva terhadap sumbu-sumbu koordinat dirumuskan Lp =
2 ∫ sin() () ²+( ²+()² ≥
(sumbu x, dimana y
dθ, pada perputaran terhadap sumbu kutub
0) dan Lp =
2 ∫ (θ ) ) ²+( ²+()² ≥
perputaran terhadap garis θ = π (sumbu y, dimana x
dθ, pada
0
1.2 Saran
1.
Memberikan rumus praktis agar dapat lebih mudah di terapkan
2.
Memberikan luaran berupa software pemrogaman agar akurasi ketelitian lebih tinggi
DAFTAR RUJUKAN
Budi Nugroho., Didit. 2012. Kalkulus Integral dan Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu Daud Pinem, S.T., M. T., Mhd. Kalkukulus untuk Perguruan Tinggi. Bandung: Penerbit Rekayasa Sains Kurniawati S.Si., M.Si., Drs. Soehardjo., Anita T. 2011. Diktat Kalkulus 2. Institut Teknologi Adhi Tama Surabaya
12
Djohan M.Si., Drs. Warsoma. 2004. Intisari Kalkulus 2. Institut Teknologi Bandung Steiner., Erich. 2008. The Chemistry Maths Book. Oxford Universty Press