KELOMPOK 6:
1. 2. 3. 4. $.
Mary Maryat atii Alfan Alfan Aji Pratam Pratamaa Lutvia Lutviana na Dwi Indram Indramaya aya Antn Antn !a"n a"n Da"nia Da"niarr %ur &"lid &"lidia ia
(1632 (163218 1862 62)) (16321 (16321876 876)) (16321 (16321886 886)) (14321 (143218#2 8#2)) (13321 (1332174' 74'))
PERSAMAAN LINGKARAN A. Menemuka Menemukan n Konsep Konsep Persamaa Persamaan n Lingkaran Lingkaran
Definisi 1 Linaran adala" t*m+at *duduan titi,titi +ada -uatu idan yan *rjara -ama t*r"ada+ -*ua" titi t*rt*ntu Sifat 1 P*r-am P*r-amaan aan lina linaran ran yan yan *r+u*r+u-at at di P(#/#) P(#/#) dan m*mili m*milii i jari,ja jari,jari ri r adala" adala" 2
2
2
x + y =r 0ia Atau dengan kata lain 0i
L
adala" "im+unan "im+unan titi,titi yan *rjara r
t*r"ada+ titi P(#/ #) maa L (/ y) x 2+ y 2 =r 2
Contoh 1 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut: a. 3 b. 4 c. 5 d. Penyelesaian :
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 adala! x 2+ y 2 " 3# ⇔ x 2+ y 2 " $ b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4 adala! x 2+ y 2 " 4#
⇔
x
2
+ y 2 " %
c. Persama Persamaan an lin lingka gkaran ran yang berpus berpusat at di titik titik P(0, P(0, 0) dengan dengan panjan panjang g jari-jar jari-jarii 5 adala! x 2+ y 2 " 5#
⇔
x
2
+ y 2 " #5
d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari adala! x 2+ y 2 " #
⇔
x
2
+ y
2
" 3
Sifat 2
Persamaan lingkaran yang berpusat di P ( a , b ¿ dan memiliki jari-jari r adala! ( x −a )2 +( y −b )2 " r 2 Atau dengan kata lain
&ika L adala! !impunan titik-titik yang berjarak r ter!adap titik P ( a , b ¿ maka
L '(, y)
2
2
( x −a ) +( y −b ) " r * 2
Contoh 2 : 5*ntuan +*r-amaan linaran yan *r+u-at di (2/ 2) dan *rjari,jari r 2. Penelesaian : 2
2
( x −a ) +( y −b ) " r 2 a 2 2 2 ⇔ ⇔
2
2
( x −2 ) +( y −2 ) " 2
2
( x −2 ) +( y −2 ) "
2
2
4
( 2,2 ) danr =2
Linaran +u-at 0adi +*r-amaan linaran yan *r+u-at di (2/ 2) dan *rjari,jari r 2 adala" 2
2
( x −2 ) +( y −2 ) " Contoh 3 :
4
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut+ a. ( x −2 )2+( y + 2 )2=4 b. ( x + 2)2 +( y + 2)2 " $ c. ( x + 2)2 +( y −2 )2 " % d. ( x + 2)2 + y 2 " % Penelesaian :
a.
2
2
( x −2 ) +( y + 2 ) =4 ⇔ ( x −2 ) +( y + 2 ) =2 2
2
2
a 2 92 r 2 linaran t*r-*ut *r+u-at di titi (2/ 9 2) dan *rjari,jari 2 b. ( x + 2)2 +( y + 2)2 " $ 2 2 2 ⇔ ( x + 2) +( y + 2) " 3 a 92 92 r 3 Linaran t*r-*ut *r+u-at di titi (92/ 92) dan *rjari,jari 3 c. ( x + 2)2 +( y −2 )2 " % 2 2 2 ⇔ ( x + 2) +( y −2 ) " 4 a 92 2 r 4 Linaran t*r-*ut *r+u-at di titi (92/ 2) dan *rjari,jari 4 d. ( x + 2)2 + y 2 " % 2
2
( x + 2) + y " %
⇔
a 92 # r 4 Linaran t*r-*ut *r+u-at di titi (92/ #) dan *rjari,jari 4 !. !entuk "mum Persamaan Lingkaran
Pada +*ma"a-an -**lumnya t*la" dia"a- t*ntan n-*+ +*r-amaan linaran yaitu : a. Linaran yan *r+u-at di P(#/ #) dan *rjari,jari r +*r-amaannya adala" . Linaran yan *r+u-at di P(a/ ) dan *rjari,jari 2
x
2
+ y 2 =r 2
r +*r-amaannya adala"
2
( x −a ) +( y −b ) " r 2 0ia di+*r"atian *dua *ntu +*r-amaan linaran t*r-*ut/ maa da+at lan-un di*ta"ui titi +u-at linaran dan +anjan jari,jarinya. P*r-amaan t*r-*ut dinamaan *ntu au +*r-amaan linaran.
Contoh 4 :
0aaranla" +*r-amaan
2
2
( x −a ) +( y −b ) " r 2 2
;*rda-aran +*njaaran t*r-*ut di+*rl*" +*r-amaan
a
+ b 2 −r 2 "
d*nan 9a A 9
;/ t*ntuanla" nilai r. Penelesaian :
&ar*na
a
2
+ b 2−r 2 < dan 9a A 9 ;/ maa
r
2
A
2
+ B2−C 2
⇔
r =¿ ±
√ A 2+ B 2−C 2 Contoh 5 : ;*rda-aran x
2
+*njaaran
2
2
( x −a ) +( y −b ) " r 2
dari
di+*rl*"
+*r-amaan
+ y 2 +2 Ax + 2 By + C =0 / ua"la" +*r-amaan t*r-*ut * dalam +*r-amaan *ntu au
+*r-amaan linaran= Penelesaian :
x
2
⇔ ⇔ (
⇔ (
⇔ (
+ y 2 + 2 Ax + 2 By + C =0 x
2
x
2
+ y + 2 Ax + 2 By 9< 2
x + A
¿¿
2
x + A
¿¿
2 Ax >
>
2
> (
> (
y +B
¿¿
2
y +B
¿¿
2
A
2
)9 A 2
> ( y 2 >
A 2 > A
Di+*rl*" a"wa +*r-amaan
2
B
2
2 By >
B
2
)9
B
2
9<
9<
2
+ B −C √ ¿ ¿ 2
(
x + A
¿¿
2
> (
y +B
¿¿
2
A
A
2
linaran yan *r+u-at di titi P(9A/ 9;) dan *rjari,jari r A
Sifat 3 ;*ntu umum +*r-amaan linaran adala" x
2
+ y 2 + 2 Ax + 2 By +C =0
2
+ B −C adala" +*r-amaan √ ¿ ¿ 2
2
2
+ B −C √ ¿ ¿
d*nan titi +u-at P(9A/ 9;) dan *rjari,jari r A
2
2
+ B −C √ ¿ ¿
d*nan A/ ;/ < ilanan r*al dan A 2 + B2 ? <
Contoh 6 : 5*ntuan x
2
titi
+u-at
dan
jari,jari
linaran
yan
m*milii
+*r-amaan
+ y 3 +10 x −8 y +25 =0 / lalu amaran linaran t*r-*ut dalam idan &art*-iu-=
Penelesaian:
x
2
+ y 3 +10 x −8 y +25 =0
A 9$ ; 4/ dan < 2$ 5iti Pu-at (9$/ 4) 0ari,jari linaran r A r
2
2
+ B −C √ ¿ ¿
√ (−5 ) + 4 −25= 4 2
2
Linaran x 2+ y 3 + 10 x −8 y + 25 =0 #. Kedudukan $itik $er%adap Lingkaran
Definisi 2 1. @uatu titi A(v/ w) t*rl*ta di dalam linaran yan *r+u-at di P(#/ #) dan *rjari,jari r jia
v
2
2
2
+ w r .
2. @uatu titi A(v/ w) t*rl*ta +ada linaran yan *r+u-at di P(#/ #) dan *rjari,
jari r jia
v
2
2
2
+ w r .
3. @uatu titi A(v/ w) t*rl*ta di luar linaran yan *r+u-at di P(#/ #) dan *rjari, jari r jia
v
2
2
+ w B r
2
Definisi 3 @uatu titi A(v/ w) t*rl*ta di dalam linaran yan *r+u-at di P(a/ ) dan *rjari, jari r jia (v
9a)2 > (w9)2 r2.
2. @uatu titi A(v/ *rjari, jari r
jia (v 9
3. @uatu titi A(v/ *rjari, jari r
w) t*rl*ta +ada linaran yan *r+u-at di P(a/ ) dan a)2 > (w9
)2 r2.
w) t*rl*ta di luar linaran yan *r+u-at di P(a/ ) dan
jia (v 9
a)2 > (w9
)2 B r2.
#onto% & :
A+aa" titi,titi *riut t*rl*ta di luar/ di dalam/ atau +ada linaran 2 > y2 9 8 > 6y > 2# # C a. (91/ 91)
. E(2/ 93)
. @(#/ $)
d. 5(94/ #)
Alt*rnatif P*ny*l*-aian: P*r-amaan linaran 2 > y2 9 8 > 6y > 2# # diua" m*njadi *ntu au +*r-amaan uadrat m*njadi ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ a. (91/ 91) di-u-titu-ian * +*r-amaan ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ di+*rl*" (91 9 4)2 > (91 > 3)2 (9$)2 > 22 2' B $ 5iti (91/ 91) *rada di luar linaran ( 9 4)2 > (y > 3)2 $
. E(2/ 93) di-u-titu-ian * +*r-amaan ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ di+*rl*" (2 9 4)2 > (93 > 3)2 (92)2 > # 4 $ 5iti E(2/ 93) *rada di dalam linaran ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ . @(4/ 93) di-u-titu-ian * +*r-amaan ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ di+*rl*" (4 9 4)2 > (93 > 3)2 # > # # $ 5iti @(4/ 93) *rada di dalam linaran ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ d. 5(2/ 94) di-u-titu-ian * +*r-amaan ( 9 4)2 > (y > 3)2 $ di+*rl*" (2 9 4)2 > (94 > 3)2 (92)2 > (91)2 4 > 1 $ $ 5iti 5(2/ 94) *rada +ada linaran ( 9 4)2 > (y > 3)2 $
'. Kedudukan Garis ter%adap Lingkaran
