Pertes Dans Les Machines Tournantes

Pertes dans les machines tournantes

par Guy GRELLET Ingénieur de l’École Centrale de Lyon Docteur ès Sciences Professeur à l’Université Claude Bernard Lyon

Pertes Pertes dans dans les les circui circuits ts électr électrique iques s........................................ ................................................... ............ 1.1 Pertes Pertes norm normale aless en basse basse fréq fréquen uence ce ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 1.2 Pertes Pertes supplé supplément mentaire airess à fréquence fréquence élev élevée ée .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1.2.1 Cas des courants sinusoïdaux sinusoïdaux ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 1.2.2 Cas des courants courants non sinusoïdaux sinusoïdaux .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.2.3 Application aux courants courants induits des machines à courant continu..... continu .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... .... 1.3 Pertes Pertes supplémen supplémentaire tairess à fréquence fréquence fondame fondamentale ntale dans dans les les conducteurs parcourus par un courant alternatif .. alternatif .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.3.11 Origine 1.3. Origine ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .... 1.3.2 Pertes supplémentaires supplémentaires dues au flux principal .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1.3.3 Pertes supplémentaires supplémentaires dues aux flux de fuite .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 1.3.44 Résumé. 1.3. Résumé...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ....... 1.4 Pertes Pertes suppléme supplémentair ntaires es dues dues aux flux flux de fuite fuite harmon harmonique iquess et d’inclinaison dans les conducteurs rotoriques .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.4.1 Pertes dues aux flux différentiel différentiel de phase .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.4.2 Pertes dues au flux flux différentiel d’encoche d’encoche .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1.4.3 Pertes dues à l’inclinaison des des encoches et aux contacts barre-tôlerie...... barre-tôlerie........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... .... 1.5 Pertes Pertes par par chute chute de de tensio tension n aux bala balais is ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...

1.

D 3 450 - 2 — 2 — 3 — 3 — 3 —

3

— — — — —

4 4 5 5 10

— — —

10 10 10

— —

11 12

2.

Pert Pertes es dan dans s le circ circuit uit magn magnét étiqu ique e ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 2.1 Pertes Pertes par courants courants de de Foucault Foucault et par par hystérés hystérésis is .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 2.2 Paramè Paramètre tress et compl complexi exité té du calc calcul ul ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.3 Méthode Méthode analyti analytique que du du calcul calcul des perte pertess fer ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.3.1 Pertes fondamentales..... fondamentales ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ..... 2.3.2 Pertes dues aux harmoniques d’espace d’espace ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 2.3.3 Remarque générale concernant concernant les pertes fer supplémentaires .... 2.3.4 Pertes dues aux harmoniques de temps temps ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 2.3.5 Réduction des pertes fer ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ..... 2.4 Méthodes Méthodes numér numériques iques de calcul calcul des perte pertess fer .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 2.4.11 Générali 2.4. Généralités tés .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ....... 2.4.2 Modèle de Preisach-Néel .......... ............... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 2.4.3 Méthode de calcul des pertes. ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2.4.4 Critique de la méthode méthode de Preisach-Néel Preisach-Néel ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..

— — — — — — — — — — — — — —

12 12 13 14 14 17 21 21 21 22 22 22 25 25

............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... Pert ertes méca mécani niqu ques es .......... 3.1 3.1 Pert Pertes es par par fro frott ttem emen entt .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ... 3.1.1 Pertes par frottement frottement dans les paliers paliers ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... 3.1.2 Pertes par frottement dans dans les roulements .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 3.1.3 Pertes aérodynamiques .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... ..... 3.1.4 Pertes aux contacts balais-collecteur balais-collecteur et balais-bague .... ...... .... ....... ....... ...... ...... 3.2 3.2 Pert Pertes es par par vent ventil ilat atio ion n .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........ ...

— — — — — — —

25 25 25 26 27 28 28

............... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... Conclusion ..........

—

29

Références bibliographiques ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....

—

30

3.

4.

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploita tion du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique

D 3 450 − 1

PERTES DANS LES MACHINES TOURNANTES TOURNANTES ________________________________________________________________________________________________

es pertes d’une machine tournante peuvent être divisées en trois grands groupes. Par ordre d’importance usuelle décroissante, on peut distinguer la classification qui suit. Pertes dans les circuits électriques : ce sont les pertes par effet Joule dans dans les enroulements d’induit, d’excitation et, plus généralement, dans toutes les parties conductrices d’une machine traversées par des courants, y compris les balais. 

Pertes dans le circuit magnétique : elles sont appelées aussi pertes fer du du fait que les matériaux utilisés pour ce circuit sont, habituellement, à base de fer. fer. Ces pertes regroupent les pertes par hystérésis et et les pertes par courants de Foucault. Ces dernières correspondent à un déplacement des électrons libres du matériau sous l’effet d’une variation de flux magnétique, alors que les pertes par hystérésis correspondent à une modification locale du mouvement des électrons liés (au noyau), qui modifie l’orientation des moments magnétiques des atomes associés, sous l’effet de la variation de champ magnétique appliqué. 

Pertes mécaniques : ces pertes prennent en compte tous les frottements dus à la rotation de la partie tournante de la machine, que ce soit des frottements entre solides ou entre solide et fluide. Les pertes dues aux phénomènes principaux, en particulier celles qui correspondent aux courants et flux à fréquence fondamentale, sont appelées 

pertes normales.

Les pertes dues à tous les phénomènes parasites, en particulier celles qui correspondent aux flux de fuite, même à la fréquence fondamentale, et aux courants et flux aux fréquences harmoniques sont appelées pertes supplémen- taires. Selon les conditions d’existence du phénomène correspondant, ces pertes supplémentaires sont présentes à vide ou en charge. M. GRELLET tient à remercier M. LEBŒUF, LEBŒUF, maître de conférences à l’École Centrale de Lyon, et MM. FLAMAND et BOU-SAID, maîtres de conférences à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, pour leur aimable collaboration en ce qui concerne les pertes mécaniques. Cette nouvelle rédaction de l’article doit également beaucoup à la précédente rédigée par M. BELOT.

1. Pertes Pertes dans les circ circuit uits s électriques 1.1 Pertes normales en basse basse fréquence fréquence Tout conducteur de résistance R parcouru parcouru par un courant continu ou alternatif de valeur efficace I est le siège de pertes par effet Joule qui valent : P J = R I 2 En basse fréquence et pour les conducteurs de sections filiformes, la densité de courant est uniformément répartie dans toute la section du conducteur.

La résistance d’un enroulement, réalisé à l’aide de fils fins de résistivité ρ , de section nue s et constitué de N s spires en série, chacune de longueur moyenne moy et formant a voies voies en parallèle, vaut (à fréquence nulle) : R 0

=

N s a s

 moy

ρ -----------------------

(1)

La résistivité ρ doit doit être celle qui correspond à la température de fonctionnement θ 2 de l’enroulement selon la loi : ρ ( θ 2 )

=

1 + α θ 2 ρ ( θ 1 ) ---------------------1 + α θ 1

(2)

avec α coefficient caractéristique du matériau, ρ ( (θ 1) résist résistivi ivité té à la temp tempéra ératur turee θ 1 . Exem Exempl ple e : on a, à 0 oC :

— pour le cuivre classique classique : ρ (0) (0) = 1,72 · 10 –8 Ω · m et –3 –1 α = 4 · 10 K ; — pour l’aluminiu l’aluminium m : ρ (0) (0) = 2,67 · 10 –8 Ω · m et α = 4,2 · 10 –3 K –1.

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_______________________________________________________________________________________________ PERTES DANS LES MACHINES TOURNANTES

Conducteur à section rectangulaire plate : pour un tel conducteur, conducteur, lorsque la largeur est nettement supérieure à l’épaisseur h cd (figure 3), on introduit l’épaisseur réduite :

1.2 Pertes Pertes supplémentai supplémentaires res à fréquence élevée



1.2.1 Cas des courants sinusoïdaux

Lorsque le courant, qui parcourt un conducteur, est sinusoïdal à fréquence f élevée, élevée, la densité de courant dans une section droite du conducteur n’est plus uniforme (effet Kelvin). Cela est dû à l’action du flux propre interne du conducteur qui rejette le courant vers la périphérie de celui-ci. La résistance du conducteur se réduit à celle d’une couronne d’épaisseur δ e  , dite de peau, qui est définie par l’équation : δ e 

=

ρ

(3)

------------

f π µ f

avec µ = = µ 0 = 4π · 10 –7 H/m perméabilité égale à celle du vide pour les conducteurs non magnétiques habituels. Par rapport au fonctionnement en basse fréquence, il en résulte un accroissement de sa résistance et de son inductance et donc un accroissement des pertes Joule pour un même courant transporté. La résolution des équations de Maxwell conduit aux expressions simplifiées suivantes pour des conducteurs dans l’air. 

Conducteur à section circulaire de diamètre D 0 : on introduit le

diamètre réduit :

d =

D 0 4 δ e 

--------------

Si R 0 est la résistance du conducteur en courant continu, la résistance effective R est est donnée, de façon approchée : — si d < < 1, par :

R = R 0

— si d > > 1, par :

R

=

[1 + (d 4 /3)]

(4)

3 R 0 d + --1--- + -------------4 64 d





h cd

h cd r

(5)

Les variations correspondantes sont représentées sur la figure 1.

= ----------

δ e 

On obtient alors : R

=

( sh 2 h cd r + sin 2 h cd r ) R 0 -----------------------------------------------------------------( ch 2 h cd r – cos 2 h cd r )

(6)

Les variations correspondantes sont représentées sur la figure 1. P. Bunet, dans son ouvrage [38] [38],, donne des formules empiriques simplifiées pour un calcul rapide. On s’y reportera également pour des conducteurs de section de forme quelconque et, en particulier, pour les tubes. De même, le calcul de la résistance effective de conducteurs en parallèle à sections non jointives, qui ne peuvent plus être assimilés à un conducteur unique, y est développé. 

1.2.2 Cas des courants non non sinusoïdaux sinusoïdaux

Pour les courants alternatifs non sinusoïdaux, les conducteurs étant généralement des matériaux à caractéristiques linéaires, il suffit de calculer la résistance R ii correspondant à chaque fréquence f ii des termes de la série de Fourier composant le courant et d’additionner les pertes dues à chaque harmonique sous la forme : n

P J

=

∑

i = 1

2

R i I i

=

2

R 0 I 1

n

∑

i = 1

R i R 0

--------

I i 2

  ------

I1

=

P J1 K f

(7)

avec P J1 pertes dues au fondamental I 1 du courant, K f coefficient dû aux harmoniques (pour des courants en créneaux, K f est de l’ordre de 8 à 10 %). 1.2.3 Application aux courants courants induits induits des machines à courant continu

Dans les machines à courant continu, l’inversion du courant dans les encoches se produit au moment de la commutation de la section correspondante. Cette variation rapide du courant, d’une valeur positive à une valeur négative, est la cause de pertes supplémentaires en charge. Si l’on suppose la commutation linéaire, la courbe de variation du courant en fonction du temps a une forme trapézoïdale (figure 2).

Figure Figure 1 – Variat Variation ion de la résistance résistance effect effective ive réduite réduite en fonction du diamètre réduit, pour les conducteurs de section circulaire, et de l’épaisseur réduite, pour les conducteurs de section rectangulaire, dans l’air

Figure Figure 2 – Variat Variation ion du courant courant d’induit d’induit d’une d’une machine machine à courant continu avec commutation linéaire


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PERTES DANS LES MACHINES TOURNANTES ________________________________________________________________________________________________

La fréquence fondamentale (en Hz) du courant a pour valeur : f =

pN 60

longueur du paquet de tôles et s’expriment par l’expression :

1

---------- = -----

τ

P J SC

avec N (tr/min) (tr/min) vitess vitessee de la mach machine ine,, p nombre de paires de pôles, τ (s ( s) période du courant. On peut décomposer en série de Fourier la forme trapézoïdale du courant et calculer, pour chaque harmonique, la valeur des pertes supplémentaires. Introduisons, pour alléger l’écriture, l’angle β , tel que 2β représente la durée angulaire de la commutation ( t c étant le temps de commutation) : f t c 2 β = = 2 π f t t c β = π -----soit τ

On trouve pour valeur instantanée du courant d’une section : i s

avec

4 π

= -----

I

 sin

1 sin 3 β t + ----- ------------------- sin 3 ω t t + ... sin ω t β 3 3 β β

---------------



(8)

valeur du courant dans une section, ω pulsation fondamentale du courant instantané. Il faut tenir compte de ce que toutes les sections contenues dans une encoche ne sont pas commutées simultanément. Si n s est le nombre de sections par encoche, n e le nombre d’encoches, les courants dans les n s sections sont donc décalés les uns par rapport aux autres d’un angle : p 2 ψ = 2 π ----------------n e n s I

qui permet de calculer les coefficients de distribution. Le courant total déterminant le flux transversal à l’encoche prend donc la valeur : i =

sin β sin n ψ 4 n s I --------------- ----------------s-------- sin ω t t β n s sin ψ π

-----



1 sin 3 β sin 3 n s ψ -- ------------------- ----------------------------- sin 3 ω t t + ... + ---3 3 β 3 n s sin ψ



=

 moy

celle d’une spire, ces pertes

2L R 0 I 2 -------------- k  moy

et s’ajoutent aux pertes normales R 0 I 2.

1.3 Pertes supplémentaires supplémentaires à fréquence fondamentale dans les conducteurs parcourus par un courant alternatif 1.3.1 1.3.1 Origin Origine e

Un conducteur de machine électrique, logé dans une encoche, est traversé par les lignes d’induction et donc soumis à de nombreux flux, les uns à fréquence fondamentale, les autres à fréquences multiples du fondamental. Ces flux, comme le flux propre du conducteur, modifient, par la création de courants de Foucault parasites, la distribution résultante de la densité du courant en charge et provoquent une augmentation apparente de la résistance du conducteur et donc des pertes dissipées dans celui-ci. Si l’on ne regarde d’abord que les flux à fréquence fondamentale, on est en présence de deux flux dont les lignes d’induction correspondent à des trajets très différents (figure 3) : — le flux flux principal  P qui, dans l’encoche, intéresse pour une part la surface du conducteur située au voisinage de l’entrefer ; — le flux flux de fuite d’encoche  fe , qui concerne les surfaces latérales du conducteur. Les effets de ces deux flux peuvent être traités séparément, si l’on admet qu’il n’y a pas saturation du circuit magnétique. Il est évident a priori qu’une réduction des dimensions du conducteur amenuise ces courants parasites par diminution des sections offertes à ces flux.

(9)

Dreyfus [39] [39] a a mis sous une forme commode les pertes supplémentaires introduites par chacun des termes de i . En notant λ la hauteur réduite du conducteur, égale au rapport de l’épaisseur de celui-ci à l’épaisseur de peau, pour la fréquence fondamentale f , et en désignant par n le le nombre de conducteurs superposés dans l’encoche, le rapport k de de l’augmentation apparente ∆R de résistance, due aux pertes supplémentaires, à la résistance R 0 en courant continu, s’exprime par : k =

∆ R R 0

--------- =

0,42 n 2 λ 2 k c

(10)

k c étant un coefficient fonction de la durée de la commutation et égal à 1 si cette commutation est instantanée ( t c = 0). Dreyfus a trouvé pour k c l’expression : k c =

0,116 λ 2 0,13 λ 2 + 2 f t e

----------------------------------------

(11)

t e désignant la durée de commutation totale des n s sections contenues dans l’encoche. R 0 s’applique uniquement On remarquera que l’expression de ∆R / R aux parties des conducteurs logés dans l’encoche. La commutation introduit donc, dans les machines à courant continu, des pertes supplémentaires en charge P JSC . Si L est la Figure Figure 3 – Flux à fréque fréquence nce fondame fondamental ntale e dans une encoch encoche e

D 3 450 − 4

(12)



Nous n’indiquerons ici que les résultats des études correspondantes, assez longues, et qui sont déduits de l’intégration des équations de Maxwell en deux dimensions sur une section d’encoche. La bibliographie indiquée permettra au lecteur de retourner aux sources pour les détails ou la reprise d’hypothèses. 1.3.2 Pertes supplémentaires supplémentaires dues au flux flux principal  Oberretl [28] [28] a a été conduit à exprimer, avec les notations de la figure 3, ces pertes parasites dans les conducteurs logés dans des encoches par la formule :

P P

=

2

2

2

2 3 ⋅ 10 5 n e B ε 1 max max t d b 1 σ C P L f

(13)

c 1 = 1,22 pour des rapports b 1 / c b 1 / h cd = 7,35

et

b 1 / h 1 = 4,4

avec b 1 c 1 h1 h2

largeur d’encoche, largeur du conducteur nu, hauteur de la cale d’encoche, hauteur d’encoche au-dessus du conducteur de tête d’encoche, h cd épaisseur du conducteur élémentaire nu, B ε 1 max valeur maximale du fondamental de l’induction B ε , dans l’entrefer ε , C P (F) capaci capacité té pour pour le calc calcul ul des des pert pertes es par par cour courant antss de Foucault, L longueur de fer de la machine, n e nombre d’encoches de l’armature considérée, t d pas dentaire, ε entrefer simple, conductiv tivité ité du cond conduct ucteur eur.. σ (s/m) conduc 2 La valeur C P (en F) de la capacité, fonction du produit b 1 σ f , est t d = 0,5 et pour un déduite des courbes de la figure 4 pour b 1 / t conducteur par largeur d’encoche, pour diverses valeurs des rapports b 1 / ε et b 1 / h 2 ; pour d’autres valeurs de b 1 / t d ou deux conducteurs par largeur d’encoche, on se reportera aux références bibliographiques. — Ces pertes supplémentaires supplémentaires atteignent atteignent généralement généralement 10 %, au plus, des pertes normales dans les conducteurs lorsque les encoches ouvertes contiennent un seul conducteur par largeur d’encoche, si l’on respecte un rapport b 1 / h 2  3 , ce qui est courant. — Lorsqu Lorsqu’il ’il y a deux conducteurs par largeur d’encoche, comme pour les barres Rœbel, ces pertes sont négligeables. On remarque que l’épaisseur des conducteurs n’a pas d’influence sur ces pertes.

Figu Figure re 4 – Capa Capaci cité té C P pour le calcul des pertes par courants de Foucault dues au flux principal

c 1 est différent de 1,22, C P doit être multiplié par Si le rapport b 1 / c le coefficient de correction k ′ donné par la figure 5. 

t d autres que 0,5, on peut interpoler la Pour des valeurs de b 1 / t valeur de C P selon une loi de la forme : 

C P

=

C a

b 1

 t  --------

d

2 +

C b

b 1

 t 

Figure Figure 5 – Coefficie Coefficient nt de de corre correctio ction n k ′ fonction de l’épaisseur l’épaisseur d’isolant d’encoche

3

--------

d

1.3.3 Pertes supplémentaires supplémentaires dues aux flux flux de fuite 1.3.3.1 1.3.3.1 Conducteur Conducteur élémentaire élémentaire rectangulaire rectangulaire dans une encoche (effet Field) 1.3.3. 1.3.3.1.1 1.1 Génér Générali alités tés

Les calculs supposent essentiellement : — que la perméabilité perméabilité du fer est infinie (lignes d’induction d’induction du flux de fuite normales aux parois de l’encoche et champ nul dans le fer) ; — que la température température des conducteurs est est uniforme ; — que les pertes supplémentaires supplémentaires sont limitées limitées à la partie des des conducteurs située dans l’encoche ; — enfin, que les courants courants parasites radiaux radiaux aux extrémités extrémités du brin produisent des pertes négligeables.

Considérons une encoche où la hauteur h c du conducteur AB (figure 6) est subdivisée en brins élémentaires isolés les uns des autres ; nous négligeons les épaisseurs d’isolant vis-à-vis de celles du cuivre.


D 3 450 − 5


 Le théorème d’Ampère, appliqué au contour Γ , donne le champ (x ) dans le cuivre à la hauteur x magnétique, dont le module H (

s’écrit :

H ( x )

avec

ture avec I puisque I produit le flux de fuite Φ f (x ), lui-même origine de E ( (x ) ; le diagramme vectoriel se réduirait aux triangles OAB et OAC (figure 9), où :

x hc

2

I

- -------= --------------

b 1

Si ces trajets étaient étaient uniquement résistants , i F serait en quadra-

valeur efficace du courant, supposé sinusoïdal, dans le conducteur. Ce champ, qui correspond au flux de fuite, varie donc linéairement avec x . Soit une section du conducteur, de hauteur d x , entourant le point P , d’ordonnée x . Le flux qui agit sur cette section est le flux Φ PB (x ) à travers l’encoche au-dessus du point P, entre P et B. Désignons par H B le champ en B. Le flux considéré s’écrit, pour une longueur unité de conducteur : I

Φ PB ( x )

=



hcd

x

µ 0 H P ( x ) d x

=

x -H B ------hc

I

O B et O C en phase avec E ( x ) , figurent les courants i F d’aller et retour. retour. Les courants résultants

I1

et

I2

seraient égaux et d’ailleurs

peu différents de I , la densité de courant aurait pratiquement la même valeur en tous les points d’une section droite du conducteur. En réalité, les trajets considérés présentent une certaine réac-

mités B ′ et C ′ des vecteurs – i F ( x ) et + i F ( x ) se déplacent donc sur les demi-cercles de diamètre OB et OC. Les courants résultants

2 x b 1 h c

- -------= --------------

I 1′

( x ) = AB ′ et I 2′ ( x ) = AC ′ deviennent alors différents, ce qui crée une forte augmentation des pertes.

La valeur de Φ PB (x ) s’écrit donc : Φ PB ( x )

I

=

tance, introduisant un déphasage Ψ de i F ( x ) sur E ( x ) . Les extré-

Or, on a : H P ( x )

AO

x 2 I 2 1 µ 0 --------------- h c – -------b 1 hc 2



= -----



Ce résultat se retrouve également en remarquant que le flux considéré correspond (toujours pour l’unité de longueur) à l’aire du trapèze PP ′ B ′ B (figure 6).  Le flux Φ PB (x ) induit, dans le conducteur lui-même, une force électromotrice (fém) déphasée de π /2 par rapport à lui et, par

conséquent, sur le courant qui lui donne naissance. Cette fém a pour valeur efficace : E ( x )

1 ω Φ PB ( x ) 2

= -----------

x 2 I 1 µ 0 ω ------ h c – -------b 1 hc 2

= -----





(14)

E ( (x ) varie donc paraboliquement en fonction de x (figure (figure 7). La parabole donne la distribution de la force électromotrice dans le cas d’un conducteur massif. En réalité, du fait de la subdivision du conducteur, la différence de potentiel (ddp) entre bords extrêmes des divers éléments correspond à la courbe en escalier.

Figur Figure e 7 – Varia Variatio tion n de la fém fém E dans E dans une encoche

On voit aussi que la ddp par brin croît depuis le fond de l’encoche jusqu’à son bord, chacune de ces ddp élémentaires faisant circuler 

dans le conducteur les courants de Foucault i F représentés sur la figure 8 et qui, pendant la plus grande partie de leur trajet, sont parallèles au courant de charge retours aux extrémités).

I

Figure Figure 8 – Circulat Circulation ion des courants courants de Foucaul Foucaultt dans un conducteur conducteur

(nous négligerons donc les

Figure Figure 9 – Compositio Composition n du couran courantt de charg charge e I Figure Figure 6 – Variat Variation ion du champ champ magné magnétique tique H dans dans une encoche

D 3 450 − 6

et des courants de Foucault i F



La densité de courant est beaucoup plus élevée au voisinage de l’entrefer. L’étude complète [18] [18] montre que les densités de courant J (x ), en fonction de la distance x au fond de l’encoche, a , dans le cas d’un seul 10a présentent l’allure indiquée, sur la figure 10 b , dans celui, usuel, 10b conducteur dans l’encoche et, sur la figure 10 de deux conducteurs superposés, J0 représentant la densité de courant dans le cas d’une répartition uniforme. De plus, les courants en divers points des conducteurs ne sont pas en phase. On peut donc dire que ces pertes supplémentaires sont produites par la non-uniformité, en grandeur et en phase, de la densité de courant, dans les différents filets longitudinaux du conducteur. Les considérations précédentes montrent bien que les pertes supplémentaires dans un conducteur augmentent avec la hauteur de ce dernier. On les réduit en diminuant cette hauteur par subdivision du conducteur en brins élémentaires isolés les uns des autres.

Cette épaisseur de peau permet alors de calculer la hauteur réduite du conducteur, soit : h cd λ =

• Θ le déphasage entre I et I m . Emde [19] [19] montre montre alors que la valeur particulière de K , pour le conducteur m , s’écrit :

On peut exprimer les pertes Joule totales de la partie d’un conducteur située dans les encoches sous la forme : (15)

avec r S résistance fictive correspondant aux pertes supplémentaires r S I 2, K coefficient d’augmentation des pertes supérieur à 1 (sans précautions spéciales, K pourrait dépasser 10 dans de grandes machines). Le calcul de K a tout d’abord été effectué par Field [18] [18],, puis repris par Emde [19] [19],, Roth [20] [21] [21] et Dreyfus [22] . Nous nous contenterons de rappeler les résultats trouvés par ces auteurs. L’épaisseur de peau, due au flux de fuite, d’un tel conducteur, dans une encoche, a pour valeur, dans le système SI : δ cd

avec b 1 c 1 h cd ′ h cd

=

b 1 h cd 2 ρ c 1 h cd ′ ω µ 0

--------- ------------ --------------

(16)

largeur d’encoche, largeur d’un conducteur élémentaire, épaisseur d’un conducteur élémentaire (nu), épaisseur d’un conducteur élémentaire isolé.

δ cd

Comme on vient de le voir, les pertes supplémentaires dépendent du rang occupé par le conducteur élémentaire considéré, compté à partir du fond de l’encoche (figure 7). Supposons qu’il y ait ainsi n conducteurs conducteurs élémentaires (ou n couches couches de conducteurs) superposés dans l’encoche et soit : • I la valeur efficace du courant, somme géométrique des courants circulant dans les ( m – 1) conducteurs situés au-dessous de m ; • Im la valeur efficace du courant traversant le conducteur m ; • m le rang d’un des conducteurs ;

K m



K R 0 I 2 (R 0 + r S ) I 2 = K R

(17)

----------

=

A ( λ ) +

  I

--------

Im

2

I Im

+ --------

cos Θ B ( λ )

(18)

en posant : A ( λ )

et

B ( λ )

sh 2 λ sin 2 λ ch 2 λ cos 2 λ sh λ – sin λ 2 λ ---------------------------------ch λ + cos λ

+ = ------------------------------------------–

=

      

(19)

Les valeurs de ces deux fonctions sont données par les courbes de la figure 11. Pour des valeurs de λ comprises comprises entre 0 et 1, on peut remplacer ces fonctions par les premiers termes de leur développement en série : 4 A ( λ ) = 1 + ---4----- λ 4 et B ( λ ) = -λ -----45 3 Dans le cas général, on peut donc calculer le coefficient K m pour chaque couche de conducteurs et par conséquent trouver les pertes 2 totales (Joule et supplémentaires) en ajoutant les termes K m r m I m ainsi déterminés ( r m représentant la résistance en courant continu du conducteur ou de la couche de rang m ). Mais les choses se simplifient dans les cas usuels.

Figure Figure 10 – Répartit Répartition ion de la densité densité de courant courant dans une encoche encoche


D 3 450 − 7


Figure Figure 11 11 – Variat Variation ion des des fonctions fonctions A (  ) et B (  )

1.3.3.1.2 Cas d’un d’un conducteur conducteur unique à section rectangulaire  L’expression de K [relation [relation (18) (18)]] se simplifie, dans ce cas, et devient égale à A (λ ), ), avec [d’après (16) et (17) (17)]] :

ω µ 0 c 1 2 ρ b 1

λ = h cd

--------------------

Figure Figure 12 – Géométrie Géométrie d’encoche d’encoche en en L et T inversé inversé

Dans le cas d’un conducteur en L ou en T inversé, logé dans une encoche de rotor, l’expression de K se se complique. Avec la géométrie donnée sur la figure 12 et si l’on admet : 

c 1 b 1

-------- =

c 2 b 2

C’est notamment le cas d’un enroulement triphasé avec pas diamétral, tous les conducteurs d’une encoche appartenant à la même phase ; on a alors Θ = = 0 ; de plus :

--------

on pose : =

β 1

= --------

ξ = h c

a =

I =

h2 -------h1

α1

b 1 b 2

K m = A (λ ) + m (m – 1) B ( (λ ) A (λ ) et B ( (λ ) étant toujours donnés par les expressions (19) (19).. En faisant la sommation pour les n couches couches de conducteurs de l’encoche, on calcule le coefficient moyen pour l’ensemble des conducteurs :

ω µ 0 c 1 2 ρ b 1

------------- --------

2 ξ 1 α1

----------------+

K moy

On obtient, alors, l’expression [23] :

( α1 + β 1 ) ξ F ( 1 α 1 ) β 1

-----------------------------+

(20)

avec : 2  β 1 ( ch c + F

=

(m – 1) Im

puisque chaque conducteur est parcouru par le même courant ; la relation (18) (18) devient devient donc :

c = = a α1

K =

1.3.3.1.3 Cas où les les courants dans tous tous les conducteurs conducteurs d’une même encoche sont en phase

cos c ) ( sh a + sin a ) + 2 β 1 ( sh c ch a + sin c cos a ) + ( ch c – cos c ) ( sh a – sin a ) 

=

=

1 ----n

m = n

∑

[ A ( λ ) + m ( m – 1 ) B ( λ ) ]

m=1

n 2 1 A ( λ ) + ----------–-------- B ( λ ) 3

(21)

Il suffit alors d’affecter du coefficient K moy la résistance de toute la partie des conducteurs située dans les encoches pour trouver facilement les pertes correspondantes. Il reste encore à ajouter à celles-ci les pertes dans les têtes de bobine (§ 1.3.3.2). 1.3.3.2) .

2

 β 1 ( ch c + cos c ) ( ch a – cos a ) + 2 β 1 ( sh c sh a + sin c sin a ) + ( ch c – cos c ) ( ch a + cos a ) 

D 3 450 − 8

        



1.3.3.1. 1.3.3.1.4 4 Cas des enroulem enroulements ents triphasé triphasés s à deux étages avec pas raccourci

On sait que, dans cette disposition, les deux étages de conducteurs peuvent appartenir à des phases différentes. Dans le calcul de K m il faut faire Θ = 2 π /3 pour les conducteurs de l’étage inférieur. Un calcul analogue au précédent conduit, alors, à une valeur moyenne pour l’encoche : 13 n 2 16 K moy = A ( λ ) + -----------------–----------- B ( λ ) (22) 48 Le reste du calcul est identique à celui effectué dans le cas précédent. 1.3.3.1.5 Hauteur critique d’un conducteur conducteur

Dans ces enroulements parcourus par des courants alternatifs, la réduction des pertes totales ne peut s’obtenir en augmentant, sans précautions spéciales, la section des conducteurs. En effet, la largeur des encoches limitant celle des barres utilisées, on serait conduit à accroître la hauteur de ces barres. Or, l’expression l’expression (18) et (18) et les courbes de la figure 11 montrent qu’alors les pertes supplémentaires augmenteraient augmenteraient rapidement avec la hauteur réduite λ . Dans l’expression (15) (15) des des pertes, l’augmentation de la hauteur hcd diminuerait R 0 , mais accroîtrait r S . On conçoit que les pertes supplémentaires passent, alors, par un minimum pour une hauteur déterminée du conducteur h C appelée hauteur critique. Elle est évidemment fonction de δ cd [relation (16) (16)]], c’est-à-dire des dimensions du conducteur, de sa résistivité et de la largeur de l’encoche, mais aussi de la place de ce conducteur dans l’encoche ; la hauteur critique est plus faible au voisinage de l’entrefer. En réalité, on prend la même hauteur pour tous les conducteurs. On démontre [8] [8] que que si λ C représente la hauteur critique réduite du conducteur, c’est-à-dire celle conduisant aux pertes minimales pour l’ensemble des n conducteurs d’une encoche, on a une relation de la forme : ch λ + cos λ n 2 1 (23) f ( λ C ) = ----------------C------------------------C----2---- = ----------–-------3 ( ch λ C – cos λ C ) La fonction f (λ C) est représentée par la courbe de la figure 13. Connaissant n , on peut ainsi en déduire la hauteur critique h C . 1.3.3.1.6 Pertes supplémentaires supplémentaires par courants de circulation entre conducteurs conducteurs élémentaires

Dans le calcul précédent (§ 1.3.3.1.1 1.3.3.1.1,, 1.3.3.1.2 1.3.3.1.2,, 1.3.3.1.3 1.3.3.1.3,, 1.3.3.1.4 et 1.3.3.1.5 1.3.3.1.5), ), nous avons supposé que chaque conducteur élémentaire est placé en série avec les autres. C’est le cas lorsque le courant circulant dans la machine est suffisamment faible pour que l’on puisse utiliser un seul conducteur de section réduite pour constituer un côté de spire. Supposons, au contraire, que la section de cuivre soit telle qu’elle conduirait à des conducteurs de grande hauteur. Nous venons de voir que cela entraînerait des pertes prohibitives. On subdivise alors chaque conducteur en un grand nombre de brins élémentaires isolés les uns des autres, réunis cette fois en parallèle. Mais, si l’on opérait une mise en parallèle simple, à chaque extrémité de l’encoche par exemple, cela ne servirait à rien de subdiviser le conducteur. Les forces électromotrices (fém) induites, différentes pour chaque brin, créeraient des courants de circulation entre eux, d’où des pertes supplémentaires très sensiblement identiques à celles produites dans la barre massive équivalente. C’est pourquoi on n’effectue la mise en parallèle à chaque extrémité de l’enroulement qu’après avoir permuté entre eux les conducteurs. Dans les machines peu puissantes, on se contente de réaliser un croisement à l’intérieur des têtes de bobines (figure 14). D’autres procédés ont aussi été décrits dans la littérature [18] [19] [20] [21] [22].. [22]

Dans les grandes machines, on effectue une permutation à l’intérieur même de l’encoche. Pour cela, chaque conducteur (c’est-à-dire chaque spire) est subdivisé en 2 n lamelles élémentaires disposées en deux colonnes dans l’encoche. On obtient ainsi la barre Rœbel (figure 15) universellement utilisée. D’une façon générale, les pertes Joule globales ont alors pour valeur : ′ ) R 0 I 2 pertes Joule globales = ( K moy + K moy K moy représentant le coefficient d’augmentation des pertes, calculé pour chaque lamelle individuelle ; par la relation (18) (18) pour K moy ′ correspondant aux pertes dues aux courants de circulation entre lamelles ; il faut donc le calculer.

′ Dans le cas des barres Rœbel, K moy = 0 puisque, par le jeu des permutations, chaque portion de lamelle occupe dans l’encoche toutes les places possibles ; les fém induites dans les lamelles sur toute la longueur d’une encoche n’entraînent aucun courant de circulation. 

Figure Figure 13 – Hauteur Hauteur critiq critique ue des conducteu conducteurs rs en fonction du nombre de conducteurs dans l’encoche

Figure Figure 14 – Croisemen Croisementt des conducteur conducteurs s dans les têtes têtes de bobines bobines

Figure Figure 15 15 – Géométrie Géométrie d’une barre barre Rœbel Rœbel


D 3 450 − 9


Cependant, la relation (21) doit être modifiée et devient : K moy

=

4 n 2 1 A ( λ ) + ---------------–-------- B ( λ ) 3

Dans le cas de croisement des lamelles dans la tête de bobine, les phénomènes sont plus compliqués. On peut montrer [20] [21] que le terme complémentaire K moy ′ se réduit à : 

′ K moy

=

A ( λ ′ ) – 1

où λ ′ représente une hauteur réduite obtenue en prenant n fois fois la hauteur d’une des lamelles pour valeur de h C . Enfin, dans le cas général, avec des transpositions quelconques, ′ en calculant la valeur des fém induites dans il faut déterminer K moy les divers circuits élémentaires et en déduire les courants de circulation.

1.4 Pertes supplémentaires supplémentaires dues dues aux flux de fuite harmoniques et d’inclinaison dans les conducteurs rotoriques Les discontinuités géométriques d’une machine au niveau de l’entrefer créent des flux de fuite harmoniques de phase et d’encoche (§ 2.3.2) qui 2.3.2) qui engendrent des pertes dans les conducteurs rotoriques des machines asynchrones dont l’entrefer est particulièrement faible. Ces harmoniques sont appelés harmoniques d’espace. 1.4.1 Pertes dues au au flux différentiel différentiel de phase phase



1.3.3. 1.3.3.2 2 Têtes Têtes de bobine bobine

Tout ce qui vient d’être dit au paragraphe 1.3.3.1 concerne uniquement la partie des conducteurs située dans les encoches, puisque les pertes supplémentaires calculées correspondent au flux de fuite d’encoche. Il est bien certain que les têtes de bobines, placées dans le flux de fuite d’extrémité de la machine, sont le siège de pertes, qui peuvent être très élevées dans les grands turboalternateurs. Or le flux aux extrémités de la machine a une allure complexe qui rend extrêmement difficile un calcul précis. Les méthodes actuellement en usage sont empiriques et peu convaincantes, et l’on recherche encore des procédés d’analyse donnant des résultats corrects. Nous ne nous arrêterons donc pas à ces pertes ; signalons seulement qu’une des meilleures méthodes consiste à extrapoler des résultats d’essais sur machines construites.

Le fait que le nombre de phases soit fini entraîne une distribution de la force magnétomotrice (fmm) dans l’entrefer qui diffère de la répartition sinusoïdale (figure 32), celle-ci supposant un nombre infini de phases et d’encoches par phase. A cet écart correspond un flux différentiel de phase qui engendre des pertes, non négligeables dans les rotors à cage [25] [26] [27] [29] [30] [33] [37] [37],, de la forme : P dp

avec q I

R 2′ K i k di

q I 2 R 2′

= ----------------------

2 k d1

∑i K i k d2i

(24)

nombre de phases du stator, courant du stator par phase, résistance en continu d’une phase du rotor, rotor, ramenée au stator, coefficient d’augmentation des pertes dues à l’effet pelliculaire pour l’harmonique d’espace de rang i (de l’ordre de 1 à 2 %), coefficient de distribution du stator pour l’harmonique de rang i (de l’ordre de 3 à 4 %).

1.3.4 1.3.4 Résumé Résumé

1.4.2 Pertes dues au au flux différentiel différentiel d’encoche d’encoche

En pratique, on traite toutes ces pertes Joule supplémentaires de la façon suivante : tout d’abord, dans le but de les réduire, on subdivise, s’il y a lieu, le conducteur en lamelles de hauteur variable faible (3 à 3,5 mm au maximum) ou en fils ronds (diamètre inférieur à 3,0 ou 3,5 mm) isolés les uns des autres. On calcule ensuite le coefficient K pour pour les conducteurs individuels à l’aide des formules indiquées. En général, on se contente de déterminer K moy moy , coefficient moyen. Puis, s’il y a lieu, c’est-à-dire dans le cas de lamelles en parallèle, on calcule le terme complémentaire K moy ′ dû aux courants de circulation. Si R e est la partie de la résistance en courant continu d’un enroulement situé dans l’encoche, on a :

Le fait que le nombre d’encoches par phase soit fini entraîne une distribution de la fmm dans l’entrefer qui s’écarte de la répartition précédente (figure 33). Le nombre fini de phases entraîne la création d’un flux différentiel d’encoche (appelé aussi zigzag) qui engendre des pertes qui s’expriment de façon analogue aux précédentes par la relation : P de = q I 2 R ′2 K i C (25)

pertes Joule totales dans les encoches

=

( K moy + K moy ′ ) R e I 2

R e étant bien entendu déterminé pour la température convenable du matériau. On ajoute, d’une part, les pertes calculées au paragraphe 1.3.2 et, d’autre part, les pertes normales dans les têtes de bobine, si l’on ne les a pas déjà déterminées (§ 1.1), 1.1), majorées, si l’on dispose d’un modèle connu, des pertes supplémentaires dans cette partie de la machine.

où le coefficient C remplace les coefficients de distribution de la formule (24) (24).. En fait, les harmoniques en présence sont ceux de perméance (§ 2.3.2.1) et 2.3.2.1) et ceux de fmm zigzag proprement dits. Les pertes créées par les harmoniques de perméance ne dépendent pas de la charge et entrent dans le calcul des pertes à vide pour la valeur I0 du courant à vide de la machine et pour une valeur C 0 de C fonction fonction du nombre d’encoches par pôle n e2 / 2p au au rotor et n e1 /2 p au au stator et du rapport de l’ouverture b des des encoches statoriques à l’entrefer simple ε . Alger [25] a déterminé ces rapports dont la variation est donnée sur la figure 16 pour le cas de 12 encoches par pôle au stator. 

Les harmoniques de fmm sont fonction de la charge et sont donc calculés pour le courant de charge I. Le coefficient C n’est, n’est, alors, plus fonction que des nombres d’encoches par pôle et correspond aux pertes dues aux harmoniques principaux de rang : 

n i =

D 3 450 − 10

n e1 ±1 p

-----------



Sa valeur C C , pour le cas particulier précédent, de 12 encoches par pôle au stator est portée en tiretés sur la figure 16.  Les pertes dues au flux zigzag et aux variations de perméance s’écrivent : 2 2 (26) P d e = q K i moy i moy R ′2 ( C 0 I 0 + C C I )

K i moy étant la valeur moyenne des coefficients correspondant aux fréquences harmoniques de rang n i .

L’intérêt d’annuler C 0 et C C , pour n e1 = n e2 , correspondant à des coefficients de distribution nuls, est contrebalancé par l’augmentation du bruit et l’apparition de couples de maintien de perméance qui peuvent rendre le démarrage difficile. Ces pertes peuvent être réduites par l’emploi de cales magnétiques d’encoche qui diminuent les modulations de flux de denture.

1.4.3 Pertes dues à l’inclinaison des encoches et aux contacts barre-tôlerie

Pour réduire le bruit et les couples parasites dus aux variations de perméance d’entrefer, on incline parfois les encoches du rotor d’un ou plusieurs pas dentaires. Cette technique n’est intéressante que pour les moteurs de faible puissance (< 15 kW) en raison des pertes supplémentaires qu’elle entraîne, dues aux différences de potentiel (ddp) harmoniques qui apparaissent entre les barreaux et au défaut d’isolement de ceux-ci par rapport aux tôles magnétiques. De nombreux auteurs ont étudié ces pertes et donné des formules utilisables dans la plupart des cas pratiques usuels. La complexité de leurs expressions nous fait renvoyer le lecteur à leurs publications [31] [32] [34] [36] [36].. On peut cependant en extraire les principales conclusions, à savoir que l’impédance transversale entre barreaux est réductible à une résistance pure et que l’influence de la partie fer est négligeable vis-à-vis de la résistance de contact barre-tôle. La valeur de cette résistance R T est assez fortement variable en valeur absolue et elle est proportionnelle à la racine c arrée de la fréquence de l’harmonique considéré. Lorsque la résistance de contact est faible, il se produit une modification apparente de l’inclinaison des barreaux qui accroît fortement les pertes avec cette résistance, ce qui conduit à un effet contraire à celui recherché par l’inclinaison. La figure 17 montre, pour une machine donnée, l’allure de la variation de ces pertes en fonction de la résistance de contact R T pour diverses inclinaisons. Il est clair que, selon la valeur de cette résistance, on a plus ou moins intérêt à incliner les encoches du rotor par rapport à celles du stator.

Figur Figure e 16 – Coeffic Coefficie ients nts C 0 et C C en fonction de la géométrie pour n e1 /2p /2 p = = 12 encoches par pôle au stator Figure Figure 17 – Pertes Pertes dues au au contact contact conducte conducteurur-tôle tôle,, en fonction de la résistance de contact R T , pour divers valeurs de l’inclinaison l’inclinaison  ′ en pas dentaire


D 3 450 − 11


La figure 18 donne, pour une inclinaison α′ = 0,8 pas dentaire statorique, l’influence du nombre des encoches du rotor pour un nombre d’encoches du stator donné. Il apparaît donc un optimum de l’inclinaison et de ce rapport pour minimiser ces pertes. Il est aussi logique de chercher à isoler parfaitement les barreaux des tôles. En fait, il suffit de les isoler dans leur partie supérieure et sur une hauteur égale à l’épaisseur de peau des harmoniques de plus grande amplitude.

1.5 Pertes par par chute de tension tension aux balais balais Elles varient suivant la nature des balais. Si U b est la chute de tension au contact pour une ligne de balais, on a immédiatement : P b = 2 U b I

(27)

en courant continu et en monophasé, et : P b = q U q U b I

Notons que les fabricants de balais donnent fréquemment la chute de tension globale pour le balai positif et le balai négatif, cette chute de tension étant légèrement différente pour les deux balais. Cette valeur globale remplace alors 2 U b dans la relation (27) (27)..

2. Perte Pertes s dans dans le circu circuit it magnétique 2.1 Pertes par courants courants de Foucault et par hystérésis Les alliages ferromagnétiques utilisés dans les circuits magnétiques sont communément appelés fer, étant donné le fort pourcentage de fer dans ceux-ci. Les pertes par courants de Foucault dans ces alliages résultent, selon la loi de Faraday, des variations temporelles des flux qui induisent des forces électromotrices dans leur masse. Ces fém générées dans ces alliages conducteurs, de résistivité voisine de 50 · 10 –8 Ω · m, donnent naissance à des courants qui se ferment dans la masse du fer dans des plans normaux à la direction du flux. Le phénomène est analogue à celui qui génère des courants dans une boucle fermée conductrice traversée par un flux variable, la masse du fer pouvant être décomposée, par la pensée, en un ensemble de boucles fermées conductrices. Ces courants sont constitués par le mouvement des électrons libres du matériau magnétique, du fait de l’action du champ électrique local, que l’on peut déduire des équations de Maxwell à partir du champ magnétique d’excitation, comme dans tout conducteur excité par une fém. 

(28)

en courant polyphasé, à q phases. phases. On a les valeurs suivantes : U b = 0,75 V, pour les charbons graphitiques tendres ; U b = 1,2 V, pour les charbons graphitiques durs ; U b = 0,25 à 0,4 V, pour les charbons métallisés. Ces derniers sont utilisés sur les bagues des moteurs asynchrones ou sur les collecteurs de très petites machines à basse tension.

Les pertes par hystérésis résultent, sous l’effet de la variation en intensité et/ou en direction du champ magnétique appliqué, de transformations de l’organisation de la matière en domaines de Weiss dans lesquels l’aimantation est uniforme en direction et module, les moments magnétiques des atomes d’un domaine étant colinéaires. La variation de la magnétisation provoque des déplacements, des suppressions ou des créations de parois entre domaines qui tendent à orienter leurs moments dans le sens du champ appliqué. Ces transformations irréversibles irréversibles se font avec apparition d’hystérésis et absorbent de l’énergie. Les électrons concernés ici sont les électrons liés du du matériau et le phénomène est totalement différent du précédent. Il est évident que ce phénomène d’hystérésis est discontinu à l’échelle microscopique des domaines. Mais, à l’échelle macroscopique de l’électrotechnique, les tôles les plus minces ayant encore une épaisseur de 50 µm (soit environ 10 3 longueurs de domaines), il est permis également de considérer les matériaux magnétiques comme homogènes et continus et de leur appliquer les lois classiques. 

À l’aide des grandeurs locales que l’on calcule à partir des équations de Maxwell, il est possible de donner une expression intégrale générale des pertes et de garder la séparation en deux termes correspondant aux deux phénomènes originels. Les pertes par hystérésis pour un volume V de de matériau soumis localement au champ H et et à l’induction B peuvent peuvent se mettre sous la forme : 

P H

Figure Figure 18 – Pertes Pertes dues au au contact contact conducte conducteurur-tôle tôle,, en fonction de la résistance de contact R T , pour divers nombres n e2 d’encoches au rotor

D 3 450 − 12

=

   1

-----

V

τ

H d B d V

(29)

avec τ période de l’onde d’excitation. Si le champ est le même en tout point du matériau, l’expression se simplifie en : P H = Vf A avec A énergie volumique par période, égale à l’aire du cycle décrit dans le plan B , H .



Les pertes par courants de Foucault prennent la forme plus simple : P F

1

-= ----

 τ

J 2 d V d t ρ J

τ 0 V

(30)

avec J densité locale de courant, ρ résistivité locale. Remarque : les deux termes de pertes ne sont pas indépendants du fait qu’il s’agit du même champ appliqué et de la même induction locale à laquelle les deux phénomènes participent, chacun à sa manière.

En onde sinusoïdale, pour une induction uniforme de valeur maximale imposée et un matériau donné, on met très facilement en évidence cette séparation en deux termes en faisant apparaître l’influence de la fréquence. En effet, dans de larges plages de fréquences industrielles, le graphe de la variation, en fonction de la fréquence, des pertes totales divisées par la fréquence s’identifie assez bien à une droite d’ordonnée non nulle à l’origine. Cela suggère la présence d’un terme proportionnel à la fréquence correspondant aux pertes par hystérésis et d’un terme proportionnel au carré de la fréquence correspondant aux pertes par courants de Foucault.

La température d’utilisation du matériau influe, en sens inverse, sur ces deux paramètres sans que la variation de la perméabilité soit d’ailleurs linéaire. Par ailleurs, la géométrie cylindrique tridimensionnelle des des circuits et les discontinuités dues à la présence des encoches font que la distribution du champ magnétique est non seulement loin d’être uniforme, mais, encore, que ce champ n’est pas alternatif à direction fixe partout. En effet, si cela est vrai dans les dents, cela ne l’est pas dans les culasses où le champ est elliptique, comme l’a très bien étudié Kapoor [48] [48].. Cela entraîne que l’hystérésis est alternative dans les dents mais tournante dans les culasses, ce qui conduit à des pertes plus élevées. Enfin et surtout la perméabilité µ d dépend du champ et donc du point de fonctionnement magnétique. Sur une période, elle varie, dans le cas d’une onde sinusoïdale par exemple, selon l’allure donnée sur la figure 19. Cette non-linéarité magnétique magnétique du matériau, avec apparition de la saturation et de l’hystérésis, rend le calcul de la perméabilité très difficile. Il l’est encore plus si l’ onde d’excitation n’est pas sinusoïdale et si la fréquence fondamentale est relativement élevée. Il peut apparaître des boucles mineures dans un cycle principal et le phénomène de diffusion fait que le champ n’est pas le même en tout point de la section de la tôle à un instant donné. Chaque point du matériau évolue alors sur un cycle particulier, plus ou moins complexe, comme il est indiqué sur la figure 20.

2.2 Paramètres et complexité complexité du calcul En tout point du matériau, la détermination du champ, en fonction du temps, à l’aide des équations de Maxwell, demande la résolution d’une équation qui s’écrit, dans les hypothèses classiques et avec les valeurs instantanées du champ h et de l’induction magnétique b :

∆h

1 ∂ b

1 ∂ b ∂ h ∂ t

= ----- ----------- = ----- ----------- -----------

ρ ∂ t

ρ ∂ h

(31)

Elle fait apparaître les paramètres intrinsèques du matériau, considéré comme homogène et isotrope macroscopiquement : — résist résistivi ivité té ρ ; ; — perméabil perméabilité ité différentiell différentiellee : 

µ d

∂ b ∂h

= ----------

Ces paramètres ne sont donc que deux, si l’on se restreint aux problèmes électromagnétiques. Mais ces paramètres fondamentaux dépendent en fait de nombreuses autres grandeurs dont, principalement, la température, la pression et les états métallurgique et magnétique des matériaux, qui rendent leur détermination très complexe, voire impossible avec une très bonne précision. En effet, ces paramètres sont d’abord modifiés par le processus de fabrication des circuits magnétiques qui nécessite de nombreuses opérations sur le matériau (découpage, encochage, ébavurage éventuel, empilage sous pression, traitement thermique, etc.). Ils sont ensuite fonction du point de fonctionnement de la machine elle-même. Le découpage et l’encochage des tôles écrouissent les bords de celles-ci sur une profondeur voisine de l’épaisseur de la tôle et altèrent localement les deux paramètres par modification de l’état métallurgique. De même, la perméabilité varie avec la pression de serrage, par magnétostriction, et le maintien du serrage n’étant pas uniforme (déformation en parapluie des induits de machines synchrone et asynchrone par exemple), la variation des paramètres ne l’est pas non plus.

Figure Figure 19 – Variat Variation ion de la perméabilit perméabilité é différenti différentielle elle sur une période

Figure Figure 20 – Cycles Cycles mineurs mineurs et et cycle cycle principa principall en onde non sinusoïdale


D 3 450 − 13


C’est pourquoi le calcul, d’abord, du champ et, ensuite, des pertes par hystérésis est d’une rare complexité et personne ne 

sait encore aujourd’hui le déterminer exactement. Il est donc fait appel à des hypothèses simplificatrices pour permettre un calcul approché au mieux. Pour les pertes par courants de Foucault, le matériau est toujours considéré comme homogène et isotrope. Mais, pour les pertes par hystérésis, la complexité du problème a fait naître de multiples modèles fondés, les uns, sur l’hypothèse d’un matériau homogène et isotrope, les autres, sur la réalité d’un matériau divisé en domaines et utilisant la statistique. En fonction des hypothèses posées sur le matériau (saturé ou non, domaines à 180 o, grains orientés ou non, etc.), de la géométrie du domaine étudié (tôle plane infinie, section de tôle finie, etc.) et des conditions d’excitation (flux sinusoïdal, champ sinusoïdal en surface, induction carrée ou trapézoïdale, champ quelconque en surface, etc.), on obtient des modèles analytiques ou numériques plus ou moins sophistiqués, dont aucun n’est parfait. Pour sortir du dilemme posé par le choix, on peut proposer aujourd’hui deux méthodes d’évaluation à l’opposé l’une de l’autre : — une premiè première re méthode méthode (§ 2.3), 2.3), analytique, classique, est simple et rapide et fait appel à des coefficients de correction pour tenir compte des multiples sources d’écart par rapport aux hypothèses faites ; — une second secondee méthode méthode (§ 2.4), 2.4), numérique, plus élaborée, nécessite un recours aux puissants programmes de calcul de champ et au modèle statistique d’hystérésis qui donne actuellement les meilleurs résultats dans un domaine assez étendu en fréquence ; cette méthode tend à se substituer de plus en plus à la première sans, pour autant, supprimer toute correction due à la mise en œuvre, inchiffrable encore avec précision.

On peut donc déterminer les pertes massiques par hystérésis (en W/kg), pour un matériau homogène, isotrope et à champ uniforme, par l’expression simple : P H

avec K H

=

2

K H f B max

coefficient de pertes par hystérésis, spécifique du matériau (fourni ou non par le fabricant de tôle),

B max induction maximale à la fréquence f . L’application brutale de cette relation à une machine conduit à une forte sous-estimation des pertes par hystérésis, même en décomposant la tôlerie en éléments à induction uniforme (tête de dent, isthmes, parties de corps de dent, partie de culasse, etc.). En effet, on a vu (§ 2.2), 2.2), d’une part, que, dans les culasses, il existe un champ elliptique et que, d’autre part, la mise en œuvre du matériau joue un rôle très important, en particulier sur les pertes par hystérésis qu’elle augmente beaucoup, notamment dans les dents ou les culasses étroites.

Il est possible, selon Alger et Eksergian [40] [40],, de considérer une culasse comme un seul élément où l’induction uniforme est prise égale à la valeur maximale moyenne et de multiplier les pertes calculées pour cette valeur par un coefficient k H donné par le réseau de courbes de la figure 21 pour tenir compte de la non-uniformité du champ en amplitude et direction. Cependant, ce calcul suppose une perméabilité uniforme et l’effet de saturation conduit à une légère surestimation. 

Avec cette même hypothèse, mais une meilleure approche théorique et expérimentale, on peut calculer aussi un coefficient pour l’hystérésis elliptique dans les culasses, selon Kapoor [48],, à l’aide des formules qui suivent. [48] 

Il faut signaler que les valeurs des paramètres fondamentaux du matériau, modifiés par la mise en œuvre et les conditions complexes d’utilisation dans les machines, sont très différentes de celles qui interviennent dans un appareil d’Epstein utilisé pour caractériser le matériau. En effet, dans cet appareil, le champ peut être considéré comme uniforme, l’hystérésis uniquement alternative et l’onde imposée est sinusoïdale à basse fréquence fréquence (50 ou 60 Hz). Cela fait que les valeurs caractéristiques normalisées ne peuvent être employées telles quelles et ne peuvent constituer qu’une référence relative, à corriger avec précaution, pour chaque type d’utilisation. Le facteur moyen de correction global peut atteindre couramment la valeur 2. Les méthodes présentées concernent toutes les machines, du moins leurs parties où le champ magnétique n’est pas purement continu. 

2.3 Méthode Méthode analyt analytique ique du calcul des pertes fer 2.3.1 2.3.1 Pertes Pertes fondament fondamentales ales 2.3.1.1 2.3.1.1 Pertes Pertes par hystérésis hystérésis

On sait expérimentalement que les aires A des cycles majeurs en ondes sinusoïdales et à basse fréquence sont proportionnelles au carré de l’induction maximale B max tant que celle-ci reste inférieure ou égale à l’induction à saturation B s (au-delà de B s , le cycle à saturation se confond pratiquement avec la courbe de première aimantation).

D 3 450 − 14

(32)

Figur Figure e 21 – Coeffic Coefficie ient nt k H de pertes par hystérésis en fonction du nombre p de de paires de pôles et du rapport des rayons externe R e et interne R i de la couronne



Pour une culasse statorique de rayons intérieur R i et extérieur R e , les pertes par hystérésis elliptiques P He , avec excentricité du champ variable d’un rayon à l’autre de la culasse, sont données en fonction des pertes par hystérésis alternative P H précédentes, calculées pour le champ maximal (grand axe de l’ellipse) supposé uniforme, par : P He = P H K KH = (1 + A H) P H

avec AH y = γ

=

0,7 1 γ 2 R i -In ------r R i -------R e

= ----------------–



In ( 1 / γ )

Pour les dents, le facteur de correction doit être compris entre 2,5 et 3, selon la nature de la tôle et la largeur des dents. Pour les dents très fines, il peut être intéressant de recuire les tôles après découpage pour abaisser fortement ce coefficient, comme on le fait pour les grosses machines. 

(33) Remarque : il faudrait tenir compte des pertes par hystérésis dans les plaques de serrage des canaux de ventilation, les tirants d’assemblage, etc. Toutes ces pertes, très difficilement

th ( 2 p y ) d y exp ( 2 y )

--------------------------

0

estimables, sont considérées comme incluses dans les majorations précédentes. Les pertes dans les plaques de serrage et les tôles d’extrémité dues au flux de fuite des têtes de bobines et d’extrémité ont fait l’objet de calculs complexes en deux et trois dimensions pour les grosses machines. Les programmes de calcul de champ par éléments finis ou différences finies n’ont jusqu’ici donné lieu qu’au calcul des pertes par courants de Foucault correspondantes.

2p nombre nombre de pôles R i  r  R e

Le coefficient K KH est représenté sur la figure 22 pour différentes polarités. Pour un stator inversé ou un rotor on a : AH

avec γ

= –

0,7 γ 2 -----------------1 – γ 2



In γ

0

th ( 2 p y ) d y exp ( 2 y )

--------------------------

R e R i R In ------e-r

= --------

y =

L’intégrale étant négative, A H est encore positif ; le coefficient K KH correspondant est représenté sur la figure 23. Il est possible, enfin, de calculer une correction globale unique des pertes dans la culasse, considérée comme un élément à induction B max uniforme égale à la valeur maximale moyenne dans cette culasse, et de multiplier les pertes calculées par la formule de base par un facteur moyen global de l’ordre de 1,5.

Figur Figure e 22 – Coeffic Coefficie ient nt K KH de pertes par hystérésis au stator en fonction du nombre de pôles 2p 2 p et et du rapport des rayons interne R i et externe R e de la couronne

2.3.1.2 2.3.1.2 Pertes Pertes par courants courants de Foucaul Foucaultt

En onde sinusoïdale toujours, les pertes massiques par courants de Foucault (en W/kg), avec les mêmes hypothèses que celles utilisées pour la formule (32) (32),, peuvent être calculées par la relation approchée : (34) P F = K F (e f e f B B max )2 avec e épaisseur de la tôle, f fréquence de l’induction, K F coefficient caractéristique de la tôle. Mais, comme dans le cas de l’hystérésis, cette formule donne, pour les mêmes raisons, une sous-estimation des pertes dans la tôlerie d’une machine. Il est possible, comme au paragraphe 2.3.1.1 2.3.1.1,, de considérer, pour une culasse, une induction uniforme égale à la valeur maximale moyenne et de multiplier le résultat de la formule précédente par le coefficient k F , donné sur la figure 24 déduite des travaux d’Alger [40],, et tenant compte de la non-uniformité du champ. [40] 

Figur Figure e 23 – Coeffic Coefficie ient nt K KH de pertes par hystérésis au rotor en fonction du nombre de pôles 2p 2 p et et du rapport des rayons interne R i et externe R e de la couronne


D 3 450 − 15


Figur Figure e 24 – Coeffic Coefficie ient nt k F de pertes par courants de Foucault en fonction du nombre de paires de pôles p et du rapport des rayons externe R e et interne R i de la couronne

Figur Figure e 25 – Coeffic Coefficie ient nt K Ke de pertes par courants de Foucault au stator en fonction du nombre de pôles 2p 2p et du rapport des rayons interne R i et externe R e de la couronne

Une autre méthode consiste à multiplier la formule précédente par le coefficient de Kapoor K Ke [48] [48] qui qui tient compte de la forme elliptique du champ. Kapoor suppose que les pertes par courants de Foucault P Fe sous champ elliptique sont données, en fonction de celles sous champ alternatif, exprimées par la relation (34) (34) et et calculées pour le champ maximal (grand axe de l’ellipse) supposé uniforme, par : P Fe = P F K Ke = (1 + A e) P F

On a, pour une culasse statorique : Ae

2

=

+ -----------------

1 – γ 2



In ( 1 / γ )

th 2 ( 2 p y ) d y exp ( 2 y )

----------------------------

0

Les paramètres sont définis de manière identique à ceux utilisés pour le calcul des pertes par hystérésis (§ 2.3.1.1) ; 2.3.1.1) ; K Ke est représenté dans ce cas sur la figure 25. De même, pour une culasse rotorique, on a : Ae

=



In γ

γ 2 1 – γ 2 0

– -----------------

th 2 ( 2 p y ) d y exp ( 2 y )

----------------------------

Le coefficient K Ke correspondant est donné sur la figure 26. Les mêmes réserves que précédemment s’appliquent. La détermination des pertes par courants de Foucault présente, comme celle des pertes par hystérésis, des éléments très difficiles à maîtriser. maîtriser. Par exemple, lorsque les tôles ne sont pas ébavurées après découpage, les bavures, dont la longueur peut atteindre une valeur égale à l’épaisseur de la tôle, constituent un court-circuit entre tôles qui peut accroître considérablement les pertes, particulièrement dans les dents où l’induction est la plus élevée et les longueurs de circuit les plus courtes. On sait, dans ce cas, qu’il existe des solutions un peu brutales, mais efficaces, de grillage des bavures par attaque superficielle chimique ou thermique. Un autre phénomène augmente encore la difficulté du problème. Lorsque la fréquence fondamentale d’utilisation est élevée, il apparaît une réduction des pertes due à une pénétration moindre du champ dans la section des tôles. Une induction non uniforme s’établit dans celles-ci, rendant obligatoire la résolution des

D 3 450 − 16

Figur Figure e 26 – Coeffic Coefficie ient nt K Ke de pertes par courants de Foucault au rotor en fonction du nombre de pôles 2p 2p et du rapport des rayons interne R i et externe R e de la couronne

équations en trois dimensions. Cet effet de réaction d’induit des courants de Foucault confine le champ au voisinage de la surface de la tôle et le réduit considérablement en son centre. Cet effet pelliculaire permet de définir une épaisseur de peau magnétique : δ m

=

2 ρ ω µ

----------

(35)

profondeur à laquelle correspond une atténuation de 63 % du champ par rapport à celui qui existe en surface.



Cette épaisseur dépend de la perméabilité ; elle varie donc selon le point considéré de la tôlerie et rend sa prise en compte très difficile analytiquement. Comme pour l’hystérésis, il est possible d’utiliser une correction globale unique des pertes calculées avec la formule de base, en utilisant des inductions maximales moyennes pour la culasse et pour les dents, et de multiplier le résultat obtenu par un coefficient moyen de l’ordre de 1,5 et 3 respectivement. 2.3.1.3 2.3.1.3 Pertes Pertes globales globales

Finalement, les pertes fer fondamentales, dissipées dans un stator par exemple, s’obtiennent globalement, si M d et M c désignent respectivement les masses de fer des dents et de la culasse, par les expressions : 2

P fd

=

3 [ K H f + K F ( ef ) 2 ] B max M d

P fc

=

1,5 [ K H f + K F ( ef ) 2 ] B max M c

2

    

(36)

Les fabricants de tôles magnétiques donnent, en général, les pertes massiques totales, à 50 Hz, en fonction de B max , pour les divers types et épaisseurs de tôles, ce qui permet de déterminer les coefficients K H et K F s’ils ne sont pas fournis. Certains fabricants donnent directement les courbes de pertes totales mesurées à l’aide de l’appareil d’Epstein pour B max = 1 T en fonction de la fréquence ou mieux un réseau de courbes en coordonnées logarithmiques de pertes massiques totales en fonction de la fréquence pour un certain nombre de valeurs de B max . On peut en tirer une expression globale unique des pertes massiques du type : P fe r

=

a f b B c max

(37)

où, pour les tôles courantes, b et et c sont sont voisins respectivement de 1,5 et 2,2 ; le coefficient a s’élimine pour les pertes garanties par le constructeur, par exemple ( P 50) à 50 Hz et 1 T, si bien que : P fer

=

P 50

 50f  --------

b

B c max

Cela revient à utiliser une sorte de formule de Steinmetz expérimentale, à laquelle il faut appliquer aussi les coefficients de correction globale [3 pour les dents et 1,5 pour les culasses, relations (36) (36)]. ].

On trouve ainsi : P ex

=

0,3 I 2

2

2 A1 1,58 f q n s D ε -------------------------------------lg 1 + --------------------4 Y 1 Y 2 10 6 p





(38)

avec A1

entraxes des conducteurs périphériques des têtes de bobines statoriques et rotoriques (figure 27), D ε (m) (m) diam diamèt ètrre de de l’l’entr entreefer fer, valeur efficace du courant statorique, I n s nombre de spires en série par phase, q nombre de phases, Y 1 et Y 2 distances entre les conducteurs périphériques des têtes de bobines statoriques et rotoriques et la tôlerie (figure 27). Les résultats donnés sont extrêmement variables avec la disposition des extrémités de la machine. En particulier, particulier, la proximité des ventilateurs ou des déflecteurs d’air, des flasques, et, en général, de toute pièce métallique peut accroître les pertes ainsi trouvées.

2.3.2 Pertes dues aux harmoniques harmoniques d’espace d’espace

En plus des pertes fer fondamentales, il en existe d’autres, dues aux variations d’induction à fréquences beaucoup plus élevées, produites par les discontinuités géométriques de la machine, même lorsque celle-ci est alimentée en onde sinusoïdale. En effet, la présence des encoches dans l’entrefer implique, d’une part, des variations de perméance de celui-ci et, d’autre part, une distribution discontinue de la force magnétomotrice. Ces deux causes d’harmoniques d’espace de flux entraînent des pertes par pulsation dans les dents et à la surface des pôles lisses, massifs ou non. Les pertes dues aux variations de perméance existent même à vide, alors que celles dues aux harmoniques de fmm sont fonction des courants et donc des pertes en charge. Bien que ces deux causes ne soient pas indépendantes, nous les traiterons de façon séparée. Les flux d’interaction, étant à fréquences très élevées (1 kHz) et donnant des pertes négligeables, ne seront pas considérés. 2.3.2. 2.3.2.1 1 Pertes Pertes à vide vide 2.3.2.1. 2.3.2.1.1 1 Pertes Pertes de de surface surface

2.3.1.4 2.3.1.4 Pertes Pertes supplémenta supplémentaires ires d’extrémités d’extrémités

Les plaques de serrage, ou les tôles d’extrémités, et une partie de la culasse sont baignées par les flux de fuite des têtes de bobines statoriques, et rotoriques si elles existent. Ces flux produisent des pertes par courants de Foucault non négligeables, surtout pour les machines à très forte charge linéique de courant. La détermination de ces flux de fuite est très difficile, compte tenu de la géométrie. Nous renvoyons aux auteurs spécialisés [51] [51] à à [60] pour les développements complexes correspondants qui font intervenir soit le calcul des champs par éléments finis, soit un réseau d’impédance, soit la théorie des images magnétiques. On peut cependant utiliser une expression analytique approchée, approchée, proposée par Alger [1] [1],, qui a supposé que les pertes correspondantes sont proportionnelles au carré des flux de fuite, et donc, aussi, proportionnelles à la puissance réactive consommée par les têtes de bobines. Le coefficient de proportionnalité apparaît alors comme un facteur de puissance ; l’expérience montre que sa valeur est voisine de 0,3.

Ces pertes sont dues aux variations de perméance de l’entrefer induisant des variations locales d’induction à la surface d’un pôle ou d’une denture par son déplacement relatif vis-à-vis d’une autre denture. Il s’agit essentiellement de pertes par courants de Foucault. On peut négliger les pertes par hystérésis ; elles sont proportionnelles seulement à la fréquence : de plus, du fait de la pénétration réduite des flux à fréquences élevées, ces pertes se développent dans un faible volume de fer. Considérons d’abord la surface lisse d’un pôle massif, supposée concentrique à l’alésage de l’induit (entrefer simple ε ), et une encoche d’ouverture b (figure (figure 28). 

Figure Figure 27 – Géométrie Géométrie de l’ex l’extrém trémité ité d’une d’une machine machine


D 3 450 − 17


En posant : K s

1 32 π

-------= -------

10 7

------------

µ r ρ

≈

31,45

(40)

-----------------

µ r ρ

appelé facteur caractéristique de de la tôle, on obtient : P s

=

K s ( ∆ B ) 2 v 3 ⁄ 2 t d ⁄

1 2

(41)

Enfin, il ne faut pas oublier que le calcul précédent suppose que la variation d’induction s’étend à tout le pas dentaire, alors qu’en réalité elle n’intéresse que l’ouverture b de de l’encoche. Il en résulte une augmentation de la vitesse de variation de l’induction, donc une réduction de la pénétration de celle-ci. Tous calculs faits, on trouve, après avoir exprimé ∆B en en fonction de l’induction dans l’entrefer B ε , à l’aide du coefficient de Carter K C [1] : t d ∆ B = ( K C – 1 ) B ε -----(42) b et des pertes surfaciques (en W/m 2) :

avec Figure Figure 28 – Variat Variation ion de l’inducti l’induction on au droit des encoche encoches s

Du fait de l’augmentation de la perméance au droit de l’encoche, l’induction dans l’entrefer B ε est localement réduite à une valeur B ε min alors qu’elle vaut B ε max au droit des dents. Appelons 2 ∆B la la diminution de B ε : 2 ∆B = = B ε max – B ε min et supposons que la répartition spatiale de cette variation de l’induction soit sinusoïdale, de période égale au pas dentaire t d . Le balayage, à la vitesse tangentielle de la machine, de la surface du pôle par cette variation d’induction va créer les pertes superficielles considérées. En écrivant que la valeur moyenne de l’induction est égale à l’induction moyenne B ε dans l’entrefer, nous pouvons calculer les pertes surfaciques, c’est-à-dire les pertes par unité de surface du pôle. Le volume de fer où se développent ces pertes a donc une hauteur égale à la profondeur de pénétration des courants de Foucault. Or ces courants décroissent exponentiellement avec la profondeur ; un résultat classique montre qu’il suffit alors de tenir compte d’une pénétration égale seulement à la moitié de l’épaisseur de peau δ m telle que : δ m

=

2 ρ ω µ

---------

1 2π

= ---------

10 7 ρ

-----------------

µ r f e

avec µ r f e

perméabilité relative de la tôle, t d ; v désignant la vitesse fréquence d’encoche (= v / t tangentielle de la machine). En outre, la fréquence f e étant élevée (de l’ordre du kilohertz), la masse polaire provoque un effet de spire en court-circuit, réduisant très sensiblement l’amplitude des variations ∆B de de l’induction dans le fer ; pratiquement cette réduction est de 50 %. En tenant compte de ces divers facteurs [8] [9] [9],, on trouve, pour la profondeur fictive δ m /2, des pertes surfaciques (en W/m2) : P s

1 32 π

-------= -------

107 ( ∆ B ) 2 v 3 ⁄ 2 t 1 ⁄ 2 d

------------

µ r ρ

(39)

P s

=

K C

=

t d b 1 ⁄ 2 –

(43)

La qualité de la tôle influe peu sur la valeur des pertes superficielles et on peut prendre pour K s une valeur de 1,3 · 10 3 à 1,9 · 10 3 pour des tôles à faibles pertes massiques normales et 2,4 · 10 3 pour des tôles à fortes pertes massiques normales. L’expression des pertes superficielles donnée par l’équation (43) suppose le pôle massif. Or, les pôles peuvent être aussi feuilletés. Il en résulte une augmentation importante de la résistance offerte aux courants de Foucault, donc une réduction des pertes. Pour tenir compte de ce fait, on introduit un nouveau coefficient K s′ , fonction non seulement de l’épaisseur e des des tôles, mais aussi de δ m , car la valeur efficace du courant est également réduite. La réduction apparaît sur les figures 29 pour un pôle massif et a pour 29a b pour un pôle feuilleté. La composante longitudinale des 29b 29 courants Ι  s’annule aux extrémités du bloc polaire dans le cas de pôles massifs et prend rapidement une valeur constante au milieu de l’épanouissement. Cette composante ne peut atteindre la même amplitude dans le cas des pôles feuilletés car, en supposant les tôles parfaitement isolées, elle repasse par 0 aux limites de chaque tôle. Finalement, nous adopterons, pour les pertes superficielles surfaciques des pôles feuilletés, l’expression : 

P s

=

K s K s′ ( K C – 1 ) 2 B ε v ⁄ t d b 2

3 2

–

1 ⁄ 2

(44)

La courbe de la figure 30 donne la variation de K s′ en fonction du rapport de l’épaisseur des tôles e à à la profondeur δ m de pénétration des courants de Foucault. On voit que cette épaisseur joue un rôle prépondérant. Cela n’est toutefois vrai que pour des tôles très bien isolées, ce qui n’est pas toujours le cas en raison des bavures dues au découpage. En outre, il est bon de noter que les pertes superficielles augmentent très vite avec le coefficient de Carter ; si celui-ci passe de 1,1 à 1,2 elles sont multipliées par 4. Cet effet sera donc très important dans les machines à faible entrefer (0,1 à 0,2 mm), en particulier dans les moteurs asynchrones. Il est d’ailleurs possible d’expliciter l’ influence de l’ouverture des encoches sur la valeur des pertes superficielles. Posons en effet : Γ = ( K C – 1 ) 2

D 3 450 − 18

3 ⁄ 2

2

K s ( K C – 1 ) 2 B ε v t d -------------------------------2 t d – ------b ------------b + 5 ε

t d / b b



L’expression (44) (44) s’écrit s’écrit alors : P s

=

K s K ′s B ε v 3 ⁄ 2 t d ⁄ Γ 2

1 2

(45)

Les deux premiers coefficients ne dépendent que de la qualité et de l’épaisseur des tôles employées ; B ε et v sont définis par le dimensionnement général général de la machine. Pour un type de machine et un diamètre donnés, les nombres d’encoches possibles varient 1 ⁄ 2 t d .

peu, il en est par conséquent de même de t d et donc de On voit ainsi que, toutes choses égales par ailleurs, les pertes sont proportionnelles proportionnelles à Γ . En développant K C , on trouve alors : Γ =

b ) 1 ⁄ 2 ( t d / b t  5 --b ε --- + 1  --b --d-- – 1

Cependant, si l’on est contraint à une forte ouverture d’encoche (de l’ordre de la largeur d’encoche ; figure 3), il convient de prendre ε le plus faible possible, c’est-à-dire finalement un rapport t d / ε d’accroître l’entrefer. Si S est est la surface totale (en m 2) des pôles feuilletés, les pertes (44),, pour valeur : superficielles (en W) ont, d’après la relation (44) P sup

=

S P s

=

2

S K s K s′ ( K C – 1 ) 2 B ε v 3 ⁄ 2 t d b

–

1 ⁄ 2

(46)

Dans le cas d’un entrefer variable sous un pôle, on peut, en tenant compte des symétries, diviser la surface en plusieurs parties d’entrefer constant et effectuer autant de calculs que de parties distinctes.

----------------------------------------------------

2

b , rapport de l’entrefer à l’ouverture Ce facteur ne dépend que de ε / b b , rapport du pas dentaire à cette même des encoches, et de t d / b ouverture (figure 28). b pour pour diverses valeurs L’étude des variations variat ions de Γ en en fonction de ε / b b montre de t d / b montre l’intérêt qu’il y a à prendre des valeurs de b voisines voisines b aussi de ε et et un rapport t d / b aussi grand que possible.

Dans le cas des machines asynchrones ou, plus généralement, des machines à stator et rotor dentés, il faut calculer successivement les pertes superficielles produites par le stator à la surface des dents du rotor rotor,, et réciproquemen réciproquement. t. La surface S intervenant intervenant alors est la surface des têtes de dents. 2.3.2.1. 2.3.2.1.2 2 Pertes Pertes dans dans les dents dents

Il s’agit cette fois des pertes créées dans les dents du rotor par les pulsations périodiques de l’induction dues au passage des dents statoriques, et des pertes créées dans les dents du stator par le passage des dents rotoriques. Ces pertes n’existent que dans les machines à rotor et stator dentés (machines asynchrones et turboalternateurs). La méthode de calcul consiste à considérer, comme au paragraphe précédent, la valeur maximale de la variation ∆B de l’induction correspondant aux deux valeurs extrêmes de la perméance : a ) lorsqu’il y a coïncidence des 31a — perméance perméance maximale maximale (figure (figure 31 axes d’une dent statorique et d’une dent rotorique ; — perméance perméance minimale minimale (figure (figure 31 b ) lorsqu’une dent statorique 31b se trouve en face d’une encoche rotorique ou vice versa .

Figure Figure 29 – Composante Composante longitudi longitudinale nale des courant courants s de Foucault dans un pôle

Figure Figure 30 – Coefficien Coefficientt K s′ en fonction fonction de l’épaiss l’épaisseur eur réduite réduite des tôles Figure Figure 31 – Détermina Détermination tion de la perméanc perméance e sur un pas dentaire dentaire


D 3 450 − 19


Les parties tramées représentent la tranche de perméance que l’on calcule. Le calcul des perméances s’effectue donc dans chaque cas particulier. En désignant par  max et  min les valeurs des perméances ainsi trouvées, on calcule aisément ∆B , demi-amplitude crête à crête de la variation d’induction en fonction de l’induction moyenne B d dans la dent :

∆B

=

 max

–

 min

 max

+

 min

B d -----------------------------------

La fréquence f e st de cette variation est égale à la fréquence de passage des dents rotoriques devant la dent statorique, soit, si n erot est le nombre de dents du rotor et N (en (en tr/s) la vitesse : f e st = n erot N

Les pertes par pulsation de denture P p dues à l’hystérésis sont négligeables, f e st n’intervenant qu’au premier degré. Il suffit donc de considérer seulement les pertes par pulsation ou de denture dues aux courants de Foucault, qui se calculent facilement pour les n e st encoches statoriques ; en supposant bien entendu un circuit feuilleté (épaisseur des tôles e ), ), on obtient (en W) : P p = (1,8 à 2) K F (ef e s t ∆B )2 M d st

(47)

M d st désignant la masse des n e s t dents. Le coefficient (1,8 à 2) de majoration de K F tient compte de l’augmentation des pertes due au découpage de la tôle.

Le calcul de  max et  min permet d’expliciter, d’expliciter, dans le cas de la figure 31, l’expression de ∆B pour le stator. On trouve ici, avec ε pour l’entrefer et en désignant par t d st le pas dentaire statorique, par b rot l’ouverture d’encoche rotorique et par K C st le coefficient de Carter du stator :

∆B

=





5 B d b rot --1--- + -----------------------ε 5 ε + b rot

2 t d st ε K C st

----------------- –





5 b rot --1--- – -----------------------ε 5 ε + b rot

–

2.3.2.2 2.3.2.2 Pertes Pertes en charge charge

En charge, à cause de la présence des encoches et du nombre fini de phases, la fmm n’est plus à répartition sinusoïdale dans l’entrefer. En effet, une telle distribution suppose un entrefer lisse ou, ce qui revient au même, un nombre d’encoches n e infini et un nombre de phases q infini. infini. Or, en réalité, n e et q sont sont finis. fini, la différence entre la fmm  Lorsque l’on suppose n e infini et q fini, obtenue et la fmm sinusoïdale, représentée sur la figure 32 en fonction de l’abscisse curviligne dans l’entrefer sur une demi-période, engendre un flux dit flux différentiel de phase ou flux de fuite de phase . Ce flux est d’amplitude très faible en triphasé et ne produit que de faibles pertes supplémentaires que nous négligerons. Ce n’est pas le cas en diphasé où l’amplitude de ce flux est cinq fois plus forte. sont finis, la différence entre la fmm réelle et celle  Lorsque n e et q sont obtenue avec n e infini et q fini, fini, représentée sur la figure 33, engendre un flux appelé flux différentiel d’encoche ou encore fux de fuite zigzag , du fait de son allure. Les lignes de champ passent d’une dent à la suivante à travers la seconde partie de la machine en traversant deux fois l’entrefer. Ce flux produit des pertes par courants de Foucault de surface p ) ± 1]. non négligeables du fait de leurs fréquences élevées f [( [(n e / p Il est possible de les calculer en exprimant la fmm ξ zz produisant ce flux : t – b ( ξ zz )max = G u 2 ----d-----------2

avec G u charge linéique utile (= k b G ), G charge linéique, k b coefficient de bobinage.

1

Cette expression montre bien l’influence de la diminution de b rot dans la réduction des pertes par pulsation de denture, puisque ces pertes augmentent comme le carré de ∆B , donc sensiblement comme b rot . Ces pertes doivent, en principe, comme les pertes superficielles, être calculées deux fois : au stator et au rotor. Toutefois, Toutefois, il convient de remarquer que les flux pulsatoires dans les dents des rotors à cage sont très fortement atténués par les courants induits dans les barreaux de cette cage (effet de spire en court-circuit), à condition cependant que les encoches ne soient pas inclinées par rapport à l’axe. Dans les rotors à cage à encoches non inclinées, les pertes par pulsation dans les dents seront donc très réduites, parfois même négligeables. Avec les rotors bobinés, une telle réduction existe également, mais elle est nettement plus faible en raison de l’impédance beaucoup plus importante de ce type d’enroulement pour les harmoniques considérés ici. On trouvera dans l’ouvrage de Liwschitz [8] [8] des des indications sur la valeur de ces coefficients.

Figure Figure 32 – Force Force magnétomotr magnétomotrice ice générant générant le flux différent différentiel iel de phase sur une demi-période

En conséquence, dans les rotors à cage, nous négligerons les pertes par pulsation de denture ; elles se trouvent remplacées par des pertes dans les barres, dues aux courants induits par les flux harmoniques. Par contre, pour les rotors bobinés , nous calculerons les pertes supplémentaires dans les enroulements.

Figure Figure 33 – Force Force magnétomotr magnétomotrice ice générant générant le flux différent différentiel iel d’encoche sur une demi-période

D 3 450 − 20



On en déduit la valeur de l’induction différentielle maximale (∆B zz )max en un point :

( ∆ B zz )max

=

µ 0 G u

2

t d – b 4 ε

----------------

(48)

en tenant compte du fait que le flux zigzag traverse deux fois l’entrefer. La répartition spatiale de B zz étant triangulaire, comme le montre la figure 33, avec une valeur moyenne représentée par la ligne ABCDE, la valeur efficace de ∆B zz vaut donc :

( ∆ B zz )eff =

1 ( ∆ B zz )max 3

-----------

Or, si ∆B zz était sinusoïdal, nous aurions : 1 ( ∆ B zz ′ ) ef f = ----------- ( ∆ B ′zz ) max 2 Nous voyons donc que, par rapport aux pertes données par une induction sinusoïdale, les pertes dues au flux zigzag seront réduites dans le rapport 2/3. Les pertes de surface P sc cherchées se calculent alors très facilement en remplaçant dans l’expression donnant les pertes superficielles pour la variation de flux due aux encoches ∆B par (∆B zz)max et en affectant l’expression du facteur 2/3 [rappelons en effet que ∆B était était supposé sinusoïdal pour établir l’expression (43)]. (43) ]. On obtient donc en définitive (en W/m 2) : P sc

2 1 2 K [ ( ∆ B zz ) max ] 2 v 3 ⁄ 2 t d ⁄ 3 s

= -----

(49)

où la valeur de K s est donnée par la relation (40) (40).. 2.3.3 2.3.3 Remarque Remarque générale générale concernant les pertes fer supplémentaires

L’expérience montre que les machines présentent, après un stockage de quelques mois, des pertes fer supplémentaires de 30 à 40 % inférieures à celles présentées aussitôt après leur fabrication. fabrication. Le phénomène semble dû à une stabilisation et à une diminution des tensions internes produites dans la tôle au cours de la fabrication de la machine. Il en est de même après quelque temps de fonctionnement, c’est-à-dire après quelques cycles d’échauffement. On peut penser aussi à une modification des contacts barre-tôle dans le cas des moteurs asynchrones à cage coulée. 2.3.4 Pertes dues aux aux harmoniques de temps

Lorsque la machine est alimentée en tension ou en courant non sinusoïdal, il apparaît, compte tenu de ce que nous avons vu précédemment, de multiples causes supplémentaires de pertes fer. Tout d’abord, le champ principal n’étant plus sinusoïdal, l’évolution magnétique du fer peut présenter des boucles mineures dans le cycle d’hystérésis, ce qui augmente ce type de pertes, de même que les courants de Foucault. Il n’existe pas d’expression analytique des pertes correspondantes. Toute tentative de calcul à partir d’une décomposition en série de Fourier de l’onde d’alimentation serait vouée à l’échec en raison de la forte non-linéarité introduite par le matériau.

Ensuite, et surtout, les pertes de surface peuvent être considérablement accrues, principalement avec des pôles lisses, en particulier lorsque l’alimentation se fait en courant ou bien que les réactances de fuite sont faibles et autorisent de forts harmoniques de courant. La composition des harmoniques m de temps,  de perméance et r de fmm fait que les fréquences à prendre en compte sont fort nombreuses et telles que : f h

=



f m ± r ±



k 1 k

-------



(50)

tp , avec k = π / t k 1 = 2 π / t td , t p étant le pas polaire. Il est possible, avec quelques hypothèses simplificatrices, de donner une expression analytique des pertes correspondantes ; nous renvoyons aux références bibliographiques pour plus de détails [62] [62] à à [67] [75] [75].. 2.3.5 2.3.5 Réduction Réduction des pertes pertes fer

La réduction des pertes principales ne peut résulter que d’un bon choix de la tôle et de la géométrie, compte tenu du fait que la fréquence fondamentale et l’induction maximale dans l’entrefer sont imposées par les performances visées. Les pertes harmoniques peuvent être réduites à condition de bien choisir les matériaux et la géométrie de l’entrefer. Certaines règles élémentaires sont connues depuis longtemps [27] [27].. Dans le cas de pôles massifs, où le problème est particulièrement crucial de ce point de vue, il est possible d’utiliser un rainurage circonférentiel des pôles. De nombreux articles traitent de cette question difficile de l’évaluation des pertes dans ce cas et du coefficient de réduction par rapport au cas de non-rainurage. Sans donner les détails complexes des méthodes et formules, on peut cependant en extraire quelques règles simples qui permettent le dimensionnement des rainures et l’estimation du coefficient de réduction correspondant : — la première règle règle à respecter est est de s’assurer de l’efficacité l’efficacité de rainures éventuelles ; pour cela, il faut que le rapport de la largeur des dents du stator à l’entrefer simple réel soit plus grand que 1,5, sous peine de risque d’augmentation de ces pertes ; — la seconde règle est d’utiliser d’utiliser un matériau polaire de résistivité résistivité la plus élevée possible, le rainurage ayant, d’ailleurs, un effet équivalent à une augmentation fictive de la résistivité de la couche superficielle du pôle ; — de même, il est inintéressant inintéressant de choisir une une profondeur h de rainure supérieure au demi-pas dentaire t d /2 du stator ; — enfin, il est possible de prendre une largeur largeur maximale de rainure égale au demi-entrefer simple, ce qui évite d’accroître l’entrefer effectif de plus de 2 % ; cet entrefer n’est que peu influencé également par la profondeur des rainures qui est généralement plus grande que leur largeur a . Il est possible d’estimer le coefficient de réduction par la formule approchée : k red = u /( u + + 2 h ) 

où u est est le pas de rainurage. Le coefficient est cependant un peu optimiste. Les formules de Gibbs [68] [69] [70] [70],, qui prennent en compte la saturation du pôle, donnent une meilleure approximation. On peut s’attendre à une réduction maximale de près de 50 % de ces pertes dans les meilleurs cas. Les rainures améliorent aussi le refroidissement de la surface des pôles, en faisant office de brasseurs d’air dans l’entrefer.


D 3 450 − 21


L’utilisation de cales magnétiques pour les encoches du stator permet d’obtenir une réduction du même ordre de grandeur. Ces cales, de forte résistivité, peuvent être en poudre de fer, en fils de fer axiaux noyés dans une résine ou en ferrite. Leur perméabilité relative relative transversale ne doit pas être trop élevée, de l’ordre de 20 à 40, pour éviter des flux de fuite d’encoche importants. Dans le cas des machines asynchrones, ces flux détérioreraient beaucoup les caractéristiques de démarrage. Le vieillissement de ces cales pose souvent un problème auquel il faut veiller sous peine de risque de détérioration de la machine, lorsque des morceaux de cale passent dans l’entrefer. Le dimensionnement et les effets de ces cales sont très bien définis dans de nombreux articles [71] [72] [73] [74] [74] et et en particulier dans celui de Chalmers. 

Une autre technique de réduction de ces pertes, particulièrement efficace pour des alimentations en courants non sinusoïdaux, consiste en un cuivrage électrolytique superficiel des pôles massifs. En fonction de la géométrie de l’entrefer, de la nature des matériaux et de l’onde d’excitation, il existe ou non une épaisseur optimale de cuivre qui minimise les pertes de surface. Cette technique est à manipuler avec soin, car un mauvais choix de cette épaisseur peut aller à l’encontre du but visé et accroître considérablement les pertes initiales. Pour plus de détails on se référera aux articles de Darnand et Grellet [67] [75] [75].. Cette technique est d’autant plus efficace et utilisable pour une géométrie donnée que la fréquence fondamentale est élevée et la réduction des pertes est d’autant plus forte que la résistivité de la couche déposée est faible. Cette méthode est parfois utilisée, également, pour diminuer les pertes d’extrémités par affaiblissement des flux de fuite axiaux. 

2.4 Méthodes Méthodes numériq numériques ues de calcul des pertes fer 2.4.1 2.4.1 Généralité Généralités s

2.4.2 2.4.2 Modèle Modèle de Preisach-N Preisach-Néel éel

Ce modèle est issu d’une représentation graphique des phénomènes d’hystérésis. 2.4.2. 2.4.2.1 1 Princi Principe pe

Le calcul des pertes fer dans une machine électrique tournante est rendu très complexe pour les quatre raisons principales déjà vues au paragraphe 2.2 2.2 et et qui sont : — la géométrie géométrie tridimensionn tridimensionnelle elle ; — le mouvement relatif relatif des deux parties parties actives principales principales ; — la forme d’onde d’onde de l’alimentatio l’alimentation n; — la très forte non-linéarité non-linéarité de la caractéristique magnétique du matériau. Actuellement, on ne sait pas résoudre le problème dans toute sa complexité par les méthodes numériques, pas plus qu’on ne savait le faire analytiquement. On sait associer le mouvement à une géométrie bidimensionnelle et à une alimentation sinusoïdale, mais celle-ci est encore à très basse fréquence et la caractéristique non linéaire B (H ) du matériau reste biunivoque. Les méthodes tridimensionnelles de calcul de champ ne prennent en compte encore ni le mouvement, ni une onde quelconque, ni l’hystérésis. Il sera sans doute possible dans un proche avenir, mais avec beaucoup de temps de calcul, d’introduire tout ou partie de ces conditions. Mais, même en admettant que l’outil mathématique adéquat et le programme informatique opérationnel existent, il n’en resterait pas moins qu’on ne saurait toujours pas prédéterminer exactement l’état magnétique du matériau en régime dynamique, même avec un état initial démagnétisé. Diverses théories ont été proposées à partir de considérations sur les domaines magnétiques pour déterminer les pertes fer volumiques dans des conditions restrictives simplificatrices bien précises. Ces théories conduisent à des formules approchées

D 3 450 − 22

d’estimation des pertes totales, dans des conditions assez éloignées de la réalité, la plupart du temps, et ne permettent pas de prévoir l’évolution du matériau. Seule la théorie de Preisach [94] [94],, reprise par Néel [95] [95],, fondée sur l’analyse expérimentale d’une répartition statistique de cycles d’hystérésis élémentaires idéaux des domaines magnétiques, est capable de prévoir l’évolution de la magnétisation du matériau pour une évolution temporelle quelconque du champ d’excitation, à partir d’un état donné. C’est pourquoi elle a donné lieu à l’émergence de méthodes numériques capables de déterminer l’induction b ( (t ) à partir d’un champ extérieur h (t ) donné. La résolution de l’équation du champ en tenant compte de cette théorie permet l’accès, d’une part, aux courants de Foucault et, d’autre part, aux cycles d’hystérésis, ce qui fournit l’ensemble des pertes. Il faut préciser qu’actuellement cette équation est résolue en pseudo trois dimensions seulement. En effet, le champ principal dans une section droite de la machine est calculé par éléments finis, avec une caractéristique magnétique biunivoque non linéaire à partir des courants dans la machine, qui peuvent être quelconques. Ce champ sert, ensuite, de donnée en surface de la tôle, dans l’épaisseur de laquelle la distribution du champ est déterminée par éléments finis, également, en tenant compte de l’hystérésis par la méthode de Preisach-Néel. Par ailleurs, le mouvement n’est pas considéré, de même que l’ellipticité du champ quand elle existe ; il s’ensuit donc que ce calcul n’est pas encore complet. Il n’est pas impensable de voir ces deux derniers phénomènes pris en compte à l’avenir, l’avenir, puisque le mouvement s’intègre déjà quelque peu aux méthodes et qu’une théorie de Preisach-Néel vectorielle peut succéder à la théorie scalaire actuelle.

Le matériau ferromagnétique est considéré comme un ensemble d’éléments infiniment petits (ou dipôles) dont le cycle d’hystérésis (magnétisation M en fonction du champ H ) est rectangulaire (figure 34). Ce cycle est caractérisé par M s qui est la magnétisation macroscopique à saturation du matériau ; c’est la valeur au-delà de laquelle le comportement du matériau peut être simulé uniquement par sa courbe de première aimantation. La largeur du cycle est définie par les paramètres H a et H b . Deux éléments pris au hasard dans le matériau ont a priori des cycles différents, caractérisés par des couples ( H a , H b) distincts.

Figure Figure 34 – Cycle Cycle d’hystéré d’hystérésis sis d’un élémen élémentt de matériau matériau ferromagnétique ferromagnétique dans le modèle de Preisach-Néel Preisach-Néel



Si l’on considère maintenant l’ensemble des éléments, c’est-à-dire l’ensemble des couples ( H a , H b), chaque élément peut être représenté par un point du plan ( H a , H b). Seul le demi-plan tel H a  H b correspond à des cycles réels, car l’énergie associée est une perte. En outre, si l’on suppose que, au-delà d’un champ de saturation H s , le matériau n’évolue plus du point de vue de l’hystérésis, les cycles élémentaires existent donc tant que : 

–

H s  H  H s

c’est-à-dire : –

Le matériau peut donc être caractérisé par une fonction statistique j ( ( H a , H b ), ou distribution de Preisach-Néel, telle que j ( (H a , H b ) dH a dH b représente la probabilité de trouver un élément dont le cycle rectangulaire a ses valeurs caractéristiques comprises entre H a et (H a + dH a), d’une part, H b et ( H b + dH b), d’autre part. En d’autres termes, j ( (H a , H b ) d H a d H b est la fraction du volume total comprenant des éléments dont les cycles sont définis par le couple ( H a , H b ). Pour une variation quelconque ∆H de de H , la variation, par unité de volume, de la magnétisation M associée associée est donnée par :

H s  H a  H s

∆ M = 2 M s

et : –

H s  H b  H s

Finalement, les points figuratifs ( H a , H b) se situent à l’intérieur du triangle ABC (figure 35). Dans l’état démagnétisé, le matériau peut être considéré comme ayant autant de dipôles dans l’état positif (+ M s ) que dans l’état négatif (– M s ). Compte tenu des remarques précédentes, l’état du a . 36a matériau est alors représenté par la figure 36 Si, partant de cet état, un champ magnétique positif H est est appliqué au matériau, tous les éléments magnétisés négativement tels que : 



j ( H a , H b ) d H a d H b

(51)

S

avec S surface correspondant à cette variation de H . Suivant le sens de variation de H par par rapport à l’état précédent (M 1 , H 1), on a : M

=

M 1 ± 2 M s




S

Le signe est positif lorsque H augmente, augmente, et négatif dans le cas c ). 36c contraire (figure 36

H a  H

vont se magnétiser positivement. L’état du matériau est donc b . 36b représenté par la figure 36 Si on applique ensuite un champ H 1 tel que H 1 < H , tous les éléments magnétisés positivement tels que : H b  H 1

vont se magnétiser négativement (figure 36 ). c ). 36c L’état du matériau, à un instant donné, peut donc être parfaitement défini par cette représentation graphique, qui tient compte de l’évolution antérieure de l’état magnétique global du matériau. L’évolution du matériau se résume de la manière suivante : — si le le cham champ p H augmente, augmente, la droite figurative se déplace suivant le sens croissant de la variable H a ; — si llee cham champ p H diminue, elle se déplace suivant le sens décroissant de la variable H b . La magnétisation globale du matériau à une étape donnée est caractérisée par le nombre de dipôles qui ont changé d’état par rapport à l’étape précédente, c’est-à-dire par la surface balayée à partir de cette étape. 

Figure Figure 35 – Domaine Domaine d’évolut d’évolution ion des couples couples (H (H a , H b ) Figure Figure 36 – Représent Représentatio ation n de l’état l’état du matéri matériau au


D 3 450 − 23


La connaissance de la fonction j (H a , H b ) est donc suffisante pour prédéterminer prédéterminer le comportement ferromagnétique du matériau, quel que soit son état antérieur. L’évolution de l’induction B s’obtient par la formule classique : B = B 1 + µ 0 (∆H + ∆M )

(52)

2.4.2.2 2.4.2.2 Détermin Détermination ation de la fonction fonction j (H (H a , H b )

On montre que cette fonction est déterminée par la connaissance de la courbe de première aimantation du matériau et de la partie descendante du cycle majeur à saturation . Pour cela, nous supposons que cette fonction existe et qu’elle est unique.  Le long de la courbe de première aimantation, le champ H augmente. La variable indépendante H a est égale à H . La surface S caractérisant cette variation est le triangle OPQ (figure 36 ). b ). 36b La magnétisation, considérée comme fonction de H a , s’exprime sous la forme :

M ( H a )

2 M s

=



OP Q


Les lignes OP et OQ ayant pour équations respectives : H b = H a et H b = – H a

il s’ensuit : M ( H a )

=

2 M s



H a

d H a

0



Figure Figure 37 – Représent Représentatio ation n de l’état l’état du matéri matériau au pour une diminution de H à H à partir de l’état saturé

+ H a

–

H a

j ( H a , H b ) d H b

La connaissance de la courbe de première aimantation et du cycle à saturation conduit au système d’équations intégrales (53) (53) et et (54) (54),, où f ( ( H a ) et j ′ ( H b ) sont calculés à partir de ces grandeurs macroscopiques. Si l’on sépare les variables dans j ( (H a , H b), en écrivant :

Si l’on pose : f ( H a )

on obtient : f ( H a )

=

d d H a

-------= -------



M ( H a ) 2 M s

---------------------

j ( (H a , H b) = j 1 (H a) j 2 (H b)

+ H a

–

H a

j ( H a , H b ) d H b

(53)

À partir de la saturation ( H s , M s ), considérons maintenant la partie descendante du cycle du matériau en faisant décroître le champ H (figure 37). Dans ce cas, H b est la variable indépendante identifiée à H ; ; nous 37a aurons (figure 37 a ), en posant : M ′ = M s – M =

2 M s



Posons : j ′ ( H b ) j ′ ( H b ) j ′ ( H b )

avec

D 3 450 − 24

= –

d d H b

-------= -------

d d H b

= -------------

f ( H b )

CR T





OB C


j ( H a , H b ) d H a

M ′ ( H b ) 2 M s

pour H b  0

----------------------

M ′ ( H b ) 2 M s

----------------------

d d H b

= -------------

–

f ( H b ) pour H b < 0

M ( H b ) 2 M s

--------------------


1 2

= -----

La résolution de ces équations permet de prédéterminer numériquement j ( (H a , H b) sous la forme discrète : j ( (H ai , H b j ) = j 1 (H ai ) j 2 (H b j )

H s H b

D’un point de vue pratique, la courbe de première aimantation et la partie descendante du cycle à saturation sont subdivisées respectivement en N et et 2N intervalles intervalles égaux, ce qui conduit à exprimer les deux équations intégrales sous la forme d’un système de 3 N équa équations discrètes à 3 N inconnues. inconnues. Ces inconnues ne sont pas indépendantes, puisqu’il faut ajouter l’équation suivante correspondant à la saturation globale du matériau : 



M ′ ( H b )

la fonction j peut être déterminée en résolvant le système d’équations précédent.

(54)

où j 1 (H ai ) et j 2 (H b j ) s’expriment en fonction de l’un d’entre eux, soit j 1 (H a N ) = 1 par exemple. Le calcul des valeurs de j 1 et j 2 nécessite des courbes de première aimantation et de cycle à saturation très bien définies jusqu’à des valeurs maximales de champ égales à celles rencontrées dans la machine. Étant donné les inductions très élevées (2,2 à 2,4 T) intervenant dans les machines modernes, il se pose alors la question de leur modélisation mathématique sur une très grande plage de champ. L’utilisation de fractions rationnelles du premier ordre, ou mieux de fonctions splines (article Polynômes. Études algébriques [AF 37] dans le traité Sciences fondamentales) qui assurent la monotonie des courbes, résout assez bien le problème.



2.4.3 Méthode de calcul des pertes

Le calcul des pertes fer s’établit en deux temps. Dans la première étape, on détermine, par une méthode classique statique en deux dimensions, le champ en tout point d’une section droite de la machine sur une période fondamentale du champ. Dans la seconde étape, on calcule le champ dans l’épaisseur de la tôle en prenant le champ statique précédent comme donnée en surface. La tôle est décomposée en éléments de volume où le champ de surface peut être considéré comme constant. Ces éléments sont choisis rectangulaires en surface et supposés de longueur infinie pour se ramener, de nouveau, à la résolution d’un problème à deux dimensions. Leur plus grande dimension est orientée dans la direction du champ de surface, si bien qu’ils sont radiaux dans les dents et tangentiels dans les culasses. La résolution de l’équation d’évolution du champ, par une méthode d’éléments finis pour l’espace et de différences finies pour le temps dans les sections de ces éléments, donne ainsi le champ h (t ) et l’induction b (t ) via le modèle d’hystérésis, en tout point de la tôle, en fonction du temps. On en déduit facilement les courants de Foucault et les pertes correspondantes d’après la formule générale (30) (30).. Les pertes par hystérésis s’en déduisent également par l’application de la formule générale (29) (29) à à chaque élément de volume de la tôle pour lequel le cycle B (H ) a été déterminé.

Allano [81] [81] propose propose de considérer un champ interne h i relié au champ appliqué h par une relation de la forme :



Pour les basses et moyennes fréquences industrielles, il est possible de gagner du temps de calcul en séparant la détermination des pertes par courants de Foucault de celle des pertes par hystérésis. Il suffit alors de calculer le champ et les pertes par courants de Foucault dans la section des éléments de tôle en utilisant la courbe de première aimantation, au lieu des cycles attachés à chaque point de calcul, et d’en déduire seulement, ensuite, les pertes par hystérésis à l’aide du modèle de Preisach-Néel. 

À titre d’exemple, il est intéressant de rappeler un des résultats obtenus [80] pour un petit moteur asynchrone triphasé expérimental sans cage et entraîné à sa vitesse synchrone. Sous tension nominale sinusoïdale, les pertes fer totales du stator mesurées sont de 165 W et calculées de 140 W. Sous une tension sinusoïdale de 50 % plus forte que la précédente, les valeurs sont, respectivement, de 585 W et 530 W. 2.4.4 Critique de la méthode de Preisach-Néel Preisach-Néel

Ce modèle d’hystérésis très séduisant, qui ne nécessite que des données expérimentales d’accès facile à l’aide d’appareils classiques, présente cependant le défaut de ne pas prendre en compte le temps et donne une représentation quasi statique de l’évolution des matériaux. Seules les amplitudes d’incrémentation ou de décrémentation du champ appliqué interviennent dans le calcul des variations d’aimantation, mais pas la vitesse de variation de celui-ci. Cette non-dépendance de la fréquence du champ appliqué se traduit graphiquement par le fait que tous les cycles d’évolution possibles sont nécessairement inclus dans le cycle statique à saturation. Or l’expérience montre qu’il n’en est pas ainsi lorsque l’on fait varier la fréquence sur une large plage. Donc, a priori , une telle modélisation des cycles n’est valable que dans le domaine des basses fréquences. En fait, des calculs et mesures sur des échantillons Epstein jusqu’à une fréquence de 5 kHz ont montré [82] que, à condition de calculer le champ dans la section de tôle avec prise en compte de l’hystérésis, on obtenait des résultats satisfaisants, ce qui couvre déjà une large plage d’utilisation des machines. Et il n’est pas interdit de penser que cette méthode est valable bien au-delà. 

 Une amélioration possible réside dans le couplage de cette méthode avec un modèle dynamique. Ces modèles dynamiques mettent en effet en évidence l’influence dans les pertes totales, en plus du terme d’hystérésis, d’un terme proportionnel à B max (db /dt ).

d b h i = h – αa --------d t pour calculer la variation de magnétisation par le modèle de Preisach-Néel. Cette voie paraît intéressante ; malheureusement, le paramètre αa nouveau n’est pas un invariant caractéristique du matériau comme la proposition le suppose, mais dépend, entre autres, du point de fonctionnement maximal, ce qui ne permet pas une utilisation générale. Par ailleurs, ce terme correctif perd de son intérêt au fur et à mesure que la fréquence augmente car, au-delà de 500 Hz, ce sont surtout les pertes par courants de Foucault qui prédominent et l’augmentation des pertes par hystérésis par grossissement des cycles ne joue que relativement peu.

3. Pe Perte rtes s méca mécani nique ques s 3.1 Pertes Pertes par frotteme frottement nt 3.1.1 Pertes par frottement frottement dans les paliers

Les pertes par frottement lubrifié dans les paliers ont fait l’objet de nombreuses études [4] [90] [91] [92] [92].. Ces études ont pour base l’équation des films minces visqueux qui permet, compte tenu des conditions géométriques et cinématiques, de déterminer les caractéristiques d’un écoulement en film mince, en particulier, sa portance ainsi que la force ou le couple de frottement. Les principales hypothèses émises pour l’établissement de cette équation sont les suivantes : — le milieu milieu est continu continu ; — le fluide fluide est newtoni newtonien en ; — l’écoulement est laminaire et et isotherme ; — les forces d’inertie d’inertie sont négligeables négligeables ; — il y a adhérence adhérence du fluide aux parois parois ; — l’épaisseur du film mesurée mesurée est toujours très très faible devant les autres dimensions du contact. Introduisons les notations suivantes : C a couple de frottement sur l’arbre ; C a′ couple relatif de frottement sur l’arbre : C a′

C a

1 N Sn f

= ---------------------------------- = ---------

2 J η LDNR p / J

D diamètre du palier ; e x excentricité ; e x′ excentricité relative : e x′ f a

coefficient de frottement sur l’arbre : f a

J L N N f

e x J

= -------

C a R p W

= ----------------

jeu radial ; longueur du palier ; vitesse de rotation de l’arbre ; nombre de frottement sur l’arbre : N f =

C a JW

-------------

R p rayon du palier ;


D 3 450 − 25


Sn nombre de Sommerfeld : Sn =

η LD N R p 2

-------------------

W

 J 

=

(55)

Lorsque le palier est alimenté par une source de pression extérieure p ex , il convient d’ajouter à l’expression précédente le terme :

WJ C a′ / C C a

viscosité dynamique. On peut représenter, d’une part, l’évolution de la charge relative et, d’autre part, celle du couple relatif de frottement sur l’arbre en fonction de l’excentricité relative : — pour des conditions de fonctionnement données données (charge, (charge, vitesse de rotation, longueur et diamètre du palier, rapport du rayon du palier au jeu radial), on peut déterminer l’excentricité relative de fonctionnement sur la figure 38 ; — pour cette excentricité excentricité et une valeur valeur donnée du rapport de la longueur au diamètre du palier, le couple relatif de frottement sur l’arbre est donné par la figure 39, et on en déduit le couple de frottement sur l’arbre. η

Figure Figure 38 – Variat Variations ions de la charge charge relati relative ve en fonction de l’excentricité relative

D 3 450 − 26

P = N C a = 2 πN C

--------

W charge appliquée ; W ′ charge appliquée relative : W ′

La puissance dissipée par le frottement dans le palier lubrifié est, alors, donnée par la relation :

Q ( (p ex – p 0)

avec p 0 pression d’arrivée dans le palier, Q débit de l’alimentation. Ce terme traduit la perte de charge entre l’amont et l’aval de l’écoulement. Il devient négligeable pour une chute de pression faible par rapport à la pression hydrodynamique générée dans les contacts. La puissance perdue, due à la perte de charge, est déterminable à l’aide de la figure 38. 3.1.2 Pertes par frottement frottement dans les roulements

Les pertes mécaniques, dues au frottement dans les roulements, ont des origines très diverses ; elles proviennent : — des contacts corps corps roulants-chemin roulants-chemin de roulement, corps corps roulants-cage, cage-bagues ; — du barattage barattage du lubrifian lubrifiantt ; — des joints joints intégrés intégrés aux roulements. roulements.

Figure Figure 39 – Variat Variations ions du couple couple relatif relatif de frotteme frottement nt en fonction de l’excentricité relative



Ces frottements dépendent de nombreux facteurs : — type de lubrification lubrification (graisse, barbotage barbotage ou injection injection d’huile) ; — viscosité, voire rhéologie du lubrifiant ; — type de géométrie géométrie interne interne du roulement roulement ; — charges et vitesse de rotation auxquelles auxquelles les roulements roulements sont soumis.

3.1.3.1 3.1.3.1 Cas d’un d’un entrefer entrefer constant constant

Soit : D ex le diamètre extérieur du rotor ; L rot la longueur du rotor ; t la variable temps ; v la vitesse périphérique ; ε l’entrefer simple ; ν ′ ρ ) ; (en m2 /s) la viscosité cinématique du gaz (= η / ′/ ρ la masse volumique du gaz ; ρ η′ (en Pa · s) la viscosité dynamique du gaz ; Ω en (tr/min) la pulsation de rotation correspondant à v .

Dans le bilan des pertes, il faut également tenir compte de d’étanchéité, qui sont largement égales à celles dues aux joints d’étanchéité, celles dues aux roulements. L’évaluation des pertes par frottement dans les roulements ou les joints peut être effectuée de deux manières : — par l’utilisation de formules simples simples issues de l’expérience l’expérience et et largement diffusées par les constructeurs de roulements ; — par le calcul des des pertes élémentaires élémentaires pour chaque contact interne ; cette démarche est encore du domaine de la recherche et est employée lorsque les roulements sont sollicités sous des conditions très sévères, par exemple dans l’aéronautique ; cette méthode, très lourde à mettre en œuvre, ne sera pas abordée, mais la démarche simplifiée présentée ci-après donne de bons résultats pour des sollicitations en régime permanent. Démarche simplifiée : pour des conditions habituelles de fonctionnement, c’est-à-dire une bonne lubrification, une huile de viscosité dynamique de l’ordre de 0,01 Pa · s à la température de fonctionnement, une charge radiale environ dix fois plus petite que la capacité dynamique de base, une vitesse de rotation inférieure à 80 % de la vitesse limite donnée par le catalogue pour le roulement utilisé, on peut calculer le couple de frottement C f par la formule suivante : (56) C f = k r R rF r



σ =

Par exemple , pour un rotor de poids 50 daN, utilisant deux roulements rigides à billes, de rayon interne 60 mm et de rayon externe 110 mm, le couple de frottement total pour les deux roulements est : 2C f = 0,001[(60 + 110)/2] 10 –3 × 250 × 2 = 0,042 N · m (57)

Dans l’exemple, si le rotor tourne à 3 000 tr/min, on obtient : = P =

ε

ε

Les pertes aérodynamiques sont alors : P a

η ′ v 2 S ε

= ------------------

En utilisant le nombre de Reynolds : v ε ---Re = ρ ------η′

v ε ν ′

= ---------

S = = π D ex L rot

et avec il vient :

1 π D ex L ro t ρ v 3 Re

P a

(58)

= ---------

On définit généralement un coefficient de friction : Re i

2 Re

= ---------

et la relation (58) (58) devient devient alors : P a

Re i π D ex L ro t ρ v 3 2

= -----------

=

2,255 ⋅ 10

–

4

4

Re i ρ L ro t D ex Ω 3 (59)

Le régime peut être considéré comme laminaire tant que Re  1 000 . > 1 000, le régime n’est plus Régime turbulent : lorsque Re > laminaire, mais la formule (59) (59) peut peut être conservée à condition de changer la loi R e i (Re ). ). Si l’on admet, en première approximation, que la théorie de l’écoulement turbulent entre deux plans parallèles peut s’appliquer, s’appliquer, c’est-à-dire que 2 ε  D ex et que les effets de la force centrifuge sont négligeables, alors, d’après J.E. Vrancik [93] [93],, Re i et Re sont sont liés par la relation : 

La puissance dissipée est alors : P = = 2C f × 2πN

v t

--------

et la force élémentaire d’entraînement du rotor, par unité de surface, est : σ v η ′ d F η ′ -d -------- = ---------------- = ------d t ε d S η ′ vS F = --------------d’où



avec F r (N) (N) char charge ge radi radial alee tra trans nsmi mise se,, k r coefficient variant selon le type de roulement, R r (m) (m) rayo rayon n moyen moyen du rou roule leme ment nt.. On peut retenir les valeurs suivantes pour le coefficient k r : k r = 0,001 pour les roulements rigides à billes, à rouleaux cylindriques ou à rotule sur billes ; k r = 0,002 pour les roulements à billes à contacts obliques, les butées à billes, à rouleaux coniques ou à rotule sur rouleaux ; k r = 0,003 à 0,004 pour les roulements à aiguilles ou les butées à aiguilles et à rouleaux.

Régime laminaire : la contrainte exercée sur le fluide est :

0,042 × 100 π = 13,3 W

On pourra, pour plus de détails, se reporter aux catalogues des constructeurs, aux références bibliographiques [84] [86] [87] [88] [89] [89].. 3.1.3 3.1.3 Pertes Pertes aérodyna aérodynamique miques s

Le fluide gazeux, confiné dans le volume de l’entrefer d’une machine, frotte sur la surface du rotor en mouvement. Lorsque la vitesse périphérique du rotor est importante, ce frottement est source de pertes non négligeables à la surface du rotor, rotor, d’autant plus que la pression dans l’entrefer est élevée. Selon la géométrie du rotor, on peut distinguer plusieurs cas.

1 Re i

----------------- =

2,04 + 1,768 In ( Re R e i )

Cette relation est traduite sur la figure 40. 3.1.3.2 3.1.3.2 Cas d’un d’un entrefer entrefer variable variable

Si le rotor est muni de pôles saillants tels que ceux représentés sur la figure 41, l’expérience prouve que la formule précédente est encore utilisable à condition de multiplier les pertes par un facteur K R > tel que si hp / R > 0,06 (ce qui est le cas habituel) : K = R ) + 2,2 = (8,5 hp / R


D 3 450 − 27


La masse volumique ρ est fonction de T et de la pression p . On peut admettre la loi des gaz parfaits : ρ =

p M R 0 T

-------------

avec M masse molaire du gaz, p pression du gaz, R 0 constante des gaz parfaits, soit 8,2 J/(K · mol). Pour l’air, avec p en bar et c = 120 K–1 pour T  373 373 K : p T

ρ = 353 ----ν ′

=

3 ⋅ 10

–

9

T 3 ⁄ 2 1 ( 120 / 273 ) p 1 + ( 120 / T )

+ -------------- --------------------------------------

On voit qu’il est très avantageux de diminuer la pression pour diminuer les pertes, puisque celle-ci influe à la fois sur ρ et, pour une moindre part, sur Re i . Pour les vitesses périphériques très élevées, de l’ordre de 300 à 400 m/s, l’expérience prouve que cette formule donne une surestimation de ces pertes voisine de 100 %. 3.1.4 Pertes aux contacts balais-collecteur et balais-bague

Ces pertes ont une expression analogue à (57) (57),, mais on les exprime de préférence en fonction de la pression d’appui des balais p b , de la surface S b et de la vitesse tangentielle du collecteur v C (en m/s) ou des bagues. On obtient (en W) : Figu Figure re 40 – Rela Relati tion on Re i (Re ) Re ) en régime turbulent

P b = 1,11 f b p b S b v C

(60)

avec p b (N/cm2) donné donné par le fabrican fabricantt (1,8 à 2,2 N/cm 2 pour les balais des machines à collecteur et 1,5 N/cm 2 pour les balais sur bagues), 2 S b (cm ) surf surfac acee de tou toute tess les les lign lignes es de de bala balais is,, f b coefficient de frottement, donné par le fabricant de balais, et de valeur moyenne égale à 0,2.

3.2 Pertes Pertes par ventilatio ventilation n

Figure Figure 41 – Géométrie Géométrie d’un rotor rotor à pôles pôles saillan saillants ts

On peut diminuer K par addition de deux disques placés aux extrémités du rotor et qui emprisonnent le gaz dans les espaces interpolaires ; K vaut alors 1,5. La valeur K = 1 correspond au rotor lisse. 3.1.3.3 3.1.3.3 Influence Influence de la températur température e et de la pression

La viscosité dynamique η ′ est fonction de la température absolue T et on peut admettre une loi de la forme : η′

avec

=

η 0′

T 1 ( c /273 ) 273 1 ( c / T T )

+ ----------- ------------------------------+

η ′0 viscosité dynamique à 0 o C,

c

facteur dépendant de la nature du gaz et de T [93] [93]..

D 3 450 − 28

Ces pertes sont difficiles à évaluer avec précision avec des moyens simplifiés. Les écoulements, en principe laminaires, sont ici perturbés par les têtes de bobines, les encoches, etc., ce qui entraîne localement des mouvements tourbillonnaires. Cette situation est favorable au refroidissement, mais rend le calcul délicat. Les méthodes de calcul actuelles des écoulements, qui résolvent les équations de Navier-Stokes complètes, peuvent en principe appréhender des géométries complexes à l’aide des techniques d’éléments finis. La nature turbulente de l’écoulement complique très fortement l’étude. Cependant, des modèles qui décrivent les tensions turbulentes, avec des viscosités turbulentes (hypothèse de Boussinesq) donnent des résultats intéressants [5] [6] [7] [11] [11] à à [17] [17].. La situation est moins complexe dans les grandes machines où les obstacles à la circulation de l’air sont relativement moins importants que dans les petites (dans ce traité, articles Refroidisse- ment des machines électriques tournantes [D 3 460]). Les constructeurs utilisent encore souvent les résultats de mesures effectuées sur de nombreuses machines, présentés soit sous forme d’abaques en fonction de la vitesse et de la puissance utile ou du diamètre du rotor, soit sous forme de formules approchées qui donnent, au moins, un ordre de grandeur des pertes cherchées.



À titre d’exemple, on peut citer l’expression suivante, qui donne la somme des pertes par ventilation et par frottement aux paliers (en W) : P v

+

p

=

2

0,3 à 0,7 ( P u v t 10 5 ) –

(61)

avec P u (W) (W) puis puissa sanc ncee uti utile le de la mach machin ine, e, v t (m/s) vitess vitessee tangent tangentiel ielle le du rotor rotor.. On peut encore utiliser une autre formule, qui donne les mêmes pertes, pour des machines sur roulements à billes ou à rouleaux sans balais : 2 (62) p v p = 8 D ro t ( L ro t + 0,15 ) v t

Le tableau 1 récapitule les pertes dans une machine électrique tournante. À titre indicatif, le tableau 2 donne un ordre de grandeur des pertes de quelques machines types. (0) Tableau 1 – Tableau récapitulatif des pertes dans une machine électrique tournante 

+

— dues à l’effe l’effett Kelvin Kelvin ; — dues aux aux harmonique harmoniquess de temps.

avec D rot (m) (m) diam diamèt ètre re du du roto rotor, r, L rot (m) (m) long longue ueur ur du roto rotorr. Pour des petites machines ( D rot < 0,2 m et L rot < 0,1 m), on peut réduire à 0,08 la majoration attribuée à L rot . En plus de ces formules simplifiées, on pourra trouver des informations très intéressantes dans les mémentos qui traitent des pertes de charge dans les circuits fluides [15] [17] [17].. Pour les machines refroidies à l’hydrogène, on se reportera, dans ce traité, à l’article Machines synchrones. Fonctionnement en régime permanent [D 480] qui traite des turboalternateurs de grande puissance. Cas des machines fermées ou à ventilation extérieure : ces machines utilisent un double circuit de ventilation : — un circuit interne de brassage brassage de l’air, à l’intérieur de la la carcasse, chargé de transférer la chaleur de l’intérieur de la machine vers la carcasse ; — un circuit externe qui qui est chargé de refroidir refroidir la carcasse carcasse via sa sa surface externe, généralement augmentée par des ailettes ; ce second circuit comprend un ventilateur en bout d’arbre qui souffle sur la carcasse, l’air étant canalisé par un capot adapté qui assure également la protection humaine contre le contact avec les pales du ventilateur. Les pertes du premier circuit se déterminent comme indiqué précédemment ; celles du second correspondent à la puissance absorbée par le ventilateur. La détermination de ces dernières pertes se fait à partir du débit d’air nécessaire au maintien d’une température interne acceptable. Si Q (m (m3 /s) est le débit nécessaire, nécessaire, ∆p (Pa) (Pa) la chute de pression totale, statique et dynamique, à fournir et η Ve le rendement du ventilateur, les pertes du second circuit seront données (en W) par : ∆ p P = -Q ------------(63)





4. Con oncl clus usio ion n Les machines électriques tournantes présentent, en général, des pertes fer faibles, donc un excellent rendement, d’autant plus élevé que leur puissance utile croît. On peut grossièrement le considérer comme compris entre 0,70, pour des puissances voisines de 1 kW, et 0,98 pour les machines de très grande puissance.

dues au flux flux principa principall ; dues au au flux de fuite fuite ; dues aux courant courantss de circulation circulation ; dans les les têtes têtes de bobine bobine..

Pertes dues aux flux harmoniques :

— différenti différentiel el de phase phase ; — différenti différentiel el d’encoche d’encoche ; — d’incl d’inclina inaiso ison. n.  



Pertes au contact barre-tôlerie barre-tôlerie Pertes aux balais

Pertes fer Pertes à fréquence fondamentale :



— par hystér hystérésis ésis ; — par courants courants de Foucaul Foucaultt ; — aux extrémité extrémités. s. 

Pertes harmoniques d’espace :

— à vide vide en surface surface ; — à vide dans dans les dents dents ; — en charge charge.. 



Pertes harmoniques de temps

Pertes mécaniques  Pertes par frottement :

— dans les les paliers paliers ; — dans les les roulements roulements ; — aérodynam aérodynamiques iques..

η Ve

Le rendement du ventilateur peut être voisin de 0,6 à 0,7. Dans le cas des machines, ouvertes ou fermées, mais motoventilées où le ventilateur est entraîné à vitesse constante par un moteur indépendant, le rendement des ventilateurs centrifuges utilisés est plus élevé et atteint 0,8. On trouvera une détermination plus précise des performances propres des ventilateurs dans les références [2] [6] [7] [15] [15]..

Pertes par effet Field :

— — — —



Ve

Pertes Joule Pertes normales en basse fréquence  Pertes supplémentaires à fréquences élevées : 



Pertes par ventilation

(0) Tableau 2 – Exemple de pertes pour des machines types

Définition de la machine

Pertes Joule Pertes fer Pertes mécaniques Rendement

Moteur asynchrone monophasé à cage

Moteur asynchrone triphasé à cage

Moteur à courant continu

1 460 W ; 2 850 tr/min

7,5 kW ; 720 tr/min

350 kW ; 1 250 tr/min

252 W 30 W 67 W 80,7 %

978 W 320 W 80 W 84,4 %

15 kW 6 kW 2 kW 93,8 %


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Pertes Dans Les Machines Tournantes

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