Pertes de Charges

Étude des pertes de charge régulières et singulières

ESSTIN MFE

ETUDE DES PERTES DE CHARGE REGULIERES ET SINGULIERES 1 Les objectifs


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L’écriture de l’équation 4 devient alors : ∗ Z Z 1 P ~ · ~n · dσ + 1 · ¯ ~ · ~n · dσ V · H(M )= · V2·V qv ρ·g Σ 2·g Σ Il est possible de réécrire l’équation 5, en apportant les simplifications suivantes :

Le but de la manipulation est de mettre en avant : – des mesures de pertes de charge régulières (ou linéaires) en régime permanent dans des conduites cylindriques rectilignes en fluide incompressible. – des mesures de pertes de charge singulières introduites dans une conduite par la présence de singularités correspondant toujours à un changement de direction des particules fluides et à une modification de la répartition des vitesses. De manière générale, les singularités peuvent être regroupées suivant deux types de classes : – organes simples : coudes, élargissement ou rétrécissement de sections, T, . . . , – organes complexes : vannes de réglage, clapets, échangeurs, filtres, . . .

– il est possible de retrouver la formule donnant le débit dans une section : Z ~ · ~n · dσ, V qv = – on introduit le coefficient d’énergie cinétique : Z 1 ~ · ~n · dσ α= · V2·V 3 ¯ S·V Σ

Par abus de langage des hydrauliciens, il est courant d’appeler charge, une grandeur moyenne dans une section définissant l’énergie du fluide en hauteur de fluide utilisé. La charge hydraulique locale H(M ) en un point M de l’écoulement est définie par : (1)

où H(M ) est exprimée en mètre [m]. Dans une section Σ, on définit la charge moyenne hydraulique H(M ) par : Z 1 ¯ ~ · ~n · dσ H(M )= · H(M ) · V qv Σ

(7)

D’où la réécriture de l’équation 5, sous la forme suivante : V¯ 2 P ¯ +α· +z H(M )= ρ·g 2·g

P V2 + +z ρ·g 2·g

(6)

Σ

2 Définition d’une charge

H(M ) =

(5)

(8)

Ainsi la valeur du coefficient d’énergie cinétique dépend du type d’écoulement que l’on considère. QUESTION 1 : Démontrer que α prend la valeur 1 dans le cas d’une conduite à section circulaire de rayon R pour un profil plat, V (r) = constante. QUESTION 2 : Démontrer que α prend la valeur 2 dans le cas d’une conduite à section circulaire A de rayon R pour un écoulement de type Poiseuille, V (r) = 4·µ · R2 − r 2 .

Dans le cas d’un régime d’écoulement turbulent, où les profils de vitesse sont définis par des 1/n = 1 − Rr , le coefficient d’énergie cinétique est très proche de 1. profils du type : uu(r) max

(2)

Il est rappelé que le débit volumique de la section q v au travers de la section Σ est défini par : Z ~ · ~n · dσ = S · V¯ V (3) qv = Σ

De manière générale, nous supposerons toujours que α = 1, ce qui nous permet de réécrire l’équation 8 sous la forme : P V¯ 2 ¯ H(M )= + +z (9) ρ·g 2·g

3 Calcul de pertes de charge

où S est la surface de la section Σ de la conduite et V¯ la vitesse moyenne débitante au travers de la section Σ.

Si un écoulement se produit sans frottement (viscosité du fluide négligeable), la charge du fluide ¯ = 0, théorème de Bernoulli. se conserve entre deux sections de la même conduite et nous avons : ∆ H

En introduisant la définition de la charge locale donnée par l’équation 1 dans l’équation 2, il vient : Z P 1 V2 ¯ ~ · ~n · dσ H(M )= + +z ·V (4) · qv Σ ρ · g 2 · g

En réalité, il existe des frottements à la paroi et au sein même du fluide, qui engendrent des déperditions énergétiques se traduisant par une chute de pression entre deux sections de la même conduite.

Si l’on suppose que les lignes de courant sont rectilignes et parallèles dans la section Σ, la pression motrice définie par P ∗ = P + ρ · g · z est constante en chaque point de section.

Année 2004 / 2005

1/10

Année 2004 / 2005

2/10


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3.1 Pertes de charge régulières La perte de charge régulière ∆Hr d’une conduite cylindrique dont les sections terminales S 1 et S2 sont distantes de la longueur L, s’exprime en tenant compte de l’expression : 2

∗ ∗ ¯1 − H ¯ 2 = P1 − P 2 + V1 − V 2 ∆Hr = H ρ·g 2·g

2

(10)


avec K le coefficient de perte de charge singulière. Quand la singularité est un rétrécissement ou un élargissement, la vitesse V à considérer est la vitesse maximale entre l’entrée et à la sortie de la singularité.

3.3 Détermination des pertes de charge d’un circuit hydraulique 3.3.1

En supposant que la conduite cylindrique est de section constante, ce qui correspond à V 1 = V 2 , il vient : P ∗ − P2∗ (11) ∆Hr = 1 ρ·g L’analyse dimensionnelle propose pour la perte de charge régulière, l’expression suivante :

Principe général

Soit un circuit hydraulique composé de N r tronçons de diamètre Di et de Ns singularités en série, la perte de charge totale est donnée par : ∆Htot =

Nr X

2

λi ·

i

2

∆Hr = λ ·

L V · D 2·g

(12)

– la géométrie de la conduite, nature de la section (circulaire, annulaire, . . . ), état de la surface défini par la rugosité relative /D, . . . – le régime de l’écoulement défini par le nombre de Reynolds Re D

2 Ns X Vj Li V i + · Kj · Di 2 · g 2·g

(17)

j

Dans l’exemple du tronçon de circuit ci dessous, la perte de charge totale s’exprimera sous la forme :

où λ est le coefficient de perte de charge régulière (ou encore appelé coefficient de Fanning), L la longueur de la conduite, D le diamètre de la conduite et V la vitesse débitante. Le coefficient λ de perte de charge régulière dépend de plusieurs paramètres :

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2

∆Htot = λ1 ·

2

2

L1 V 1 L3 V 3 V · · + K2 · 2 + λ3 · D1 2 · g 2·g D3 2 · g

(18)

où λ1 et λ3 sont respectivement les coefficients de pertes de charge régulières pour les sections S 1 et S3 , et K2 est le coefficient de perte de charge singulière pour l’élargissement progressif rencontré par le fluide. L1

L3

Dans le cas d’un régime laminaire, il est possible de déterminer des relations exactes pour le coefficient de perte de charge. Pour un écoulement :

λ=

64 ReD

V3

V1

– dans les conduites industrielles circulaires, où Re D < 2400, on utilise la formule de Poiseuille : (13)

– entre deux plans parallèles, il est courant d’utiliser : λ=

D1

96 ReD

F IG . 1 – Tronçon de circuit

Dans le cas d’un régime turbulent lisse, il est possible d’utiliser des corrélations de Blasius pour déterminer λ, pour ReD < 105 : −1/4

λ = 0,3164 · ReD

D3

(14)

= (100 · ReD )−1/4

(15)

Remarque : dans un circuit hydraulique fermé, la somme de toutes les pertes de charge doit égaler la somme des gains de charge (comme l’apport de charge par des pompes).

3.2 Pertes de charge singulières

3.3.2

Dans la plupart des circuits hydrauliques, de nombreux éléments font obstacles au fluide, diminuant sensiblement son énergie : ce sont les singularités présentes dans un circuit hydraulique.

Afin de faciliter les calculs en bureau d’études, les industriels ont introduit la notion de longueur équivalente de conduite. Les pertes de charge régulières et singulières sont converties pour déterminer la longueur équivalente Leq de conduite que créerait la même perte de charge. Par exemple, le longueur équivalente Leq d’une singularité, de coefficient de perte de charge K, est donnée par :

La perte de charge singulière ∆Hs d’un composant hydraulique peut être exprimée grâce à l’analyse dimensionnelle de la façon suivante :

Notion de longueur équivalente

2

2

¯1 − H ¯2 = K · ∆Hs = H Année 2004 / 2005

V 2·g

λ·

(16) 3/10

Année 2004 / 2005

2

Leq V V · =K· D 2·g 2·g

(19) 4/10


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donc, Leq = K ·

D λ

(20)


∆h14−15 = 1070, ∆h14−15 = 1000,

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∆h14−15 = 800, ∆h14−15 = 750,

∆h14−15 = 700

QUESTION 3 : A partir de la courbe d’étalonnage du diaphragme : déterminer les différents débits volumiques correspondants aux différentes hauteurs ∆h 14−15 . En déduire à partir de la conservation du débit, les vitesses moyennes V1 (pour les conduites de diamètre D1 ) et V2 (pour les conduites de diamètre D2 ). Calculer également les nombres de Reynolds basés sur les deux types de conduite.

4 Conduite de l’expérience 4.1 Description de l’installation Le circuit hydraulique est constitué de deux branches (Cf. le schéma de l’installation en Annexe). Dans cette étude, en gardant la vanne V 2 fermée et la vanne V1 ouverte, ces deux branches fonctionnent en série. Toutefois la branche de l’installation comprenant la pompe peut également être étudiée seule, ceci en ouvrant la vanne V2 et en fermant la vanne V1 .

QUESTION 4 : Déterminer les coefficients de perte de charge régulières relatifs aux deux types de conduites utilisées dans le circuit, λ 1 pour les conduites de diamètre D1 , λ2 pour les conduites de diamètre D2 . L’ensemble de vos résultats peuvent être recueillis dans le tableau suivant :

L’installation fait intervenir deux types de tuyaux de diamètres, D 1 = 26mm et D2 = 52mm. Ce circuit comporte également un diaphragme de diamètre d p = 15mm. La branche principale (où est située la pompe) comporte respectivement selon le sens de l’écoulement : – une pompe munie d’un wattmètre, – un diaphragme préalablement étalonné (Cf. courbe d’étalonnage), – deux coudes de rayon égal à 1,5 · D1 La branche secondaire comporte principalement : - une vanne V1 permettant de régler le débit dans le circuit, - un élargissement lent, - un rétrécissement brusque,

- un coude brusque de 90 degrés, - un coude de rayon égal à 1,5 · D1 , - un élargissement rapide, - un rétrécissement rapide

Vitesse V1 [m/s]

Nombre ReD1

Coeff. λ1

Vitesse V2 [m/s]

Nombre ReD2

Coeff. λ2

1000 800

700

De façon expérimentale, vous allez estimer la différence de pression en mesurant la différence de hauteur d’eau entre les deux prises de pression, soit : P1 − P2 V12 − V22 + ρ·g 2·g | {z }

Au cours de la manipulation, la lecture de la perte de charge régulière est directe, car il suffit de lire la différence de colonne d’eau entre les deux prises de pression situées en amont et aval de la conduite. En effet, en considérant que les deux prises de pression statique sont approximativement à la même altitude z1 = z2 , l’équation 11 peut s’écrire sous la forme, ∆Hr =

P1 − P 2 = h1 − h2 ρ·g

(22)

où h1 et h2 sont les hauteurs lues sur les tubes piézométriques.

4.3 Détermination des coefficients de pertes de charge singulières (21)

h1 −h2

4.2 Calculs préliminaires : détermination des coefficients de pertes de charge régulières

En supposant toujours que les altitudes des prises de pression sont communes (z 1 = z2 ), et que le régime de l’écoulement est turbulent dans toute la conduite, l’équation de la perte de charge pour une singularité s’écrit : 2 2 P1 − P 2 V1 − V 2 + (23) ∆Hs = ρ·g 2·g QUESTION 5 : Pour chaque débit volumique étudié, relevez les différences de hauteurs, que nous noterons ∆h3−4 , ∆h4−5 , ∆h5−6 , ∆h9−10 , ∆h10−11 , ∆h12−13 , ainsi que la puissance électrique absorbée par la pompe We .

Pour cette expérience nous allons travailler à partir de 5 régimes d’écoulement différents,

Année 2004 / 2005

Débit Qv [m3 /s]

750

Une prise de pression statique est placée à l’amont et à l’aval de chacune de ces singularités. Ces prises de pression sont généralement situées suffisamment loin des singularités pour que les perturbations soient amorties. Cette remarque ne s’applique pas au cas du diaphragme et aux prises de pression 7 et 8. Pour le diaphragme, la position des prises de pression est normalisée. Elles sont situées de part et d’autre du diaphragme dans les zones d’eau morte.

∆H =

Régime ∆h14−15 [mm] 1070

5/10

Année 2004 / 2005

6/10


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∆h14−15 = 1070 mm

PRECAUTIONS CONCERNANT LA MANIPULATION : – Toujours débuter le réglage du débit en gardant la vanne V 1 ouverte, – Toujours débuter le réglage du débit en commençant par la vitesse la plus lente de la pompe (loquet à droite), – Si les niveaux d’eau sont trop hauts et menacent de déborder (notamment la colonne notée 13), utilisez la poire pour augmenter la pression afin de diminuer la hauteur des niveaux d’eau. Attention, l’effet inverse existe : prenez soin que l’air ne rentre pas dans le circuit hydraulique (notamment la colonne notée 12), – Avant toute manipulation, prévenez votre enseignant afin qu’il valide votre manière de procéder. Vous pouvez regrouper l’ensemble de vos mesures dans un tableau de la forme de celui présenté ci-dessous : ∆h14−15 [mm] 1070

∆h3−4 [mm]

∆h4−5 [mm]

∆h5−6 [mm]

∆h9−10 [mm]

∆h10−11 [mm]

∆h12−13 [mm]

Puis. Elec. We

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∆h14−15 = 1000 mm

∆h14−15 = 800 mm

∆h14−15 = 750 mm

∆h14−15 = 700 mm

Elargissement lent 3−4 Rétrécissement lent 4−5 Coude droit 5−6 Elargissement brusque 9 − 10 Rétrécissement brusque 10 − 11 Diaphragme 14 − 15 Remarque : en ce qui concerne la détermination du coefficient de perte de charge singulière au niveau du diaphragme, il est nécessaire de calculer la vitesse au niveau du diaphragme, en utilisant la formule : S1 · V 1 = σ · V d (24) où σ est la surface du diaphragme. QUESTION 7 : Déterminer la hauteur nette H n et le rendement de la pompe pour les différents régimes d’écoulement. Remarque : de manière générale, il est possible d’écrire en écoulement permanent,

1000 800

−∆H =

W Ev − g g

(25)

où W est la puissance utile fournie par la pompe et E v est la puissance dissipée par viscosité. En présence d’une pompe, il est possible d’écrire :

750 700

Hn =

QUESTION 6 : En déduire les coefficients de pertes de charge singulières, et regroupez l’ensemble de vos résultats sous la forme du tableau suivant.

2 W Ev V12 = ∆H13−12 + = ∆h13−12 + λ · (L12 + L13 ) · g g 2·g·D

(26)

Ici, les pertes de charge singulières à l’entrée et à la sortie de la pompe sont négligées. Les longueurs des conduites sont indiquées sur le schéma de l’installation. Le rendement de la pompe est défini par : η=

ρ · g · H n · Qv Puissance électrique

(27)

Regroupez l’ensemble de vos résultats sous la forme d’un tableau suivant : ∆h14−15

1070mm

1000mm

800mm

750mm

700mm

Hauteur Nette [mm] Rendement [−] Conclusions de la manipulation et commentaires concernant le TP. Année 2004 / 2005

7/10

Année 2004 / 2005

8/10

2100 1800

Qv [l/h]

50 25

2400

1500 1200

119

600

61 54 28

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Äh [mm d’eau]

F IG . 3 – Courbe d’étalonnage du diaphragme

53

5

0

: conduite lisse D = 26mm

4 100

1

105 18

6

300

Courbe : R/D = 1,5

156

15 14

118 25 32

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2 80

51 15


900

52

8 7

: conduite lisse D = 52mm

3

80

87

13

11 10 9

40

V2

V1

Pompe

133

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36

12

44


F IG . 2 – Schéma global de l’installation, l’échelle n’étant pas conservée, les distances sont en CENTIMETRES

Année 2004 / 2005

9/10

Année 2004 / 2005

10/10

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