Ejercicios de Permutaciones 1. ¿De cuántas cuántas maneras maneras pueden pueden hacer hacer cola 7 amigo amigos s que están están esperando para entrar al cine? Tenemos Tenemos que formar grupos con los 7 amigos. Res. !"! #. Tenemos que formar formar grupos de elementos elementos donde el primero primero se repite repite # $eces % el segundo & $eces Res. 1! &. ¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden sentar sentar 1! 1! personas personas en una mesa mesa circular? Res. &'#((! ". ¿)uántos ¿)uántos n*meros n*meros distintos distintos se pueden pueden formar formar con las cifras cifras #11"""(++? Res. 11#!! . En una parada de auto,*s auto,*s están están esperando esperando tres tres amigas % dos personas personas ma%ores. ¿De cuántas maneras pueden sentarse estas cinco personas si las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entre ellas? Res.&' '. De cuántas cuántas formas distintas distintas se pueden pueden sentar sentar tres chicos chicos % dos chicas en una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni dos chicas? )onsideremos la siguiente notacin/ a. 0/ chico b. / chica Res.1# 7. En una estanter2 estanter2a a ca,en 1( li,ros. li,ros. 3a% 7 li,ro li,ros s de álge,ra4 álge,ra4 & de cálculo cálculo % ' de pro,a,ilidad. ¿De cuántas maneras se pueden colocar estos 1( li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2. Res. #+"!&7'! (. )on las cifras cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 ¿cuántos ¿cuántos n*meros n*meros de nue$e nue$e cifras cifras se pueden formar? Res. 1#'! +. ¿De cuántas cuántas formas formas pueden pueden colocarse colocarse los 11 jugador jugadores es de un equipo equipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la porter2a? Res.1!9
1!. ¿)uántas maneras diferentes ha% de asignar las posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera de frmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera carrera son dadas totalmente totalmente al a:ar ,. ¿)uántas maneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios premios de esta carrera de frmula uno? Res. a. "!4&#! maneras b. &&' maneras c.
11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5por ejemplo l,acete4
isten cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? Res. (+1 1&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4 ¿cuántos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera? Res. 1&#! 1". ¿)uántos n*meros de cifras son di$isi,les por ? Res. (!!! n*meros n*meros de cifras di$isi,les por . 1. ¿De cuántas formas podemos contestar un e>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cuál es la com,inacin correcta?4 ¿cuál es el n*mero má>imo de intentos que podemos reali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas? Res. 1'. ¿)uántos n*meros de tres cifras con repeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (4 4 &? Res.
17. @ueremos a,rir un candado de com,inacin de " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero no sa,emos cuál es la com,inacin correcta. Res. '#" 1(. =upongamos que tenemos #! nios de un grupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. ¿De cuántas formas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios? Res. 1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas % " negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas de la urna? Res. 1#'! #!. En una competicin deporti$a participan " equipos de & atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos? Res. &'+'!! #1. El $endedor puede elegir la primera ciudad que $isitará de entre las . Elegirá la segunda ciudad que $isitará de entre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para la cuarta4 #. A para la *ltima4 1. Res. 1#! ##. ¿)uántos n*meros de & cifras 5donde la primera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? Res. (+1 #&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4 ¿cuántos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera? Res. 1&#! #". por ? Res. 1(!!!
¿)uántos n*meros de cifras son di$isi,les
#. ¿De cuantas formas diferentes contestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero? Res. &'
puede
#'. De cuantos formas distintas se pueden colocar ( personas en una -la para tomar una foto Res. ( #7. =e tiene ,anderas de diferentes colores ¿)uantas seales diferentes se pueden en$iar usando las al mismo tiempo? Res. 1#! #(. De cuantas maneras se pueden repartirse & premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una no puede reci,ir más de un premio Res. &&' #+. )uantos mensajes pueden en$iar con 1# ,anderas utili:adas todas si son " amarillas & $erdes % # rojas Res. 1''&#!! &!. De un grupo de ' economistas + ingenieros se $a a formar una comisin. En cuantas formas distintas pueden seleccionarse si la comisin de,e estar formada por " personas % de,en ser economistas % # ingenieros Res. #1'! &1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una -la de ,utacas? Res. "!&#! &#. ¿)uántos n*meros de cifras diferentes se puede formar con los d2gitos/ 14 #4 &4 "4 . Res. 1#! &&. ¿)uántos n*meros de tres cifras se puede formar con los d2gitos/ !4 14 #4 &4 "4 ? Res. 1(! &". ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? Res. !"! &. ¿)uántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 1 resultados? Res. 1"&"(+!7 &'. )on las letras de la pala,ra li,ro4 ¿)uántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por $ocal? Res. "(
&7. ¿)uántos n*meros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Res. 1#! &(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderas rojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. ¿)uántas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas? Res. 1#'! &+. ;na mesa presidencial está formada por ocho personas4 ¿de cuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % el secretario siempre $an juntos? Res. 1!!(! "!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olas a:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 ¿de cuantas formas posi,les pueden ordenarse? Res. ##! "1. ¿De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos de presidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo que ha% 1# posi,les candidatos? Res. 1&#! "#. )uatro li,ros distintos de matemáticas4 seis diferentes de f2sica % dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posi,le ordenarlos si/ a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos. b. =olamente los li,ros de matemáticas de,en estar juntos. Res. a. #!7&'! ,. (7!+1#! "&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. ¿De cuantas formas se pueden pedir ' helados si/ a. Bo se elige el mismo sa,or más de una sola $e:? b. =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces? c. ;n sa,or no se puede pedir más de $eces? d. 6a mitad de,e ser de fresa? Res. a. (!!( ,. 1'777#1' c. 17#('"+ d. &&7 "". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de una letra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden ser letra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letras ma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. ¿)uántos identi-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de la computacin?
Res.
12
2.0957 ∗10
". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede $encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' se juega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres sets o,tiene la $ictoria. ¿De cuantas maneras se pueden registrar los resultados si/ a. C gana en sets? b. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets? Res. a. '7##( ,. 7"77" "'. )on las letras de la pala,ra FG0;=EF ¿)uántas pala,ras distintas se pueden formar? Res. 1#! "7. )on los d2gitos impares4 ¿)uantos nueros de " cifras distintas puede formar? Res. #" "(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son de Gatemáticas4 # de 6egua % 1 de f2sica5los de una misma materia son iguales ¿De cuantas formas podemos ordenarlos en el estante? Res. 1#'! "+. ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? Res. 1# !. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadores que pueden ocupar 1! posiciones distintas. Res. "&'#((!! 1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar con los 1! atletas 5n H 1! Res. 7#! #. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán u,icar las cifras del 1 al 7 en la siguiente -gura?
Res. ("! &. 6a mesa de in$itados en una ,oda está formada por ocho ser$icios4 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar los in$itados? Res. !"! ". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que han solicitado hacer uso de la pala,ra ¿En cuántas rdenes diferentes pueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades? Res. 7#! . En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4 que se indican con 4 <4 )4 D4 E % I. En general no e>iste una secuencia -ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse al principio % I al -nal. ¿)uántas secuencias diferentes pueden ocurrir? Res. #" '. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos los candidatos son igualmente e-cientes4 ¿De cuántas maneras se pueden efectuar la asignacin? Res. #1! 7. ¿)uántas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de un equipo de ,ásquet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,. ¿)uántas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. ¿)uántas maneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una? Res. +!"! (. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear con seis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % uno morado. Res. '! +. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera de seleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4 mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manera de seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuando ha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear una
permutacin es indistinto cuál n*mero tres se ponga4 %a que siempre se tendrá el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todos los arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. ¿De cuántas maneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dos nogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/ Res. 1#'! '!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en una temporada4 ¿cuántas maneras ha% de que entre esos doce juegos en que participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos? Res. 7+#! '1. a ¿)uántas cla$es de acceso a una computadora será posi,le disear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , ¿cuántas de las cla$es anteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 c ¿cuántas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos % terminan por el n*mero tres? Res. a. #(! ,. 1 c. #!
EJER)L)L0= RE=;E6T0= 1. ¿De cuántas maneras pueden hacer cola 7 amigos que están esperando para entrar al cine? Tenemos que formar grupos con los 7 amigos. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. Bo se repiten los elementos. El n*mero de permutaciones sin repeticin de 7 elementos es/ #. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite # $eces % el segundo & $eces. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite # $eces % el segundo & $eces. Tenemos que formar grupos de elementos donde el primero se repite # $eces % el segundo & $eces. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. =2 se repiten los elementos.
El n*mero de permutaciones con repeticin de elementos donde uno se repite dos $eces % otras tres $eces es/
&. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 1! personas en una mesa circular? )omo las personas están colocadas alrededor de una circunferencia4 si trasladamos a todas las personas un asiento4 o,tenemos una posicin que es e>actamente igual que la anterior. =e trata entonces de permutaciones circulares de 1! elementos. ". ¿)uántos n*meros distintos se pueden formar con las cifras #11"""(++? Tenemos que formar grupos de 1! elementos donde el primero se repite dos $eces4 el segundo una $e:4 el tercero tres $eces4 el cuarto una $e:4 el quinto una $e: % el se>to dos $eces. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. =2 se repiten los elementos. El n*mero de permutaciones con repeticin de 1! elementos donde tres de ellos se repiten una $e:4 dos de ellos se repiten dos $eces % uno tres $eces es/
. En una parada de auto,*s están esperando tres amigas % dos personas ma%ores. ¿De cuántas maneras pueden sentarse estas cinco personas si las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder ha,lar entre ellas? 6as tres amigas $an siempre juntas4 as2 que tenemos que formar grupos con estas tres amigas. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. Bo se repiten los elementos. El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/ hora ha% que tener en cuenta la manera en la que se sientan las tres amigas % las dos personas ma%ores. =i consideramos al grupo de las amigas como una unidad4 tenemos el grupo de las amigas4 una
persona ma%or % otra persona ma%or4 es decir4 & elementos. s2 que tenemos que $ol$er a hallar el n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos.
'. De cuántas formas distintas se pueden sentar tres chicos % dos chicas en una -la de ,utacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni dos chicas? )onsideremos la siguiente notacin/ a. 0/ chico ,. / chica )omo no pueden sentarse ni dos chicos ni dos chicas juntos4 la manera en la que se sentarán es/ 000 Es decir4 la -la tiene que empe:ar % aca,ar por chico necesariamente. ;n chico puede ocupar entonces las posiciones 14 & % . Entonces para sa,er de cuantas maneras se pueden sentar los chicos tenemos que formar grupos con los & chicos. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. Bo se repiten los elementos. El n*mero de permutaciones sin repeticin de & elementos es/ De manera análoga4 las chicas pueden ocupar las posiciones # % ". Entonces para sa,er de cuántas maneras se pueden sentar las chicas tenemos que formar grupos con las dos chicas. s2 que el n*mero de permutaciones sin repeticin de # elementos es/
7. En una estanter2a ca,en 1( li,ros. 3a% 7 li,ros de álge,ra4 & de cálculo % ' de pro,a,ilidad. ¿De cuántas maneras se pueden colocar estos 1( li,ros? 56os li,ros del mismo tipo se consideran indistingui,les entre s2. Tenemos que formar grupos de 1( elementos donde uno se repite 7 $eces4 otras & $eces % otras ' $eces. )omo no nos dicen nada acerca de los dos restantes4 suponemos que ha% uno de cada tipo distintos a los tipos anteriores. =e $eri-ca que en cada grupo/ =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. =2 se repiten los elementos.
El n*mero de permutaciones con repeticin de 1( elementos donde uno se repite 7 $eces4 otro &4 otras ' $eces4 % los dos *ltimos una $e: es/
(. )on las cifras #4 #4 #4 &4 &4 &4 &4 "4 "8 ¿cuántos n*meros de nue$e cifras se pueden formar? mH+ aH& ,H" cH# =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. =2 se repiten los elementos.
aM,McH+
+. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadores que pueden ocupar 1! posiciones distintas. =2 entran todos los elementos. =2 importa el orden. Bo se repiten los elementos.
1!. ¿)uántas maneras diferentes ha% de asignar las posiciones de salida de ( autos que participan en una carrera de frmula uno? 5)onsidere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al a:ar ,. ¿)uántas maneras diferentes ha% de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno? a n H (4 r H ( (P(H (9 H ( > 7 > ' > > " >......> 1H "!4&#! maneras de asignar las posiciones de salida , n H(4 r H & P 5(4& H (9 N 5( &9 H (9 N 9 H 5( > 7 > ' > >O>1N 5 > " > & >O >1 H &&' maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera 11. ;n $endedor quiere $isitar ciudades 5por ejemplo l,acete4
El $endedor puede elegir la primera ciudad que $isitará de entre las . Elegirá la segunda ciudad que $isitará de entre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para la cuarta4 #. A para la *ltima4 1. s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas. Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/ 1#. ¿)uántos n*meros de & cifras 5donde la primera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? Qamos a calcular cuántos n*meros e>isten de & cifras4 % luego restaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 1! posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos. s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras. De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4 """4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedida es de +!! + H (+1 1&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4 ¿cuántos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera? Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredor. El primer puesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquiera de los 1! restantes. s2 que e>isten 1# 11 1! H 1&#! distintos pdiums posi,les. Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin
1".
¿)uántos n*meros de cifras son di$isi,les por ?
Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! o 4 as2 que/ Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si la primera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegir la segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKn podemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifra solo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades. s2 que e>iste un total de + 1! 1! 1! # H 1(!!! n*meros de cifras di$isi,les por .
1. ¿De cuántas formas podemos contestar un e>amen de 1# preguntas de opcin m*ltiple4 si cada pregunta tiene alternati$as de respuesta8 pero no sa,emos cuál es la com,inacin correcta?4 ¿cuál es el n*mero má>imo de intentos que podemos reali:ar antes de encontrar las doce preguntas correctas? Para responder cada una de las preguntas del e>amen4 tenemos alternati$as4 % son 1# preguntas4 por lo que
1'. ¿)uántos n*meros de tres cifras con repeticin se pueden formar usando todos los siguientes d2gitos 74 "4 (4 4 &? )omo se pueden repetir los d2gitos % son de ellos4 podemos colocar en la posicin de las centenas cualquiera de los cinco % en la posicin de las decenas tam,iKn d2gitos al igual que en la posicin de las unidades4 por lo tanto4 el resultado es 17. @ueremos a,rir un candado de com,inacin de " anillos4 cada uno marcado con los d2gitos 14 #4 &4 "4 8 pero no sa,emos cuál es la com,inacin correcta. En cada uno de los " anillos pueden ponerse los d2gitos. s2 que n=5 % r=44 por lo que el n*mero total de posiciones es/ Pero como una de estas '# es la correcta4 el n*mero má>imo de incorrectos es '#". 1(. =upongamos que tenemos #! nios de un grupo de Preescolar % 1! sa,ores de helados disponi,les. ¿De cuántas formas diferentes podemos ser$ir un helado a #! nios? l primer nio le podemos ser$ir uno de los 1! sa,ores4 al segundo nio tam,iKn le podemos ser$ir los 1! sa,ores4 al tercero tam,iKn4 % as2 sucesi$amente. cada uno de los #! nios le podemos ser$ir de los 1! sa,ores4 por lo que es una permutacin repetida.
1+. En una urna ha% + ,olas4 & ,lancas4 # rojas % " negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden e>traer las ,olas de la urna? l tener tres ,olas ,lancas4 a efectos de ordenacin se consideran iguales4 lo mismo ocurre con las rojas % las negras. 6as posi,les ordenaciones son/
#!. En una competicin deporti$a participan " equipos de & atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos? la hora de ela,orar la clasi-cacin por equipos los atletas se consideran idKnticos. El n*mero de posi,les clasi-caciones es/
#1. El $endedor puede elegir la primera ciudad que $isitará de entre las . Elegirá la segunda ciudad que $isitará de entre las " restantes. Para la tercera ciudad tiene & opciones. Para la cuarta4 #. A para la *ltima4 1. s2 que puede ela,orar " & # 1 H 1#! rutas distintas. Podemos utili:ar tam,iKn la frmula de las permutaciones % decir que/ ##. ¿)uántos n*meros de & cifras 5donde la primera por la i:quierda no es un cero e>isten cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? Qamos a calcular cuántos n*meros e>isten de & cifras4 % luego restaremos la cantidad de los que tienen las & cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre + posi,ilidades 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +. 6as siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 1! posi,ilidades cada una 5los 1! guarismos. s2 que e>isten + 1! 1! H +!! n*meros de & cifras. De Kstos4 un total de + tienen todas su cifras repetidas 51114 ###4 &&&4 """4 4 '''4 7774 (((4 +++. s2 que la cantidad de n*meros pedida es de +!! + H (+1 #&. En una carrera de maratn inter$ienen & espaoles4 # ingleses4 1 italiano4 & alemanes4 # franceses % 1 ,elga. =i un pdium consiste en & personas situadas en & puestos distintos4 ¿cuántos pdiums distintos pueden darse al aca,ar la carrera?
Tenemos un total de & M # M 1 M & M # M 1 H 1# corredores. El primer puesto lo puede alcan:ar cualquiera de los 1# corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores4 % el tercero puede ser para cualquiera de los 1! restantes. s2 que e>isten 1# 11 1! H 1&#! distintos pdiums posi,les. Tam,iKn podemos utili:ar la frmula de las $ariaciones sin repeticin.
#". por ?
¿)uántos n*meros de cifras son di$isi,les
Para que un n*mero sea di$isi,le por cinco de,e aca,ar en ! 4 as2 que/ Podemos elegir la primera cifra de entre + 514 #4 &4 "4 4 '4 74 (4 +4 si la primera cifra es ! no cuenta como n*mero de cifras. Podemos elegir la segunda cifra de entre 1! 5nos $ale cualquier guarismo. Tam,iKn podemos elegir de entre 1! la tercera % la cuarta cifra. 6a *ltima cifra solo puede ser ! 4 lo que nos da solo # posi,ilidades. s2 que e>iste un total de + 1! 1! 1! # H 1(!!! #. ¿De cuantas formas diferentes contestar un alumno " preguntas de falso % $erdadero?
puede
P 5"4"H 5".&.#.1 H &' #'. De cuantos formas distintas se pueden colocar ( personas en una -la para tomar una foto P 5(41H( #7. =e tiene ,anderas de diferentes colores ¿)uantas seales diferentes se pueden en$iar usando las al mismo tiempo? P 54H 5.".&.#.1H1#! #(. De cuantas maneras se pueden repartirse & premios a un conjunto de ( personas4 suponiendo que cada una no puede reci,ir más de un premio
n5n5<n5) (C7C'H&&' #+. )uantos mensajes pueden en$iar con 1# ,anderas utili:adas todas si son " amarillas & $erdes % # rojas P 51#4 "4 &4 # H 51#.11.1!.+.(.7.'..".&.#.1N5".&.#.1.&.#.1.#.1H 1''&#!! &!. De un grupo de ' economistas + ingenieros se $a a formar una comisin. En cuantas formas distintas pueden seleccionarse si la comisin de,e estar formada por " personas % de,en ser economistas % # ingenieros P 5'4# P5+4#H 55'..".&.#.1N5#.155+.(.7.'..".&.#.1N5#.1H #1'! &1. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una -la de ,utacas? P8=8 ! =40320
&#. ¿)uántos n*meros de cifras diferentes se puede formar con los d2gitos/ 14 #4 &4 "4 . P5=5 !=120
&&. ¿)uántos n*meros de tres cifras se puede formar con los d2gitos/ !4 14 #4 &4 "4 ? P( 5,1) ∙ P( 6,2)=5 ∙ 6 =180 2
&". ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? PC 8= P( 8−1)=( 8−1 ) !=7 ! =5040
&. ¿)uántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 1 resultados? P 55&41H&S1H1"&"(+!7 &'. )on las letras de la pala,ra li,ro4 ¿)uántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por $ocal? =i empie:a por una $ocal ser2an/ i % o. P2∗ P4 =2 !∗4 ! =2∗4∗3∗2∗1 =48
&7. ¿)uántos n*meros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
P5=5 ! =120
&(. En el palo de seales de un ,arco se pueden i:ar tres ,anderas rojas4 dos a:ules % cuatro $erdes. ¿)uántas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nue$e ,anderas? n =9 Rojas= 3 azules =2 verdes =2 ;rojas + azules + verdes =9
¿ deopciones =
9! 3 !∗4 !∗2 !
=1260 5Permutacin con repeticin
&+. ;na mesa presidencial está formada por ocho personas4 ¿de cuantas formas distintas se pueden sentar4 si el presidente % el secretario siempre $an juntos? Presidente % secretario siempre juntos P= P2∗ P7= 2 !∗4 ! =2∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 =10080
"!. =e ordenan en una -la ,olas rojas4 # ,olas ,lancas % & ,olas a:ules. =i las ,olas de igual color no se distinguen entre s24 ¿de cuantas formas posi,les pueden ordenarse? n =10 Rojas =5 blancas =2 azules=3 ;rojas + azules + verdes= 9
¿ deopciones =
10 ! 5 !∗2 !∗3 !
=2520 5Permutacin con repeticin
"1. ¿De cuantas formas diferentes se pueden cu,rir los puestos de presidente4 $icepresidente % tesorero de un clu, de fut,ol sa,iendo que ha% 1# posi,les candidatos? V ( 12,3 )=
12 ! 9!
=12∗11∗10=1320
"#. )uatro li,ros distintos de matemáticas4 seis diferentes de f2sica % dos diferentes de qu2mica se colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posi,le ordenarlos si/ a. 6os li,ros de cada asignatura de,en estar todos juntos. GGGG IIIIII @@ &
P4∗ P6 ¿ P2∗ P 3=4 !∗6 !∗2 !∗3 ! =207360
,. =olamente los li,ros de matemáticas de,en estar juntos. GGGG I I I I I I @ @
"
P4∗ P9= 4 !∗9 ! =8709120
+
"&. ;na helader2a tiene 1' sa,ores disponi,les. ¿De cuantas formas se pueden pedir ' helados si/ a) Bo se elige el mismo sa,or más de una sola $e:? b) =e puede pedir un mismo sa,or hasta ' $eces? c) ;n sa,or no se puede pedir más de $eces? d) 6a mitad de,e ser de fresa? a 1' sa,ores8 ' helados ∁( 16,6 ) =
16 ! 6 ! ( 16 −6 ) !
=8008
, 1' sa,ores8 ' helados ρ ( 16,6 )=16 =16777216 6
c 1 sa,ores en un helado8 1' sa,ores en helados
¿ deopciones =151∗16 5=15728649 d& helados solo de fresa ρ ( 15,3 )=15
3
= 3375
"". En un lenguaje de computacin un identi-cador consta de una letra o de una letra seguida de hasta siete s2m,olos que pueden ser letra o d2gitos. 5En este lenguaje son indistingui,les las letras ma%*sculas % min*sculas. 3a% #' letras % 1! d2gitos. ¿)uántos identi-cadores diferentes se pueden utili:ar en el lenguaje de la computacin? Espacio muestral H &'8 hasta 7 s2m,olos. 7
26
( 36 ) =2.0957∗10 ∑ = x
12
x 0
". En cualquier set de un partido de tenis el oponente C puede $encer al oponente A de siete maneras. 5)on el marcador ' ' se juega un desempate/ tie ,reaer. El primer tenista que gane tres sets o,tiene la $ictoria. ¿De cuantas maneras se pueden registrar los resultados si/ a. C gana en sets? ,. Para ganar el partido se necesita jugar como m2nimo tres sets? aU7 maneras de $encer8
¿ deopciones =4∗7 5=67228 ,Ugana en tres sets.
¿ deopciones =73 +( 3∗7 4 ) + ( 4∗75 )=74774 "'. )on las letras de la pala,ra VG0;=EW ¿)uántas pala,ras distintas se pueden formar?
P5=5 !=5∗4∗3∗2∗1 P5=120 palarbras distintas
"7. )on los d2gitos impares4 ¿)uantos nueros de " cifras distintas puede formar? m
V m= P n=n ! 4
V 4 = P4= 4 ! P4 =4 ! =24 numerosdistintos .
"(. @ueremos ordenar los 7 li,ros que tenemos/ " son de Gatemáticas4 # de 6egua % 1 de f2sica 5los de una misma materia son iguales ¿De cuantas formas podemos ordenarlos en el estante? a,b ,c
Pn
4,3,2
P9
¿
¿
=
=
n! a !∗b !∗c ! 7!
4 !∗2 !∗1 !
7∗6∗5∗4 ! 4 !∗3 !∗2 ! 210 2
=1260 formasde ordenar
" +. ¿ De c uá nt os p ar ti do s c on st a u na l ig ui lla f orm ad a p or cuatro equipos? 2
P4 =4∗3 2
P4 =12
!. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de f*t,ol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar
otra posicin distinta que la porter2a? Disponemos de 1! jugadores que pueden ocupar 1! posiciones distintas. P10=10 !
P10=43628800
1. =e ,usca las diferentes ternas 5 H & que se pueden formar con los 1! atletas 5n H 1! 10
P3 =
10
P3 =
10 ! 7! 7! 7!
∗8∗9∗10
10
P3 =720
#. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán u,icar las cifras del 1 al 7 en la siguiente -gura?
¿ demaneras =7∗5 !=7∗20 =840 &. 6a mesa de in$itados en una ,oda está formada por ocho ser$iU cios4 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar los in$itados? PC 8=( 8−1 ) !
PC 8=7 ! PC 8=5040
". En una asam,lea de accionistas4 ha% ' personas que han solicitado hacer uso de la pala,ra ¿En cuántas rdenes diferentes pueden ha,lar4 si es que no se ha esta,lecido un orden de prioridades? P6=6 !
P6=6∗5∗4∗3∗2∗1 P5=720
. En un proceso de manufactura ha% seis operaciones distintas4 que se indican con 4 <4 )4 D4 E % I. En general no e>iste una secuencia -ja para las operaciones4 con la sal$edad de que de,e efectuarse al principio % I al -nal. ¿)uántas secuencias diferentes pueden ocurrir? P4 =4 !
P4 =4∗3∗2∗1 P5=24
'. E>isten 7 candidatos para desempear & tareas4 si todos los candidatos son igualmente e-cientes4 ¿De cuántas maneras se pueden efectuar la asignacin? 7!
7
P3=
7
P3=
7
P3=
( 7 −3 ) ! 7! 4! 7∗6∗5∗4 ! 4!
7
P3=210
7. ¿)uántas maneras ha% de asignar las posiciones de juego de un equipo de ,ásquet,ol4 si el equipo consta de 1# integrantes?4 ,. ¿)uántas maneras ha% de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por ;riel JosK Espar:a?4 c. ¿)uántas
maneras ha% de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este ;riel JosK Espar:a % en otra 0mar 6una? 12
P5 =
12
P5 =
12
P5
12
P5
=
12 !
(12−5 ) !
12 ! 7! 12∗11∗10∗8∗9∗7 ! 7!
=95040
(. 0,tenga todas las seales posi,les que se pueden disear con seis ,anderines4 dos de los cuales son rojos4 tres son $erdes % uno morado. n H ' ,anderines >1 H # ,anderines rojos ># H & ,anderines $erdes >& H 1 ,ander2n morado 2,3,1
P6 =
6! 2 !∗3 !∗1 !
2,3,1
P6 = 60 señalesdiferentes.
+. El n*mero uno inicial nos indica que e>iste una sola manera de seleccionar el n*mero dos que $a en la primera posicin del arreglo4 mientras que el n*mero uno -nal nos indica que ha% una sola manera de seleccionar el n*mero tres que $a al -nal del arreglo a*n % cuando ha%a cuatro n*meros tres4 como estos son iguales al disear una permutacin es indistinto cuál n*mero tres se ponga4 %a que siempre se tendrá el mismo arreglo % la e>presin intermedia nos indica todos los arreglos posi,les a reali:ar con los n*meros restantes. ¿De cuántas maneras es posi,le plantar en una l2nea di$isoria de un terreno dos nogales4 cuatro man:anos % tres ciruelos? =olucin/ n H + ár,oles >1 H # nogales ># H " man:anos >& H & ciruelos
9!
2,4,3
P9 =
2 !∗4 !∗3 !
2,4,3
P9 = 1260 maneras de plantar los rboles
'!. ;n equipo de f*t,ol soccer femenil participa en 1# juegos en una temporada4 ¿cuántas maneras ha% de que entre esos doce juegos en que participa4 o,tenga 7 $ictorias4 & empates % # juegos perdidos? =olucin/ n H 1# juegos >1 H 7 $ictorias ># H & empates >& H # juegos perdidos 7,3,2
P12
=
12 ! 7 !∗3 !∗2 !
7,3,2
P12 =7920 manerasde ueen latemporada este
'1. ¿)uántas cla$es de acceso a una computadora será posi,le disear con los n*meros 14 14 14 #4 &4 &4 &4&?4 , ¿cuántas de las cla$es anteriores empie:an por un n*mero uno seguido de un dos?4 c ¿cuántas de las cla$es del inciso a empie:an por el n*mero dos % terminan por el n*mero tres? a n H ( n*meros >1H & n*meros uno >#H 1 n*mero dos >&H " n*meros cuatro (P5&414"H(9N5&919"9 H#(! cla$es de acceso , n H ' 5se e>clu%e un n*mero uno % un dos >1H # n*meros uno >#H " n*meros tres 1 1 ' P5#4" H 1 1 5'9 N 5#9"9 H 1 cla$es de acceso c n H ' 5se e>clu%e un n*mero dos % un tres >1H & n*meros uno
