Planificación Electivos III - IV Medio 2017 (1)

PLAN ELECTIVO MATEMATICO Departamento de Matemática SIP

2017

IMPORTANTE ESTE DOCUMENTO DE TRABAJO ES UNA OBRA, CREADA A PARTIR RECOPILACIÓN DE DISTINTAS FUENTES TENIENDO POR ÚNICO FIN SER UN TEXTO DE APOYO A PROFESORES SIP, SIN FINES DE LUCRO. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN COMERCIAL

MATEMÁTICA PLAN ELECTIVO ENSEÑANZA MEDIA Planificación de Trabajo

III° - IV°

Departamento de Matemática SIP 2017

4ª EDICIÓN LUNES 09 DE ENERO 2017

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SIP - 2017 PLANIFICACIÓN MARCIA MUÑOZ JEFA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SIP EDICIÓN Y DISEÑO JONATHAN VERGARA ASESOR DE MATEMÁTICA

ÍNDICE ASIGNATURAS DEL PLAN ELECTIVO MATEMÁTICO .......................................................................................................................................1 ORIENTACIONES GENERALES:..................................................................................................................................................................1 HABILIDADES: ..........................................................................................................................................................................................2 OBJETIVOS FUNDAMENTALES: ................................................................................................................................................................2 ESTRUCTURA DE CLASES..........................................................................................................................................................................3 EVALUACIONES........................................................................................................................................................................................3 MATERIAL ANEXO....................................................................................................................................................................................3

ÁLGEBRA y TRIGONOMETRÍA DE III MEDIO ........................................................................................................................................4 SEMESTRE I: .............................................................................................................................................................................................4 UNIDAD I PROFUNDIZACIONES DEL LENGUAJE ALGEBRAICO............................................................................................................4 

CLASE 1 “Propiedades de la Adición y Multiplicación de Polinomios” (3 horas pedagógicas): .....................................5



CLASE 2 “Productos Notables” (3 horas pedagógicas): ......................................................................................................5



CLASE 3 “Factorizaciones” (3 horas pedagógicas): .............................................................................................................6



CLASE 4 “Fracciones Algebraicas” (3 horas pedagógicas): .................................................................................................6



CLASE 5 “División de Polinomios” (3 horas pedagógicas)...................................................................................................7



CLASE 6 “Teorema del resto y del factor”(3 horas pedagógicas) .......................................................................................9

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CLASE 7 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas): .............................................................................10

UNIDAD II PROBLEMAS CON ECUACIONES.......................................................................................................................................11 

CLASE 1 “Repaso de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas): ................................................................................................12



CLASE 2 Y 3: “Problemas con ecuaciones” (6 horas pedagógicas)....................................................................................12

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CLASE 4: “Sistemas de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas) ..............................................................................................13

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CLASE 5 “Problemas con sistemas de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas) .......................................................................13

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CLASE 6 Y 7 “Sistemas de Ecuaciones Con 3 Incógnitas” (6 horas pedagógicas) ..............................................................13

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CLASE 8 “Ecuaciones de Segundo Grado” (3 horas pedagógicas). ...................................................................................14



CLASE 9 “Ecuaciones Reductibles a Ecuaciones Cuadráticas” (3 horas pedagógicas) ................................................14



CLASE 10 “Ejercitación de la unidad completa” (3 horas pedagógicas):...........................................................................14

SEMESTRE II: ..........................................................................................................................................................................................15 UNIDAD III TRIGONOMETRÍA ...........................................................................................................................................................15 

CLASE 1 “Angulos Orientados y Sistemas de medición de Ángulos” (3 horas pedagógicas).............................................16



CLASE 2 “Razones Trigonométricas en el Triángulos rectángulo” (3 horas pedagógicas)................................................16



CLASE 3 “Ángulos notables de 30º, 45º y 60º” (3 horas pedagógicas). ............................................................................18



CLASE 4 “Angulos de Elevación y Depresión” (3 horas pedagógicas). ..............................................................................20



CLASE 5 “Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas” (3 horas pedagógicas) ......................................................21



CLASE 6 “Signos de las razones Trigonométricas” (3 horas pedagógicas). .......................................................................21



Clase 7 “Reducción al 1er cuadrante” (3 horas pedagógicas). .........................................................................................22



CLASE 8 “Gráfico de la función seno y coseno” (3 horas pedagógicas). ...........................................................................23



CLASE 9 “Características de la función seno y coseno” (3 horas pedagógicas). ...............................................................23



CLASE 10 “Función tangente y cotangente” (3 horas pedagógicas). ................................................................................24



CLASE 11 “Función secante y cosecante” (3 horas pedagógicas). ....................................................................................24



CLASE 12 “Cambios a los gráficos al variar los parámetros de las funciones (3 horas pedagógicas). ...............................25



CLASE 13 “Identidades para la suma y diferencia, ángulos dobles y ángulos medios” (3 horas pedagógicas). ................26



CLASE 14 “Ecuaciones Trigonométricas” (3 horas pedagógicas). .....................................................................................26



CLASE 15 “Resolución de Triángulos y Teorema del Seno” (3 horas pedagógicas) ..........................................................26



CLASE 16: “Teorema del coseno” (3 horas pedagógicas) .................................................................................................27



CLASE 17 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas): ...........................................................................27

GEOMETRÍA Y MODELOS ANALÍTICOS III MEDIO ............................................................................................................................28 SEMESTRE I: ...........................................................................................................................................................................................28 UNIDAD GEOMETRÍA EUCLIDEANA ..................................................................................................................................................28 

CLASE 1: “Conceptos primitivos, axiomas, postulados, teoremas y corolarios” (3 horas pedagógicas). ..........................30



CLASE 2 “Triángulos, alturas, bisectrices y simetrales” (3 horas pedagógicas). ...............................................................31



CLASE 3 “Triángulos, transversales de gravedad y medianas. (3 horas pedagógicas). ....................................................31



CLASE 4: “Triángulos, congruencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas).................................................................32



CLASE 5: “Triángulos, congruencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas).................................................................33



CLASE 6 “Cuadriláteros y propiedades” (3 horas pedagógicas). .......................................................................................36



CLASE 7: “Polígonos y diagonales” (3 horas pedagógicas). ..............................................................................................36



CLASE 8 “Circunferencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas). ...............................................................................37



CLASE 9 “Semejanza y demostraciones” (3 horas pedagógicas). .....................................................................................37



CLASE 10 “División Interior, exterior y armónica de un segmento” (3 horas pedagógicas). ............................................38



CLASE 11 “Razón Aúrea” (3 horas pedagógicas). .............................................................................................................38







UNIDAD II LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO ...........................................................................................................................43 

CLASE 1 “Concepto de Lugar Geométrico” (3 horas pedagógicas) páginas 149 a 156 .....................................................44



CLASE 2 “Aplicación de los Lugares Geométricos del Plano” (3 horas pedagógicas) ........................................................44



CLASE 3 “Puntos que cumplen con una condición dada en el triángulo” (3 horas pedagógicas), ....................................44



CLASE 4 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas). .............................................................................45

SEMESTRE II: ..........................................................................................................................................................................................45 UNIDAD III CÓNICAS .........................................................................................................................................................................45 

CLASE 1 “Ecuación principal y general de la Circunferencia” (3 horas pedagógicas),.......................................................45



CLASE 2 “De la ecuación general de la Circunferencia a la Principal” (3 horas pedagógicas), ..........................................46



CLASE 3 “Parábolas centradas en el origen” (3 horas pedagógicas), ................................................................................47



CLASE 4 “Ecuación General de la Parábola” (3 horas pedagógicas) .................................................................................47



CLASE 5 “Concepto y elementos de la elipse, ecuación principal con centro en el origen” (3 horas pedagógicas), .........48



CLASE 6 “Ecuación principal y general de la elipse” (3 horas pedagógicas), páginas 118 a 121. .....................................48



CLASE 7 “Conceptos y elementos de la hipérbola, ecuación principal con centro en el origen” (3 horas pedagógicas), .49



CLASE 8 “Ecuación principal y general de la hipérbola” (3 horas pedagógicas), ..............................................................50



CLASE 9 “Ejercitación de la unidad completa” (3 horas pedagógicas):.............................................................................50

UNIDAD IV SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO .........................................................................................................51  CLASE 1 “Sistemas de ecuaciones de segundo grado (concepto) y visualización de las curvas que se intersectan, solución gráfica” (3 horas pedagógicas)......................................................................................................................................51  Clase 2 “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por una ecuación lineal y una cuadrática” (3 horas pedagógicas), ..............................................................................................................................................................................52 

CLASE 3: “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por dos ecuaciones cuadráticas” (3 horas pedagógicas) ...52

 CLASE 4 “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por dos ecuaciones cuadráticas homogéneas en dos variables” (3 horas pedagógicas) ................................................................................................................................................53 

CLASE 5 “Aplicación de los sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas” (3 horas pedagógicas), .................53

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO IV MEDIO ............................................................................................................................................54 SEMESTRE I: ...........................................................................................................................................................................................54 UNIDAD I SUCESIONES DE NÚMEROS REALES..................................................................................................................................54 

CLASE 1 “El conjunto de los números reales como Cuerpo Totalmente Ordenado” (3 horas pedagógicas), ..................54



CLASE 2 “Intervalos en R, conjuntos acotados, supremo e ínfimo” (3 horas pedagógicas). ............................................55



CLASE 3 “Valor absoluto de Números reales”. (3 horas pedagógicas),............................................................................56



CLASE 4 “Inecuaciones cuadráticas”. (3 horas pedagógicas), ..........................................................................................56



CLASE 5 “Inecuaciones de grado igual o mayor que 3”. (3 horas pedagógicas), .............................................................57



CLASE 6 “Concepto de sucesión” (3 horas pedagógicas) ..................................................................................................57



CLASE 7 “Operaciones con sucesiones” (3 horas pedagógicas), .......................................................................................58



CLASE 8 “Sucesiones monótonas, acotadas, convergentes o divergentes” (3 horas pedagógicas), ................................58

UNIDAD II SUMATORIAS, PROGRESIONES Y SERIES..........................................................................................................................59 

CLASE 1 “Concepto y Propiedades de las sumatorias” (3 horas pedagógicas), ...............................................................59



CLASE 2 “Sumatoria de una sucesión” (3 horas pedagógicas), ........................................................................................61



CLASE 3 “Progresión, serie y serie aritmética” (3 horas pedagógicas), ...........................................................................61



CLASE 4 “Progresión y serie geométrica” (3 horas pedagógicas), ...................................................................................61



CLASE 5 “Progresión y serie armónica” (3 horas pedagógicas), ......................................................................................61



CLASE 6 “Inducción Matemática” (3 horas pedagógicas), ...............................................................................................62



CLASE 7 “PRÁCTICA” (3 horas pedagógicas), ...................................................................................................................62

SEMESTRE II: ..........................................................................................................................................................................................63 UNIDAD III LÍMITES Y CONTINUIDAD................................................................................................................................................63 

CLASE 1 “Límite de una sucesión y entorno del límite” (3 horas pedagógicas), .............................................................63



CLASE 2 “Propiedades de los límites de sucesiones reales” (3 horas pedagógicas),.......................................................64



CLASE 3 “El número e y práctica” (3 horas pedagógicas), ..............................................................................................64



CLASE 4 “Límite de una función real” (3 horas pedagógicas), ........................................................................................64



CLASE 5 “Propiedades sobre límites de funciones reales” (3 horas pedagógicas), .........................................................65



CLASE 6 “Continuidad de una función real” (3 horas pedagógicas), ................................................................................65



CLASE 7 “Recta tangente a una curva” (3 horas pedagógicas), ........................................................................................65



CLASE 8 “Concepto de derivada de una función real” (3 horas pedagógicas), .................................................................66



CLASE 9 “Propiedades sobre funciones derivadas de funciones reales” (3 horas pedagógicas), .....................................66

TALLERES ANEXO ........................................................................................................................................................................................67

ASIGNATURAS DEL PLAN ELECTIVO MATEMÁTICO ORIENTACIONES GENERALES: Las asignaturas de Matemática del Plan Electivo Matemático se inician apuntando a la profundización en los contenidos de Álgebra y Geometría ya trabajados en el plan común, siempre en el marco ya definido para la Formación General, como un proceso de construcción y adquisición de habilidades intelectuales, en especial las relativas a procesos de abstracción y generalización, formulación de conjeturas, proposición de encadenamientos argumentativos y la utilización y análisis de modelos que permitan describir y predecir el comportamiento de algunos fenómenos en diversos contextos. En relación a los aprendizajes de Álgebra, interesa la formalización del lenguaje algebraico, las demostraciones de algunas propiedades numéricas y la ampliación de los conocimientos adquiridos a un nivel de profundidad que le permita a los alumnos desenvolverse con fluidez. Interesa que los alumnos tengan claras distinciones sobre los casos particulares y la generalización; que adquieran habilidades para llegar a la expresión general a partir del análisis de casos particulares y que dispongan de herramientas básicas para desarrollar demostraciones. Luego, se estudia Trigonometría y finalmente se proponen unidades que son aproximaciones al estudio del Cálculo Diferencial, contenido que es altamente probable que los alumnos deban profundizar en sus estudios universitarios. En relación a Geometría, primero se busca ampliar y profundizar los conocimientos de la Geometría Euclideana, estudiándola con continuidad y no parcelada como ha sido el trabajo en los niveles escolares. También interesa que los alumnos se interioricen en el lenguaje de axiomas y teoremas y sean capaces de comprender y elaborar demostraciones. Luego, se propone trabajar con Las Cónicas como modelos Analíticos, para finalizar con los sistemas de ecuaciones de segundo grado y su interpretación desde el estudio de dichas cónicas. Este documento propone contenidos para abordar en las asignaturas de Matemática del Plan Electivo Matemático de IIIº y IVº medio y se basa en la siguiente estructura del Plan: ASIGNATURAS IIIº MEDIO

ASIGNATURAS IVº MEDIO

Álgebra y Trigonometría

Introducción al Cálculo

Geometría y Modelos Analíticos

Química

Física I

Física II

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SIP - 2015

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Sin embargo, si el Colegio solo tiene 1 asignatura de Matemática en el Plan Matemático, usted debe reorganizar los contenidos según la realidad de su establecimiento y presentar una propuesta a su asesor. HABILIDADES:              

Conjeturar Relacionar Establecer conclusiones Inducir Deducir Organizar y encadenar argumentos matemáticos Comparar Demostrar (propiedades) Reconocer (regularidades numéricas, algebraicas y geométricas) Interpretar Resolver (algoritmos de cálculo) Analizar Describir Argumentar

OBJETIVOS FUNDAMENTALES:  Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o desafíos que involucren los conocimientos algebraicos y geométricos trabajados en el programa.  Conocer y utilizar conceptos y lenguaje matemático asociados a expresiones analíticas y gráficas.  Percibir la matemática como una construcción enraizada en la cultura, en evolución constante y con estrecha vinculación con otras áreas del conocimiento.

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ESTRUCTURA DE CLASES En las páginas siguientes de este documento, usted encontrará una selección de contenidos para cada clase y una referencia bibliográfica. Para el desarrollo de estos contenidos usted debe considerar el modelo de clases en 5 etapas: 1) Inicio (10 a 15 minutos por clase de 3 horas pedagógicas): presentación de objetivos, activación de conocimientos previos y motivación 2) Modelamiento (30 a 45 minutos semanales por clase de 3 horas pedagógicas): presentación del contenido nuevo 3) Práctica Guiada (15 a 30 minutos semanales por clase de 3 horas pedagógicas): práctica mediada por el profesor, con el objetivo de lograr la comprensión de los estudiantes, para que puedan abordar de forma efectiva la práctica independiente 4) Práctica Independiente (45 a 60 minutos por clase de 3 horas pedagógicas): práctica en la que el profesor es mediador con un rol de apoyo a los estudiantes que les cuesta, puede ser individual o por grupos. 5) Cierre (5 a 10 minutos por clase de 3 horas pedagógicas): Evaluación Formativa de los aprendizajes de la clase EVALUACIONES En la propuesta de contenidos se indican los momentos para las evaluaciones. Para cada semestre se consideran 4 pruebas formales (una mensual) y 1 o 2 calificaciones que debieran corresponder al promedio de los trabajos realizados por los estudiantes en las clases. Se sugiere que, cada clase, se sorteen algunos trabajos para corregir, de forma tal que se logre que los estudiantes comprendan que el tiempo de la clase es importante y debe ser aprovechado. Antes de entregar la práctica independiente (la que se calificará en las clases), debe explicitarse la meta a lograr al finalizar el tiempo asignado y corregir en coherencia con esta meta. MATERIAL ANEXO Al final de este documento se encuentra un material adicional, con ejercicios tipo PSU para alumnos avanzados. Sería deseable que usted incluya este material siguiendo alguna de las siguientes propuestas: a) Entregue el material a los alumnos destacados para que lo trabajen fuera de la jornada. b) Use el material en los tiempos que se produzcan por la diferencia entre las horas reales de clases y las horas destinadas en la planificación.


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ÁLGEBRA y TRIGONOMETRÍA DE III MEDIO (Nombre MINEDUC: Álgebra y Modelos Analíticos)

SEMESTRE I: 19 semanas (57 horas pedagógicas) Se usan 53, consideradas 4 evaluaciones de 2 horas pedagógicas. Se no tuviera pérdidas de clases, adelante el inicio de la unidad de Trigonometría

UNIDAD I PROFUNDIZACIONES DEL LENGUAJE ALGEBRAICO

OBJETIVOS

CONTENIDOS

TIEMPO

1) Profundizar los conocimientos del Álgebra e incrementar la práctica con ejercitación de dificultad media y alta. 2) Aprender contenidos nuevos del Álgebra, tales como la factorización de la suma y diferencia de cubos, el binomio de Newton, las factorizaciones sucesivas y la división de polinomios, el Teorema del Resto y del Factor. 3) Apropiarse del lenguaje del Álgebra.

 Nomenclatura de un polinomio (p(x), p(x, y), …) clasificación y grado.  Práctica de adición, sustracción y multiplicación (productos notables y factorizaciones).  Factorización de suma y diferencia de cubos, el binomio de Newton y las factorizaciones sucesivas.  División de polinomios utilizando el algoritmo y la división sintética o método abreviado de Ruffini.  Teorema del Factor y del Resto.  Práctica de operatoria con Fracciones Algebraicas.

 25 Horas pedagógicas (marzo y abril)

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Referencia: “Álgebra y Geometría I” Educación Media, Editorial Santillana, páginas 56 a 125 (unidades de “Álgebra Básica” y “Factorización y Operaciones con Fracciones Algebraicas”)

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 CLASE 1 “Propiedades de la Adición y Multiplicación de Polinomios” (3 horas pedagógicas):     

Activación de Conocimientos Previos: todos los contenidos considerados en la unidad “Álgebra Básica”, desde la página 56 y hasta la página 74 (excluyendo la página 68, 72 y 73 que se nombra aparte). Contenidos Nuevo: página 68 y de la 72 a 73, donde se formalizan las propiedades de la adición y multiplicación de polinomios, lo que es necesario trabajar, comprendiendo la estructura de Anillo Conmutativo. Práctica Guiada: Ejemplos para verificar las propiedades de la adición de polinomios de la página 68 y los ejemplos que vienen en el texto para las propiedades de la multiplicación de polinomios, en la página 72 y 73. Práctica Independiente: Fotocopiar ejercicios de la página 69 y 74. Cierre: chequeo de propiedades y estructura

 CLASE 2 “Productos Notables” (3 horas pedagógicas):  Activación de Conocimientos Previos: contenidos de la pág. 74 a 78.  Contenido Nuevo: Cubos de binomio (página 79), otros productos notables (página 81) y Triángulo de Pascal (página 80) y, dado que los alumnos estudiaron combinatoria en Iº medio, es necesario agregar el desarrollo del binomio de Newton con números combinatorios.

0 (𝑎 + 𝑏)0 = ( ) 𝑎0 𝑏 0 0 1 1 0 1 1 (𝑎 + 𝑏) = ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎0 𝑏1 0 1 2 2 0 2 2 2 (𝑎 + 𝑏) = ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎1 𝑏1 + ( ) 𝑎0 𝑏 2 0 1 2 3 3 0 3 3 2 1 3 3 (𝑎 + 𝑏) = ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎1 𝑏 2 + ( ) 𝑎0 𝑏 3 0 1 2 3 4 4 0 4 3 1 4 2 2 4 4 4 (𝑎 + 𝑏) = ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎 𝑏 + ( ) 𝑎1 𝑏 3 + ( ) 𝑎0 𝑏 4 0 1 2 3 4

⋮

𝑛

𝑛 (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑖 ∙ 𝑏𝑛 𝑖 𝑖=0

  

Práctica Guiada: Resolver en conjunto con los estudiantes algunos ejercicios de la página 79, 80 y 81. Práctica Independiente: Todos los restantes. Cierre: chequeo de los aprendizajes de la clase


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 CLASE 3 “Factorizaciones” (3 horas pedagógicas): 



  

Activación de Conocimientos Previos: en la unidad “Factorización y Operaciones con Fracciones Algebraicas”, de las páginas 86 a 97, sin considerar la página 94, la mayoría de las factorizaciones son conocidas por los estudiantes, por lo que la idea es repasar y ejercitar. Contenido Nuevo: factorización de trinomios cualquiera (página 94), mostrando procedimientos alternativos al que muestra el texto, que resulta ser el menos conveniente. También, la factorización de la suma y diferencia de cubos (página 97) y las factorizaciones sucesivas complejas (página 96) . Práctica Guiada: selección de ejercicios de las Páginas 94, 96 y 97 Práctica independiente: todos los restantes. Cierre: Verbalización de nuevos procedimientos aprendidos.

 CLASE 4 “Fracciones Algebraicas” (3 horas pedagógicas):

  

 

Activación de Conocimientos Previos: en la unidad “Factorización y Operaciones con Fracciones Algebraicas”, todo lo referente a Fracciones Algebraicas, desde la página 87 a la página 112. No hay contenido Nuevo. Práctica Guiada: una simplificación de la página 99, una amplificación de la página 100, un mcm de la página 101, las adiciones x y xiii de la página 103 y x de ka 106, multiplicación xv de la página 107 , división xx de la página 109, operatoria combinada xvii de la página 111 y xiv de la página 112. Práctica Independiente: página 124 Cierre: verbalización de procedimientos a través de la operatoria con racionales expresados en forma fraccionaria.

EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)

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 CLASE 5 “División de Polinomios” (3 horas pedagógicas)  

Activación de Conocimientos Previos: recopilación de operatoria con polinomios. Contenido Nuevo: En la Unidad “Factorización y Operaciones con Fracciones Algebraicas”, la división de polinomios de la página 113 a 117 no ha sido trabajada anteriormente. Se pide trabajar los dos procedimientos que presenta el texto. A continuación se complementa la información de la división sintética: Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método breve para dividir polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a. Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división: (x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3) 1º Si el polinomio no es completo, lo completamos agregando ceros en los términos que faltan. 2º

Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3º Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4º

Trazamos una línea y bajamos el primer coeficiente.

5º Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6º

Sumamos los dos coeficientes.


7

7º

Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso, hasta completer la última columna:

8º

El último número obtenido es el resto (56)

9º El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido: x3 + 3 x2 + 6x +18 Resumen con otro ejemplo División Larga

División sintética

𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2 ∶ 𝑥 − 3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 + 18 𝑥 4 − 3𝑥 3 3𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2 3𝑥 3 − 9𝑥 2 6𝑥 2 + 2 6𝑥 2 − 18𝑥 18𝑥 + 2 18𝑥 − 54 56

  

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Práctica Guiada: selección de ejemplos de las páginas mencionadas. Práctica Independiente: Selección de ejercicios de la página 117 y 119 Cierre: ¿Comparación con procedimientos para dividir?, ¿Cuándo se puede usar el método de Ruffini?,…


 CLASE 6 “Teorema del resto y del factor”(3 horas pedagógicas)  

Activación de Conocimientos Previos: ¿Cuál es el resto de dividir 35 entre 3?, ¿por qué?, ¿existirá alguna forma de terminar el resto de dividir (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3), sin resolverlo? Contenido Nuevo: El Teorema del Resto y del Factor (no vienen en el texto, se desarrollan a continuación).

Teorema del Resto El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a. Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división: (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3) P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56 Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

 

Práctica Guiada: selección de ejercicios de la página 119 Práctica Independiente: calcular el resto de la división, sin resolverla, de 5 ejercicios seleccionados de la página 109. Más ejercitación: http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_resto.html http://www.vitutor.com/ab/p/a_10e.html



Contenido Nuevo: Teorema del Factor (no viene en el texto) Teorema del Factor El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se llama raíz o cero de P(x). Raíces de un polinomio: Son los valores que anulan el polinomio. Ejemplo: Calcular las raíces del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6 P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.


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Propiedades de las raíces y factores de un polinomio: 1º Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio. 2º A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a). 3º Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan. Ejemplo: x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3) 4º La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5º Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es l Ejemplo: x2 + x = x · (x + 1) Raíces: x = 0 y x = − 1 6º Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores. Ejemplo: P(x) = x2 + x + 1 

Práctica guiada: Cálculo de las raíces y factores de un polinomio Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo: Q(x) = x2 − x – 6 Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3. Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0 Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0 Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0 Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 Entonces, las raíces son: x = −2 y x = 3. Q(x) = (x + 2) · (x − 3)  

Práctica Independiente: usar el procedmiento del ejemplo para encontrar Las raíces y factores de los trinomios i a vii de la página 94 Cierre: verbalización de ideas clave. Más ejercitación: http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_factor.html http://www.vitutor.com/ab/p/a_11e.html

 CLASE 7 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas): Selección de ejercicios de la unidad completa. EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

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UNIDAD II PROBLEMAS CON ECUACIONES

OBJETIVOS

1) Comprender modelos de problemas que se resuelven utilizando ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado. 2) Fortalecer la resolución de ecuaciones literales

Ecuaciones

CONTENIDOS

TIEMPO

 Ecuaciones literales.  Ecuaciones con uso de variable auxiliar.  Problemas que se resuelven con ecuaciones: números consecutivos, de cocientes y restos, fracciones, de edades, de razones y proporciones, trabajo y tiempo, de capacidad, de dígitos o cifras un número, de Física, de Química, de Geometría  Problemas que se resuelven utilizando Sistemas Ecuaciones.  Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones segundo grado.

de de de de de de

 28 Horas pedagógicas (mayo y junio)

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES

Se adjunta como material de apoyo la unidad “Ecuaciones de Primer Grado” del Texto “Álgebra y Geometría I” Educación Media (páginas 126 a 145) , la unidad “Sistemas de Ecuaciones Lineales” del Texto “Álgebra y Geometría II” Educación Media (páginas 58 a 83) y la Unidad “Ecuaciones de Segundo Grado con una Incógnita” del Texto “Matemática IIIº Medio” (página 32 a 63), todas de Editorial Santillana.


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 CLASE 1 “Repaso de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas): 

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Activación de Conocimientos Previos: conceptos de ecuación, incógnita, soluciones, validez de las soluciones, tipos de ecuaciones (primer grado, segundo grado, exponenciales, fraccionarias), relación entre el grado de la ecuación y la cantidad de soluciones, ¿para qué ecuaciones es necesario comprobar las soluciones?,… Contenido Nuevo: No hay Práctica Guiada: De la unidad “Ecuaciones de Primer Grado” del Texto “Álgebra y Geometría I” , repase y ejercite ecuaciones de primer grado con una incógnita, con coeficientes fraccionarios, con incógnita en el denominador y literales, (selección de ejercicios de las páginas 126 a 135). Práctica Independiente: selección de ejercicios de las mismas páginas. Cierre: chequeo de aprendizajes con técnica pregunta respuesta.

 CLASE 2 Y 3: “Problemas con ecuaciones” (6 horas pedagógicas)  

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Activación de Conocimientos Previos: chequear contenidos de la clase anterior. Contenido Nuevo: En la unidad “Ecuaciones de Primer Grado” del Texto “Álgebra y Geometría I”, páginas 136 a 141, se consideran problemas con ecuaciones de primer grado, como modelos. Son 10 modelos y usted debiera presentar y ejercitar 5 en cada clase, analizando con los estudiantes cada caso y formalizando el procedimiento. Para cada modelo, se sugiere dar un problema a los estudiantes, dejar que piensen cómo hacerlo, luego trabajar con ellos mediando hasta lograr formalizar el procedimiento Práctica Guiada: después de formalizar un procedimiento, dar un problema similar, pero invirtiendo roles, en este caso el alumno lidera la resolución. Puede seleccionar estos problemas de las páginas 141 y 145. Práctica Independiente: Problemas de la página 141 y 145 Cierre: Verbalizar procedimientos o idea clave de cada modelo.


 CLASE 4: “Sistemas de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas) 

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Activación de Conocimientos Previos: En la unidad “Sistemas de Ecuaciones Lineales” del Texto “Álgebra y Geometría II”, realice una activación de conocimientos previos con los contenidos de la página 58 a 64. ¿Qué relación existe entre la cantidad de ecuaciones e incógnitas?, ¿cuándo un sistema no tiene solución?, ¿e infinitas soluciones?... Contenido Nuevo: Método de cramer, los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes literales y los sistemas de ecuaciones reductibles a sistemas de ecuaciones lineales (página 65 a 67) y sistemas de ecuaciones lineales con uso de incógnitas auxiliares (página78 y 79) Práctica Guiada: Selección de ejercicios de las páginas del punto anterior. Práctica Independiente: Ídem. Cierre: ¿Qué más aprendimos de Sistemas de Ecuaciones? EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)

 CLASE 5 “Problemas con sistemas de Ecuaciones” (3 horas pedagógicas)    

Activación de Conocimientos Previos: recordatorio de la clase anterior. Contenido Nuevo y práctica guiada: En la unidad “Sistemas de Ecuaciones Lineales” del Texto “Álgebra y Geometría II”, trabaje de la página 68 a 70, la resolución de Problemas con Sistemas de Ecuaciones Práctica Independiente: Selección de ejercicios de la página 80, 81 y 82. Interesa el planteo y bastaría que resuelvan unos pocos. Cierre: ¿qué tipos de problemas podemos resolver con sistemas de ecuaciones?.

 CLASE 6 Y 7 “Sistemas de Ecuaciones Con 3 Incógnitas” (6 horas pedagógicas)  

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Activación de conocimientos previos: ideas clave de sistemas 2 x 2. Contenido Nuevo: En la unidad “Sistemas de Ecuaciones Lineales” del Texto “Álgebra y Geometría II”, trabaje los sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas (solo se estudian los casos de intersecciones de planos que se cortan en un punto), de la página 71 a 78. En la primera clase enseñe reducción, sustitución y cramer (página 71 a 74) y en lasiguiente aplicaciones (página 75 a 79) Práctica guiada: seleccción de ejercicios mediados por el profesor. Práctica independiente: selección de ejercicios de la página 82 y 83.


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 CLASE 8 “Ecuaciones de Segundo Grado” (3 horas pedagógicas). 

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Activación de Conocimientos Previos: En la unidad “Ecuaciones de Segundo Grado con una Incógnita”, del Texto “Matemática IIIº Medio” , es necesario considerar que los alumnos trabajaron la unidad de Ecuaciones de Segundo Grado a comienzos del año en el Plan Común, por lo que puede comenzar activando conocimientos previos relativos a la resolución de ecuaciones de segundo grado, de la página 32 a 51, sin considerar de la 44 a 46. Contenido Nuevo: Resolución de Problemas, de la página 44 a 46. Práctica guiada: Problemas de ejemplo de las pñaginas anteriores. Dar un tiempo para que los alumnos los desarrollen y luego mediar. Práctica Independiente: Ejercicios página 46. Cierre: recapitación de aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado.

 CLASE 9 “Ecuaciones Reductibles (3 horas pedagógicas)     

a Ecuaciones

Cuadráticas”

Activación de Conocimientos Previos: contenidos de la clase anterior. Contenido Nuevo: Ecuaciones Reductibles a Ecuaciones Cuadráticas (ecuaciones exponenciales, irracionales, bicuadráticas y con incógnita auxiliar), páginas 52 a 59. Práctica Guiada:Ejercicios de ejemplo en las páginas nombradas. Práctica independiente: Ejercicios de las páginas 53, 55, 57 y 59. Cierre: recopilar los aprendizajes esenciales de la clase.

 CLASE 10 “Ejercitación de la unidad completa” (3 horas pedagógicas): Selección de ejercicios de la unidad completa.

EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

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SEMESTRE II: 19 semanas (57 horas pedagógicas). Se usan las 57, consideradas 4 evaluaciones de 2 horas pedagógicas. Si se atrasa, se sugiere eliminar la clase de gráfico de la función secante y cosecante (-3).

UNIDAD III TRIGONOMETRÍA

OBJETIVOS

CONTENIDOS

1) Conocer y utilizar sistemas de medición de ángulos. 2) Reconocer las razones trigonométricas básicas y sus recíprocas. 3) Calcular razones trigonométricas de ángulos notables 4) Establecer el signo, rango y características de las razones trigonométricas, de sus funciones y relaciones inversas y graficarlas. 5) Reducir al primer cuadrante razones trigonométricas de ángulos de otros cuadrantes, utilizando la circunferencia goniométrica. 6) Reconocer y demostrar identidades trigonométricas. 7) Resolver ecuaciones trigonométricas. 8) Aplicar los Teoremas de seno y del coseno en la resolución de triángulos. 9) Analizar y resolver problemas aplicando expresiones trigonométricas. Trigonometría  Ángulo y sus medidas: Ángulos positivos y negativos, Sistemas de medición de ángulos (sexagesimal, centesimal y radial)  Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas.  Ángulos notables de 30°, 45° y 60° (resolución de problemas).  Circunferencia unitaria (evaluación, signo y rango de las razones trigonométricas, reducción al primer cuadrante)  Identidades trigonométricas (simples, pitagóricas, para la suma y diferencia, ángulo doble y medio)  Funciones trigonométricas (gráficos) y sus relaciones inversas, uso de la calculadora, análisis de los cambios al variar los parámetros presentes en las funciones y traslados.  Ecuaciones trigonométricas  Teorema del seno  Teorema del coseno


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TIEMPO

56 Horas Pedagógicas (27 Julio hasta fines de Noviembre )

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad “Trigonometría en el Plano”, del Texto “Matemática Educación Media, para plan Electivo de IIIº y IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 40 a 89.  CLASE 1 “Angulos Orientados y Sistemas de medición de Ángulos” (3 horas pedagógicas)     

Inicio: Puede comenzar con algo de historia de la Trigonometría. Contenido Nuevo:Sistemas de medición de ángulos (sexagesimal - con grados, minutos y segundos -, centesimal y radial), páginas 40 a 44. Práctica Guiada: Ejemplos del texto mediados por el profesor. Práctica Independiente: Ejercicios página 44 del texto. Cierre: chequeo de aprendizajes.

 CLASE 2 “Razones Trigonométricas en el Triángulos rectángulo” (3 horas pedagógicas).  

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Inicio: Pida que dibujen la figura de la página 44, que identifiquen catetos e hipotenusa y calculen cateto opuesto/cateto adyacente en cada triángulo. Pregunte: ¿cómo son los triángulos dibujados? (semejantes) Contenido Nuevo:Defina las razones trigonométricas básicas y sus recíprocas en el triángulo rectángulo, desde la página 44 a la 46 Luego, realice la siguiente actividad de Razones trigonométricas de ángulos complementarios: Pídale a los alumnos que completen los valores que se muestran a continuación y pídales que respondan a la pregunta final.


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Complemente esta información con la presentada en el texto, en la página 47. Práctica Guiada: Ejemplos resueltos de la página 46. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 46 Cierre: Pida a los estudiantes que escriban las definiciones de las 6 razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.


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 CLASE 3 “Ángulos notables de 30º, 45º y 60º” (3 horas pedagógicas). A continuación, trabajar los ángulos de 30º, 45º y 60º. No siga el orden del texto, ya que la circunferencia goniométrica debiera ser posterior a estos ángulos notables. Sáltese a la página 49 y 50  

Activación de conocimientos previos: definiciones de razones trigonométricas en el trángulo rectángulo. Contenido nuevo: encontrar los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º. Para el cálculo de los valores de 30º y 60º, use el triángulo equilátero de lado 1 o “a” (es deseable que los alumnos logren la memorización de este triángulo):

Los alumnos deben memorizar que, por una simple aplicación del Teorema de Pitágoras, la altura mide

a 3 2

a2 3 y el area . 4

Para el cálculo de los valores de las razones trigonométricas para un ángulo de 45º, use la mitad de un cuadrado de lado “a” o 1 (triángulo isósceles):

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Evite entregar recetas memorísticas para estos valores ya que, siempre que lo necesiten, pueden usar las figuras anteriores. Luego, Complete una tabla con los valores obtenidos y analice la relación de los valores para ángulos complementarios.

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Práctica Guiada: ejemplos resueltos de la página 51 y 52 (excepto en del final de la página 51, que se trabaja la próxima clase). Práctica Independiente: Ejercicios de la página 52. Debiera pedirle a los estudiantes que los completen sin mirar la tabla, sino que usando el triángulo equilátero y la mitad del cuadrado. Cierre: ¿qué figuras básicas me pemiten encontrar los valores de las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º?


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 CLASE 4 “Angulos de Elevación y Depresión” (3 horas pedagógicas).  

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Inicio: Presente el problema del final de la página 51 y pídale a los estudiantes que los resuelvan. Contenido nuevo: recoja los desarrollos del problema y defina ángulo de elevación y depresión. Práctica guiada: Ejercicio 4 y 10 de la página 53. Práctica independiente: los demás ejercicios de la página 53 del texto. Para ángulos notables exija el uso del triángulo equilátero o cuadrado de lado “a” y para otros valores permita el uso de la calculadora. Enseñe a usar la tecla que, dado el valor de la razón trigonométrica, permite encontrar el valor del ángulo. Cierre: los alumnos dibujan un ángulo de elevación y otro de depresión.


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 CLASE 5 “Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas” (3 horas pedagógicas)  

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Activación de Conocimientos Previos: Pida a sus estudiantes que respondan por escrito: ¿cómo puedo calcular el valor de la tangente de un ángulo, si conozco el valor del seno y del coseno de ese ángulo?. Contenido Nuevo: recoja las respuestas y muestre que es seno/coseno, luego relacione con las identidades trigonométricas. Defina las identidades trigonométricas básicas y pitagóricas, según lo muestra el texto desde la página 64 a 67. No se olvide de las demostraciones. Práctica Guiada: Seleccione 2 ejercicios de la página 66 y 1 del nº 2 de la página 69 y resélvalos mediando con los estudiantes. Práctica Independiente: Los ejercicios restantes de la página 66 y 69 (excluyendo el 1). Cierre: Pída a los estudiantes que escriban las identidades que recuerden y dígales que es necesaria su memorización.

 CLASE 6 “Signos de las razones Trigonométricas” (3 horas pedagógicas). 

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Inicio: ¿cuánto vale el seno de 120º?.... Espere a que los alumnos respondan pòr escrito e inicie la clase con sus respuestas. Es necesario que los estudiantes comprendan que la circunferencia goniométrica permite encontrar los valores de las razones trigonométricas para ángulos de cualquier medida y no necesariamente para ángulos agudos, como nos permite el triángulo rectángulo. Contenido Nuevo: En la página 47 y 48 del texto se presenta la circunferencia goniométrica y se amplían los valores de las razones trigonométricas a ángulos de 0º y 90º.También se analiza el signo de las razones trigonométricas en el Ier cuadrante. Luego, siga con los valores en los ejes restantes (180º, 270º y 360º) y el análisis de los signos de las razones en los otros cuadrantes, según lo muestra la página 54 y la ejercitación de la página 55. Por último, muestre los valores de ángulos de 30º, 45º y 60º, ubicando la mitad del triángulo equilátero o isósceles sobre la circunferencia goniométrica. Luego rote estos triángulos y pida a los alumnos que comparen los valores del seno y coseno, en relación a la figura inicial, lo que le permitirá adelantarse a lo que se trabajará en la próxima clase (este ejercicio es necesario para luego ampliar los valores a ángulos que están en los otros cuadrantes). Práctica Guiada: cada contenido del punto anterior debe lograrse con la mediación del profesor, ya que es bastante complejo. Práctica Independiente: Redacta cómo calcular el valor de las razones trigonométricas para ángulos cuya medida coincide con el eje x o y y analiza los signos de cada razón trigonométrica en cada cuadrante. Cierre: recapitulación.


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 Clase 7 “Reducción al 1er cuadrante” (3 horas pedagógicas).  

Inicio: Recuerdo de la clase anterior. Contenido nuevo y práctica guiada: página 55 a 58 del texto. Viene de una forma bastante formulística. Es necesario que los alumnos comprendan que la mitad del triángulo equilátero o el triángulo isóceles se rotan en la circunferencia, antes de formalizar para ángulos que difieren en π, 2π,… Sería un error que los estudiantes intenten memorizar las fórmulas, lo que se quiere es la comprensión de cada una de llas y que adquieran la habilidad para determinar los valores usando la circunferencia goniométrica. Los valores de los ángulos que difieren en 2π son los más sencillos de obtener, ya que corresponden a un giro completo, luego aquellos cuya suma es 0 (en los que el eje x es un eje de simetría), luego los que difieren en π y ángulos suplementarios, en que solo hay un cambio de signo involucrado. En los ángulos que difieren en 

𝜋 2

es más complejo,

porque cambia el seno y coseno, además de un cambio de signo. Práctica independiente: Una vez que os alumnos hayan comprendido la circunferencia goniométrica, pídales que trabajen en grupo y completen una tabla como la que sigue, que considere los ángulo de 0º a 360º, siguiendo la secuencia: 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,210°,225°,240°,270°,300°,315°,330°



Luego, que trabajen en la ejercitación de la página 58.

Cierre: percepciones acerca de la dificultad…. ¡necesitamos prácticar! EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)

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 CLASE 8 “Gráfico de la función seno y coseno” (3 horas pedagógicas). 

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Inicio: Active conocimientos previos de funciones y asegúrese que los alumnos comprenden el concepto de función, dominio y recorrido. Si lo estima conveniente, podría mostrar estos conceptos para la función lineal, cuadrática, raíz cuadrada o logarítmica (deseablemente con apoyo de un graficador). Usar todas las funciones anteriores, con sus respectivos gráficos, le permitirá que los estudiantes establezcan diferencias entre los valores de los dominios y recorridos. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Use la tabla de la clase anterior para iniciar el gráfico de la función seno. Práctica Independiente: Una vez que los estudiantes hayan comprendido cómo construirlo pídales que, individualmente construyan el gráfico de la función seno y coseno e identifiquen dominio y recorrido. Este trabajo podría ser calificado. Cierre: ¿cómo es la forma del gráfico de la función seno?...

 CLASE 9 “Características de la función seno y coseno” (3 horas pedagógicas). 

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Inicio: Retome el trabajo en grupo de la función seno y coseno. Sería deseable que, ahora que los alumnos ya los construyeron manualmente, muestre el gráfico en un programa computacional y formalice el dominio y recorrido de estas funciones. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: características de la función seno. Analice los intevalos de crecimiento y decrecimiento, según lo que se muestra en la parte inferior de la página 59. Luego, analice y formalice las característica de la función, según lo muestra la página 60 y 61 (impar, periódica de período 2π, continua, no biyectiva - tendrá que explicar estos conceptos porque se trabajan en la planificación de IVº medio-, acotada, máximos y mínimos). Es importante explicar que, −𝜋 𝜋 si se restringe el dominio de a , sí tiene inversa (arcsen o sen-1) y 2

 

2

que esa es la función que está definida en las calculadoras para que, dado el valor de la función, arroje el valor del ángulo (siempre da un ángulo entre 0º y 90º). Ocupe un tiempo de la clase para trabajar con la calculadora científica (los alumnos tienen en sus celulares) y pídales que, dado un valor de la función seno, encuentren el valor del ángulo. Luego pregunte: ¿hay algún otro ángulo que tenga el mismo valor?, ¿por qué? (periodicidad). Práctica independiente: Los alumnos analizan la función coseno (página 62). Cierre: Los alumnos responden por escrito, si las afirmaciones que dice el profesor son verdaderas o falsas: El dominio de la función seno es R+,….


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 CLASE 10 “Función tangente y cotangente” (3 horas pedagógicas).  

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Inicio: Recuerde los gráficos y las características de la función seno y coseno. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Pida a los estudiantes que, a partir de la tabla construida en la primera clase, en forma grupal, grafiquen la función tangente y la analicen en base a los siguientes parámetros: dominio, recorrido, ¿par o impar?, ¿periódica?, ¿creciente o decreciente?, ¿acotada?, ¿máximos y mínimos?, ¿inversa?, ¿restricciones para que tenga inversa?. Cuando completen el trabajo, muestre el gráfico con un graficador y analice las características (página 63) Práctica Independiente: Realizan la misma tarea con el gráfico de la función cotangente. Cierre: profesor muestra un gráfico y los alumnos deben identificar la función a la que corresponde.

 CLASE 11 “Función secante y cosecante” (3 horas pedagógicas).    

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Inicio: Ideas principales del trabajo realizado la clase anterior. Contenido nuevo y práctica guiada: use un graficador para mostrar los gráficos de la función secante y analice sus características, en conjunto con los estudiantes. Práctica Independiente: Los alumnos grafican, a partir de una tabla de valores, la función cosecante y analizan sus características. Cierre: profesor muestra un gráfico y los alumnos deben identificar la función a la que corresponde.


 CLASE 12 “Cambios a los gráficos al variar los parámetros de las funciones (3 horas pedagógicas). 

Inicio: en un graficador ingrese: 𝑓(𝑥) = 𝑥 Luego, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5

𝑓(𝑥) = 3𝑥

𝑓(𝑥) = 0,5𝑥

La idea es que al comparar los gráficos los alumnos establezcan conclusiones. Haga lo mismo con la función cuadrática y logarítmica. 

Contenido Nuevo y Práctica Guiada: sería deseable que este trabajo se realice en el laboratorio de computación - Pida a los estudiantes que grafiquen: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2

…

Luego que concluyan que “La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎 corresponde a un traslado vertical de a unidades en relación a 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ”. - Pida a los estudiantes que grafiquen: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2)

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 3)

…

“La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑎) corresponde a un traslado horizontal de a unidades en relación a 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥” - Pida a los alumnos analicen las diferencias al graficar: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓(𝑥) = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥

…

“La función 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 corresponde a una función con el mismo período que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y una amplitud que es a veces la de esta función”. - Pida a los alumnos analicen las diferencias al graficar: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

…

“La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 corresponde a una función con la misma amplitud que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y cuya periodicidad varía. Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es 𝑻

una función de período T, 𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥) es una función de períodos ” 



𝒂

Práctica Independiente: los alumnos repiten la actividad anterior con las funciones coseno y tangente, grupalmente. Deben entregar sus conclusiones por escrito. Luego, resuelven los ejercicios de la página 64 del texto. Cierre: ¿en qué se diferencia el gráfico 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 y 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥?,… EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)


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 CLASE 13 “Identidades para la suma y diferencia, ángulos dobles y ángulos medios” (3 horas pedagógicas). Este contenido viene ene el texto, de la página 70 a 76.  

Conocimientos previos: Identidades Básicas y Pitagóricas. Contenido nuevo: páginas 70 a 76. Es imposible poder demostrar todas estas identidades, por lo que se sugiere elegir 2 o 3 de ellas y demostrarlas.Para las restantes, se sugiere entregar las fórmulas y ofrecer bonos a los alumnos que traigan las demostraciones escritas a mano y explicadas con sus palabras (no importaría que usen fuentes, pero sí es necesario que la escriban para que se evidencie la comprensión). Práctica guiada: ejemplos desarrollados en el texto en las páginas anteriores. Práctica independiente: seleccione algunas de las identidades de la página 76 y pídale a los estudiantes que las demuestren, usando el listado de fórmulas entregado por usted. Cierre: crear conciencia de un amplio listado de identidades trigonométricas.

  

 CLASE 14 “Ecuaciones Trigonométricas” (3 horas pedagógicas).    

Activación de conocimentos previos: ecuaciones, soluciones, cantidad de soluciones, validez de las soluciones,… Contenido nuevo y práctica guiada: Este contenido se encuentra trabajado de la página 77 a 79 en el texto de referencia y se sugiere trabajar los ejemplos con los alumnos. Práctica independiente: página 79 del texto. Cierre: Los alumnos escriben el procedimiento para resolver ecuaciones trigonométricas y algunos leen lo escrito.

 CLASE 15 “Resolución de Triángulos y Teorema del Seno” (3 horas pedagógicas) Páginas 80 a 83  Activación de conocimientos previos: recordar los criterios de congruencia de triángulos y cómo con esa información mínima, el triángulo queda determinado. Si queda determinado, entonces puedo calcular sus medidas, para lo que resultará una gran ayuda el Teorema del Seno y del Coseno.  Contenido nuevo: presente y demuestre el teorema (página 80).  Práctica guiada: use como ejemplos los que considera el texto en la página 81 y 82.  Práctica independiente: Pida a los estudiantes trabajar en la ejercitación de la página 83.  Cierre: Pida a los estudiantes que identifiquen en qué caso no pueden resolver un triángulo usando el Teorema del Seno.

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 CLASE 16: “Teorema del coseno” (3 horas pedagógicas) Páginas 83 a 85.  Activación de conocimientos previos: retomar la actividad de cierre de la clase anterior. Analizar también en qué casos sí me sirve el Teorema del seno.  Contenido nuevo: presente y demuestre el teorema (página 83 y 84).  Práctica guiada: use como ejemplos los que considera el texto en la página 84 y 85.  Práctica independiente: Pida a los estudiantes trabajar en la ejercitación de la página 85.  Cierre: Los estudiantes escriben el Teorema del Coseno para cada lado del triángulo en sus cuadernos y buscan una regla que ayude a su memorización, la comparten.  CLASE 17 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas): Selección de ejercicios de la unidad completa.



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GEOMETRÍA Y MODELOS ANALÍTICOS III MEDIO (Nombre MINEDUC: Geometría (presentar un programa o usar código 6392)) SEMESTRE I: 19 semanas completan 57 horas y se usan, consideradas evaluaciones de 2 horas pedagógicas (marzo al 10 de julio)

UNIDAD GEOMETRÍA EUCLIDEANA

OBJETIVOS

CONTENIDOS

TIEMPO

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1)

Comprender la Geometría desde sus conceptos primitivos y axiomas, a partir de los cuales se establecen teoremas.

2)

Demostrar Teoremas que han sido estudiados en los años anteriores, relativos a congruencia, semejanza y circunferencia, contribuyendo a que los estudiantes diferencien entre casos particulares y la generalización de ellos y que dispongan de herramientas básicas para desarrollar demostraciones.

 Fundamentos Básicos de la Geometría.  Triángulos, Elementos secundarios Singulares: alturas, bisectrices, transversales de gravedad y medianas.  Congruencia.  Cuadriláteros y Propiedades.  Polígonos y diagonales.  Teoremas en la circunferencia  Semejanza  División interior, exterior y armónica.  División Áúrea.

 43 horas pedagógicas


y Puntos simetrales,

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES

Se adjuntan las unidades: 

“Fundamentos Geométricos Congruencia y desigualdades Triangulares”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 146 a 173

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“Relaciones en polígonos y circunferencias, construcciones”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 160 a 164



“Elementos y relaciones en la Circunferencia”, del Texto “Álgebra y Geometría II, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 129 a 144.



“Proporcionalidad y Semejanza”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 80 a 104.



“División proporcional de segmentos”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 108 a 127.



Relaciones métricas en la circunferencia”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 159 a 161.


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 CLASE 1: “Conceptos primitivos, axiomas, postulados, teoremas y corolarios” (3 horas pedagógicas). En la unidad de “Fundamentos Geométricos Congruencia y desigualdades Triangulares”, de la página 146 a 149. 

 

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Inicio: Pregunte ¿Qué es la Geometría?. Pida a los estudiantes que respondan por escrito. Luego, muestre imágenes que tengan elementos geométricos y realice una puesta en común. Comparta la siguiente definición de Geometría: “La Geometría es una rama de la Matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. En su contrucción usa sistemas formales o axiomáticos, compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí” Pregunte: ¿Qué otras ramas de la Matemática conocen? (Aritmética. Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica,….). Luego explique que en este curso, el 1er semestre se estudiará Geometría Euclideana y el segundo Geometría Analítica. Explique que en los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro sentido hablar de puntos, rectas o planos. Sería deseable que algunos alumnos realicen una investigación sobre los Orígenes de la Geometría y algunos Matemáticos como Pitágoras, Euclídes, Thales de Mileto,…. Puede ofrecer una nota extra al grupo que realice la investigación y la exponga o, si prefiere, trabajar con el curso completo. Contenido Nuevo: Vuelva a la definición y enfóquese en lo destacado: “La Geometría es una rama de la Matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. En su contrucción usa sistemas formales o axiomáticos, compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí”. Explique que en Geometría, los conceptos primitivos son las ideas que se no se definen: punto, recta y plano (dibújelos). Luego exoplique los axiomas, definiciones, teoremas, corolarios y teoremas recíprocos (página 147 a 149). Práctica Guiada: Ejemplos de la página 148 y 149 Práctica Independiente: Ejercicios de la página 149. Cierre: Pida a los estudiantes, que, por escrito definan: axioma, teorema, corolario y teorema recíproco. Realñice una puesta en común.


 CLASE 2 “Triángulos, alturas, bisectrices y simetrales” (3 horas pedagógicas). 

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Activación de conocimientos previos: ¿qué es un polígono?, ¿y un triángulo?, ¿los elementos primarios de un triángulo? (lados, ángulos y vértices), ¿y secundarios? (bisectrices, alturas, simetrales, transversales de gravedad y medianas), ¿Cómo se llama el punto donde se cortan las bisectrices?,…. Explique a los alumnos que este vocabulario clave deben memorizarlo y pídales que, para la próxima clase, traigan una ficha bibliográfica, escrita a mano, con las definiciones de los elementos secundarios y puntos singulares del triángulo (con nota). Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Con un programa computacional (geogebra), en el laboratorio de computación, pida a los estudiantes que construyan un triángulo, sus alturas e identifiquen el ortocentro, luego lo muevan y vean cómo cambia de posición el otrocentro de un triángulo acutángulo a rectángulo y obtusángulo. Que escriban la conclusión. Práctica Independiente: Pida a los estudiantes construir un triángulo y sus bisectrices, marcar el incentro y la circunferencia inscrita. Mover el triángulo y verificar que la circunferencia sigue siendo tangente a los lados. Lo mismo con las simetrales, el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Cierre: ¿Qué es la bisectriz?, ¿y el incentro?,….. con todos los elementos de la clase.

 CLASE 3 “Triángulos, transversales de gravedad y medianas. (3 horas pedagógicas).  

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Inicio: Pida las fichas bibliográficas e interrogue a los estuduiantes sobre las definiciones. También recuerde las conclusiones de la clase pasada. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Con un programa computacional (geogebra), en el laboratorio de computación, construya las transversales de gravedad en un triángulo y el Baricentro. Luego verifique la propiedad del Baricentro, acerca de que divide a la transversal en la razón 2:1. También verifique las equivalencias de las áreas de los dos triángulos determinados por una transversal. Pida a los estudiantes que repitan todo lo que usted realiza, cada uno en su computador. Mueva el triángulo, para que visualicen que las propiedades anteriores se siguen cumpliendo. Práctica Independiente: Pida a los estudiantes que verifiquen si los seis triángulos determinados por las tres transversales tienen áreas equivalentes.


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Luego, que construyan un triángulo y sus medianas. Que verifiquen el paralelismo de la mediana con el lado, que su medida es la mitad del lado paralelo, que se determinan 4 triángulos congruentes y que cada triángulo pequeño es semejante al triángulo de mayor tamaño. Por último, pida que construyan un triángulo, pida a los estudiantes que encuentren el Ortocentro, Baricentro y Circuncentro y construyan la recta de Euler. Haga variar el triángulo y asegúrese que los estudiantes visualizan que los tres puntos siguen pertenenciendo a una recta.

Cierre: Pregunte acerca de las propiedades de los elementos estudiados.

 CLASE 4: “Triángulos, congruencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas). Fundamentos Geométricos Congruencia y desigualdades Triangulares”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 154 a 173 

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Inicio: Recuerde el trabajo de las 2 clases anteriores y asegúrese que los alumnos entienden que ellos visualizaron con Geogebra una serie de propiedades o características de los elementos secundarios. Lo que haremos en la clase de hoy será demostrar algunos teoremas y para ello necesitamos recordar qué es la congruencia. Pregunte: ¿qué significa que dos triángulos sean congruentes?, ¿para qué sirven los criterios de congruencia? (son la información mínima que se necesita para asegurar que 2 triángulos son congruentes, lo que me permite probar menos de 6


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elementos, sino solo 3), ¿cuáles son los criterios de congruencia? (LLL, LAL, ALA y LLA+), ¿Para usar LAL, dónde debe estar el ángulo? ,…. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Resuelva en el pizarrón las demostraciones de la página 154. Sería deseable agregar hipótesis y tesis. Asegúrese que los estudiantes comprenden que debemos mostrar con “argumentos” y ese argumento es lo que está escrito en paréntesis. Luego, copie el problema 2 de la página 154 y pídale a los estudiantes que, en silencio, intenten elaborar una demostración. Se sugiere dibujar la figura en geogebra y medir los lados, para comprobar que los triángulos son isósceles. Ya lo vimos, pero ahora necesitamos demostrar….Si no lo logran, pídales que se fijen en todos los datos del enunciado… Si dos simetrales se juntan en O, ¿qué punto singular es O?, ¿qué propiedad cumple entonces?,…. Práctica Independiente: Seleccione algunas demostraciones de la página 155, 156 y 157 y pida a los estudiantes que las trabajen grupalmente. Cierre: Recoja percepciones con respecto a demostrar teoremas…. Admire a los grandes Matemáticos, nombre algunos, dé ejemplos,….

 CLASE 5: “Triángulos, congruencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas). Fundamentos Geométricos Congruencia y desigualdades Triangulares”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 154 a 173 

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito y luego realice una puesta en común acerca de: ¿qué debo tener en cuenta para realizar una demostración?. Recuerde las percepciones sobre las demostraciones y los pasos necesarios para realizarlas. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Realice las siguientes demostraciones, en conjunto con los estudiantes. Pida a los estudiantes que no las copien, sino que entiendan y después de un tiempo para que lo repitan en sus cuadernos. a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (con la construcción de la paralela). b) Teoremas relativo al triángulo rectángulo de la página 163 y 164. c) Teorema de la transversal de gravedad de la página 158 d) Teorema: “Las áreas de los triángulos de igual altura son proporcionales a las bases de los triángulos” (Este teorema es muy importante y útil, sobre todo para la PSU, por lo que es importante que lo internalicen. También puede demostrar que si tienen la misma base, las áreas son proporcionales a las alturas)


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e) Teorema: Al trazar una transversal de gravedad, en un triángulo cualquiera, este queda dividido en dos triángulos de la misma área (demostración similar a la anterior). f) Teorema: Al trazar las tres transversales de gravedad en un triángulo cualquiera, este queda dividido en seis triángulos de la misma área Demostración x,y,z representan las áreas de los triángulos pequeños

𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 + 2𝑧 𝑦=𝑧 2𝑥 + 𝑦 = 2𝑧 + 𝑦 𝑥=𝑧 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 = 𝑧 , 𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑦 𝑥=𝑦=𝑧

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g) Teorema: El baricentro divide cada transversal de gravedad en la razón 2:1

Demostración 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐺 =2 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝐴´𝐵𝐺 𝐴𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐺 𝐴𝐺 = =2 𝐴𝑟𝑒𝑎∆𝐴´𝐵𝐺 𝐴´𝐺 𝐴𝐺 = 2𝐴´𝐺  

Práctica Independiente: Ejercicios de la página 159, 163 y 164. Cierre: Por escrito, los alumnos escriben las propiedades de las transversales de gravedad y del triángulo rectángulo que demostraron en la clase. EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)


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 CLASE 6 “Cuadriláteros y propiedades” (3 horas pedagógicas). “Relaciones en polígonos y circunferencias, construcciones”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 173 a 182  

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Inicio: Pida a los estudiantes que, por escrito, escriban qué es un paralelógramo y su clasificación. Luego organice estos contenidos. Se sugiere entregar una fotocopia con la tabla de la página 175 del texto. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: - En geogebra dibuje un romboide y pida a los estudiantes que digan todas las características que recuerden. En la medida que las digna, usted puede verificarlas midiendo. Por ejemplo: los lados opuestos son congruentes, los ángulos agudos miden los mismo,…. - Luego, demuestre con los estudiantes que los lados opuestos son congruentes y su recíproco (página 176 del texto) - Luego, que los ángulos opuestos son congruentes, que los consecutivos son suplementarios y un corolario (página 176) - Luego, dibuje un trapecio y pida sus propiedades. Luego, demuestre que la mediana de un trapecio es la semisuma de las bases (página 180) Práctica Independiente: Ejercicios de la página 178, 179, 180 y 182. Cierre: Juegue a “sin repetir ni equivocarse” con “paralelógramo” y luego “trapecio” (los estudiantes deben nombrar características….)

 CLASE 7: “Polígonos y diagonales” (3 horas pedagógicas). “Relaciones en polígonos y circunferencias, construcciones”, del Texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, para Iº Medio, Editorial Santillana, páginas 183 a 187. 

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan, por escrito, ¿cuánto mide el ángulo interior de un octógono regular?... Luego realice una puesta en común y explique que en esta clase estudiaremos polígonos y sus diagonales. Recuerde la definición de polígono y los nombres de los pológonos hasta 10 lados. Contenido Nuevo: Demuestre los teoremas de la pág. 183 a 185 Práctica Guiada:ejemplos considerados en estas páginas, de cálculo. Práctica Independiente:ejercicios de la página 185 y 186. Cierre: Entregue una fotocopia con la tabla de la página 187, sin la columna derecha. Pida a los estudiantes que la completen y realice una puesta en común.


 CLASE 8 “Circunferencia y demostraciones” (3 horas pedagógicas). “Elementos y relaciones en la Circunferencia”, del Texto Álgebra y Geometría II”, Educación Media, Editorial Santillana, páginas 128 a 144. 

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Inicio: Pida a los estudiantes que dibujen una circunferencia y los siguientes elementos en ella: centro, radio, diámetro, recta tangente, recta secante, cuerda, arco de circunferencia, un cuadrilátero inscrito y un hexágono circunscrito, un ángulo del centro, uno inscrito, uno interior y otro exterior. Luego, realice una puesta en común y explíqueles a los estudiantes que ese vocabulario clave es necesario sea memorizado. Puede pedir una ficha bibliográfica con las definiciones. Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Sería deseable que, lo que se dice en cada teorema, se muestre para visualizar con Geogebra y luego se demuestre. - Demuestre, con los estudiantes, dos teoremas de la página 130 y 131 del texto de IIº medio, los que usted considere más relevante. - Demuestre el Teorema de la página 136, de la medida del ángulo inscrito. - Demuestre el Teorema de la página 139, de la medida del ángulo interior. - Demuestre el teorema de cuadriláteros inscritos y circunscritos en las circcunferencia (página 142 y 143) - Recuerde el Teorema del los ángulos semiinscritos y exteriores y ofrezca bonos al que traiga la demostración (página 138 y 140). Práctica Independiente: Ejercicios de la página 137, 138, 139 y 141. Cierre: Pida a los estudiantes que escriban los Teoremas que antes no se sabían y ahora sí… ¿cuál de ellos podrían demostrar?.

 CLASE 9 “Semejanza y demostraciones” (3 horas pedagógicas). “Proporcionalidad y Semejanza”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 80 a 104.  

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Inicio: Pida a sus estudiantes que escriban ¿qué significa ser semejantes?, ¿cuáles son los criterios de semejanza?,¿qué teoremas de Semejanza recuerdan y qué dice cada uno?,…. Contenido Nuevo: - Demuestre el Teorema Particular de Thales de la página 93 y su recíproco (página 94) - Demuestre el Teorema Fundamental de Semejanza (página 95) Práctica guiada: Realice, con los estudiantes, una demostración de los ejercicios de la página 98 y otra de la página 100.


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Práctica Independiente: En grupo, trabajan otras demostraciones de las páginas anteriores. Cierre: ¿qué dice el Teorema Particular de Thales?, ¿y el Fundamental de Semejanza?

EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)  CLASE 10 “División Interior, exterior y armónica de un segmento” (3 horas pedagógicas). “División proporcional de segmentos”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 108 a 127. 

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Inicio: Pida a los estudiantes que resuelvan el siguiente problema:Se tiene un segmento de 40 cm y se quiere dividir en la razón 5:3, ¿cuánto mide cada parte?. Realice una puesta en común y explique que esta es la divisón interior de un segmento y que ahora la estudiaremos desde su mirada geométrica y algebraica. Contenido Nuevo: Contenidos de la página 117 a 121. Práctica Guiada: ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 121Cierre: “Explique con sus palabras qué es la divisón armónica de un segmento”

 CLASE 11 “Razón Aúrea” (3 horas pedagógicas). “Relaciones métricas en la circunferencia”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 159 a 161. 

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Inicio: Recuerde los conceptos de división interior, exterior y armónica. Recuerde ∏ y luego diga que hay otro número irracional muy famoso, que es el número de oro, que fue conocido y usado por importantes pintores renacentistas y está presente en múltiples expresiones de la naturaleza, lo cual deberán investigar. Esta clase debe realizarse en el laboratorio de computación. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 159 a 161 y llegue al valor del irracional Phi.


Muestre la sucesión de Fibonacci y pídale a los estudiantes que dividan un término por el anterior y vean cómo este cociente tiende a phi.


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Práctica Guiada: ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Por grupos, los alumnos investigan en internet, alguna forma en que el número phi esté presente hoy (razón de largo y ancho en las tarjetas de crédito, en la razón de partes del cuerpo, en el crecimientos de algunas plantas,….). Esta investigación continuará la próxima clase y se presentará la clase subsiguiente. Será calificado con nota equivalente a una evaluación. Es importante pedir a los alumnos que le digan cuál es el tema que expondrán, para evitar que se repitan. La exposición debe organizarse como un taller para los demás grupos, en el que deben verificar lo que se presenta. Usted podría tomar la decisión de cambiar los temas de algunos grupos.


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Cierre: ¿Dónde encontraron que phi está presente hoy?


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 CLASE 12 “Razón Aúrea” (3 horas pedagógicas). “Relaciones métricas en la circunferencia”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 159 a 161.   

Inicio: Recuerde en qué consiste la investigación que están realizando, recuerde que debe realizarse un taller para el curso y defina los tiempos, según la cantidad de grupos, para que todos alcancen a presentar. Desarrollo: Los alumnon investigan, mientras el profesor media los aprendizajes. Cierre: ¿Adelantos de las investigaciones?

 CLASE 13 “Razón Aúrea” (3 horas pedagógicas). “Relaciones métricas en la circunferencia”, del Texto “Matemática III, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 159 a 161.   

Inicio: Recuerde las condiciones para las exposiciones, asigne un controlador del tiempo,…. Desarrollo: Los alumnos exponen sus trabajos. Cierre: ¿Qué fue los más interesante?

CALIFICACIÓN DE LOS TRABAJOS.

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UNIDAD II LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO

OBJETIVOS

1) Determinar lugares geométricos en el Plano. 2) Resolver problemas de lugares geométricos.

  CONTENIDOS

TIEMPO

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Lugares Geométricos fundamentales del plano Puntos del Plano que cumplen con dos o más condiciones. Puntos singulares del triángulo como lugares geométricos

14 horas pedagógicas

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la unidad: “Lugares Geométricos en el plano”, del Texto “Álgebra y Geometría II, Educación Media”, Editorial Santillana, páginas 145 a 173.


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 CLASE 1 “Concepto de Lugar Geométrico” (3 horas pedagógicas) páginas 149 a 156  Inicio: Pida a sus estudiantes que respondan por escrito, ¿qué es un lugar geométrico? y luego realice una puesta en común. A continuación defina el concepto de lugar geométrico (página 149).  Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de las páginas 149 a 155, acerca de identificar lugares geométricos fundamentales del plano: la línea recta, la circunferencia, la simetral, la bisectriz, la paralela media y el arco capaz de un ángulo.  Práctica Guiada: Resuelva algunos de los ejercicios de la página 154.  Práctica Independiente: Los ejercicios restantes de la página 154.  Cierre: Defina los siguientes conceptos como lugar geométrico: circunferencia, simetral, bisectriz y paralela media.  CLASE 2 “Aplicación de los Lugares Geométricos del Plano” (3 horas pedagógicas) Páginas 157 a 159.  Inicio: Pida a sus estudiantes que respondan por escrito, ¿qué es un lugar geométrico y den un ejemplo con su respectiva definición, luego realice una puesta en común.  Contenido Nuevo y Práctica Guiada: Desarrolle los contenidos de las páginas 157 a 159, acerca de puntos que cumplen con 2 o más condiciones.  Práctica Independiente: Ejercicios de la página 159.  Cierre: ¿Cómo encontramos el lugar geométrico de los puntos que cumplen con más de una condición?. Redacta un escrito acerca de cómo le explicarías a un amigo….  CLASE 3 “Puntos que cumplen con una condición dada en el triángulo” (3 horas pedagógicas), Páginas 160 a 165.  Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito ¿cómo podríamos definir el incentro como lugar geométrico?, ¿y el circuncentro?, ¿y el baricentro?, ¿y el ortocentro?  Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de las páginas 160, 162, 163 y 164. Use Geogebra para que los alumnos visualicen los teoremas.  Práctica Guiada: seleccione algunos ejercicios de la página 165, para resolver en conjunto con los estudiantes,  Práctica Independiente: Los demás ejercicios de la página 165  Cierre: ¿Qué nos aporta el concepto de lugar geométrico en relación a los puntos singulares del triángulo?

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 CLASE 4 “Ejercitación de la unidad completa”(3 horas pedagógicas).  Selección de ejercicios de la unidad completa (páginas 172 y 173) EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

SEMESTRE II: 19 semanas (57 horas pedagógicas). Se usan 56, consideradas 4 evaluaciones de 2 horas pedagógicas.

UNIDAD III CÓNICAS OBJETIVOS CONTENIDOS

TIEMPO

1) Reconocer la ecuación de una circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, y determinar sus elementos.  La  La  La  La

Circunferencia. Parábola Elipse Hipérbola


ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad: “Geometría Analítica en el Plano”, del Texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo de IIIº y IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 103 a 134. 

CLASE OPCIONAL: Si el avance de la planificación del Plan Común lo permite, podría trabajar con las páginas 101 y 102, pidiendo primero a los estudiantes que resuelvan al problema de la página 102 con los conocimientos que ellos tienen (recta perpendicular por un punto, sistema de ecuaciones, distancia entre los puntos). Luego resuelva usted aplicando la fórmula, permita que los alumnos evidencien que se obtiene el mismo resultado, deje se sorprendan: Finalmente desarrolle el procedimiento que permite obtener la fórmula, que se muestra en la página 101 y comienzos del 102 y pida que trabajen en los ejercicios de la página 102.

 CLASE 1 “Ecuación principal y general de la Circunferencia” (3 horas pedagógicas), Páginas 103, 104 y 106. 

Inicio: Pida a los estudiantes que, por escrito, respondan: ¿qué es una circunferencia?.... explique diferentes definiciones: lugar geométrico de


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los puntos que equidistan de un punto fijo, polígono de infinitos lados (en discusión por los matemáticos),…. Use una lana y un clavo para formar una circunferencia a partir de su definición. Ahora veremos otra definición desde la Geometría Analítica. ¿Qué es la Geometría Analítica?, ¿cuál es la ecuación de una recta dados su pendiente y el coeficiente de posición?, ¿cómo se calcula el punto medio enttre dos puntos?, ¿y la distancia?,… Contenido Nuevo: Defina sección cónica y muestre las curvas que se obtienen a partir de los cortes, como se muestra en la página 103. Recuerde el concepto de Lugar Geométrico y muéstrelo ahora desde su mirada analítica. Luego, pida a los estudiantes que grafiquen la curva x2+y2=1, ¿qué se obtiene?. Use Graphmática para mostrar la circunferencia. Modifique el 1 por 4, luego 9, y otros valores no cuadrados perfectos y grafique con el graficador. Pregunte en cada caso: ¿cuáles son las coordenadas del centro?, ¿cuánto mide su radio? Formalice la ecuación de la circunferencia centrada en el origen (página 104) . En el graficador grafique la curva (x-4)2+(y-2)2=9, ¿qué diferencia tiene con la anterior?, ¿cuáles son las coordenadas del centro?, ¿cuánto mide su radio?. Modifique los números presentes en esta ecuación y permita que los alumnos visualicen las coordenadas del centro y radio, antes de generalizar. Luego, formalice la ecuación de la circunferencia de centro (h,k) y radio r (página 104). Explique que al desarrollar la expresión anterior, e igualar a 0, se obtiene la ecuación general y formalice (página 104). Práctica Guiada: desarrolle los ejercicios i y vi de la página 106 (dependiendo del avance en el plan común, podría ser necesario enseñar la fórmula del punto medio y la distancia entre dos puntos). Práctica Independiente: Ejercicios de la página 106 hasta el viii. Cierre: Los alumnos es criben en una hoja las tres ecuaciones estudiadas hoy.

 CLASE 2 “De la ecuación general de la Circunferencia a la Principal” (3 horas pedagógicas), páginas 104 a 108. 

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Inicio: ¿cuál es la ecuación principal de una circunferencia?, ¿y general?. Si tengemos la ecuación principal de la circunferencia, ¿cómo obtengo la general?. Pida a los estudiantes que lo hagan con (x-4)2+(y-2)2=9. Obtendrán x2+y2-8x-4y=-11. ¿Y si tengo la segunda, cómo obtengo la primera?.... De un tiempo para que piensen y propongan ideas. Contenido Nuevo: Recoja las ideas de los estudiantes y de pistas para usar completación de cuadrados, luego hágalo en el pizarrón (hay un ejemplo en la página 108). Muestre también que se puede obtener el centro y radio sin completar cuadrados, sino a través de una fórmula, como se muestra en la página


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106 y 107 del texto. Explique que esas fórmulas se obtienen de la generalización del procedimiento anterior, pero son fórmulas que sirven hoy y se olvidan…. Es necesario saber de dónde vienen Práctica Guiada:Ejemplos de la página 105 y 106, 107 y 108. Práctica Independiente: Ejercitación de la página 106 (ix y x) y 108. Cierre: ¿Cuáles son los datos clave que debo memorizar sobre la circunferencia?.

 CLASE 3 “Parábolas centradas en el origen” (3 horas pedagógicas), Páginas 109 a 111.  

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan: ¿qué es una parábola?. Es posible que asocien con la función cuadrática y ahora usted debe complementar esta información con su definición como lugar geométrico. Contenido Nuevo: Defina parábola y sus elementos, construya una parábola con un elástico, para que los alumnos comprendan su definición como lugar geométrico (estire el elástico para que el punto donde lo sostiene se mantenga a la misma distancia de la recta y punto fijo). Pregunte a los estudiantes: ¿cómo es el gráfico de y=x2?, luego muestre el gráfico en un graficador. ¿Qué sucede con el gráfico si graficamos y=x2?.... Veamos qué sucede si graficamos x=y2 y x=-y2 (estas dos últimas no las estudiaron antes porque no son funciones), ¿qué podemos concluir?. Ahora veremos la parábola desde su definición analítica (desarrollar los contenidos de la página 109 y 110). Práctica Guiada: ejemplos de la página 111 Práctica Independiente: ejercicios de la página 111. Cierre: ¿qué conceptos de la parábola aprendimos con esta mirada de Lugar Geométrico, que no sabíamos como función? (foco, directriz, latus rectum,….)

 CLASE 4 “Ecuación General de la Parábola” (3 horas pedagógicas)  páginas 112 y 113.     

Activación De Conocimientos Previos: definición de parábola, elementos, gráfico en las 4 orientaciones revisadas la clase anterior (2 de ellas funciones y 2 no),…. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 112. Práctica Guiada: ejemplos de la página 112 y 113 Práctica Independiente: ejercicios página 113. Cierre: ¿Será posible encontrar parábolas que no correspondan a ninguno de los casos anteriores? (rotadas, explicar que no se estudiarán en este curso)



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 CLASE 5 “Concepto y elementos de la elipse, ecuación principal con centro en el origen” (3 horas pedagógicas), Páginas 114 a 118. 

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Inicio: Muestre una imagen del Sistema Solar y las órbitas que recorren los planetas en torno al sol. Pida a los estudiantes que respondan por escrito ¿qué es una elipse? Y comparen una circunferencia y una elipse (semejanzas y diferencias), luego realice una puesta en común y defina elipse (definición en página 114). Luego, forme una elipse con un cordel y 2 clavos (focos) y muestre a los alumnos cómo al mover el lápiz se forma una elipse. Contenido Nuevo: concepto y elementos de la elipse (página 114), valor de la constante y excentricidad en la elipse (página 115) y ecuación de la elipse con centro en el origen (página 116 y 117). Una vez encontrada la ecuación de la elipse con centro en el origen, use una graficador y muestre elipses para distintos valores de a y b y obtengan algunas concluiones (cuando el denominador de x2 es mayor que el de y2, entonces los focos están sobre el eje x, sin embargo si el denominador de x2 es menor que el de y2, entonces los focos se encuentran sobre el eje y). Luego, puede escribir la ecuación cuando los focos están sobre el eje y y diferenciarla de la primera (inicio de la página 117), recordando que a es el valor del semieje mayor y b el del semieje menor. Luego, calculan la medida del latus rectum, como lo muestra la página 117. Práctica Guiada: los ejemplos de la página 115, 117 y 118. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 118. Cierre: Con el graficador, mostrar parábolas con centro en el origen, cuyo eje focal coincida con el eje x o y, de las cuiáles los alumnos deben escribir su ecuación.

 CLASE 6 “Ecuación principal y general de la elipse” (3 horas pedagógicas), páginas 118 a 121. 

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Inicio: Los alumnos responden por escrito, ¿qué es una elipse?, ¿cuál es la ecuación de una elipse con centro en el origen y focos sobre el eje x? ¿y con centro en el origen y focos sobre el eje y?. Con las respuestas de los alumnos, realice una puesta en común y apóyese con un graficador. Contenido Nuevo: Ecuación principal y general de la elipse, páginas 118 a 120. x2 y2 + = 1 (eje focal x), luego grafique - En un graficador ingrese 25 9 (x - 2)2 (y - 3)2 + = 1 (eje focal paralelo al eje x) y pida a los estudiantes 25 9


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que comparen ambos gráficos (la idea es visualicen el traslado de la elipse, ahora con centro (2, 3)). - A continuación desarrolle algebraicamente la segunda ecuación y obtenga la ecuación general de la elipse. Repita el mismo (x - 2)2 (y - 3)2 x2 y2 + + = 1 (eje focal y) y = 1 (eje procedimiento para 9 25 9 25 focal paralelo al eje y). - Pida a los estudiantes que, en cada ecuación general obtenida, comparen el coeficiente numerico de x2 con y2 (la idea es que se den cuenta que si el coeficiente de x2 es menor que el de y2, entonces el eje focal es paralelo al eje x y en caso contrario paralelo al eje y). - Luego, formalice con lo que aparece en la página 118 y 119 del texto. Práctica Guiada: ejemplos de la página 119 y 120. Práctica Independiente: ejercicios de la página 121. Cierre: Pida a los estudiantes que escriban 3 ideas importantes que hayan aprendido durante la clase y luego realice una puesta en común.

 CLASE 7 “Conceptos y elementos de la hipérbola, ecuación principal con centro en el origen” (3 horas pedagógicas), Páginas 121 a 126. 

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Inicio: Los alumnos responden por escrito: ¿qué son las secciones cónicas?, ¿cuáles hemos estudiado hasta ahora?, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?, ¿qué diferencia hay entre la ecuación principal y general de cada una?. Cuando los alumnos respondan, realice una puesta en común y recuerde las ecuaciones principales en cada cada caso. Contenido Nuevo: Defina hipérbola (página 121) y sus elementos, el valor constante y su excentricidad (página 122) y, finalmente, obtenga la ecuación de la hipérbola con centro en el origen (página 123 y 124). En x2 y2 = 1 (eje de simetría es el eje y) un graficador muestre la hipérbola 9 16 x2 y2 = 1 (eje de simetría es el eje x) y pida a los estudiantes que y 16 9 describan las diferencias entre ambas. Práctica Guiada: ejemplos de la página 125 (apoye el trabajo con el uso de un graficador). Práctica Independiente: ejercicios de la página 126. Cierre: Pida a los estudiantes que identifiquen a qué cónica corresponden las siguientes ecuaciones y hagan un a borrador de su gráfica: x2 y2 =1 9 4 x2 y2 b) + =1 4 9 c) x 2 + y 2 = 25 a)


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 CLASE 8 “Ecuación principal y general de la hipérbola” (3 horas pedagógicas), Páginas 126 a 128.   -

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Inicio: Pida a los estudiantes que escriban semejanzas y diferencias entre la ecuación principal de la elipse y la hipérbola centradas en el origen, por escrito. Luego realice una puesta en común. Contenido Nuevo: ecuación principal y general de la hipérbola, páginas 126 y 127. Proyecte una cuadrícula sobre el pizarrón (de geogebra) y pregunte a x2 y2 = 1 , pida a alguno que los estudiantes cómo será el gráfico de 16 9 haga un bosquejo en el pizarrón. Luego, ingrese la ecuación en el graficador y compare con el bosquejo del estudiante. Pregunte a los estudiantes: Si quiero trasladar esta hipérbola, para que su centro sea (1,2), ¿qué cambio debo hacerle a la ecuación anterior?. De un tiempo para pensar e ingrese las propuestas de los estudiantes en el graficador, hasta que un alumno entregue la (x - 1)2 (y - 2)2 =1 respuesta correcta 16 9 Pregunte: ¿Cómo puedo obtener la ecuación general de esta hipérbola? y pida a los estudiantes que lo hagan. Luego formalice lo anterior según la página 126 y 127. Práctica Guiada: ejemplos de la página 127 y 128. Práctica Independiente: ejercicios de la página 128. Cierre: Los alumnos responden: ¿Cómo puedo identificar los elementos de una elipse de la que conozco su ecuación general?. Realice una puesta en común.

 CLASE 9 “Ejercitación de la unidad completa” (3 horas pedagógicas): Selección de ejercicios de la unidad completa (páginas 135 a 137) EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

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UNIDAD IV SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBJETIVOS

CONTENIDOS

TIEMPO

1) Reconocer la curva que representa una ecuación cuadrática con dos variables. 2) Resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas en forma gráfica y algebraica. 3) Resolver sistemas de ecuaciones de grado distinto que dos, como sistemas de ecuaciones cuadráticas. 4) Aplicar Sistemas de Ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas en la resolución de problemas de la vida diaria y de las ciencias.  Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas: una lineal y una cuadrática, dos cuadráticas, dos cuadráticas homogéneas.  Sistemas de ecuaciones que se resuelven como un sistema cuadrático.  Aplicación de los sistemas de ecuaciones cuadráticos con dos incógnitas en la resolución de problemas. 22 horas pedagógicas

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad: “Sistemas de Ecuaciones de Segundo Grado”, del Texto “Matemática Educación Media IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 80 a 107.  CLASE 1 “Sistemas de ecuaciones de segundo grado (concepto) y visualización de las curvas que se intersectan, solución gráfica” (3 horas pedagógicas)    

Activación De Conocimientos Previos: ecuación, sistemas de ecuaciones, cantidad de soluciones, ecuaciones vs incógnitas, ¿por qué a veces no hay solución?, ¿por qué hay infinitas soluciones?,…. Contenido Nuevo: contenidos presentados en la página 81 y 82. Práctica Guiada: Deseablemente en el laboratorio de computación, pida a los estudiantes que identifiquen los gráficos de los ejercicios de la página 83 y verifiquen en un graficador. Práctica Independiente: Entregue un listado de sistemas de ecuaciones (en la página 104 y 105 hay muchos) y pida a los estudiantes que grafiquen en Geogebra e indiquen la cantidad de soluciones que tiene el sistema, según los puntos de intersección de las gráficas.


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Cierre: ¿cuántas soluciones podemos encontrar en estos sistemas?, ¿por qué?,…



Clase 2 “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por una ecuación lineal y una cuadrática” (3 horas pedagógicas), páginas 84 a 86.

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Inicio: escribe el ejemplo de la página 84 y pida a los estudiantes que identifiquen las posibles curvas que se intersectan y, en base a ello, identifiquen la cantidad de soluciones del sistema (de 0 a 2 soluciones) Contenido Nuevo: Trabaje con los estudiantes el primer ejemplo del texto (página 84), construyendo los gráficos respectivos de forma manual y/o con apoyo de geogebra. Luego, explique y resulelva el procedimiento algebraico y compare la solución con la obtenida gráficamente. Práctica Guiada: Para el segundo ejemplo (página 85), pídale a sus estudiantes que lo trabajen en forma individual, en silencio, y una vez finalizado el trabajo realice una puesta en común. Práctica independiente: Los ejercicios de la página 86 los pueden trabajar grupalmente, con nota (puede seleccionar algunos del listado). Cierre: Pida a los alumnos que escriban un resumen de la clase. Luego sortee estudiantesq ue lena su resumen al curso.

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CLASE 3: “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por dos ecuaciones cuadráticas” (3 horas pedagógicas) , página 87 a 89.

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Inicio: pida a los estudiantes que identifiquen las posibles curvas que se intersectan y, en base a ello, identifiquen la cantidad de soluciones del sistema (de 0 a 4 soluciones) Contenido Nuevo: trabaje con los estudiantes el primer ejemplo del texto (página 87), construyendo los gráficos respectivos de forma manual y/o con apoyo de geogebra. Explique y resuelva el procedimiento algebraico y compare la solución con la obtenida gráficamente. Prática Guiada: Para el segundo y tercer ejemplo (página 88 y 89), pídale a sus estudiantes que los trabajen en forma individual, en silencio, y una vez finalizado el trabajo realice una puesta en común. Práctica Independiente: Los ejercicios de la página 89 los pueden trabajar grupalmente, con nota (puede seleccionar algunos del listado). Cierre: Pida a los estudiantes que escriban las diferencias entre el procedmiento estudiado esta clase y la anterior, luego realice una puesta en común.

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

CLASE 4 “Resolución de Sistemas de Ecuaciones Formados por dos ecuaciones cuadráticas homogéneas en dos variables” (3 horas pedagógicas) , página 89 a 92.

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Inicio: Realice preguntas con respecto a los dos tipos de sistemas y procedimientos estudiados hasta aquí. Contenido Nuevo: Explique y resuelva el procedimiento algebraico de la página 90 y 91, para el primer ejemplo. Luego use un graficador para visualizar la solución gráfica y compare ambos. Práctica Guiada: para el segundo y tercer ejemplo (página 91 y 92), pídale a sus estudiantes que los trabajen en forma individual, en silencio, y una vez finalizado el trabajo realice una puesta en común. Práctica Independiente: Los ejercicios de la página 92 los pueden trabajar grupalmente, con nota (puede seleccionar algunos del listado). Cierre: ¿cómo identifico un sistema homogéneo?, ¿en qué se diferencia de los de la clase anterior?, ¿cómo se resuelven?

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CLASE 5 “Aplicación de los sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas” (3 horas pedagógicas), páginas 93 a 97.

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Inicio: Elija un problema de las páginas anteriores y pídale a los estudiantes que planteen el sistema de ecuaciones. Contenido Nuevo Y Práctica Guiada: Trabaje los ejercicios que vienen en las páginas nombradas, mediando para que se planteen los sistemas de ecuaciones que permiten resolver los problemas que se presentan en el texto. Práctica Independiente: Luego, organice al curso en grupos y realice la siguiente actividad: los alumnos deben resolver los sistemas de ecuaciones de los 5 problemas planteados en la clase y verificar la validez de las soluciones. Luego, deben plantear los sistemas que permiten resolver los problemas de la página 97 del texto. Cierre: ¿Qué aplicaciones de los sistemas de ecuaciones hemos aprendido?

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CLASE 6 “Ejercitación de la unidad completa”(3 pedagógicas): selección de ejercicios de la unidad completa (páginas 104 a 106)

horas



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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO IV MEDIO

(Nombre MINEDUC: Funciones y Procesos Infinitos) SEMESTRE I: 19 semanas (57 horas pedagógicas). Se usan 53 horas, consideradas 4 evaluaciones de 2 horas pedagógicas.

UNIDAD I SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

OBJETIVOS

1) Comprender el conjunto de los reales como un Cuerpo y aplicar los conceptos de axiomas de orden, intervalos, conjuntos acotados, supremo e ínfimo, entorno de un número real y punto de acumulación de un conjunto. 2) Resolver inecuaciones con valor absoluto, de segundo grado y orden superior 3) Reconocer una sucesión de números reales, su regla de formación y resolver operaciones básicas con ella.

   CONTENIDOS

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TIEMPO

El conjunto de los números reales como Cuerpo. Supremo e ínfimo de un conjunto de Números reales. Entorno de un número real y punto de acumulación del conjunto. Inecuaciones con valor absoluto, de segundo grado y orden superior. Sucesiones de números reales. Concepto de sucesión, sucesiones recurrentes y regla de formación. Operaciones Fundamentales con sucesiones.


ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad: “Sucesiones de Números Reales”, del Texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo de IIIº y IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 194 a 209 y, en algunas clases, se utilizan textos de la colección que corresponden al Plan Común. CLASE 1 “El conjunto de los números reales como Cuerpo Totalmente Ordenado” (3 horas pedagógicas), páginas 195 a 201.

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Inicio: En el curso de Álgebra de IIIº medio se estudiaron los polinomios como un anillo conmutativo con unidad, por lo que usted podría iniciar la clase recordando este lenguaje (en la página 73 del libro


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“Álgebra y Geometría I, Educación Media”, de Editorial Santillana, hay un cuadro resumen que estudiaron el año anterior). Pida a sus estudiantes que respondan a las siguientes preguntas, deseablemente por escrito, y luego realice una puesta en común: ¿qué es una estructura algebrica de un conjunto?, ¿qué estructuras algebraicas conoces?, ¿qué propiedades se cumplen en los números reales?. Luego de la puesta en común, entregue una fotocopia de la estructura de Cuerpo, en la página 13 del libro “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, de Editorial Santillana. Complemente también con lo presentado en la página 195 del texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo IIIº y IVº”, Editorial Santillana. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 196 del texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo IIIº y IVº”, Editorial Santillana. Práctica Guiada: Desarrolle con los estudiantes los ejercicios del texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, de Editorial Santillana, páginas 13 y 17 Práctica Independiente: Seleccione algunos ejercicios de la página 19 del texto “Álgebra y Geometría I, Educación Media”, de Editorial Santillana. Cierre: Pida a los estudiantes que respondan ¿por qué los reales se consideran un Cuerpo Totalmente Ordenado?

 CLASE 2 “Intervalos en R, conjuntos acotados, supremo e ínfimo” (3 horas pedagógicas). “Matemática Educación Media, Plan Electivo IIIº y IVº”, Editorial Santillana, páginas 197 a 201.    

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Inicio: Pida a los estudiantes que, por escrito, respondan las siguientes preguntas y luego realice una puesta en común: ¿qué es un intervalo?, ¿qué intervalos en R conoces?, ¿cuándo un conjunto es acotado?. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de las páginas 197 a 201 Práctica Guiada: Algunos ejercicios de la página 201 Práctica Independiente: Ejercicios de la página 198, los restantes de la página 201 y de la página 234 el 1, 2 y 3. Cierre: Pida a los estudiantes que escriban dos conceptos nuevos y los definan, con sus palabras. Luego sortee estudiantes para que lean sus respuestas.


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

CLASE 3 “Valor absoluto de Números reales”. (3 horas pedagógicas), “Álgebra y Geometría II, Educación Media”, de Editorial Santillana páginas 98 a 101.



Inicio: Pida a sus estudiantes que respondan a las siguientes preguntas: ¿Cuánto es el valor absoluto de 12?, ¿y de -3?, ¿se puede calcular el valor absoluto de -0,5?, ¿qué es el valor absoluto?, ¿cómo se simboliza?, ¿es una función?, ¿cómo es su gráfico?  Contenido Nuevo: - Desarrolle los contenidos del texto de IIº medio, en las páginas 98 y 99. Pida a los estudiantes que ellos construyan el gráfico y luego muestre la proyección con un graficador. - Traslade horizontal y verticalmente este gráfico y pídale a los estudiantes que escriban las conclusiones con respecto a los traslados - Luego, pida que grafiquen y =|x|, y=|2x|, y=|3x|,…

y=|x|, … y=3|x| -

que comparen los gráficos y escriban la

conclusión. Pregunte dónde está el vértice de

= |x-1|+3,…..

y =3 |x-2|, y =2 |x| +4, y

y pida a los estudiantes que registren sus

conclusiones. Trabaje las inecuaciones de primer grado con una incógnita y valor absoluto, que se encuentran en las páginas 105 a 107 del texto de IIº medio. Es importante que tenga en cuenta que la unidad de inecuaciones es la 1ª de IVº medio y sería esperable que ya hayan trabajado inecuaciones de 1er grado, pero es necesario que usted se asegure de esto. Práctica Guiada: Resuelva con los estudiantes los ejemplos de la página 100 y 101 del texto de IIº medio y de la página 106 y 107. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 101 y 107. Cierre: ¿qué es el valos absoluto? -

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CLASE 4 “Inecuaciones cuadráticas”. (3 horas pedagógicas), Páginas 78 a 82. “Matemática III, Educación Media”, de Editorial Santillana Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito a las siguientes preguntas y luego realice una puesta en común, ¿qué es una desigualdad?, ¿y un intervalo?, ¿y una ecuación?, ¿y una inecuación?, ¿cuáles son las propiedades de las ecuaciones?, ¿y de las inecuaciones?


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

Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 78 a 81. Para trabajar estas páginas, apóyese con un graficador y muestre en la parábola la relación entre la tabla de puntos críticos y el gráfico. Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 82 del texto. Cierre: ¿qué diferencias hay entre resolver una inecuación de primer y segundo grado?

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CLASE 5 “Inecuaciones de grado igual o mayor que 3”. (3 horas pedagógicas), Páginas 82 y 83“Matemática III, Educación Media”, de Editorial Santillana.

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito a las siguientes preguntas y luego realice una puesta en común, ¿qué es una inecuación?, ¿qué propiedades se usan para resolver una inecuación de primer grado?, ¿cómo se resuelven inecuaciones con valos absoluto? Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 82 y 83. Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 88 del texto y una selección del nº 23, 24 y 25 de la página 85 del mismo texto. Cierre: ¿cómo se resuelven inecuaciones de orden superior?

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EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)  CLASE 6 “Concepto de sucesión” (3 horas pedagógicas), páginas 202 a 204. 

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito a las siguientes preguntas y luego realice una puesta en común: escribe una sucesión y luego responde ¿qué es una sucesión? …. Al recoger las opiniones recuerde cómo nombrar las sucesiones de números pares, múltiplos de 5, números impares,…. e introduzca el concepto de “regla de formación” o “término general”. Luego, escriba la sucesión de Fibonacchi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …… y pida que expliquen cómo se completa….. , en este caso su usa “recurrencia” para definirla. Contenido Nuevo: Desarrolle el concepto de sucesión como función de N en R y desarrolle los contenidos de las páginas 202 a 204. Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en el texto. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 204 y de la página 234, del nº4 al nº8 Cierre: ¿Cuáles son las dos formas que se usan para definir una sucesión?, ¿en qué se diferencian ambas?


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CLASE 7 “Operaciones con sucesiones” (3 horas pedagógicas), páginas 204 a 206.

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Inicio: ¿qué es una sucesión?, ¿cuál es su dominio?, ¿y recorrido?, ¿de qué formas se puede definir una sucesión? Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 204 a 206. Práctica Guiada: Ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la pagina 206 y de la página 234-235 el nº 9 al nº 12. Cierre: ¿cómo se opera con sucesiones?

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CLASE 8 “Sucesiones monótonas, acotadas, convergentes o divergentes” (3 horas pedagógicas), páginas 207 a 209.

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Inicio: Ya conocimos la sucesión de Fibonacci …. Ahora vamos a ver un interesante video acerca de ella…. DIRECCIÓN WEB

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Escriba ambas en el pizarrón y nombrelas An y Bn PLEASE ESCRÍBELO Observa ambas sucesiones y compáralas, según el valor de sus términos ( pueden responder que en la primera sus términos crecen de forma infinita y en la segunda “tienden a un valor”, lo que usted podría utilizar para introducir los conceptos de la clase: monótona creciente, monótona decreciente, acotada, convergente y divergente) Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 207 a 209 Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en las páginas Práctica Independiente: ejercicios de la página 209 y de la página 235, nº 13 al 15. Cierre: Analiza si la sucesión -3, 9, -27, 81, -243,…. es monómtina, acotada, convergebte o divergente, justifica en cada caso. EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

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UNIDAD II SUMATORIAS, PROGRESIONES Y SERIES

OBJETIVOS

1) Reconocer, comprender, y aplicar la notación de sumatoria y sus propiedades. 2) Aplicar las propiedades y fórmulas de los distintos tipos de progresiones en el cálculo de elementos desconocidos de ella. 3) Demostrar la validez de proposiciones y fórmulas mediante el principio de Inducción Matemática    

CONTENIDOS

TIEMPO

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Sumatoria: Conceptos y propiedades Sumatorias de sucesiones de números reales Conceptos de progresión y serie Progresiones y series aritmética, geométrica armónica. Inducción matemática: principio fundamental aplicaciones.

y y


ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad: “Sucesiones de Números Reales”, del Texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo de IIIº y IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 210 a 237 

CLASE 1 “Concepto y Propiedades de las sumatorias” (3 horas pedagógicas), páginas 210 a 214. Inicio: Lea parte de la historia de la infancia de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), conocido como “El príncipe de los matemáticos

”

“A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de


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proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” Había escrito 5.050. La respuesta correcta”. ¿Cómo calculó tan rápido Gauss?... Deje que los estudiantes piensen y entreguen sus respuestas y luego siga con el texto… “Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050”   

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Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 210 a 214. Guíe a los estudiantes a que escriban la sumatoria antes de iniciar los cálculos. Práctica Guiada: Los ejemplos de las páginas Práctica Independiente: Ejercicios de la página 214 y de la página 235 el nº 17 Cierre: ¿Qué dice la propiedad telescópica de las sumatorias?... Resuelve el siguiente ejercicio, que corresponde a la PSU aplicada al finalizar el año 2012 (nº 9, admisión 2013)


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CLASE 2 “Sumatoria de una sucesión” (3 horas pedagógicas), páginas 215 a 217.

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Inicio: ¿qué es una sucesión?, ¿cómo calculó Gauss la suma de los primeros 100 naturales?, ¿cuánto suman los primeros 200 naturales, usando el procedimiento de Gauss? Contenido Nuevo: desarrollle los contenidos de las páginas 215 a 217 Práctica Guiada: ejemplos de las páginas Práctica Independiente: página 217 del texto y de la página 235 el nº16, y del nº18 al 21. Cierre: Escribe la fórmula para la suma de los primeros n números naturales y para la suma de sus cuadrados. Recuerde que es necesario memorizar estas fórmulas.

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EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas) 

CLASE 3 “Progresión, serie y serie aritmética” (3 horas pedagógicas), páginas 218 a 222.

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Inicio: ¿qué diferencia hay entre sucesión y serie?... Pregunte y luego aclare las diferencias al realizar una puesta en común Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de las páginas 218 a 221 Práctica Guiada: Los ejemplos en el texto Práctica Independiente: Ejercicios de la página 222. Cierre: escriba las diferencias entre: a) sucesión y progresión, b) sucesión y serie.

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CLASE 4 “Progresión y serie geométrica” (3 horas pedagógicas), páginas 222 a 227.

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Inicio: ¿Qué es una sucesión?, ¿qué es una progresión?, ¿qué es una serie?, ¿qué caso especial de serie estudiamos la clase pasada? (escribe un ejemplo de esta última) Contenido Nuevo:desarrollle los contenidos de la página 222 a 227 Práctica Guiada: Ejemplos incluidos en el texto Práctica Independiente: Ejercicios de la página 227 Cierre: Explique la diferencia entre una progresión aritmética y geométrica.

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CLASE 5 “Progresión y serie armónica” (3 horas pedagógicas), páginas 228 y 229. (Si se atrasa, sáltese esta clase)

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Inicio: ¿Qué progresiones hemos estudiado?, ¿Cómo es el nésimo término de una progresión aritmética?, ¿cuánto vale la suma de sus


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términos?, ¿y el nésimo término de una progresión geométrica?, ¿y la suma de sus términos?. Es necesario insistir en la importancia de memorizar estas expresiones. Contenido Nuevo: contenidos de la página 228 y 229 Práctica Guiada: Ejemplos de las páginas Práctica Independiente: ejercicios de la página 229 Cierre: Explique cómo diferenciar los 3 tipos de progresiones estudiadas.

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CLASE 6 “Inducción Matemática” (3 horas pedagógicas), páginas 230 a 233.

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Inicio: ¿qué es demostrar?. Demuestre: a) que la suma de tres números consecutivos es divisible por 3 b) que 5k-1 es divisible por 4. Cuando realice la puesta en común, explique la diferencia de dificultad entre la primera y la segunda demostración. Si bien para la primera podemos expresar las cantidades como x-1, x, x+1 y la demostración es bastante directa, la segunda nos demanda otros procedimientos. En esta clase aprenderemos a demostrar por inducción Contenido Nuevo: desarrolle el concepto de inducción matemática de la página 230 y ejemplifíquelo con el caso de ¿5k-1 es divisible por 4?, que se encuentra desarrollado en la página 232. Práctica Guiada: Los demás ejemplos considerados de la página 230 a 233 Práctica Independiente: ejercicio de la página 233 Cierre: ¿qué nos aporta saber demostrar por inducción?

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CLASE 7 “PRÁCTICA” (3 horas pedagógicas), páginas 235 a 237. Seleccione contenidos de la página 235 nº22, hasta la página 237 EVALUAR UNIDAD COMPLETA (2 horas pedagógicas)

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SEMESTRE II: 12 semanas (36 horas pedagógicas), ya que se consideraron clases hasta fines de octubre. Se usan 33 horas, consideradas 3 evaluaciones de 2 horas pedagógicas.

UNIDAD III LÍMITES Y CONTINUIDAD 1) Reconocer y aplicar las propiedades de las operaciones con límites de sucesiones y funciones reales. 2) Reconocer y aplicar el concepto de continuidad de funciones reales. 3) Reconocer y aplicar las propiedades de las operaciones con derivadas a funciones reales. 4) Aplicar el concepto de derivada a problemas de máximos y mínimos.

OBJETIVOS

CONTENIDOS

TIEMPO

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Concepto de límite. Límite de sucesiones reales. Límite de funciones reales. Continuidad de funciones. Concepto de derivada. Derivadas de funciones reales. Problemas de aplicación de la derivada.


ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA REALIZACIÓN DE LAS CLASES Se adjunta la Unidad: “Sucesiones de Números Reales”, del Texto “Matemática Educación Media, Plan Electivo de IIIº y IVº Medio”, Editorial Santillana, páginas 238 a 283.  CLASE 1 “Límite de una sucesión y entorno del límite” (3 horas pedagógicas), páginas 28 a 243. 

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Inicio: Pregunte a los estudiantes: ¿Qué es una sucesión?, ¿cuándo se divce que una sucesión converge? Y pídales que analicen la convergencia de la suseción del ejemplo al inicio de la página 239. Luego, realice una puesta en común y complemente con la información del texto. Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 239 a 243. Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: ejercicios de la página 242 y 243.


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Cierre: Explique con sus palabras qué es el límite de una sucesión.

 CLASE 2 “Propiedades de los límites de sucesiones reales” (3 horas pedagógicas), páginas 244 a 246.    

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Inicio: Recuerde las respuestas del concepto de límite de la clase anterior y escriba la definición en el pizarrón. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 244 a 246 Práctica Guiada: Ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 247. Cierre: Escriba las 2 propiedades de los límites que más usó en los ejercicios de la clase.

 CLASE 3 “El número e y práctica” (3 horas pedagógicas), páginas 247 y 248. 

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Inicio: ¿Qué es el límite de una sucesión?, ¿cuáles son las propiedades de los límites de una sucesión?.... Después de la puesta en común, escriba el término general de la sucesión de Euler en el pizarrón (página 247) y pida a los estudiantes que construyan los términos 1, 2, 3, 10, 100, 1.000 y 1.000.000, con ayuda de una claculadora científica o excel (los valores que se obtienen están en la página 242 del texto). Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 247 y 248. Práctica Guiada: Ejemplos de las páginas Práctica Independiente: Ejercicios de la página 248 y de la página 282, el nº1, 2 y 3 Cierre: ¿a qué conjunto pertenece el número e?, ¿por qué?, ¿qué otros números importantes pertenecen a este conjunto? (se espera que los estudiantes nombren ∏ Y phi). Luego, pida que ordenen de menor a mayor e, ∏ y phi.

EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)  CLASE 4 “Límite de una función real” (3 horas pedagógicas), páginas 249 a 252. 

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Inicio: Pida a los estudiantes que respondan por escrito, ¿qué es una función?, ¿qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido?. Dibuje un bosquejo de los siguientes gráficos f(x)= x2, f(x)=abs x, f(x)= log x, f(x)= sinx, f(x)= 2x, f(x)=x3…. Debieran haber logrado memorizar los gráficos de estas funciones. Un vez que los alumnos hayan contestado, ingrese las funciones en un graficador y proyéctelas, pida que identifiquen dominio y recorrido.


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Contenido Nuevo: Desarrolle los ejemplos de lampágina 249 a 250. Es necesario que de un tiempo a los estudiantes, para que construyan manualmente cada gráfico de cada función ejemplificada y, luego, ingrese la expresión en un graficador. Práctica Guiada: los ejemplos considerados en las páginas Práctica Independiente: Ejercicios de la página 252. Cierre: ¿En qué me apoya el gráfico de una función para encontrar su límite?

 CLASE 5 “Propiedades sobre límites de funciones reales” (3 horas pedagógicas), páginas 252 a 254.    

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Inicio: Active los conocimientos de la clase anterior: función, gráfico, límite de una función,… Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 252 a 254 Práctica Guiada: Ejemplos de las páginas Práctica Independiente: Ejercicios de la página 254. Cierre: ¿Qué debemos hacer para calcular el límite de una función que es un cociente, en que al evaluar en el punto, tanto el numerador como el denominador se anulan?

 CLASE 6 “Continuidad de una función real” (3 horas pedagógicas), páginas 255 a 258. 

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Inicio: ¿Qué es una función definida por partes?. Pida a los estudiantes que grafiquen, menualmente, los 2 ejemplos de la página 256. Realice una puesta en común y asegúrese que los alumnos son capaces de graficar funciones por partes. Recuerde el gráfico de la función valor absoluto. Contenido Nuevo:Desarrolle los contenidos de la página 255 a 258, con apoyo de la proyección de un graficador. Práctica Guiada: los ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 256, 257 y 258. Cierre: ¿qué es una función discontinua?, ¿qué tipos de discontinuidad estudiamos hoy?

EVALUAR HASTA AQUÍ (2 horas pedagógicas)  CLASE 7 “Recta tangente a una curva” (3 horas pedagógicas), páginas 259 a 260. 

Inicio: Pida a los estudiantes que encuentren la ecuación de la recta tangente a la curva y=3x2+4, . De un tiempo para que grafiquen y hagn


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intentos por responder, quizás algún etudiante lo sorprenda con alguna respuesta…. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 259 y 260. El ejemplo en la página 260 es el mismo que usted planteó como desafío al iniciar la clase. Una vez resuelto, compare con las respuestas dadas por los estudiantes al iniciar la clase. Práctica Guiada: Ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 260 y de la página 282, seleccione algunos del nº4 al nº10. Cierre: Pida a los estudiantes que comparen el procedimiento mostrado al inicio y el que aprendieron en la clase.

 CLASE 8 “Concepto de derivada de una función real” (3 horas pedagógicas), páginas 264 a 266.    

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Inicio: Active conocimientos previos del trabajo de límites y continuidad realizado hasta ahora. Contenido Nuevo: Desarrolle los contenidos de la página 264, 265 y 266 (sin las propiedades). Práctica Guiada: Ejemplos de las páginas de contenidos Práctica Independiente: Ejercicios de la página 265 y una selección de la página 282 (nº4 al nº10, los que no se hicieron de la clase anterior) Cierre: Explique con sus palabras qué es la derivada de una función.

 CLASE 9 “Propiedades sobre funciones derivadas de funciones reales” (3 horas pedagógicas), páginas 266 a 270.    

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Inicio: Recuerde concepto de derivada de la clase anterior. Contenido Nuevo: Desarrolle las propiedades que se muestran en las páginas 266 a 268 (la propiedad de la página 269 sáltesela), demostrando la a y b. Práctica Guiada: Los ejemplos considerados en las páginas. Práctica Independiente: Ejercicios de la página 270 Cierre:Recoja los aprendizajes más importantes de la unidad y la proyección de ellos a los estudios universitarios.


Si el tiempo lo permite, puede seguir avanzando con derivadas, desde la página 259 en adelante.

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Talleres Anexo (Fuente PDV)


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Planificación Electivos III - IV Medio 2017 (1)

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