5 FONON II. CIRI-CIRI TERMAL KAPASITAS PANAS FONON Distribusi Plank Pencacahan mode normal Keadaan satu dimensi dari kepadatan Keadaan tiga dimensi dari kepadatan Model Debye untuk keadaan kepadatan Hukum
Debye
Keadaan kepadatan model Einstein Hasil secara umum dari D ( ) INTERAKSI KRISTAL TIDAK HARMONIK Ekspansi termal KONDUKTIVITAS TERMAL Resistivitas termal dari gas fonon Proses Umklapp Ketidaksempurnaan (Imperfections )
1
Gambar 5.1.
Grafik dari fungsi distribusi Planck. Pada temperatur tinggi occupancy dari keadaan suhu hampir linier. Fungsi 〈 〉
, yang tidak diplot, pendekatan garis putus-putus sebagai
asymptote pada temperatur tinggi.
2
Kita akan membahas kapasitas panas gas fonon dan kemudian efek interaksi kisi harmonik pada fonon dan kristal. 5.1
Kapasitas Panas Fonon Dengan kapasitas panas dapat diartikan kapasitas panas pada volume konstan, dimana
lebih dasar daripada kapasitas panas pada tekanan konstan, seperti pada percobaan. Kapasitas (
panas pada volume konstan didefinisikan seperti
⁄
) dimana U adalah energi
dan T adalah temperatur. Kontribusi fonon menuju kapasitas panas Kristal disebut kapasitas panas kisi dan didenotasikan oleh
. Total energi fonon pada temperatur
(
) pada Kristal dapat
dituliskan jumlah dari energi keseluruhan fonon, diindekskan oleh gelombang vektor K dan indeks polarisasi : ∑ ∑ Dimana ( .(
∑ ∑ (
)
(5.1)
) adalah kesetimbangan termal fonon pada gelombang vektor K dan polarisasi
) diberikan oleh fungsi distribusi Planck : 〈 〉
(
(5.2)
⁄ )
Dimana 〈 〉 dinotasikan sebagai rata-rata kesetimbangan termal. Sebuah grafik dari 〈 〉 diberikan dalam gambar 5.1. 5.2
Distribusi Planck Pertimbangan pada sebuah set dari osilator harmonik yang identik dalam
kesetimbangan termal. Perbandingan nilai osilator pada keadaan kuantum eksitasi (
)
pada saat ke- keadaan kuantumnya adalah sebagai berikut : (
⁄ ),
,
(5.3)
Dengan menggunakan faktor Boltzmann. Maka fraksi total nilai osilator pada keadaan kuantum adalah : ( ∑
∑
⁄ ) (
⁄ )
(5.4)
3
Kita lihat bahwa rata-rata nilai quantum eksitasi pada osilator adalah : ∑
〈 〉
⁄ )
(
∑
(5.5)
⁄ )
(
Sumasi pada persamaan 5.5 adalah : ∑ (
Dengan
∑
;
∑
(
)
,
(5.6)
⁄ ). Maka kita dapat menulis persamaan (5.5) sebagai distribusi
Planck : 〈 〉
5.3
(
(5.7)
⁄ )
Pencacahan Mode Normal Energi dari pengumpulan frekuensi osilator
pada kesetimbangan termal dapat
diperoleh dari persamaan (5.1) dan (5.2) : ∑ ∑
(5.8)
⁄ )
(
Biasanya cocok untuk menggantikan sumasi K dengan integral. Diperkirakan bahwa Kristal memiliki mode
( )
yang diberikan polarisasi
pada rentang frekuensi
menuju
. Kemudian energinya adalah : ∑ ∫
( )
(
(5.9)
⁄ )
Kapasitas panas kisi diperoleh dari perbedaan dengan toleransi temperatur. Karena ⁄
⁄
: kemudian ∑ ∫
⁄
menjadi : ( )(
Pusat kasus adalah untuk mencari
)
(5.10)
( ), Jumlah mode per rentang satuan frekuensi.
Fungsi ini disebut dengan density of modes atau, sering disebut dengan density of states.
4
5.4
Density of States pada Satu Dimensi Mengingat bahwa kasus nilai terikat pada vibrasi garis satu dimensi (Gambar 5.1)
dengan panjang L membawa partikel
Gambar 5.2 Garis elastik pada atom dan
yang terpisah sejauh .
, dengan
, untuk kondisi terikat yang pada ujung atom
. Pemindahan partikel pada mode normal untuk pemindahan longitudinal atau
transversal dari bentuk ujung
. Bentuk ini otomatis bernilai nol pada saat atom berada di
, dan kita memilih K untuk membuat perubahan nol di ujung
Gambar 5.3 Kondisi
terikat
⁄
untuk ⁄
⁄
dapat
diperoleh
dengan
memilih
, dimana 10a merupakan panjang L dari garis. Gambar
yang ditunjukkan pada runag K. Dot tdiatas bukan atom akan tetapi jumlah dari K . Pada partikel dalam garis, hanya
yang diperbolehkan untuk berpindah, dan paling umum
pergerakannya dapat diungkapkan pada
adalah nilai yang diperbolehkan dari K. Kuantisasi
K tidak berhubungan dengan mekanika kuantum akan tetapi ada hubungannya dengan mekanika klasik dari kondisi terikat atom
Kita anggap bahwa partikel
dan
pada ujung garis tetap ada. Masing-masing
mode vibrasi normal dengan polarisasi
yang memiliki bentuk gelombang berdiri, dimana
adalah pemindahan partikel s : ( ) Dimana
(
)
(5.11)
dihubungkan oleh K dengan hubungan dispersi yang tepat.
Seperti pada Gambar 5.3, gelombang vektor K dilarang oleh kondisi fixed-end boundary pada nilai :
5
(
Solusi untuk
)
(5.12)
⁄ adalah : (
⁄ )
Dan akan hilang apabila
(5.13)
dan dibutuhkan
.
Solusi untuk K = Nπ/L = π/a = Kmaks dengan us ∞ sin sπ; ini tidak diperbolehkan ada gerakan atom apapun, karena sin sπ hilang di setiap atom. Jadi, N - 1 diperbolehkan nilainilai bebas dari
K dalam
pers.(12). Jumlah ini sama dengan jumlah partikel yang
diperbolehkan untuk bergerak. Setiap nilai K diperbolehkan dikaitkan dengan gelombang berdiri. Untuk garis satu dimensi ada satu modus untuk setiap interval ΔK = π /L, sehingga jumlah modus per jangkauan unit dari K adalah L/π untuk K ≤ π/a, dan 0 untuk K > π/a. Ada tiga polarisasi p untuk setiap nilai K: dalam satu dimensi dua polarisasi transversal dan satu polarisasi longitudinal. Dalam tiga dimensi polarisasi yang sederhana ini hanya untuk vektor gelombang di arah kristal khusus tertentu. Perangkat lain untuk menyebutkan modus sama berlaku. Dengan menganggap medium sebagai tak terbatas, namun diperlukan bahwa solusi bersifat periodik melalui jarak L besar, sehingga u (sa) = u (sa + L). Metode keadaan batas periodik (Gambar 5.4 dan 5.5) tidak mengubah fisik dari masalah dalam hal apapun untuk sistem yang besar. Dalam solusi gelombang berjalan us = u(0) exp[i(sKa – ωkt)] nilai-nilai K diperbolehkan adalah (5.14)
Gambar 5.4
Dianggap partikel N dibatasi untuk meluncur di sebuah cincin melingkar.Partikelpartikel dapat berosilasi oleh mata air elastis.
6
Gambar 5.5
Nilai-nilai gelombang vektor K untuk kondisi batas periodic diterapkan pada kisi linear periodisitas N = 8 atom pada garis panjang L. K = 0 solusi adalah modus seragam.
Metode pencacahan memberikan jumlah yang sama dari modus (satu per atom mobile) seperti yang diberikan oleh pers.(5.12), tapi kita miliki sekarang dua nilai baik positif dan negatif dari K, dengan interval ΔK = 2π / L antara nilai-nilai K. Untuk keadaan batas periodik, jumlah modus per jangkauan unit dari K adalah L/2π untuk -π / a ≤ K ≤ π / a, dan sebaliknya. Situasi dalam kisi dua dimensi digambarkan dalam Gambar 5.6. Kita perlu tahu D(ω), jumlah modus per jangkauan frekuensi unit polarisasi diberikan. Jumlah modus D(ω) dω di dω pada ω diberikan dalam satu dimensi dengan ( )
⁄
(5.15)
Gambar 5.6 Diperbolehkan nilai-nilai dalam ruang Fourier dari gelombang fonon vektor K untuk kisi persegi kisi konstan, dengan kondisi batas periodik diaplikasikan di atas sebuah persegi samping L = 10a.
Kita dapat memperoleh kecepatan grup dω/dK dari dispersi hubungan ω terhadap K. Ada singularitas di D1 (ω) setiap kali hubungan dispersi ω(K) adalah horizontal; yaitu, setiap kali kecepatan grup sama dengan nol. 7
5.5
Kepadatan Keadaan dalam Tiga Dimensi Diterapkan kondisi batas periodik atas sel primitif N3 dalam kubus sisi L, sehingga K
ditentukan oleh kondisi [(
)]
* (
(
)
(
)
(
))+
(5.16)
di mana (5.17) Oleh karena itu, ini merupakan satu nilai diperbolehkan dari K per volume (2π/L)3 dalam ruang K, atau ( )
(5.18)
diperbolehkan nilai-nilai dari K per unit volume dari ruang K, untuk setiap polarisasi dan setiap cabang. Volume dari bahan percobaan adalah V = L3. Nomor total dari modus dengan vektor gelombang kurang dari K dididapatkan dari pers.(18) untuk (L/2π)3 kali volume bola dari jari-jari K, diperoleh: ( )
(5.19)
Untuk masing-masing tipe polarisasi. Besarnya kepadatan untuk masing-masing polarisasi adalah : ( ) 5.6
⁄
(
⁄
)(
⁄
)
(5.20)
Model Debye untuk Keadaan Padat Dalam perkiraan Debye mengenai kecepatan suara adalah dianggap konstan untuk
masing-masing tipe polarisasi, yang selanjutnya untuk elastik klasik. Hubungan disperse dituliskan sebagai berikut : (5.21) Dengan
merupakan konstanta kecepatan suara.
Besarnya kepadatan pada persamaan (20) menjadi : 8
( )
⁄
(5.22)
Apabila ada N dengan sel sederhana pada specimen, jumlah mode fonon akustik adalah N. Frekuensi cutoff
didefinisikan oleh persamaan (19) sebagai berikut :
⁄
(5.23)
Persamaan frekuensi diatas sesuai dengan vektor gelombang cutoff pada ruang K : ⁄
(
⁄ )
⁄
(5.24)
Pada model Debye, mode vektor gelombang tidak boleh lebih besar dari dengan
. Jumlah mode
menghabiskan jumlah derajat kebebasan kisi monoatomik. Suhu energi dari persamaan (9) diberikan : ( )〈 ( )〉
∫
∫
(
)(
⁄
)
(5.25)
Untuk masing-masing tipe polarisasi. Untuk ringkasnya, kita asumsikan kecepatan fonon merupakan polarisasi bebas, sehingga kita mengalikannya dengan factor 3 untuk mendapatkan ∫ Dimana
∫
⁄
⁄
⁄ ⁄
dan ⁄
(5.27)
Ini mendefinisikan temperatur (23). Kita dapat ungkapkan (
)
(5.26)
Debye pada suku
didefinisikan oleh persamaan
menjadi
⁄
(5.28)
9
Gambar 5.7.
Kapasitas panas
zat padat, menurut perkiraan Debye. Sumbu vertical berskala
Sumbu horizontal berskala temperatur yang dinormalisasi untuk temperatur hokum
adalah dibawah
.
Debye. Daerah
. Nilai asimtotik pada nilai tertinggi dari
⁄
adalah
.
Gambar 5.8.
Kapasitas panas pada silicon dan germanium. Catatan penurunan pada rendahnya temperatur. Untuk mengubah nilai dari
⁄
ke ⁄
, dikalikan dengan 4.186.
Sehingga total energi fonon adalah sebagai berikut : ( ) ∫ Dimana N adalah nomor atom pada specimen dan
(5.29) ⁄ .
Kapasitas panas mudah diketahui dengan penurunan ungkapan bagian tengah pada persamaan (5.26) dengan bergantung pada temperatur. Kemudian
10
⁄
∫
⁄
(
( ) ∫
)
(
Kapasitas panas Debye diplot pada Gambar 7. Pada pendekatan klasik 5.7
Hukum
(5.30)
)
kapasitas panas dengan
. Nilai dihitung untuk silicon dan germanium diplot pada Gambar 8. Debye
Pada temperatur yang sangat rendah kita dapat memperkirakan persamaan (29) dengan memberikan batas atas menjadi tak berhingga. Kita dapatkan ∫
∑
∫
Dimana jumlah atas
∑
(5.31) ⁄
dicari pada tabel standar. Maka
untuk
dan ( )
( )
Yang merupakan perkiraan
(5.32)
Debye. Hasil eksperimen untuk argon diplot pada Gambar 5.9.
Pada temperatur yang cukup rendah perkiraan
cukup bagus; bahwa hanya ketika
panjang gelombang mode panjang akustik yaitu pada keadaan termal. Ini semua merupakan mode yang mungkin diperlakukan sebagai elastik lanjut dengan konstanta elastik makroskopik. Energi dari panjang gelombang yang pendek (untuk perkiraan yang gagal) adalah terlalu tinggi untuk perkiraan Kita mengerti hasil
untuk didiamkan pada temperatur rendah.
dari sebuah argument sederhana yang ditampilkan pada
Gambar 5.10. Hanya mode kisi yang memiliki
akan dirangsang pada rentang suhu
T yang rendah. Perangsangan pada mode ini akan diperkirakan secara klasik, masing-masing dengan energi dekat dengan
, serupa dengan Gambar 5.1.
Volume yang diperbolehkan dalam ruang K, sebagian kecil diisi oleh mode tereksitasi adalah yang memenuhi ( yang didefinisikan dari
⁄
) atau (
⁄
dan
) , dimana
adalah suhu gelombang vektor
adalah gelombang vektor cutoff Debye. Maka
sebagian kecil yang diisi adalah ( ⁄ ) dari total volume pada ruang K. Terdapat mode tereksitasi
( ⁄ ) , yang masing-masing memiliki energi
( ⁄ ) , dan kapasitas panas adalah
. Energinya adalah
( ⁄ ) .
11
Untuk Kristal asli, temperaturnya pada perkiraan kemungkinan membutuhkan dibawah Nilai
⁄
adalah cukup rendah. Ini
untuk mendapatkan reaksi murni
.
yang dipilih diberikan pada Tabel 5.1. Catatan, sebagai contoh, pada alkali
logam bahwa atom yang lebih berat memiliki
yang paling rendah, karena kecepatan
suaranya menurun seiring dengan tingkat kepadatan yang meningkat. 5.8
Model Einstein Untuk Tingkat Kepadatan Menurut osilator N pada frekuensi
kepadatan Einstein diungkapkan
( )
yang sama dan satu dimensi. Tingkat (
), dimana fungsi delta dipusatkan pada
. Energi termal suatu system sebagai berikut : ( ) Untuk lebih mudahnya,
(5.33)
⁄
ditulis untuk menggantikan
.
Gambar 5.9. Temperatur rendah dengan kapasitas panas pada argon padat, diplot berdasarkan daerah temperatur ini, hasil eksperimen sesuai dengan hokum
. Pada
Debye dengan
. (L. Finegold dan N.E. Philips).
12
Gambar 5.10.
Untuk mendapatkan sebuah penjelasan yang kualitatif dari hukum
Debye, kita
memperkirakan bahwa semua mode fonon dari vektor gelombang lebih kecil dari memiliki energi termal
dan bahwa mode diantara
dan
cutoff
Debye (
yang ) tidak
tereksitasi seluruhnya. Pada mode kemungkinan 3N, sebagian yang dirangsang adalah (
⁄
)
( ⁄ ) , karena ini merupakan perbandingan volume lingkaran dalam dengan
lingkaran luar. Energinya adalah ⁄
( ⁄ ) dan kapasitas panasnya adalah
( ⁄ ) .
Gambar 5.11. Perbandingan nilai eksperimen dari kapasitas panas berlian dengan nilai perhitungan pada kuantun klasik (model Einstein), menggunakan karakteristik temperatur . Untuk mengubahnya ke ⁄
⁄
, kalikan dengan 4.186.
13
Tabel 5.1 Temperatur Debye dan Konduktivitas Termal
14
Kapasitas panas pada osilator adalah sebagai berikut : ( )
(
)
⁄
(
⁄
(5.34)
)
Seperti diplot pada Gambar 5.11. Ini mengungkapkan hasil Einstein (1907) untuk konstribusi osilator identik N untuk kapasitas panas sebuah zat padat. Pada 3 dimensi N digantikan dengan 3N, terdapat 3 mode per osilator. Batas temperatur yang tingg pada
menjadi
, yang mana diketahui sebagai Dulong dan nilai Petit. Pada temperatur rendah yang telah diungkapkan pada persamaan (5.34) menurun ketika
(
⁄ ), padahal secara eksperimen bentuk konstribusi fonon menjadi
seperti
dihitung oleh model Debye diatas. Walaupun demikian, model Einstein, sering digunakan untuk perkiraan bagian fonon secara optik pada spektrum fonon. 5.9
Hasil Umum
( )
Kita ingin mencari ungkapan umum dari diberikan hubungan dispersi fonon ialah antara ( )
dan
( ), dengan nilai per satuan frekuensi,
( ). Nilai yang diperbolehkan K untuk fonon frekuensi
adalah ( ) ∫
(5.35)
Dimana integral diatas diperluas melalui volume yang akan diikat pada ruang K oleh 2 permukaan pada frekuensi fonon yang konstan, suatu permukaan yang berfrekuensi lainnya berfrekuensi
dan
.
Masalah sebenarnya adalah untuk menghitung volume pada kerangka ini. Kita artikan sebagai elemen di area atas permukaan di ruang K dengan frekuensi tetap
(Gambar
5.12).
15
Gambar 5.12 Elemen daerah
pada frekuensi tetap permukaan di ruang K. Volume dua permukaan yang
berfrekuensi tetap antara
samadengan ∫
dan
⁄|
ω|.
Elemen volume permukaan yang berfrekuensi tetap diantara sebuah silinder dengan dasar ∫
dan tinggi
dan
, sehingga
∫
(5.36)
adalah jarak tegak lurus (Lihat Gambar 5.13) antara permukaan konstanta permukaan konstanta
adalah
. Nilai
dan
akan bervariasi dari satu titik ke titik lainnya diatas
permukaan. Gradien
, yang mana
normal pada permukaan konstanta
, dan kuantitasnya
ditunjukkan pada persamaan berikut |
|
Adalah perbedaan frekuensi antara dua permukaan yang dihubungkan oleh
. Maka
elemen volumenya adalah
| Dimana
|
|
| merupakan magnitude kecepatan bersama sebuah fonon. Dari
persamaan (5.35) kita dapatkan
16
( )
Kita bagi seluruh sisi dengan
dan tulis
(
) ∫ untuk volume Kristal : hasil untuk
kepadatan suatu zat adalah ( )
(
)
∫
Gambar 5.13. Banyaknya
(5.37)
adalah tegak lurus jarak antara dua konstanta frekuensi permukaan dalam ruang
K, satu di frekuensi ω dan yang lainnya frekuensi di ω + d ω.
Gambar 5.14. Rapat keadaan sebagai suatu fungsi frekuensi untuk (a) padat Debye dan (b) Struktur kristal sebenarnya. Spektrum untuk awal kistal seperti ω2 untuk ω yang kecil, tetapi terjadi diskontinu di titik tunggal.
Integral adalah mengambil alih luasan ω dipermukaan konstan, dalam ruang K. Hasilnya mengacu pada satu cabang dari hubungan dispersi. Kita dapat menggunakan hasil ini juga dalam teori pita elektron.
17
Ada perhatian khusus kontribusi ke D(ω) dari titik di mana kecepatan kelompok adalah nol. Titik kritis tersebut menghasilkan singularitas (dikenal sebagai singularitas Van Hove) dalam fungsi distribusi (Gambar 5.14). 5.10
Interaksi Kristal Tidak Harmonik Teori getaran kisi dibahas sejauh ini telah terbatas dalam energi potensial untuk suku
kuadrat dalam pemindahan interatomik. Ini adalah teori harmonik, diantara konsekuensinya adalah:
Dua gelombang kisi tidak berinteraksi, gelombang tunggal tidak meluruh atau mengubah bentuk dengan waktu.
Tidak ada ekspansi termal.
Konstanta elastis adiabatik dan isotermal adalah sama.
Konstanta elastis adalah bebas dari tekanan dan temperatur.
Kapasitas panas menjadi konstan pada suhu tinggi T > θ. Dalam kristal nyata tidak ada konsekuensi memenuhi secara akurat. Penyimpangan
dapat dihubungkan dengan mengabaikan suku tidak harmonik (lebih tinggi dari kuadrat) dalam perpindahan interatomik. Dibahas beberapa aspek sederhana dari efek tidak harmonik. Demonstrasi yang indah efek tidak harmonik adalah percobaan pada interaksi dua fonon untuk menghasilkan Fonon ketiga pada frekuensi ω3 = ω1 + ω2. Proses tiga-Fonon disebabkan oleh suku orde ketiga dalam energi potensial kisi. Fisika interaksi fonon dapat dinyatakan sederhana: kehadiran satu Fonon menyebabkan regangan elastis periodik yang (melalui interaksi tidak harmonik) memodulasi dalam ruang dan waktu konstanta elastis kristal. Sebuah Fonon kedua memandang modulasi konstan elastis dan kemudian tersebar untuk menghasilkan Fonon ketiga seperti dari kisi tiga dimensi bergerak. 5.11
Ekspansi Termal Ekspansi termal dapat dipahami dengan mempertimbangkan untuk osilator klasik efek
suku tidak harmonik dalam energi potensial pada pemisahan rata-rata sepasang atom pada suhu T. Di ambil energi potensial dari atom pada perpindahan x dari pemisahan keseimbangan atom pada nol mutlak yaitu: ( )
(5.38)
18
dengan c, g, dan f semua positif. Suku di x3 merupakan asimetri tolakan bersama dari atom dan suku di x4 merupakan pelunakan getaran pada amplitudo yang besar. The minimum pada x = 0 bukan minimum absolut, tetapi untuk osilasi bentuk kecil merupakan representasi yang memadai dari potensi interatomik. Perpindahan rata-rata dihitung dengan menggunakan fungsi distribusi Boltzmann, yang bobot nilai x yang mungkin sesuai dengan probabilitas termodinamika yaitu: 〈 〉
∫
[
( )]
∫
[
( )]
dengan β ≡ 1/KBT. Untuk perpindahan sehingga suku tidak harmonik energi yang kecil dibandingkan dengan KBT, dapat memperluas integran sebagai (
∫
)
[
∫ (
∫
( )
)] ( ∫
) (
)
(
(
)(
)
)
; (5.39)
di mana ekspansi termal adalah: 〈 〉
(5.40)
Gambar 5.15. Konstanta kisi dari argon padat sebagai fungsi dari temperatur.
Di memperluas
daerah (
klasik.
Catatan
dalam
(39)
cx2
dalam
eksponensial,
tetapi
)
19
Pengukuran konstanta kisi dari argon padat ditunjukkan pada Gambar 5.15. Kemiringan dari kurva adalah proporsional dengan koefisien ekspansi termal. Koefisien ekspansi berkurang saat
, dalam urutan paling rendah ekspansi termal tidak melibatkan suku simetrik
dalam U(x), tetapi hanya suku antisimetrik 5.12
.
Konduktivitas Termal Koefisien konduktivitas termal K dari suatu zat padat adalah didefinisikan dengan
respek ke keadaan tetap aliran panas menurun suatu batang panjang dengan gradient temperatur dT/dx: (5.41) di mana
adalah fluks energi termal, atau jarak lintas transmisi energi satuan luas per satuan
waktu. Bentuk ini menyatakan proses perpindahan energi termal adalah suatu proses acak. Energi tidak hanya memasuki satu ujung dari bahan percobaan dan arah hasil (balistikal) dalam lintasan lurus ujung lain, tetapi bentuk ini menyiratkan bahwa proses transfer energi termal adalah proses acak. Energi tidak cukup memasukkan salah satu ujung spesimen dan lanjutkan langsung (ballistically) di lintasan yang lurus ke ujung yang lain, tetapi berdifusi melalui spesimen, mengalami tumbukan sering. Jika energi yang disebarkan langsung melalui spesimen tanpa defleksi, maka ekspresi untuk fluks termal tidak akan tergantung pada gradien suhu, tetapi hanya pada perbedaan suhu ΔT antara ujung spesimen, terlepas dari panjang spesimen. Sifat acak dari proses konduktivitas membawa gradien suhu dan, seperti akan kita lihat, lintasan bebas rata-rata ke dalam ekspresi untuk fluks termal. Tabel 5.2 Jarak bebas lintasan fonon [Dihitung dari (44), diambil
sebagai mewakili kecepatan bunyi. l
adalah diperoleh dengan cara ini mengacu pada proses umklapp.] Kristal
T (oC)
C (J cm-3 K-1)
K (W cm-1 K-1)
l (Å)
Quartz*
0
2
0,13
40
-190
0,55
0,50
540
0
1,88
0,07
23
-190
1
0,27
100
NaCl
20
*Paralel ke sumbu optik Dari teori kinetik gas diperoleh persamaan berikut untuk konduktivitas termal: (5.42) di mana C adalah kapasitas panas per satuan volume, v adalah rata-rata kecepatan partikel, dan l adalah jarak bebas lintasan partikel antara tumbukan. Hasil ini pertama diterapkan oleh Debye untuk menguraikan konduktivitas termal dalam zat padat dielektrik, dengan C sebagai kapasitas panas dari fonon, kecepatan fonon v, dan jarak bebas lintasan fonon l. beberapa mewakili nilai dari jarak bebas lintasan adalah diberikan dalam Tabel 5.2. Diberikan teori kinetic dasar yang mana memimpin ke arah persamaan (5.42). Fluks dari partikel dalam arah x adalah
〈| |〉, di mana n adalah konsentrasi molekul; dalam
keseimbangan disini fluks sama besar dengan berlawanan arah. 〈
〉 menunjukkan nilai rata-
rata. Jika c adalah kapasitas panas suatu partikel, ketika bergerak dari suatu daerah pada temperatur lokal memberikan energi
ke suatu daerah pada temperatur lokal . Sekarang
suatu partikel akan
diantara akhir lintasan bebas partikel diberikan oleh ,
di mana adalah rata-rata waktu antara tumbukan. Fluks bersih dari energi (dari kedua pengertian partikel fluks) maka 〈
〉
〈
〉
(5.43)
Jika, untuk fonon, v adalah konstan (5.43) dapat ditulis sebagai (5.44) dengan
.
21
5.12
Resistivitas Panas dari Gas Fonon Fonon ini berarti laju ( ) bebas ditentukan oleh dua proses, hamburan geometris dan
hamburan oleh fonon lainnya. Jika kekuatan antara atom adalah murni harmonik, tidak ada mekanisme untuk tabrakan antara fonon yang berbeda, dan tidak aktif (mati) yang berarti jalan bebas akan dibatasi hanya oleh tabrakan fonon dengan batas kristal
dengan
ketidaksempurnaan kisi. Situasi di mana menyebabkan efek ini yang dominan. Dengan interaksi kisi tak harmonis, ada sambungan berbeda antara fonon yang membatasi nilai dari jalan bebas rata-rata. Secara tepat dinyatakan dari sistem tak harmonik tidak lagi seperti fonon murni. Teori efek sambungan tak harmonis pada termal resistivitas memprediksi bahwa sebanding dengan 1/T pada suhu tinggi, dalam perjanjian dengan banyak percobaan. Kita dapat memahami ketergantungan ini dalam hal jumlah fonon dengan yang fonon diberikan dapat berinteraksi: pada suhu tinggi jumlah fonon bersemangat sebanding dengan T. Tabrakan frekuensi dari fonon yang diberikan harus proporsional dengan jumlah fonon dengan yang dapat berbenturan, dimana:
.
Untuk menentukan konduktivitas termal harus ada mekanisme di kristal dimana distribusi fonon dapat diajukan secara lokal ke kesetimbangan termal. Tanpa mekanisme kita tidak mungkin membicarakan tentang fonon di salah satu ujung kristal sebagai dalam kesetimbangan termal pada suhu Tz dan di ujung lain pada ekuilibrium di
.
Hal ini tidak cukup memiliki satu cara untuk membatasi jalur bebas rata-rata, tetapi juga harus ada cara membangun kesetimbangan termal lokal distribusi fonon. Kolisi fonon dengan ketidaksempurnaan statis atau batas kristal tidak akan dengan sendirinya membentuk keseimbangan termal, karena tabrakan tersebut tidak mengubah energi fonon individu: w2 frekuensi fonon tersebar sama dengan frekuensi w1 dari fonon. Hal ini juga menunjukan bahwa proses tabrakan tiga-fonon: (5.45) tidak akan membentuk keseimbangan, tetapi untuk alasan yang halus: momentum total dari gas fonon tidak diubah oleh tabrakan tersebut. Sebuah distribusi kesetimbangan fonon pada
22
suhu T dapat bergerak turun kristal dengan kecepatan yang tidak terganggu oleh tiga kolisi fonon dari bentuk (5.45). Untuk tabrakan tersebut momentum fonon : ∑
(5.46)
aalah kekal, karena tabrakan perubahan J adalah K3 — K2 — .K1 = 0. Dengan nK adalah jumlah foton memiliki faktor K. Untuk distribusi dengan J ≠ 0 , tabrakan seperti (45) tidak mampu membangun kesetimbangan termal lengkap karena J berubah.
Gambar 5.16a Aliran molekul gas dalam keadaan melayang keseimbangan bawah tabung terbuka panjang dengan dinding gesekan. Proses tumbukan elastis antara molekul gas tidak mengubah momentum atau energi fluks gas karena di setiap tabrakan kecepatan pusat massa partikel dan energi tetap tidak berubah. Dengan demikian energi diangkut dari kiri ke kanan tanpa didorong oleh gradien suhu. Oleh karena itu resistivitas termal adalah nol dan konduktivitas termal yang tak terbatas
Gambar 5.16b Definisi biasa konduktivitas termal dalam gas mengacu pada situasi di mana tidak ada aliran massa diijinkan. Berikut tabung ditutup di kedua ujungnya, mencegah masuk molekul. Dengan gradien suhu pasangan bertabrakan dengan atas rata-rata pusat massa akan cenderung diarahkan ke kanan, mereka dengan kecepatan di bawah rata-rata akan cenderung diarahkan ke kiri. Sebuah gradien konsentrasi sedikit, tinggi di sebelah kanan, dibentuk untuk mengaktifkan transportasi massal bersih menjadi nol memungkinkan transportasi energi bersih dari panas ke ujung dingin.
23
Gambar 5.16c
Dalam kristal kita dapat mengatur untuk membuat fonon terutama di salah satu ujung, seperti dengan menerangi ujung kiri dengan lampu. Dari tujuan itu akan ada fluks bersih fonon menuju ujung kanan kristal. Proses N
terjadi, fluks Fonon tidak berubah
dalam momentum tabrakan dan beberapa fluks Fonon akan bertahan di sepanjang kristal. Pada kedatangan fonon di ujung kanan kita bisa mengatur pada prinsipnya untuk mengubah sebagian besar energi terhadap radiasi, sehingga sama seperti dalam (a) resistivitas termal adalah nol.
Kita mulai distribusi fonon panas di batang dengan J ≠ 0 , distribusi akan merambat ke batang dengan J berubah. Oleh karena itu tidak ada perlawanan termal. Masalah seperti yang diilustrasikan pada Gambar. 5.16 adalah seperti itu dari tabrakan molekul gas dalam tabung lurus dengan dinding gesekan.
Gambar 5.16d Dalam proses U ada perubahan bersih besar dalam momentum fonon di setiap acara tabrakan. Sebuah fluks fonon bersih awal dengan cepat akan membusuk karena kita bergerak ke kanan. Ujung-ujung dapat bertindak sebagai sumber dan tenggelam. Transportasi energi bersih berdasarkan gradien suhu terjadi seperti pada (b).
24
Gambar 5.17
(a) normal K1 + K2 = K3, dan (b) dilipat K1 + K2 = K3 + G fonon proses tabrakan di kisi persegi dua dimensi. Di setiap gambar mewakili zona Brillouin pertama dalam ruang fonon K, zona ini berisi semua nilai independen mungkin dari wavevector fonon. Vektor K dengan panah di pusat zona mewakili fonon diserap dalam proses tabrakan, dengan panah dari pusat dari zona perwakilan fonon dipancarkan dalam tabrakan. Kita melihat dalam (b) bahwa dalam proses lipatan arah i-komponen fluks Fonon telah terbalik. Timbal balik kisi G vektor seperti yang ditunjukkan adalah panjang, 2π / a di mana a adalah kisi konstan kisi kristal, dan sejajar dengan K, sumbu. Untuk al! energi proses, N atau U. harus dilestarikan, sehingga w1 + w2 = w3.
5.13
Proses Umklapp (lipatan) Yang penting proses tiga-fonon yang menyebabkan resistivitas termal tidak dari
bentuk K1 + K2 = K3 di mana K adalah kekal, dengan bentuk
(5.47)
di mana G adalah vektor kisi resiprokal (Gambar. 5.17). Proses-proses ini, ditemukan oleh Peierls, yang disebut proses umklapp. Kita ingat bahwa G dapat terjadi pada semua hukum konservasi momentum dalam kristal. Dalam semua proses yang diizinkan bentuk (5.46) dan (5.47), energi kekal.
Kita telah melihat contoh-contoh dari proses interaksi gelombang dalam kristal yang perubahan faktor keseluruhan tidak perlu nol, mungkin menjadi vektor kisi resiprokal. Proses tersebut selalu mungkin dalam kisi periodik. Argumen ini sangat kuat untuk fonon: kebohongan hanya bermakna fonon K di zona Brillouin pertama, sehingga setiap K lagi diproduksi dalam tabrakan harus dibawa kembali ke zona pertama dengan penambahan G.
25
Sebuah tabrakan dua fonon baik dengan nilai negatif dari K, bisa oleh proses umklapp (G ≠ 0), membuat fonon dengan K positif. Proses umklapp juga disebut proses U. Tabrakan di mana G = 0 disebut proses normal atau proses N. Pada suhu tinggi T> θ semua mode fonon gembira karena kBT >hwmax. Sebagian besar semua tabrakan fonon maka akan 17 proses, dengan petugas perubahan momentum tinggi dalam tabrakan. Dalam rezim ini kita dapat memperkirakan resistivitas termal tanpa perbedaan tertentu antara IV dan proses U, oleh argumen sebelumnya tentang efek nonlinear kita berharap untuk menemukan kisi termal resistivitasx T pada suhu tinggi.
Energi fonon K1 K2 cocok untuk umklapp terjadi adalah urutan dari masing-masing fonon 1 dan 2 harus memiliki wavevectors dari urutan
, karena agar tabrakan
(5.47) ke mungkin. Jika kedua fonon memiliki K rendah, dan energi sehingga rendah, tidak ada cara untuk mendapatkan dari coDision mereka fonon dari faktor luar zona pertama. Proses umklapp harus melayani energi, seperti untuk proses normal. Pada suhu rendah jumlah fonon sesuai dari energi tinggi
dibutuhkan dapat diharapkan dapat bervariasi kasar
sebagai eksponen menurut faktor Boltzmann –
. Bentuk eksponensial dalam perjanjian
baik dengan eksperimen. Singkatnya, fonon berarti jalur bebas yang masuk pada persamaan (5.42) adalah jalan bebas rata-rata untuk umklapp tabrakan menjadi antara fonon dan tidak untuk semua tabrakan antara fonon.
5.14
Ketidaksempurnaan
Efek geometris juga penting dalam membatasi jalan bebas rata-rata. Kita harus mempertimbangkan hamburan oleh batas-batas kristal, distribusi massa isotop unsur-unsur kimia alami, kotoran kimia, kisi imperfections, dan struktur amorf.
Ketika pada suhu rendah rata-rata laju bebas menjadi sebanding dengan lebar benda uji, nilai dibatasi oleh lebar, dan konduktivitas termal menjadi fungsi dari dimensi spesimen. Efek ini ditemukan oleh de Haas dan Biermasz. Penurunan mendadak dalam konduktivitas termal kristal murni pada suhu rendah disebabkan oleh efek ukuran. Pada suhu rendah proses umklapp menjadi tidak efektif dalam membatasi konduktivitas termal, dan efek 26
ukuran menjadi dominan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 5.18. Orang akan berharap maka fonon mean free path akan konstanta dan urutan diameter D spesimen, sehingga K = ≈ CUD
(5.48)
Gambar 5.18 Konduktivitas termal dari kristal yang sangat dimurnikan sodium flouride, setelah II. E. Jackson, C. T. Walker, dan T. F. McNelly.
Gambar 5.19 Isotop efek pada conductioii termal di germanium, sebesar faktor tiga di konduktivitas maksimum. Spesimen diperkaya adalah 96 persen Ge74, alami germanium adalah 20 persen Ge ™, 27 persen Gera, 8 persen , 37 persen Ge74, dan 8 persen Ge73. Dibawah 5 K spesimen diperkaya memiliki K = 0,06 T3, yang setuju dengan baik dengan teori Casirnir untuk tahan panas yang disebabkan oleh hamburan batas. (Setelah T. H. Gebalie dan G. W. Hull.)
27
Istilah suhu pada sebelah kanan adalah C, kapasitas panas, yang bervariasi sebagai T3 pada suhu rendah. Kami berharap konduktivitas termal bervariasi sebagai T3 pada suhu rendah. Pengaruh Ukuran memasuki setiap kali fonon mean free path menjadi sebanding dengan diameter spesimen. Kristal Dielektrik mungkin memiliki konduktivitas termal setinggi logam. Syn-thetic safir (A12O3) memiliki salah satu nilai tertinggi konduktivitas hampir 200 W cm-1 K-1 at 30 K pada 30 K. maksimum konduktivitas termal di safir lebih besar dari maksimum 100 W cm1
K-1 di tembaga. Logam gallium, bagaimanapun, memiliki konduktivitas 845 W cm-1 K-1
pada 1,8 K. contri elektronik untuk konduktivitas termal dari logam diperlakukan dalam Bab 6. Secara tidak sempurna, kristal, distribusi isotop unsur kimia sering memberikan mekanisme penting untuk hamburan fonon. Distribusi acak massa isotop mengganggu periodisitas kepadatan seperti yang terlihat oleh gelombang elastis. Dalam beberapa hamburan zat fonon oleh isotop sebanding pentingnya dengan hamburan fonon oleh lainnya. Hasil untuk germanium ditunjukkan pada Gambar, 1.9. Konduktivitas termal ditingkatkan telah disajikan juga dalam silikon isotop murni dan berlian, yang terakhir memiliki perangkat penting sebagai penyerap panas untuk sumber laser.
28
