Persamaan Garis Lurus Pengelola Blog Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
1
Pen enge gert rtia ian n Gar Garis is Luru Lurus s
Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak dide…nisikan. dide…nisikan. Pada bagian ini akan dibahas garis lurus. lurus. Garis Garis lurus adalah garis yang menghub menghubungk ungkan an dua titik dengan dengan jarak jarak yang terdekat. terdekat. Perhatikan gambar, garis 1 jelas bukan garis lurus sedangkan garis 2 adalah garis lurus.
Garis 1
Garis 2
Salah satu komponen yang penting dalam pembahasan garis lurus adalah kemiringan garis atau disebut juga gradien. gradien. Gradien Gradien merupak merupakan an perbandinga perbandingan n antara antara jarak vertik vertikal al dengan dengan jarak jarak horisont horisontal al dari dua buah titik titik yang dilalui dilalui garis lurus. lurus. Menghitung Menghitung gradien gradien akan lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat kartesius. Koordinat kartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri dimensi 2.
y
l
B(x2,y2)
A(x1,y1)
x
Gra…k 1 Perhatikan Gra…k 1, garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1 ; y1 ) dan B (x2 ; y2 ). Grad Gradie ien n (dinotasikan (dinotasikan dengan m) garis l dihitung dengan rumus m=
4y y2 y1 = 4x x2 x1
Sebagai latihan, perhatikan gra…k berikut 1
(1)
2
y
10
b
a
c
8 6 d
4 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
-2 -4 -6 -8 -10
Di gambar terdapat empat buah garis, gradien masing-masing garis adalah sebagai berikut: 1. Garis a, melalui titik (0; 2) dan (2; 8), 8), maka gradien garis a, ma =
y2 y1 82 = = 3 x2 x1 2 0
2. Garis b, melalui titik (0; 1) dan (4; 7), 7), maka gradien garis b, mb =
y2 y1 7 (1) 8 = = =2 x2 x1 40 4
3. Garis c; melalui titik (6; 2) dan (6; 6), 6), maka gradien garis c, mc =
y2 y1 6 (2) 8 2 = = = x2 x1 6 (6) 12 3
4. Garis c, melalui titik (6; 4) dan (0; 2), 2), maka gradien garis d, md =
y2 y1 24 2 1 = = = : x2 x1 0 (6) 6 3
Tentu saja titik-titik yang dilalui oleh masing-masing garis sebanyak tak hingga buah, tetapi untuk mempermudah perhitungan diambil titik yang jelas koordinatnya.
2
Mene Me nen ntu tuk kan Pers Persam amaan aan Gari Garis s Lurus Lurus
Persamaa Persamaan n garis garis lurus menyatak menyatakan an titik-ti titik-titik tik yang dilalui dilalui oleh suatu garis garis lurus. lurus. Persamaa Persamaan n garis lurus ditulis dalam bentuk y = mx + c (2)
3
dengan m adalah gradien dan c adalah adalah suatu konstant konstanta. a. Persamaan Persamaan garis lurus dapat ditulis ditulis juga sebagai ax + by + c = 0 : (3) Dalam hal ini a atau b tidak boleh nol. Jika kita nyatakan bentuk (3) seperti (2), maka didapat a c y = x : b b
Jadi, gradiennya adalah
a m= : b
Contoh 2.1 Tentukan gradien garis yang dinyatakan dalam persamaan berikut!
1. y = 2 x 4 2. y = 3 x 3. y = 25 x + 3 4. 2x + 3y 6 = 0 5. 4x y + 3 = 0 Jawab. 1. m = 2 2. m = 1 3. m =
2 5
4. m = 23 5. m = 41 = 4 Selanjutnya, kita dapat menentukan persamaan garis lurus dari informasi yang ada. Jika diketahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut, maka langkah-langkah menentukan persamaan garis lurus adalah sebagai berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ).
y l B(x2,y2) P(x,y) A(x1,y1)
x Titik P (x; y ) adalah sebarang titik yang terletak pada garis l (lihat gambar). gambar). Persamaan garis lurus kita dapatkan dengan menghitung gradien garis l. Perhatikan Perhatikan bahwa mAP = mAB y y1 y2 y1 = x x1 x2 x1
4
atau dapat ditulis menjadi
y y1 x x1 = y2 y1 x2 x1
(4)
Persamaan terakhir adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ). Contoh 2.2 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui:
1. A (2; 3) dan B (4; 9) 2. P (1; 2) dan B (3; 5) Jawab. 1. Perhatikan Perhatikan bahwa x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, dan y2 = 9. Mak Maka a persamaan persamaan garis lurusnya lurusnya adalah y3
93 y3
6
= =
x2
42 x2
y3= 6
2 2 x
2 y 3 = 3x 6 y = 3x 3
2. Perhatikan Perhatikan bahwa bahwa x1 = 1, y1 = 22,, x2 = 33,, dan y2 = 5. Maka persamaan garis lurusnya adalah y2
=
x (1)
5 2 3 (1) y2 x+1 = 7 4 x2 y 2 = 7 4 7 7 y2= x+ 4 2 7 11 y = x+ 4 2
atau dapat ditulis menjadi 7x + 4y 22 = 0: Perhatikan kembali rumus (4), rumus tersebut dapat diubah menjadi y y1 = ( y2 y1 )
= Ingat bahwa
y2 y1 x2 x1
x x1 x2 x1
y2 y1 (x x1 ) x2 x1
= m. Jadi, y y1 = m (x x1 )
Rumus Rumus tersebut tersebut adalah adalah untuk untuk menentuk menentukan an persamaan persamaan garis garis lurus yang yang gradienn gradiennya ya m dan melaluisebuah titik (x1 ; y1 ). Contoh 2.3 Tentukan persamaan garis lurus jika diketahui:
5
1. gradiennya gradiennya 2 dan melalui titik (3; 1) 2. Gradiennya Gradiennya 3 dan melalui titik (2; 4) 3. Gradiennya Gradiennya 34 dan melalui titik (1; 2) Jawab. 1. Perhatikan Perhatikan bahwa m = 22,, x1 = 33,, dan y1 = 1. Persamaan garis lurusnya adalah y y1 = m (x x1 ) y (1) = 2 (x 3) y + 1 = 2x 6 y = 2x 7
atau dapat ditulis 2x y 7 = 0 2. Perhatikan Perhatikan bahwa m = 3, x1 = 22,, dan y1 = 44.. Persamaan garis lurusnya adalah y y1 = m (x x1 ) y 4 = 3 (x 2) y 4 = 3x + 6 y = 3x + 10
atau dapat ditulis 3x + y 10 = 0 3. Perhatikan Perhatikan bahwa m = 22,, x1 = 33,, dan y1 = 1. Persamaan garis lurusnya adalah y y1 = m (x x1 )
3 (x (1)) 4 4 (y 2) = 3 (x + 1) 4y 8 = 3x + 3 3x 4y + 11 = 0: y2=
3
Gra… Gra…k k Per Persa sama maan an Gar Garis is Lur Lurus us
Jika Jika diketah diketahui ui sebuah sebuah persamaan persamaan garis lurus, lurus, mak maka a kita harus dapat membuat membuat gra…kny gra…knya. a. Secara umum, untuk membuat gra…k dari persamaan garis lurus tinggal pilih dua titik sebarang kemudian tarik garis lurus yang menghubungkan kedua garis tersebut. Contoh 3.1 Buat gra…k y = 2 x 1!
Jawab. Pilih dua nilai x yang berbeda, misalnya x = 1 dan x = 33.. Selanjutnya, Selanjutnya, tentukan tentukan nilai y dengan tabel berikut: x y
1 1
3 5
Selanjutnya buat titik (1; 1) dan (3; 5) di bidang kartesius dan tarik garis lurus yang melalui kedua titik tersebut!
6
y
6
(3,5) 4 2
(1,1) -6
-4
-2
2
4
6
-2
x
-4 -6
Cara lain yang lebih mudah adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y: Contoh 3.2 Buat gra…k persamaan 3x + 4y 12 = 0 Jawab. Untuk x = 0 0,, maka y = 3 dan untuk y = 00,, maka x = 44.. Perhatikan tabel,
0 3
x y
4 0
Jadi, gra…k tersebut melalui titik (0; 3) dan (4; 0). 0). Gra…knya adalah:
y
5 4 3
(0,3)
2 1 (4,0) -5
-4 -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3 -4 -5
4
Sudu Su dutt Dua Dua Gari Garis s Lur Lurus us
Misalkan diketahui dua persamaan garis lurus l1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 dan l2 : a2 x + b2 y + c2 = 00,, maka kita dapat menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut (yaitu, sudut yang terkecil). Sudut yang dibentuk oleh l1 dengan sumbu x adalah 1 . Dalam hal ini tan 1 = m1 = ab . Sudut yang dibentuk oleh l2 dengan sumbu x adalah 2 . 1
1
7
y
12 10 8 6 4 2
2
4
6
8
10
12 12
x
Dalam hal ini tan 2 = m2 = ab . Dengan Dengan asumsi asumsi 2 1 , maka sudut yang dibentuk oleh l1 dan l2 adalah = 2 1 . Jadi, 2
2
tan = tan tan (2 1 ) tan 2 tan 1 = 1 + tan 2 : tan 1 m2 m1 = 1 + m2 :m1
5
Garis Garis-G -Gari aris s Sejajar Sejajar dan dan Tega Tegak k Luru Lurus s
Jika kita memiliki dua buah garis (lurus), maka kedudukan kedua garis tersebut adalah sejajar dan berpotongan. berpotongan. Untuk Untuk kasus dua garis garis berpotongan, berpotongan, hanya hanya akan akan dibahas yang tegak lurus. Jika ingin mengeksplorasi garis yang berpotongan sebarang, Anda bisa lihat sudut dua garis di atas. Dua garis dikatakan sejajar (notasi k) jika sudut yang dibentuk adalah 0. Berdasarkan hal ini, agar l1 dan l2 sejajar, maka m2 m1 : 0= 1 + m2 :m1 Hal ini dapat dipenuhi jika m1 = m2 . Dengan Dengan demikian, demikian, syarat dua buah garis sejajar adalah gradiennya harus sama atau dengan kata lain m1 = m2 :
Dua garis dikatakan tegak lurus (notasi ?) jika sudut yang dibentuk tan
2
=
2
. Hal ini berarti
m2 m1 : 1 + m2 :m1
Jadi, 1 + m2 :m1 = 0 atau m1 :m2 = 1: Contoh 5.1 Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis 2x5y = 2 dan melalui titik (2; 1) Jawab. Gradien garis 2x 5y = 2 adalah m1 = ab = 25 = m2 = m1 = 25 . Kita gunakan formula
y y1 = m (x x1 )
2 (x 2) 5 5 (y + 1) 1) = 2 (x 2) 5y + 5 = 2x + 4 2x 5y 1 = 0 y (1) =
2 5
. Karen Karena a sejajar, sejajar, mak makaa
8
atau y=
2 1 x . 5 5
Contoh 5.2 Garis l tegak lurus dengan garis yang persamaannya 3x + 5y = 4 dan melalui titik (1; 2). 2). Tentukan persamaan garis l! Jawab. Gradien garis 3x + 5y = 4 adalah m1 = 35 . Karena sejajar,
m1 :m2 = 1 m2 =
5 . 3
Selanjutnya, y y1 = m (x x1 )
5 (x (1)) 3 3y 6 = 5x + 5 5x 3y + 11 = 0 y2=
atau y=
5 11 x+ . 3 3
Latihan 5.3 Berikut beberapa soal-soal untuk latihan!
1. Diketahui garis l dengan persamaan persamaan x 3y = 5. a) Tentuk Tentukan an persama persamaan an garis yang sejajar dengan garis l yang melalui titik (1; 1). 1). b) Tentukan entukan persamaan persamaan garis yang tegak tegak lurus dengan garis l dan melalui titik (3; 2)! 2)! 2. Tentukan persamaan persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 6 dan melalui titik potong garis 2x + 3y + 5 = 0 dan y = 3 x + 22! ! 3. Jika garis 2x by = 4 dan garis y = 23 x + c tegak lurus, tentukan nilai b!
