PERSAMAAN STURM LIOUVILLE
1. Pengertian Nama Sturm dan Liouville merujuk pada matematikawan Swiss Jacques Sturm (18031855) dan matematikawan Perancis Joseph Liouville (1809-1882). Keduannya mempelajari masalah syarat tertentu dan perilaku solusinya. Ada dua alas an mengapa persamaan diferensial perlu diberikan dalam kuliah ini. Fungsi-fungsi ortogoanal sebagai solusi persamaan diferensial yang memenuhi syarat batas Sturm Liouville. Penyelesaian persamaan diferensial parsial menggunakan metode pemisahan variabel akan memerlukan persamaan diferensial tipe Sturm Liouville. Persamaan diferensial Sturm-Leouvill mempunyai bentuk [ ( ) ( )]
[ ( )
( )] ( )
Yang terkait dengan syarat batas : ( )
( )
( )
( )
Dengan a)
adalah nilai eigen terkait dengan ( )
b)
adalah bilangan-bilangan real
c) d)
tiga fungsi yang bias diturunkan di [a,b] ( )
dan ( )
untuk setiap
[
]
Contoh 1 Tentukan nilai eigen dari masalah Sturm-Liouville berikut : ( ) Dengan syarat batas : ( ) Penyelesaian : Kasus I Jika
,
dan ( )
( )
Misal, ( )
( )
(
)
(
)(
)
atau
Untuk
,
( )
Untuk
,
( ) (
Karena
)
, maka persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian saat
Kasus II Jika
,
( ) ∫
Untuk
,
Karena
,
Misal, ( )
( )
, maka persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian saat
Kasus III Jika
( )
( )
( (
) )(
)
atau
Untuk
,
( ) , sehingga ( )
Untuk ( ) Maka Untuk
maka ( )
Jadi, Solusi persamaan
( )
( )
, dengan ( ) ( )
( )
(
)
(
)
Dengan menggunakan syarat batas, maka solusi non trivial akan diperoleh jika
Untuk n = 0,1,2,…… . jadi nilai-nilai eigennya adalah
Untuk n = 0,1,2,….. dan solusi persamaan differential di atas yang terkait dengan nilai eigen
adalah ( )
Selanjutnya,
(
)
( ) disebut fungsi eigen terkait dengan nilai eigen
.
Dari contoh diatas, persamaan differential akan mempunyai solusi non trivial jika
, dan tidak mempunyai solusi non trivial jika
.
Teorema berikut memberikan pernyataan umum untuk persamaan diferential tipe sturm-liouville. Teorema 1
Jika y adalah solusi untuk persamaan diferential sturm-liouville yang terkait dengan nilai eigen 𝜆 maka 𝜆
bukti :
Sedangkan keortogonalan solusi-solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Liouville diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 2 Jika 𝑦 dan 𝑦 adalah suatu solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Liouville berturut-turut terkait dengan nilai eigen 𝜆 dan 𝜆 , maka 𝑏 𝛼
Asalkan 𝜆 ≠ 𝜆
𝑠 (𝑥)𝑦 (𝑥)𝑦 (𝑥)𝑑𝑥
