DISCIPLINA: Pesquisa Operacional PROFESSOR: Leonardo Rosa Rohde
Lista de Exercícios Primeira Parte da Matéria – Programação Linear 1. Modelo para Produção – Exemplo 1 Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela abaixo ilustra a proporção de cada material na mistura para obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formule o modelo de programação linear.
Cobre Zinco Chumbo Preço de venda (R$/ton)
Liga especial de baixa resistência (ton) 0,5 0,25 0,25 3000
Liga especial de alta resistência (ton) 0,2 0,3 0,5 5000
Disponibilidade de matéria-prima (ton) 16 11 15
2. Modelo para Produção – Exemplo 2 Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria-prima e é vendido por um valor diferente, conforme mostra a tabela a seguir. Levando em consideração os dados fornecidos, encontre um modelo que maximize a receita da fábrica com venda dos móveis.
Tábua (m) Prancha (m) Painéis (m) Valor (R$)
Qtd de material consumido por unidade de produto Escrivaninha Mesa Armário Prateleira 1 1 1 4 0 1 1 2 3 2 4 0 100 80 120 20
3. Modelo para Marketing Uma empresa de publicidade pretende atingir 80 milhões de clientes, dos quais 60 milhões tem renda anual inferior a US$ 5.000,00. Os meios de publicidade são : Veículo Publicit. Revista Televisão Radio
Custo Anúncio (em US$1000,00) 30 200 5
Audiência global (em milhões) 1 10 0,8
Audiência c/ renda superior a US$ 5000,00 0,3 2 0,6
Quais os veículos publicitários que devem ser usados (e quanto de cada) de maneira a minimizar o custo global desta publicidade. Construa o modelo linear.
4. Modelo para Produção – Exemplo 3 Uma fábrica produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão-de-obra disponível. A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão-de-obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisas de manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de manga longa é de 5 reais e por camisa de manga curta, 3,5 reais. Formule o problema que encontre as quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro.
5. Modelo para Produção – Exemplo 4 Uma determinada fábrica produz panelas de metal médias e grandes a partir de elementos circulares de diâmetros de 0,25 e 0,40 metros, respectivamente. A primeira operação para obter as panelas é o corte desses elementos circulares sobre chapas de dimensão de 1,40 e 0,50 metros. Os elementos planos circulares são transformados em panelas em uma segunda operação de estamparia. Para o corte existem quatro tipos de matrizes conforme mostra a figura a seguir.
Matriz 1
Matriz 2
Matriz 3
Matriz 4
A fábrica deseja uma produção diária mínima de 500 panelas médias e 350 grandes. Os custos em reais por chapa pelo uso de matriz de corte são respectivamente: 1, 2, 3, 2. Elabore o problema de programação linear que minimize o custo de produção.
6. Modelo para PCP Uma fábrica de bicicletas deseja programar sua produção para os próximos três meses de acordo com a demanda mostrada no quadro abaixo. A capacidade normal de produção da fábrica é de 1300 bicicletas e trabalhando com horas extras consegue-se fabricar um adicional de 400 bicicletas. O custo de produção por bicicleta usando a capacidade normal da fábrica é de R$ 350, enquanto o custo de produção por bicicleta usando horas extras é de R$ 450. Sabe-se que a produção excedente de bicicletas de um determinado mês é aproveitada no mês seguinte. Contudo a produção excedente irá gerar um custo de estocagem de R$ 50 por bicicleta. Considere ainda, que a empresa não fabrica menos de 400 bicicletas por mês e que o almoxarifado não comporta mais do que 350 bicicletas estocadas. Suponha que não exista estoque inicial na empresa e que a empresa não deseja ter estoques no final do trimestre, formule o modelo linear para determinar quantas bicicletas devem ser fabricadas em cada mês, no turno normal e no turno extra, de modo que minimize os custos da empresa. Mês Dezembro Janeiro Fevereiro Tipo de produção Normal Usando horas extras
Demanda (un) 1.200 1.900 1.200
Capacidade produtiva (un) 1.300 400
Custo por bicicleta (R$) 350 450
7. Modelo para Produção – Exemplo 5 (Problema da Mistura) Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de custos diferente, expressando condições de transporte e preços na origem. Por outro lado, cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente diferente de subprodutos para gasolina. Na medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado na produção de gasolina, define-se o tipo de gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petróleo e deseje produzir as gasolinas, amarela, azul e superazul. Programe a mistura dos tipos de petróleo atendendo às condições que se seguem nas tabelas abaixo: Tipo de petróleo 1 2 3 4
Quantidade disponível (barril/dia) 3500 2200 4200 1800
Custo (R$/barril) 19 24 20 27
Tipo gasolina Superazul Azul Amarela
Especificação não mais que 30% do tipo 1; não menos que 40% do tipo 2; não mais que 50% do tipo 3. não mais que 30% do tipo 1; não menos que 10% do tipo 2. Não mais que 70% do tipo 1
Receita (R$/barril) 35 28 22
Segunda Parte da Matéria – Simplex e Programação Inteira 8. Resolva os seguintes modelos de programação linear utilizando o método Simplex. Max Z = 5 x1 + 2 x2
Max Z = 9 x1 + 3 x2
Max Z = 16 x1 + 12 x2
St x1 3 x2 4 x1 + 2 x2 9
St 2 x1 + 1 x2 14 2 x1 + 3 x2 24
St 2 x1 4 2 x1 + 3 x2 12 2 x1 + 1 x2 8
9. Modelo para RH O departamento de polícia da cidade tem as seguintes necessidades mínimas diárias de policiais: Horário 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2
Período Número mínimo de policiais exigidos durante o período 1 22 2 55 3 88 4 110 5 44 6 33
Considere que o período 1 segue imediatamente o período 6, e que cada policial trabalha 8 horas consecutivas. O chefe de polícia deseja saber quantos policiais deve contratar de modo que minimize o número de contratações e, simultaneamente, obedeça ao mínimo exigido de policiais em cada período. Ajude-o formulando o modelo de programação linear. Dica: faça Xt o número de policiais que começam a trabalhar no período t.
10. Modelo para Produção e Finanças Uma empresa fabrica três produtos (A, B e C), cada um dos quais requer dois tipos de capacidade, maquinário Y e maquinário Z. A disponibilidade de máquinas e a utilização das máquinas por produto (ambas em horas diárias) são mostradas na tabela abaixo.
Maquinário Y Maquinário Z Lucro unitário
Produto (em horas diárias) A B C 7 3 1 2 4 6 10 15 12
Capacidade disponível 28 19
A empresa está considerando acréscimos de novos equipamentos. Se a administração decidir expandir a capacidade de maquinário Y, ela deve escolher uma das seguintes máquinas: Máquina Y1 Y2
Capacidade (horas diárias) 5 15
Custo (R$) 500.000 800.000
Se a administração decidir expandir a capacidade de maquinário Z, ela deve escolher uma das seguintes máquinas:
Máquina Z1 Z2
Capacidade (horas diárias) 12 32
Custo (R$) 300.000 900.000
Suponha que o orçamento total para investimento em máquinas seja de R$ 1.500.000. Formule o modelo de programação inteira que maximize o lucro da empresa.
11. Modelo para Fornecedores Uma companhia que fabrica dietéticos pediu cotações a cada um de seus quatro fornecedores de rótulos de embalagem; a companhia necessita de 10.000 rótulos para sua próxima promoção de venda. Cada fornecedor apresentou uma proposta onde informou as quantidades mínima e máxima de fornecimento, bem como o custo unitário de cada rótulo, conforme demonstrado na tabela abaixo: Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3 Fornecedor 4
Produção mínima 2.000 3.000 7.000 5.000
Produção máxima 5.000 4.500 10.000 8.000
Custo por rótulo 0,085 0,080 0,100 0,090
12. Modelo para Finanças – Exemplo 1 Uma indústria decidiu se expandir, construindo uma nova fábrica em Gravataí, Bento Gonçalves ou Viamão. Também está sendo considerada a construção de um novo depósito na cidade que for selecionada para a nova fábrica. O valor presente líquido (lucratividade total considerando o valor do dinheiro no tempo) de cada uma destas alternativas está apresentado na tabela abaixo. A última coluna dá o capital requerido para os respectivos investimentos, onde o capital total disponível é de US$ 33.000,00. O objetivo é encontra a combinação viável de alternativas que maximize o valor presente líquido total. Modele o problema com programação inteira. Decisão Construir fábrica em Gravataí Construir fábrica em B.G. Construir fábrica em Viamão Construir depósito em Gravataí Construir depósito em B.G. Construir depósito em Viamão
Valor presente líquido 7 milhões 5 milhões 6 milhões 4 milhões 3 milhões 5 milhões
Capital requerido 20 milhões 15 milhões 18 milhões 12 milhões 10 milhões 17 milhões
13. Modelo para Distribuição – Exemplo 1 Uma companhia possui três fábricas para a produção de enlatados. Os produtos são distribuídos a quatro representantes que se encarregam de efetuar as entregas aos supermercados de sua zona de atuação. A figura abaixo mostra a situação geográfica, a capacidade produtiva (em milhares de unidades) de cada fábrica, a demanda em função dos pedidos e os custos para o transporte rodoviário de cada 1000 unidades. Qual deve ser o esquema de distribuição de maneira a minimizar o custo global das transferências? Custo (R$/un.) Fábrica A Fábrica B Fábrica C
Depósito 1 2 5 6
850
1200
Depósito 3 9 2 10
Depósito 4 5 2 4 Demanda
Capacidade produtiva
2300
Depósito 2 4 2 8
Depósito 1
900
Depósito 2
1350
Depósito 3
1000
Depósito 4
1100
Fábrica A
Fábrica B
Fábrica C
14. Modelo para Distribuição – Exemplo 2 Pedro Silva Ltda. fábrica, comercializa e distribui o refrigerante de marca CAIDURO. Dispõe de um parque industrial de três unidades engarrafadoras (A, B e C) com capacidade produtivas de 5.000, 9.000 e 4.000 un/mês, respectivamente. Devido a diferença entre as plantas, o custo do produto é de 0,12, 0,13 e 0,11 (R$/u). O refrigerante é distribuído a quatro depósitos regionais (I, II, III e IV) com necessidade mensal de 4.500, 6.200, 5.100 e 2.700 unidades, respectivamente. Considerando a planilha de fretes abaixo (em R$/u), qual o programa que minimiza o custo de “colocação” dos produtos nos diversos depósitos ? Em caso de necessidade, a fábrica C pode ampliar sua capacidade produtiva em mais 2.500 unidades/mês com um acréscimo de 30% no custo do produto. I 0,010 0,002 0,006
A B C
II 0,004 0,150 -
III 0,003 0,002 0,004
IV 0,003 0,002
15. Modelo para Logística Uma empresa fechou contrato com um novo cliente. Assim, de agora em diante ela terá que fornecer, semanalmente, em média 2000 galões de óleo. Para reduzir custos o diretor de logística pediu que seu funcionário encontrasse a melhor rota de transporte entre as duas localidades. Sabe-se que a fábrica fica na cidade A e o novo cliente na cidade H. O mapa abaixo mostra os diversos caminhos possíveis entre as duas cidades. Formule um modelo de programação inteira que minimize a distância percorrida de uma cidade a outra. F
B 8
10 A
D
7 9
H 4
6
C 6
5
4
G
E 5
16. Modelo para Layout Uma fábrica de bolachas deseja organizar a produção do mês atual respeitando a disposição e a capacidade de sua planta produtiva (figura abaixo). Sabe-se que os setores M, F, R, C e E são responsáveis pela massa, forma, recheio, cobertura e embalagem das bolachas, respectivamente. Considere, ainda, que a fábrica produz três tipos de produto conforme especificado na tabela abaixo. Produto Biscoito padrão Bolacha recheada Bolacha recheada e com cobertura
Lucro (R$/un) 0,2 0,3 0,5
Demanda 8000 5000 3500
Setores M, F, E M, F, R, E M, F, R, C, E
F1
M1
Massa
F2
R1
E1
F3
R2
C1
Forma
Recheio
Cobertura
Embalagem
A tabela abaixo indica a capacidade das máquinas em cada setor. Máquina Capacidade
M1 10000
F1 5000
F2 4000
F3 3000
R1 6500
R2 7500
C1 5000
E1 12000
Formule um modelo linear que maximize o lucro da empresa. Suponha que, além da capacidade de produção, exista também um limite de capacidade de transporte ente as máquinas. Como ficaria esta nova restrição?
17. Modelo Preço X Demanda Uma empresa produz três tipos de biscoitos e bolachas. Ela deseja saber que quantidade produzir de cada produto de forma a maximizar o lucro da empresa. A tabela abaixo mostra a relação de preço x demanda de cada produto. Produto 1 Demanda Preço 1000 1,0 500 1,3 300 1,6 200 2,0
Produto 2 Demanda Preço 500 1,4 250 1,8 150 2,2 100 2,5
Produto 3 Demanda Preço 300 2,0 170 2,3 80 2,7 50 3,1
Os seguintes valores de custo e lucro para os produtos são mostrados na tabela a seguir: Produto 1 Produto 2 Produto 3 Capacidade
Custo 0,8 1,1 1,7 -
Máquina A 0,3 0,4 0,4 2000
Máquina B 0,5 0,4 1000
Máquina C 0,2 500
Para formular o modelo, considere que a produção é igual à demanda. Formule um modelo de programação linear inteira que maximize o lucro da fábrica de biscoitos. Obs: este modelo, na prática, é de programação não linear. Todavia, neste exemplo, ele pode ser modelado com programação linear. Explique como e porque?
18. Modelo para Finanças – Exemplo 2 Uma empresa possui em carteira quatro projetos. A tabela abaixo mostra o VPL, retorno anual e número máximo de vezes que cada projeto pode ser executado. Projeto 1 2 3 4
Ano 0 -100 -200 -190 -300
Ano 1 -40 -100 200 200
Ano 2 -40 -100 50 -100
Ano 3 300 550 50 300
VPL (10%) 56 40 71 25
Vezes 1 3 1
Sabe-se que os projetos 1 e 4 são mutuamente exclusivos, enquanto o projeto 2 é dependente do projeto 1. As disponibilidades atuais de recursos para investimentos são de R$ 550,00, e dentro de 1 ano a empresa terá disponíveis mais R$ 200,00 por ano. Para todos os períodos, ela poderá contar adicionalmente com os recursos provenientes das eventuais receitas proporcionadas pelos projetos escolhidos. Aproveitando-se de uma linha especial de crédito aberta pelo Governo Federal a um custo de 6% ao ano, a direção da empresa admite a possibilidade de tomar emprestados até R$ 180,00 nos dois primeiros anos. Para o terceiro ano a violação orçamentária máxima será de R$ 80,00, a um custo de 15% ao ano. Formule o modelo de programação inteira que maximiza o valor presente líquido (VPL) total da empresa. Considere que empresa ainda deseja uma rentabilidade mínima de 25%.
19. Modelo para Finanças – Exemplo 3 O governo do Estado do RS abriu licitação para a recuperação de quatro rodovias. Quatro empresas de engenharia civil mostraram-se interessadas e apresentaram suas propostas para cada uma das licitações. Por razões políticas, os funcionários do governo não querem conceder mais do que três licitações para empresas de fora do estado. Para preservar uma boa imagem diante a população e partidos de oposição, o governo também decidiu não conceder mis do que duas licitações para uma mesma empresa. Sabe-se ainda que o governo não dispõe mais do que 15 milhões para os projetos, mas deseja realizar o maior número possível de obras. Considere
as informações da tabela abaixo e que a empresa 1 condicionou os valores propostos à realização de pelo menos duas obras. Encontre o modelo de programação inteira para o problema. Construtora Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3 Empresa 4
Propostas apresentadas (em milhões de R$) Rodovia A Rodovia B Rodovia C Rodovia D 2,5 3 4 6 3,5 4 5 5,8 2,8 3,5 4,2 6 3 4 4,5 5
Estado origem RS SC SP RS
Exercícios de Programação Inteira para Treino 20) A empresa de refrigerantes TUBAÍNA pretende distribuir seus produtos em duas cidades. Para isso ela dispõe de três tipos de caminhão nas seguintes quantidades: Modelo do caminhão Mercedez Ford Kombi
Disponibilidade 10 8 5
Capacidade (em engradados) 700 450 100
O analista de logística sabe que é preciso entregar no mínimo 4500 engradados na cidade A e 6000 engradados na cidade B. Ajude o analista de logística formulando um modelo de programação linear baseado nos custos (R$/caminhão) da tabela abaixo. Cidade A Cidade B
Mercedez 400 580
Ford 220 380
Kombi 140 200
Três estudantes, Bruno, Vilmar e Suelly, querem dividir suas principais tarefas domésticas entre si, de 21) modo que cada um tenha duas tarefas, mas que o tempo total gasto em tarefas domésticas seja um mínimo. Suas eficiências nessas tarefas diferem, sendo que o tempo que cada um gastaria para desempenhar uma tarefa é dado pela seguinte tabela: Estudante Bruno Vilmar Suelly
Compras 4,0 3,2 3,9
Tarefa doméstica ( em horas necessárias por semana) Almoço Janta Limpar casa Lavar pratos 6,5 3,9 9,8 6,0 7,4 5,5 10,5 4,1 6,8 4,8 12,3 4,5
Lavar roupas 3,3 2,5 2,7
Formule um modelo de programação binária para este problema. Uma rede de lanchonetes possui 4 lojas em uma cidade. Para fazer frente a demanda do verão o 22) superintendente regional de compras da empresa adquiriu 7 containers de sorvete. Devido a diferente localização de cada uma das filiais existem diferentes potenciais para para a venda do sorvete. sorvete. Face a experiência de venda, venda, o superintendente estimou o lucro líquido que seria possível obter em cada filial caso destinasse X containers para cada lanchonete, conforme sugere a tabela abaixo. Qtd containers na lanchonete 1 2 3 4 5
A 4 6 10 12 14
Lanchonete (valores em milhares de R$) B C 2 6 6 12 8 14 10 18 12 20
D 1 4 8 16 20
Sabe-se ainda que não é possível colocar mais do que 5 containers numa única lanchonete por causa do espaço físico necessário. Ajude o superintendente a distribuir os containers de modo que maximize o lucro da empresa.
Uma companhia tem três fábricas que produzem um certo produto que será remetido a quatro centros de 23) distribuição. As fábricas 1, 2 e 3 produzem 14, 17 e 11 remessas por mês, respectivamente. Cada centro de distribuição precisa receber 10 remessas por mês. A distância de cada fábrica até os respectivos centros de distribuição é dada abaixo em quilômetros. O custo do frete de cada remessa é de R$ 200 mais 50 centavos/quilômetro. Formule um modelo de programação linear que minimize os custos totais de transporte.
1 2 3
Fábrica
Centro de Distribuição 2 3 1.300 400 1.400 600 1.200 800
1 800 1.100 600
4 700 1.000 900
24) Uma construtora adquiriu um terreno em Porto Alegre e deseja construir um prédio. Sabe-se que o terreno tem 600 m2 de área e que o plano diretor da prefeitura, para aquele bairro, permite que se construa uma área total de 5 vezes a área do terreno. A construtora tem 3 alternativas para os andares do prédio, conforme mostra a tabela abaixo: Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3
1 apartamento de 4 dormitórios por andar 2 apartamentos de 3 dormitórios por andar 4 apartamentos de 2 dormitórios por andar
Por experiência, os construtores sabem que não vale a pena ter os três tipos de apartamentos no mesmo prédio. Assim, a construtora deve optar por no máximo duas alternativas de andares. Ainda, para evitar níveis sociais diferenciados no prédio (atrapalha as vendas) a construtora não deseja ter no mesmo prédio as alternativas 1 e 3. Além disso, espera-se que pelo menos 30% dos andares seja de cada cada uma das alternativas escolhidas. Utilizando a tabela de custos e receita dos apartamentos formule um modelo de programação linear que otimize o lucro da construtora para o prédio. Apartamento Apartamento 2 dormitórios 3 dormitórios 4 dormitórios
Custo 50.000 105.000 210.000
Receita Receita 130.000 250.000 450.000
Área construída construída (m ) 75 150 300
Uma pecuarista pretende criar Ovelhas e/ou Porcos e/ou Terneiros. A área que ela dispõe permite a 25) criação de um máximo de 400 ovelhas, ou de 600 porcos, ou de 200 terneiros (Está aberta a hipótese da criação simultânea das três espécies). O lucro possível de ser alcançado, se tudo ocorrer bem, deverá ser de R$ 1000,00, R$ 1500,00 e R$ 4500,00 por unidade vendida de ovelha, porco e terneiro, respectivamente. Entretanto, está em vigor uma lei municipal, que exige a criação de no mínimo tantos porcos quanto ovelhas mais terneiros. Qual o esquema de criação que sugeres para maximizar o lucro global de criação? O comando estratégico da Força Aérea recebeu ordens de interromper a produção de tanques do inimigo, 26) que possui quatro fábricas (em locais diferentes). O combustível está racionado (para variar) em 48.000 galões, e os aviões devem levar combustível suficiente para ir, voltar (se voltar) e mais uma reserva de 100 galões. As características das aeronaves são: Tipo de Avião 1 2
Descrição Pesado Médio
Consumo (milhas/galão) 2 3
Disponib. 48 32
As informações a respeito das cidades e suas vulnerabilidades, são: Fábrica
Distância da base (milhas)
1 2 3 4
450 480 540 600
Probabilidade de destruição (Pesado) 10% 20% 15% 25%
Probabilidade de destruição (Médio) 8% 16% 12% 20%
Quantos aviões de cada tipo devem ser utilizados para maximizar a probabilidade de sucesso?
27) que:
Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe por experiência
A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser expresso em um custo médio de 3 reais por seção de treinamento de duas horas. O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 2 reais pelo mesmo tempo de prática. O orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. Seus afazeres como estudante lhe dão liberdade de empregar, no máximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para esforços físicos. Cada seção de natação consome 1.500 calorias, enquanto cada etapa ciclística despende 1000 calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento.
28) O Sr. Abrahão, diretor da EUPHRATES TRANSPORTES LTDA, fechou um contrato para transportar figos secos de Bagdá a Meca. O contrato exige o transporte de 5.000 a 20.000 kg de figos/viagem-mês. Considerando as condições locais, o Sr. Abrahão selecionou o CAMELO e o DROMEDÁRIO como os “veículos” mais adequados. Como não os dispunha, contatou com Bagdá-Car, locadora local, para fechar um contrato de locação de animais. Neste contrato, ficou acertado o valor de US$ 60,00 e US$ 25,00 por cada camelo e dromedário utilizado, sendo que cada camelo tem capacidade de transportar até 500 kg de carga, enquanto o dromedário somente a metade. O contrato também exige uma utilização mínima de 5 camelos. Por outro lado, a locadora não dispõe mais de 40 dromedários. O problema do Sr. Abrahão é definir, em 30 minutos, o número de camelos e dromedários que deve utilizar, de maneira a satisfazer o contrato com o custo mais baixo possível (até pegar experiência). Transferindo o problema para o seu assistente Mustafá, o mesmo questionou o problema do “combustível”. Telefonando à locadora, ficou sabendo que, já estava incluído no preço da locação, mas havia um limite de 180 baldes de aveia e 2.500 litros de água (espalhados nos diversos oásis). Perguntando pelo consumo percapita, também ficou sabendo que cada camelo deverá consumir 50 litros de água e 3 baldes de aveia por viagem, enquanto que cada dromedário, 50 litros de água e 4 baldes de aveia. Depois de três viagens a “custo mínimo”, o Sr. Mustafá pretende maximizar sua receita. Para tanto, também ficou estabelecido no contrato, que cada kg de figo entregue em Meca e transportado via camelo resultará numa receita de US$ 0,30, enquanto que via dromedário, US$ 0,40/kg. Qual deve ser a nova combinação que maximize esta receita? E se o objetivo objetivo fosse maximizar maximizar o lucro? 29) Um fazendeiro está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgãos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é a constante na tabela abaixo: Cultura Trigo Arroz Milho
Produtividade em kg/m 0,2 0,3 0,4
Lucro por kg de produção 10,8 centavos 4,2 centavos 2,03 centavos
Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável da fazenda é de 200.000 m 2. Para atender as demandas de sua própria fazenda, é imperativo que se plante 400 m2 de trigo, 800 m2 de arroz e 10.000 m2 de milho.
30) Uma cooperativa agrícola opera 3 fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A produção total por fazenda depende de pende fundamentalmente da área disp onível para o plantio e da água á gua de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção, de modo que plantará este ano três tipos de cultura em cada fazenda a saber: milho, feijão e arroz. Cada tipo de cultura demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites da área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As tabelas a seguir resumem os dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de produção que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa. Fazenda 1 2 3
rea total para cultivo (acres) 400 650 350
gua disponível (litros) 1800 2200 950
Cultura Milho Arroz Feijão
rea máxima de cultivo (acres) 660 880 400
Consumo de água (litros/acre) 5,5 4 3,5
Lucro (R$/acre) 5000 4000 1800
31) Alberto Pereira recebeu 180 mil dólares de herança (de um tio perdido nos States) com a condição de doá-la às instituições de caridade dentro de um ano, podendo ficar com a rentabilidade obtida até então. Esta quantia já se encontra disponível na Caixa Federal, que, se não for mexida deve crescer 50% mais 6% de juros, ao final de um ano. Alberto, entretanto selecionou mais três alternativas de aplicação: adquirir um lote de ações a US$ 0,45/unid. que deverá ter uma rentabilidade esperada de 70% no próximo ano. comprar letras de câmbio a um preço unitário de US$ 30,00 com rentabilidade anual esperada de 61%; comprar Obrigações do Tesouro Nacional a um preço unitário de US$ 10,00 e com rentabilidade anual esperada de 50%; Supondo que Alberto não deseja investir mais de US$ 150.000,00 em ações e/ou letras de câmbio; que o seu corretor consegue somente um máximo de 20.000 ações e 4.000 letras de câmbio; que deseja deixar na Caixa Federal (por medida de segurança) um mínimo de US$ 20.000,00; que o investimento feito em Obrigações do Tesouro não ultrapasse duas vezes o depósito deixado na Caixa. Ajude-o a encontrar a solução que maximize sua rentabilidade. 32) Um navio cargueiro possui três depósitos localizados: na proa, no centro e na popa. As limitações de cada depósito são: Depósito Proa Centro Centro Popa
Em tonelagem 2.000 ton. 3.000 ton. 1.500 ton.
Em volume 100.000 m 135.000 m 30.000 m
Os seguintes produtos podem ser transportados (parcial ou total): Produto Uréia Cloreto Sulfato
Tonelagem 6.000 4.000 2.000
Vol. (m /ton.) 60 50 25
Lucro (R$/ton.) 6.000,00 8.000,00 5.000,00
Para preservar o equilíbrio do barco, o peso de cada depósito deve ser proporcional à sua capacidade em toneladas. Quais os produtos a transportar e como devem ser distribuídos no navio de maneira a maximizar o lucro? A empresa K.I.C. More Ltda. foi consultada pela Boa Viagem Turismo Ltda. para o transporte de 700 33) pessoas de Porto Alegre até a Ilha da Jóia. Para o dia desejado, a empresa de aviação dispõe de dois tipos de aviões: o RT207 que pode transportar 30 passageiros com uma tripulação de 3 pessoas, e o RT407 que tem capacidade para 65 passageiros e exige uma tripulação de 5 pessoas. Quanto à locação locação as despesas serão de 700 e 1500 OTN’s, respectivamente, para cada unidade de RT207 e RT407 locado (sem mais nenhuma despesa adicional). Quantos aviões de cada modelo devem ser usados de maneira a minimizar o custo total de aluguel, considerando que no dia do vôo haverá uma disponibilidade máxima de 60 pessoas para compor as tripulações?
34) Sr. K. Lavera “importa” três tipos de xaropes (A, B, C) e os mistura para obter e vender vender três marcas diferentes de Whiskey’s, com as seguintes “especificações técnicas” : Whiskey Choro Livre Vôo Alto Velho Amigo
Especificações não menos de 60% de A e não mais de 20% de C não mais de 60% de C e não menos de 15% de A não mais 50% de C
Preço de Venda R$ 6,80 R$ 5,70 R$ 4,50
Disponibilidade e custo dos ingredientes Disponib. máxima 2.000 2.500 1.200
Ingrediente A B C
Custo R$ 7,00 R$ 5,00 R$ 4,00
Mostre como ele deve “fabricar” os Whiskey’s de maneira a maximizar seu lucro. O jovem Simão ganha sua vida distribuindo água mineral. Deste modo, todos todos os dias ele leva sua kombi 35) carregada de garrafas com água até todas as firmas que contratam seu serviço. Pensando em melhorar seus lucros, Simão chamou uma amiga que cursava administração de empresas para otimizar sua rota de distribuição. Após calcularem as distâncias entre os pontos de entrega, os dois amigos chegaram a seguinte tabela de distâncias: Depósito 0 8 7 10 11
Depósito Firma 1 Firma 2 Firma 3 Firma 4
Firma 1 10 0 9 6 12
Firma 2 8 14 0 15 10
Firma 3 12 8 11 0 9
Firma 4 9 7 7 8 0
Considere que Simão carrega a Kombi no depósito e depois de realizar todas as entregas precisa retornar para este mesmo lugar. Formule um modelo que minimize a distância percorrida por Simão. Uma companhia tem três fábricas que produzem um certo produto que será remetido a quatro centros de 36) distribuição. As fábricas 1, 2 e 3 produzem 14, 17 e 11 remessas por mês, respectivamente. Cada centro de distribuição precisa receber 10 remessas por mês. A distância de cada fábrica até os respectivos centros de distribuição é dada abaixo em quilômetros. O custo do frete de cada remessa é de R$ 200 mais 50 centavos/quilômetro.
Fábrica
Centro de Distribuição 2 3 1.300 400 1.400 600 1.200 800
1 800 1.100 600
1 2 3
4 700 1.000 900
Quanto deveria ser remetido de cada fábrica para cada um dos centros de distribuição para minimizar os custos totais de transporte? (a) Formule este problema como um problema problema de transporte, construindo a tabela de custos e requisições apropriada. (b) Use a regra do canto superior esquerdo (noroeste) para obter a solução básica viável inicial. (b) Use o método de aproximação de Vogel. (d) Use o método de aproximação de Russell. (e) Use o método MODI para obter a solução ótima.
37)
Considere o problema de transporte com a seguinte tabela de custos e requisições : Destino
1 2 Fonte 3 4 5 Demanda
1 20 26 0 18 48 5
2 36 24 12 22 56 6
3 58 42 22 46 72 5
4 26 28 6 36 60 3
5 44 32 24 38 68 4
6 0 0 0 0 0 2
Oferta 5 6 7 4 3
Use cada um dos critérios abaixo para obter uma solução básica viável inicial. Compare o valor da funçãoobjetivo para estas soluções. (a) Regra do canto superior esquerdo (Noroeste). (b) Método de aproximação de Vogel. (c) Método de aproximação de Russell. (d) Use a melhor destas soluções para inicializar o método MODI e, então, obter a solução ótima.
